久期计算

duration 公式摘要：一、引言二、Duration 公式的概念与原理1.Duration 公式定义2.Duration 公式中的变量三、Duration 公式的应用场景1.债券定价2.利率衍生品定价3.风险管理四、Duration 公式的优缺点五、结论正文：一、引言Duration 公式，作为金融领域中一个重要的概念，广泛应用于债券定价、利率衍生品定价以及风险管理等方面。

本文将详细介绍Duration 公式的相关知识，包括其原理、应用场景、优缺点等。

二、Duration 公式的概念与原理1.Duration 公式定义Duration 公式，也被称为麦考利久期（Macaulay Duration），是一种衡量固定收益产品价格变动与市场利率变动之间关系的指标。

Duration 公式表示为：Duration = - ∑ (t × Cash Flow / (1 + y)) / P其中，Duration 表示久期，t 表示现金流时间，Cash Flow 表示每期现金流，y 表示每期现金流所对应的即期利率，P 表示债券价格。

2.Duration 公式中的变量久期公式中的变量主要包括：- 久期（Duration）：衡量固定收益产品价格变动与市场利率变动之间关系的指标。

- 时间（t）：现金流发生的时间。

- 现金流（Cash Flow）：债券每期支付的利息或本金。

- 即期利率（y）：每期现金流所对应的利率。

- 债券价格（P）：债券的市场价格。

三、Duration 公式的应用场景1.债券定价Duration 公式是债券定价的重要工具，通过计算债券的久期，可以预测债券价格对市场利率变动的敏感程度。

投资者可以根据债券的久期，判断债券的投资价值以及可能面临的风险。

2.利率衍生品定价Duration 公式同样适用于利率衍生品的定价，如利率掉期、利率期权等。

通过计算利率衍生品的久期，可以更好地评估利率变动对这些衍生品价格的影响。

● 久期计算● 任何一种金融工具的久期公式可表示为：久期=时间加权现值/总现值=[∑年份×现值]/[∑现值] ={1×[(票面利率*票面额)/(1+到期收益率%)^1]+2×[(票面利率*票面额)/(1+到期收益率).其中：D 为久期；CFt 为金融工具现金流；t 为各现金流发生的时间；r 为市场利率；n 为现金流量次数。

● 案例1：面值为1000元，票面利率为 8％的5年期债券，每年● 付息一次，下一次付息在一年以后，如果到期收益率为10％，● 则其久期为：● D ＝4.2861（年）11(1)(1)n t tt n t tt CF t r D CF r ==+=+∑∑（公式）23452345808080801080*1*2*3*4*510.1(10.1)(10.1)(10.1)(10.1)80808080108010.1(10.1)(10.1)(10.1)(10.1)++++++++++++++++++●案例2：假设银行发放一笔1年期、年利率为10％ ●的贷款100万，贷款合同规定借款人半年偿还半数 ●贷款，年底清偿余下的贷款，试计算其久期。

● D ＝ 0.7381（年）11(1)(1)n t t t n t t t CF t r D CF r ==+=+∑∑22100100*0.5*110.10/2(10.10/2)10010010.10/2(10.10/2)++++++ 1●案例2：假设银行发放一笔1年期、年利率为10％的 ●贷款100万，贷款合同规定借款人半年偿还半数贷 ●款，年底清偿余下的贷款，试计算其久期。

●第一步，计算该笔贷款年中、年末的现金流量 ●年中的现金流量（CF0.5）＝50＋100×0.5×10％＝55 ● 年末的现金流量（CF1）＝＝50＋50×0.5×10％＝52.5●根据计算知：该银行年中收回本利和55万，年末收回余下●本利和52.5万，合计共收回现金流107.5万。

债券久期计算例：假设债券A刚发行,其面值为1000元,市场利率贴现率8%,票面利率为8%,期限为十年;债券B是5年前发行的,其面值为1000元,票面利率12%,期限为15年,还有10年到期;计算：1债券A与债券B的价格2 计算债券A和B的久期三种方法1运用久期的定义：久期作为现金流支付时间的加权平均2将久期看作债券价格对贴现率的弹性3运用久期函数3计算债券A,B的修正久期4 如果市场利率上升10%,即从8%上升到%,求债券A与债券B的价格的变化久期Duration一、久期Duration的概念久期的概念最早是马考勒Macaulay在1938年提出来的,所以又称马考勒久期简记为D;马考勒久期是使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间;它是债券在未来产生现金流的时间的加权平均,其权重是各期现金值在债券价格中所占的比重;具体的计算将每次债券现金流的现值除以债券价格得到每一期现金支付的权重,并将每一次现金流的时间同对应的权重相乘,最终合计出整个债券的久期;保罗·萨缪尔森、约翰·斯克斯和瑞丁敦在随后的若干年独立地发现了久期这一理论范畴,特别是保罗·萨缪尔森和瑞丁敦将久期用于衡量资产/负债的利率敏感性的研究,使得久期具有了第二种含义,即：资产针对利率变化的价格变化率;久期--的第二个含义是债券投资管理中的一个极其重要的策略----“免疫策略”的理论基础,根据该策略,当交易主体债券组合的久期与债权的持有期相等的时候,该交易主体短期内就实现了“免疫”的目标,即短期内的总财富不受利率波动的影响;但是运用这一策略的前提则是,现有久期概念能否正确地衡量未来任何利率变动情景下债券价格的变动情况;二、马考勒久期的计算公式公式1其中,D是马考勒久期,B是债券当前的市场价格,PVCt是债券未来第t期可现金流利息或资本的现值,T是债券的到期时间;需要指出的是在债券发行时以及发行后,都可以计算马考勒久期;计算发行时的马考勒久期,T到期时间等于债券的期限；计算发行后的马考勒久期,T到期时间小于债券的期限;任一金融工具的久期公式一般可以表示为：公式2其中：D为久期；t为该金融工具现金流量所发生的时间；Ct为第t期的现金流；F为该金融工具的面值或到期日价值；n为到期期限；i是当前的市场利率;实际上,公式公式3的分母正是该金融工具的市场价值,因此,久期公式又可表示为：公式3其中：P表示该金融工具的市场价值或价格;三、久期的计算过程举例下面试举一例来说明久期的计算过程;假设面额为1000元的3年期变通债券,每年支付一次息票,年息票率为10%,此时市场利率为12%,则该种债券的久期为：年如果其他条件不变,市场利率下跌至5%,此时该种债券的久期为：年同理,如果其他条件不变,市场利率上升至20%,此时久期为：年再者,如果其他条件不变,债券息票率为0,那么：年从上面的计算结果可以发现,久期随着市场利率的下降而上升,随着市场利率的升而下降,这说明两者存在反比关系;此外,在持有期间不支付利息的金融工具,其久期等于到期期限或偿还期限;那些分期付息的金融工具,其久期总是短于偿还期限,是由于同等数量的现金流量,早兑付的比晚兑付的现值要高;金融工具到期期限越长其久期也越长；金融工具产生的现金流量越高,其久期越短;马考勒久期定理1、只有贴现债券的马考勒久期等于它们的到期时间2、直接债券的马考勒久期小于或等于它们的到期时间3、统一公债的马考勒久期等于1+1/Y ,其中Y是计算现值采用的贴现率四、马考勒久期与债券价格的关系对于给定的收益率变动幅度,马考勒久期越大,债券价格的波动幅度越大：到期时间、息票率、到期收益率是决定债券价格的关键因素,与久期存在以下的关系：1、零息票债券的久期等于到它的到期时间;2、到期日不变,债券的久期随息票据利率的降低而延长;3、息票据利率不变,债券的久期随到期时间的增加而增加;4、其他因素不变,债券的到期收益率较低时,息票债券的久期较长;五、债券凸性与马考勒久期之间的关系债券的凸性准确地描述了债券价格与收益率间非线性的反向关系；而久期将债券价格与收益率之间的反向关系视为线性的一阶导数关系,只是一个近似公式;凸性C,实际上描述了债券价格和收益率的二阶导数关系;定义如下：凸性C和马考勒久期D一起,可以更加准确地反映利率变动对债券价格的影响：泰勒级数二级展开六、修正马考勒久期通常,久期值还得再除以1+ｙ/ｍ加以修正,ｙ即债务工具的收益率,ｍ为每年发生现金流的次数,这个修正久期用Ｄ表示,即Ｄ=Ｄ/1+ｙ/ｍ;七、久期的用途在债券分析中,久期已经超越了时间的概念,投资者更多地把它用来衡量债券价格变动对利变化的敏感度,并且经过一定的修正,以使其能精确地量化利率变动给债券价格造成的影响;修正久期越大,债券价格对收益率的变动就越敏感,收益率上升所引起的债券价格下降幅度就越大,而收益率下降所引起的债券价格上升幅度也越大;可见,同等要素条件下,修正久期小的债券比修正久期大的债券抗利率上升风险能力强,但抗利率下降风险能力较弱;正是久期的上述特征给我们的债券投资提供了参照;当我们判断当前的利率水平存在上升可能,就可以集中投资于短期品种、缩短债券久期；而当我们判断当前的利率水平有可能下降,则拉长债券久期、加大长期债券的投资,这就可以帮助我们在债市的上涨中获得更高的溢价;需要说明的是,久期的概念不仅广泛应用在个券上,而且广泛应用在债券的投资组合中;一个长久期的债券和一个短久期的债券可以组合一个中等久期的债券投资组合,而增加某一类债券的投资比例又可以使该组合的久期向该类债券的久期倾斜;所以,当投资者在进行大资金运作时,准确判断好未来的利率走势后,然后就是确定债券投资组合的久期,在该久期确定的情况下,灵活调整各类债券的权重,基本上就能达到预期的效果;久期是一种测度债券发生现金流的平均期限的方法;由于债券价格敏感性会随着到期时间的增长而增加,久期也可用来测度债券对利率变化的敏感性,根据债券的每次息票利息或本金支付时间的加权平均来计算久期;久期的计算是在算加权平均数;其中变量是时间,权数是每一期的现金流量,价格就相当于是权数的总和因为价格是用现金流贴现算出来的;这样一来,久期的计算公式就是一个加权平均数的公式了,因此,它可以被看成是收回成本的平均时间;决定久期即影响债券价格对市场利率变化的敏感性包括三要素：到期时间、息票利率和到期收益率;不同债券价格对市场利率变动的敏感性不一样;债券久期是衡量这种敏感性最重要和最主要的标准;久期等于利率变动一个单位所引起的价格变动;如市场利率变动1%,债券的价格变动3,则久期是3;债券的久期与剩余期限实际上,久期在数值上和债券的剩余期限近似,但又有别于债券的剩余期限;在债券投资里,久期被用来衡量债券或者债券组合的利率风险,它对投资者有效把握投资节奏有很大的帮助;一般来说,久期和债券的到期收益率成反比,和债券的剩余年限及票面利率成正比;但对于一个普通的附息债券,如果债券的票面利率和其当前的收益率相当的话,该债券的久期就等于其剩余年限;还有一个特殊的情况是,当一个债券是贴现发行的无票面利率债券,那么该债券的剩余年限就是其久期;这也是为什么人们常常把久期和债券的剩余年限相提并论的原因;另一种说法：久期是债券平均有效期的一个测度,它被定义为到每一债券距离到期的时间的加权平均值,其权重与支付的现值成比例;久期是考虑了债券现金流现值的因素后测算的债券实际到期日;价格与收益率之间是一个非线性关系;但是在价格变动不大时,这个非线性关系可以近似地看成一个线性关系;也就是说,价格与收益率的变化幅度是成反比的;值得注意的是,对于不同的债券,在不同的日期,这个反比的比率是不相同的;。

债券久期计算-计算债券久期例题例：假设债券A刚发行，其面值为1000元，市场利率（贴现率8%），票面利率为8%，期限为十年。

债券B是5年前发行的，其面值为1000元，票面利率12%，期限为15年，还有10年到期。

计算：1债券A与债券B的价格2计算债券A和B的久期三种方法1）运用久期的定义：久期作为现金流支付时间的加权平均（2）将久期看作债券价格对贴现率的弹性3）运用久期函数3计算债券A，B的修正久期4如果市场利率上升10%，即从8%上升到8.8%，求债券A与债券B的价格的变化久期（n）一、久期(n)的概念久期的概念最早是XXX(Macaulay)在1938年提出来的，所以又称马考勒久期（简记为D）。

马考勒久期是使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间。

它是债券在未来产生现金流的时间的加权平均,其权重是各期现金值在债券价格中所占的比重。

具体的计算将每次债券现金流的现值除以债券价格得到每一期现金支付的权重，并将每一次现金流的时间同对应的权重相乘,最终合计出整个债券的久期。

XXX、XXX和XXX在随后的若干年独立地发现了久期这一理论范畴，特别是XXX和XXX将久期用于衡量资产/负债的利率敏感性的研究，使得久期具有了第二种含义，即：资产针对利率变化的价格变化率。

久期--的第二个含义是债券投资管理中的一个极其重要的战略----“免疫战略”的理论基础，根据该战略，当交易主体债券组合的久期与债务的持有期相等的时候，该交易主体短期内就实现了“免疫”的目标，即短期内的总财产不受利率波动的影响。

但是应用这一战略的前提则是，现有久期观点能否正确地衡量未来任何利率变动情形下债券代价的变动情况。

二、马考勒久期的计算公式公式1)其中，D是马考勒久期，B是债券当前的市场价格，PV （Ct）是债券未来第t期可现金流（利息或资本）的现值，T是债券的到期时间。

需要指出的是在债券发行时以及发行后，都可以计算马考勒久期。

计算发行时的马考勒久期，T（到期时间）等于债券的期限；计算发行后的马考勒久期，T（到期时间）小于债券的期限。

久期是一个重要的金融概念，它可以帮助投资者更好地理解债券的价值和风险。

久期是指债券的期限，它可以帮助投资者了解债券的价值变化，以及债券的价值变化如何影响投资者的收益。

久期的计算方法是把债券的期限分成几个部分，每个部分的期限都是一样的，然后把每个部分的期限乘以它的票面利率，最后把所有部分的乘积相加，得到的结果就是久期。

久期的计算方法可以帮助投资者更好地理解债券的价值变化，以及债券的价值变化如何影响投资者的收益。

久期的计算方法也可以帮助投资者更好地了解债券的风险，以及债券的风险如何影响投资者的收益。

久期的计算方法也可以帮助投资者更好地了解债券的市场价值，以及债券的市场价值如何影响投资者的收益。

久期的计算方法也可以帮助投资者更好地了解债券的价格波动，以及债券的价格波动如何影响投资者的收益。

久期的计算方法也可以帮助投资者更好地了解债券的收益率，以及债券的收益率如何影响投资者的收益。

久期的计算方法也可以帮助投资者更好地了解债券的风险收益比，以及债券的风险收益比如何影响投资者的收益。

久期的计算方法也可以帮助投资者更好地了解债券的投资组合，以及债券的投资组合如何影响投资者的收益。

久期的计算方法也可以帮助投资者更好地了解债券的投资策略，以及债券的投资策略如何影响投资者的收益。

总之，久期的计算方法可以帮助投资者更好地了解债券的价值、风险、市场价值、价格波动、收益率、风险收益比、投资组合和投资策略，以及这些因素如何影响投资者的收益。

因此，久期的计算方法对于投资者来说是非常重要的，可以帮助投资者更好地理解债券的价值和风险，从而更好地管理自己的投资。

久期(Duration)的概念久期的概念最早是马考勒(Macaulay)在1938年提出来的，所以又称马考勒久期（简记为D）。

马考勒久期是使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间。

它是债券在未来产生现金流的时间的加权平均,其权重是各期现金值在债券价格中所占的比重。

具体的计算将每次债券现金流的现值除以债券价格得到每一期现金支付的权重，并将每一次现金流的时间同对应的权重相乘,最终合计出整个债券的久期。

马考勒久期的计算公式(公式1)其中，D是马考勒久期，B是债券当前的市场价格，PV（Ct）是债券未来第t期现金流（利息或资本）的现值，T是债券的到期时间。

需要指出的是在债券发行时以及发行后，都可以计算马考勒久期。

计算发行时的马考勒久期，T（到期时间）等于债券的期限；计算发行后的马考勒久期，T（到期时间）小于债券的期限。

任一金融工具的久期公式一般可以表示为[1]：(公式2)其中：D为久期；t为该金融工具现金流量所发生的时间；C t为第t期的现金流；F为该金融工具的面值或到期日价值；n为到期期限；i是当前的市场利率。

实际上，公式(公式3)的分母正是该金融工具的市场价值，因此，久期公式又可表示为：(公式3)其中：P表示该金融工具的市场价值或价格。

[编辑]久期的计算过程举例[1]下面试举一例来说明久期的计算过程。

假设面额为1000元的3年期变通债券，每年支付一次息票，年息票率为10%，此时市场利率为12%，则该种债券的久期为：(年)如果其他条件不变，市场利率下跌至5%，此时该种债券的久期为：(年)同理，如果其他条件不变，市场利率上升至20%，此时久期为：(年)再者，如果其他条件不变，债券息票率为0，那么：(年)从上面的计算结果可以发现，久期随着市场利率的下降而上升，随着市场利率的上升而下降，这说明两者存在反比关系。

此外，在持有期间不支付利息的金融工具，其久期等于到期期限或偿还期限。

那些分期付息的金融工具，其久期总是短于偿还期限，是由于同等数量的现金流量，早兑付的比晚兑付的现值要高。

债券到期收益率久期凸性公式债券到期收益率（YTM）是指债券投资者持有一定期限的债券并将其持有至到期时所能获得的年化收益率。

久期（Duration）是衡量债券价格对利率变动的敏感程度的度量。

凸性（Convexity）是久期的补充度量，它衡量了债券价格的曲率，即在利率变动下债券价格与久期的相对变化。

本文将介绍债券到期收益率、久期和凸性之间的关系以及久期凸性公式的推导。

债券到期收益率是影响债券价格的重要因素之一，通常情况下，债券价格与到期收益率呈反向关系，即债券价格上升时到期收益率下降，反之亦然。

这是因为当到期收益率上升时，新发债券的利率更高，对于已发行的低息债券而言，其收益率相对较低，导致其价格下降，以提高其收益率与新债券相匹配。

久期是评估债券价格对利率变动敏感性的重要衡量指标。

久期越长，债券价格对利率变动的敏感性越高。

久期的计算公式如下：久期=Σ（PVt×t）/（P×ΔY）其中，PVt为债券每期现金流的现值，t为期数，P为债券的价格，ΔY为利率变动的大小。

然而，久期只能提供一阶段的价格变化信息，忽视了价格曲线的曲率问题。

凸性的引入填补了这一缺陷。

凸性是久期的补充度量，它衡量了债券价格的曲率，即在利率变动下债券价格与久期的相对变化。

凸性的计算公式如下：凸性=Σ（PVt×t×t）/（P×ΔY^2）债券价格的二阶泰勒展开式可以表示为：P(Y)≈P(0)+ΔY×P'(0)+0.5×ΔY^2×P''(0)其中，P(Y)是在到期收益率Y下的债券价格，P(0)是在当前到期收益率下的债券价格，P'(0)和P''(0)分别是在当前到期收益率下的债券价格对收益率的一阶导数和二阶导数。

通过以上公式，我们可以推导出久期和凸性之间的关系。

将债券价格的二阶泰勒展开式中的一阶导数代入久期的计算公式中，可以得到以下公式：久期≈-（1/P）×P'(0)≈-（1/P）×ΔP其中，ΔP是债券价格的变化。

债券持有期收益率，久期及在险价值计算和分析债券持有期收益率、久期及在险价值是债券市场常用的指标，用于衡量债券收益、风险和价格变动等方面。

下面将详细介绍这三个指标的概念、计算方法以及应用。

一、债券持有期收益率债券持有期收益率（yield to maturity，YTM）是指投资者在持有债券到期并全额兑付时所能获得的年化收益率。

它包括债券的票面利率、债券价格所反映的市场利率以及债券到期时的回报。

YTM是债券定价的重要因素，计算方法如下：YTM = [(C + (F - P) / n) / ((F + P) / 2)] ^ (1 / n) - 1其中，C为债券的年息票利率；F为债券的面值；P为债券的当前市场价格；n为债券的剩余期限（以年为单位）。

债券持有期收益率可以帮助投资者衡量债券投资的收益程度，并且可以和其他资产类别进行比较，以寻求合适的投资组合。

二、久期久期（duration）是债券价格与市场利率变动之间关系的一个指标，它是衡量债券价格变动对应的敏感度。

久期越长，债券价格对利率变动的敏感度越高，反之亦然。

久期的计算方法如下：其中，C为债券每年的现金流量；t为现金流量的到期时间与当前时间的差；y为债券当前市场利率；P为债券当前市场价格。

久期是指标，可以帮助投资者了解债券价格在利率变动时的波动情况，从而更好地管理投资组合。

三、在险价值在险价值（VaR）是用于衡量投资组合波动性的风险管理指标，在债券市场中也有广泛应用。

在险价值指的是对未来某一时期内，投资组合价值下跌到一定程度的概率，通常以95%或99%的置信度来衡量。

在险价值的计算方法需要借助久期和凸性。

在险价值的一般计算方法如下：VaR = - P × D × z × σ + P × C其中，P为投资组合的市值；D为投资组合的久期；z为标准正态分布的分位数（一般取1.64或2.33）；σ为利率的波动率；C为投资组合的现金持有量。