久期、凸度的定义及数学推导

久期、凸度的定义及数学推导目录1久期D (1)1.1久期定义 (1)1.2久期表达式 (2)1.3久期作用 (2)1.3.1 衡量加权平均期限 (2)1.3.2 测度利率敏感性 (3)2 凸度C (5)2.1凸度定义 (5)2.2表达式 (5)2.3数学原理 (5)1久期D1.1久期定义久期是债券价格相对于债券收益率的敏感性（一）麦考利久期Dm：最早的久期衡量指标，其本质是通过计算债券偿还现金流的加权平均年限，来衡量债券价格变化敏感度。

（二）修正久期D *：对麦考林久期进行了修正，加入考虑了到期收益率r 。

比如到期收益率是5%，那么修正久期就要在麦考林久期的基础上，除以1.05。

（三）美元久期D **：对修正久期进一步修正，加入了债券价格P ，比如债券价格95，那么美元久期就要在修正久期的基础上，乘以95。

1.2久期表达式 麦考利久期：t P r t ∑==+=n t 1t t )1/(CF Dm 公式（1） 修正久期： D * =Dm/(1+r) 公式（2）美元久期： D ** =D *P 公式（3）【CFt ：债券每期现金流】；【r ：到期收益率或市场利率】；【t ：债券期数】。

1.3久期作用1.3.1 衡量加权平均期限麦考利久期Dm 是对债券实际平均期限的一个简单概括统计，使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间,其权重是各期现值在债券价格中所占的比重；1.3.1.1 数学原理从公式（1）t P r t ∑==+=nt 1t t )1/(CF Dm 出发： Dm 是时间t 的加权平均值，第t 期的权重为P r t t )1/(CF +； 比如t=2时第二期的权重为P r 22)1/(CF +；求证：权重加总求和∑==+n t 1t t )1/(CF P r t =∑==+n t 1t t )1/(CF p 1t r （带入债券定价公式： P )1/(CF n t 1t t =+∑==t r ） =P p1 =11.3.2 测度利率敏感性当利率发生变化时，迅速对债券价格变化或债券资产组合价值变化作出大致的估计。

四、利率的久期与凸性（一）久期久期有许多不同的形式和解释。

几种尤为重要的种类是麦考莱久期(Macaulay duration)、修正久期(Modified duration)、封闭式久期(Closed-form duration)和有效久期(Effective duration)。

1．麦考莱久期“久期”又叫“持续期”,要归功于F．R·麦考莱，他在1938年提出要通过衡量债券的平均到期期限来研究债券的时间结构。

当被运用于不可赎回债券时，麦考莱久期就是以年数表示的可用于弥补证券初始成本的货币加权平均时间价值。

久期对于财务经理的主要价值在于它是衡量利率风险的直接方法，久期越长，利率风险越大。

麦考莱久期有如下假设：收益率曲线是平坦的；用于所有未来现金流的贴现率是固定的。

其中：D——久期Ct——t时的现金流R——到期收益率(每期)P——债券的现价N——到期前的时期数；t——收到现金流的时期。

上述公式给出了理解麦考莱久期的方法。

它表明时间的权重是每期收到的现金流的现值。

每一贴现的现金流都代表了债券现金流现值的一部分。

如果加总债券所有的贴现现金流，就得到了债券的价格。

麦考莱久期也可以表达为连续复利形式：2．修正久期债券价格等于与债券相关的现金流的现值：我们可以将上述公式对利率R求导，得到公式：上述公式表示了当债券收益率发生很小变动时以美元表示的债券价值发生的变动。

将公式两边同时除以债券价格便得到了每一单位利率百分比变动时债券价格的百分比变动：上述公式是修正久期的表达式。

括号中的项是麦考莱久期公式的分子。

因而修正久期等于麦考莱久期除以（1+到期收益率）：修正久期显示了与债券到期收益率的小变动相关的价格百分比变化。

注意，按上述公式计算的久期是负值，这是因为，债券价格与利率水平的运动方向相反是一致的。

实际上，久期的负号常常被忽略。

3．封闭式久期这一方法的优点在于计算简便，这也是为什么大多数计算久期的软件程序都使用封闭形式的公式。

久期和凸性分析范文久期和凸性分析是在金融市场中用于评估债券投资风险和收益的重要工具。

久期是衡量债券价格变动对利率变动的敏感度的指标，而凸性则是衡量债券价格对利率波动的非线性变化。

下面我们将详细介绍久期和凸性的概念、计算方法以及其在投资决策中的应用。

首先，久期是衡量债券投资风险的关键指标。

它是一个衡量债券价格变动对利率变动的敏感度的指标。

具体来说，久期表示的是债券的平均回本期限，也就是该债券的现金流入与出的时间加权平均。

久期越长，表示债券的回本期限越长，价格受利率变动的影响越大。

反之，久期越短，表示债券的回本期限越短，价格受利率变动的影响越小。

计算久期的方法有几种，其中一种是Macaulay久期。

Macaulay久期的计算公式为：Macaulay久期=（C1*T1+ C2*T2+...+Cn*Tn）/B，其中Ci为第i期的现金流量，Ti为第i期的现金流入与出的时间，B为债券的价格。

除了久期，凸性也是衡量债券投资风险的重要指标。

凸性描述了债券价格对利率波动的非线性响应。

凸性可以帮助投资者更好地了解债券价格的波动性以及在不同市场环境下债券的价格变化趋势。

凸性大的债券价格波动幅度相对较大，而凸性小的债券价格波动幅度相对较小。

计算凸性的方法有几种，其中一种是麦堪昆凸性。

麦堪昆凸性的计算公式为：麦堪昆凸性=（C1*T1^2+C2*T2^2+...+Cn*Tn^2）/（B*(1+r)^2），其中Ci为第i期的现金流量，Ti为第i期的现金流入与出的时间，B为债券的价格，r为债券的到期收益率。

久期和凸性分析在投资决策中有着重要的应用。

首先，久期和凸性可以帮助投资者衡量债券投资的风险。

通过计算久期和凸性，投资者可以了解债券价格对利率变动的响应程度，从而判断债券投资的风险水平。

其次，久期和凸性可以帮助投资者优化投资组合。

久期和凸性可以作为评估不同债券的工具，投资者可以在不同债券之间做出选择，以实现投资组合的风险和收益平衡。

久期与凸性最通俗的理解
久期是证券价值变动的百分比对到期收益率变动的敏感性，同时考虑到利率变化和到期收益变化是成正比的，故当利率变化是，久期大的债券对这个变化的敏感度会越高，表现便是亏得越大或者赚的更多。

凸性是对久期的补充在价值变动的百分比过大时，仅用久期进行利率敏感性分析误差会比较大，凸性就是用来减少误差的。

久期也称持续期，是以未来时间发生的现金流，按照目前的收益率折现成现值，再用每笔现值乘以其距离债券到期日的年限求和，然后以这个总和除以债券目前的价格得到的数值。

久期描述了价格-收益率曲线的斜率，凸性描述了价格/收益率曲线的弯曲程度。

凸性是债券价格对收益率的二阶导数。

例如：如果一只债券收益率下降了10BP，大概涨了多少钱？
10BP*久期
例如一只4.5久期的债券收益率下降10BP大概上涨了4.5*10=45 也就是0.45元。

如果债券市场上涨，什么样的券涨得更多？久期长，凸性大。

通俗点的说法：久期：与期限相关，可以反映价格对利率变动的敏感性，久期越长，对利率敏感性越高。

凸性：债券涨跌的弹性。

债券的久期、凸性久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标。

很多人把久期简单地视为债券的到期期限,其实是对久期的一种片面的理解,而对凸性的概念更是模糊。

在债券市场投资行为不断规范,利率风险逐渐显现的今天,如何用久期和凸性量化债券的利率风险成为业内日益关心的问题。

久期久期(也称持续期)是1938年由F.R.Macaulay提出的,用来衡量债券的到期时间。

它是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。

其公式为其中,P=债券现值,Ct=每年支付的利息,y=到期收益率,n=到期期数,M=到期支付的面值。

可见久期是一个时间概念,是到期收益率的减函数,到期收益率越高,久期越小,债券的利率风险越小。

久期较准确地表达了债券的到期时间,但无法说明当利率发生变动时,债券价格的变动程度,因此引入了修正久期的概念。

修正久期修正久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的指标。

由于债券的现值对P 求导并加以变形,得到:我们将的绝对值称作修正久期,它表示市场利率的变化引起的债券价格变动的幅度。

这样,不同现值的券种就可以用修正久期这个指标进行比较。

由公式1和公式2我们可以得到:在某一特定到期收益率下,P为常数,我们记作P0,即得到:由于P0是理论现值,为常数,因此,债券价格曲线P与P /P 0有相同的形状。

由公式7,在某一特定到期收益率下,P /P 0的斜率为修正久期,而债券价格曲线P的斜率为P0×(修正久期)。

修正久期度量了收益率与债券价格的近似线性关系,即到期收益率变化时债券价格的稳定性。

修正久期越大,斜率的得绝对值越大,P对y的变动越敏感,y上升时引起的债券价格下降幅度越大,y下降时引起的债券价格上升幅度也越大。

可见,同等要素条件下,修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险能力强,但抗利率下降风险能力较弱。

但修正久期度量的是一种近似线性关系,这种近似线性关系使由修正久期计算得出的债券价格变动幅度存在误差。

如下图,对于债券B′,当收益率分别从y上升到y1或下降到y2,由修正久期计算出来的债券价格变动分别存在P1′P1"和P2′P2"的误差。

固定收益债券久期和凸度久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标。

很多人把久期简单地视为债券的到期期限,其实是对久期的一种片面的理解,而对凸性的概念更是模糊。

在债券市场投资行为不断规范,利率风险逐渐显现的今天,如何用久期和凸性量化债券的利率风险成为业内日益关心的问题。

久期久期(也称持续期)是1938年由F.R.Macaulay提出的,用来衡量债券的到期时间。

它是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。

久期收益率变化1％所引起的债券全价变化的百分比。

久期用来衡量债券价格对利率变化的敏感性。

债券的久期越大，利率的变化对该债券价格的影响也越大，因此风险也越大。

在降息时，久期大的债券上升幅度较大；在升息时，久期大的债券下跌的幅度也较大。

因此，投资者在预期未来降息时，可选择久期大的债券；在预期未来升息时，可选择久期小的债券。

修正久期修正久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的指标。

具体地说,有公式其中,dy表示收益率的变化,dP表示价格的变化,D*表示修正久期,C表示凸性。

修正久期的具体计算公式为修正久期度量了收益率与债券价格的近似线性关系,即到期收益率变化时债券价格的稳定性。

在同等要素条件下,修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险能力强,但抗利率下降风险能力较弱。

凸性利用久期衡量债券的利率风险具有一定的误差,债券价格随利率变化的波动性越大,这种误差越大。

凸性可以衡量这种误差。

凸性是对债券价格曲线弯曲程度的一种度量。

凸性越大,债券价格曲线弯曲程度越大,用修正久期度量债券的利率风险所产生的误差越大。

严格地定义,凸性是指在某一到期收益率下,到期收益率发生变动而引起的价格变动幅度的变动程度。

凸性的具体计算公式为当两个债券的久期相同时，它们的风险不一定相同，因为它们的凸性可能是不同的。

如图所示，两个债券的收益率与价格的关系为红线与绿线，内侧的曲线（绿线）为凸性大的曲线，外侧的曲线为凸性小的曲线(红线)。

在收益率增加相同单位时，凸性大的债券价格减少幅度较小；在收益率减少相同单位时，凸性大的债券价格增加幅度较大。

债券到期收益率久期凸性公式债券到期收益率（YTM）是指债券投资者持有一定期限的债券并将其持有至到期时所能获得的年化收益率。

久期（Duration）是衡量债券价格对利率变动的敏感程度的度量。

凸性（Convexity）是久期的补充度量，它衡量了债券价格的曲率，即在利率变动下债券价格与久期的相对变化。

本文将介绍债券到期收益率、久期和凸性之间的关系以及久期凸性公式的推导。

债券到期收益率是影响债券价格的重要因素之一，通常情况下，债券价格与到期收益率呈反向关系，即债券价格上升时到期收益率下降，反之亦然。

这是因为当到期收益率上升时，新发债券的利率更高，对于已发行的低息债券而言，其收益率相对较低，导致其价格下降，以提高其收益率与新债券相匹配。

久期是评估债券价格对利率变动敏感性的重要衡量指标。

久期越长，债券价格对利率变动的敏感性越高。

久期的计算公式如下：久期=Σ（PVt×t）/（P×ΔY）其中，PVt为债券每期现金流的现值，t为期数，P为债券的价格，ΔY为利率变动的大小。

然而，久期只能提供一阶段的价格变化信息，忽视了价格曲线的曲率问题。

凸性的引入填补了这一缺陷。

凸性是久期的补充度量，它衡量了债券价格的曲率，即在利率变动下债券价格与久期的相对变化。

凸性的计算公式如下：凸性=Σ（PVt×t×t）/（P×ΔY^2）债券价格的二阶泰勒展开式可以表示为：P(Y)≈P(0)+ΔY×P'(0)+0.5×ΔY^2×P''(0)其中，P(Y)是在到期收益率Y下的债券价格，P(0)是在当前到期收益率下的债券价格，P'(0)和P''(0)分别是在当前到期收益率下的债券价格对收益率的一阶导数和二阶导数。

通过以上公式，我们可以推导出久期和凸性之间的关系。

将债券价格的二阶泰勒展开式中的一阶导数代入久期的计算公式中，可以得到以下公式：久期≈-（1/P）×P'(0)≈-（1/P）×ΔP其中，ΔP是债券价格的变化。

久期和凸性分析范文久期是衡量债券价格对利率变动的敏感性的指标。

它表示债券的平均回收期，即投资者从持有债券获得的现金流量的平均到期时间。

久期越长，债券价格对利率变动的敏感性越高。

久期的计算方法有两种：修正久期和加权久期。

修正久期是用来衡量债券特定到期收益率的变动对债券价格的影响。

加权久期是用来衡量整个收益率曲线上的利率变动对债券价格的影响。

久期计算公式如下：修正久期=Σ(CFt*t)/P加权久期=Σ(CFt*t*DFt)/P其中，CFt表示在第t期获得的现金流量，t表示现金流量获得的时间，DFt表示第t期的贴现因子，P表示债券价格。

凸性是衡量债券价格对利率变动的曲率的指标。

它表示债券价格变动与利率变动之间的关系。

凸性为正表示当利率上升时，债券价格下降的幅度大于利率下降时债券价格上升的幅度。

凸性为负则相反。

凸性的计算方法如下：C=(P--2P+P+)/(P*Δy^2)其中，P-表示利率下降时的债券价格，P+表示利率上升时的债券价格，Δy表示利率变动的大小。

久期和凸性的分析有助于投资者理解债券投资的风险和回报特征。

首先，久期可以帮助投资者评估债券价格对利率变动的敏感性。

当投资者预计利率上升时，可以选择久期较短的债券，降低利率上升对债券价格的影响。

其次，凸性可以帮助投资者评估利率变动对债券价格变动的曲线形状。

当投资者预计利率波动较大时，可以选择凸性较高的债券，以获得更高的回报。

此外，久期和凸性分析对债券组合管理也具有重要意义。

投资者可以通过调整久期和凸性来优化债券组合的风险和回报特征。

例如，投资者可以通过组合久期较短和久期较长的债券，实现对利率变动的敏感性的平衡。

同时，投资者还可以通过组合凸性为正和凸性为负的债券，实现对利率变动的曲线形状的平衡。

综上所述，久期和凸性分析是债券投资领域重要的工具。

久期帮助投资者理解债券价格对利率变动的敏感性，凸性帮助投资者理解债券价格对利率变动的曲线形状。

通过久期和凸性分析，投资者可以评估债券的风险和回报特征，并优化债券组合的风险和回报特征。