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2013届高考理科数学第一轮总复习课件不等式的解法

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高考数学第1轮总复习 第38讲 不等式的解法课件 理 (广东专版)

高考数学第1轮总复习 第38讲 不等式的解法课件 理 (广东专版)

素材2
若不等式 x2－2ax＋a>0 对 x∈R 恒成立，则关于 t 的不等式
a2t＋1<at2＋2t－3<1 的解集为( )
A．1<t<2
B．－2<t<1
C．－2<t<2 D．－3<t<2
【解析】若不等式 x2－2ax＋a>0 对 x∈R 恒成立，
则 Δ＝4a2－4a<0，所以 0<a<1. 又 a2t＋1<at2＋2t－3<1，则 2t＋1>t2＋2t－3>0，
A．(－1,3)
B．(－3,1)
C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
x>1＋a2 【解析】原不等式组可化为x<4＋2a ，① 要使①有解，则 1＋a2<4＋2a，即 a2－2a－3<0， 所以－1<a<3，故选 A.
2ex－1
x<2
5.设 f(x)＝log3x2－1 x≥2 ，则不等式 f(x)>2 的
2．指数不等式的解法：转化为代数不等式
a f x ag(x) a 1 ① _f_(_x_)___g_(_x_)； a f x ag(x) 0 a 1 ② f__(_x_)___g_(_x_)； a f x b(a 0，b 0) f x lga lgb.
3．对数不等式的解法：转化为代数不等式
M∩N＝{x|0<x<1}＝M，M∪N＝{x|－2<x<2}＝N， 故选 B.
二 指数、对数不等式的解法
【例 2】(1)不等式(31)x2－8>3－2x 的解集是________；
(2)函数 f(x)＝l2gx|－x| 1

2013届高考理科数学第一轮总复习课件57

2013届高考理科数学第一轮总复习课件57
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• • • • •
3.若关于x的方程4x+a· 2x+a+1=0有实数 解，则实数a的取值范围是________.2] (, 2 - 2 解：令t=2x(t＞0)， 则原方程化为t2+at+a+1=0， 1 t2 2 变形得 a -[(t 1) - 2]
1 t t 1 -(2 2 - 2) 2 - 2 2.
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• • • • • • •
x - 2a ②当a＜0时，原不等式化为 0, x 其解集为{x|x＞0}. (3)若f(x)+2x≥0在(0，+∞)上恒成立， 即 - 1 2 2 x 0, 所以 1 2 2 x. a x 2x 因为 a+2x≥4， x 所以 ≤4，解得a＜0或a≥ . 1 1 4 a 1 故a的取值范围是(-∞，0)∪［ ，+∞).
y 225 x x - 360( x 0).
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• (2)因为x>0,所以 • 所以 • 当且仅当
3602 y 225 x -360 10440. x 2
3602 225x 2 225 3602 10800. x
• 即当x=24 m时，修建此矩形场地围墙的总费 用最小，最小总费用是10440元. • 点评：求解不等式的应用题，一般先建立相应 的函数关系，然后转化为利用不等式去求函数 的最值，或比较几个式子的值.注意合理选取 变元，构造数学模型，建立函数关系式.
2
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• 点评：不等式、方程、函数等知识的结合是 代数知识综合的一个主要方面，利用不等式 研究函数、数列等有关问题，体现了不等式 的工具性.如本题就是充分利用均值不等式的 性质，得出函数式的最值.

2013届高三数学一轮复习 第六章不等式简单不等式的解法课件 文

2013届高三数学一轮复习 第六章不等式简单不等式的解法课件 文

把系数变为正)
②解对应的一元二次方程.(先看能否因式分解,若不能,再看Δ,然后 求根) ③求解一元二次不等式.(根据一元二次方程的根及不等式的方向,当 a>0且Δ>0时,定一元二次不等式的解集的口诀:“小于号取中间,大 于号取两边”.)
(2)一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系
a>0, Δ=b2-4ac
二次函数 y=ax2+bx+c
的图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根 有两个实根 x=x1或x=x2 有两个相等的 实根 x=x1=x2=- 2a
b
无实根
一元二次 不等式的解集
不等式 ax2+bx+c>0 的解集 不等式
{x|x<x1或x>x2}
{x|x≠x1}
R
{x|x1<x<x2}
2013届高三数学一轮复习课件第六章不等式简 单不等式的解法
1 一元二次不 等式的解法 会从实际背景中抽象出一元二次不等式的模型.通过函数图象 了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 会解一元二次不等式等.会解决由一元二次不等式的解求参数 的值或范围的问题． 2 含参一元二 次不等式 会解决含参一元二次不等式的问题.
空集
空集
ax2+bx+c<0
的解集
3.简单的分式不等式的解法
①对于解 <a或 ≥a型不等式,应先移项、通分,将不等式整理
f (x) f (x) g (x) g (x) f (x f (x) 成 ) >0(<0)或 ≥0(≤0)的形式. g (x) g (x)
②转化为整式不等式求解,但要注意分母不为零.

2013届高三数学(理)一轮复习方案课件第2讲简单不等式的解法

2013届高三数学(理)一轮复习方案课件第2讲简单不等式的解法

第2讲 │ 要点探究
ax－1 [2009•湖北卷] 已知关于 x 的不等式 ＜0 的 x＋1 1 解集是(－∞，－1)∪－2，＋∞，则 a＝________.
－2 [解析] 由不等式判断可得 a≠0 且不等式等价于 a(x＋ 1 1 1 1) x－a <0，由解集特点可得 a<0 且a＝－ ⇒a＝－2. 2
若对一切实数 x，不等式|x－3|＋|x＋2|>a 恒成 立，求实数 a 的取值范围．
－2x＋1x<－2， [解答] 方法一： 令 y＝|x－3|＋|x＋2|＝5－2≤x≤3， 2x－1x>3， ∴ymin＝5，故 a<5. ＋x＋2看成数轴上一动点 x 到－2,3 的距离 x － 3 方法二： 把 和，显然－2≤x≤3 时，ymin＝5，故 a<5.
< Δ________0
一元二次方程 有两相等实根 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 有两相异实根 b 0 x1，x2(x1<x2) x1＝x2＝ (a>0)的根 2a
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集

无实根
<x1或x>x2 xx ________

b xx≠－ 2a ________
第2讲 │ 要点探究
[点评] 对于含有参数的不等式，首先要弄清引起讨论 的原因，然后按统一标准进行分类，分类时要保证参数 “取足”给定范围且避免重复，在解本题时容易忽略 a ＝ 0 的情况，这里一定要引起注意．
第2讲 │ 要点探究
► 探究点2 一元二次不等式及分式不等式的解法
例3
解关于 x 的不等式 ax2－2ax＋a＋3≤0(a≠0)．

2013版高考数学人教A版一轮复习课件第6单元-不等式(理科)

2013版高考数学人教A版一轮复习课件第6单元-不等式(理科)

第六单元 │ 使用建议
(2)从高考的客观情况看，二元一次不等式(组)所表示 的平面区域和简单的线性规划问题，是高考必考的两个知 识点，我们把探究点不是设置为简单的线性规划问题，而 是设置为目标函数的最值(这样可以涵盖线性规划和非线性 规划)，含有参数的平面区域以及生活中的优化问题，这样 在该讲就覆盖了高考考查的基本问题． (3)在各个讲次穿插了不等式的应用，但不涉及过度综 合的题目，其目的是使学生认识到不等式应用的广泛性， 不等式更多的、更综合的应用我们留在其余各讲中．
第六单元 │ 网络解读
x－a (3)简单的分式不等式 >0可以转化为一元二次不等式 x－b x－a (x－a)(x－b)>0，在解这类不等式时，如果是 >c(c≠0)，那 x－b 么应把一端化为零再进行转化．
第六单元 │ 网络解读
3．二元一次不等式(组)和简单的线性规划问题 (1)一个二元一次不等式表示一个半平面，几个二元一次不 等式组成的不等式组就表示这些半平面的交集，也就是一个平 面上的区域，要会根据特殊点的位置确定不等式表示的半平 面，正确求出不等式组表示的平面区域． (2)简单的线性规划问题有两类，一类是不含实际背景的线 性规划问题，一类是必须首先建立模型的含有实际背景的线性 规划问题，难点是后者，在解这类试题时要注意准确提炼线性 规划模型，不要忽视了必要的限制条件．
新课标·人教A版
第六单元
不等式
第六单元 │ 知识网络 知识网络
第六单元 │ 网络解读
网络解读
本单元包括不等关系与不等式、一元二次不等式、二元一 次不等式(组)表示的平面区域和简单的线性规划问题、基本不 等式． 1．不等关系和不等式，主要内容是不等式的概念、不等 式的性质、两个数式比较大小

高三第一轮复习不等式的解法课件共16页文档

高三第一轮复习不等式的解法课件共16页文档
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
不等式的解法
要点梳理
1、不等式的分类:
一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式、 指数不等式和对数不等式的解法。
2、不等式涉及的主要题型：
①将一元二次不等式转化成方程 ②一元二次函数恒成立问题中若二次项系数不确定则 要对二次项系数进行讨论a>0,a=0,a<0 ③利用分类讨论思想解题 ④利用数形结合思想解题 ⑤指数对数不等式要考虑对数的真数>0,指数对数的互化. ⑥高次分式不等式的解法
高三第一轮复习不等式的解法课件
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
解析 若a=0时符合题意，1<0此时解集为空集，成立。
若a>0时，相应二次方程中的Δ=a2-4a≤0,解得0<a≤4,
综上得
{a|0≤a≤4}.
注意：二次项系数不确定时要对二次项系数进行讨论
ao ,a0 ,a0
拓展：解不等式 ax10 x1
解 (1)原不等式等价于(ax-1)(x+1)>0. ①当a=0时,由-(x+1)>0,得x<-1;
思考：根据题意能不能确定二次项系数a的正负？
拓展：已知不等式 a x2 b x c0 的 解 为 0 x,
求 不 等 式 cx2 b x a0 的 解 集 ?
解 : ax 2 bx c 0的 解 为 0 x

2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第4课时 基本不等式

2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第4课时 基本不等式

高考调研
高三数学（新课标版· 理）
1．基本不等式 a＋b 若a，b∈R ，则 ≥ ab ，当且仅当 a＝b 时取 2
＋
“＝”． 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 不小于 它 们的几何平均数．
第七章
第4课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
2．常用不等式 (1)若a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时取 “＝”． a2＋b2 a＋b2 (2) 2 ≥ 2 ≥ab. (3)a2＋b2≥2|ab|.
1 (3)当x≥2时，y＝4x－2＋ 为增函数， 4x－5 1 19 ∴ymin＝4×2－2＋ ＝ . 4×2－5 3
第七章
第4课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
探究1 用均值不等式求最值要注意三个条件一正、 二定、三相等．“一正”不满足时，需提负号或加以讨 论，如例1第一问，“二定”不满足时，需变形如例1第 二问，“三相等”不满足时，可利用函数单调性如例1第 三问．
第七章
第4课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
思考题2 (1)(2011· 湖南理)设x，y∈R，且xy≠0，则 1 1 (x ＋ 2)( 2＋4y2)的最小值为________． y x
2
第七章
第4课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
1 1 1 2 2 2 【解析】 (x ＋ 2 )( 2 ＋4y )＝1＋4＋4x y ＋ 2 2 ≥1 y x xy
2 3 【答案】 3
第七章
第4课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
题型三
用基本不等式证明不等式
例3 已知a，b，c∈R，求证： (1) a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)； (2)a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．

理科数学高考大一轮总复习课件：第7章 第2讲 不等式的解法

理科数学高考大一轮总复习课件：第7章 第2讲 不等式的解法

高中新课标总复习 (2)原不等式可化为
理数
x＋1－2x≥0⇒x2＋xx－2≥0
⇒x＋2xx－1≥0
⇒xx≠x＋0 2x－1≥0 ，
如右图所示，
所以原不等式的解集为{x|－2≤x＜0，或 x≥1}．
17 第十七页，编辑于星期日：十八点 四十八分。
高中新课标总复习
理数
【温馨提示】解含参数的一元二次不等式，要把握好 分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二 次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即 Δ 的 符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．
32 第三十二页，编辑于星期日：十八点 四十八分。
高中新课标总复习
理数
【解答过程】(1)因为 x∈R 时，
有 x2＋ax＋3－a≥0 恒成立，
须 Δ＝a2－4(3－a)≤0，即 a2＋4a－12≤0，
所以－6≤a≤2.
(2)当 x∈[－2,2]时，设 g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，
分如下三种情况讨论(如图所示)：
12 第十二页，编辑于星期日：十八点 四十八分。
高中新课标总复习
理数
13 第十三页，编辑于星期日：十八点 四十八分。
高中新课标总复习
一 一元二次不等式(组)的解法 【例 1】解下列不等式： (1)19x－3x2≥6； (2)x＋1≥2x.
理数
14 第十四页，编辑于星期日：十八点 四十八分。
高中新课标总复习
高中新课标总复习
理数
【思路点拨】(1)对一切实数 x 恒成立，转化为二次函 数恒为非负，利用根的判别式小于等于 0 即可；
(2)对于[－2,2]区间内的任意 x 恒成立，同样考虑二次 函数，不过须分三种情况讨论：一种是对称轴在区间上； 另外两种情况是区间在对称轴的左或右，最后结合图象即 可解决问题．

2013高三理科数学第一轮复习 不等式的证明讲义(有答案)

2013高三理科数学第一轮复习 不等式的证明讲义(有答案)

2013高三理科数学第一轮复习 不等式的证明讲义 (有答案)班级__________姓名______________不等式证明的重要方法:1.比较法(差值比较和商值比较)2.放缩法3.利用均值不等式及柯西不等式等4.利用函数的单调性5.数学中的常用方法:数形结合法,换元法,分类讨论,数学归纳法. 例1.设a ≥b ＞0,求证：3332a b +≥2232a b ab +. 例2.已知,0,0>>b a 求证：a b b a b a b a ≥.例3. (1)设x 是正实数，求证：(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3；(2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3是否仍然成立？如果成立，请给出证明； 例4.已知,,,+∈R c b a 求证：c b a accbba++≥++222例5.已知,,,+∈R c b a 证明：ba ac cb cba+++++≥++111212121例6.已知非零向量b a ,，且b a ⊥，求证：2≤++ba ba例7.（1）已知422=+yx ，求证：2222≤+≤-y x（2）已知1≤x 2＋y 2≤2，求证：12≤x 2－xy ＋y 2≤3.例8.设S 1223(1),n n n =⋅+⋅+++ 求证：不等式2(1)(1)22n n n n S ++<<例9.设,0>a 求证：221122-≤+-+aa aa例10.若c b a ,,都是小于1的正数，求证：()()()a c c b b a ---1,1,1不可能同时大于41．例11.已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1 求证 (a +a1)(b +b1)≥425。

例12.已知a ＞1，n ≥2，n ∈N *.求证：n a －1＜na 1-.例13.求使y x +≤a y x +(x ＞0，y ＞0)恒成立的a 的最小值。

例14.三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路。

2013届高考数学理一轮复习课件6.42简单不等式的解法

2013届高考数学理一轮复习课件6.42简单不等式的解法

【解析】(1)由于 ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|1<x<3}， 因此 a<0 且 ax2＋bx＋c＝0 的两根为 1,3，
则－ba＝4，ac＝3. 又 a<0，不等式 cx2＋bx＋a<0 可化为acx2＋bax＋1>0， 即 3x2－4x＋1>0，解得 x<13或 x>1. 故不等式 cx2＋bx＋a<0 的解集为{x|x<13或 x>1}．
B．{x|x>3}
C．{x|－1<x<2}
D．{x|2<x<3}
【解析】M＝(－2,2)，N＝(－1,3)， ∴M∩N＝(－1,2)．
2．已知 a1>a2>a3>0，则使得(1－aix)2<1(i＝1,2,3)都 成立的 x 的取值范围是( B ) A．(0，a11) B．(0，a21) C．(0，a13) D．(0，a23)
【点评】解一元二次不等式(或可化为一元二次不 等式)时，要注意联系相应的一元二次方程与一元 二次函数，明确一元二次不等式的解的区间端点值 就是对应一元二次方程的两根．
例 2 已知不等式(m2＋4m－5)x2－4(m－1)x＋3>0 对 一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围．
【解析】①若 m2＋4m－5＝0，则 m＝1 或 m＝－5， 显然 m＝1 符合条件，但 m＝－5 不符合条件． ②若 m2＋4m－5≠0，则原命题等价于
(2)已知 0＜a＜2，f(x)在[1,4]上取到最小值－136， 而 f′(x)＝－x2＋x＋2a 的图象开口向下，
且对称轴 x＝12，又 f′(1)＝－1＋1＋2a＝2a＞0， f′(4)＝－16＋4＋2a＝2a－12＜0， 则必有一点 x0∈[1,4]，使得 f′(x0)＝0， 此时函数 f(x)在[1，x0]上单调递增，在[x0,4]上单调 递减，f(1)＝－13＋12＋2a＝16＋2a＞0， f(4)＝－13×64＋12×16＋8a＝－430＋8a＜0.

高考数学第一轮考点复习课件 第五讲 不等式的性质及解法

高考数学第一轮考点复习课件 第五讲 不等式的性质及解法
a b 3
15
9
15（1）由题可得： 3a16
b
3 4
12 12
0 0
4a b
解得
a b
1 2
x2 f (x)
2 x
（2）由
f ( x) (k 1)x k 2 x
即
x2 (k 1)x k 0
2 x
(x 1)(x k)(x 2) 0
不等式解集为：
① k 2, x (1,2) (k,);
系是
am a bm b
（b a 0)
.
12.已知实数a,b, c1满2足：
b c 6 4a 3a2,c b 4 4a a2
比较 a, b, c 的大小.
b c 6 4a 3a2
解:由
c
b
4
4a
a
2
得:
b a2 1 c 5 4a 2a2
则 c b a2 4a 4 (a 2)2 0
解：该不等式可转化为 :
（x 1) x 2 0 ①或
（x 1) x 2 0
②
x 1 由①得
x 2 0
x
1
0
解得：
由②得 x 1 或 x 2
综上:不等式的解集为：x / x 1或x 2
8、解：原不等式8可化为：
log2 ( x
1 x
6）
log2
23
0
x
x 1 x
1 x
10、解： 10
f (x 2)
1,( x 2) 1,(x 2)
(1)x 2时，原不等式可化为：
xx25
2 x 3
2
(2)x 2 时，原不等式可化为：
x (x 2) 5

2013年高考数学总复习课件第3章1.2《不等式的性质》

2013年高考数学总复习课件第3章1.2《不等式的性质》
④a＞b＞0⇒－a＜－b⇒c－a＜c－b.
∵c＞a，∴c－a＞0. ∴0＜c－a＜c－b. 两边同乘以c－a1c－b， 得c－1 a＞c－1 b＞0. 又 a＞b＞0，∴c－a a＞c－b b. 故该命题为真命题．
综上可知，命题②、③、④都是真命题．故选 B.
【答案】 B 【名师点评】 解决这类问题，主要是根据不等 式的性质判定，其实质是看是否满足性质所需要 条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件 入手推出与结论相反的结论或举出一个反例予以 否定．
∵2<x－y<3， ∴5<52(x－y)<125， ∴3<2x－3y＝－12(x＋y)＋52(x－y)<8.
【答案】 (3,8)
【误区警示】 此题易错解为：“∵－1<x＋y<4 且 2<x－y<3， ∴12<x<72且－2<y<1，
∴－ 2<2x－3y<13.”所得结果的范围显然要比 (3,8)大．错误的原因在于多次使用同向不等式相 加这一性质，扩大了变量的取值范围．
自我挑战 1 对于实数 a，b，c，下列命题中为真 命题的是( ) A．若 a＞b，则 ac2＞bc2 B．若 a＞b＞0，则1a＞1b C．若 a＜b＜0，则ba＞ab
D．若 a＞b，1a＞1b，则 a＞0，b＜0
解析：选 D.法一：∵c2≥0，∴c＝0 时，有 ac2＝ bc2，故 A 为假命题；
法二：特殊值排除法． 取 c＝0，则 ac2＝bc2，故 A 错； 取 a＝2，b＝1，则1a＝12，1b＝1， 有1a<1b，故 B 错； 取 a＝－2，b＝－1，则ba＝12，ab＝2，
有ba<ab，故 C 错．
利用不等式的性质证明简单不等式
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• 1.整理成标准型 ≤0)； • 2.化成整式不等式来解： • (1) • (2)
f ( x) ＞0(或＜0)或 g ( x)
f ( x) ≥0 g ( x)
(或
• (3)
• (4)
3.再讨论各因子的符号_________________; ( x) f(x)g(x)＞0 g ( x) f ＜0 ⑥_________________; ( x) f(x)g(x)<0 g ( x) f ( x) g ( x) 0 f ≥0 ⑦_________________; ( x) g ( x) 0 g ( x) f ( x) g ( x) 0 f ≤0 ⑧_________________. ( x) g ( x) g ( x) 0
• • • • • • • •
3.已知 3 f(x+2)≤5的解集是________. x 2 解：当x+2≥0，即x≥-2时， x+(x+2)f(x+2)≤52x+2≤5 x≤ ， 3 2 所以-2≤x≤ ; 3 2 当x+2＜0,即x＜-2时，x+(x+2)f(x+2)≤5 x+(x+2)· (-1)≤5 -2≤5，所以x＜-2, 综上知x≤ . 3
m m
• • • • • •
综上分析得，当m＞1时， 1 解集为{x|x＜ 或x＞1}； m 1 当0＜m≤1时,解集为{x|x＜1或x＞ }； m 当m=0时，解集为{x|x＜1}； 1 当m＜0时，解集为{x| ＜x＜1}. m 点评:解一元二次不等式通常先将不等式化为 ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0(a＞0)的形式,然 后求出对应方程的根(若存在根),再写出不等式 的解集:大于0时两根之外,小于0时两根之间;或 者利用二次函数的图象来写出一元二次不等式 的解集.
3 }. 2
• 点评：解一元一次不等式的一般步骤是： 去分母、去括号、移项、合并、系数化 为1.去分母、去括号时不要漏乘；移项 时注意要变号；系数化为1时，如果系 数含参注意系数为负数或为零时的情况.
• • • • • • • •
解关于x的不等式：ax+a2≥bx+b2(a，b∈R). 解:原不等式化为(a-b)x≥b2-a2=(b+a)(b-a). b 2 -=-a-b， a2 当a＞b时，则x≥ a -b 不等式的解集是［-a-b，+∞)； 当a=b时，则0×x≥0，x∈R， 即不等式的解集为R. 当a＜b时，则x≤ b 2 - =-a-b， a2 不等式的解集是(-∞，-a-b］. a -b
第六章 不等式
第 讲
（第一课时）
考 点 搜 索
●一元一次不等式的解法 ●一元二次不等式的解法 ●简单的一元高次不等式的解法 ●分式不等式的解法 ●指数、对数不等式的解法
高 考 猜 想
整式、分式不等式的解法是高考考查 运算能力的重要途径，它们有时单独、 直接地出现在选择、填空题中，难度 中、低档；有时与函数、三角函数、 解析几何等知识综合，以解题工具的 面貌出现在一些大、小综合题中，需 熟练掌握其解法.
• 一元高次不等式f(x)＞0用根轴法(或称区间 法、穿根法)求解，其步骤是： • 1.将f(x)的最高次项的系数化为正数； • 2.将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次 不可分因式之积； • 3.将每一个一次因式的根标在数轴上，从 右上方依次通过每一点画曲线； • 4.根据曲线显现出的f(x)的值的符号变化规 律，写出不等式的解集. • 四、一般分式不等式的解法
M∩N＝{x|0<x<1}＝M，M∪N＝{x|－2<x<2}＝N， 故选 B.
• • • • • • •
题型3 高次不等式的解法 3. 解下列不等式： (1)2x3-x2-15x＞0; (2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0. 解：(1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)＞0. 把方程x(2x+5)(x-3)=0 的三个根x1=0，x2=- 5 ， x3=3顺次标在数轴上. 2
• • • • •
2.不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|2＜x＜3}， 则不等式ax2-bx+c＞0的解集为( D ) A. {x|x＜-2} B. {x|x＞3} C. {x|x＜-2或x＞3} D. {x|-3＜x＜-2} 解:令f(x)=ax2+bx+c,其图象如下图所示，
• 再画出f(-x)的图象即可,故解集为{x|-3＜x＜-2}.
• 1．(教材第二册(上)习题6.4的第3题改编) • • • • • 不等式 >0的解集为( A. {x|x＜-2或x>3} B. {x|x<-2，或1＜x＜3} C. {x|-2<x<1，或x＞3} D. {x|-2<x<1，或1<x<3} )
• 解：由不等式 可得 >0，此不等式的解集 • 为{x|-2<x<1，或x>3}，故应选C.
• 所以原不等式的解集为 • {x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2}.
• 点评：解高次不等式的思路是降次，降 次一般有两种方法，一是因式分解，二 是换元法.用因式分解法解高次不等式时， 先把高次不等式化为几个一次或二次不 等式的积，然后可求得其对应方程的根， 再通过“数轴标根法”写出解集.
•
已知函数f(x)= 方程f(x)-x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4. • (1)求函数f(x)的解析式； • (2)设k＞1,解关于x的不等式f(x)＜ (k 1) x - k . x2 2 - x • 解: (1)将x1=3,x2=4分别代入方程 - x 12 0，
• 3. 解含参数的不等式时，一要考虑参 数总的取值范围，二要用同一标准对 参数进行划分，三要使得划分后，不 等式的解集的表达式是确定的.
x2 (a、b为常数),且 ax b
• 得
• 所以f(x)=
9 3a b -9解得 , 16 -8 4a b
ax b
a -1 . b 2
x2 ( x 2). 2- x
• • • • • • •
x (k 1) x - k (2)由(1)知不等式即为 , 2 2- x 2- x x - (k 1) x k 可化为 0， 2- x 即(x-2)(x-1)(x-k)>0. ①当1＜k＜2时，解集为(1，k)∪(2，+∞); ②当k=2时，不等式为(x-2)2(x-1)＞0， 解集为(1，2)∪(2，+∞); ③当k＞2时，解集为(1，2)∪(k，+∞).
• • • • • • •
故不等式的解集是{x|x＜ (2)不等式化为(a+3)x＞3a-2. 当a+3＞0，即a＞-3时， 2 不等式的解集是{x|x＞ 3a -}; a3 当a+3＜0，即a＜-3时， -2 不等式的解集是{x|x＜ 3a }; a3 当a+3=0，即a=-3时，不等式的解集是R.
设集合 M＝{x|x2－x<0}，N＝{x||x|<2}， 则( ) A．M∩N＝∅ B．M∩N＝M C．M∪N＝M D．M∪N＝R
解：因为 x2－x<0⇔x(x－1)<0⇔0<x<1. 所以 M＝{x|0<x<1}， 而|x|<2⇔－2<x<2，所以 N＝{x|－2<x<2}． 在数轴上分别表示 M、N(如图)，知：
• • • • • • •
一、一元一次不等式的解法 基本形式：ax＞b. b 当a＞0时，x＞ ;当a＜0时，x＜ b ; a a 当a=0时，若b≥0，则①______; x∈ 若b＜0，则②______. x∈R 二、一元二次不等式的解法 1.设不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)对应的方程 ax2+bx+c=0有两个不等实根x1和x2，且x1＜x2， 则此不等式的解集为③________________. (-∞,x1)∪(x2,+∞)
• 2.设不等式ax2+bx+c＜0(a＞0)对应的方程 ax2+bx+c=0有两个不等实根x1和x2，且x1＜ (x1，x2) x2，则此不等式的解集为④_________. • 注：(i)若不等式ax2+bx+c＞0(或＜0)中，a ＜0，可在不等式两边乘-1转化成二次项系 数为正的情况，然后再按上述1，2进行求解. • (ii)若方程ax2+bx+c=0中，Δ≤0时，可根据 函数y=ax2+bx+c的图象直接写出解集. • 三、简单的一元高次不等式的解法
• • • • • • • •
题型2 一元二次不等式的解法 2. 设m为实常数，解不等式mx2+1＞(m+1)x. 解：不等式化为mx2-(m+1)x+1＞0， 即(mx-1)(x-1)＞0. ①当m=0时，有-x+1＞0，即x＜1; 1 ②当m＞0时，有(x- )(x-1)＞0. m 1 1 若 ≥1，即0＜m≤1，则x＞ 或x＜1; m 若0＜m ＜1，即m＞1，则x＞1或x＜ 1 . 1 m ③当m＜0时,有(x- )(x-1)＜0,所以 1 m ＜x＜1. 1
• 然后从右上方开始画曲线顺次经过三个根，其解 集如图的阴影部分. 5 • 所以原不等式的解集为{x|- ＜x＜0或x＞3}. 2 • (2)原不等式等价于
2
x -5 x 5 0 ( x 4)( x 5) ( x - 2) 0 . ( x 4)( x - 2) 0 x -4或x 2 • 其解集如图的阴影部分.
2