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第二章投影的基本知识和点、线、面的投影基本要求：建立投影的概念，掌握正投影的基本性质；掌握点线面的投影特性；根据投影能判断出点、线、面的关系。
主要内容：1、投影的基本知识；2、点的投影；3、直线的投影；4、平面的投影。
2.1 投影的基本知识一、内容：1、投影的基本概念；2、投影的类型；3、工程中常用的投影图。
二、要求及重点：要求掌握投影的基本概念；了解投影的类型、用途。
三、教学方式：通过实物及日常生活中的现象，使学生掌握投影的基本概念；了解投影的类型、用途。
2.1 投影的基本知识一、投影的概念1、在日常生活中，经常看到空间一个物体在光线照射下在某一平面产生影子的现象，抽象后的“影子”称为投影。
2、产生投影的光源称为投影中心S，接受投影的面称为投影面，连接投影中心和形体上的点的直线称为投影线。
形成投影线的方法称为投影法（图2-1）。
(a) (b)图2-1 中心投影法图2-2 平行投影法二、投影的类型投影法分为中心投影法和平行投影法两大类。
1、中心投影法光线由光源点发出，投射线成束线状。
投影的影子（图形）随光源的方向和距形体的距离而变化。
光源距形体越近，形体投影越大，它不反映形体的真实大小。
2、平行投影法光源在无限远处，投射线相互平行，投影大小与形体到光源的距离无关，如图2-2所示。
平行投影法又可根据投射线（方向）与投影面的方向（角度）分为斜投影（a）和正投影（b）两种。
(1)斜投影法：投射线相互平行，但与投影面倾斜，如图2-2(a)所示。
(2)正投影法：投射线相互平行且与投影面垂直，如图2-2(b)所示。
用正投影法得到的投影叫正投影。
三、工程上常用的投影图1、透视图用中心投影法将空间形体投射到单一投影面上得到的图形称为透视图，如图2-3。
透视图与人的视觉习惯相符，能体现近大远小的效果，所以形象逼真，具有丰富的立体感，但作图比较麻烦，且度量性差，常用于绘制建筑效果图。
图2-3 透视图图2-4 轴测图2、轴测图将空间形体正放用斜投影法画出的图或将空间形体斜放用正投影法画出的图称为轴测图。
第二章点、直线和平面的投影§2—1 点的投影§2-2 直线的投影§2-3 平面的投影返回§2—1 点的投影一、点在三投影面体系中的投影二、点的投影和坐标三、两点的相对位置返回HVXO Z YWa'aa"Aa xa za y点的正面投影：a ’、b b ’’、c c ’’……点的水平投影：a 、b 、c c …………点的侧面投影：a "、b b "" 、c c "" ……一、点在三投影面体系中的投影1. 点的三面投影HVXO ZWa'aa"Aa xa z a yHa'a a"VWX OZY WY H2.2.点的三面投影的展开Ha'aa"VW XOZY WY Ha xaya za yHVXOZWa'a a"Aa xa z a y1. 点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX 轴（aa aa’’⊥OX)2. 点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ 轴（aa aa””⊥OZ)3. 点的水平投影到OX 轴的距离等于侧面投影到OZ 轴的距离（aax=a aax=a””az)3. 点在三投影面体系中的投影ZY HXY WOa'a"a已知点A 的正面投影a ’和水平投影a ，求其侧面投影a ”。
1. a 1. a’’a ⊥OX ;2. a OX ; 2. a’’a ” ⊥OZ ;3. OZ ; 3. aax=a aax=a aax=a””az 例：Ha'aa"VW XOZ Y WY Ha xaya za y(x A ,z A )(x A ,y A )(y A ,z A )HV XO ZYWa'a a"a ya xa zxyzA1.点的坐标X A (Oax) = Aa (Oax) = Aa”” ————点到W 投影面的距离；Y A (Oay (Oay) = Aa ) = Aa ) = Aa’’ ——————点到V 投影面的距离；Z A (Oaz (Oaz) = Aa ) = Aa ) = Aa ——————点到H 投影面的距离。
第二章正投影作图基础第一节三视图的形成及其投影规律一、投影法的种类1．中心投影法投影线从一点发出，如上图。
该投影法的特点是，物体距离投影面的距离不同时，得到的投影的大小不同。
因此，中心投影法不能够真实地反映物体的形状和大小，所以机械制图不采用这种投影法绘制。
但中心投影法具有立体感强的特点，常用于绘制建筑物的2平行投影法中又可分为两种，一种是正投影，投影线方向垂直于投影面。
另一种是斜投影，投影线方向倾斜于投影面。
在机械制图中应用的是正投影法，它是我们学习的重点。
三视图是多面视图,是将物体向三个相互垂直的投影面作正投影所得到的一组图形。
下面将说明三视图的形成及其投影规律。
二、三面视图的形成1.三面投影体系的建立三面投影体系是由三个互相垂直的平面V、H、W构成,如图2-14所示。
其中,V面称为正立投影面;H 面称为水平投影面;W面称为侧立投影面;OX=V∩H,OY=H∩W,OZ=V∩W，称为投影轴;O=V∩H∩W，称为三面投影体系的原点。
通常将三面投影体系简称为三面体系。
2.(1)投影的形成：将物体置于三面体系中,再用正投影法将物体分别向V、H、W投影面进行投射, 即得到物体的三个投影,如图2-15所示。
将物体在V面的投影称为正面投影;在H面的投影称为水平投影;在W面的投影称为侧面投影。
投影中物体的可见轮廓用粗实线表示,不可见轮廓用虚线表示。
(2) 投影面的展开：将物体从三面体系中移开,令正立投影面V保持不动,水平投影面H绕OX轴向下旋转90°,侧立投影面W绕OZ轴向右旋转90°如图2-16(a)所示,使V、H、W三个投影面展开在同一平面内,如图2-16(b)所示。
在国家《机械制图》标准中规定物体的正面投影、水平投影、侧面投影分别称为主视图、俯视图、左视图，它与人们正视、俯视、左视物体时所见到的形象相当。
由于物体的形状只和它的视图如主视图、俯视图、左视图有关,而与投影面的大小及各视图与投影轴的距离无关,故在画物体三视图时不画投影面边框及投影轴,如图2-17所示。
三、三面视图之间的对应关系1．三视图之间的相等关系一般将物体X方向定义为物体的“长”,Y方向定义为物体的“宽”,Z方向定义为物体的“高”,从图2-16(b)中可看出,主视图和俯视图同时反映了物体的长度,故两个视图长要对正;主视图与左视图同时反映了物体的高度,所以两个视图横向要对齐;俯视图与左视图同时反映了物体的宽度,故两个视图宽要相等。
即:(1) 主、俯视图长对正。
(2)主、左视图高平齐。
(3)俯、左视图宽相等。
2.三视图和物体之间的关系从图2-16(b)中可以看出三视图和物体之间的以下关系:(1)主视图反映了物体长和高两个方向的形状特征,上、下、左、右四个方位。
(2)俯视图反映了物体长和宽两个方向的形状特征,左、右、前、后四个方位。
(3)左视图反映了物体宽和高两个方向的形状特征,上、下、前、后四个方位。
四、正投影法基本特性1. 实形性当直线或平面图形平行于投影面时，其投影反映直线的实长或平面图形的实形。
2. 积聚性当直线或平面图形垂直于投影面时，直线的投影积聚成一点，平面图形的投影积聚成一直线。
3. 类似性当直线或平面图形倾斜于投影面时，直线的投影仍为直线，但小于实长。
平面图形的投影小于真实形状，但类似于空间平面图形，图形的基本特征不变。
4. 平行性空间两平行直线的投影必定互相平行。
5. 从属性点在直线上，则点的投影心在该直线的同面投影上，点或直线在平面上，它们的投影必在该平面的同第二节一、点的投影一）、多面投影的形成图，A 、A0的投影都是a,间位置。
因此，点的投影投影特性：（1）点的正面投影和水平投影连线垂直OX 轴，即a’a ⊥OX;（2）点的正面投影到OX 轴的距离，反映该点到H 面的距离，点的水平投影到OX 轴的距离，反映该点到V 面的距离，即a’ax =A a, aax=Aa’。
三）、点在三个投影面体系中的投影点在两面投影体系已能确定该点的空间位置，但为了更清楚地表达某些形体，有时需要在两投影面体系基础上，再增加一个与H 面及V 面垂直的侧立的投影面W 面，形成三面投影体系。
如下图。
投影特性：（1）a’a⊥OX, a’a”⊥OZ, aayH⊥OYH, a”ayW⊥OYW（2）a’ax=A a, aax=Aa’。
a’aZ=Aa”四）、点的投影与坐标根据点的三面投影可以确定点在空间位置，点在空间的位置也可以由直角坐标值来确定。
点的正面投影由点的X、Z坐标决定，点的水平投影由点的X、Y坐标决定，点的侧面投影由点的Y、Z坐标决定。
例题1 已知点A（20，15，10）、B（30，10，0）、C（15，0，0）求作各点的三面投影。
分析：由于ZB=0，所以B点在H面上，YC=0，ZC=0，则点C在X轴上。
在OX轴上量取oax=20;过ax作aa’⊥OX轴，并使aax=15, a’aZ=10;过a’作aa”⊥OZ轴，并使a”aZ= aax, a, a’,a”即为所求A点的三面投影。
作B点的投影：在OX轴上量取obX=30;过bX作bb’⊥OX轴，并使b’bX=0, bbX=10,由于ZB=0，b’,bX 重合。
即b’在X轴上；因为ZB=0，b’在OYW轴上，在该轴上量取Obyw=10,得b”，则b、b’ 、b”即为所求B 点的三面投影。
作C点的投影：在OX轴上量取OCX=15;由于Yc=0，Zc=0,c、c’都在OX轴上，与c重合，c”与原点O重合。
五）、两点的相对位置空间点的相对位置，可以利用两点在同面投影的坐标来判断，其中左右由X坐标差判别，上下由Z坐标差判别，前后由Y坐标差判别。
如图。
合，称为重影点。
如上图。
二、直线的投影一）、直线的投影直线可以由线上的两点确定，所以直线的投影就是点的投影，然后将点的同面投影连接，二）投影面平行线直线平行于一个投影面与另外两个投影面倾斜时，称为投影面平行线。
正平线——平行于V面倾斜于H、W面；水平线——平行于H面倾斜于V、W面；侧平线——平行于W面倾斜于H、V面。
投影面平行线特性：平行于那个投影面，在那个投影面上的投影反映该直线的实长，而且投影与投影轴的夹角，也反映了该直线对另两个投影面的夹角，而另外两个投影都是类似形，比实长要短。
P36表2—1。
投影面垂直线直线垂直于一个投影面与另外两个投影面平行时，称为投影面垂直线。
正垂线——垂直于V面平行于H、W面；铅垂线——垂直于H面平行于V、W面；侧垂线——垂直于W面平行于V、H面。
投影面垂直线特性：垂直于那个投影面，在那个投影面上的投影积聚成一个点，而另外两个投影面上的投影平行于投影轴且反映实长。
表2—23．一般位置直线直线对投影面的夹角。
三）、一般位置直线的实长及其与投影面夹角四）、直线上点的投影如果点在直线上，则点的各个投影必在该直线的同面投影上，并将直线的各个投影分割成和空间相同的比例。
五）、两直线的相对位置12空间两直线相交，交点K是两直线的共有点，K点的投影，符合点的投影规律。
3．两直线交叉投影的交点不符合点的投影规律。
六）、两直线垂直相交空间两直线垂直相交，其中有一直线平行于某投影面时，则两直线在所平行的投影面上证明：因为AB⊥BC，AB⊥Bb，所以AB必垂直于BC和Bb决定的平面Q及Q面上过垂足B的任何一直线（BC1、BC2……）因AB∥ab故ab也必垂直于Q面过垂足b的任一直线，即ab⊥bc。
例题：如图，已知点C及直线AB的两面投影，试过C点作直线AB的垂线CD，D为分析：因为ab∥OX，所以AB是正平线，又因CD与AB垂直相交，D为交点，则a’b’⊥c’d’,由d’可在ab上求得d。
利用直价三角形法可求得CD的实长。
作法：1）c’作c’d’⊥a’b’得交点d’；2）由d’引投影连线与ab交得d;3）连c和d，则c’d’、cd即为垂线CD的两面投影；4）用直角三角形法求得C与直线AB之间的真实距离CD。
一）用迹线表示平面二）、各种位置平面的投影1．投影面平行面平面在三投影面体系中，平行于一个投影面，而垂直于另外两个投影面。
正平面——平行于V面而垂直于H、W面；水平面——平行于H面而垂直于V、W面；侧平面——平行于W面而垂直于H、V面。
投影面平行面特性：平面在所平行的投影面上的投影反映实形，其余的投影都是平行于投影轴的直线；2．投影面垂直面在三投影面体系中，垂直于一个投影面，而对另外两投影面倾斜的平面。
正垂面——垂直V面而倾斜于H、W面；铅垂面——垂直H面而倾斜于V、W面；侧垂面——垂直W面而倾斜于V、H面。
投影面垂直面特性：平面在所垂直的投影上的投影积聚成一直线，该直线于投影轴的夹角，就是该平面对另外两个投影面的真实倾角，而另外两个投影面上的投影是该平面的类似形。
3．一般位置平面平面对三个投影面都倾斜。
平面对三个投影面的相对位置分析可得出平面的投影特性：（1）平面垂直于投影面时，它在该投影面上的投影积聚成一条直线——积聚性；（2）平面平行于投影面时，它在该投影面上的投影反映实形——实形性；（3）平面倾斜于投影面时，它在该投影面上的投影为类似图形——类似性。
第三节点在直线和平面上的投影作图1．平面上的直线（1）直线通过平面上的已知两点，则该直线在该平面上。
（2）直线通过平面上的一已知点，且又平行于平面上的一已知直线，则该直线在该平面上。
2．平面上的点点在平面上的几何条件是：如果点在平面上的一已知直线上，则该点必在平面上，因此在平面上找点时，必须先要在平面上取含该点的辅助直线，然后在所作辅助直线上求点。
3．平面上的投影面的平行线平面上的投影面平行线的投影，既有投影面平行线具有的特性，又要满足直线在平面上的几何条件。
例题：已知三角形ABC的两面投影，在三角形ABC平面上取一点K，使K点在A点之下分析：由已知条件可知K点在A点之下15mm，之前13mm，我们可以利用平面上的投影面平行线作辅助线求得。
K点在A点之下15mm，可利用平面上的水平线，K点在A 点之前13mm，可利用平面上的正平线，K点必在两直线的交点上。
作法：1）从a’向下量取15mm，作一平行于OX轴的直线，与a’b’交于m’，与a’c’交于n’;2）求水平线MN的水平投影m、n；3）从a向前量取13mm，作一平行于OX轴的直线，与 ab交于g，与ac交于h，则mn 与gh 的交点即为k；4）由g、h求g’、h’，则g’h’与m’n’交于k’，k’即为所求。
4．平面上的最大斜度线属于定平面且垂直于该平面的投影面平行线的直线，称为该平面的最大斜度线。
平面上垂直于水平线的直线，称为平面上对H面的最大斜度线；垂直于正平线的直线，称为平面上对V面的最大斜度线；垂直于侧平线的直线，称为平面上对W面的最大斜度线。
*第四节换面法作直线的实长和平面的实形一、求作直线的实长及其对投影面的倾角直线是由两个点所决定的，因此，在更换直线的投影时，只要把直线上的任意两个点的投影加以变换，即可求得直线的新投影。
