点直线和平面的投影

§1 点的投影§1 点的投影§2 直线的投影§2 直线的投影§3 平面的投影§3 平面的投影1.1 两投影面体系中点的投影 1.1两投影面体系中点的投影1.2 三投影面体系中点的投影1.2三投影面体系中点的投影1.3 两点的相对位置和重影点1.3两点的相对位置和重影点1.4 各种位置点的投影1.4各种位置点的投影基本要求基本要求§1 点的投影基本要求：1.熟练掌握点在第一分角中各种位置的投影特性及作图方法；2.熟练掌握点的投影与该点直角坐标的关系；3.掌握两点的相对位置及重影点可见性的判别。

１．１ 两投影面体系中点的投影 1.1.5 两面投影图的性质 1.1.5两面投影图的性质1.1.2 两投影面体系中点的投影1.1.2两投影面体系中点的投影1.1.1 两投影面体系的建立1.1.1两投影面体系的建立1.1.3 点的两个投影能唯一确定该点的空间位置1.1.3点的两个投影能唯一确定该点的空间位置1.1.4 两面投影图的画法1.1.4两面投影图的画法１．１．１　两投影面体系的建立VX O 水平投影面——H正面投影面——V投影轴——OXV O点A 的水平投影——a 点A 的正面投影——a ′aAZYX a ′１．１．２　两投影面体系中点的投影１．１．３　点的两个投影唯一确定该点的空间位置１．１．４　两面投影图的画法HXHV a′aa x xzya１．１．５ 两面投影图的性质1) aa′⊥OX2) a′a x =A a,aa x=A a′①a′a⊥ＯＸ轴②aaxa′a x =Ａa′（Ａ到Ｖ面的距离）=Ａa（Ａ到Ｈ面的距离）点在两面投影体系中的投影规律WHVoX1.2 空间点A 在三个投影面上的投影a ′点A 的正面投影点A 的水平投影″点A 的侧面投影空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。

a ″●a ●a ′●A ●ZY1.2.1 三个投影之间的位置关系W VH●●●●XYZOVHWA aa ″a ′xa a za y向右翻向下翻不动投影面展开a a Zaa ′y Ha yWa XY HY WO″●●a z●x●●●●XYZOVHWAaa ″a′点的投影规律:¤a ′a ⊥OX 轴（长对正）¤aa x = a ″a z =y=A 到V 面的距离（宽相等）xa a za y●●Y WZa za ″XY Ha ywOaa xa yHa ′●¤a ′a ″⊥OZ 轴（高平齐）●●a ′a a x例：已知点的两个投影，求第三投影。

●a ″●●a ′a a xa za z解法一:通过作45°线使a ″a z =aa x解法二:用圆规直接量取a ″a z =aa xa ″●例２已知点A的V面投影a′和W面投影a″求其水平投影a1.2.2 点的投影和坐标的关系点的每个投影反映两个坐标：V 投影反映高标和横标，H 投影反映纵标和横标，W 投影反映高标和纵标。

小结:点的投影规律①a ′a ⊥ＯＸ轴②aa x =a ′a x =aa y =a ′a ″⊥ＯＺ轴=y =Ａa ′（Ａ到Ｖ面的距离）a ′a z =x =Ａa ″（Ａ到Ｗ面的距离）a ″a y =z =Ａa （Ａ到Ｈ面的距离）a ″a z例：已知点A(30,20,40)，求作三投影。

●a ″●a a x作图步骤OXZＹＨＹＷa z304020●a ′１．３ 两点的相对位置和重影点1.3.1 两点的相对位置两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。

判断方法：▲x 坐标大的在左▲y 坐标大的在前▲z 坐标大的在上B点在A点之后、之左、之下。

b′aa′a″b″b●●●●●●XY HY WZO已知点A在点B之右8毫米，之前5毫米，之上9毫米，求点A的投影。

a′a″985a［例2］试比较如图所示三棱锥四个顶点S 、A 、B 、C的相对位置。

s ′ls ″lb ′a ′′aba ″(c ″)″s l1.3.2 重影点空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。

●●●●●a ′a ″c ″c ′被挡住的投影加( )( )a c１．４ 各种位置点的投影1.4.1 四分角中的点Xcc′第一分角中的点A;第二分角中的点B;第三分角中的点C;第四分角中的点D;一般位置点:空间点的三个坐标值X、Y、Z均不为零，称该点为一般位置点。

一般位置点（Ｘ、Ｙ、Ｚ　）1.4.2 特殊位置点:１．投影面上的点：空间点的坐标值有一个为零。

Ｖ　面上点（Ｘ、０、Ｚ）Ｈ　面上点（Ｘ、Ｙ、０）Ｗ　面上点（０、Ｙ、Ｚ）２．投影轴上点：空间点的坐标值有两个为零。

Ｘ轴上点（Ｘ、０、０）Ｙ轴上点（０、Ｙ、０）Ｚ　轴上点（０、０、Ｚ）３．原点上的点：　（０、０、０）注意：点的各个投影一定要写在它所属的投影面区域内。

特殊点的投影HVXb′bc′cCc′a′bBb′Aaa′aX特殊位置点的三面投影§２ 直线的投影２．１　各种位置直线⒈一般位置直线⒉投影面平行线⒊投影面垂直线直线与Ｈ面的夹角：α；与Ｖ面的夹角：β；与Ｗ面的夹角：γ１　各种位置直线投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线2 投影面平行线水平线aa ′b ′a ″bb ″Xa ′b ′a ″b ″baOzY HY WAB投影特性：1．a ′b ′||OX ;a ″b ″||OY W2．ab =AB实长βγ侧平线aa ′b ′a ″b ″bAB投影特性：1．a ′b ′||OZ ; ab ||OY H2．a ″b ″=ABX Za ′b ′b ″baO Y HY Wa ″实长αβｂ″ａａ″ｂ′ｂａ′ＸＺＹＨＹＷｂ″ａ″ａｂａ′ｂ′ＸＺＹＨＹＷｂａ″ａａ′ｂ′ｂ″ＸＺＹＷ水平线ＹＨ１）在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面的真实倾角。

２）另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。

侧平线正平线实长βγγ实长α实长αβ投影面平行线投影特性：b ′a(b)a ′a ″b ″Zb ′Xa ′b ″a(b)OY HY Wa ″投影特性：1．ab 积聚成一点2．a ′b ′⊥OX ; a ″b ″⊥OY W 3．a ′b ′= a ″b ″= AB3 投影面平行线铅垂线AB正垂线ba ′a ″b ″a投影特性：1．a ′b ′积聚成一点2．ab ⊥OX ; a ″b ″⊥OZ ABzX a ′b ′b ″aOY H Y Wa ″b侧垂线投影特性：1．a ″b ″积聚成一点2．ab ⊥OY H ; a ′b ′⊥OZ 3．ab = a ′b ′=ABABba a ″b ″ab ′ZXa ″b ″b ′aO Y HY Wa ′b投影面垂直线投影特性:（２）另外两个投影，　反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。

（１）在其垂直的投影面上，投影有积聚性。

与该投影面的倾角为９０°，与另两个投影面的倾角为０。

侧垂线●ｅ′ｆ′ｅｆｅ″（ｆ″）ＸＺｏＹＨＹＷ铅垂线●ａ′ｂ′ａ（ｂ）ａ″ｂ″ＸＺｏＹＷＹＨＹＨＹＷ正垂线●ｃ′（ｄ′）ｃｄｄ″ｃ″ＸＺｏＹＨＹＷ４　一般位置直线的投影投影特性：•各投影的长度均小于直线的实长，也不反映与投影面的倾角•直线的各投影均不平行于各投影轴D xa ′′b ′′γABD ya ′b ′βABD zabαAB对边邻边与投影面倾角斜边2.2 直角三角形法EDFyzxbgaEDF直角三角形法（续）Dx Dya"b"ａｂa'b'γαβＡＢDz返回例１．已知：α＝３０° 水平投影ａｂ和ａ′，求ａ′ｂ′ｂ１′ａ′ ｘａａ０B1ｂ２′ ｏAαｂB2 abH例２．已知：　β ＝３０° 水平投影ａｂ和ａ′，求ａ′ｂ′ｂ１′ｂ２′ ｂ０６０°ａ０β1例３．已知：　ＡＢ＝５０ 水平投影ａｂ和ａ′，求ａ′ｂ′ ｂ′ｂ′ａ０ ５０思考题： 已知ＡＢ的实长为５０ｍｍ，a＝４５º，b＝３０º，Ａ点的两面投影，完成ＡＢ的两面投影图a′x ao图形２．３　直线上的点2.3.1 直线上的点a' c'V若点在直线上，则点 的各个投影必在直线的同X面投影上。

反之，如果点的各个投 影均在直线的同面投影上，b'AC0Bacb H则点在直线上。

◆若点的投影有一个不在直线的同名投 影上， 则该点必不在此直线上。

例1：判断点C是否在线段AB上。

①b′c′a′cba点C在直 线AB上② a′ c′● b′ac b点C不在 直线AB上注 意：对于一般位置直 线，只要观察两个投 影即可确定。

但对于投影面平 行线，则应察看直线 所平行的那个投影面 上的投影。

ａ′ ｋ′ ●ｂ′ Ｘａｋ● ｂＺ ａ″ ● ｋ″ ｂ″ｏ ＹＷＹＨ2.3.2 点分割线段成定比直线上的点分割Vb′线段之比等于其投影c′之比。

即：a′CＸAAC/CB =ac/cb= a′c′ / c′b′acBＯ bH。