直线和平面的投影

第二节直线和平面的投影特性(建议3课时) 考纲要求熟练掌握线、面的投影规律。

知识网络知识要点二、平面的投影(见表)典型例题【例1】 根据下图中直线的两面投影，判别直线的空间位置。

【解题指导】 (a )图中，直线EF 的正面投影平行OX 轴说明z E ＝z F ，水平投影也平行于OX 轴说明y E ＝y F ，则E 、F 两点的侧面投影e ″、f ″为一对重影，即E 、F 两点的侧面投影重合在一起，所以EF 为侧垂线。

同理，(d )图中直线GH 为铅垂线。

(b )图中，直线EF 的正面投影e ′f ′∥OX 轴，则e ′f ′上任一点到OX 轴的距离均相等，即e ′f ′上任一点的z 坐标都相等，所以EF 上任一点到H 面距离均相等，即EF ∥H 面。

由侧面投影及正面投影可知，EF 上任两点的x 、y 坐标值均不相等，所以EF 为水平线。

同理(c )图中直线GH 为一般位置直线。

【答案】 (a )EF 为侧垂线；(b )EF 为水平线；(c )GH 为一般位置直线；(d )GH 为铅垂线 【点评】 根据直线段的两面投影判别其空间位置，首先要熟练掌握各种位置直线的投影特性，其次要分析所给投影的特性，进而判别出直线的空间位置。

如果直线的两面投影都与投影轴平行且平行于同一个投影轴，则该直线为投影面垂直线；如果直线的两面投影平行于不同投影轴，则该直线为投影面平行线。

【例2】判断点M、N是否在平面ABC上。

【解题指导】线是由点构成的，面也是由点构成的。

某点是否在平面上，要先看点是否处于平面内的某一确定的直线上。

粗一看N点的两面投影都在平面的一条直线的投影上，其实N点正面投影与AC边上的1点是重影点，水平投影与BC边上的2点是重影点。

对于M点连接b′m′交a′c′于e′，通过投影关系，可以看出，M点的水平面投影m也在bc 上，所以M点在平面ABC上。

【答案】M点在平面ABC上，N点不在平面ABC上。

【例3】完成平面图形ABCDE的水平投影。

直线平面的投影直线和平面的投影是物理学和几何学中的重要概念，用于描述一个对象在不同视角下的视觉效果。

在这篇文章中，我将详细介绍直线和平面的投影原理、计算方法以及应用。

一、直线的投影直线的投影是指直线在一些方向上的映射，投影的结果是一个线段或者点。

在几何学中，直线的投影通常是指直线在其中一平面上的影子。

1.1直线投影的原理直线的投影原理可以理解为光线的折射原理。

当一束直线光线遇到一个不透明的物体时，物体会遮挡光线，使得光线在物体的背面无法到达。

在这种情况下，我们只可以看到从物体那一侧射出的光线，也就是物体的投影。

1.2直线投影的计算方法计算直线的投影可以利用几何学中的相似三角形和投影比例来解决。

假设直线的长度为l，直线与投影平面的夹角为θ，投影距离为d，我们可以计算投影长度p。

根据三角形相似性，根据比例有：p/d=l/h其中，h为直线在投影平面上的投影高度。

因此，直线的投影长度为：p=(l*d)/h1.3直线投影的应用直线的投影在现实生活中有很多应用，例如日光灯的投影、桥梁的投影等等。

在建筑设计和工程施工中，直线的投影也是一个非常重要的概念。

通过计算直线的投影长度，可以确定施工中的尺寸和位置。

平面的投影是指平面在一些方向上的映射，投影的结果可以是一个线段、一个点或者一个图形。

2.1平面投影的原理平面的投影原理类似于直线投影的原理，也是基于光线的折射原理。

当一束平行光线垂直照射在一个平面上时，在投影平面上会形成一个平行于光线的投影。

2.2平面投影的计算方法计算平面的投影可以利用几何学中的相似三角形和投影比例来解决。

假设平面的长度和宽度分别为L和W，平面与投影平面的夹角为θ，投影距离为d，我们可以计算投影的长度P和宽度W'。

根据三角形相似性，根据比例有：P/d=L/hW/d=W'/h其中，h为平面在投影平面上的投影高度。

因此，平面的投影长度为：P=(L*d)/h平面的投影宽度为：W'=(W*d)/h2.3平面投影的应用平面投影在几何学和物理学中有很多应用。

直线与平面的投影关系与计算方法直线和平面是几何学中常见的基本图形，它们在现实世界中广泛应用于建筑、工程、物理学等领域。

在这篇文章中，我们将讨论直线与平面之间的投影关系，并介绍一些计算方法。

一、直线在平面上的投影直线在平面上的投影是指直线在平面上的垂直投影或平行投影。

垂直投影是指直线在平面上的垂直投影线，而平行投影是指直线在平面上的平行投影线。

1. 垂直投影垂直投影是指直线在平面上的垂直投影线。

要计算直线在平面上的垂直投影，我们可以使用以下步骤：步骤一：确定直线和平面的相对位置。

首先，我们需要确定直线和平面的相对位置，即直线与平面是否平行或相交。

如果直线与平面平行，则直线在平面上的垂直投影长度为0。

如果直线与平面相交，则我们需要继续下一步。

步骤二：确定垂直投影的起点。

在确定直线与平面相交的情况下，我们需要确定垂直投影的起点。

起点可以是直线上的任意一点，通常选择离平面最近的点作为起点。

步骤三：确定垂直投影的方向。

垂直投影的方向是由直线在平面上的垂直投影线所确定的。

我们可以通过在平面上画出与直线平行的线段来确定垂直投影的方向。

步骤四：确定垂直投影的长度。

垂直投影的长度是直线在平面上的垂直投影线段的长度。

我们可以使用勾股定理或其他几何计算公式来计算垂直投影的长度。

2. 平行投影平行投影是指直线在平面上的平行投影线。

要计算直线在平面上的平行投影，我们可以使用以下步骤：步骤一：确定直线和平面的相对位置。

同样，我们需要确定直线和平面的相对位置，即直线与平面是否平行或相交。

如果直线与平面平行，则直线在平面上的平行投影长度可以通过直线在平面上的任意两点之间的距离来计算。

如果直线与平面相交，则我们需要继续下一步。

步骤二：确定平行投影的起点和方向。

与垂直投影类似，平行投影的起点可以是直线上的任意一点，通常选择离平面最近的点作为起点。

平行投影的方向由直线在平面上的平行投影线所确定。

步骤三：确定平行投影的长度。

平行投影的长度是直线在平面上的平行投影线段的长度。

直线、平面的投影规律
直线和平面的投影规律是几何学中的基本概念。

下面我将分别
从直线和平面的角度，从多个角度全面完整地回答你的问题。

1. 直线的投影规律：
直线的投影规律可以通过平行投影和中垂线投影来描述。

平行投影规律，当一条直线与平行于投影平面的直线相交时，
它们的投影线段长度相等。

也就是说，直线在投影平面上的投影与
原直线长度相等。

中垂线投影规律，当一条直线与垂直于投影平面的直线相交时，它们的投影线段长度与原直线长度成比例关系。

具体来说，投影线
段长度等于原直线长度乘以投影线与原直线的夹角的余弦值。

2. 平面的投影规律：
平面的投影规律可以通过垂直投影和斜投影来描述。

垂直投影规律，当一个平面与投影平面垂直时，它的投影是一个与原平面相似的平面。

也就是说，两个平面的形状和大小完全相同。

斜投影规律，当一个平面与投影平面不垂直时，它的投影形状会发生变化。

投影平面上的图形会比原平面上的图形更短、更扁。

投影的大小与平面与投影平面的夹角有关，夹角越小，投影越接近原平面。

需要注意的是，投影规律是建立在平行投影和中垂线投影、垂直投影和斜投影的基础上的。

这些规律适用于二维和三维空间中的直线和平面的投影。

总结起来，直线的投影规律包括平行投影规律和中垂线投影规律，平面的投影规律包括垂直投影规律和斜投影规律。

这些规律描述了直线和平面在投影过程中的形状和大小变化关系。

希望以上回答能够满足你的需求。

第六章点、直线和平面的投影一、本章重点：点的坐标与投影，重影点；直线在三面投影体系中的投影特性；平面的投影特性，平面上的直线和点。

二、本章难点：求线段的实长及其对投影面的倾角；两直线的相对位置；直线上的点和平面上的线。

三、本章要求：同本章的过学习，要掌握点、直线和平面的投影特性，两点的相对位置及重影点。

直线上点的投影，平面上的直线和点投影，一般位置直线求实长和对投影面的倾角，两直线的相对位置以及直线与平面的相对位置。

四、本章内容：§6—1点的投影一、投影法的概念方法称为投影法。

二、投影法的种类1．中心投影法投影线从一点发出，如上图。

该投影法的特点是，物体距离投影面的距离不同时，得到的投影的大小不同。

因此，中心投影法不能够真实地反映物体的形状和大小，所以机械制图不采用这种投影法绘制。

但中心投影法具有立体感强的特点，常用于绘制建筑物的外观图，2平行投影法中又可分为两种，一种是正投影，投影线方向垂直于投影面。

另一种是斜投影，投影线方向倾斜于投影面。

在机械制图中应用的是正投影法，它是我们学习的重点。

三、多面投影的形成点在一个投影面中的投影不能够反映点在空间的位置，如右图，A、A0的投影都是a,这样一来就不能唯一确定A点的空间位置。

因此，利用相互垂直的的两个或三个投影面体系，作出多面正投影。

点的投影四、点在两个投影面体系中的投影如图投影特性：（1）点的正面投影和水平投影连线垂直OX轴，即a’a⊥OX;（2）点的正面投影到OX轴的距离，反映该点到H面的距离，点的水平投影到OX轴的距离，反映该点到V面的距离，即a’ax=A a, aax=Aa’。

五、点在三个投影面体系中的投影投影特性：（1）a’a⊥OX, a’a”⊥OZ, aayH⊥OYH, a”ayW⊥OYW（2）a’ax=A a, aax=Aa’。

a’aZ=Aa”六、点的投影与坐标根据点的三面投影可以确定点在空间位置，点在空间的位置也可以由直角坐标值来确定。