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专题02 多边形与平行四边形（七种考法）多边形的对角线问题【湖南省常德市第二中学2021-2022学年八年级下学期期中考试数学试题】1．一个多边形的内角和为720 ，则从这多边形的一个顶点最多可以引出几条对角线？（）A．3条B．4条C．5条D．2条【湖南省怀化市溆浦县2021-2022学年八年级下学期期中数学试题】2．下列说法正确的是（ ）A．过n边形的一个顶点做对角线，可把这个n边形分成（n﹣3）个三角形B．三角形的稳定性有利用价值，而四边形的不稳定性没有利用价值C．将一块长方形木板锯去一个角后，剩余部分的内角和为540°D．一个多边形的边数每增加一条，则这个多边形内角和增加180°，外角和不变【湖南省永州市新田县2019-2020学年八年级下学期期中数学试题】3．从一个多边形的任何一个顶点出发都只有4条对角线，则它的内角和是（）A．540︒B．720︒C．900︒D．1080︒【湖南省祁阳市浯溪第二中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题】4．一个多边形从一个顶点可引对角线5条，这个多边形内角和等于．【湖南省邵阳市绥宁县2021-2022学年八年级下学期期中数学试题】5．（1）某多边形的内角和与外角和的总和为2160︒，求此多边形的边数；（2）某多边形的对角线共有54条，求这个多边形的内角和．多边形的内角问题【湖南省株洲市天元区农村三校2021-2022学年八年级下学期期中考试数学试题】6．七边形的内角和是()A．540°B．720°C．900°D．1260°【湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2021-2022学年八年级上学期期中数学试题】7．八边形的内角和是（）A．720°B．1080°C．1260°D．1440°【湖南省祁阳市浯溪第二中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题】8．下面给出的图形能镶嵌的是（ ）A．正三角形B．正五边形C．正十边形D．正十二边形【湖南省怀化市溆浦县第一中学2022－2023学年八年级下学期期中数学试题】9．若一个n边形的边数增加一倍，则内角和将增加度．【湖南省长沙市明德教育集团2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试卷】10．已知某正多边形的一个内角都比它相邻外角的3倍还多20︒，求这个正多边形一个内角的度数．多边形的外角问题【湖南省娄底市新化县东方文武学校2021-2022学年八年级下学期期中考试数学试题】11．五边形的外角和为（）A．180°B．360°C．540°D．900°【湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2021-2022学年八年级下学期期中数学试题】12．一个正多边形的每个外角都等于60°，那么它的边数是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【湖南省岳阳市第九中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题】13．一个多边形的每一个外角都等于36︒，则这个多边形的边数为 ，内角和为 ．【湖南省怀化市新晃侗族自治县2022-2023学年八年级下学期期中数学试题】14．若一个n 边形的内角和与外角和的差是720︒，求n ．【湖南省常德市汉寿县2022-2023学年八年级下学期期中质量监测数学试题】15．一个多边形的内角和与外角和的和为1980°，它是几边形？利用平行四边形的性质求解【湖南省怀化市洪江市2022-2023学年八年级下学期期中数学试题】16．平行四边形ABCD 中，A ∠：B ∠：C ∠：D ∠的值可以是（ ）A ．4：3：3：4B ．7：5：5：7C ．4：3：2：1D ．7：5：7：5【湖南省怀化市洪江市隆平学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题】17．如图，在平行四边形ABCD 中6AB =，8BC =，BD 的垂直平分线交AD 于点E ，则ABE 的周长是（ ）A ．7B ．10C ．13D ．14【湖南省祁阳市浯溪第二中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题】18．如图，ABCD Y 中，AE BD ⊥于点E ，60EAD ∠=︒，3cm AE =，18cm AC BD +=，则OBC △的周长是 cm ．【湖南省益阳市南县立达中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题】19．平行四边形ABCD 的周长为24，对角线AC 、BD 相交于点O ，作OE AD ⊥，交AD 与点E ，连接CE ，那么的EDC 周长为 ．【湖南省衡阳市衡山县福田二中2022-2023学年八年级下学期期中数学试题】20．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，若AF BE 、分别是DAB CBA ∠∠、的平分线，4,3AB BC ==，则EF 的长是 ．利用平行四边形的性质证明【湖南省常德市汉寿县2020-2021学年八年级下学期期中数学试题】21．如图，平行四边形ABCD 的周长为40cm ，AE 平分∠BAD ，若2CE =cm ，则AB 的长度是 cm ．【湖南省衡阳市雅礼、船山两校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题】22．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AF CE =．求证：BAE DCF ≌△△；【湖南省衡阳市衡山县福田二中2022-2023学年八年级下学期期中数学试题】23．如图，四边形ABCD 为平行四边形，F 是CD 的中点，连接AF 并延长与BC 的延长线交于点E．求证：BC = CE．【湖南省衡阳市实验中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题】24．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥BD，垂足为点F．(1)求证：AE=CF；(2)若∠AOE=70°，∠EAD=3∠EAO，求∠BCA的度数．【湖南省娄底市2021-2022学年八年级下学期期中数学试题】25．已知，如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上，且四边形BEDF也是平行四 ．边形．求证：AE CF判断四边形是平行四边形【湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校2020-2021学年八年级下学期期中数学模拟试卷】26．两张对边平行的纸条，随意交叠放在一起，转动其中一张，重合的部分构成一个四边形，这个四边形是（ ）A ．矩形B ．平行四边形C ．菱形D ．正方形【湖南省湘西土家族苗族自治州花垣县华鑫教育集团2022-2023学年八年级下学期期中数学试题】27．如图所示，在下列条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．AB CD ∥，A C∠=∠B ．AB CD ∥ ，AB BC = C ．B D ∠=∠， A C ∠=∠D ．AB CD ∥ ，AB CD =【湖南省怀化市通道县2021-2022学年八年级下学期期中考试数学试题】28．如图，以下给出的条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ）A ．AO ＝CO ，BO ＝DOB ．∠ABC ＝∠BCD ，AB ＝CDC ．∠ABC ＋∠BCD ＝180°，∠BAD ＝∠BCDD ．AB ∥CD ，AB ＝CD【湖南省祁阳市浯溪第二中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题】29．已知：在ABCD Y 的边AB ，DC 上分别取一个点E ，F ，使得13AE AB =，13CF CD =，连结AF ，CE ．求证：(1)四边形AECF 是平行四边形；(2)AFD CEB ∠=∠．【湖南省长沙市湖南师大附中教育集团2021-2022学年八年级下学期期中数学试题】30．下面是小东设计的“作平行四边形ABCD ，使45B ∠=︒，2cm AB =，3cm BC =”的作图过程．作法：如图，①画45B ∠=︒；②在∠B 的两边上分别截取2cm BA =，3cm BC =．③以点A 为圆心，BC 长为半径画弧，以点C 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧相交于点D ；则四边形ABCD 为所求的平行四边形．根据小东设计的作图过程：(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明．证明：∵AB =________，CB =________，∴四边形ABCD 为所求的平行四边形．(3)平行四边形ABCD 的面积为________．平行四边形的性质与判定的综合运用【湖南省张家界市慈利县2022-2023学年八年级下学期期中数学试题】31．在四边形ABCD 中，AB CD AD BC ==，，30B ∠=︒，那么A ∠= .【湖南省怀化市第四中学2021-2022学年八年级下学期期中考试数学试题】32．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，1°80A B ∠+∠=，6BC =，3AB =，求四边形ABCD 的周长．【湖南省怀化市通道侗族自治县2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试题】33．如图，在ABCD Y 中，BE 平分ABC ∠，DF 平分ADC ∠．（1）求证：ABE CDF△≌△（2）求证：//BE DF【湖南省长沙市师大附中博才实验中学2020-2021学年八年级下学期期中考试数学试卷】34．如图，已知平行四边形ABCD 中，BD 是它的一条对角线，过A 、C 两点作AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ，延长AE 、CF 分别交CD 、AB 于点M 、N ．（1）求证：四边形CMAN 是平行四边形．（2）若DM =2，AN =3，求AB 的长．【湖南省怀化市洪江市隆平学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题】35．如图：已知在ABC 中，AB AC =，D 为BC 上任意一点，∥D E A C 交AB 于E ，DF AB 交AC 于F ，求证：DE DF AC +=.【湖南省益阳市安化县2022-2023学年八年级下学期6月期末数学试题】36．如图，以正六边形ABCDEF 的一边AB 向内作正方形ABGH ，连接CG ，则BCG ∠的度数为（ ）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．75︒【湖南省岳阳市岳阳开发区长岭中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题】37．某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有AB EF DC ∥∥，BC GH AD ∥∥，那么下列说法中错误的是（ ）A ．红花、绿花种植面积一定相等B ．紫花、橙花种植面积一定相等C ．红花、蓝花种植面积一定相等D ．蓝花、黄花种植面积一定相等【湖南省株洲市荷塘区2020-2021学年八年级下学期期末数学试题】38．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，点E 为平行四边形内一点且∠AED ＝∠BEC ＝90°，若∠DEC ＝45°，则AD 的长为（ ）A ．3B ．C ．52D ．【湖南省岳阳临湘市2020-2021学年八年级上学期期中考试数学试题】39．如图，//AD BC ，//AB DC ，AC 与BD 相交于点O ，EF 经过点O ，且与边AD 、BC 分别交于E 、F 两点，若BF DE =，则图中的全等三角形有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．6对【湖南省常德市第二中学2020-2021学年八年级下学期期中数学试题】40．如图，1角硬币边缘镌刻的是正九边形，则这个正九边形每个内角的度数是 .︒【湖南省株洲市渌口区2021-2022学年八年级下学期期中数学试题】41．小明在操场上从A 点出发，沿直线前进10米后向左转45°，再沿直线前进10米后，又向左转45°，照这样走下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走了 米．【湖南省张家界市慈利县2021-2022学年八年级下学期期中数学试题】42．如图，在平行四边形ABCD 中，610AB AD ABC ==∠，，的平分线交AD 于E ，交CD 的延长线于点F ，则=DF ．【湖南省永州市冷水滩区李达中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题】43．如图，,E F 分别是平行四边形ABCD 的边,AB CD 上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF与CE 相交于点Q ，若22215cm ,25cm ,200cm APD BQC ABCD S S S ===△△四边形，则APE EBQ S S +=△△2cm ．【湖南省岳阳市第九中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题】44．已知如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，AD BC =，求证：四边形ABCD 是平行四边形．【湖南省娄底市2022-2023学年八年级下学期期中数学试题】45．如图，在ABCD Y 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，M ，N 在对角线AC 上，且AM CN =，求证：BM DN =．【湖南省岳阳市汨罗市2022-2023学年八年级下学期期中数学试题】46．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，E ，F 分别是OB OD ，的中点，连接AE CF ，．求证：AE CF =．【湖南省长沙市明德教育集团2022-2023学年八年级下学期期中数学试题】47．如图，已知点E 、F 为ABCD 对角线BD 上两点，且BAF DCE ∠=∠，连接AE ，CF ．求证：；(1)AF CE(2)四边形AECF为平行四边形．参考答案：1．A【分析】设多边形的边数为n ，根据题意列出一元一次方程，求出多边形的边数，则同一个顶点的对角线的条数等于边数减去3，即可求解．【详解】解：设多边形的边数为n ，根据题意有：()2180720n -⨯= ，解得6n =，则从一个顶点引出的对角线最多有：633-=（条），故选：A ．【点睛】本题主要考查了多边形内角和的计算公式，掌握“n 边形的内角和为：()2180n -⨯o ，多边形的对角线数量问题”是解题的关键．2．D【分析】根据矩形的性质，三角形的稳定性，多边形的内角和定理与外角和定理即可得到结论．【详解】A 、过n 边形的一个顶点做对角线，可把这个n 边形分成(n-2)个三角形，故不符合题意；B 、三角形的稳定性有利用价值，而四边形的不稳定性也有利用价值，故不符合题意；C 、将一块长方形木板锯去一个角后，剩余部分的内角和为540°或180°或360°，故不符合题意；D 、一个多边形的边数每增加一条，则这个多边形内角和增加180°，外角和不变，故符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查的是矩形的性质，三角形的稳定性，多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和定理与外角和定理是解题的关键．3．C【分析】一个多边形的一个顶点出发，一共可作4条对角线，则这个多边形的边数是7，n 边形的内角和可以表示成（n －2）•180°，代入公式就可以求出内角和．【详解】解：∵（4＋3－2）•180°＝900°，则这个多边形的内角和是900°．故选：C ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟练掌握 n 边形从一个顶点出发可引出（n －3）条对角线是关键．4．1080︒##1080度【分析】求得多边形的边数，再根据多边形内角和公式求解即可．【详解】解：一个多边形从一个顶点可引对角线5条，则多边形的边数为8，则内角和等于：()821801080-⨯︒=︒故答案为：1080︒【点睛】此题考查了多边形的内角和以及对角线，解题的关键是求得多边形的边数．5．（1）12；（2）1800°【分析】（1）任何多边形的外角和是360°，内角和与外角和的总和为2160°，因而内角和是2160°-360°=1800°．n 边形的内角和是（n -2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．（2）代入多边形对角线公式求出边数a ，根据内角和公式180°（a -2）可求出答案即可．【详解】解：（1）设这个多边形的边数为n ，由题意得：()21803602160n -+= ，()21801800n -= ，12n =．即此多边形的边数为12.（2）设这个多边形的边数为a ，由题意得：()3542a a -=，()3108a a -=，12(0)a a =>，∴这个多边形的内角和为：()1221801800-⨯= ．【点睛】本题考查了多边形对角线公式以及多边形内角与外角，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．6．C【分析】根据多边形的内角和定理，即可求解．【详解】解：七边形的内角和是()72180900-⨯︒=︒．故选：C ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．7．B【分析】利用多边形内角和定理：(n -2)•180°计算即可．【详解】解：八边形的内角和等于(8-2)×180°=1080°．故选：B ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，掌握多边形内角和定理：(n -2)•180°是解答此题的关键．8．A【分析】分别求出四个选项中多边形的内角度数，再根据密铺的条件“绕一点拼在一起的几个角加在一起恰好组成一个周角”解答即可．【详解】解：正三角形的内角为60︒，能整除360︒，故A 选项能镶嵌，符合题意；正五边形的内角为()521801085-⨯︒=︒，不能整除360︒，故B 选项不能镶嵌，不符合题意；正十边形的内角为()10218014410-⨯︒=︒，不能整除360︒，故C 选项不能镶嵌，不符合题意；正十二边形的内角为()12218015012-⨯︒=︒，不能整除360︒，故D 选项不能镶嵌，不符合题意．故选A ．【点睛】本题考查平面密铺，正多边形的内角．关于密铺，就是用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片；理解绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角是解题关键．9．180n【分析】n 边形的内角和是()2180-︒ n ，将n 边形的边数增加一倍就变成2n 边形，2n 边形的内角和是()22·180n -︒，据此即可求得增加的度数．【详解】∵n 边形的内角和是()2180-︒ n ，2n 边形的内角和是()22·180n -︒，∴内角和将增加()()22·1802·180n n -︒--︒，()360360180360n n =︒-︒-︒-︒，360360180360n n =︒-︒-︒+︒，180n =︒，故答案为：180n ．【点睛】此题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式的计算．10．这个正多边形一个内角的度数为140︒【分析】设一个内角为x ，根据题意列出一元一次方程，即可求解．【详解】设一个内角为x ，根据题意有：()318020x x =︒-+︒，解得140x =︒，答：这个正多边形一个内角的度数140︒．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和外角的知识以及一元一次方程的应用，明确多边形的内角与其相邻的外角之和为180°是解答本题的关键．11．B【分析】根据多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360︒即可．【详解】解：∵任意多边形的外角和都等于360︒∴五边形的外角和为360︒故选：B ．【点睛】本题考查多边形外角和的知识，解题的关键是掌握多边形外角和定理．12．A【分析】利用多边形的外角和等于360°即可解决问题．【详解】解：由题意可得：正多边形的边数为：360°÷60°＝6．故选：A ．【点睛】此题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握正多边形的外角和是360°是解题的关键．13． 10 1440︒##1440度【分析】根据任意多边形的外交和等于360︒，多边形的每一个外角都等于36︒，多边形边数360=÷外角度数，代入数值计算即可．【详解】解： 多边形的每一个外角都等于36︒，∴这个多边形的边数3603610=÷=．∴它的内角和是1021801440-⋅︒=︒（）．故答案为：10，1440︒．【点睛】本题考查了多边形的外角和和多边形的边数，解答的关键是掌握多边形的外角和等于360︒14．8【分析】根据多边形的内角和与外角和的差是720︒，可列方程()2180360720n -⋅︒-︒=︒，解方程即可．【详解】解：由题意可得：()2180360720n -⋅︒-︒=︒，解得：8n =．【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，由多边形的内角和与外角和关系列出方程是解题的关键．15．十一边形【分析】设多边形的边数为n ，可得：(2)1803601980n -⋅︒+︒=︒，再解方程可得答案．【详解】解：设多边形的边数为n ，由题意得：(2)1803601980n -⋅︒+︒=︒解得 11n =∴这个多边形是十一边形．【点睛】本题考查的是多边形的内角和定理与外角和定理的综合应用，熟记公式是解本题的关键．16．D【分析】根据平行四边形的性质得到A C ∠=∠，B D ∠=∠，180B C ∠+∠=︒，180A D ∠+∠=︒，根据以上结论即可选出答案．【详解】解：如图：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴A C ∠=∠，B D ∠=∠，AB CD ，∴180B C ∠+∠=︒，180A D ∠+∠=︒，即A ∠和C ∠的度数相等，B ∠和D ∠的度数相等，且B C A D ∠+∠=∠+∠，故符合题意的只有D ．故选：D ．【点睛】本题考查对平行四边形的性质，能根据平行四边形的性质进行判断是解此题的关键．17．D【分析】BD 的垂直平分线交AD 于点E ，则BE DE =，又由四边形ABCD 是平行四边形，即可求得AD 的长，继而求得答案．【详解】解：∵BD 的垂直平分线交AD 于点E ，∴BE DE =，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴8AD BC ==，∴ABE 的周长是：6814AB BE AE AB DE AE AB AD ++=++=+=+=，故选：D ．【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，解题关键在于由线段垂直平分线的性质得到AE CE =．18．15【分析】利用含30度角的直角三角形的性质，以及平行四边形的性质，进行求解即可．【详解】解：∵AE BD ⊥，60EAD ∠=︒，∴30ADE ∠=︒，∴26cm AD AE ==，∵ABCD Y ，18cm AC BD +=，∴()9cm 12A O CB B OCD +=+=，6cm BC AD ==，∴OBC △的周长是cm 6159OB OC BC ++=+=；故答案为：15．【点睛】本题考查平行四边形的性质，含30度角的直角三角形．熟练掌握相关性质，是解题的关键．19．12【分析】根据平行四边形性质得出AD BC =，AB CD =，OA OC =，根据线段垂直平分线得出AE CE =，求出CD DE EC AD CD ++=+，代入求出即可．【详解】解： 四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，AB CD =，OA OC =．EO AC ⊥ ，AE EC ∴=．平行四边形ABCD 的周长为24，24AB BC CD AD ∴+++=．12AD DC ∴+=．DCE ∴ 的周长是：12CD DE CE AE DE CD AD CD ++=++=+=．故答案为：12．【点睛】本题考查了平行四边形性质、线段垂直平分线性质的应用，关键是证明出AE CE =．20．2【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，若AF 、BE 分别是DAB ∠、CBA ∠的平分线，易得ADF △与BCE 是等腰三角形，继而求得3DF CE BC ===，则可求得答案．【详解】解： 四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴∥，4CD AB ==，3AD BC ==，AFD BAF ∴∠=∠，ABE BEC ∠=∠，AF 、BE 分别是DAB ∠、CBA ∠的平分线，DAF BAF ∴∠=∠，CBE ABE ∠=∠，DAF AFD ∴∠=∠，CBE BEC ∠=∠，3AD DF ∴==，3CE BC ==，2EF DF CE CD ∴=+-=．故答案为：2．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得ADF △与BCE 是等腰三角形是关键．21．9【分析】根据平行四边形的性质得出AB ＝CD ，AD ＝BC ，AD ∥BC ，推出∠DAE ＝∠BAE ，求出∠BAE ＝∠AEB ，推出AB ＝BE ，设AB ＝CD ＝xcm ，则AD ＝BC ＝（x +2）cm ，得出方程x +x +2＝20，求出方程的解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠BAE ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠DAE ＝∠BAE ，∴∠BAE ＝∠AEB ，∴AB ＝BE ，设AB ＝CD ＝xcm ，则AD ＝BC ＝（x +2）cm ，∵▱ABCD 的周长为40cm ，∴x +x +2＝20，解得：x ＝9，即AB ＝9cm ，故答案为：9．【点睛】此题考查平行四边形的性质，角平分线的应用，等角对等边求出边相等，解一元一次方程，熟记平行四边形的性质是解题的关键．22．见解析【分析】由平行四边形的性质可得出AB CD =，BAE DCF ∠=∠，利用等式的性质可得出AE CF =，由SAS 证明ADE CBF ≌△△即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =，AB CD ∥，∴BAE DCF ∠=∠，∵AF CE =，∴AF EF CE EF -=-，即AE CF =，在BAE 和DCF 中AB CD BAE DCF AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ADE CBF ≌V V ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．23．证明见解析【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得AD =BC ，AD ∥BC ，根据两直线平行，内错角相等可得∠DAF =∠E ，∠ADF =∠ECF ，根据线段中点的定义可得DF =CF ，然后利用“角角边”证明△ADF ≌△ECF ，根据全等三角形对应边相等可得AD =CE ，从而得证．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC ，AD ∥BC ，∴∠DAF =∠E ，∠ADF =∠ECF ，又∵F 是CD 的中点，即DF =CF ，∴△ADF ≌△ECF ，∴AD =CE ，∴BC =CE ．【点睛】1、平行四边形的性质；2、全等三角形的判定与性质24．(1)见解析(2)∠BCA =40°．【分析】（1）证明△AEO ≌△CFO （AAS ）可得结论；（2）利用三角形内角和定理求出∠EAO ，求出∠DAC 的度数，再利用平行线的性质解决问题即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =OC ，∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AEO =∠CFO =90°，∵∠AOE =∠COF ，∴△AEO ≌△CFO （AAS ），∴AE =CF ；（2）解：∵AE ⊥BD ，∴∠AEO =90°，∵∠AOE =70°，∴∠EAO =90°-∠AOE =20°，∵∠EAD =3∠EAO ，∴∠EAD =3×20°=60°，∴∠DAC =∠DAE -∠EAO =60°-20°=40°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠BCA =∠DAC =40°．【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△AEO ≌△CFO ．25．见解析【分析】由平行四边形的性质可得AO = CO ，EO = FO ，可得结论．【详解】证明：连接BD ，交AC 于点O ，如图，∵四边形ABCD 和四边形BEDF 都是平行四边形，∴AO CO EO FO ==，，∴AE CF =．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．26．B【分析】由条件可知AB ∥CD ，AD ∥BC ，可得四边形ABCD 是平行四边形．【详解】解：∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，准确分析证明是解题的关键．27．B【分析】根据平行四边形的判定定理，逐一进行判定即可．【详解】解：A 、∵AB CD ∥，∴180ABC C ∠+∠=︒，∵A C ∠=∠，∴180ABC A ∠+∠=︒，∴AD BC ∥，∴四边形ABCD 是平行四边形；不符合题意；B 、AB CD ∥ ，AB BC =，无法判定四边形ABCD 是平行四边形；符合题意；C 、∵BD ∠=∠，A C ∠=∠，360A B C D ∠+∠+∠+∠=︒，∴180,180A B C B ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴AD BC ∥，AB CD ∥，∴四边形ABCD 是平行四边形；不符合题意；D 、∵AB CD ∥，AB CD =，∴四边形ABCD 是平行四边形；不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定定理，是解题的关键．28．B【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解．【详解】解：A. AO ＝CO ，BO ＝DO ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故该选项不符合题意；B. 根据∠ABC ＝∠BCD ，AB ＝CD ，不能得出四边形ABCD 是平行四边形，故该选项符合题意；C. ∠ABC ＋∠BCD ＝180°，AB CD∴∥ ∠BAD ＝∠BCD ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°，AD BC∴∥∴四边形ABCD 是平行四边形，故该选项不符合题意；D. AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故该选项不符合题意；故选B【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．29．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB CD ∥，AB CD =，结合题意可得AE CF =，根据平行四边形的判定即可证明；（2）根据平行四边形的性质可得AFC CEA ∠=∠，即可证明．【详解】（1）证明：在ABCD Y 中，AB CD ∥，AB CD =，∵13AE AB =，13CF CD =，∴AE CF =，又∵AE CF ∥，∴四边形AECF 是平行四边形．（2）证明：∵四边形AECF 是平行四边形，∴AFC CEA ∠=∠，∴AFD CEB ∠=∠．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．30．(1)见解析(2)A B = CD ，CB = AD(3)cm 2【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可证明；（3）过点A 作AE ⊥BC 于E ，由三角形内角和定理可得△ABE 是等腰直角三角形，再由勾股定理求得AE ，即可解答；【详解】（1）解：补全的图形如图所示：（2）证明：∵AB =CD ，CB =AD ，∴四边形ABCD 为所求的平行四边形．（3）解：如图，过点A 作AE ⊥BC 于E ，∵∠B =45°，∠AEB =90°，∠BAE =45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AE =BE ，∵BE 2+AE 2=AB 2，∴2AE 2=AB 2，∵AB =2cm ，∴AE ，∴平行四边形ABCD 的面积=BC •AE =2；【点睛】本题考查了平行四边形作法，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握平行四边形的判定方法是解题关键．31．150︒【分析】先证四边形ABCD 是平行四边形，即可由平行四边形邻角互补得到的性质得180B A ∠+∠=︒，即可得出结论．【详解】如图，∵AB CD AD BC ==，，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴180B A ∠+∠=︒，∵30B ∠=︒，∴150A ∠=︒，故答案为：150︒．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．32．四边形ABCD 的周长为18．【分析】先证明四边形ABCD 是平行四边形，再利用平行四边形的性质可求出四边形ABCD 的周长．【详解】解：∵1°80A B ∠+∠=，∴AD BC ∥，∵AB CD ∥，∴ABCD 是平行四边形，∴36AB CD BC AD ====，，∴四边形ABCD 的周长262318=⨯+⨯=．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．33．（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB =DC ，∠A =∠C ，∠ABC =∠ADC ，由角平分线的性质可得∠ABE =12∠ABC ，∠CDF =12∠ADC ，继而可得∠ABE =∠CDF ，根据全等三角形的判定定理即可求证；（2）由（1）中全等三角形性质可得AE =CF ，由AD =BC 可得DE =BF ，由AD //BC 可得ED//BF ，根据平行四边形的判定可证四边形BEDF 是平行四边形，继而可证BE //DF .【详解】（1）解：因为ABCD Y ，所以AB =DC ，∠A =∠C ，∠ABC =∠ADC ，因为BE 平分ABC ∠，DF 平分ADC ∠，所以∠ABE =12∠ABC ，∠CDF =12∠ADC ，所以∠ABE =∠CDF ，在ABE 和CDF 中。
第十五讲——多边形与平行四边形考向一多边形的内（外）角和1．（2020·四川中考真题）多边形的内角和不可能为（ ）A．180°B．540°C．1080°D．1200°2．（2020·湖北宜昌市·中考真题）游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行．成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（）．A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走B．每段直路要短C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走D．每段直路要长3．（2020·山东德州市·中考真题）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°……照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（）A．80米B．96米 C．64米D．48米1．（2020·湖南怀化市·中考真题）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（）A．6B．7C．8D．92．（2020·江苏无锡市·中考真题）正十边形的每一个外角的度数为（）A．36°B．30°C．144°D．150°考向二多边形的对角线问题1．（2020·山东济南市·中考模拟）一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是（ ）A．12B．13C．14D．152．（2020·浙江台州市·九年级模拟）一个凸多边形共有230条对角线，则该多边形的边数是______．1．（2020·广东茂名市·中考模拟）若一个多边形从同一个顶点出发可以作5条对角线，则这个多边形的边数为（ ）A．6B．7C．8D．92．（2020·陕西渭南市·）若一个多边形的内角和为900°，则从该多边形一个顶点出发引的对角线条数是______．考向三 正多边形相关问题1．（2020·辽宁葫芦岛市·中考真题）如图，以AB 为边，在AB 的同侧分别作正五边形ABCDE 和等边ABF V ，连接,FE FC ，则EFA Ð的度数是____________．3．（2020·湖北黄石市·中考真题）匈牙利著名数学家爱尔特希（P. Erdos ，1913-1996）曾提出：在平面内有n 个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的n 个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，是由五个点A 、B 、C 、D 、O 构成的爱尔特希点集（它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成），则ADO Ð的度数是_____．1．（2020·福建中考真题）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则ABC Ð等于___度．2．（2019·山东枣庄市·中考真题）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE ．图中，BAC Ð=____度．考向四 平行四边形的性质1．（2020·海南中考真题）如图，在ABCD Y 中，10,15,AB AD BAD ==Ð的平分线交BC 于点,E 交DC 的延长线于点,F BG AE ^于点G ，若8BG =，则CEF △的周长为（ ）A ．16B ．17C ．24D ．252．（2020·吉林长春·中考真题）如图，在ABCD Y 中，O 是对角线AC 、BD 的交点，BE AC ^，DF AC ^，垂足分别为点E 、F ．（1）求证：OE OF =．（2）若5BE =，2OF =，求tan OBE Ð的值．1．（2020·湖南邵阳·中考真题）如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E ，B ，D ，F 在同一条直线上，请添加一个条件使得ABE CDF △≌△，下列不正确的是（ ）A ．AE CF =B ．AEB CFD Ð=ÐC ．EAB FCD Ð=ÐD ．BE DF=2．（2020·山东临沂·中考真题）如图，P 是面积为S 的ABCD Y 内任意一点，PAD △的面积为1S ，PBC V 的面积为2S ，则（ ）A ．122S S S +>B ．122S S S +<C ．122S S S += D ．12S S +的大小与P 点位置有关考向五 平行四边形的判定1．（2020·湖南衡阳·中考真题）如图,在四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,下列条件不能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（ ）A ．AB ∥DC ,AB =DC B ．AB =DC ,AD =BC C ．AB ∥DC ,AD =BC D ．OA=OC ,OB =OD2．（2020·江苏淮安·中考真题）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、AD 上，AC 与EF 相交于点O ，且AO CO =．（1）求证：AOF D ≌COE D ；（2）连接AE 、CF ，则四边形AECF （填“是”或“不是”）平行四边形．1．（2020·黑龙江穆棱·朝鲜族学校中考真题）如图，在四边形ABCD 中，AD//BC ，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件____，使四边形ABCD 是平行四边形（填一个即可）．2．（2020·湖南湘西·中考模拟）下列说法中，不正确是（ ）A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形B ．两组对角分别相等的四边形是平行四边形C ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D ．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形考向六 三角形的中位线1．（2020·内蒙古赤峰·中考真题）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，点F 是线段DE 上的一点连接AF ，BF ，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF 的长是 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．（2020·江苏徐州·中考真题）如图，在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 的中点，若5BF =，则DE =_______．1．（2020·广东广州·中考真题）ABC D 中，点,D E 分别是ABC D 的边AB ，AC 的中点，连接DE ，若68C Ð=°，则AED =∠（ ）A ．22°B ．68°C ．96°D ．112°D中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E 2．（2020·辽宁抚顺·中考真题）如图，在ABCBC=，则CD的长为_________．是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D，若4考向七梯形AB DC，∠DAB=90°，AB=8，CD=5，1．（2020·上海中考真题）如图，在直角梯形ABCD中，//BC（1）求梯形ABCD的面积；（2）联结BD，求∠DBC的正切值．2．（2020·湖北十堰市·中考模拟）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，且MB=MC，若AD=4，AB=6，BC=8，则梯形ABCD的周长为（ ）A．22B．24C．26D．281．（2020·上海中考模拟）在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 和BD 交于点O ，下列条件中，能判断梯形ABCD 是等腰梯形的是（ ）A ．∠BDC =∠BCDB ．∠ABC =∠DAB C ．∠ADB =∠DACD ．∠AOB =∠BOC2．（2020·甘肃天水市·中考模拟）如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC=12，BD=5，则这个梯形中位线的长等于 ．1．（2020·湖北黄冈市·中考真题）如果一个多边形的每一个外角都是36°，那么这个多边形的边数是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．102．（2020·西藏中考真题）一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形的边数是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．113．（2020·山东菏泽市·中考真题）如图，将ABC V 绕点A 顺时针旋转角a ，得到ADE V ，若点E 恰好在CB 的延长线上，则BED Ð等于（ ）A ．2aB ．23aC ．aD ．180a°-4．（2020·广东茂名市·中考模拟）从多边形一个顶点出发向其余的顶点引对角线，将多边形分成6个三角形，则此多边形的边数为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．95．（2020·湖北武汉市·中考模拟）如图为正七边形ABCDEFG ，以这个正七边形的顶点A 和其它六个顶点中的任两个顶点画三角形，所画的三角形中，包含正七边形的中心的三角形个数为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．125．（2020·黑龙江绥化·中考模拟）下列选项中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( )A ．AD //BC ，AB //CD B ．AB //CD ，AB CD =C ．AD //BC ，AB DC = D ．AB DC =，AD BC=6．（2020·广东广州·中考模拟）下列命题中，真命题的个数有（ ）①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个7．（2020·湖北荆门·中考模拟）四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，给出下列四个条件：①AD ∥BC ；②AD=BC ；③OA=OC ；④OB=OD从中任选两个条件，能使四边形ABCD 为平行四边形的选法有（ ）A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种8．（2020·四川中考真题）如图，在平行四边形ABCD 中，BE 平分∠ABC ，CF ⊥BE ，连接AE ，G 是AB 的中点，连接GF ，若AE ＝4，则GF ＝_____．9．（2020·吉林中考真题）如图，在ABC V 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点．若ADE V 的面积为12．则四边形DBCE 的面积为_______．10．（2020·黑龙江大庆·中考真题）一个周长为16cm 的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为_________cm ．11．（2020·江苏常州·中考真题）如图，在ABC V 中，45,B AB Ð=°=，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接DE ，在直线DE 和直线BC 上分别取点F 、G ，连接BF 、DG ．若3BF DG =，且直线BF 与直线DG 互相垂直，则BG 的长为_______．12．（2020·浙江金华·中考真题）如图，平移图形M ，与图形N 可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是______°．13．（2020·湖南益阳市·中考真题）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数是_____．14．（2020·广西玉林市·中考真题）如图，在边长为3的正六边形ABCDEF 中，将四边形ADEF 绕点A 顺时针旋转到四边形AD E F ¢¢¢处，此时边AD ¢与对角线AC 重叠，则图中阴影部分的面积是___________．15．（2020·吉林长春市·中考真题）正五边形的一个外角的大小为__________度．16．（2020·山东烟台市·中考真题）若一个正多边形的每一个外角都是40°，则这个正多边形的内角和等于 ．17．（2020·内蒙古中考真题）如图，在平行四边形ABCD Y 中，2,AB ABC =Ð的平分线与BCD Ð的平分线交于点E ，若点E 恰好在边AD 上，则22BE CE +的值为______．18．（2020·甘肃金昌·中考真题）如图，在ABC V 中，D 是BC 边上一点，且BD BA =．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）①作ABC Ð的角平分线交AD 于点E ；②作线段DC 的垂直平分线交DC 于点F ．（2）连接EF ，直接写出线段EF 和AC 的数量关系及位置关系．19．（2020·浙江衢州·中考真题）如图，在5×5的网格中，△ABC 的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出一个以AB 为边的▱ABDE ，使顶点D ，E 在格点上．（2）在图2中画出一条恰好平分△ABC 周长的直线l （至少经过两个格点）．20．（2019·重庆中考真题）在ABCD Y 中，BE 平分ABC Ð交AD 于点E ．（1）如图1，若30D °Ð=，AB =ABE D 的面积；（2）如图2，过点A 作AF DC ^，交DC 的延长线于点F ，分别交BE ，BC 于点G ，H ，且AB AF =．求证：ED AG FC -=．21．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），^于点E，//DE AGBF DE，且交AG于点F．（1）求证：AF BF EF-=；（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能请指出此时点G的位置，如不可能请说明理由．22．（2020·山东济南·中考真题）如图，在▱ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，过点O 的一条直线分别交AD，BC 于点E，F．求证：AE=CF．23．（2020·河北保定市·中考模拟）连接多边形任意两个不相邻顶点的线段称为多边形的对角线．（1）对角线条数分别为 、 、 、 ．（2）n边形可以有20条对角线吗？如果可以，求边数n的值；如果不可以，请说明理由．（3）若一个n边形的内角和为1800°，求它对角线的条数．24．（2019·浙江台州市·中考真题）我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．对一个各条边都相等的凸多边形（边数大于3），可以由若干条对角线相等判定它是正多边形．例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形．（1）已知凸五边形ABCDE的各条边都相等．====，求证：五边形ABCDE是正五边形；①如图1，若AC AD BE BD CE==，请判断五边形ABCDE是不是正五边形，并说明理由：②如图2，若AC BE CE（2）判断下列命题的真假．（在括号内填写“真”或“假”）如图3，已知凸六边形ABCDEF的各条边都相等．==，则六边形ABCDEF是正六边形；（ ）①若AC CE EA==，则六边形ABCDEF是正六边形．（ ）②若AD BE CF1．（2020·广东中考真题）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（）A．4B．5C．6D．72．（2020·江苏淮安市·中考真题）六边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．1080°3．（2020·北京中考真题）五边形的外角和等于（）A．180°B．360°C．540°D．720°4．（2020·湖南娄底市·中考真题）正多边形的一个外角为60°，则这个多边形的边数为（）A．5B．6C．7D．85．（2020·江苏扬州市·中考真题）如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（）A．100米B．80米C．60米D．40米6．（2020·陕西中考真题）如图，在▱ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8．E 是边BC 的中点，F 是▱ABCD 内一点，且∠BFC ＝90°．连接AF 并延长，交CD 于点G ．若EF ∥AB ，则DG 的长为（ ）A ．52B ．32C ．3D ．27．（2020·山东潍坊·中考真题）如图，点E 是ABCD Y 的边AD 上的一点，且12DE AE =，连接BE 并延长交CD 的延长线于点F ，若3,4DE DF ==，则ABCD Y 的周长为（ ）A ．21B ．28C ．34D ．428．（2020·湖南益阳·中考真题）如图，ABCD Y 的对角线AC ，BD 交于点O ，若6AC =，8BD =，则AB 的长可能是（ ）A ．10B ．8C ．7D ．6EF=，则菱9．（2020·湖北荆门·中考真题）如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若5形ABCD的周长为（）A．20B．30C．40D．5010．（2020·新疆中考真题）如图，在△ABC中，∠A=90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线，交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB=CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为（）A．B．5C．D．1011．（2020·湖南衡阳市·中考真题）已知一个n边形的每一个外角都为30°，则n等于_________．12．（2020·辽宁锦州市·中考真题）一个多边形的每一个内角为108°，则这个多边形是_____边形．13．（2020·内蒙古赤峰市·中考真题）一个n边形的内角和是它外角和的4倍，则n=______．14．（2020·陕西中考真题）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是_____．15．（2020·四川遂宁市·中考真题）已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为____度．16．（2020·北京中考真题）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格交点，则V ABC的面积与V ABD的面积的大小关系为：ABCS V______ABDS V（填“＞”，“＝”或“＜”）17．（2020·山东枣庄市·中考真题）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式112S a b=+-（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S=________．18．（2020·辽宁鞍山·中考真题）如图，在ABCD Y 中，点E 是CD 的中点，AE ，BC 的延长线交于点F ．若ECF △的面积为1，则四边形ABCE 的面积为________．19．（2020·山东东营·中考真题）如图，P 为平行四边形ABCD 边BC 上一点，E F 、分别为PA PD 、上的点，且3,3,PA PE PD PF ==,,PEF PDC PAB V V V 的面积分别记为12,S S S 、．若2,S =则12S S +=____．20．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，连接AC ，ACB CAD Ð=Ð．请你添加一个条件______________，使AB CD =．（填一种情况即可）21．（2020·山东淄博·中考真题）已知：如图，E 是▱ABCD 的边BC 延长线上的一点，且CE ＝BC ．求证：△ABC ≌△DCE ．22．（2020·湖北鄂州·中考真题）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点M ，N 分别为OA 、OC 的中点，延长BM 至点E ，使EM BM =，连接DE ．（1）求证：AMB CND △≌△；（2）若2BD AB =，且5AB =，4DN =，求四边形DEMN 的面积．23．（2020·山东泰安·中考真题）若ABC V 和AED V 均为等腰三角形，且90BAC EAD Ð=Ð=°．（1）如图（1），点B 是DE 的中点，判定四边形BEAC 的形状，并说明理由；（2）如图（2），若点G 是EC 的中点，连接GB 并延长至点F ，使CF CD =．求证：①EB DC =，②EBG BFC Ð=Ð．24．（2020·浙江嘉兴·中考真题）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF 拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动．活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移．（思考）图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．（发现）当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长．活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，OE （如图4）．（探究）当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由．25．（2020·浙江宁波·中考真题）（基础巩固）（1）如图1，在△ABC 中，D 为AB 上一点，∠ACD ＝∠B ．求证：AC 2＝AD •AB ．（尝试应用）（2）如图2，在▱ABCD 中，E 为BC 上一点，F 为CD 延长线上一点，∠BFE ＝∠A ．若BF ＝4，BE ＝3，求AD 的长．（拓展提高）（3）如图3，在菱形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是△ABC 内一点，EF ∥AC ，AC ＝2EF ，∠EDF ＝12∠BAD ，AE ＝2，DF ＝5，求菱形ABCD 的边长．。
考点17.多边形与平行四边形（精讲）【命题趋势】多边形与平行四边形是历年中考考查重点，年年都会考查，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查多边形的内角和、平行四边形性质和判定、与三角形中位线有关计算的可能性比较大。
中考数学中，对平行四边形的单独考察难度一般不大，一般和三角形全等（相似）、函数、解直角三角形等综合考查的可能性比较大，对于本考点内容，要注重基础，反复练习，灵活运用。
【知识清单】1：多边形的相关概念（☆☆）1）多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
3）多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形，n边形的对角线条数为()32n n-。
4）多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（n≥3）。
5）多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。
6）正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。
7）平面镶嵌（密铺）的条件：在同一顶点内的几个角的和等于360°；所有正多边形中，单独使用其中一种能够进行密铺(镶嵌)的只有正三角形、正方形、正六边形。
如果选用多种，则需要满足：(1)边长相等；(2)选用正多边形若干个内角的和恰好等于360°。
2：平行四边形的性质与判定（☆☆☆）1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2）平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.3）平行四边形的性质：（1）两组对边平行且相等；（2）对角相等、邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心。
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2019年中考数学专题复习第五章四边形第二十讲多边形与平行四边形【基础知识回顾】一、多边形：1、定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段相连组成的图形叫做多边形，各边相等、也相等的多边形叫做正多边形2、多边形的内外角和：n(n≥3)的内角和是外角和是正n边形的每个外角的度数是，每个内角的度数是。
3、多边形的对角线:多边形的对角线是连接多边形的两个顶点的线段，从n边形的一个顶点出发有条对角线,将多边形分成个三角形,一个n边形共有条对边线【名师提醒：1、三角形是边数最少的多边形 2、所有的正多边形都是轴对称图形，正n边形共有条对称轴，边数为数的正多边形也是中心对称图形】二、平面图形的密铺：1、定义：用、完全相同的一种或几种平面图形进行拼接,彼此之间、地铺成一起，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的 .2、密铺的方法：⑴用同一种正多边形密铺，可以用、或⑵用两种正多边形密铺，组合方式有：和、和、和等几种【名师提醒：能密铺的图形在一个拼接处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于并使相等的边互相平合】三、平行四边形1、定义：两组对边分别的四边形是平行四边形,平行四边形ABCD可表示为2、平行四边形的特质：⑴平行四边形的两组对边分别⑵平行四边形的两组对角分别⑶平行四边形的对角线【名师提醒:1、平行四边形是对称图形,对称中心是过对角线交点的任一直线被一组对边截得的线段该直线将原平行四边形分成全等的两个部分】3、平行四边形的判定：⑴用定义判定⑵两组对边分别的四边形是平行四边形⑶一组对边的四边形是平行四边形⑷两组对角分别的四边形是平行四边形⑸对角线的四边形是平行四边形【名师提醒:特别的:一组对边平行，另一组对边相等的四边形和一组对边相等、一组对角相等的四边形都不能保证是平行四边形】4、平行四边形的面积：计算公式×同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积【名师提醒：夹在两平行线间的平行线段两平行线之间的距离处处】【重点考点例析】考点一：多边形内角和、外角和公式例1 （2018•铜仁市）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A．8 B．9C．10 D．11【思路分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得:180°•（n—2）=3×360°解得n=8．故选：A．【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．考点二：平行四边形的性质例2 （2018•青岛)已知：如图,平行四边形ABCD,对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,连接FD．（1）求证：AB=AF；(2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．【思路分析】（1）只要证明AB=CD，AF=CD即可解决问题；（2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；【解答】（1）证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠AFC=∠DCG，∵GA=GD,∠AGF=∠CGD,∴△AGF≌△DGC，∴AF=CD，∴AB=AF．(2）解：结论：四边形ACDF是矩形．理由：∵AF=CD，AF∥CD，∴四边形ACDF是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD=120°,∴∠FAG=60°,∵AB=AG=AF，∴△AFG是等边三角形,∴AG=GF，∵△AGF≌△DGC，∴FG=CG，∵AG=GD，∴AD=CF，∴四边形ACDF是矩形．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．考点三：平行四边形的判定例3 (2018•东营）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长,交AB的延长线于点F,AB=BF．添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（）A．AD=BC B．CD=BFC．∠A=∠C D．∠F=∠CDF【思路分析】正确选项是D．想办法证明CD=AB，CD∥AB即可解决问题;【解答】解：正确选项是D．理由：∵∠F=∠CDF，∠CED=∠BEF，EC=BE,∴△CDE≌△BFE，CD∥AF，∴CD=BF，∵BF=AB，∴CD=AB,∴四边形ABCD是平行四边形．故选:D．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．【备考真题过关】一、选择题1．（2018•北京）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°2.（2018•乌鲁木齐）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（）A．4 B．5C．6 D．73。
多边形与平行四边形(27题)一、单选题1(2023·湖南·统考中考真题)如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是()A.AB=CDB.AB∥CDC.∠A=∠CD.BC=AD【答案】A【分析】依据平行四边形的判定，依次分析判断即可得出结果．【详解】解：A、当BC∥AD，AB=CD时，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；B、当AB∥CD，BC∥AD时，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；C、当BC∥AD，∠A=∠C时，可推出AB∥DC，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；D、当BC∥AD，BC=AD时，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；故选：A．【点睛】此题考查了平行四边形的判定，解决问题的关键要熟记平行四边形的判定方法．2(2023·湖南永州·统考中考真题)下列多边形中，内角和等于360°的是()A. B.C. D.【答案】B【分析】根据n边形内角和公式n-2⋅180°分别求解后，即可得到答案【详解】解：A．三角形内角和是180°，故选项不符合题意；B．四边形内角和为4-2×180°=360°，故选项符合题意；C．五边形内角和为5-2×180°=540°，故选项不符合题意；D．六边形内角和为6-2×180°=720°，故选项不符合题意．故选：B．【点睛】此题考查了n边形内角和，熟记n边形内角和公式n-2⋅180°是解题的关键．3(2023·湖南·统考中考真题)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一个条件，使四边形ABCD为平形四边形，则下列正确的是()A.AD=BCB.∠ABD=∠BDCC.AB=ADD.∠A=∠C【答案】D【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解．【详解】解：A．根据AB∥CD，AD=BC，不能判断四边形ABCD为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；B．∵AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC，不能判断四边形ABCD为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；C．根据AB∥CD，AB=AD，不能判断四边形ABCD为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意； D．∵AB∥CD，∴∠ABC+∠C=180°，∵∠A=∠C∴∠ABC+∠A=180°，∴AD∥BC∴四边形ABCD为平形四边形，故该选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．4(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S=ah时，若△ABE平移到△DCF，a=4，h=3，则△ABE的平移距离为()A.3B.4C.5D.12【答案】B【分析】根据平移的方向可得，△ABE平移到△DCF，则点A与点D重合，故△ABE的平移距离为AD的长．【详解】解：用平移方法说明平行四边形的面积公式S=ah时，将△ABE平移到△DCF，故平移后点A与点D重合，则△ABE的平移距离为AD=a=4，故选：B．【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．5(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD=4，CD=6，则EO的长为()A.1B.2C.3D.4【答案】A【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定可得AP=AD= 4，进而可得BP=2，再根据三角形的中位线解答即可.【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，CD=6，∴AB∥CD，AB=CD=6，DO=BO，∴∠CDP=∠APD，∵PD平分∠ADC，∴∠ADP=∠CDP，∴∠ADP=∠APD，∴AP=AD=4，∴BP=AB-AP=6-4=2，∵E是PD中点，BP=1；∴OE=12故选：A.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理等知识，熟练掌握相关图形的判定与性质是解题的关键.6(2023·四川成都·统考中考真题)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是()A.AC=BDB.OA=OCC.AC⊥BDD.∠ADC=∠BCD【答案】B【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，A. AC=BD，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；B. OA=OC，故该选项正确，符合题意；C. AC⊥BD，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；D. ∠ADC=∠BCD，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．7(2023·安徽·统考中考真题)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC,OD，则∠BAE-∠COD=()A.60°B.54°C.48°D.36°【答案】D【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可．【详解】∵∠BAE=180°-360°5,∠COD=360°5，∴∠BAE-∠COD=180°-360°5-360°5=36°，故选D．【点睛】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键．二、填空题8(2023·云南·统考中考真题)五边形的内角和是度．【答案】540【分析】根据n边形内角和为n-2×180°求解即可．【详解】五边形的内角和是5-2×180°=540°．故答案为：540．【点睛】本题考查求多边形的内角和．掌握n边形内角和为n-2×180°是解题关键．9(2023·新疆·统考中考真题)若正多边形的一个内角等于144°，则这个正多边形的边数是．【答案】10【分析】本题需先根据已知条件设出正多边形的边数，再根据正多边形的计算公式得出结果即可．【详解】解：设这个正多边形是正n边形，根据题意得：n-2×180°÷n=144°，解得：n=10．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了正多边形的内角，在解题时要根据正多边形的内角公式列出式子是本题的关键．10(2023·上海·统考中考真题)如果一个正多边形的中心角是20°，那么这个正多边形的边数为．【答案】18【分析】根据正n边形的中心角的度数为360°÷n进行计算即可得到答案．【详解】根据正n边形的中心角的度数为360°÷n，则n=360÷20=18，故这个正多边形的边数为18，故答案为：18．【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．11(2023·江苏扬州·统考中考真题)如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是．【答案】6【详解】解：根据多边形的外角和等于360°和正多边形的每一个外角都相等，得多边形的边数为360°÷60°=6．故答案为：6.12(2023·山东临沂·统考中考真题)如图，三角形纸片ABC中，AC=6，BC=9，分别沿与BC，AC 平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是．【答案】14【分析】由平行四边形的性质推出DF∥BC，DE∥AC，得到△ADF∽△ABC，△BDE∽△BAC，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解：如图，由题意得ADAB=13，四边形DECF是平行四边形，∴DF∥BC，DE∥AC，∴△ADF∽△ABC，△BDE∽△BAC，∴DF BC =ADAB=13，DEAC=BDAB=23，∵AC=6，BC=9，∴DF=3，DE=4，∵四边形DECF平行四边形，∴平行四边形DECF纸片的周长是23+4=14，故答案为：14．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．13(2023·湖南·统考中考真题)如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，∠B的平分线BE交AD于点E，则DE的长为．【答案】2【分析】根据平行四边形的性质可得AD∥BC，则∠AEB=∠CBE，再由角平分线的定义可得∠ABE=∠CBE，从而求得∠AEB=∠ABE，则AE=AB，从而求得结果．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵∠B的平分线BE交AD于点E，∴∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB，∵AB=3，BC=5，∴DE=AD-AE=BC-AB=5-3=2，故答案为：2．【点睛】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定，掌握平行四边形的性质是解题的关键．14(2023·重庆·统考中考真题)如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，则∠BAC的度数为．【答案】36°【分析】首先利用多边形的内角和公式求得正五边形的内角和，再求得每个内角的度数，利用等腰三角形的性质可得∠BAC的度数．【详解】正五边形内角和：(5-2)×180°=3×180°=540°∴∠B=540°5=108°，∴∠BAC=180°-∠B2=180°-108°2=36° .故答案为36°．【点睛】本题主要考查了正多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式：(n-2)×180°是解答此题的关键．15(2023·湖北黄冈·统考中考真题)若正n边形的一个外角为72°，则n=．【答案】5【分析】正多边形的外角和为360°，每一个外角都相等，由此计算即可．【详解】解：由题意知，n=36072=5，故答案为：5．【点睛】本题考查正多边形的外角问题，解题的关键是掌握正n边形的外角和为360°，每一个外角的度数均为360°n．16(2023·福建·统考中考真题)如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB,CD 于点E,F．若AE=10，则CF的长为．【答案】10【分析】由平行四边形的性质可得DC∥AB,DC=AB即∠OFD=∠OEB,∠ODF=∠EBO，再结合OD =OB可得△DOF≌△BOE AAS可得DF=EB，最进一步说明FC=AE=10即可解答．【详解】解：∵ABCD中，∴DC∥AB,DC=AB，∴∠OFD=∠OEB,∠ODF=∠EBO，∵OD=OB，∴△DOF≌△BOE AAS，∴DF=EB，∴DC-DF=AB-BE,即FC=AE=10．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证明三角形全等是解答本题的关键．17(2023·山东·统考中考真题)已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是边形．【答案】5【详解】设这个多边形是n边形，由题意得，(n-2)×180°=540°，解之得，n=5．18(2023·甘肃兰州·统考中考真题)如图，在▱ABCD中，BD=CD，AE⊥BD于点E，若∠C=70°，则∠BAE=°．【答案】50【分析】证明∠DBC=∠C=70°，∠BDC=180°-2×70°=40°，由AB∥CD，可得∠ABE=∠BDC=40°，结合AE⊥BD，可得∠BAE=90°-40°=50°．【详解】解：∵BD=CD，∠C=70°，∴∠DBC=∠C=70°，∠BDC=180°-2×70°=40°，∵▱ABCD，∴AB∥CD，∴∠ABE=∠BDC=40°，∵AE⊥BD，∴∠BAE=90°-40°=50°；故答案为：50【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行四边形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记基本几何图形的性质是解本题的关键．19(2023·吉林长春·统考中考真题)如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B ，折痕为AF，则∠AFB 的大小为度．【答案】45【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为155-2×180°=108°，根据折叠的性质求得∠BAM,∠FAB ,在△AFB 中，根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵正五边形的每一个内角为155-2×180°=108°，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，则∠BAM=12∠BAE=12×108°=54°，∵将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B ，折痕为AF，∴∠FAB =12∠BAM=12×54°=27°，∠AB F=∠B=108°，在△AFB 中，∠AFB =180°-∠B-∠FAB =180°-108°-27°=45°，故答案为：45．【点睛】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．20(2023·重庆·统考中考真题)若七边形的内角中有一个角为100°，则其余六个内角之和为．【答案】800°/800度【分析】根据多边形的内角和公式180°n-2即可得．【详解】解：∵七边形的内角中有一个角为100°，∴其余六个内角之和为180°×7-2-100°=800°，故答案为：800°．【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题关键．三、解答题21(2023·四川自贡·统考中考真题)在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AD和BC上，且DE =BF．求证：AF=CE．【答案】见解析【分析】平行四边形的性质得到AD=BC,AD∥BC，进而推出AE=CF，得到四边形AECF是平行四边形，即可得到AF=EC．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC,AD∥BC，∵BE=DF，∴AE=CF，∴AE=CF,AE∥CF∴四边形AECF是平行四边形，∴AF=CE．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质．熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键．22(2023·湖南·统考中考真题)如图所示，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G、F分别为BH、CH的中点．(1)求证：四边形DEFG为平行四边形(2)DG⊥BH，BD=3，EF=2，求线段BG的长度．【答案】(1)见解析(2)5【分析】(1)由三角形中位线定理得到DE∥BC,DE=12BC，GF∥BC,GF=12BC，得到GF∥DE,GF=DE，即可证明四边形DEFG为平行四边形；(2)由四边形DEFG为平行四边形得到DG=EF=2，由DG⊥BH得到∠DGB=90°，由勾股定理即可得到线段BG的长度．【详解】(1)解：∵点D、E分别为AB、AC的中点，∴DE∥BC,DE=12BC，∵点G、F分别为BH、CH的中点．∴GF∥BC,GF=12BC，∴GF∥DE,GF=DE，∴四边形DEFG为平行四边形；(2)∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG=EF=2，∵DG ⊥BH ，∴∠DGB =90°，∵BD =3，∴BG =BD 2-DG 2=32-22=5．【点睛】此题考查了中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形DEFG 为平行四边形和利用勾股定理计算是解题的关键．23(2023·浙江杭州·统考中考真题)如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ，点E ,F 在对角线BD 上，且BE =EF =FD ，连接AE ,EC ，CF ,FA ．(1)求证：四边形AECF 是平行四边形．(2)若△ABE 的面积等于2，求△CFO 的面积．【答案】(1)见解析(2)1【分析】(1)根据平行四边形对角线互相平分可得OA =OC ，OB =OD ，结合BE =FD 可得OE =OF ，即可证明四边形AECF 是平行四边形；(2)根据等底等高的三角形面积相等可得S △AEF =S △ABE =2，再根据平行四边形的性质可得S △CFO =12S △CEF =12S △AEF =12×2=1．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =OC ，OB =OD ，∵BE =FD ，∴OB -BE =OD -FD ，∴OE =OF ，又∵OA =OC ，∴四边形AECF 是平行四边形．(2)解：∵S △ABE =2，BE =EF ，∴S △AEF =S △ABE =2，∵四边形AECF 是平行四边形，∴S △CFO =12S △CEF =12S △AEF =12×2=1．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．24(2023·山东·统考中考真题)如图，在▱ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E ；CF 平分∠BCD ，交AD 于点F ．求证：AE =CF ．【答案】证明见解析【分析】由平行四边形的性质得∠B =∠D ，AB =CD ，AD ∥BC ，由平行线的性质和角平分线的性质得出∠BAE =∠DCF ，可证△BAE ≌△DCF ，即可得出AE =CF ．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B =∠D ，AB =CD ，∠BAD =∠DCB ，AD ∥BC ，∵AE 平分∠BAD ，CF 平分∠BCD ，∴∠BAE =∠DAE =∠BCF =∠DCF ，在△BAE 和△DCF 中，∠B =∠DAB =CD∠BAE =∠DCF∴△BAE ≌△DCF ASA ∴AE =CF ．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，平行线的性质及全等三角形的判定与性质，根据题目已知条件熟练运用平行四边形的性质，平行线的性质是解答本题的关键．25(2023·重庆·统考中考真题)学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作AC 的垂直平分线交DC 于点E ，交AB 于点F ，垂足为点O ．(只保留作图痕迹)已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 是对角线，EF 垂直平分AC ，垂足为点O ．求证：OE =OF ．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ．∴∠ECO =①．∵EF 垂直平分AC ，∴②．又∠EOC =_③．∴ΔCOE ≅ΔAOF ASA ．∴OE =OF ．小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC 中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形对角线中点的直线④．【答案】作图：见解析；∠FAO；AO=CO；∠FOA；被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分【分析】根据线段垂直平分线的画法作图，再推理证明即可并得到结论．【详解】解：如图，即为所求；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB．∴∠ECO=∠FAO．∵EF垂直平分AC，∴AO=CO．又∠EOC=∠FOA．∴△COE≅△AOF ASA．∴OE=OF．故答案为：∠FAO；AO=CO；∠FOA；由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分，故答案为：被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，作线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质及线段垂直平分线的作图方法是解题的关键．26(2023·四川南充·统考中考真题)如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，∠CBE=∠ADF．求证：(1)AE=CF；(2)BE∥DF．【答案】见解析【分析】(1)根据平行四边形的性质推出相应的线段和相应的角度相等，再利用已知条件求证∠ABE=∠CDF，最后证明△ABE≌△CDF ASA即可求出答案．(2)根据三角形全等证明角度相等，再利用邻补角定义推出∠BEF=∠EFD即可证明两直线平行．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∠ABC=∠ADC，∴∠BAE=∠FCD．∵∠CBE=∠ADF，∠ABC=∠ADC，∴∠ABE=∠CDF．∴△ABE≌△CDF ASA．∴AE=CF．(2)证明：由(1)得△ABE≌△CDF ASA，∴∠AEB=∠CFD．∵∠AEB+∠BEF=180°，∠CFD+∠EFD=180°，∴∠BEF=∠EFD．∴BE∥DF．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，邻补角定义，三角形全等，平行线的判定，解题的关键在于熟练掌握平行四边形的性质．27(2023·四川广安·统考中考真题)如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O,BE⊥AC，DF ⊥AC，垂足分别为点E、F，且AF=CE,∠BAC=∠DCA．求证：四边形ABCD是平行四边形．【答案】见详解【分析】先证明△AEB≌△CFD(ASA)，再证明AB=CD,AB∥CD，再由平行四边形的判定即可得出结论．【详解】证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB=∠CFD=90°，∵AF=CE,AE=AF-EF,CF=CE-EF,∴AE=CF,又∵∠BAC=∠DCA，∴△AEB≌△CFD(ASA)，∴AB=CD，∵∠BAC=∠ACD，∴AB∥CD，四边形ABCD是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．。
第五章 B 边形第19课时多边形与平行四边形（时间:45分钟）基础训练L •己知一个多边形的内角和是900° ，则这个多边形是（C ） A •五边形B.六边形C •七边形D.八边形2・在口ABCD 中，下列结论一定正确的是（B ）A • AC 丄BD B. ZA+ZB=180°C ・.AB = AD.D ZAHZC3.如图，在"BCD 中，AC ，BD 相交于点O ，则下列结论屮错误的是（一 C ）A ・ OA=OCB ・ ZABC=ZADCC ・ AB=CD D. AC = BD4 • （2015-玉林中考）如图，在口ABCD 屮，BM 是ZABC 的平分线交CD 于点M ，且MC=2，"BCD 的周长 是14,则DM 等于（C ）A • IB ・2C ・3D ・45. （201&海南中考）如图，"BCD 的周长为36，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是CD 的屮点，BD = 12，则ADOE 的周长为（A ）A ・ 15 B. 18 C ・ 21 D. 246 ・如图，口ABCD 中，BC = BD ，ZC = 74° ，则ZADB 的度数是（C ）7.如图‘在四边形ABCD 屮，AB 〃CD ‘要使四边形ABCD.是平行四边形，可，添加的条件不正确的是 (D )A • AB=CD B. BC 〃ADC • ZA=ZC D. BC = AD8 • （2018-玉林中考）在四边形ABCD 屮：①AB 〃CD ，②AD 〃BC ，③AB=CD ，④AD = BC ，从以上选择两 个条件使四边形ABCD 为平行四边形的选法共有（B ）A ・3种B. 4种C. 5种D. 6种9 • （2017•来宾中考）已知一个多边形的内角和是外角和的2倍，此多边形是 A 边形.10 • （2016-桂林中考）正六边形的每个外角是_度.11・如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，AO = CO ，请添加一个条件 如BO = DO（•只添一个即A - 16° B. 22°A 3,第2题图）C. C,第6题图）12. （2018-衡阳中考）如图，口ABCD的对角线相交于点O，且ADHCD，过点O作OM丄AC，交AD于点M. 如果ZXCDM的周长为8，那么口ABCD的周长是一16 .13 • （2018•衢州中考）如图，在"BCD中，AC是对角线，BE丄AC，DF丄AC，垂足分别为点E，F.求证：AE =CF.证明：J四边形ABCD为平行四边形，・・・AB = DC，AB II DC，AZBAC=ZDCA.・.・BE丄AC，DF±AC，.\ZAEB=ZCFD = 90°，•••△ABE&ACDF（AAS），・・・AE = CF.14・（2015-桂抹中考）如图，在oABCD中，E，F分别是AB，CD的中点•・（1）求证：四边形EBFD为平行艸边形；⑵对角线AC分别与DE，BF交于点M，N，求证：△ABN9/XCDM.证明：（I）：'四边形ABCD是平行四边形，A AB II CD，AB = CD.• ・・・E，F分别是AB，CD的中点，・・・BE = DF.又・.・BE〃DF，・•・四边形EBFD为平行四边形；⑵•・•四边形EBFD为平行四边形・，AZCDE=ZABF.・・•四边形ABCD是平行四边形，A AB II CD，AB = CD，AZBAC=ZDCA.在AABN与ACDM中，VBAN=ZDCM，・.・v AB = CD，、ZCDE=ZABF，・・・ AABN^ACDM（ASA）.能九提升15 •如图，在oABCD 中，过对角线BD 上一点P 作EF〃BC，GH〃AB，且CG=2BG，S ABPG=1'则S.A EPH=4 .16. (2016 •钦州中考)如图，。
§4.5 多边形与平行四边形一、选择题1．(原创题)如果将n边形的边数增加一倍，那么它的内角和增加( )A．180°B．(180n)°C．360°D．(360n)°解析(2n－2)·180°－(n－2)·180°＝(180n)°.故选B.答案 B2．(原创题)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是( )A．7 B．10 C．11 D．12解析∵AC的垂直平分线交AD于E，∴AE＝EC.∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB＝4，AD＝BC＝6，∴△CDE的周长为：EC＋CD＋ED＝AD＋CD＝6＋4＝10.答案 B3．(原创题)若以A(－0.5，0)，B(2，0)，C(0，1)三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析根据题意画出图形，如图所示：分三种情况考虑：①以CB为对角线作平行四边形ABD1C，此时第四个顶点D1落在第一象限；②以AC为对角线作平行四边形ABCD2，此时第四个顶点D2落在第二象限；③以AB为对角线作平行四边形ACBD3，此时第四个顶点D3落在第四象限，则第四个顶点不可能落在第三象限．答案 C4．(改编题)如图，在▱ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是( )A．3 cm＜OA＜5 cm B．2 cm＜OA＜8 cmC．1 cm＜OA＜4 cm D．3 cm＜OA＜8 cm解析因为平行四边形的对角线互相平分，即AC＝2OA.在△ABC中，BC－AB＜AC＜AB＋BC，所以2 cm ＜AC＜8 cm，所以1 cm＜OA＜4 cm.故选C.答案 C5．(原创题)如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝12，BD＝8，CD＝6，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是( )A．11 B．13C．16 D．22解析 ∵BD⊥CD，BD ＝8，CD ＝6，∴BC ＝10.根据三角形的中位线定理可知，EF ＝GH ＝12BC ＝5，EH ＝FG＝12AD ＝6，∴四边形EFGH 的周长为EF ＋GH ＋EH ＋FG ＝5＋5＋6＋6＝22.故选D. 答案 D6．(原创题)如图所示，已知等边△ABC 的边长为1，按图中所示的规律，在同一平面内用2 014个这样的三角形拼接而成的四边形的周长是( )A ．2 015B ．2 016C ．2 017D ．2 018解析 观察图形可知，2 014个等边三角形组成的四边形是一个平行四边形，这个平行四边形的边长分别是1和1 007，所以这个平行四边形的周长是(1＋1 007)×2＝2 016.故选B. 答案 B二、填空题7．(改编题)一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是________． 解析 根据题意，得(n －2)·180＝3×360＋180，解得：n ＝9.则这个多边形的边数是9. 答案 98．(改编题)如图，▱ABCD 中，点E 是边AB 的中点，连结DE交对角线AC于点O ，则△AOE 与△COD 面积的比为________． 的比为⎝ ⎛⎭⎪⎫AE CD 2解析 ∵AE∥CD，∴△AOE ∽△COD.∴△AOE 与△COD 面积＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14. 答案 14(或1∶4)9．(原创题)已知▱ABCD 的周长为28，自顶点A 作AE⊥DC 于E ，AF ⊥BC 于F ，若AE ＝3，AF ＝4，则CE －CF ＝____________．解析 由△AFB∽△AED，得AD ＝6，AB ＝8.再由勾股定理求得BF ＝43，DE ＝3 3.从而求出CE －CF ＝2＋ 3. 答案 2＋ 310．(原创题)如图，在图1中，A 1，B 1，C 1分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，在图2中，A 2，B 2，C 2分别是△A 1B 1C 1的边B 1C 1，C 1A 1，A 1B 1的中点，…，按此规律，则第2 014个图形中平行四边形的个数共有________个．解析 在图1中，有3个平行四边形；在图2中，有6个平行四边形；在图3中，有9个平行四边形，从上面的数据可知图形中平行四边形的个数是图形序号的3倍，故第2 014个图形中平行四边形的个数是2 014×3＝6 042. 答案 6 042 三、解答题11．(原创题)如图，在▱ABCD 中，过点A 分别作AE⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F.(1)求证：∠BAE＝∠DAF； (2)若AE ＝4，AF ＝245，sin ∠BAE ＝35，求CF 的长． (1)证明 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B ＝∠D.又∵AE⊥BC，AF ⊥CD ， ∴∠AEB ＝∠AFD＝90°.∵∠B ＋∠BAE＝90°，∠D ＋∠DAF＝90°， ∴∠BAE ＝∠DA F. (2)解 在Rt △ABE 中，sin ∠BAE ＝35，AE ＝4，可求AB ＝5.又∵∠BAE＝∠DAF， ∴ sin ∠DAF ＝sin ∠BAE ＝35.在Rt △ADF 中，AF ＝245，sin ∠DAF ＝35， 可求DF ＝185.∵ CD ＝AB ＝5，∴CF ＝5－185＝75. 12．(原创题)已知：如图，▱ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点．(1)求证：四边形EBFD 是平行四边形；(2)若AD ＝AE ＝2，∠A ＝60°，求四边形EBFD 的周长和面积．(1)证明 在▱ABCD 中，AB ＝CD ，AB ∥CD ， ∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点， ∴BE ＝12AB ，DF ＝12CD.∴BE ＝DF.∴四边形EBFD 是平行四边形．(2)解 作DG⊥AB 于G ，∵AD ＝AE ，∠A ＝60°，∴△ADE 是等边三角形．∴DE ＝AD ＝2.又∵BE＝AE ＝2.由(1)知四边形EBFD 是平行四边形， ∴四边形EBFD 的周长＝2(BE ＋DE)＝8. ∵△ADE 是等边三角形， ∴AG ＝GE ＝1.在Rt △ADG 中，DG ＝AD 2－AG 2＝22－12＝3， ∴S ▱EBFD ＝BE×DG＝2×3＝2 3.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，该几何体的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．2．如图，已知点M 为平行四边形ABCD 边AB 的中点，线段CM 交BD 于点E ，S △BEM ＝2，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．5B ．4C ．8D ．63．下列运算中，结果正确的是（ ） A.235a a a +=B.236a a a =C.()236a a = D.623a a a ÷=4．如图，⨀O 是△ABC 的外接圆，直径AD ＝4，∠ABC ＝∠DAC ，则AC 的长为（ ）A ．B ．2C ．4D ．25．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，给下以下结论：①2a ﹣b ＝0；②9a+3b+c ＜0；③关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c+3＝0有两个相等实数根；④8a+c ＜0．其中正确的个数是（ ）A.2B.3C.4D.56．某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目．项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯AB 自由上下选择项目难度．其中斜坡轨道BC 的坡度（或坡比）为i ＝1：2，BC ＝12米，CD ＝8米，∠D ＝36°，（其中点A 、B 、C 、D 均在同一平面内）则垂直升降电梯AB 的高度约为（ ）米．（精确到0.1米，参考数据：tan36°≈0.73，cos36°≈0.81，sin36°≈0.59）A.5.6B.6.9C.11.4D.13.97．如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象经过点(1,0),(3,0)A B -.有下列结论：①20a b c ++<； ②当1x >时，随x 的增大而增大；③当0y >时，13x -<<；④当2m x m <<+时，若二次函数的最小值为4a -，则m 的取值范围是11m -<<。
多边形与平行四边形一．选择题（共15小题）1．（2020•北京）正五边形的外角和为（）A．180°B．360°C．540°D．720°【分析】根据多边形的外角和等于360°，即可求解．【解析】任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和的度数为360°．故选：B．2．（2020•德州）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（）A．80米B．96米C．64米D．48米【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．【解析】根据题意可知，他需要转360÷45＝8次才会回到原点，所以一共走了8×8＝64（米）．故选：C．3．（2020•无锡）正十边形的每一个外角的度数为（）A．36°B．30°C．144°D．150°【分析】根据多边形的外角和为360°，再由正十边形的每一个外角都相等，进而求出每一个外角的度数．【解析】正十边形的每一个外角都相等，因此每一个外角为：360°÷10＝36°，故选：A．4．（2020•温州）如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】根据等腰三角形的性质可求∠C，再根据平行四边形的性质可求∠E．【解析】∵在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，∴∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°，∵四边形BCDE是平行四边形，∴∠E＝70°．故选：D．5．（2020•黄冈）已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．【解析】360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．故选：D．6．（2020•衡阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD【分析】根据平行四边形的定义，可以得到选项A中的条件可以判断四边形ABCD 是平行四边形；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以得到选项B中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以得到选项D中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；选项C中的条件，无法判断四边形ABCD是平行四边形．【解析】∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；故选：C．7．（2020•济宁）一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形的边数是（）A．9 B．8 C．7 D．6【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解．【解析】设所求正n边形边数为n，则1080°＝（n﹣2）•180°，解得n＝8．故选：B．8．（2020•怀化）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】首先设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），即可得方程180（n﹣2）＝1080，解此方程即可求得答案．【解析】设这个多边形的边数为n，根据题意得：180（n﹣2）＝1080，解得：n＝8．故选：C．9．（2020•淮安）六边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．1080°【分析】利用多边形的内角和＝（n﹣2）•180°即可解决问题．【解析】根据多边形的内角和可得：（6﹣2）×180°＝720°．故选：C．10．（2020•广东）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列式进行计算即可求解．【解析】设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝540°，解得n＝5．故选：B．11．（2020•扬州）如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（）A．100米B．80米C．60米D．40米【分析】根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以45°求出边数，然后再乘以10米即可．【解析】∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，∴他走过的图形是正多边形，∴边数n＝360°÷45°＝8，∴他第一次回到出发点A时，一共走了8×10＝80（m）．故选：B．12．（2020•临沂）如图，P是面积为S的▱ABCD内任意一点，△P AD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则（）A．S1+S2＞S 2B．S1+S2＜S 2C．S1+S2=S 2D．S1+S2的大小与P点位置有关【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形和平行四边形的面积、三角形的面积，即可得到S和S1、S2之间的关系，本题得以解决．【解析】过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC于点F，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴S＝BC•EF，S1=AD⋅PE2，S2=BC⋅PF2，∵EF＝PE+PF，AD＝BC，∴S1+S2=S 2，故选：C．13．（2020•陕西）如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD 内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（）A．52B．32C．3 D．2【分析】依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到EF的长，再根据梯形中位线定理，即可得到CG的长，进而得出DG的长．【解析】∵E是边BC的中点，且∠BFC＝90°，∴Rt△BCF中，EF=12BC＝4，∵EF∥AB，AB∥CG，E是边BC的中点，∴F是AG的中点，∴EF是梯形ABCG的中位线，∴CG＝2EF﹣AB＝3，又∵CD＝AB＝5，∴DG＝5﹣3＝2，故选：D．14．（2020•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB=√6，∠B是锐角，AE ⊥BC于点E，F是AB的中点，连结DF、EF．若∠EFD＝90°，则AE长为（）A．2 B．√5C．3√22D．3√32【分析】如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x．首先证明DQ＝DE＝x+2，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解析】如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x．∵四边形ABCD是平行四边形，∴DQ∥BC，∴∠Q＝∠BEF，∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE，∴△QF A≌△EFB（AAS），∴AQ＝BE＝x，∵∠EFD＝90°，∴DF⊥QE，∴DQ＝DE＝x+2，∵AE⊥BC，BC∥AD，∴AE⊥AD，∴∠AEB＝∠EAD＝90°，∵AE2＝DE2﹣AD2＝AB2﹣BE2，∴（x+2）2﹣4＝6﹣x2，整理得：2x2+4x﹣6＝0，解得x＝1或﹣3（舍弃），∴BE＝1，∴AE=√AB2−BE2=√6−1=√5，故选：B．15．（2020•绥化）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，点G在线段CF上，连接EG，且∠CDE+∠EGC＝180°，FG＝2，GC＝3．下列结论：①DE=12BC；②四边形DBCF是平行四边形；③EF＝EG；④BC＝2√5．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】证出DE是△ABC的中位线，则DE=12BC；①正确；证出DF＝BC，则四边形DBCF是平行四边形；②正确；由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=1 2AB＝BD ，则CF ＝CD ，得出∠CFE ＝∠CDE ，证∠CDE ＝∠EGF ，则∠CFE ＝∠EGF ，得出EF ＝EG ，③正确；作EH ⊥FG 于H ，由等腰三角形的性质得出FH ＝GH =12FG ＝1，证△EFH ∽△CEH ，则EH CH =FH EH，求出EH ＝2，由勾股定理的EF =√5，进而得出BC ＝2√5，④正确．【解答】解；∵CD 为斜边AB 的中线，∴AD ＝BD ，∵∠ACB ＝90°，∴BC ⊥AC ，∵DE ⊥AC ，∴DE ∥BC ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴AE ＝CE ，DE =12BC ；①正确； ∵EF ＝DE ，∴DF ＝BC ，∴四边形DBCF 是平行四边形；②正确；∴CF ∥BD ，CF ＝BD ，∵∠ACB ＝90°，CD 为斜边AB 的中线，∴CD =12AB ＝BD ， ∴CF ＝CD ，∴∠CFE ＝∠CDE ，∵∠CDE +∠EGC ＝180°，∠EGF +∠EGC ＝180°，∴∠CDE ＝∠EGF ，∴∠CFE ＝∠EGF ，∴EF ＝EG ，③正确；作EH ⊥FG 于H ，如图所示：则∠EHF＝∠CHE＝90°，∠HEF+∠EFH＝∠HEF+∠CEH＝90°，FH＝GH=12FG＝1，∴∠EFH＝∠CEH，CH＝GC+GH＝3+1＝4，∴△EFH∽△CEH，∴EHCH=FHEH，∴EH2＝CH×FH＝4×1＝4，∴EH＝2，∴EF=√FH2+EH2=√12+22=√5，∴BC＝2DE＝2EF＝2√5，④正确；故选：D．二．填空题（共15小题）16．（2020•湘西州）若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是6．【分析】任何多边形的外角和是360°，内角和等于外角和的2倍则内角和是720°．n 边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【解析】设该多边形的边数为n，根据题意，得，（n﹣2）•180°＝720°，解得：n＝6．故这个多边形的边数为6．故答案为：617．（2020•福建）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC ＝30度．【分析】由于六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，所以这个六边形是正六边形，先算出正六边形每个内角的度数，即可求出∠ABC 的度数．【解析】正六边形的每个内角的度数为：(6−2)⋅180°6=120°， 所以∠ABC ＝120°﹣90°＝30°，故答案为：30．18．（2020•陕西）如图，在正五边形ABCDE 中，DM 是边CD 的延长线，连接BD ，则∠BDM 的度数是 144° ．【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答．【解析】因为五边形ABCDE 是正五边形，所以∠C =(5−2)⋅180°5=108°，BC ＝DC ， 所以∠BDC =180°−108°2=36°， 所以∠BDM ＝180°﹣36°＝144°，故答案为：144°．19．（2020•烟台）已知正多边形的一个外角等于40°，则这个正多边形的内角和的度数为 1260° ．【分析】利用任意多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出它的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．【解析】正n 边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得360°n=40°， 解得n ＝9．（9﹣2）×180°＝1260°，即这个正多边形的内角和为1260°．故答案为：1260°．20．（2020•河北）正六边形的一个内角是正n 边形一个外角的4倍，则n ＝ 12 ．【分析】根据多边形的内角和公式求出正六边形的一个内角等于120°，再根据多边形的外角和是360°即可解答．【解析】正六边形的一个内角为：(6−2)×180°6=120°， ∵正六边形的一个内角是正n 边形一个外角的4倍，∴正n 边形一个外角为：120°÷4＝30°，∴n ＝360°÷30°＝12．故答案为：12．21．（2020•衡阳）已知一个n 边形的每一个外角都为30°，则n 等于 12 ．【分析】根据多边形的外角和等于360°列式计算即可．【解析】∵一个n 边形的每一个外角都为30°，任意多边形的外角和都是360°， ∴n ＝360°÷30°＝12．故答案为：12．22．（2020•重庆）一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是 6 ．【分析】n 边形的内角和可以表示成（n ﹣2）•180°，外角和为360°，根据题意列方程求解．【解析】设这个多边形的边数为n ，依题意，得：（n ﹣2）•180°＝2×360°，解得n ＝6．故答案为：6．23．（2020•遂宁）已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为 36 度．【分析】首先设此多边形为n 边形，根据题意得：180（n ﹣2）＝1440，即可求得n＝10，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．【解析】设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）＝1440，解得：n＝10，∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷10＝36°．故答案为：36．24．（2020•扬州）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF=14DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为9√3．【分析】根据题意和平行四边形的性质，可以得到BD和EF的比值，再根据三角形相似和最短距离，即可得到EG的最小值，本题得以解决．【解析】作CH⊥AB于点H，∵在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝8，∴CH＝4√3，∵四边形ECGF是平行四边形，∴EF∥CG，∴△EOD∽△GOC，∴EOGO=DOOC=EDGC，∵DF=14DE，∴DEEF=45，∴EDGC=45，∴EOGO=45，∴当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，当EO⊥CD时，EO取得最小值，∴CH＝EO，∴EO＝4√3，∴GO＝5√3，∴EG的最小值是9√3，故答案为：9√3．25．（2020•武汉）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC的大小是26°．【分析】根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB ＝2∠CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，∵AD＝AE＝BE，∴BC＝AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，∴∠ACB＝2∠CAB，∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣102°，故答案为：26°．26．（2020•天津）如图，▱ABCD 的顶点C 在等边△BEF 的边BF 上，点E 在AB 的延长线上，G 为DE 的中点，连接CG ．若AD ＝3，AB ＝CF ＝2，则CG 的长为 32．【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到BF 和BE 的长，然后可以证明△DCG 和△EHG 全等，然后即可得到CG 的长．【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，CD ＝AB ，DC ∥AB ，∵AD ＝3，AB ＝CF ＝2，∴CD ＝2，BC ＝3，∴BF ＝BC +CF ＝5，∵△BEF 是等边三角形，G 为DE 的中点，∴BF ＝BE ＝5，DG ＝EG ，延长CG 交BE 于点H ，∵DC ∥AB ，∴∠CDG ＝∠HEG ，在△DCG 和△EHG 中，{∠CDG =∠HEGDG =EG ∠DGC =∠EGH， ∴△DCG ≌△EHG （ASA ），∴DC ＝EH ，CG ＝HG ，∵CD ＝2，BE ＝5，∴HE ＝2，BH ＝3，∵∠CBH ＝60°，BC ＝BH ＝3，∴△CBH 是等边三角形，∴CG =12CH =32， 故答案为：32．27．（2020•凉山州）如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OE ∥AB 交AD 于点E ，若OA ＝1，△AOE 的周长等于5，则▱ABCD 的周长等于 16 ．【分析】由平行四边形的性质得AB ＝CD ，AD ＝BC ，OB ＝OD ，证OE 是△ABD 的中位线，则AB ＝2OE ，AD ＝2AE ，求出AE +OE ＝4，则AB +AD ＝2AE +2OE ＝8，即可得出答案．【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，OB ＝OD ，∵OE ∥AB ，∴OE 是△ABD 的中位线，∴AB ＝2OE ，AD ＝2AE ，∵△AOE 的周长等于5，∴OA +AE +OE ＝5，∴AE +OE ＝5﹣OA ＝5﹣1＝4，∴AB +AD ＝2AE +2OE ＝8，∴▱ABCD 的周长＝2×（AB +AD ）＝2×8＝16；故答案为：16．28．（2020•甘孜州）如图，在▱ABCD 中，过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E ，若∠EAD ＝40°，则∠BCE的度数为50°．【分析】由平行四边形的性质得出∠B＝∠EAD＝40°，由角的互余关系得出∠BCE ＝90°﹣∠B＝50°即可．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠B＝∠EAD＝40°，∵CE⊥AB，∴∠BCE＝90°﹣∠B＝50°；故答案为：50°．29．（2020•黔东南州）以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为（2，﹣1）．【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标．【解析】∵▱ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1），∴点C的坐标为（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．30．（2020•金华）如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是30°．【分析】根据平行四边形的性质解答即可．【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠D +∠C ＝180°，∴∠α＝180°﹣（540°﹣70°﹣140°﹣180°）＝30°，故答案为：30．三．解答题（共13小题）31．（2020•黄冈）已知：如图，在▱ABCD 中，点O 是CD 的中点，连接AO 并延长，交BC 的延长线于点E ，求证：AD ＝CE ．【分析】只要证明△AOD ≌△EOC （ASA ）即可解决问题；【解答】证明：∵O 是CD 的中点，∴OD ＝CO ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠D ＝∠OCE ，在△ADO 和△ECO 中，{∠D =∠OCEOD =OC ∠AOD =∠EOC， ∴△AOD ≌△EOC （ASA ），32．（2020•孝感）如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足BE＝DF．连接EF，分别与BC，AD交于点G，H．求证：EG＝FH．【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠ABC＝∠FDH，在△BEG与△DFH中，{∠E=∠FBE=DF∠EBG=∠FDH，∴△BEG≌△DFH（ASA），∴EG＝FH．33．（2020•鄂州）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE．（1）求证：△AMB≌△CND；（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四边形DEMN的面积．【分析】（1）依据平行四边形的性质，即可得到△AMB≌△CND；（2）依据全等三角形的性质，即可得出四边形DEMN是平行四边形，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠EMN是直角，进而得到四边形DEMN是矩形，即可得出四边形DEMN的面积．【解析】（1）∵平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，又∵点M，N分别为OA、OC的中点，∴AM＝CN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAM＝∠DCN，∴△AMB≌△CND（SAS）；（2）∵△AMB≌△CND，∴BM＝DN，∠ABM＝∠CDN，又∵BM＝EM，∴DN＝EM，∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∴∠MBO＝∠NDO，∴ME∥DN∴四边形DEMN是平行四边形，∵BD＝2AB，BD＝2BO，∴AB＝OB，又∵M是AO的中点，∴BM⊥AO，∴∠EMN＝90°，∴四边形DEMN是矩形，∵AB＝5，DN＝BM＝4，∴AM＝3＝MO，∴MN＝6，∴矩形DEMN的面积＝6×4＝24．34．（2020•扬州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于点E、F，连接AF、CE．（1）若OE=32，求EF的长；（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．【分析】（1）判定△AOE≌△COF（ASA），即可得OE＝OF=32，进而得出EF的长；（2）先判定四边形AECF是平行四边形，再根据EF⊥AC，即可得到四边形AECF 是菱形．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AO＝CO，∴∠FCO＝∠EAO，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF=3 2，∴EF＝2OE＝3；（2）四边形AECF是菱形，理由：∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．35．（2020•广元）已知▱ABCD，O为对角线AC的中点，过O的一条直线交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若AE：AD＝1：2，△AOE的面积为2，求▱ABCD的面积．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠EAO＝∠FCO，由ASA即可得出结论；（2）由于AE：AD＝1：2，O为对角线AC的中点，得出△AEO∽△ADC，根据△AOE的面积为2，可得△ADC的面积，进而得到平行四边形ABCD的面积．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∵O是AC的中点，∴OA＝OC，在△AOE和△COF中，{∠EAO=∠FCO OA=OC∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA）；（2）∵AE：AD＝1：2，O为对角线AC的中点，∴AO：AC＝1：2，∵∠EAO＝∠DAC，∴△AEO∽△ADC，∵△AOE 的面积为2，∴△ADC 的面积为8，∴平行四边形ABCD 的面积为16．36．（2020•青岛）如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别在BD 和DB 的延长线上，且DE ＝BF ，连接AE ，CF ．（1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）连接AF ，CE ．当BD 平分∠ABC 时，四边形AFCE 是什么特殊四边形？请说明理由．【分析】（1）根据四边形ABCD 是平行四边形，可以得到AD ＝CB ，∠ADC ＝∠CBA ，从而可以得到∠ADE ＝∠CBF ，然后根据SAS 即可证明结论成立；（2）根据BD 平分∠ABC 和平行四边形的性质，可以证明▱ABCD 是菱形，从而可以得到AC ⊥BD ，然后即可得到AC ⊥EF ，再根据题目中的条件，可以证明四边形AFCE 是平行四边形，然后根据AC ⊥EF ，即可得到四边形AFCE 是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝CB ，∠ADC ＝∠CBA ，∴∠ADE ＝∠CBF ，在△ADE 和△CBF 中，{AD =CB ∠ADE =∠CBF DE =BF，∴△ADE ≌△CBF （SAS ）；（2）当BD 平分∠ABC 时，四边形AFCE 是菱形，理由：∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠CBD ，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴AC⊥EF，∵DE＝BF，∴OE＝OF，又∵OA＝OC，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形．37．（2020•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．AC平分∠DAE．（1）若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；（2）求证：AE＝CF．【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠EAO，利用角平分线的定义求出∠DAC，再利用平行线的性质解决问题即可．（2）证明△AEO≌△CFO（AAS）可得结论．【解答】（1）解：∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°，∵∠AOE＝50°，∴∠EAO＝40°，∵CA平分∠DAE，∴∠DAC＝∠EAO＝40°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠ACB＝∠DAC＝40°，（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴AE＝CF．38．（2020•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F．（1）若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；（2）求证：BE＝DF．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，根据平行线的性质得到∠ABC+∠BCD＝180°，根据角平分线的定义得到∠BCD＝2∠BCF，于是得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，求得∠ABE ＝∠CDF，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠DCE，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵CF平分∠DCB，∴∠BCD＝2∠BCF，∵∠BCF＝60°，∴∠BCD＝120°，∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，∴∠BAE=12∠BAD，∠DCF=12∠BCD，∴∠BAE＝∠DCE，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴BE＝CF．39．（2020•绍兴）如图，点E是▱ABCD的边CD的中点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F．（1）若AD的长为2，求CF的长．（2）若∠BAF＝90°，试添加一个条件，并写出∠F的度数．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥CF，则∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，由点E是CD的中点，得出DE＝CE，由AAS证得△ADE≌△FCE，即可得出结果；（2）添加一个条件当∠B＝60°时，由直角三角形的性质即可得出结果（答案不唯一）．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CF，∴∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，在△ADE 和△FCE 中，{∠DAE =∠CFE∠ADE =∠FCE DE =CE，∴△ADE ≌△FCE （AAS ），∴CF ＝AD ＝2；（2）∵∠BAF ＝90°，添加一个条件：当∠B ＝60°时，∠F ＝90°﹣60°＝30°（答案不唯一）．40．（2020•新疆）如图，四边形ABCD 是平行四边形，DE ∥BF ，且分别交对角线AC 于点E ，F ，连接BE ，DF ．（1）求证：AE ＝CF ；（2）若BE ＝DE ，求证：四边形EBFD 为菱形．【分析】（1）根据平行四边形的性质，可以得到AD ＝CB ，AD ∥CB ，从而可以得到∠DAE ＝∠BCF ，再根据DE ∥BF 和等角的补角相等，从而可以得到∠AED ＝∠CFB ，然后即可证明△ADE 和△CBF 全等，从而可以得到AE ＝CF ；（2）根据（1）中的△ADE 和△CBF 全等，可以得到DE ＝BF ，再根据DE ∥BF ，即可得到四边形EBFD 是平行四边形，再根据BE ＝DE ，即可得到四边形EBFD 为菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝CB ，AD ∥CB ，∴∠DAE ＝∠BCF ，∵DE ∥BF ，∴∠DEF ＝∠BFE ，∴∠AED ＝∠CFB ，在△ADE 和△CBF 中，{∠DAE =∠BCF∠AED =∠CFB AD =CB，∴△ADE ≌△CBF （AAS ），∴AE ＝CF ；（2）证明：由（1）知△ADE ≌△CBF ，则DE＝BF，又∵DE∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形，∵BE＝DE，∴四边形EBFD为菱形．41．（2020•岳阳）如图，点E，F在▱ABCD的边BC，AD上，BE=13BC，FD=13AD，连接BF，DE．求证：四边形BEDF是平行四边形．【分析】根据平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，进而得出DF＝BE，利用平行四边形的判定解答即可．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BE=13BC，FD=13AD，∴BE＝DF，∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形．42．（2020•淮安）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO．（1）求证：△AOF≌△COE；（2）连接AE、CF，则四边形AECF是（填“是”或“不是”）平行四边形．【分析】（1）由ASA证明△AOF≌△COE即可；（2）由全等三角形的性质得出FO＝EO，再由AO＝CO，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，在△AOF和△COE中，{∠OAF=∠OCE AO=CO∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE（ASA）（2）解：四边形AECF是平行四边形，理由如下：由（1）得：△AOF≌△COE，∴FO＝EO，又∵AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形；故答案为：是．43．（2020•陕西）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．【分析】根据等边对等角的性质求出∠DEC＝∠C，在由∠B＝∠C得∠DEC＝∠B，所以AB∥DE，得出四边形ABCD是平行四边形，进而得出结论．【解答】证明：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠C．∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠DEC，∴AB∥DE，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形．∴AD＝BE．。
