06空间力系 重心(new)

合力偶Ｍo称为力系的主矩
M ox M x F M oy M oz
空间力系的平衡方程：
y
M F M F
z
Fx 0, Fy 0, Fz 0
M x F 0, M y F 0, M z F 0



空间汇交力系的平衡方程：
Fx 0 Fy 0 Fz 0
§6-3 力对轴之矩
1、力对轴之矩概念
定义:力使物体绕某一轴转动效应的量度,称为力对该轴 之矩，是用来量度力使物体绕轴转动效应的物理量。
F对转轴z的矩：
mz F mo F2 F2 d

Fz
Fy
Fx
通常规定：从z轴 的正向看去，逆 时针方向转动的 力矩为正，顺时 针方向转动的力 矩为负。
y
xC
重心坐标式
xi Ai A y A yC i i A
o
xc
C yc
x
§6-7 物体重心的求法
1、对称性法—当研究的物体具有对称轴、对称面或对称中心的均抽物体，其
重心一定在对称轴、对称面或对称中心上。
2、分割法—将形状较复杂的物体分成具有简单几何形状的几个部分，每一部 分容易确定，然后，再根据重心坐标求出组合形体的重心（简单几何图形的重 心坐标公式可以查表）。
mx W
W1
Wn W2 z 2 zn x1 W xc x2
c
m W ,
n x i i 1
z1 z
y1 y2 X
Y xn
y
c
W . yC W1 y1 W2 y 2 Wn y n my W
m W ,
n y i i 1 n z i i 1
xiVi V y V yC i i V z iVi zC V xC
重心坐标式
均质物体的重心也称 为物体的形心
3、均质薄板的重心 设板厚度为h，面积为A，将薄板分成若干微小部分，每 个微小部分的面积为A1，A2，……An
V hA V1 hA1 ,V2 hA2 ,,Vn hAn
空间平行力系的平衡方程： FZ 0
M F 0
M x F 0
y
例6-2 图示为一车床的主轴。齿轮C半径为100mm，卡盘D夹持一半径为 50mm的工件，A为向心推力轴承，B为向心轴承。切削时工件等速转动， 车刀给工件的切削力Px=466N、Py=352N、Pz=1400N，齿轮C在啮合处受 力为Q，作用在齿轮C的最低点。不考虑主轴及其附件的质量，试求力Q 的大小及A、B处的约束反力。
如以Wi mi g ,W Mg代入, 可得质心的坐标公式 :
mi xi xC M mi yi yC M mi z i zC M
2、均质物体的重心坐标公式 均质物体的重量是均布的，如物体单位体积的重量为γ， 物体体积为V，则：
W V 物体每个微小部分的重 量分别为 : W1 V1 ,W2 V2 ,,Wn Vn
例6-1
解：力F在三轴上的投影为：
Fx Ft F cos sin Fz Fr F sin
（圆周力）
（径向力）
F对y轴之矩为：
m y F m y Ft F r cos sin
Fy Fa F cos cos （轴向力）

2、合力矩定理 空间力系的合力对某一轴之矩等于力系中各分力对同一轴 之矩的代数和。
即 : m F m F
x R x
mx FR mx F1 mx F2 mx Fn

§6-4 空间力系的平衡方程
空间汇交力系的合力FR’称为力系的主矢，即
F ' Rx Fx F ' Ry Fy F ' Rz Fz
F 'R F ' F
力系简化
平衡条件及方程
静力学基本原理的两个推论：
（1） 力的可传性原理：作用于刚体上的力，其作用点可以沿着作用线移动 到该刚体上任意一点，而不改变力对刚体的作用效果。 必须强调的是，力的可传性原理只适用于刚体而不适用于变形体。当研究物 体的内力、变形时，将力的作用点沿着作用线移动，必然使该力对物体的内效应 发生改变。 在考虑刚体的平衡问题时，力的三要素可改为“大小、方向、作用线”。 （2） 三力平衡汇交原理：若刚体在三个互不平行的力作用下处于平衡，则此 三个力的作用线必在同一平面内且汇交于一点。 由此可知，刚体受不平行的三力作用而平衡时，如果已知其中两个力的方向，
已知F在三轴x,y,z上的投影，也可求出力F的大小和方向：
F Fx2 Fy2 Fz2 cos cos cos Fx Fx2 Fy2 Fz2 Fy Fx2 Fy2 Fz2 Fz Fx2 Fy2 Fz2
cos2 cos2 cos2 1
§6-2 力在空间坐标轴上的投影
力F在三个坐标轴上的投影：
Fx F cos Fy F cos Fz F cos
二次投影法：先将力F投影到 oxy坐标平面上，以F’表示， 然后再将F’投影到x轴和y轴 上：
Fx F sin cos Fy F sin sin Fz F cos
悬挂法
A C B B A
称重法
A
B
W xC L
R
简单形体的形心
作业


6-4 6-9 6-10(a) 6-13
静力学复习
研究内容
平面汇交力系 平面力系 平面力偶系 平面平行力系 平面一般力系 难点：考虑摩擦时物体的平衡问题 空间力系：力的投影，平衡条件及平衡方程，简化为平面 力系 物体重心的求法
二、画受力图—约束反力、局部受力
三、力系的平衡条件与平衡方程 1、力系平衡的必要和充分条件
n n n FR Fi 0 , M O M O ( Fi ) (ri Fi ) 0 i 1 i 1 i 1
力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和力系对任一点的主矩分别等于零。 特例： （1）汇交力系平衡的必要和充分条件：力系的合力等于零。 用几何法求解时，平衡条件可理解为：力多边形自行封闭。 用解析法求解时，平衡条件可理解为：合力在任一坐标轴上的投影为零。 （2）力偶系平衡的必要和充分条件：合力偶矩等于零，即空间力偶系中所有力 偶矩矢的矢量和等于零，平面力偶系中所有力偶的力偶矩代数和等于零。 2、空间一般力系的平衡方程




可得偏心块C的坐标分别为：
xC 0, yC 3.9cm
实验法测算重心
出于以下两种原因，需要运用实验的方法来测算物体的重心。
（1）由于实际物体外形非常复杂，应用前述的方法难以求出物体的重
心，需要通过实验测算。 （2）对复杂物体进行初步设计后，由于加工误差，成型产品与设计值 有一定的差别，为了准确获得物体（产品）重心，需要通过实验测算 物体的重心。 实验方法主要有：悬挂法和称重法。
b
q
C
b
q
B
A C
qm
B
2l / 3
l
二、画受力图
可将画受力图时应注意的问题归纳如下： （1）不要漏画力 必须搞清楚所研究的对象(受力物体)与周围哪些物体(施力物体)相接触。在接触点处 均可能有约束反力。 （2）不要多画力 力是物体间的相互作用。对受力图上的每一个力，都应能明确指出它是由哪一个施力 物体施加的。如 某一个力指不出施力物体，该力则为多画的力。 （3）不要画错约束反力的方向 约束反力的方向必须严格按照约束的性质确定，不能凭主观感觉猜测。 （4） 注意作用与反作用关系 在两物体相互联结处，注意两物体之间作用力与反作用力的等值、反向、共线关系。 （5）注意区分内力和外力 所谓内力，是指系统内部各物体之间的相互作用力。所谓外力，是指系统以外的其他物体对系统的作 用力。内力和外力的区分不是绝对的，而是相对的。当所取的脱离体不同时，原来是内力的力可能转化为外 力。反之亦然。 内力总是成对出现。 （6） 约束反力的一致性 同一个约束反力，在各受力图中的表示、假设指向都必须一致。
F
i 1 n i 1
n
ix
0,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F
i 1
n
iy
0,
n
F
i 1
n
iz
0 M Oz ( Fi ) 0
n i 1
M Ox ( Fi ) 0 ,
解：（1）选取研究对象 （2）画受力图
向心轴承B的约束反力为 两个，向心推力轴承A处 约束反力为三个。
（3）列出空间力系的 平衡方程。
方法一 直接应用空间力系平衡 方程求解
方法二 将空间力系平衡问题转化为平面力系平衡问题来解
例6-3 如图示，转轴AB，已知胶带张力S1=536N,S2=64N, 圆柱齿轮节圆直径D=94.5mm，压力角α=20O，求（1）齿 轮C所受的力P；（2）轴承A，B处的约束反力，尺寸单位 为mm
则第三个力的方向就可以按三力平衡汇交原理确定。
一、求约束反力
约束反力类型： Fy T Fx N 柔体约束 光滑接触面约束 柱铰链和固定铰支座 可动铰支座 Fy Fx Fy m F
Fx
中间铰 固定端支座
ＦＮ
滑槽与销钉
轴承约束
向心轴承
荷载按分布形式可分为 集中力，力偶，分布载荷； R R a
A l/2 l
r
b
x
三部分的面积及其坐标为：
4R A1 ; y1 2 3 r b 2 4r b A2 ; y2 2 3 A3 r 2 ; y3 0
y R
R 2
r b
x
3 yi Ai y1 A1 y2 A2 y3 A3 4 R 3 r b yC 3.9cm 2 2 2 A A1 A2 A3 3 R r b r