2016高考数学大一轮复习 12.3几何概型教师用书 理 苏教版

第十二章 选修4系列(1)[a 11 a 12] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]．(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. (3)对于矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22， 则MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11b 11＋a 12b 21 a 11b 12＋a 12b 22a 21b 11＋a 22b 21 a 21b 12＋a 22b 22. 2．矩阵的变换 (1)矩阵变换的概念：一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x ，y )，按照对应法则T ，总能对应唯一的一个平面点(向量)(x ′，y ′)，则称T 为一个变换，简记为T ：(x ，y )→(x ′，y ′)，或T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′.(2)几种常见的平面变换：恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换．[例1] (1)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1，计算AB ，AC . (2)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤000 1，计算AB .(3)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 －1，计算A 2，B 2.[解] (1)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 0， AC ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 0. (2)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0001＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×0＋0×0 1×0＋0×10×0＋0×0 0×0＋0×1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 0. (3)A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12.B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 000.[方法技巧]矩阵运算的规律(1)一般情况下，AB ≠BA ，即矩阵的乘法不满足交换律． (2)矩阵的乘法满足结合律，即(AB )C ＝A (BC )． (3)矩阵的乘法不满足消去律．矩阵的变换[例2] (2017·南京、盐城二模)设a ，b ∈R ，若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤30－1b对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0，求实数a ，b 的值．[解] 设矩阵A 对应的变换把直线l 上的任意点P (x ，y )变成直线l ′上的点P 1(x 1，y 1)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 30－1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝x 1，－x ＋by ＝y 1. 因为9x 1＋y 1－91＝0，所以27x ＋(－x ＋by )－91＝0，即26x ＋by －91＝0. 因为直线l 的方程也为ax ＋y －7＝0，所以26a ＝b 1＝－91－7，解得a ＝2，b ＝13.[方法技巧] 1．变换的复合在数学中，一一对应的平面几何变换常可以看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换；对应的矩阵叫做初等变换矩阵．2．矩阵乘法MN 的几何意义对向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 连续实施的两次几何变换(先T N 后T M )的复合变换． 能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，β＝⎣⎢⎦⎥－3，求M (2α＋4β)．解：2α＋4β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－8，则M (2α＋4β)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－8＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14－26. 2.[考点二]曲线C 1：x 2＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1的作用下变换为曲线C 2，求C 2的方程．解：设P (x ，y )为曲线C 2上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋2y 2＝1上与P 对应的点，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x ′＋2y ′，y ＝y ′则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y . 因为P ′是曲线C 1上的点，则有(x －2y 2)＋y 2＝1，所以C 2的方程为(x －2y )2＋2y 2＝1，即x 2－4xy ＋6y 2＝1.3.[考点二](2018·徐州市高三期中)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 012，若直线y ＝kx ＋1在矩阵A 对应的变换作用下得到的直线过点P (2,6)，求实数k 的值．解：矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 2，得A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0－12 12， 所以A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤26＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0－1212⎣⎢⎡⎦⎥⎤26＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，将点(2,2)代入直线y ＝kx ＋1得k ＝12.4.[考点一、二]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 011，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 23 2.(1)求满足条件AM ＝B 的矩阵M ；(2)矩阵M 对应的变换将曲线C ：x 2＋y 2＝1变换为曲线C ′，求曲线C ′的方程．解：(1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，AM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a b a ＋c b ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0232，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，a ＋c ＝3，b ＝2，b ＋d ＝2，∴a ＝0，b ＝2，c ＝3，d ＝0.∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 23 0. (2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )在矩阵M 对应的变换作用下变为点P ′(x ′，y ′)，则M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 230⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y 3x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝x ′，3x ＝y ′，即⎩⎨⎧y ＝x ′2，x ＝y ′3，代入曲线C ：x 2＋y 2＝1，得⎝⎛⎭⎫x ′22＋⎝⎛⎭⎫y ′32＝1.∴曲线C ′的方程是x 24＋y 29＝1.突破点(二) 矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵． 2．二阶行列式 我们把⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A )＝ad －bc .3．特征值与特征向量(1)设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．(2)从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A 的作用后，与原向量保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ＞0)，或者方向相反(λ＜0)．特别地，当λ＝0时，特征向量就被变换成零向量．[例1] 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 6，求矩阵A －1B .[解] 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 00 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －20 3. [方法技巧]1．求逆矩阵的三种常用方法：(1)待定系数法：设A 是一个二阶可逆矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则AA －1＝A －1A ＝E (E 为单位矩阵)．(2)公式法：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，记为det A ，有A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤d det A －b det A －c det A a det A ，当且仅当detA ＝ad －bc ≠0.(3)从几何变换的角度求解二阶矩阵的逆矩阵． 2．对于矩阵A 和B ，若都存在逆矩阵，则 (1)若A 是B 的逆矩阵，则B 也是A 的逆矩阵； (2)可逆矩阵的逆矩阵唯一； (3)(A －1)－1＝A ；(4)E －1＝E ；(5)(AB )－1＝B －1A －1；(6)若A 是可逆矩阵，B 、C 是任意矩阵，则由AB ＝AC 可得B ＝C .特征值与特征向量[例2] 已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎦⎥12.(1)求矩阵A ； (2)求矩阵A－1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．[解] (1)因为矩阵A 是矩阵A－1的逆矩阵，且|A －1|＝2×2－1×1＝3≠0，所以A ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 23 －13－13 23.(2)矩阵A －1的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1 －1 λ－2＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，令f (λ)＝0，得矩阵A－1的特征值为λ1＝1或λ2＝3，所以α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1是矩阵A －1的属于特征值λ1＝1的一个特征向量，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是矩阵A －1的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．[方法技巧]矩阵A 的特征值与特征向量的求解策略(1)求矩阵A 的特征值与特征向量先确定其特征多项式f (λ)，再由f (λ)＝0求出该矩阵的特征值，然后把特征值代入矩阵A 所确定的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0，即可求出特征向量．(2)根据矩阵A 的特征值与特征向量求矩阵A设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，根据Aα＝λα构建关于a ，b ，c ，d 的方程求解．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一](2016·江苏高考)已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤10 2－2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎦⎥⎥1 －120 2，求矩阵AB .解：设B ＝⎣⎡⎦⎤acb d ，则B －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 2⎣⎡⎦⎤a c b d ＝⎣⎡⎦⎤10 01， 即错误!＝错误!，故⎩⎪⎨⎪⎧ a －12c ＝1，b －12d ＝0，2c ＝0，2d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝14，c ＝0，d ＝12，所以B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 140 12.因此，AB ＝⎣⎡⎦⎤10 2－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 140 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 540 －1. 2.[考点二] 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1，其中a ∈R ，若点P (1,1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－3)．(1)求实数a 的值；(2)求矩阵A 的特征值及特征向量．解：(1)由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 a ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－3，所以a ＋1＝－3，所以a ＝－4.(2)由(1)知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－4 1，令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 1 4 λ－1＝(λ－1)2－4＝0.解得A 的特征值为λ＝－1或3.当λ＝－1时，由⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＝0，4x －2y ＝0得矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，当λ＝3时，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，4x ＋2y ＝0得矩阵A 的属于特征值3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2.3.[考点二] (2018·苏北四市期末)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4，求矩阵A 的特征值和特征向量．解：矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－21λ－4＝λ2－5λ＋6,由f (λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3.当λ1＝2时，特征方程组为⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x －2y ＝0，故属于特征值λ1＝2的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；当λ2＝3时，特征方程组为⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＝0，x －y ＝0，故属于特征值λ2＝3的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.4.[考点二]已知矩阵A 将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A .解：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23， 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3.由⎣⎢⎡⎦⎥⎤abcd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33， 得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，d ＝0.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 130.1. (2018·苏北四市摸底)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 21 x ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ，若Aα＝Bα，求实数x ，y 的值．解：Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y －22＋xy ，Bα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y .由Aα＝Bα得⎩⎪⎨⎪⎧2y －2＝2＋y ，2＋xy ＝4－y ，得x ＝－12， y ＝4.2. (2018·南京、盐城、连云港、徐州模拟)已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2所对应的变换T 把点(2,3)变成(3,4)．(1)求a ，b 的值；(2)若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2.解： (1)由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，所以⎩⎪⎨⎪⎧6＋3a ＝3，2b －6＝4， 所以a ＝－1，b ＝5.(2)由(1)得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －15 －2.由矩阵的逆矩阵公式得B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －15 －3.所以B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11－54.3．(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在平面直角坐标系xOy 中，设点A (－1,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 1对应的变换作用下得到点A ′，将点B (3,4)绕点A ′逆时针旋转90°得到点B ′，求点B ′的坐标．解：设B ′(x ，y )，依题意，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤－100 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，得A ′(1,2)． 则A ′B ―→＝(2,2)，A ′B ′―→＝(x －1，y －2)．记旋转矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1y －2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1y －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4， 所以点B ′的坐标为(－1,4)．4．(2018·南京、盐城模拟)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 02 1的一个特征值为2，若曲线C 在矩阵M 变换下的方程为x 2＋y 2＝1，求曲线C 的方程．解： 由题意，矩阵M 的特征多项式f (λ)＝(λ－a )·(λ－1)，因为矩阵M 有一个特征值为2，所以f (2)＝0，所以a ＝2.设曲线C 上任意一点坐标为(x ，y )，在矩阵M 变换下得到的点为(x ′，y ′)，所以M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 021⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 2x ＋y ， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2x ＋y ， 代入方程x ′2＋y ′2＝1，得(2x )2＋(2x ＋y )2＝1，即曲线C 的方程为8x 2＋4xy ＋y 2＝1.5．(2017·江苏高考)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2.(1)求AB ；(2)若曲线C 1：x 28＋y 22＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程．解：(1)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 21 0. (2)设Q (x 0，y 0)为曲线C 1上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P (x ，y )， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧2y 0＝x ，x 0＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝x 2.因为点Q (x 0，y 0)在曲线C 1上，则x 208＋y 202＝1，从而y 28＋x 28＝1，即x 2＋y 2＝8.因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2＋y 2＝8.6. (2018·盐城模拟)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m n 1的两个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，若β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，求M 2β. 解：设矩阵M 的特征向量α1对应的特征值为λ1，特征向量α2对应的特征值为λ2，则由⎩⎪⎨⎪⎧Mα1＝λ1α1，Mα2＝λ2α2，可解得m ＝n ＝0，λ1＝2，λ2＝1，又β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝α1＋2α2, 所以M 2β＝M 2(α1＋2α2)＝λ21α1＋2λ22α2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤42. 7. (2018·苏州期末)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝3及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换成(9,15)，求矩阵M .解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 915，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝9，－c ＋2d ＝15. 联立以上两方程组解得a ＝－1，b ＝4，c ＝－3，d ＝6，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14－36.突破点(一) 极坐标系(1)极坐标系如图所示，在平面上取一个定点O ，点O 叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，Ox 叫做极轴；同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标一般地，没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．(3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．2．极坐标与直角坐标的互化3.1．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤第一步判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与x 轴正半轴是否重合，若上述两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化第二步通过极坐标方程的两边同乘ρ或同时平方构造ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，一定要注意变形过程中方程要保持同解，不要出现增解或漏解第三步根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ及ρ2＝x 2＋y 2将极坐标方程转化为直角坐标方程2．直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中点的坐标化为极坐标(1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单，只需将直角坐标方程中的x ，y 分别用ρcos θ，ρsin θ代替即可得到相应极坐标方程．(2)求直角坐标系中的点(x ，y )对应的极坐标的一般步骤：[例1] 在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． [解] (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，则直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2. [方法技巧]1．应用互化公式的三个前提条件 (1)取直角坐标系的原点为极点． (2)以x 轴的正半轴为极轴．(3)两种坐标系规定相同的长度单位．2．直角坐标化为极坐标时的两个注意点(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M 的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M 的极坐标是唯一的．(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ(θ∈[0,2π))的值．极坐标方程的应用[例2] (2018·福州五校联考)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy .(1)若直线l 过原点，且被曲线C 截得的弦长最小，求直线l 的直角坐标方程； (2)若M 是曲线C 上的动点，且点M 的直角坐标为(x ，y )，求x ＋y 的最大值． [解] (1)ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2＝0，即ρ2－2ρcos θ＋2ρsin θ－2＝0， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4， 圆心C (1，－1)，若直线l 被曲线C 截得的弦长最小，则直线l 与OC 垂直， 即k l ·k OC ＝－1，k OC ＝－1，因而k l ＝1，故直线l 的直角坐标方程为y ＝x .(2)因为M 是曲线C 上的动点，因而利用圆的参数方程可设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos φ，y ＝－1＋2sin φ(φ为参数)，则x ＋y ＝2sin φ＋2cos φ＝22sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π4，当sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π4＝1时，x ＋y 取得最大值2 2. [易错提醒]用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一、二]已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离． 解：由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，得2ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ＋22cos θ＝2， 由坐标变换公式得直线l 的直角坐标方程为y ＋x ＝1， 即x ＋y －1＝0.由点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，7π4得点A 的直角坐标为(2，－2)，所以点A 到直线l 的距离d ＝|2－2－1|2＝22. 2.[考点一、二](2018·洛阳统考)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，由坐标变换公式，得x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2， 所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2. 由坐标变换公式，得x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22. 3.[考点二]已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ·sin θ－π4－4＝0，求圆C 的半径．解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.4.[考点一、二](2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB ＞0)，由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.突破点(二) 参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标x ，y 都可以表示为某个变量t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )，反过来，对于t 的每一个允许值，由函数式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )所确定的点P (x ，y )都在这曲线C 上，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )叫做曲线C 的参数方程，变数t 是参变数，简称参数．2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数).1.基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三角的或代数的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1等．2．普通方程化为参数方程 (1)选择参数的一般原则曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x ，y 的值；(2)具体步骤第一步，引入参数，但要选定合适的参数t ；第二步，确定参数t 与变量x 或y 的一个关系式x ＝f (t )(或y ＝φ(t ));第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程F (x ，y )＝0，求得另一关系y ＝g (t )(或x ＝ψ(t ))，问题得解．[例1] 将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝1t，y ＝1tt 2－1(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)． [解] (1)∵⎝⎛⎭⎫1t 2＋⎝⎛⎭⎫1t t 2－12＝1， ∴x 2＋y 2＝1. ∵t 2－1≥0， ∴t ≥1或t ≤－1. 又x ＝1t ，∴x ≠0. 当t ≥1时，0＜x ≤1， 当t ≤－1时，－1≤x ＜0，∴所求普通方程为x 2＋y 2＝1，其中⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ≤1，0≤y ＜1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＜0，－1＜y ≤0.(2)∵y ＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ，sin 2θ＝x －2， ∴y ＝－2x ＋4，∴2x ＋y －4＝0. ∵0≤sin 2θ≤1，∴0≤x －2≤1，∴2≤x ≤3，∴所求的普通方程为2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)． [易错提醒](1)将曲线的参数方程化为普通方程时务必要注意x ，y 的取值范围，保证消参前后的方程的一致性．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意参数的取值范围对普通方程中x ，y 的取值范围的影响．直线与圆锥曲线的参数方程及应用1.第一步，把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程；第二步，根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题．2．当直线经过点P (x 0，y 0)，且直线的倾斜角为α，求直线与圆锥曲线的交点、弦长问题时，可以把直线的参数方程设成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，交点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，计算时把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出t 1＋t 2，t 1·t 2，得到|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2.[例2] (2018·无锡联考)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点M 的坐标；(2)若|PA |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率． [解] (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程是x 24＋y 2＝1.当α＝π3时，设点M 对应的参数为t 0.直线l 的方程为⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2. 则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1213，－313. (2)将⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0， 因为|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α，|OP |2＝7， 所以12cos 2α＋4sin 2α＝7，得tan 2α＝516. 由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)＞0， 故tan α＝54.所以直线l 的斜率为54.[方法技巧]1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)的直线的参数方程，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．能力练通抓应用体验的“得”与“失”(1)⎩⎨⎧x ＝3k 1＋k 2，y ＝6k21＋k2(k 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)． 解：(1)两式相除，得k ＝y 2x ，将其代入x ＝3k1＋k2得x ＝3·y2x 1＋⎝⎛⎭⎫y 2x 2，化简得4x 2＋y 2－6y ＝0，因为y ＝6k 21＋k 2＝6－11＋k 2，所以0＜y ＜6， 所以所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(0＜y ＜6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ) 得y 2＝2－x .又x ＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]．2.[考点二](2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t 2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s (s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．解：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )， 从而点P 到直线l 的距离 d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45.当s ＝2时，d min ＝455.因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值455.3.[考点二](2018·郑州模拟)将曲线C 1：x 2＋y 2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到曲线C 2，A 为C 1与x 轴正半轴的交点，直线l 经过点A 且倾斜角为30°，记l 与曲线C 1的另一个交点为B ，与曲线C 2在第一、三象限的交点分别为C ，D .(1)写出曲线C 2的普通方程及直线l 的参数方程； (2)求|AC |－|BD |.解：(1)由题意可得C 2：x 22＋y 2＝1，对曲线C 1，令y ＝0，得x ＝1，所以l ：⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t (t 为参数)．(2)将⎩⎨⎧x ＝1＋3t 2，y ＝12t代入x 22＋y 2＝1，整理得5t 2＋43t －4＝0.设点C ，D 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－435，且|AC |＝t 1，|AD |＝－t 2.又|AB |＝2|OA |cos 30°＝3，故|AC |－|BD |＝|AC |－(|AD |－|AB |)＝|AC |－|AD |＋|AB |＝t 1＋t 2＋3＝35. 4.[考点二](2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 解：(1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为 d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，解得a ＝8；当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，解得a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.突破点(三) 参数方程与极坐标方程的综合问题将极坐标方程与参数方程、普通方程交织在一起，考查极坐标方程与参数方程的综合应用.将各类方程相互转化是求解该类问题的前提.,解决问题时要注意：,(1)解题时，易将直线与圆的极坐标方程混淆.要熟练掌握特殊直线、圆的极坐标方程的形式.,(2)应用解析法解决实际问题时，要注意是选取直角坐标系还是极坐标系，建立极坐标系要注意选择极点、极轴的位置，注意“点和极坐标”的“一对多”特性.(3)求曲线方程，常设曲线上任意一点P (ρ，θ)，利用解三角形的知识，列出等量关系式，特别是正弦、余弦定理的应用．圆的参数方程常和三角恒等变换结合在一起，解决取值范围或最值问题．(4)参数方程和普通方程表示同一个曲线时，要注意其中x ，y 的取值范围，即注意两者的等价性.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”参数方程与极坐标方程的综合问题[典例] 1参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ＋k sin θ)＝－2(k 为实数)．(1)判断曲线C 1与直线l 的位置关系，并说明理由；(2)若曲线C 1和直线l 相交于A ，B 两点，且|AB |＝2，求直线l 的斜率．[解] (1)由曲线C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos α，y ＝sin α可得其普通方程为(x ＋1)2＋y 2＝1.由ρ(cos θ＋k sin θ)＝－2可得直线l 的直角坐标方程为x ＋ky ＋2＝0.因为圆心(－1,0)到直线l 的距离d ＝11＋k 2≤1，所以直线与圆相交或相切， 当k ＝0时，d ＝1，直线l 与曲线C 1相切； 当k ≠0时，d ＜1，直线l 与曲线C 1相交．(2)由于曲线C 1和直线l 相交于A ，B 两点，且|AB |＝2，故圆心到直线l 的距离d ＝11＋k 2＝ 1－⎝⎛⎭⎫222＝22， 解得k ＝±1，所以直线l 的斜率为±1. [方法技巧]处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos α，y ＝1＋10sin α(α为参数)，以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；(2)若直线的极坐标方程为sin θ－cos θ＝1ρ，求直线被曲线C 截得的弦长．解：(1)∵曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos α，y ＝1＋10sin α(α为参数)，∴曲线C 的普通方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10，① 曲线C 表示以(3,1)为圆心，10为半径的圆．将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入①并化简， 得ρ＝6cos θ＋2sin θ，即曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋2sin θ. (2)∵直线的直角坐标方程为y －x ＝1， ∴圆心C 到直线的距离为d ＝322， ∴弦长为210－92＝22.2．在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a cos θ(a ≠0)，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋1，y ＝4t ＋3(t 为参数)．(1)求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围． 解：(1)由ρ＝2a cos θ，ρ2＝2aρcos θ， 又ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，所以圆C 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝a 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋1，y ＝4t ＋3，得⎩⎨⎧x －13＝t ，y －34＝t ，因此x －13＝y －34，所以直线l 的普通方程为4x －3y ＋5＝0. (2)因为直线l 与圆C 恒有公共点， 所以|4a ＋5|42＋(－3)2≤|a |，两边平方得9a 2－40a －25≥0，所以(9a ＋5)(a －5)≥0，解得a ≤－59或a ≥5，所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－59∪[)5，＋∞. 3．(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值， d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2， 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12.1. (2018·南通模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α＋3，y ＝2sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ＝π6.若直线l 与曲线C 交于A ，B ，求线段AB 的长． 解：曲线C 的普通方程为(x －3)2＋y 2＝4，表示以(3，0)为圆心，2为半径的圆， 直线l 的直角坐标方程为y ＝33x ，所以圆心到直线的距离为32，所以线段AB 的长为24－⎝⎛⎭⎫322＝13.2．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值． 解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， 曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4. 3. (2018·南京模拟)设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．已知椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2.若P 是椭圆C 上任意一点，试求PM 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．解：M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，故直角坐标为M (0,1)，且P (2cos θ，sin θ)，所以PM ＝(2cos θ)2＋(sin θ－1)2 ＝－3sin 2θ－2sin θ＋5 ＝－3⎝⎛⎭⎫sin θ＋132＋163，sin θ∈[－1,1]． 所以当sin θ＝－13时，PM max ＝433，此时cos θ＝±223.所以，PM 的最大值是433，此时点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫±423，－13.4．(2018·盐城模拟)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2，y ＝t ，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，试判断直线l 与曲线C 的位置关系．解：直线l 的普通方程为2x －y －2＝0；曲线C 的直角坐标方程为：x 2＋(y －2)2＝4，它表示以(0,2)为圆心，半径是2的圆． 由圆心到直线l 的距离d ＝|0－2－2|22＋12＝45＝455＜2，得直线l 与曲线C 相交． 5．(2018·泰州期中)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.6．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解：(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)． 设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2).消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交点M 的极径为 5.7．(2018· 扬州期初)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t ，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1∶x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2.突破点(一) 绝对值不等式1．绝对值不等式的解法：(1)含绝对值的不等式|x |＜a 与|x |＞a 的解集：(2)|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法： ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解． ②利用零点分段法求解．③构造函数，利用函数的图象求解． 2．绝对值不等式的性质(1)性质1：|a |＋|b |≥|a ＋b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． (2)性质2：|a |－|b |≤|a ＋b |. (3)性质3：|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |.(4)推论：|a －b |≤|a －c |＋|b －c |，当且仅当(a －c )(b －c )≤0时，等号成立.绝对值不等式的解法[例1] (1)|2x ＋1|－2|x －1|＞0. (2)|x ＋3|－|2x －1|＜x2＋1.[解] (1)法一：原不等式可化为|2x ＋1|＞2|x －1|，两边平方得4x 2＋4x ＋1＞4(x 2－2x ＋1)，解得x ＞14，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞14.法二：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12，－(2x ＋1)＋2(x －1)＞0或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤1，(2x ＋1)＋2(x －1)＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，(2x ＋1)－2(x －1)＞0.解得x ＞14，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞14.(2)①当x ＜－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )＜x2＋1，解得x ＜10，∴x ＜－3.②当－3≤x ＜12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )＜x2＋1，解得x ＜－25，∴－3≤x ＜－25.③当x ≥12时，原不等式化为(x ＋3)＋(1－2x )＜x 2＋1，解得x ＞2，∴x ＞2.综上可知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－25或x ＞2.[方法技巧]绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法对a ∈R ＋，|x |＜a ⇔－a ＜x ＜a ， |x |＞a ⇔x ＜－a 或x ＞a . (2)平方法两边平方去掉绝对值符号． (3)零点分区间法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．证明绝对值不等式[例2] 已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.[证明] ∵|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|.∴由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )|＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y |≤1.[方法技巧]证明绝对值不等式的三种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明． (3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明．绝对值不等式的恒成立问题[例3] (1)当a ＝2 017时，求函数f (x )的值域；(2)若g (x )＝|x ＋1|，求不等式g (x )－2＞x －f (x )恒成立时a 的取值范围． [解] (1)由题意得，当a ＝2 017时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2 017，x ≥2 017，2 017，x ＜2 017.因为f (x )在[2 017，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的值域为[2 017，＋∞)． (2)由g (x )＝|x ＋1|，不等式g (x )－2＞x －f (x )恒成立，知|x ＋1|＋|x －a |＞2恒成立， 即(|x ＋1|＋|x －a |)min ＞2.而|x ＋1|＋|x －a |≥|(x ＋1)－(x －a )|＝|1＋a |， 所以|1＋a |＞2，解得a ＞1或a ＜－3. 故a 的取值范围为(－∞，－3)∪(1，＋∞).能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[解：不等式|x －1|－|x －5|＜2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜1，－(x －1)＋(x －5)＜2或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤5，x －1＋x －5＜2。

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11.3 几何概型1．几何概型的概念设D是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等），每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度（长度、面积、体积等)成正比,与d的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．2．几何概型的概率计算公式一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A）＝错误!.3．几何概型试验的两个基本特点（1）无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个;（2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．4．随机模拟方法（1）使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．（2）用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N;③计算频率f n(A）＝错误!作为所求概率的近似值．【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×")（1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √）（2）几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √)（3）在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．（√)(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．（√)(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( ×)（6）从区间［1，10］内任取一个数，取到1的概率是P＝19。

2019高考数学大一轮复习 12.3几何概型教师用书 理 苏教版1．几何概型设D 是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d 的形状和位置无关．把满足这样条件的概率模型称为几何概型． 2．在几何概型中，事件A 的概率计算公式P (A )＝d 的测度D 的测度.3．几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √ )(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √ ) (4)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( × ) (5)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19.( × )1．在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为________． 答案 13解析 坐标小于1的区间为[0,1]，长度为1，[0,3]区间长度为3， 故所求概率为13.2．(2014·辽宁改编)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是________． 答案π4解析 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ， 则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.3．(2014·福建)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．答案 0.18解析 由题意知，这是个几何概型问题，S 阴S 正＝1801 000＝0.18， ∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.4．(2013·山东)在区间[－3,3]上随机取一个数x 使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为________． 答案 13解析 由绝对值的几何意义知：使|x ＋1|－|x －2|≥1成立的x 值为x ∈[1,3]，由几何概型知所求概率为P ＝3－13＋3＝26＝13.题型一 与长度、角度有关的几何概型例1 (1)在区间[－1,1]上随机取一个数x ，求cosπ2x 的值介于0到12之间的概率． (2)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率． 解 (1)如图，由函数y ＝cos π2x 的图象知，当－1<x <－23或23<x <1时，0<cos π2x <12.由概率的几何概型知：cos π2x 的值介于0到12之间的概率为232＝13.(2)因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°， 在Rt△ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°， 所以BD ＝ADtan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P (N )＝30°75°＝25.思维升华 几何概型有两个特点：一是无限性；二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．(1)(2014·湖南改编)在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为________．(2)在半径为1的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________． 答案 (1)35 (2)12解析 (1)在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1，即－2≤X ≤1的概率为P ＝35.(2)记事件A 为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点F 作垂直于直径的弦，当弦为CD 时，就是等边三角形的边长(此时F 为OE 中点)，弦长大于CD 的充要条件是圆心O 到弦的距离小于OF ，由几何概型公式得： P (A )＝12×22＝12.题型二 与面积、体积有关的几何概型例2 (1)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 思维点拨 求随机点所在区域与所有区域的面积或体积比． 答案 (1)4－π4 (2)23解析 (1)如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π4.(2)先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝12×43π×13＝23π.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为23π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.思维升华 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的方法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，通用公式：P (A )＝构成事件A 的区域的测度试验的全部结果所组成的区域的测度.(1)在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋2ax－b 2＋π2有零点的概率为________．(2)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 答案 (1)1－π4 (2)1－π12解析 (1)由函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点， 可得Δ＝(2a )2－4(－b 2＋π2)≥0，整理得a 2＋b 2≥π2， 如图所示，(a ，b )可看成坐标平面上的点， 试验的全部结果构成的区域为Ω＝{(a ，b )|－π≤a ≤π，－π≤b ≤π}， 其面积S Ω＝(2π)2＝4π2. 事件A 表示函数f (x )有零点，所构成的区域为M ＝{(a ，b )|a 2＋b 2≥π2}， 即图中阴影部分，其面积为S M ＝4π2－π3，故P (A )＝S M S Ω＝4π2－π34π2＝1－π4. (2)V 正＝23＝8，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 正＝2π8×3＝π12， 故点P 到O 的距离大于1的概率为1－π12.题型三 生活中的几何概型问题例3 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．思维点拨 当基本事件受两个连续变量控制时，一般是把两个连续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决． 解 这是一个几何概型问题．设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24,0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}．A 为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部．所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝－2×12＋－2×12242＝506.5576＝1 0131 152. 思维升华 生活中的几何概型度量区域的构造方法： (1)审题：通过阅读题目，提炼相关信息． (2)建模：利用相关信息的特征，建立概率模型． (3)解模：求解建立的数学模型．(4)结论：将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论．(2014·重庆)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答) 答案932解析 在平面直角坐标系中画出由小王(x )和小张(y )到校的时间对应的点(x ，y )所构成的平面区域，再画出小张比小王至少早到5分钟对应的点(x ，y )所构成的平面区域，计算出两区域的面积，利用几何概型的概率公式计算即可．设小王到校时间为x ，小张到校时间为y ，则小张比小王至少早到5分钟时满足x －y ≥5.如图，原点O 表示7：30，在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为400，小张比小王至少早到5分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为12×15×15＝2252，故所求概率P ＝2252400＝932.混淆长度型与面积型几何概型致误典例：在长度为1的线段上任取两点，将线段分成三段，试求这三条线段能构成三角形的概率．易错分析 不能正确理解题意，无法找出准确的几何度量来计算概率． 规范解答解 设x 、y 表示三段长度中的任意两个． 因为是长度，所以应有0<x <1,0<y <1,0<x ＋y <1，即(x ，y )对应着坐标系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点，如图所示．要形成三角形，由构成三角形的条件知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >1－x －y ，1－x －y >x －y ，1－x －y >y －x ，所以x <12，y <12，且x ＋y >12，故图中阴影部分符合构成三角形的条件．因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的14，故这三条线段能构成三角形的概率为14.温馨提醒 解决几何概型问题的易误点：(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型，导致错误．(2)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否具有等可能性，导致错误．方法与技巧1．区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限个． 2．转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可； (2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型． 失误与防范1．准确把握几何概型的“测度”是解题关键．2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1．(2014·陕西改编)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________． 答案 35解析 取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为610＝35. 2．设p 在[0,5]上随机地取值，则方程x 2＋px ＋p 4＋12＝0有实根的概率为________．答案 35解析 一元二次方程有实数根⇔Δ≥0，而Δ＝p 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4＋12＝(p ＋1)(p －2)，解得p ≤－1或p ≥2，故所求概率为P ＝[0，－∞，－1]∪[2，＋的长度[0，5]的长度＝35. 3．在区间[－1,4]内取一个数x ，则2x －x 2≥14的概率是________．答案 35解析 不等式2x －x 2≥14，可化为x 2－x －2≤0，则－1≤x ≤2， 故所求概率为2－－4－－＝35. 4．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为______． 答案 12解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B 、E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D在线段CF (不包含C 、F 点)上时，△ABD 为钝角三角形．所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.5．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________． 答案 1－2π解析 设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连结OC ，DC .不妨令OA ＝OB ＝2， 则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－12×1×1＝1，所以整体图形中空白部分面积S 2＝2. 又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2.所以P ＝π－2π＝1－2π.6．已知集合A ＝{α|α＝n π9，n ∈Z }，若从A 中任取一个元素均可作为直线l 的倾斜角，则直线的斜率小于零的概率是________． 答案 49解析 由于倾斜角范围为[0，π)，故当0≤n ≤8时，集合A 中共有9个解，分别为0，π9，2π9，3π9，4π9，5π9，6π9，7π9，8π9.其中当α为5π9，6π9，7π9，8π9时，此时α为钝角，直线l 的斜率小于零．故直线l 的斜率小于零的概率P ＝49.7．(2013·湖北)在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________. 答案 3解析 由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．当2<m <4时，由题意得m －－6＝56，解得m ＝3. 即m 的值为3.8．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________． 答案 12解析 ∵方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分， ∴所求的概率为P ＝12.9．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不．在家看书的概率为________． 答案1316解析 ∵去看电影的概率P 1＝π×12－π122π×12＝34， 去打篮球的概率P 2＝π142π×12＝116， ∴不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316.10．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36(个)；由a ·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个； 故满足a ·b ＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}； 满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}；画出图形如图，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a ·b <0的概率为2125.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)1．(2014·湖北改编)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________．答案 78解析 如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知C (－12，32)，故由几何概型的概率公式，得所求概率P ＝S 四边形OACD S △OAB ＝2－142＝78. 2．一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是________．答案 π120解析 屋子的体积为5×4×3＝60米3，捕蝇器能捕捉到的空间体积为18×43π×13×3＝π2. 故苍蝇被捕捉的概率是π260＝π120. 3.已知点A 在坐标原点，点B 在直线y ＝1上，点C (3,4)，若AB ≤10，则△ABC 的面积大于5的概率是________．答案 524解析 设B (x,1)，根据题意知点D (34，1)， 若△ABC 的面积小于或等于5，则12×DB ×4≤5，即DB ≤52，此时点B 的横坐标x ∈[－74，134]，而AB ≤10，所以点B 的横坐标x ∈[－3,3]，所以△ABC 的面积小于或等于5的概率为P ＝3－－746＝1924， 所以△ABC 的面积大于5的概率是1－P ＝524. 4．在面积为S 的△ABC 内部任取一点P ，△PBC 的面积大于S 4的概率为________． 答案 916 解析 如图，假设当点P 落在EF 上时(EF ∥BC )，恰好满足△PBC 的面积等于S 4， 作PG ⊥BC ，AH ⊥BC ，则易知PG AH ＝14.符合要求的点P 可以落在△AEF 内的任意处，其概率为P ＝S △AEF S △ABC ＝916. 5．平面内有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm ，把一枚半径为1 cm 的硬币任意投掷在这个平面内，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________．答案 13解析 如图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为13.6．设f (x )和g (x )是定义在同一区间上的两个函数．若对任意x ∈[1,2]，都有|f (x )＋g (x )|≤8，则称f (x )和g (x )是“友好函数”．设f (x )＝ax ，g (x )＝b x. (1)若a ∈{1,4}，b ∈{－1,1,4}，求f (x )和g (x )是“友好函数”的概率．(2)若a ∈[1,4]，b ∈[1,4]，求f (x )和g (x )是“友好函数”的概率．解 (1)设事件A 表示f (x )和g (x )是“友好函数”，则|f (x )＋g (x )|(x ∈[1,2])所有的情况有：x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ，4x ＋1x ，4x ＋4x，共6种且每种情况被取到的可能性相同． 又当a >0，b >0时，y ＝ax ＋b x 在(0，b a )上递减，在(b a，＋∞)上递增；且y ＝x －1x 和y ＝4x －1x在(0，＋∞)上递增， ∴对x ∈[1,2]可使|f (x )＋g (x )|≤8恒成立的情况有x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x， 故事件A 包含的基本事件有4种，∴P (A )＝46＝23，故所求概率是23.(2)设事件B 表示f (x )和g (x )是“友好函数”，∵a 是从区间[1,4]中任取的数，b 是从区间[1,4]中任取的数，∴点(a ，b )所在的区域是长为3，宽为3的矩形区域．要使x ∈[1,2]时，|f (x )＋g (x )|≤8恒成立，需f (1)＋g (1)＝a ＋b ≤8且f (2)＋g (2)＝2a ＋b 2≤8，∴事件B 表示的点的区域是如图所示的阴影部分．∵矩形区域的面积S ＝3×3＝9，阴影部分的面积S 阴＝12×(2＋114)×3＝578，∴根据几何概型的概率公式可得所求概率为P ＝S 阴S ＝5772＝1924.。

2016届高考数学一轮复习 11.5古典概型、几何概率课时作业 理 湘教版一、选择题1．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从到会教师中随机挑选一人表演节目．如果每位教师被选到的概率相等，而且选到男教师的概率为920，那么参加这次联欢会的教师共有( )A ．360人B ．240人C ．144人D ．120人【解析】 设与会男教师x 人，则女教师为x ＋12人．由条件知，x x ＋（x ＋12）＝920，∴x＝54，∴2x＋12＝120，故选D .【答案】 D2．(2012·某某模拟)一个盒子内部有如图所示的六个小格子，现有桔子、苹果和香蕉各两个，将这六个水果随机地放入这六个格子里，每个格子放一个，放好之后每行、每列的水果种类各不相同的概率是( )A .215B .29C .15D .13【解析】 依题意，将这六个不同的水果分别放入这六个格子里，每个格子放入一个，共有A 66＝720种不同的放法，其中满足放好之后每行、每列的水果种类各不相同的放法共有96种(此类放法进行分步计数：第一步，确定第一行的两个格子的水果放法，共有C 23·C 12·C 12·A 22＝24种放法；第二步，确定第二行的两个格子的水果放法，有C 12·C 12＝4种放法，剩余的两个水果放入第三行的两个格子)，因此所求的概率等于96720＝215.【答案】 A3．(2013·某某某某)连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，－1)的夹角为α，则α∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2的概率为( )A.78B.1316C.316D.712【解析】 当α∈(0，π2]，得cos α≥0，从而a ·b ＝m －n ≥0.当m ＝1时，n ＝1；当m ＝2时，n ＝1、2；当m ＝3时，n ＝1、2、3；…；当m ＝6时，n ＝1、2、3、4、5、6. 故所求概率为1＋2＋3＋4＋5＋636＝712.【答案】 D4．若a ，b 在区间[0，3]上取值，则函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋ax 在R 上有两个相异极值点的概率是( )A.12B.33C.36 D ．1－36【解析】 易得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋a ，函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋ax 在R 上有两个相异极值点的充要条件是a ≠0且其导函数的判别式大于0，即a ≠0且4b 2－12a 2>0.又a ，b 在区间[0，3]上取值，则a >0，b >3a ，满足点(a ，b )的区域如图中阴影部分所示，其中正方形区域的面积为3，阴影部分的面积为32，故所求的概率是36.【答案】 C5．如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线f (x )＝sin x ，x ∈(0，π)及直线x ＝a ，a ∈(0，π)与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为14，则a 的值是( )A.2π3B.3π4C.5π6 D.7π12积为a ×6a＝6，记【解析】 构成试验的全部区域是矩形OABC ，面“向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分”为事件A ，则构成事件A 的区域即为阴影部分，面积为错误!错误!0＝1－cos a ．由几何概率的计算公式可得P (A )＝14＝1－cos a 6，∴cos a ＝－12，∴a ＝2π3.故选A.【答案】 A6．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( )A.16B.13C.12D.23【解析】 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B 、E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含C 、F 点)上时，△ABD 为钝角三角形．所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.【答案】 C二、填空题7．在集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1，2，3的所有非空子集中任取一个集合，恰满足条件“对∀x ∈A ，则1x∈A ”的集合的概率是________．【解析】 集合M 的非空子集有25－1＝31(个)，而满足条件 “对∀x ∈A ，则1x∈A ”的集合A 中的元素为1或12，2且12，2要同时出现，故这样的集合有3个：{1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，2.因此，所求的概率为331.【答案】3318．在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P ，Q ，M ，N 分别是线段OA ，OB ，OC ，OD 的中点．在A ，P ，M ，C 中任取一点记为E ，在B ，Q ，N ，D 中任取一点记为F .设G 为满足向量 OG →＝OE →＋OF →的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外(不含边界)的概率为________．【解析】 基本事件的总数是4×4＝16.在 OG →＝ OE →＋ OF →中，当 OG →＝ OP →＋ OQ →， OG →＝ OP →＋ ON →， OG →＝ ON →＋ OM →， OG →＝ OM →＋ OQ →时，点G 分别为该平行四边形的各边的中点，此时点G 在平行四边形的边界上，而其余情况中的点G 都在平行四边形外，故所求的概率是1－416＝34. 【答案】 349．如图，已知正三棱锥SABC 的底面边长为a ，高为h ，在正三棱锥内取一点M ，试求点M 到底面的距离小于h2的概率P ＝________.【解析】 在SA ，SB ，SC 上取点A 1，B 1，C 1，使A 1，B 1，C 1分别为SA ，SB ，SC 的中点，则当点M 位于面ABC 和面A 1B 1C 1之间时，点M 到底面的距离小于h2.设△ABC 的面积为S ，由△ABC ∽△A 1B 1C 1且相似比为2，得△A 1B 1C 1的面积为S4.由题意，三棱椎SABC 的体积为13Sh ，三棱台A 1B 1C 1ABC 的体积为： 13Sh －13·S 4·h 2＝13Sh ·78. 故P ＝78.【答案】 7810．两个CB 对讲机(CB 即CitizenBand 民用波段的英文缩写)持有者，莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲机的接收X 围为20公里，在下午3：00时莉莉正在基地正东距基地30公里以内的某处向基地行驶，而霍伊在下午3：00时正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，则在下午3：00时他们能够通过对讲机交谈的概率为________．【解析】 设x 和y 分别代表莉莉和霍伊距基地的距离， 于是0≤x ≤30，0≤y ≤40.他们所有可能的距离的数据构成有序点对(x ，y )，这里x ，y 都在它们各自的限制X 围内，则所有这样的有序数对构成的集合即为基本事件组对应的几何区域，每一个几何区域中的点都代表莉莉和霍伊的一个特定的位置， 他们可以通过对讲机交谈的事件仅当他们之间的距离不超过20公里时发生(如图)，因此构成该事件的点由满足不等式x 2＋y 2≤20的数对组成，此不等式等价于x 2＋y 2≤400，如图中的方形区域代表基本事件组，阴影部分代表所求事件，方形区域的面积为1 200平方公里，而事件的面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫14×π×(20)2＝100π，于是有P ＝100π1 200＝π12. 【答案】π12三、解答题11．一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A 类轿车10辆． (1)求z 的值；(2)用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下： 9．4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．【解析】 (1)设该厂这个月共生产轿车n 辆，由题意得50n ＝10100＋300，所以n ＝2 000，则z ＝2 000－100－300－150－450－600＝400. (2)设所抽样本中有a 辆舒适型轿车， 由题意得4001 000＝a5，则a ＝2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共10个．事件E 包含的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，共7个．故P (E )＝710，即所求概率为710.(3)样本平均数x －＝18×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D 表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包含的基本事件有9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个，所以P (D )＝68＝34，即所求概率为34.12．(2013·苏锡常镇调研)已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －2)x －b 2＋16＝0. (1)若a ，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率； (2)若a ∈[2，6]，b ∈[0，4]，求方程没有实根的概率．【解析】 (1)基本事件(a ，b )共有36个，方程有正根等价于a －2＞0，16－b 2＞0，Δ≥0，即a ＞2，－4＜b ＜4，(a －2)2＋b 2≥16.设“方程有两个正根”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(6，1)，(6，2)，(6，3)，(5，3)共4个，故所求的概率为P (A )＝436＝19.(2)试验的全部结果构成区域Ω＝{(a ，b )|2≤a ≤6，0≤b ≤4}，其面积为S (Ω)＝16. 设“方程无实根”为事件B ，则构成事件B 的区域为 B ＝{(a ，b )|2≤a ≤6，0≤b ≤4，(a －2)2＋b 2＜16}， 其面积为S (B )＝14×π×42＝4π，故所求的概率为P (B )＝4π16＝π4.13．如图，在某城市中，M ，N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中A 1、A 2、A 3、A 4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．现在道路网M ，N 处的甲、乙两人分别要到N ，M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N ，M 处为止．(1)求甲经过A 2到达N 处的方法有多少种； (2)求甲、乙两人在A 2处相遇的概率； (3)求甲、乙两人相遇的概率．【解析】 (1)甲经过A 2，可分为两步：第一步，甲从M 到A 2的方法有C 13种；第二步，甲从A 2到N 的方法有C 13种．所以甲经过A 2到达N 处的方法有(C 13)2＝9种．(2)由(1)知，甲经过A 2的方法数为9；乙经过A 2的方法数也为9. 所以甲、乙两人在A 2处相遇的方法数为9×9＝81； 甲、乙两人在A 2处相遇的概率为81C 36C 36＝81400. (3)甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在A 1、A 2、A 3、A 4处相遇，他们在A i (i ＝1，2，3，4)处相遇的走法有(C i －13)4种方法，所以(C 03)4＋(C 13)4＋(C 23)4＋(C 33)4＝164，故甲、乙两人相遇的概率为164400＝41100.。

１．几何概型的定义设D是一个可度量的区域，每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度（长度、面积、体积等）成正比，与d的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．２．几何概型的两个基本特点（１）无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个；（２）等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．３．几何概型的概率公式P（A）＝错误!.[提醒] 求解几何概型问题注意数形结合思想的应用．[小题体验]１．某路公共汽车每５分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过２分钟的概率是________．解析：试验的全部结果构成的区域长度为５，所求事件的区域长度为２，故所求概率为P＝错误!.答案：错误!２．在长为１２cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于３２cm２的概率为________．解析：设AC＝x（0＜x＜１２），则CB＝１２—x，所以x（１２—x）＜３２，解得x＜４或x＞8，所以所求概率P＝错误!＝错误!.答案：错误!３．在５00 mL的水中有一只草履虫，现从中随机取出２mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是________．解析：由于取水样的随机性，所求事件A“在取出２mL的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比，即错误!＝0．00４．答案：0．00４易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的．[小题纠偏]１．已知函数f（x）＝x２—２x—３，x∈[—１,４]，则f（x）为增函数的概率为________．解析：因为f（x）＝x２—２x—３＝（x—１）２—４，x∈[—１,４]．所以f（x）在[１,４]上是增函数．所以f（x）为增函数的概率为P＝错误!＝错误!.答案：错误!２．如图，在边长为１的正方形中随机撒１000粒豆子，有１80粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．解析：设阴影部分面积为S，由几何概型可知错误!＝错误!，所以S＝0．１8．答案：0．１8错误!错误![题组练透]１．（２0１8·扬州考前调研）在区间（0,５）内任取一个实数m, 则满足３＜m＜４的概率为_________．解析：根据几何概型的概率计算公式得，满足３＜m＜４的概率为错误!.答案：错误!２．（２0１8·苏州调研）在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一射线CM，与线段AB交于点M，则AM＜AC的概率为________．解析：如图，过点C在∠ACB内任作射线CM，则射线CM在∠ACB内是等可能分布的，故基本事件的区域测度是∠ACB的大小，即90°.在AB上取AC′＝AC，则∠ACC′＝错误!＝67．５°.记“AM＜AC”为事件A，则事件A的概率P（A）＝错误!＝错误!，故AM＜AC的概率为错误!.答案：错误!３．如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在３0°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．解析：根据题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，所以OA落在∠yOT内的概率为错误!＝错误!.答案：错误!４．在水平放置的长为５m的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木杆两端距离都大于２m的概率是________．解析：这是一个几何概型，其概率就是如图所示的相应的线段CD，AB的长度的比值，故所求概率P＝错误!.答案：错误![谨记通法]１．与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直接用概率的计算公式求解．２．与角度有关的几何概型当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．错误!错误![锁定考向]与面积、体积有关的几何概型在高考中经常出现．常见的命题角度有：（１）与平面图形面积有关的问题；（２）与线性规划交汇命题的问题；（３）与几何体体积交汇命题的问题．[题点全练]角度一：与平面图形面积有关的问题１．平面区域A１＝错误!，A２＝{（x，y）||x|＋|y|≤３，x，y∈R}．在A２内随机取一点，则该点不在A１内的概率为________．解析：分别画出区域A１，A２，如图圆内部分和正方形及其内部所示，根据几何概型可知，所求概率为错误!＝１—错误!.答案：１—错误!角度二：与线性规划交汇命题的问题２．在平面区域{（x，y）|0≤x≤１，１≤y≤２}内随机投入一点P，则点P的坐标（x，y）满足y≤２x的概率为________．解析：依题意作出图象如图，则P（y≤２x）＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!角度三：与几何体体积交汇命题的问题３．（２0１8·南通中学高三数学练习）在棱长为２的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于１的概率为________．解析：半径为１的球的体积是错误!π，正方体的体积是8，故所求的概率是１—错误!＝１—错误!.答案：１—错误![通法在握]１．几何概型与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率．２．几何概型与线性规划交汇问题的解题思路先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率．３．几何概型与几何体体积交汇问题的解题思路根据题意及几何体体积的计算公式，求出问题的总体积（总空间）以及事件的体积（事件空间），对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．[演练冲关]１．（２0１9·滨海测试）已知关于x的二次函数f（x）＝ax２—４bx＋１．设点（a，b）是区域错误!内的随机点，则函数f（x）在区间[１，＋∞）上是增函数的概率为________．解析：要使函数f（x）在区间[１，＋∞）上是增函数，需要a＞0，且—错误!≤１，即a＞0且２b≤a.画出图形如图所示，求得区域错误!的面积为错误!×8×8＝３２，由错误!求得P错误!，所以区域内满足a＞0且２b≤a的面积为错误!×8×错误!＝错误!，所以所求概率P＝错误!＝错误!.答案：错误!２．（２0１8·汇龙中学检测）设O为坐标原点，点P的坐标为（x—２，x—y）．（１）在一个盒子中，放有标号为１,２,３的三张卡片，现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x，y，求OP的最大值，并求事件“OP取到最大值”的概率；（２）若利用计算机随机在[0,３]上先后取两个数分别记为x，y，求点P在第一象限的概率．解：（１）记抽到的卡片标号为（x，y），所有的情况分别为：（x，y）（１,１）（１,２）（１,３）（２,１）（２,２）（２,３）（３,１）（３,２）（３,３）P（x—２，x—y）（—１，0）（—１，—１）（—１，—２）（0,１）（0,0）（0，—１）（１,２）（１,１）（１,0）|OP|１错误!错误!１0１错误!错误!１共9种．由表格可知OP的最大值为错误!.设事件A为“OP取到最大值”，则满足事件A的（x，y）有（１,３），（３,１）两种情况，所以P（A）＝错误!.（２）设事件B为“点P在第一象限”，若错误!则其所表示的区域面积为３×３＝9．由题意可得事件B满足错误!即如图所示的阴影部分，其区域面积为１×３—错误!×１×１＝错误!.所以P（B）＝错误!＝错误!.错误!错误![典例引领]设关于x的一元二次方程x２＋２ax＋b２＝0，其中a，b是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求上述方程有实根的概率．（１）若随机数a，b∈{１,２,３,４};（２）若a是从区间[0,３]中任取的一个数，b是从区间[0,２]中任取的一个数．解：设事件A为“方程x２＋２ax＋b２＝0有实根”，当a≥0，b≥0时，方程x２＋２ax＋b２＝0有实根的充要条件为a≥b.（１）基本事件共有１6个：（１,１），（１,２），（１,３），（１,４），（２,１），（２,２），（２,３），（２,４），（３,１），（３,２），（３,３），（３,４），（４,１），（４,２），（４,３），（４,４），其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含１0个基本事件，故事件A发生的概率为P（A）＝错误!＝错误!.（２）试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤３,0≤b≤２}．构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤３，0≤b≤２，a≥b}即如图的阴影区域所示，所以所求的概率为P（A）＝错误!＝错误!.[由题悟法]一般地，若一个随机事件需要两个连续变量来描述，用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，利用坐标平面能顺利地建立与面积有关的几何概型．若一个随机事件需要两个离散变量来描述，用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，利用古典概型求解事件的概率．[即时应用]（２0１8·常州调研）已知一次函数f（x）＝mx＋n，分别在下列条件下，求函数图象经过一、二、三象限的概率．（１）设m∈{—２，—１,１,２,３}，n∈{—２,３}；（２）实数m，n满足条件错误!解：（１）抽取的全部结果的基本事件有：（—２，—２），（—２,３），（—１，—２），（—１,３），（１，—２），（１,３），（２，—２），（２,３），（３，—２），（３,３），共１0个，设函数图象经过一、二、三象限的事件为A，则A包含的基本事件有：（１,３）, （２,３）, （３,３），共３个，所以P（A）＝错误!.（２）m，n满足条件错误!的区域如图所示．要使函数的图象过一、二、三象限，则m＞0，n＞0，故使函数图象过一、二、三象限的（m，n）的区域为第一象限的阴影部分，所以所求事件的概率为P＝错误!＝错误!.一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·连云港调研）欧阳修在《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱的形状是直径为３cm的圆，中间有边长为１cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率是________．解析：根据几何概型知，P＝错误!＝错误!.答案：错误!２．（２0１8·无锡中学检测）如图，矩形的长为１２，宽为５，在矩形内随机地投掷１000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为600颗，则可以估计阴影部分的面积约为________．解析：可估计阴影部分的面积约为错误!×１２×５＝３6．答案：３6３．（２0１9·镇江调研）有一个底面半径为１，高为３的圆柱，点O１，O２分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心．在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O１，O２的距离都大于１的概率为________．解析：因为点P到点O１，O２的距离小于等于１的点的集合为以点O１，O２为球心，１为半径的两个半球，求得体积V′＝２×错误!×错误!π×１３＝错误!π，圆柱的体积V＝Sh＝３π，所以点P到点O１，O２的距离都大于１的概率P＝１—错误!＝错误!.答案：错误!４．已知函数f（x）＝x２—x—２，x∈[—５,５]，若从区间[—５,５]内随机抽取一个实数x0，则所取的x0满足f（x0）≤0的概率为________．解析：令x２—x—２≤0，解得—１≤x≤２，由几何概型的概率计算公式得P＝错误!＝错误!.答案：错误!５．（２0１8·苏锡常镇一模）已知Ω１是集合{（x，y）|x２＋y２≤１}所表示的区域，Ω２是集合{（x，y）|y≤|x|}所表示的区域，向区域Ω１内随机的投一个点，则该点落在区域Ω２内的概率为________．解析：作出区域Ω１（圆面）、Ω２（阴影部分）的示意图如图所示，根据几何概型的概率计算公式得，该点落在区域Ω２内的概率为错误!.答案：错误!6．如图所示，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．解析：设扇形的半径为２，则其面积为错误!＝π，记由两段小圆弧围成的阴影面积为S１，另外三段圆弧围成的阴影面积为S２，则S１＝２×错误!＝错误!—１，S２＝错误!×２２—２×错误!×１２＋错误!—１＝错误!—１，故阴影部分总面积为２×错误!＝π—２，因此任取一点，此点取自阴影部分的概率为错误!＝１—错误!.答案：１—错误!二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１8·苏州中学高三期末）已知实数a∈[—２,５]，则a∈{x∈R|x２—２x—３≤0}的概率为________．解析：由x２—２x—３≤0，解得—１≤x≤３，故所求概率P＝错误!＝错误!.答案：错误!２．（２0１9·启东中学检测）已知正方形ABCD的边长为２，点H是边DA的中点．在正方形ABCD 内部随机取一点P，则满足PH＜错误!的概率为________．解析：如图，满足PH＜错误!的点在△AEH，扇形EHF及△DFH围成的区域内，由几何概型得所求概率为错误!＝错误!＋错误!.答案：错误!＋错误!３．在[—４,４]上随机取一个实数m，能使函数f（x）＝x３＋mx２＋３x在R上单调递增的概率为________．解析：由题意，得f′（x）＝３x２＋２mx＋３，要使函数f（x）在R上单调递增，则３x２＋２mx＋３≥0在R上恒成立，即Δ＝４m２—３6≤0，解得—３≤m≤３，所以所求概率为错误!＝错误!.答案：错误!４．（２0１8·连云港期末）已知m∈[３,４]，n∈[２．５,３．５]，则关于x的方程x２＋错误!x＋错误!＝0有解的概率为________．解析：m∈[３,４]，n∈[２．５,３．５]，∵关于x的方程x２＋错误!x＋错误!＝0有解，∴Δ＝m—４×错误!＝m—n≥0，∴错误!画出图形如图所示，则阴影部分的面积为１—错误!×错误!×错误!＝错误!，∴所求的概率P＝错误!＝错误!.答案：错误!５．在区间错误!上随机取一个数x，则sin x＋cos x∈[１，错误!]的概率是________．解析：因为x∈错误!，所以x＋错误!∈错误!，由sin x＋cos x＝错误!sin错误!∈[１，错误!]，得错误!≤sin错误!≤１，所以x∈错误!，故要求的概率为错误!＝错误!.答案：错误!6．已知集合A＝错误!，B＝{x|x２＋２x—３≤0}，在集合A中任意取一个元素a，则a∈B的概率是________．解析：A＝{y|y＝x２＋２x，—２≤x≤２}＝{y|—１≤y≤8}．B＝错误!＝错误!.则所求的概率为错误!＝错误!.答案：错误!7．（２0１8·无锡调研）设a∈[0,１0]，则函数g（x）＝错误!在区间（0，＋∞）上为增函数的概率为________．解析：因为函数g（x）＝错误!在区间（0，＋∞）上为增函数，所以a—２＜0，解得a＜２，所以函数g（x）＝错误!在区间（0，＋∞）上为增函数的概率P＝错误!＝错误!.答案：错误!8．如图，正四棱锥S­ABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为________．解析：设球的半径为R，则所求的概率为P＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!9．已知正方体ABCD­A１B１C１D１的棱长为１，在正方体内随机取点M.（１）求四棱锥M­ABCD的体积小于错误!的概率；（２）求M落在三棱柱ABC­A１B１C１内的概率．解：（１）正方体ABCD­A１B１C１D１中，设M­ABCD的高为h，令错误!×S四边形ABCD×h＝错误!，因为S四边形ABCD＝１，所以h＝错误!.若体积小于错误!，则h＜错误!，即点M在正方体的下半部分，所以P＝错误!＝错误!.（２）因为V三棱柱＝错误!×１２×１＝错误!，所以所求概率P１＝错误!＝错误!.１0．（２0１8·启东中学模拟）甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客，两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为１５°，边界忽略不计）即为中奖．乙商场：从装有３个白球和３个红球的不透明盒子中一次性摸出２个球（球除颜色外不加区分），如果摸到的是２个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？解：如果顾客去甲商场，事件的全部结果构成的区域为圆盘，面积为πR２（R为圆盘的半径），阴影区域的面积为错误!＝错误!.所以在甲商场中奖的概率P１＝错误!＝错误!.如果顾客去乙商场，记盒子中３个白球为a１，a２，a３,３个红球为b１，b２，b３，记（x，y）为一次摸球的结果，则一切可能的结果有（a１，a２），（a１，a３），（a１，b１），（a１，b２），（a１，b３），（a２，a），（a２，b１），（a２，b２），（a２，b３），（a３，b１），（a３，b２），（a３，b３），（b１，b２），（b１，b３），３（b２，b３），共１５种，摸到的２个球都是红球的结果有（b１，b２），（b１，b３），（b２，b３），共３种，所以在乙商场中奖的概率P２＝错误!＝错误!.因为P１＜P２，所以顾客在乙商场中奖的可能性大．三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．（２0１8·苏州考前模拟）在区间[—１,１]上随机取一个数x，cos错误!的值介于0到错误!之间的概率为________．解析：在区间[—１,１]上随机取一个数x，即x∈[—１,１]时，要使cos错误!的值介于0到错误!之间，需使—错误!≤错误!≤—错误!或错误!≤错误!≤错误!，所以—１≤x≤—错误!或错误!≤x≤１，区间长度为错误!，由几何概型知，cos错误!的值介于0到错误!之间的概率为错误!＝错误!.答案：错误!２．（２0１8·启东中学检测）∀α∈R，n∈[0,２]，向量c＝（２n＋３cos α，n—３sin α）的长度不超过6的概率为________．解析：|c|＝错误!＝错误!＝错误!≤6，化简得５n２＋6n（２cos α—sin α）≤２7，即５n２＋6 错误!n·错误!≤２7，即５n２＋6 错误!n cos（α＋φ）≤２7，其中tan φ＝错误!＝错误!，当n＞0时，变形得cos（α＋φ）≤错误!，由于错误!＞0，令错误!≥１，即５n２＋6 错误!n—２7≤0，解得0≤n≤错误!，此时向量c的长度不超过6，又n∈[0,２]，由几何概型的概率公式得向量c的长度不超过6的概率为错误!＝错误!.答案：错误!３．已知关于x的二次函数f（x）＝b２x２—（a＋１）x＋１．（１）若a，b分别表示将一质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为１,２,３,４,５,6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求y＝f（x）恰有一个零点的概率．（２）若a，b∈[１,6]，求满足y＝f（x）有零点的概率．解：（１）设（a，b）表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有（１,１），（１,２），（１,３），（１,４），（１,５），（１,6），（２,１），（２,２），…，（6,５），（6,6），共３6个．用A表示事件“y＝f（x）恰有一个零点”，即Δ＝[—（a＋１）]２—４b２＝0，则a＋１＝２b.则A包含的基本事件有（１,１），（３,２），（５,３），共３个，所以P（A）＝错误!＝错误!.即事件“y＝f（x）恰有一个零点”的概率为错误!.（２）用B表示事件“y＝f（x）有零点”，即a＋１≥２b.试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|１≤a≤6,１≤b≤6}，构成事件B的区域为{（a，b）|１≤a≤6,１≤b≤6，a—２b＋１≥0}，如图所示：所以所求的概率为P（B）＝错误!＝错误!.即事件“y＝f（x）有零点”的概率为错误!.命题点一统计１．（２0１8·江苏高考）已知５位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这５位裁判打出的分数的平均数为________．解析：这５位裁判打出的分数分别是89,89,90,9１,9１，因此这５位裁判打出的分数的平均数为错误!＝90．答案：90２．（２0１6·江苏高考）已知一组数据４．7,４．8,５．１,５．４,５．５，则该组数据的方差是________．解析：５个数的平均数错误!＝错误!＝５．１，所以它们的方差s２＝错误![（４．7—５．１）２＋（４．8—５．１）２＋（５．１—５．１）２＋（５．４—５．１）２＋（５．５—５．１）２]＝0．１．答案：0．１３．（２0１7·江苏高考）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为２00,４00,３00,１00件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．解析：因为丙种型号的产品在所有产品中所占比例为错误!＝错误!，所以应从丙种型号的产品中抽取60×错误!＝１8（件）．答案：１8４．（２0１8·全国卷Ⅰ）某家庭记录了未使用节水龙头５0天的日用水量数据（单位：m３）和使用了节水龙头５0天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头５0天的日用水量频数分布表日用水量[0，0．１）[0．１，0．２）[0．２，0．３）[0．３，0．４）[0．４，0．５）[0．５，0．6）[0．6，0．7）频数１３２４9２6５使用了节水龙头５0天的日用水量频数分布表日用水量[0，0．１）[0．１，0．２）[0．２，0．３）[0．３，0．４）[0．４，0．５）[0．５，0．6）频数１５１３１0１6５（１）在下图中作出使用了节水龙头５0天的日用水量数据的频率分布直方图；（２）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0．３５m３的概率；（３）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按３6５天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）解：（１）频率分布直方图如图所示．（２）根据频率分布直方图知，该家庭使用节水龙头后５0天日用水量小于0．３５m３的频率为0．２×0．１＋１×0．１＋２．6×0．１＋２×0．0５＝0．４8，因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0．３５m３的概率的估计值为0．４8．（３）该家庭未使用节水龙头５0天日用水量的平均数为错误!１＝错误!×（0．0５×１＋0．１５×３＋0．２５×２＋0．３５×４＋0．４５×9＋0．５５×２6＋0．6５×５）＝0．４8．该家庭使用了节水龙头后５0天日用水量的平均数为错误!２＝错误!×（0．0５×１＋0．１５×５＋0．２５×１３＋0．３５×１0＋0．４５×１6＋0．５５×５）＝0．３５．估计使用节水龙头后，一年可节省水（0．４8—0．３５）×３6５＝４7．４５（m３）．命题点二古典概型、几何概型１．（２0１8·江苏高考）某兴趣小组有２名男生和３名女生，现从中任选２名学生去参加活动，则恰好选中２名女生的概率为________．解析：设２名男生为a，b,３名女生为A，B，C，从中选出２人的情况有（a，b），（a，A），（a，B），（a，C），（b，A），（b，B），（b，C），（A，B），（A，C），（B，C），共１0种，而都是女生的情况有（A，B），（A，C），（B，C），共３种，故所求概率为错误!.答案：错误!２．（２0１8·上海高考）有编号互不相同的五个砝码，其中５克、３克、１克砝码各一个，２克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是________（结果用最简分数表示）解析：从５个砝码随机选取三个，共有１0种选取方法，总质量为9克的情况有２种，因此所求概率为错误!＝错误!.答案：错误!３．（２0１6·江苏高考）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有１,２,３,４,５,6个点的正方体玩具）先后抛掷２次，则出现向上的点数之和小于１0的概率是________．解析：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷２次，所有等可能的结果有（１,１），（１,２），（１,３），（１,４），（１,５），（１,6），（２,１），（２,２），…，（6,6），共３6种情况．设事件A＝“出现向上的点数之和小于１0”，其对立事件错误!＝“出现向上的点数之和大于或等于１0”，错误!包含的可能结果有（４,6），（５,５），（５,6），（6,４），（6,５），（6,6），共6种情况．所以由古典概型的概率公式，得P（错误!）＝错误!＝错误!，所以P（A）＝１—错误!＝错误!.答案：错误!４．（２0１５·江苏高考）袋中有形状、大小都相同的４只球，其中１只白球，１只红球，２只黄球．从中一次随机摸出２只球，则这２只球颜色不同的概率为________．解析：设４只球分别为白、红、黄１、黄２，从中一次随机摸出２只球，所有基本事件为（白，红）、（白，黄１）、（白，黄２）、（红，黄１）、（红，黄２）、（黄１，黄２），共6个，颜色不同的有５个，所以２只球颜色不同的概率为错误!.答案：错误!５．（２0１7·江苏高考）记函数f（x）＝错误!的定义域为D.在区间[—４,５]上随机取一个数x，则x ∈D的概率是________．解析：令6＋x—x２≥0，解得—２≤x≤３，即定义域D＝[—２,３]，在区间[—４,５]上随机取一个数x，则x∈D的概率P＝错误!＝错误!.答案：错误!6．（２0１6·全国卷Ⅱ改编）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为４0秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待１５秒才出现绿灯的概率为________．解析：如图，若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待１５秒才出现绿灯．AB长度为４0—１５＝２５，由几何概型的概率公式知，至少需要等待１５秒才出现绿灯的概率为错误!＝错误!.答案：错误!7．（２0１8·天津高考）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为２４0,１60,１60．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．（１）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（２）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取２名同学承担敬老院的卫生工作．１试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；２设M为事件“抽取的２名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．解：（１）因为甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为３∶２∶２，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，所以应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取３人，２人，２人．（２）１从抽取的7名同学中随机抽取２名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共２１种．２由１，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的２名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共５种．所以事件M发生的概率P（M）＝错误!.8．（２0１8·北京高考）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：（１）从电影公司收集的电影中随机选取１部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率．（２）随机选取１部电影，估计这部电影没有获得好评的概率．（３）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0．１，哪类电影的好评率减少0．１，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）解：（１）由题意知，样本中电影的总部数是１４0＋５0＋３00＋２00＋800＋５１0＝２000，获得好评的第四类电影的部数是２00×0．２５＝５0，故所求概率为错误!＝0．0２５．（２）由题意知，样本中获得好评的电影部数是１４0×0．４＋５0×0．２＋３00×0．１５＋２00×0．２５＋800×0．２＋５１0×0．１＝５6＋１0＋４５＋５0＋１60＋５１＝３7２，故所求概率估计为１—错误!＝0．8１４．（３）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．。

学案59 几何概型导学目标： 了解几何概型的意义．自主梳理 1．几何概型设D 是一个可度量的区域，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d 的形状和位置无关，则称这样的概率模型为几何概型．2．几何概型中，事件A 的概率计算公式：P(A)＝d 的测度D 的测度.3．古典概型与几何概型的区别(1)相同点：基本事件发生的可能性都是________； (2)不同点：古典概型的基本事件是有限个，是可数的；几何概型的基本事件是________，是不可数的．自我检测1．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并且以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为________． 2．(2011·福建改编)如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于____________．3. 如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连结AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为________．4．(2010·湖南)在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x|≤1的概率为________． 5．(2011·江西)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不．在家看书的概率为________．探究点一 与长度有关的几何概型例1 国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min 长的磁带上，从开始30 s 处起，有10 s 长的一段内容包含两间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪的内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？变式迁移1在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率为________．探究点二与角度有关的几何概型例2如图所示，在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM<AC的概率．变式迁移2若将例2题目改为：“在等腰Rt△ACB中，在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率”，答案还一样吗？探究点三与面积有关的几何概型例3两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．变式迁移3甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．分类讨论与数形结合思想例 (14分)已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋b 2，a ，b ∈R .(1)若a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b 从集合{0,1,2}中任取一个元素，求方程f (x )＝0有两个不相等实根的概率；(2)若a 从区间[0,2]中任取一个数，b 从区间[0,3]中任取一个数，求方程f (x )＝0没有实根的概率．【答题模板】解 (1)∵a 取集合{0,1,2,3}中任一个元素，b 取集合{0,1,2}中任一个元素，∴a ，b 的取值的情况有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值，即基本事件总数为12.[3分]设“方程f (x )＝0有两个不相等的实根”为事件A ，当a ≥0，b ≥0时，方程f (x )＝0有两个不相等实根的充要条件为a >b .当a >b 时，a ，b 取值的情况有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，即A 包含的基本事件数为6，∴方程f (x )＝0有两个不相等实根的概率为P (A )＝612＝12.[7分](2)∵a 从区间[0,2]中任取一个数，b 从区间[0,3]中任取一个数，则试验的全部结果构成区域Ω＝{(a ，b )|0≤a ≤2,0≤b ≤3}，这是一个矩形区域，其面积S Ω＝2×3＝6.[9分]设“方程f (x )＝0没有实根”为事件B ，则事件B 所构成的区域为M ＝{(a ，b )|0≤a ≤2,0≤b ≤3，a <b }，即图中阴影部分的梯形，其面积S M ＝6－12×2×2＝4.[12分]由几何概型的概率计算公式可得方程f (x )＝0没有实根的概率为P (B )＝S M S Ω＝46＝23.[14分]【突破思维障碍】古典概型和几何概型的区别在于试验的全部结果是否有限，因此到底选用哪一种模型，关键是对试验的确认和分析．第(1)问关键是列举不重不漏隐含了分类讨论思想．第(2)问是几何概型问题，解决此问题的关键是将已知的两个条件转化为线性约束条件，从而转化成平面区域中的面积型几何概型问题，隐含了数形结合思想．【易错点剖析】1．计算古典概型的概率时，列举基本事件应不重不漏． 2．计算几何概型的概率时，区域的几何度量要准确无误．1．几何概型：若一个试验具有两个特征：①每次试验的结果是无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；②每次试验的各种结果是等可能的．那么这样的试验称为几何概型．2．由概率的几何定义可知，在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置与形状无关．3．几何概型的概率公式：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A 所对应的区域用A 表示(A ⊆Ω)，则P (A )＝A 的度量Ω的度量.(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分) 1．(2009·辽宁)ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为________．2．(2010·天津和平区一模)在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是__________________________________________________________________．3．(2010·山东临沂一中期末)已知正三棱锥S —ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P —ABC <12V S —ABC 的概率为________．4．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O ，则在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是________．5．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，其中0≤b ≤4,0≤c ≤4.记函数f (x )满足⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤12f (－1)≤3的事件为A ，则事件A 的概率为________．6．(2010·青岛一模)从集合{(x ，y )|x 2＋y 2≤4，x ∈R ，y ∈R }内任选一个元素(x ，y )，则x ，y 满足x ＋y ≥2的概率为________．7. 如图所示，半径为10 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm 的小圆．现将半径为1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为________．8．(2010·济南模拟)在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对(x ，y )的概率是________．二、解答题(共42分)9．(14分) 已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)在线段BC上任取一点M，求使∠CAM<30°的概率；(2)在∠CAB内任作射线AM，求使∠CAM<30°的概率．10．(14分)甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．设甲乙两艘轮船停靠泊位的时间分别是4小时和6小时，求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．11．(14分)已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.(1)若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率；(2)若a，b都是从区间[0,4]任取的一个数，求f(1)>0成立时的概率．学案59 几何概型答案自主梳理3．(1)相等的 (2)无限个 自我检测 1.14解析 ∵AM 2∈[36,81]，∴AM ∈[6,9]， ∴P ＝9－612＝312＝14.2.12解析 这是一道几何概型的概率问题，点Q 取自△ABE 内部的概率为S △ABE S 矩形ABCD＝12·|AB|·|AD||AB|·|AD|＝12.3．13解析 当∠A ′OA ＝π3时，AA ′＝OA ，∴P ＝23π2π＝13.4．23解析 由|x|≤1，得－1≤x ≤1.由几何概型的概率求法知，所求的概率 P ＝区间[－1，1]的长度区间[－1，2]的长度＝23.5．1316解析 ∵去看电影的概率P 1＝π×12－π×(12)2π×12＝34， 去打篮球的概率P 2＝π×(14)2π×12＝116， ∴不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316.课堂活动区例1 解题导引 解决概率问题先判断概型，本题属于几何概型，满足两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性，需要抓住它的本质特征，即与长度有关．解 包含两个间谍谈话录音的部分在30 s 和40 s 之间，当按错键的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉，当按错键的时刻在0到30 s 之间时全部被擦掉，即在0到40 s 之间，即0到23 min 之间的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而0到30 min 之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的，所以按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关，符合几何概型的条件．记A ＝{按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉}，A 的发生就是在0到23 min时间段内按错键．P(A)＝2330＝145.变式迁移1 12解析记“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件A ，如图所示，不妨在过等边三角形BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点F 作垂直于直径的弦，当弦为CD 时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD 的充要条件是圆心O 到弦的距离小于OF ，由几何概型的概率公式得P(A)＝12×22＝12.例2 解题导引 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为P(A)＝构成事件A 的角度试验的全部结果所构成区域的角度. 解 在AB 上取AC ′＝AC ，连结CC ′，则∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°.设A ＝{在∠ACB 内部作出一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，AM<AC}，则μΩ＝90°，μA ＝67.5°，P(A)＝μA μΩ＝67.5°90°＝34.变式迁移2 解 不一样，这时M 点可取遍AC ′(长度与AC 相等)上的点， 故此事件的概率应为AC ′长度AB 长度＝22.例3 解题导引 解决此题的关键是将已知的两个条件转化为线性约束条件，从而转化成平面区域中与面积有关的几何概型问题．对于几何概型的应用题，关键是构造出随机事件A 对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的一点，便可构造出度量区域． 解 设两人分别于x 时和y 时到达约见地点，要使两人能在约定的时间范围内相见．当且仅当|x －y|≤23.两人在约定时间内到达约见地点的所有可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人在约定时间内相见的所有可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)的点来表示．因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率，即P ＝S 阴影部分S 单位正方形＝1－⎝⎛⎭⎫13212＝89.变式迁移3 解 设甲、乙两船到达时间分别为x 、y ， 则0≤x ≤24,0≤y ≤24且y －x ≥4或y －x ≤－4. 作出区域⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤24，0≤y ≤24，y －x ≥4或y －x ≤－4.设“两船无需等待码头空出”为事件A ， 则P(A)＝S 阴影部分S 正方形＝2×12×20×2024×24＝2536.课后练习区1．1－π4解析 当以O 为圆心，1为半径作圆，则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O 的距离小于或等于1，故所求事件的概率为P(A)＝μA μΩ＝S 长方形－S 半圆S 长方形＝1－π4.2．34解析 由于△ABC 、△PBC 有公共底边BC ，所以只需P 位于线段BA 靠近B 的四分之一分点E 与A 之间，即构成一个几何概型，∴所求的概率为|AE||AB|＝34.3．78 解析 当P 在三棱锥的中截面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P ＝1－18＝78.4．π6解析 设正方体棱长为a ，则正方体的体积为a 3，内切球的体积为43π⎝⎛⎭⎫a 23＝16πa 3，故M在球O 内的概率为16πa 3a 3＝π6.5．58 解析满足0≤b ≤4,0≤c ≤4的区域的面积为4×4＝16，由⎩⎨⎧f (2)≤12f (－1)≤3，得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c ≤8－b ＋c ≤2，其表示的区域如图中阴影部分所示，其面积为12×(2＋4)×2＋12×2×4＝10，故事件A 的概率为1016＝58.6．π－24π解析 即图中弓形面积占圆面积的比例，属面积型几何概型：π－24π.7．7781 解析 由题意知，硬币的中心应落在距圆心2～9 cm 的圆环上，圆环的面积为π×92－π×22＝77π，故所求概率为77π81π＝7781.8．π4解析 根据题意易知输出数对(x ，y)的概率即为满足x 2＋y 2≤12的平面区域与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤1，－1≤x －y ≤1所表示的平面区域面积的比，即P(A)＝π×122＝π4. 9．解 (1)设CM ＝x ，则0<x<a(不妨设BC ＝a)．若∠CAM<30°，则0<x<33a ，故∠CAM<30°的概率为P(A)＝区间⎝⎛⎭⎫0，33a 的角度区间(0，a )的角度＝33.(7分)(2)设∠CAM ＝θ，则0°<θ<45°. 若∠CAM<30°，则0°<θ<30°， 故∠CAM<30°的概率为P(B)＝区间(0°，30°)的长度区间(0°，45°)的长度＝23.(14分)10．解设事件A ＝{有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间}，以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则点(x ，y)的所有可能结果是边长为24的正方形区域，如右图所示，由已知得事件A 发生的条件是⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4≥y ，y ＋6≥x ，0≤x ≤24，0≤y ≤24.(7分)作出这个二元一次不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．∵S 正方形＝242＝576，S 阴影＝242－12×202－12×182＝214，(12分)∴P(A)＝S 阴影S 正方形＝214576＝107288.所以，甲、乙两船有一艘停靠泊位时必须等待一段时间的概率为107288.(14分)11．解 (1)a ，b 都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N ＝5×5＝实用文档 祝你高考成功！ 11 25(个)．(2分)函数有零点的条件为Δ＝a 2－4b ≥0，即a 2≥4b.因为事件“a 2≥4b ”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共12个．所以事件“a 2≥4b ”的概率为P ＝1225.(7分) (2)∵a ，b 都是从区间[0,4]上任取的一个数，f(1)＝－1＋a －b>0，∴a －b>1，此为几何概型，所以事件“f(1)>0”的概率为P ＝12×3×34×4＝932.(14分)。

§12.3 几何概型1．几何概型设D 是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d 的形状和位置无关．把满足这样条件的概率模型称为几何概型． 2．在几何概型中，事件A 的概率计算公式P (A )＝d 的测度D 的测度.3．几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √ )(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √ ) (4)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( × ) (5)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19.( × )1．在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为________． 答案 13解析 坐标小于1的区间为[0,1]，长度为1，[0,3]区间长度为3，故所求概率为13.2．(2014·某某改编)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是________． 答案π4解析 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ， 则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.3．(2014·某某)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．答案 0.18解析 由题意知，这是个几何概型问题，S 阴S 正＝1801 000＝0.18， ∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.4．(2013·某某)在区间[－3,3]上随机取一个数x 使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为________． 答案 13解析 由绝对值的几何意义知：使|x ＋1|－|x －2|≥1成立的x 值为x ∈[1,3]，由几何概型知所求概率为P ＝3－13＋3＝26＝13.题型一 与长度、角度有关的几何概型例1 (1)在区间[－1,1]上随机取一个数x ，求cosπ2x 的值介于0到12之间的概率．(2)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率． 解 (1)如图，由函数y ＝cos π2x 的图象知，当－1<x <－23或23<x <1时，0<cos π2x <12.由概率的几何概型知：cos π2x 的值介于0到12之间的概率为232＝13.(2)因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°， 在Rt△ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°， 所以BD ＝ADtan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P (N )＝30°75°＝25.思维升华 几何概型有两个特点：一是无限性；二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．(1)(2014·某某改编)在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为________．(2)在半径为1的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________． 答案 (1)35 (2)12解析 (1)在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1，即－2≤X ≤1的概率为P ＝35.(2)记事件A 为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点F 作垂直于直径的弦，当弦为CD 时，就是等边三角形的边长(此时F 为OE 中点)，弦长大于CD 的充要条件是圆心O 到弦的距离小于OF ，由几何概型公式得： P (A )＝12×22＝12.题型二 与面积、体积有关的几何概型例2 (1)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 思维点拨 求随机点所在区域与所有区域的面积或体积比． 答案 (1)4－π4 (2)23解析 (1)如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π4.(2)先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝12×43π×13＝23π.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为23π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.思维升华 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的方法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，通用公式：P (A )＝构成事件A 的区域的测度试验的全部结果所组成的区域的测度.(1)在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋2ax－b 2＋π2有零点的概率为________．(2)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 答案 (1)1－π4 (2)1－π12解析 (1)由函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点， 可得Δ＝(2a )2－4(－b 2＋π2)≥0，整理得a 2＋b 2≥π2， 如图所示，(a ，b )可看成坐标平面上的点， 试验的全部结果构成的区域为Ω＝{(a ，b )|－π≤a ≤π，－π≤b ≤π}，其面积S Ω＝(2π)2＝4π2. 事件A 表示函数f (x )有零点，所构成的区域为M ＝{(a ，b )|a 2＋b 2≥π2}， 即图中阴影部分，其面积为S M ＝4π2－π3，故P (A )＝S M S Ω＝4π2－π34π2＝1－π4. (2)V 正＝23＝8，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 正＝2π8×3＝π12， 故点P 到O 的距离大于1的概率为1－π12.题型三 生活中的几何概型问题例3 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．思维点拨 当基本事件受两个连续变量控制时，一般是把两个连续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决． 解 这是一个几何概型问题．设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24,0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}．A 为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部．所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝24－12×12＋24－22×12242＝506.5576＝1 0131 152. 思维升华 生活中的几何概型度量区域的构造方法： (1)审题：通过阅读题目，提炼相关信息． (2)建模：利用相关信息的特征，建立概率模型． (3)解模：求解建立的数学模型．(4)结论：将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论．(2014·某某)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小X 与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小X 比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答) 答案932解析 在平面直角坐标系中画出由小王(x )和小X(y )到校的时间对应的点(x ，y )所构成的平面区域，再画出小X 比小王至少早到5分钟对应的点(x ，y )所构成的平面区域，计算出两区域的面积，利用几何概型的概率公式计算即可．设小王到校时间为x ，小X 到校时间为y ，则小X 比小王至少早到5分钟时满足x －y ≥5.如图，原点O 表示7：30，在平面直角坐标系中画出小王和小X 到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为400，小X 比小王至少早到5分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为12×15×15＝2252，故所求概率P ＝2252400＝932.混淆长度型与面积型几何概型致误典例：在长度为1的线段上任取两点，将线段分成三段，试求这三条线段能构成三角形的概率．易错分析 不能正确理解题意，无法找出准确的几何度量来计算概率． 规X 解答解 设x 、y 表示三段长度中的任意两个． 因为是长度，所以应有0<x <1,0<y <1,0<x ＋y <1，即(x ，y )对应着坐标系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点，如图所示．要形成三角形，由构成三角形的条件知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >1－x －y ，1－x －y >x －y ，1－x －y >y －x ，所以x <12，y <12，且x ＋y >12，故图中阴影部分符合构成三角形的条件．因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的14，故这三条线段能构成三角形的概率为14.温馨提醒 解决几何概型问题的易误点：(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型，导致错误．(2)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否具有等可能性，导致错误．方法与技巧1．区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限个． 2．转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可； (2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型． 失误与防X1．准确把握几何概型的“测度”是解题关键．2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1．(2014·某某改编)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________． 答案 35解析 取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为610＝35. 2．设p 在[0,5]上随机地取值，则方程x 2＋px ＋p 4＋12＝0有实根的概率为________．答案 35解析 一元二次方程有实数根⇔Δ≥0，而Δ＝p 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4＋12＝(p ＋1)(p －2)，解得p ≤－1或p ≥2，故所求概率为P ＝[0，5]∩{－∞，－1]∪[2，＋∞}的长度[0，5]的长度＝35.3．在区间[－1,4]内取一个数x ，则2x －x 2≥14的概率是________．答案 35解析 不等式2x －x 2≥14，可化为x 2－x －2≤0，则－1≤x ≤2，故所求概率为2－－14－－1＝35.4．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为______． 答案 12解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B 、E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D在线段CF (不包含C 、F 点)上时，△ABD 为钝角三角形．所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.5．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________． 答案 1－2π解析 设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连结OC ，DC . 不妨令OA ＝OB ＝2， 则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－12×1×1＝1，所以整体图形中空白部分面积S 2＝2. 又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2. 所以P ＝π－2π＝1－2π.6．已知集合A ＝{α|α＝n π9，n ∈Z }，若从A 中任取一个元素均可作为直线l 的倾斜角，则直线的斜率小于零的概率是________．答案 49解析 由于倾斜角X 围为[0，π)，故当0≤n ≤8时，集合A 中共有9个解，分别为0，π9，2π9，3π9，4π9，5π9，6π9，7π9，8π9.其中当α为5π9，6π9，7π9，8π9时，此时α为钝角，直线l 的斜率小于零．故直线l 的斜率小于零的概率P ＝49.7．(2013·某某)在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________. 答案 3解析 由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．当2<m <4时，由题意得m －－26＝56，解得m ＝3. 即m 的值为3.8．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________． 答案 12解析 ∵方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分， ∴所求的概率为P ＝12.9．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不．在家看书的概率为________．答案1316解析 ∵去看电影的概率P 1＝π×12－π×122π×12＝34， 去打篮球的概率P 2＝π×142π×12＝116， ∴不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316.10．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36(个)；由a ·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个； 故满足a ·b ＝－1的概率为336＝112. (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}； 满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}；画出图形如图，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a ·b <0的概率为2125.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)1．(2014·某某改编)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________． 答案 78解析 如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知C (－12，32)，故由几何概型的概率公式，得所求概率P ＝S 四边形OACDS △OAB ＝2－142＝78.2．一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是________． 答案π120解析 屋子的体积为5×4×3＝60米3，捕蝇器能捕捉到的空间体积为18×43π×13×3＝π2.故苍蝇被捕捉的概率是π260＝π120.3.已知点A 在坐标原点，点B 在直线y ＝1上，点C (3,4)，若AB ≤10，则△ABC 的面积大于5的概率是________． 答案524解析 设B (x,1)，根据题意知点D (34，1)，若△ABC 的面积小于或等于5，则12×DB ×4≤5，即DB ≤52，此时点B 的横坐标x ∈[－74，134]，而AB ≤10，所以点B 的横坐标x ∈[－3,3]，所以△ABC 的面积小于或等于5的概率为P ＝3－－746＝1924， 所以△ABC 的面积大于5的概率是1－P ＝524.4．在面积为S 的△ABC 内部任取一点P ，△PBC 的面积大于S4的概率为________．答案916解析 如图，假设当点P 落在EF 上时(EF ∥BC )，恰好满足△PBC 的面积等于S4，作PG ⊥BC ，AH ⊥BC ，则易知PG AH ＝14.符合要求的点P 可以落在△AEF 内的任意处，其概率为P ＝S △AEF S △ABC ＝916. 5．平面内有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm ，把一枚半径为1 cm 的硬币任意投掷在这个平面内，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________． 答案 13解析 如图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为13.6．设f (x )和g (x )是定义在同一区间上的两个函数．若对任意x ∈[1,2]，都有|f (x )＋g (x )|≤8，则称f (x )和g (x )是“友好函数”．设f (x )＝ax ，g (x )＝bx.(1)若a ∈{1,4}，b ∈{－1,1,4}，求f (x )和g (x )是“友好函数”的概率．(2)若a ∈[1,4]，b ∈[1,4]，求f (x )和g (x )是“友好函数”的概率． 解 (1)设事件A 表示f (x )和g (x )是“友好函数”， 则|f (x )＋g (x )|(x ∈[1,2])所有的情况有：x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ，4x ＋1x ，4x ＋4x，共6种且每种情况被取到的可能性相同． 又当a >0，b >0时，y ＝ax ＋bx 在(0，ba )上递减，在(ba，＋∞)上递增； 且y ＝x －1x 和y ＝4x －1x在(0，＋∞)上递增，∴对x ∈[1,2]可使|f (x )＋g (x )|≤8恒成立的情况有x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x，故事件A 包含的基本事件有4种， ∴P (A )＝46＝23，故所求概率是23.(2)设事件B 表示f (x )和g (x )是“友好函数”，∵a 是从区间[1,4]中任取的数，b 是从区间[1,4]中任取的数， ∴点(a ，b )所在的区域是长为3，宽为3的矩形区域． 要使x ∈[1,2]时，|f (x )＋g (x )|≤8恒成立， 需f (1)＋g (1)＝a ＋b ≤8且f (2)＋g (2)＝2a ＋b2≤8，∴事件B 表示的点的区域是如图所示的阴影部分． ∵矩形区域的面积S ＝3×3＝9，阴影部分的面积S 阴＝12×(2＋114)×3＝578，∴根据几何概型的概率公式可得所求概率为P ＝S 阴S ＝5772＝1924.。

第七章立体几何第一节空间几何体的结构、三视图和直观图[考情展望] 1.以三视图为命题背景，考查空间几何体的结构特征.2.利用空间几何体的展开，考查空间想象能力.3.以选择题、填空题的形式考查．一、多面体的结构特征1．棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是全等的多边形．2．棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．3．棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形．侧棱垂直于底面，侧面是矩形．(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥，特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反之，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．二、旋转体的形成1．三视图的名称几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．2．三视图的画法①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体的正投影图．四、空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是1．原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为1.45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．2．原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中长度为原来的一半．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝2 4S原图形，S原图形＝22S直观图．1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是( ) A．棱柱的侧棱长都相等B．棱锥的侧棱长都相等C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等【答案】 B2．如图7－1－1，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )图7－1－1A．①②B．②③C．②④D．③④【答案】 C3．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图7－1－2所示的一个正方形，则原来的图形是( )图7－1－24．若某几何体的三视图如图7－1－3所示，则这个几何体的直观图可以是( )图7－1－3【答案】 B以是( )图7－1－4【答案】 D6．(2013²湖南高考)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )A.32 B ．1 C.2＋12D. 2【答案】 D考向一 [111] 空间几何体的结构特征下列结论中正确的是( )A ．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B ．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 【答案】 D规律方法1 1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可．2．圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．3．既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．考向二 [112] 几何体的三视图(1)(2014²湖北高考)在如图7－1－5所示的空间直角坐标系O­xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②(2)(2014²课标全国卷Ⅰ)如图7－1－6，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( ) A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱(3)(2014²北京高考)某三棱锥的三视图如图7－1－7所示，则该三棱锥最长棱的棱长为．图7－1－7【答案】(1)D (2)B (3)2 2规律方法 2 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．对点训练(1)如图7－1－8是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )图7－1－8A B C D(2)(2014²江西高考)一几何体的直观图如图7－1－9，下列给出的四个俯视图中正确的是( )图7－1－9【答案】(1)B (2)B考向三 [113] 空间几何体的直观图如图7－1－10所示，四边形A′B′C′D′是一水平放置的平面图形的斜二测画法的直观图，在斜二测直观图中，四边形A′B′C′D′是一直角梯形，A′B′∥C′D′，A′D′⊥C′D′，且B′C′与y′轴平行，若A′B′＝6，D′C′＝4，A′D′＝2，求这个平面图形的实际面积．图7－1－10【尝试解答】根据斜二测直观图画法规则可知该平面图形是直角梯形，且AB＝6，CD＝4保持不变．由于C′B′＝2A′D′＝2 2.所以CB＝4 2.故平面图形的实际面积为12³(6＋4)³42＝20 2.规律方法3 由直观图还原为平面图的关键是找与x ′轴，y ′轴平行的直线或线段，且平行于x ′轴的线段还原时长度不变，平行于y ′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．对点训练 (1)已知正△ABC 的边长为a ，则△ABC 水平放置的直观图△A ′B ′C ′的面积为 ．图7－1－11(2)如图7－1－11所示，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )A ．6B ．8C ．2＋3 2D ．2＋2 3【答案】 (1)616a 2(2)B易错易误之十二 画三视图忽视边界线及其实虚 —————————— [1个示范例] ——————(2012²陕西高考)将正方体(如图7－1－12(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图7－1－12(2)所示的几何体，则该几何体的左视图为( )图7－1－12【解析】还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线．D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．此处易出现两种错误：①是忽视B1C也是边界而误选D；②是虽然注意了B1C也是边界线，但忽视了其不可视而误选C.【防范措施】(1)在确定边界线时，要先分析几何体由哪些面组成，从而可确定边界线，其次要确定哪些边界线投影后与轮廓线重合，哪些边界线投影后与轮廓线不重合，不重合的是我们要在三视图中画出的．(2)在画三视图时，首先确定几何体的轮廓线，然后再确定面与面之间的边界线，再根据是否可视确定实虚．————————[1个防错练] ———————一个正方体截去两个角后所得几何体的正(主)视图、侧(左)视图如图7－1－13所示，则其俯视图为( )正(主)视图侧(左)视图图7－1－13A B C D【解析】由题意得正方体截去的两个角如图所示，故其俯视图应选C.【答案】 C课时限时检测(三十八) 空间几何体的结构、三视图和直观图(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．(2013²四川高考)一个几何体的三视图7－1－14图如图7－1－14所示，则该几何体可以是( )A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台【答案】 D2．下列命题中正确的个数是( )①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②用一个平面去截棱锥便可得到棱台；③仅有一组对面平行的五面体是棱台；④有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】 A3．给出下列三个命题：①相邻侧面互相垂直的棱柱是直棱柱；②各侧面都是正方形的四棱柱是正方体；③底面是正三角形，各侧面都是等腰三角形的三棱锥是正棱锥．其中正确的命题有( ) A．1个 B．2个C．3个 D．0个【答案】 D4．已知某一几何体的正视图与侧视图如图7－1－15所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有( )图7－1－15A．①②③④ B．②③④⑤C．①②④⑤ D．①②③⑤【答案】 A5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图7－1－16所示，则该几何体的侧视图为( )图7－1－16【答案】 D6．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图7－1－17所示)，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这个平面图形的面积为( )图7－1－17A.14＋24 B ．2＋22C.14＋22D.12＋ 2 【答案】 B二、填空题(每小题5分，共15分)7．如图7－1－18所示正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的主视图(又称正视图)是边长为4的正方形，则此正三棱柱的侧视图(又称左视图)的面积为 ．图7－1－18【答案】 8 38．如图7－1－19是水平放置的△ABC (AD 为BC 边上的中线)的直观图，试按此图判定原△ABC 中的四条线段AB ，BC ，AC ，AD ，其中最长的线段是 ，最短的线段是 ．图7－1－19【答案】 AC BC9．已知一几何体的三视图如图7－1－20所示，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是(写出所有正确结论的编号) ．图7－1－20①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体； ④每个面都是等腰三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体． 【答案】 ①③④⑤三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)如图7－1－21所示，△A ′B ′C ′是△ABC 的直观图，且△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，求△ABC 的面积．图7－1－21【解】 如图所示，△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，作C ′D ′∥A ′B ′交y ′轴于点D ′，则C ′，D ′到x ′轴的距离为32a .∵∠D ′A ′B ′＝45°，∴A ′D ′＝62a ， 由斜二测画法的法则知，在△ABC 中，AB ＝A ′B ′＝a ，AB 边上的高是A ′D ′的二倍，即为6a ，∴S △ABC ＝12a ²6a ＝62a 2. 11．(12分)用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，从两个角度观察得到的图形如图，则搭成该几何体最少需要的小正方体的块数是多少？图7－1－22【解】 搭成该几何体最少需要小正方体6块，按如图所示摆放．12．(13分)如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．图7－1－23(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； (2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积； 【解】 (1)如图．(2)所求多面体的体积，V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4³4³6－13³⎝ ⎛⎭⎪⎫12³2³2³2＝2843(cm 3)．第二节 空间几何体的表面积与体积[考情展望] 1.与三视图相结合考查柱、锥、台、球的体积和表面积.2.以选择题与填空题形式考查．一、旋转体的表(侧)面积1．V 柱体＝Sh . 2．V 锥体＝13Sh .3．V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)．4．V 球＝43πR 3(球半径是R )．求几何体体积的两种重要方法1．割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．2．等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为( )A ．48(3＋3)B ．48(3＋23)C ．24(6＋2)D ．144【答案】 A2．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图7－2－1所示，则其侧面积．．．等于( )图7－2－1A. 3 B ．2 C ．2 3 D ．6【答案】 D3．圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( ) A ．4πS B ．2πS C ．πS D.233πS【答案】 A4．母线长为1的圆锥的侧面展开图的面积是23π，则该圆锥的体积为( )A.2281πB.881π C.4581π D.1081π 【答案】 C5．(2014²浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图7－2－2所示，则此几何体的表面积是( )图7－2－2A．90 cm2B．129 cm2C．132 cm2D．138 cm2【答案】 D6．(2013²辽宁高考)某几何体的三视图如图7－2－3所示，则该几何体的体积是．图7－2－3【答案】16π－16考向一 [114] 空间几何体的表面积(1)(2014²重庆高考)某几何体的三视图如图7－2－4所示，则该几何体的表面积为( )图7－2－4A．54 B．60 C．66 D．72(2)(2014²山东高考)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为．【答案】(1)B (2)12规律方法 1 1.解答本题的关键是根据三视图得到几何体的直观图，弄清几何体的组成．2．在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理．3．以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．对点训练(2013²重庆高考)某几何体的三视图如图7－2－5所示，则该几何体的表面积为( )图7－2－5A．180 B．200 C．220 D．240【答案】 D考向二 [115] 空间几何体的体积(1)(2013²课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图7－2－6所示，则该几何体的体积为( )图7－2－6A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π(2)(2012²山东高考)如图7－2－7，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为 ．图7－2－7【答案】 (1)A (2)16规律方法2 1.解答本题(2)的关键是转换顶点，转换顶点的原则是使底面面积和高易求．一般做法是把底面放在已知几何体的某一个面上．2．注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法．3．等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面．①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利用“等积法”可求“点到面的距离”．对点训练 (1)(2014²辽宁高考)某几何体三视图如图7－2－8所示，则该几何体的体积为( )图7－2－8A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π4(2)(2014²山东高考)三棱锥P ­ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ­ABE 的体积为V 1，P ­ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝ .【答案】 (1)B (2)14考向三 [116] 球与多面体已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 ．【答案】 13规律方法3 1.解答本题的关键是确定球心、圆锥底面圆心与两圆锥顶点之间的关系，这需要根据球的对称性及几何体的形状来确定．2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．对点训练 (2013²课标全国卷Ⅰ)如图7－2－9，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( )A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1 372π3cm 3D.2 048π3cm 3【答案】 A思想方法之十七 补形法破译体积问题某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的几何问题，这是一种重要的解题策略——补形法．常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形．对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”问题．—————————— [1个示范例] ——————已知某几何体的三视图如图7－2－10所示，则该几何体的体积为( )图7－2－10A.8π3 B ．3π C.10π3D ．6π【解析】 由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的14，所以V ＝34³π³12³4＝3π.————————— [1个对点练] ———————已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为23的正方形．若PA ＝26，则△OAB 的面积为 ．【解析】 如图所示，线段PC 就是球的直径，设球的半径为R ，因为AB ＝BC ＝23，所以AC ＝2 6.又PA ＝26，所以PC 2＝PA 2＋AC 2＝24＋24＝48，所以PC ＝43，所以OA ＝OB ＝23，所以△AOB 是正三角形，所以S ＝12³23³23³32＝3 3.【答案】 3 3课时限时检测(三十九) 空间几何体的表面积与体积(时间：60分钟 满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．如图7－2－11，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为( )图7－2－11A.π4 B.π2 C.2π2 D.2π4【答案】 B2．长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的面积为( )A.72π B ．56π C ．14π D ．64π【答案】 C3．下图7－2－12是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆)，则该几何体的表面积是( )图7－2－12A ．20＋3πB ．24＋3πC ．20＋4πD ．24＋4π【答案】 A4．如图7－2－13所示，已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1—ABC 1的体积为( )图7－2－13A.312 B.34 C.612D.64【答案】 A5．点A 、B 、C 、D 在同一球面上，其中△ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD ＝2AB ＝6，则该球的体积为( )A ．323πB ．48πC ．643πD ．163π【答案】 A6．(2013²湖北高考)一个几何体的三视图如图7－2－14所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V 1，V 2，V 3，V 4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )图7－2－14A．V1<V2<V4<V3B．V1<V3<V2<V4C．V2<V1<V3<V4D．V2<V3<V1<V4【答案】 C二、填空题(每小题5分，共15分)7．一个几何体的三视图如图7－2－15所示，则该几何体的表面积为．图7－2－15 【答案】388．(2013²福建高考)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图7－2－16所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是．图7－2－16【答案】12π9．圆锥的全面积为15π cm2，侧面展开图的圆心角为60°，则该圆锥的体积为cm3.【答案】2573π三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)若一个底面边长为62，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．【解】 在底面正六边形ABCDEF 中，连接BE 、AD 交于O ，连接BE 1，则BE ＝2OE ＝2DE ，∴BE ＝6， 在Rt △BEE 1中，BE 1＝BE 2＋E 1E 2＝23，∴2R ＝23，则R ＝3，∴球的体积V 球＝43πR 3＝43π，球的表面积S 球＝4πR 2＝12π.11．(12分)如图7－2－17，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．图7－2－17(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积．【解】 (1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q —A 1D 1P 的组合体． 由PA 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2，可得PA 1⊥PD 1. 故所求几何体的表面积S ＝5³22＋2³2³2＋2³12³(2)2＝(22＋42)(cm 2)，所求几何体的体积V ＝23＋12³(2)2³2＝10(cm 3)．12．(13分)如图7－2－18，已知平行四边形ABCD 中，BC ＝2，BD ⊥CD ，四边形ADEF 为正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD ，G ，H 分别是DF ，BE 的中点．记CD ＝x ，V (x )表示四棱锥F —ABCD 的体积．图7－2－18(1)求V (x )的表达式； (2)求V (x )的最大值．【解】 (1)∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD 且FA ⊥AD ， ∴FA ⊥平面ABCD .∵BD ⊥CD ，BC ＝2，CD ＝x ， ∴FA ＝2，BD ＝4－x 2(0＜x ＜2)， ∴S ▱ABCD ＝CD ²BD ＝x 4－x 2，∴V (x )＝13S ▱ABCD ²FA ＝23x 4－x 2(0＜x ＜2)．(2)V (x )＝23x 4－x 2＝23－x 4＋4x 2＝23－ x 2－2 2＋4. ∵0＜x ＜2，∴0＜x 2＜4，∴当x 2＝2，即x ＝2时，V (x )取得最大值，且V (x )max ＝43.第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系[考情展望] 1.本节以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力.2.以棱柱、棱锥为依托考查异面直线所成角.3.考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题．一、平面的基本性质三个公理的应用1．公理1的作用：(1)检验平面；(2)判断直线在平面内；(3)由直线在平面内判断直线上的点在平面内．2．公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．3．公理3的作用：(1)判定两平面相交；(2)作两平面相交的交线；(3)证明多点共线．二、空间点、直线、平面之间的位置关系1．位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，无公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，无公共点.2．平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行． 3．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 4．异面直线所成的角(或夹角)(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．(2)范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.1．下列命题正确的个数为( )①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】 C2．已知a 、b 是异面直线，直线c ∥直线a ，那么c 与b ( ) A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能是平行直线 D ．不可能是相交直线【答案】 C3．若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则( ) A ．α内的所有直线与l 异面 B ．α内不存在与l 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与l 平行 D ．α内的直线与l 都相交 【答案】 B4．l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3 B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3 C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面 D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面 【答案】 B5．(2013²课标全国卷Ⅱ)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( )A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l【答案】 D6．如图7－3－1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是．图7－3－1【答案】90°考向一 [117] 平面的基本性质及应用如图7－3－2，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H 分别在BC、CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.图7－3－2(1)求证：E 、F 、G 、H 四点共面； (2)设EG 与FH 交于点P . 求证：P 、A 、C 三点共线．【尝试解答】 (1)∵E 、F 分别为AB 、AD 的中点， ∴EF ∥BD . 在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，∴GH ∥BD . ∴EF ∥GH .∴E 、F 、G 、H 四点共面．(2)∵EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ， ∴P ∈共面ABC .同理P ∈平面ADC . ∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点． 又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ， ∴P ∈AC ，∴P 、A 、C 三点共线． 规律方法1 证明点、线共面的常用方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．(3)反证法：可以假设这些点和直线不在同一个平面内，然后通过推理，找出矛盾，从而否定假设，肯定结论.对点训练 如图7－3－3，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB 和AA 1的中点，求证：图7－3－3(1)E ，C ，D 1，F 四点共面； (2)CE ，D 1F ，DA 三线共点．【证明】 (1)如图，连结CD 1，EF ，A 1B ， ∵E ，F 分别是AB 和AA1的中点， ∴EF ∥A 1B 且EF ＝12A 1B .又∵A 1D 1綊BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形． ∵A 1B ∥CD 1，∴EF ∥CD 1，∴EF 与CD 1确定一个平面，设为平面α. ∴E ，F ，C ，D 1∈α，即E ，C ，D 1，F 四点共面． (2)由(1)知，EF ∥CD 1，且EF ＝12CD 1，∴四边形CD 1FE 是梯形．∴CE 与D 1F 必相交，设交点为P ，如图所示， 则P ∈CE ⊂平面ABCD ， 且P ∈D 1F ⊂平面A 1ADD 1，∴P ∈平面ABCD 且P ∈平面A 1ADD 1. 又∵平面ABCD ∩平面A 1ADD 1＝AD ， ∴P ∈AD ，∴CE ，D 1F ，DA 三线共点．考向二 [118] 空间两条直线的位置关系(1)如图7－3－4，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N分别是BC 1，CD 1的中点，则下列判断错误的是( )A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行(2)在图7－3－5中，G、N、M、H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有．(填上所有正确答案的序号)图7－3－5【答案】(1)D (2)②④规律方法2 1.判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．2．对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直．3．画出图形进行判断，可化抽象为直观．对点训练如图7－3－6所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：图7－3－6①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线MN 与AC 所成的角为60°.其中正确的结论为 (注：把你认为正确的结论序号都填上)． 【答案】 ③④考向三 [119] 异面直线所成的角(1)(2015²宁波模拟)在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1，BB 1的中点，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为( )A.13B.23C.15D.25 【答案】 D(2)(2015²镇江模拟)已知三棱锥A ­BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角．【尝试解答】 如图，取AC 的中点P .连结PM ，PN ，又点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN 为AB 与CD 所成的角(或其补角)． 则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°， ①若∠MPN ＝60°，因为PM ∥AB ，所以∠PMN 是AB 与MN 所成的角(或其补角)． 又因为AB ＝CD ，所以PM ＝PN ，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°， 即AB 和MN 所成的角为60°.②若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形． 所以∠PMN ＝30°，即AB 和MN 所成的角为30°.综上，直线AB 和MN 所成的角为60°或30°.规律方法3 1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．2．求异面直线所成的角的三步曲为：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成角，转化为解三角形问题，进而求解．3．异面直线所成的角范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.对点训练 直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 【答案】 C思想方法之十八 构造模型判断空间线面位置关系由于长方体或正方体中包含了线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直及面面垂直等各种位置关系，故构造长方体或正方体来判断空间直线、平面间的位置关系，显得直观、易判断．减少了抽象性与空间想象，构造时注意其灵活性．—————————— [1个示范例] ——————已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β；②若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β；③若m ⊥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β；④若m ⊥α，n ∥β，α∥β，则m ⊥n .其中所有正确的命题是( ) A ．①④ B ．②④ C ．①D ．④【解析】 借助于长方体模型来解决本题．对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α、β可能垂直，如图(2)所示；对于③，平面α、β可能垂直，如图(3)所示；对于④，由m ⊥α，α∥β可得m ⊥β，因为n ∥β，所以过n 作平面γ，且γ∩β＝g ，如图(4)所示，所以n 与交线g 平行，因为m ⊥g ，所以m ⊥n .【答案】 A——————————— [1个对点练] ————。

§13.3 数学归纳法数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时结论成立；(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时结论成立，证明当n ＝k ＋1时结论也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n ＝1时结论成立．( × ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．( × ) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( × )(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，项数都增加了一项．( × )(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n ＋2＝2n ＋3－1”，验证n ＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( √ )(6)用数学归纳法证明凸n 边形的内角和公式时，n 0＝3.( √ )1．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋16n －1(n ∈N *)，则f (1)为________(用式子表示)．答案 1＋12＋13＋14＋15解析 等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n －1，则当n ＝1时，最大分母为5.2．设S n ＝1＋12＋13＋14＋…＋12n ，则S n ＋1－S n ＝____________________(用式子表示)．答案12n＋1＋12n ＋2＋12n ＋3＋…＋12n ＋2n解析 ∵S n ＋1＝1＋12＋…＋12n ＋12n ＋1＋…＋12n ＋2n ，S n ＝1＋12＋13＋14＋…＋12n ，∴S n ＋1－S n ＝12n ＋1＋12n ＋2＋12n ＋3＋…＋12n ＋2n .3．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n，n ∈N *，那么f (n ＋1)－f (n )＝________(用式子表示)． 答案12n ＋1－12n ＋2解析 f (n ＋1)－f (n )＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n ＋1n ＋1＋n ＋1n ＋1＋n ＋1－(1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 4．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N *)，在验证n ＝1成立时，左边需计算的项是_______________________________________________________________． 答案 1＋a ＋a 2解析 观察等式左边的特征得到n ＝1时的式子.题型一 用数学归纳法证明等式例1 求证：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N *)． 思维点拨 n 从k 变到k ＋1，左边增乘了2(2k ＋1)． 证明 ①当n ＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立； ②假设当n ＝k 时等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k·1·3·5·…·(2k －1)， 那么当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k ＋1) ＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2) ＝2k·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)·2 ＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)，这就是说当n ＝k ＋1时等式也成立．由①②可知，对所有n ∈N *等式成立． 思维升华 用数学归纳法证明恒等式应注意 (1)明确初始值n 0的取值并验证n ＝n 0时等式成立．(2)由n ＝k 证明n ＝k ＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标． (3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 22n －12n ＋1＝n n ＋122n ＋1(n ∈N *)． 证明 ①当n ＝1时，左边＝121×3＝13，右边＝1×1＋12×2×1＋1＝13，左边＝右边，等式成立． ②假设n ＝k 时，等式成立． 即121×3＋223×5＋…＋k 22k －12k ＋1＝k k ＋122k ＋1，当n ＝k ＋1时， 左边＝121×3＋223×5＋…＋k 22k －12k ＋1＋k ＋122k ＋12k ＋3＝k k ＋122k ＋1＋k ＋122k ＋12k ＋3＝k k ＋12k ＋3＋2k ＋1222k ＋12k ＋3＝k ＋12k 2＋5k ＋222k ＋12k ＋3＝k ＋1k ＋222k ＋3，右边＝k ＋1k ＋1＋12[2k ＋1＋1]＝k ＋1k ＋222k ＋3，左边＝右边，等式成立． 即对所有n ∈N *，原式都成立． 题型二 用数学归纳法证明不等式例2 已知函数f (x )＝ax －32x 2的最大值不大于16，又当x ∈[14，12]时，f (x )≥18.(1)求a 的值；(2)设0<a 1<12，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *，证明：a n <1n ＋1.思维点拨 (1)利用题中条件分别确定a 的X 围进而求a ； (2)利用数学归纳法证明． (1)解 由题意，知f (x )＝ax －32x 2＝－32(x －a 3)2＋a26.又f (x )max ≤16，所以f (a 3)＝a 26≤16.所以a 2≤1.又x ∈[14，12]时，f (x )≥18，所以⎩⎪⎨⎪⎧f12≥18，f14≥18，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－38≥18，a 4－332≥18，解得a ≥1.又因为a 2≤1，所以a ＝1. (2)证明 用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，0<a 1<12，显然结论成立．因为当x ∈(0，12)时，0<f (x )≤16，所以0<a 2＝f (a 1)≤16<13.故n ＝2时，原不等式也成立． ②假设当n ＝k 时，不等式0<a k <1k ＋1成立． 因为f (x )＝ax －32x 2的对称轴为直线x ＝13，所以当x ∈(0，13]时，f (x )为增函数．所以由0<a k <1k ＋1≤13，得0<f (a k )<f (1k ＋1)． 于是，0<a k ＋1＝f (a k )<1k ＋1－32·1k ＋12＋1k ＋2－1k ＋2＝1k ＋2－k ＋42k ＋12k ＋2<1k ＋2. 所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立． 根据①②，知对任何n ∈N *，不等式a n <1n ＋1成立． 思维升华 (1)当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 成立，推证n ＝k ＋1时也成立，在归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明．(2014·某某)设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数．(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N *，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，某某数a 的取值X 围；(3)设n ∈N *，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明． 解 由题设得，g (x )＝x1＋x(x ≥0)．(1)由已知，g 1(x )＝x1＋x，g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x1＋x 1＋x1＋x＝x1＋2x，g 3(x )＝x1＋3x，…，可猜想g n (x )＝x1＋nx. 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g 1(x )＝x1＋x ，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立， 即g k (x )＝x1＋kx.那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k x 1＋g k x ＝x1＋kx 1＋x 1＋kx＝x1＋k ＋1x，即结论成立．(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax1＋x 恒成立．设φ(x )＝ln(1＋x )－ax 1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x－a1＋x2＝x ＋1－a1＋x2， 当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)， ∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增． 又φ(0)＝0，∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立(仅当x ＝0时等号成立)． 当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )≤0，∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0.即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0，故知ln(1＋x )≥ax1＋x不恒成立，综上可知，a 的取值X 围是(－∞，1]．(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋nn ＋1，n －f (n )＝n －ln(n ＋1)，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)．证明如下：方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x ，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N *，则1n ＋1<ln n ＋1n .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立．②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)．那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k ＋2)，即结论成立．方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x ，x >0.令x ＝1n，n ∈N *，则lnn ＋1n >1n ＋1. 故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，…，ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1， 上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证．题型三 归纳—猜想—证明例3 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n－1，且a n >0，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3，并猜想{a n }的通项公式； (2)证明通项公式的正确性．思维点拨 通过计算a 1，a 2，a 3寻求规律猜想{a n }的通项公式，然后用数学归纳法证明． (1)解 当n ＝1时，由已知得a 1＝a 12＋1a 1－1，a 21＋2a 1－2＝0.∴a 1＝3－1(a 1>0)．当n ＝2时，由已知得a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1，将a 1＝3－1代入并整理得a 22＋23a 2－2＝0. ∴a 2＝5－3(a 2>0)． 同理可得a 3＝7－ 5.猜想a n ＝2n ＋1－2n －1(n ∈N *)．(2)证明 ①由(1)知，当n ＝1,2,3时，通项公式成立． ②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时，通项公式成立， 即a k ＝2k ＋1－2k －1. 由a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝a k ＋12＋1a k ＋1－a k 2－1a k， 将a k ＝2k ＋1－2k －1代入上式并整理得a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0，解得：a k ＋1＝2k ＋3－2k ＋1(a n >0)． 即当n ＝k ＋1时，通项公式也成立．由①和②，可知对所有n ∈N *，a n ＝2n ＋1－2n －1都成立．思维升华 (1)利用数学归纳法可以探索与正整数n 有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝λa n ＋λn ＋1＋(2－λ)2n (n ∈N *，λ>0)．(1)求a 2，a 3，a 4；(2)猜想{a n }的通项公式，并加以证明． 解 (1)a 2＝2λ＋λ2＋2(2－λ)＝λ2＋22，a 3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)22＝2λ3＋23， a 4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)23＝3λ4＋24.(2)由(1)可猜想数列通项公式为a n ＝(n －1)λn ＋2n .下面用数学归纳法证明：①当n ＝1,2,3,4时，等式显然成立， ②假设当n ＝k (k ≥4，k ∈N *)时等式成立， 即a k ＝(k －1)λk＋2k， 那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝λa k ＋λk ＋1＋(2－λ)2k＝λ(k －1)λk＋λ2k＋λk ＋1＋2k ＋1－λ2k＝(k －1)λk ＋1＋λk ＋1＋2k ＋1＝[(k ＋1)－1]λk ＋1＋2k ＋1，所以当n ＝k ＋1时，a n ＝(n －1)λn＋2n，猜想成立，由①②知数列的通项公式为a n ＝(n －1)λn＋2n(n ∈N *，λ>0)．归纳—猜想—证明问题典例：(14分)数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)． (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．思维点拨 (1)由S 1＝a 1算出a 1；由a n ＝S n －S n －1算出a 2，a 3，a 4…观察所得数值的特征猜出通项公式．(2)用数学归纳法证明． 规X 解答(1)解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1. 当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32.当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74.当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4，∴a 4＝158.[4分]由此猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)．[6分](2)证明 ①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．[7分] ②假设n ＝k 时，结论成立， 即a k ＝2k－12k －1，[8分]那么n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k＝2＋a k －a k ＋1， ∴2a k ＋1＝2＋a k .∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k－12k －12＝2k ＋1－12k.[12分] 这表明n ＝k ＋1时，结论成立．由①②知猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)成立．[14分]归纳—猜想—证明问题的一般步骤：第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的通项或一般结论． 第二步：验证一般结论对第一个值n 0(n 0∈N *)成立．第三步：假设n ＝k (k ≥n 0)时结论成立，证明当n ＝k ＋1时结论也成立． 第四步：下结论，由上可知结论对任意n ≥n 0，n ∈N *成立．温馨提醒 解决数学归纳法中“归纳—猜想—证明”问题及不等式证明时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难．(2)证明n ＝k 到n ＝k ＋1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成使用的不是纯正的数学归纳法．(3)不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证．另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题.方法与技巧1．数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础． 2．归纳假设的作用在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证n ＝k ＋1时，必须用上归纳假设． 3．利用归纳假设的技巧在推证n ＝k ＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要掌握n ＝k 与n ＝k ＋1之间的关系．在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用． 失误与防X1．数学归纳法证题时初始值n0不一定是1；2．推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法．A组专项基础训练(时间：40分钟)1．用数学归纳法证明2n>2n＋1，n的第一个取值应是________．答案 3解析∵n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n>2n＋1不成立；n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n>2n＋1不成立；n＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n>2n＋1成立．∴n的第一个取值应是3.2．如果命题p(n)对n＝k(k∈N*)成立，则它对n＝k＋2也成立．若p(n)对n＝2也成立，则下列结论正确的是________．①p(n)对所有正整数n都成立；②p(n)对所有正偶数n都成立；③p(n)对所有正奇数n都成立；④p(n)对所有自然数n都成立．答案②解析n＝2时，n＝k，n＝k＋2成立，n为2,4,6，…所有正偶数．3．对于不等式n2＋n<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2＋k<k＋1，则当n＝k＋1时，k＋12＋k＋1＝k2＋3k＋2<k2＋3k＋2＋k＋2＝k＋22＝(k＋1)＋1.∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法________．①过程全部正确；②n＝1验得不正确；③归纳假设不正确；④从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确． 答案 ④解析 在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的假设，不是数学归纳法． 4．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1)”，在验证n ＝1时，左端计算所得的项为________． 答案 1＋a ＋a 25．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则f (n )中共有________项，f (2)＝________.答案 n 2－n ＋1 12＋13＋14解析 从n 到n 2共有n 2－n ＋1个数， 所以f (n )中共有n 2－n ＋1项．6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有(S n －1)2＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n ＝________________.答案nn ＋1解析 由(S 1－1)2＝S 1·S 1，得S 1＝12，由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2，得S 2＝23，依次得S 3＝34，S 4＝45，猜想S n ＝nn ＋1.7．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <1314(n ≥2，n ∈N *)的过程中，若设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n，则f (k ＋1)与f (k )的关系是______________________． 答案 f (k ＋1)＝f (k )＋12k ＋1－12k ＋2解析 f (k ＋1)＝1k ＋1＋1＋1k ＋1＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝f (k )＋12k ＋1－12k ＋2.8．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n >4时，f (n )＝________(用n 表示)．答案 5 12(n ＋1)(n －2)解析 f (3)＝2，f (4)＝f (3)＋3＝2＋3＝5，f (n )＝f (3)＋3＋4＋…＋(n －1)＝2＋3＋4＋…＋(n －1) ＝12(n ＋1)(n －2)． 9．用数学归纳法证明等式 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n n ＋12.证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0·1×1＋12＝1，∴原等式成立． (2)假设n ＝k 时，等式成立， 即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＝(－1)k －1k k ＋12.那么，当n ＝k ＋1时，则有 12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k －1k k ＋12＋(－1)k·(k ＋1)2＝(－1)k·k ＋12[－k ＋2(k ＋1)]＝(－1)kk ＋1k ＋22.∴n ＝k ＋1时，等式也成立， 由(1)(2)知对任意n ∈N *有 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n n ＋12.10．已知数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0，a 2n ＋1＋a n ＋1－1＝a 2n . 求证：当n ∈N *时，a n <a n ＋1.证明 (1)当n ＝1时，因为a 2是方程a 22＋a 2－1＝0的正根，所以a 1<a 2. (2)假设当n ＝k 时，0≤a k <a k ＋1， 则由a 2k ＋1－a 2k＝(a 2k ＋2＋a k ＋2－1)－(a 2k ＋1＋a k ＋1－1) ＝(a k ＋2－a k ＋1)(a k ＋2＋a k ＋1＋1)>0， 得a k ＋1<a k ＋2，即当n ＝k ＋1时，a n <a n ＋1也成立，根据(1)和(2)，可知a n <a n ＋1对任何n ∈N *都成立．B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)1．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是________． ①若f (1)<1成立，则f (10)<100成立； ②若f (2)<4成立，则f (1)≥1成立；③若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立； ④若f (4)≥16成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立． 答案 ④解析 ∵f (k )≥k 2成立时，f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立，∴f (4)≥16时，有f (5)≥52，f (6)≥62，…，f (k )≥k 2成立．2．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取________． 答案 8解析 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，∴由2－12n －1>12764，得n ≥8，n 的最小值是8.3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上________．答案 (k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2解析 等式左边是从1开始的连续自然数的和，直到n 2.故n ＝k ＋1时，最后一项是(k ＋1)2，而n ＝k 时，最后一项是k 2，应加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2.4．已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g (n )＝32－12n 2，n ∈N *.(1)当n ＝1,2,3时，试比较f (n )与g (n )的大小； (2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明． 解 (1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝1， 所以f (1)＝g (1)；当n ＝2时，f (2)＝98，g (2)＝118，所以f (2)<g (2)；当n ＝3时，f (3)＝251216，g (3)＝312216，所以f (3)<g (3)．(2)由(1)，猜想f (n )≤g (n )，下面用数学归纳法给出证明． ①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立， ②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时不等式成立，即 1＋123＋133＋143＋…＋1k 3<32－12k 2. 那么，当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋1k ＋13<32－12k 2＋1k ＋13.因为12k ＋12－[12k 2－1k ＋13]＝k ＋32k ＋13－12k 2＝－3k －12k ＋13k2<0， 所以f (k ＋1)<32－12k ＋12＝g (k ＋1)．由①②可知，对一切n ∈N *，都有f (n )≤g (n )成立． 5．若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>a 24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明结论．解 当n ＝1时，11＋1＋11＋2＋13＋1>a24，即2624>a24，所以a <26. 而a 是正整数，所以取a ＝25，下面用数学归纳法证明 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524. (1)当n ＝1时，已证得不等式成立． (2)假设当n ＝k 时，不等式成立， 即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>2524. 则当n ＝k ＋1时， 有1k ＋1＋1＋1k ＋1＋2＋…＋13k ＋1＋1＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1>2524＋[13k ＋2＋13k ＋4－23k ＋1]．因为13k ＋2＋13k ＋4－23k ＋1＝6k ＋13k ＋23k ＋4－23k ＋1＝18k ＋12－29k 2＋18k ＋83k ＋23k ＋43k ＋3＝23k ＋23k ＋43k ＋3>0，所以当n ＝k ＋1时不等式也成立． 由(1)(2)知，对一切正整数n ，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524， 所以a 的最大值等于25.。

高考专题突破一 高考中的导数应用问题教师用书 理 苏教版1.(2016·全国丙卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程是________. 答案 2x －y ＝0解析 设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1＋x ，因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝ex －1＋x ，f ′(x )＝ex －1＋1，f ′(1)＝2，曲线在点(1，2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.2.若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是__________. 答案 [1，＋∞)解析 由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f ′(x )＝k －1x≥0在(1，＋∞)上恒成立.由于k ≥1x ，而0<1x<1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞).3.(2016·苏北四市联考)已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋4，若f (x )的图象与x 轴正半轴有两个不同的交点，则实数a 的取值范围为__________. 答案 (3，＋∞)解析 由题意知f ′(x )＝3x 2－2ax ＝x (3x －2a )， 当a ≤0时，不符合题意.当a >0时，f (x )在(0，2a3)上单调递减，在(2a3，＋∞)上单调递增，所以由题意知f (2a3)<0，解得a >3.4.已知函数f (x )＝x －1－(e －1)ln x ，其中e 为自然对数的底数，则满足f (e x)＜0的x 的取值范围为________. 答案 (0，1)解析 令f ′(x )＝1－e －1x＝0，得x ＝e －1.当x ∈(0，e －1)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(e－1，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增. 又f (1)＝f (e)＝0，1<e －1<e ，所以由f (e x )<0，得1<e x<e ，解得0<x <1.5.设函数f (x )＝e 2x 2＋1x ，g (x )＝e 2x e ，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，不等式g x 1k ≤f x 2k ＋1恒成立，则正数k 的取值范围是________. 答案 [1，＋∞)解析 因为对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)， 不等式g x 1k ≤f x 2k ＋1恒成立，所以k k ＋1≥g x 1max f x 2min.因为g (x )＝e 2xe x ，所以g ′(x )＝e2－x(1－x ).当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减. 所以当x ＝1时，g (x )取到最大值，即g (x )max ＝g (1)＝e. 又f (x )＝e 2x ＋1x≥2e(x >0).当且仅当e 2x ＝1x ，即x ＝1e 时取等号，故f (x )min ＝2e.所以g x 1max f x 2min＝e 2e ＝12，应有k k ＋1≥12， 又k >0，所以k ≥1.题型一 利用导数研究函数性质例1 (2016·江苏东海中学期中)已知函数f (x )＝e x (其中e 是自然对数的底数)，g (x )＝x 2＋ax ＋1，a ∈R .(1)记函数F (x )＝f (x )·g (x )，且a >0，求F (x )的单调递增区间；(2)若对任意x 1，x 2∈[0，2]，x 1≠x 2，均有|f (x 1)－f (x 2)|>|g (x 1)－g (x 2)|成立，求实数a 的取值范围.解 (1)因为F (x )＝f (x )·g (x )＝e x(x 2＋ax ＋1)， 所以F ′(x )＝e x[x ＋(a ＋1)](x ＋1). 令F ′(x )>0，因为a >0， 所以x >－1或x <－(a ＋1)，所以F (x )的单调递增区间为(－∞，－a －1)和(－1，＋∞).(2)因为对任意x 1，x 2∈[0，2]且x 1≠x 2，均有|f (x 1)－f (x 2)|>|g (x 1)－g (x 2)|成立，不妨设x 1>x 2，根据f (x )＝e x在[0，2]上单调递增， 所以有f (x 1)－f (x 2)>|g (x 1)－g (x 2)|对x 1>x 2恒成立，因为f (x 2)－f (x 1)<g (x 1)－g (x 2)<f (x 1)－f (x 2)对x 1，x 2∈[0，2]，x 1>x 2恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧f x 1＋g x 1f x 2＋g x 2，f x 1－g x 1f x 2－g x 2，对x 1，x 2∈[0，2]，x 1>x 2恒成立，所以f (x )＋g (x )和f (x )－g (x )在[0，2]上都是单调递增函数. 所以f ′(x )＋g ′(x )≥0在[0，2]上恒成立， 所以e x＋(2x ＋a )≥0在[0，2]上恒成立， 即a ≥－(e x＋2x )在[0，2]上恒成立. 因为－(e x＋2x )在[0，2]上是单调减函数，所以－(e x＋2x )在[0，2]上取得最大值－1，所以a ≥－1. 因为f ′(x )－g ′(x )≥0在[0，2]上恒成立， 所以e x－(2x ＋a )≥0在[0，2]上恒成立， 即a ≤e x－2x 在[0，2]上恒成立. 因为e x－2x 在[0，ln 2]上单调递减， 在[ln 2，2]上单调递增，所以e x－2x 在[0，2]上取得最小值2－2ln 2， 所以a ≤2－2ln 2.所以实数a 的取值范围为[－1，2－2ln 2].思维升华 利用导数主要研究函数的单调性、极值、最值.已知f (x )的单调性，可转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题；含参函数的最值问题是高考的热点题型，解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，此时要注意结合导函数图象的性质进行分析.已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x(x ∈R ，e 为自然对数的底数).(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1，1)上单调递增，求a 的取值范围. 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x， 所以f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x＝(－x 2＋2)e x.令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0，因为e x>0， 所以－x 2＋2>0，解得－2<x < 2.所以函数f (x )的单调递增区间是(－2，2). (2)因为函数f (x )在(－1，1)上单调递增， 所以f ′(x )≥0对x ∈(－1，1)恒成立.因为f ′(x )＝(－2x ＋a )e x ＋(－x 2＋ax )e x＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x，所以[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x≥0对x ∈(－1，1)恒成立. 因为e x>0，所以－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0对x ∈(－1，1)恒成立，即a ≥x 2＋2x x ＋1＝x ＋2－1x ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1对x ∈(－1，1)恒成立. 令y ＝(x ＋1)－1x ＋1，则y ′＝1＋1x ＋12>0.所以y ＝(x ＋1)－1x ＋1在(－1，1)上单调递增， 所以y <(1＋1)－11＋1＝32，即a ≥32.因此a 的取值范围为[32，＋∞).题型二 利用导数研究方程的根或函数的零点问题 例2 (2015·北京)设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0.(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点.(1)解 函数的定义域为(0，＋∞).由f (x )＝x 22－k ln x (k >0)，得f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx.由f ′(x )＝0，解得x ＝k (负值舍去).f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上随x 的变化情况如下表：k－ln k2↗所以，f (x )的单调递减区间是(0，k )， 单调递增区间是(k ，＋∞).f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k－ln k2.(2)证明 由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k－ln k2.因为f (x )存在零点，所以k－ln k2≤0，从而k ≥e，当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e]上单调递减且f (e)＝0， 所以x ＝e 是f (x )在区间(1，e]上的唯一零点. 当k >e 时，f (x )在区间(0，e)上单调递减且f (1)＝12>0，f (e)＝e －k2<0， 所以f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点.综上可知，若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点.思维升华 函数零点问题一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一.已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2. (1)求a ；(2)证明：当k <1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点. (1)解 f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a .曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线方程为y ＝ax ＋2. 由题设得－2a＝－2，所以a ＝1.(2)证明 由(1)知，f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋2. 设g (x )＝f (x )－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(1－k )x ＋4. 由题设知1－k >0.当x ≤0时，g ′(x )＝3x 2－6x ＋1－k >0，g (x )单调递增，g (－1)＝k －1<0，g (0)＝4，所以g (x )＝0在(－∞，0]有唯一实根. 当x >0时，令h (x )＝x 3－3x 2＋4， 则g (x )＝h (x )＋(1－k )x >h (x ).h ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，h (x )在(0，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，所以g (x )>h (x )≥h (2)＝0.所以g (x )＝0在(0，＋∞)没有实根. 综上，g (x )＝0在R 上有唯一实根，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点. 题型三 利用导数研究不等式问题例3 (2016·全国乙卷)已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2.(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝(x －1)e x＋2a (x －1)＝(x －1)(e x＋2a ).(ⅰ)设a ≥0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，1)单调递减， 在(1，＋∞)单调递增.(ⅱ)设a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝ln(－2a ). ①若a ＝－e 2，则f ′(x )＝(x －1)(e x－e)，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增.②若a >－e2，则ln(－2a )<1，故当x ∈(－∞，ln(－2a ))∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(ln(－2a )，1)时，f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞，ln(－2a ))，(1，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a )，1)上单调递减.③若a <－e2，则ln(－2a )>1，故当x ∈(－∞，1)∪(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞，1)，(ln(－2a )，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a ))单调递减.(2)(ⅰ)设a >0，则由(1)知，f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增. 又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b <0且b <ln a2，则f (b )>a 2(b －2)＋a (b －1)2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－32b >0，所以f (x )有两个零点.(ⅱ)设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x，所以f (x )只有一个零点.(ⅲ)设a <0，若a ≥－e2，则由(1)知，f (x )在(1，＋∞)上单调递增.又当x ≤1时f (x )<0，故f (x )不存在两个零点；若a <－e 2，则由(1)知，f (x )在(1，ln(－2a ))上单调递减，在(ln(－2a )，＋∞)上单调递增.又当x ≤1时f (x )<0，故f (x )不存在两个零点. 综上，a 的取值范围为(0，＋∞).思维升华 求解不等式恒成立或有解时参数的取值范围问题，一般常用分离参数的方法，但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值，或者求解其函数最值繁琐时，可采用直接构造函数的方法求解.已知函数f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋a ，g (x )＝－2x ＋9x，若对任意的x 1∈[－1，2]，存在x 2∈[2，4]，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围是________________. 答案 [－74，－32]解析 问题等价于f (x )的值域是g (x )的值域的子集， 显然，g (x )单调递减，∴g (x )max ＝g (2)＝12，g (x )min ＝g (4)＝－234.对于f (x )，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1， 令f ′(x )＝0，解得x ＝13或x ＝1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况列表如下：∴f (x )max ＝a ＋2，f (x )min ＝a －4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≤12，a －4≥－234，∴a ∈[－74，－32].1.(2017·江苏淮阴中学月考)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ＝(1，0)，b ＝(0，2).设向量x ＝a ＋(1－cos θ)b ，y ＝－k a ＋1sin θb ，其中0<θ<π.(1)若k ＝4，θ＝π6，求x·y 的值；(2)若x∥y ，求实数k 的最大值，并求取最大值时θ的值.解 (1)方法一 当k ＝4，θ＝π6时，x ＝(1，2－3)，y ＝(－4，4)，则x·y ＝1×(－4)＋(2－3)×4＝4－4 3.方法二 依题意，a·b ＝0， 则x·y ＝[a ＋(1－32)b ]·(－4a ＋2b ) ＝－4a 2＋2×(1－32)b 2 ＝－4＋2×(1－32)×4＝4－4 3. (2) 依题意，x ＝(1，2－2cos θ)，y ＝(－k ，2sin θ)，因为x ∥y ，所以2sin θ＝－k (2－2cos θ)，整理，得1k＝sin θ(cos θ－1)，令f (θ)＝sin θ(cos θ－1)(0<θ<π)，则f ′(θ)＝cos θ(cos θ－1)＋sin θ(－sin θ) ＝2cos 2θ－cos θ－1 ＝(2cos θ＋1)(cos θ－1).令f ′(θ)＝0，得cos θ＝－12或cos θ＝1.又0<θ<π，故θ＝2π3.当θ变化时，f ′(θ)，f (θ)的变化情况如下表：↘故当θ＝2π3时，f (θ)min ＝－334，此时实数k 取最大值－439.2.(2015·重庆)设函数f (x )＝3x 2＋axex(a ∈R ). (1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围.解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝x ＋ax－x 2＋axx＝－3x 2＋－a x ＋aex，因为f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6x e x，故f (1)＝3e ，f ′(1)＝3e，从而f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝3e(x －1)，化简得3x －e y ＝0.(2)由(1)知f ′(x )＝－3x 2＋－a x ＋ae.令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ， 由g (x )＝0，解得x 1＝6－a －a 2＋366，x 2＝6－a ＋a 2＋366.当x ＜x 1时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，故f (x )为减函数； 当x 1＜x ＜x 2时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0，故f (x )为增函数； 当x ＞x 2时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0， 故f (x )为减函数.由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，知x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3，解得a ≥－92，故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－92，＋∞.3.(2016·泰州模拟)植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30 m 的围墙.现有两种方案：方案① 多边形为直角三角形AEB (∠AEB ＝90°)，如图1所示，其中AE ＋EB ＝30 m ； 方案② 多边形为等腰梯形AEFB (AB >EF )，如图2所示，其中AE ＝EF ＝BF ＝10 m. 请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案.解 设方案①，②中多边形苗圃的面积分别为S 1，S 2. 方案① 设AE ＝x ，则S 1＝12x (30－x )≤12[x ＋－x 2]2＝2252(当且仅当x ＝15时， “＝”成立).方案② 设∠BAE ＝θ，则S 2＝100sin θ(1＋cos θ)，θ∈(0，π2).令S ′2＝100(2cos 2θ＋cos θ－1)＝0，得cos θ＝12(cos θ＝－1舍去)，因为θ∈(0，π2)，所以θ＝π3.列表：↗所以当θ＝π3时，(S 2)max ＝75 3.因为2252<753，所以建苗圃时用方案②，且∠BAE ＝π3.答 方案①②苗圃的最大面积分别为2252 m 2，75 3 m 2，建苗圃时用方案②，且∠BAE ＝π3.4.(2016·无锡期末)已知函数f (x )＝ln x ＋a ＋e －2x(a >0). (1)当a ＝2时，求出函数f (x )的单调区间；(2)若不等式f (x )≥a 对于x >0恒成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)当a ＝2时，函数f (x )＝ln x ＋ex，所以f ′(x )＝1x －e x 2＝x －ex2，所以当x ∈(0，e)时，f ′(x )<0，则函数f (x )在(0，e)上单调递减； 当x ∈(e，＋∞)时，f ′(x )>0，则函数f (x )在(e ，＋∞)上单调递增. (2)由题意得ln x ＋a ＋e －2x≥a 在x ∈(0，＋∞)上恒成立，等价于x ln x ＋a ＋e －2－ax ≥0在(0，＋∞)上恒成立，令g (x )＝x ln x ＋a ＋e －2－ax ， 因为g ′(x )＝ln x ＋1－a ，令g ′(x )＝0，得x ＝e a －1，所以g ′(x )与g (x )关系如下表所示：↘↗所以g (x )的最小值为g (e a －1)＝(a －1)ea －1＋a ＋e －2－a ea －1＝a ＋e －2－ea －1≥0.令t (x )＝x ＋e －2－e x －1，因为t ′(x )＝1－ex －1，令t ′(x )＝0，得x ＝1，所以t ′(x )与t (x )关系如下表所示：↘ 所以当a ∈(0，1)时，g (x )的最小值t (a )>t (0)＝e －2－e ＝e>0，当a ∈[1，＋∞)时，由g (x )的最小值t (a )＝a ＋e －2－e a －1≥0＝t (2)，得a ∈[1，2].综上得a ∈(0，2].5.(2016·徐州质检)已知函数f (x )＝e xe x ，g (x )＝ax －2ln x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数).(1)求f (x )的极值；(2)在区间(0，e]上，对于任意的x 0，总存在两个不同的x 1，x 2，使得g (x 1)＝g (x 2)＝f (x 0)，求a 的取值范围.解 (1)因为f (x )＝e xe x ，所以f ′(x )＝－x ex ，令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0，f (x )是增函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )是减函数. 所以f (x )在x ＝1时取得极大值f (1)＝1，无极小值.(2)由(1)知，当x ∈(0，1)时，f (x )单调递增；当x ∈(1，e]时，f (x )单调递减. 又因为f (0)＝0，f (1)＝1，f (e)＝e·e1－e>0，所以当x ∈(0，e]时，函数f (x )的值域为(0，1].当a ＝0时，g (x )＝－2ln x 在(0，e]上单调递减，不合题意；当a ≠0时，g ′(x )＝a －2x ＝ax －2x ＝a x －2a x，x ∈(0，e]，故必须满足0<2a <e ，所以a >2e.此时，当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下：↘所以x →0，g (x )→＋∞，g (2a )＝2－a －2ln 2a，g (e)＝a (e －1)－2.所以对任意给定的x 0∈(0，e]，在区间(0，e]上总存在两个不同的x 1，x 2， 使得g (x 1)＝g (x 2)＝f (x 0)，当且仅当a 满足下列条件⎩⎪⎨⎪⎧g2a，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a －2ln 2a ≤0，a －－2≥1.令m (a )＝2－a －2ln 2a ，a ∈(2e，＋∞)，m ′(a )＝－a －2a，由m ′(a )＝0，得a ＝2.当a ∈(2，＋∞)时，m ′(a )<0，函数m (a )单调递减； 当a ∈(2e ，2)时，m ′(a )>0，函数m (a )单调递增.所以，对任意a ∈(2e ，＋∞)有m (a )≤m (2)＝0，即2－a －2ln 2a ≤0对任意a ∈(2e ，＋∞)恒成立.由a (e －1)－2≥1，解得a ≥3e －1. 综上所述，当a ∈[3e －1，＋∞)时，对于任意给定的x 0∈(0，e]，在区间(0，e]上总存在两个不同的x 1，x 2，使得g (x 1)＝g (x 2)＝f (x 0).。