概率的含义

项目数据分析师---- 概率论与数理统计一概率（一）概率的定义所谓事件A 的概率是指事件 A 发生可能性程度的数值度量，记为P （A ）。

规定P(A) ≥ 0 ，P（Ω）=1 。

1、古典概型中概率的定义古典概型：满足下列两条件的试验模型称为古典概型。

（1 ）所有基本事件是有限个；（2 ）各基本事件发生的可能性相同；例如：掷一匀称的骰子，令A={ 掷出 2 点}={2} ，B={ 掷出偶数总}={2 ，4 ，6} 。

此试验样本空间为Ω ={1，2 ，3 ，4 ，5 ，6} ，于是，应有1=P （Ω）=6P （A ），即P （A ）=1/6 。

而P （B ）=3P （A ）=定义1：在古典概型中，设其样本空间Ω所含的样本点总数，即试验的基本事件总数为N Ω而事件A 所含的样本数，即有利于事件A 发生的基本事件数为N A ，则事件A 的概率便定义为：例1 ，将一枚质地均匀的硬币一抛三次，求恰有一次正面向上的概率。

解：用H 表示正面，T 表示反面，则该试验的样本空间Ω ={ （H ，H ，H ）（H ，H ，T ）（H ，T ，H ）（T ，H ，H ）（H ，T ，T ）（T ，H ，T ）（T ，T ，H ）（T ，T ，T ）} 。

可见N Ω =8 令A={ 恰有一次出现正面} ，则A={ （H ，T ，T ）（T ，H ，T ）（T ，T ，H ）}可见，令N A =3 故例2 ，（取球问题）袋中有5 个白球， 3 个黑球，分别按下列三种取法在袋中取球。

（1 ）有放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后放回袋中，再取下一个球；（2 ）无放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后不再放回袋中，再取下一个球；（3 ）一次取球：从袋中任取3 个球。

在以上三种取法中均求A={ 恰好取得2 个白球} 的概率。

解：（1 ）有放回取球N Ω =8 × 8 × 8=8 3 =512 ( 袋中八个球，不论什么颜色，取到每个球的概率相等)（先从三个球里取两个白球，第一次取白球有五种情况，第二次取白球还有五种情况< 注意是有放回> ，第三次取黑球只有三种情况）（2 ）无放回取球故（3 ）一次取球属于取球问题的一个实例：设有100 件产品，其中有5% 的次品，今从中随机抽取15 件，则其中恰有 2 件次品的概率便为（属于一次取球模型）例3 （分球问题）将n 个球放入N 个盒子中去，试求恰有n 个盒子各有一球的概率（n ≤ N ）。

【本讲教育信息】一. 教学内容：概率的概念和含义教学目标：1. 知识与技能目标（1）明确通过试验的方法，用频率估计概率的大小，必须要求实验是在相同的条件下进行的。

（2）了解在相同条件下，实验次数越多，就越有可能得到较高的估计值，但每个人所得的值也并不一定相同。

（3）能用实验的频率估计概率的大小。

（4）通过试验，理解当试验次数足够大时，试验频率稳定于理论频率，并据此估计某一事件发生的概率。

2. 过程与方法目标（1）通过实验的方法，学会用频率估计概率的大小。

（2）通过观察比较，体会用实验解决一些实际问题的方法。

（3）经历多次试验统计的过程，初步体会概率的含义。

3. 情感态度与价值观目标（1）通过观察、实验、归纳、体验数学活动的探索性和创造性，培养学生合作学习的能力，并学会与他人交流。

（2）在试验中，进一步发展合作交流的能力，体会概率是反映现实生活中事件可能性大小的模型。

二. 重点、难点：重点：随机现象与决定性现象的区别，求随机事件的概率，理解概率的含义。

难点：求随机事件的概率，概率含义的实际应用。

知识要点归纳：1. 决定性现象和随机现象决定性：在每次实验中一定发生的现象。

随机现象：在每次实验中，有时发生，有时不发生的现象称随机现象。

2. 概率的概念在随机现象中一个事件发生的可能性大小叫做这个事件的概率。

3. 特别说明（1）概率是一个不超过1的非负实数。

（2）在随机现象中，做了大量试验后，一个事件发生的频率可以作为这个事件的概率的近似值。

（3）概率是在随机现象中一个事件发生的可能性的大小。

（4）决定性现象一定发生，随机现象不一定发生。

4. 概率的含义表示一个事件发生的可能性大小的这个数，叫做该事件的概率。

说明：概率的含义必须表示在大量的反复试验中。

【典型例题】例1. 在每个事件后面的括号里填上“决定性现象”和“随机现象”。

（1）如果a ＝b ，则a b 22=。

（ ）（2）如果两个角相等，则这两个角是对顶角。

2023军队文职数学一概率论考点分布一、概率基本概念及概率计算方法1.概率的含义和基本性质概率是指事件发生的可能性大小，在数学中通常用一个介于0和1之间的实数表示，其中0表示不可能发生，1表示必然发生。

在概率理论中，还要注意概率的加法和乘法公式，概率的互斥事件和对立事件等基本概念。

2.古典概率和几何概率古典概率是指基于等可能性事件的概率计算方法，常见于硬币抛掷、骰子掷出等情节下；而几何概率则是指通过几何形状及空间关系来计算事件的概率，比如在正方形上随机落点的概率、在圆内随机落点的概率等。

3.条件概率和贝叶斯定理条件概率是指在已知某一事件发生的条件下另一个事件发生的概率，贝叶斯定理是指在已知某一事件的条件下求另一事件条件概率的一则公式。

二、随机变量及其分布1.随机变量的基本概念随机变量是指在一次试验中取值不确定并用某一特定变量值来表示其结果的变量。

离散型随机变量和连续型随机变量是随机变量的两种基本类型。

2.离散型随机变量及其分布离散型随机变量是指取值有限或者可列的随机变量，比如抛硬币正反面的次数、扔骰子点数等。

常见的离散型随机变量分布有均匀分布、二项分布、泊松分布等。

3.连续型随机变量及其分布连续型随机变量是指取值不连续的随机变量，比如长度、面积、时间等。

常见的连续型随机变量分布有均匀分布、正态分布、指数分布等。

三、数理统计1.统计量的概念及抽样分布统计量是指利用样本数据来对总体特征进行估计的量，包括样本均值、样本方差、样本标准差等。

抽样分布是指在总体参数未知的情况下，对样本统计量的分布规律进行研究。

2.正态总体及其抽样分布正态总体是指符合正态分布规律的总体，其抽样分布包括正态总体均值的抽样分布和正态总体方差的抽样分布。

3.统计推断的基本原理统计推断是通过对样本数据的分析，对总体参数进行估计、假设检验等推断过程。

其基本原理包括点估计、区间估计和假设检验。

总结：从上述考点分布可以看出，2023军队文职数学一概率论考试内容涵盖了概率基本概念及概率计算方法、随机变量及其分布、数理统计等内容，考生在备考过程中应充分理解并掌握各个考点的理论知识，并通过大量的练习来提高解题能力，这样才能在考试中取得理想的成绩。

概率的含义及预测初三数学 主讲教师：张华云教学目的：1. 让同学们准确理解概率的含义；2. 使同学们学会预测和计算简单随机事件发生的概率。

教学重点：1. 准确理解概率的含义；2. 借助于树状图预测和计算简单随机事件发生的概率。

概率的含义及预测一、定义：表示一个事件发生的可能性大小的这个数，叫做该事件的概率。

二、表示法：P （某事件）=()mm n n=≤关注的结果的个数所有机会等可能结果的个数，注意：(1) 概率是一个理论值，它表示平均每n 次中就会发生m 次该事件； (2) 概率可以用分数、百分数或小数表示；概率大于等于0且小于等于1。

三、例题例1. 抛掷一枚普通的硬币，出现正面朝上的概率是多少？这个数表示什么意思？答：出现正面朝上的概率是12，它表示如果抛掷很多次的话，平均每2次中就会有一次出现正面朝上。

例2. 在一个盒子中有红、黄、绿三种颜色大小相同重量相等的糖块，其中红色糖块20块，黄色糖块50块，绿色糖块60块．现在从这个盒子中随便摸出1块糖，问恰好摸到1块黄色糖块的概率为多少？解：可能摸到的情况总数为：20+50+60 种，摸到黄色糖块的情况总数为：50种， 所以摸到1块黄色糖块的概率为50520506013=++。

例3. 随意从放有4个红球和1个蓝球的口袋中摸出一个球，再放回袋中搅匀后再摸出一个球，求两次摸到的球都为红球的概率。

解：法一：记4个红球号码分别为1、2、3、4，1个蓝球的号码为0， 根据题意 画出树状图：第一次： 0 1 2 3 4第二次：一共有25种等可能的结果，其中两次摸到的球都为红球（结果中不含有0）的次数为16种，故两次摸到的球都为红球的概率为1625。

法二：两次摸到的球都为红球的概率=44165525⨯=。

例4. 随意从放有4个红球和1个蓝球的口袋中任意摸出两个球，求两次摸到的球都为红球的概率。

解：法一：记4个红球号码分别为1、2、3、4，1个蓝球的号码为0， 根据题意 画出树状图：第一次： 0 1 2 3 4第二次：一共有20种等可能的结果，其中两次摸到的球都为红球（结果中不含有0）的次数为12种，故两次摸到的球都为红球的概率为123205=。

§25.3概率的含义（一）东莞市东华初级中学冯婷婷华东师大版数学九年级(上) 第二十五章第三节教材分析概率的含义（一）是华师大版九年级数学上册第25章第三节第一课时，概率在日常生活中、科学预测中有着非常重要而广泛的应用，因此它是整个初中数学的一个重点，也是数学研究的一个重要分支.按照教学内容交叉编排、螺旋上升的方式，统计与概率的内容已经由简单到复杂，由低层次的展开到高层次的综合，得到了不断的深化.本节在学生已有的实验概率的知识基础上，首先引出概率的计算；通过问题1，介绍如何从频率的角度解释某一个具体的概率值，通过本节的学习，为后面概率的计算和沟通实验概率与理论概率作了准备.学情分析(1)到本册为止，除了概率的公理化定义外，已经介绍了两种和初步接触了一种研究事件发生可能性大小的途径：主观概率、实验概率和根据树状图等理性分析预测概率；(2)在经过前四册概率知识的学习后，九年级学生已经具有一定的动手实验能力和归纳概括能力；(3)学生希望老师能创设便于观察和思考的学习环境，也希望结合具有现实背景的素材，获得数学概念，掌握解决问题的技能与方法.设计理念为了充分调动学生学习的积极性，变主动学习为主动愉快学习，使数学课变得生动、有趣、高效，在教学中主要采用启导式教学法;采用“以学生为主体，以问题为中心，以活动为基础，以培养学生提出问题和解决问题为目标”进行教学,把启发、诱导贯穿教学始终，通过真实、熟悉的情景，激发学生的学习动机，尽力唤起学生的求知欲望，促使他们动脑、动手、动口，积极参与学习活动全过程，在老师的指导下生动地、主动地、富有个性地开展学习活动.教学目标知识目标： 1.理解概率定义和简单的计算2.充分利用学生已有的对实验概率的经验，从频率的角度去解释某一个具体的概率值含义能力目标：通过活动，帮助学生感受到数学与现实生活的联系，提高用数学知识来解决实际问题的能力情感目标： 1.培养学生实事求是的态度及勇于探索的精神2.培养学生交流与合作的协作精神教学重点 1.通过回顾以往实验,引出概率的定义和计算公式2.通过学生对已有实验的经验去体会某一概率值的含义教学难点从实验中某事件发生的频率去理解某一概率值的含义教学方法采用“以学生为主体，以问题为中心，以活动为基础，以培养学生提出问题和解决问题为目标”的“引导发现法”和“探索讨论法”.教学手段采用多媒体教学教学基本流程教学过程问题问题设计意图 师生活动一 .回顾实验已做过的抛掷一枚普通硬币的实验（电脑演示） 问题1：在抛掷一枚这个实验中“出现反面”的机会是多少？这个机会还表示什么？问题2:投掷手中一枚普通的正六面体骰子，有几个等可能的结果及掷得6的结果？通过回顾实验，学生很容易答出，抛掷一枚普通硬币仅有两个可能的结果：“出现正面”和“出现反面”.这两个结果发生的机会相等，“出现反面”的机会为50%.50%还表示“出现反面”这个事件发生的可能性的大小.通过回顾画树状图分析某事件的等可能结果及关注的结果 师：提出问题，引导学生回忆、观察做过的实验· 生：观察、叙述这一实验频率的稳定值·及画树状图来分析某事件的等可能结果和关注的结果二 .归纳定义 概率的定义：表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率· 例如，抛掷一枚硬币，“出现反面”的概率为21，记为：P （出现反面）＝21 读作：出现反面的概率等于21写一写，读一读：你投掷手中一枚普通的正六面体骰子，“出现数字1”的概率是多少？解：(116P 出现数字）＝ 读作：“出现数字1”的概率为16通过具体的简单实验，得到概率的定义，学生经历了从特殊到一般的探索过程，降低了学习的难度，消除了学习新知的畏惧心态.师：分析学生的解释，引出概率含义的正确理解.生：思考、讨论、叙述自己的理解.三 .从学过的实验频率初步体会概率含义⑴.合作填表：⑵ .归纳总结：提出三个问题：1.频率和概率的关系是什么？2.除实验外我们还有哪种方法可以得到概率？3.理论分析概率的关键是什么？通过三个问题的总结，学生发现理论分析概率的关键：（1）要清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果（2）要清楚所有机会均等的结果. （1）、（2）两种结果个数之比就是关注的结果发生的概率.P（关注结果）关注的结果个数＝所有机会均等的结果的个数三个问题的提出，为学生归纳概率公式指明了方向，在三个问题的指导下，发现理论分析概率的关键就是1.要清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果2.要清楚所有机会均等的结果;进而得到概率的一般公式，达到沟通实验概率和理论概率的目的;进一步强化对概率含义的正确理解.师：然后将学生每四人分为一组，选出组长做好记录，类比学习，四人合作完成将后面四个实验填写·生：完成后，小组长发表结论，师生共同分析判断，得到正确答案.首先让学生观察课本124页表25.3.1已填好的三个简单实验，引导学生发现图表中所填内容和要求的联系，特别是发现“所有机会均等的结果”就是要将包括关注的结果在内的所有机会均等的结果都罗列出来.师：帮助学生回忆上节课的试验，引导学生观察、归纳和总结·最后归纳总结频率与概率的区别与联系的书面文字·生：尝试归纳、概括频率与概率的区别与联系，并发表自己的意见四. 设计实验，从频率角度解释概率值含义 议一议：某俱乐部举办了一次掷一个骰子的游戏，每掷一次付款0.1元，若掷中“6”则奖1元，小明想，我只要掷6次，就有一次掷中6，小明的想法对吗？（此问题原型为课本P126页问题1）问题1：在抛掷一枚普通的六面体骰子这实验中，掷得“6”得概率等于61表示什么意思？有同学说它表示每6次就有1次掷出“6”，你同意吗？思考：①已知掷得“6”的概率等于61，那么不是“6”（也就是1～5）的概率等于多少呢？这个概率值又表示什么意思？②我们知道，掷得“6”的概率等于61也表示：如果重复投掷骰子很多次的话，那么实验中掷得“6”的频率会逐渐稳定到61附近·这与“平均每6次有1次掷出‘6’”互相矛盾吗？思考1的解决让学生理解同一事件中所有关注结果的概率和为1，学会从频率角度解释概率值;思考2的解决让学生理解这两种说法其实是一回事，达到实验概率和理论概率的统一. 师：提出问题，引导学生讨论，讲出自己的想法，肯定正确的，指出错误的地方，用试验来验证.生：思考、讨论、叙述自己的理解通过做投掷骰子实验（或模拟实验），一旦掷到“6”，就算完成了一次实验，然后数一数你投掷了几次才得到“6”的．看看能否发现什么．通过自我设计模拟实验，培养学生用所学的知识解决问题的能力，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新能力师：提出问题，引导学生讨论，讲出自己的想法，肯定正确的，指出错误的地方，用试验来验证生：思考、讨论、叙述自己的理解生：（四人小组合作交流完成）五.当堂训练(分层练习)A 组1．掷一枚普通正六面体骰子，求出下列事件出现的概率：P （掷得点数是6） = 61 ；P （掷得点数小于7）= 1 ； P （掷得点数为5或3）= 31；P （掷得点数大于6）= 0 . 2．甲产品合格率为98,乙产品的合格率为80，你认为买哪一种产品更可靠？ 3.阿强在一次抽奖活动中，只抽了一张，就中了一等奖，能不能说这次抽奖活动的中奖率为百分之百？为什么？ 4.从一副扑克牌（除去大小王）中任抽一张· P （抽到红心） = ？ P （抽到黑桃） = ？ P （抽到红心3）= ？ P （抽到5）= ？ 5.有5张数字卡片，它们的背面完全相同，正面分别标有1，2，2，3，4·现将它们的背面朝上，从中任意摸到一张卡片，则： p （摸到1号卡片）= ？ p （摸到2号卡片）= ？ p （摸到3号卡片）= ？ p （摸到4号卡片）= ？ 6. 任意翻一下日历，翻出1月6日的概率为 ·翻出4月31日的概率为 ________. B 组 1. 某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会·如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券（转盘被等分成20个扇形）·甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是多少？2．中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏,游戏设置了如图所示的翻奖牌，如果只能在9个数字中选中一个翻牌，试求以下事件的概率（1）得到书籍；（2）得到奖励；（3）什么奖励也没有当堂训练分为A 、B 、C 三组练习，其中A 组练习以基础知识为主，让多数学生都有收获，感受到成功的喜悦.B 组练习的设计，联系生活实际，训练学生的基本技能，让学生感受到概率与实际生活的联系.C 组练习，设计一道摸球游戏的开放题，目的是培养学生合作，探究，创新的能力.1 2 3 4 5 6 789奖牌正面 一架显微镜 一套丛书 谢谢参与 一张唱片 两张球票 一本小说 一个随身听一副球拍一套文具奖牌反面卧室书房饭厅客厅C 组1. 用4个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏. （1）使摸到白球的概率为 21 ，摸到红球的概率为21（2）使摸到白球的概率为 21 ，摸到红球和黄球的概率都是41 .你能用8个除颜色外完全相同的球分别设计满足如上条件的游戏吗？设计A 、B 、C 三组练习，可以让学生从会做的题开始做起，让每个学生都有可以做的题目，都有做不完的题目，使不同程度的学生通过例题，练习，习题得到不同程度的发展. 六.小结归纳到此为止，学生已基本掌握好本节课主要内容，并能简单应用，达到了教学目标;为了再现本节课重点、难点，突出关键，使学生对所学知识有一个完整的印象，从四点作出小结：①概率的定义②获得概率的两种方法：实验观察和理论分析 ③会用概率公式解决实际问题 ④从频率角度解释概率值的含义七.布置作业（A 组）1.从一副52张的扑克牌（除去大小王）中任抽一张. P （抽到红心） = ； P （抽到不是红心）= ； P （抽到红心3）= ； P （抽到5）= .（B 组）2.如图是小明家的平面示意图，某天，马小虎不慎把文具盒丢在下面四个房间中的某个房间中，房间里铺满了相同 的地砖.问文具盒丢在哪个房间内的概率最大？（C 组）3.如图是一个转盘，小颖认为转盘上共有三种颜色， 所以自由转动这个转盘，指针停在红色、黄色、或蓝色区域的概率都是31，你认为呢 ？八、板书设计板书分为三块，一个为定义公式，一个为例题，一个为投影区·九．评价设计评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学.1＝经常 2＝一般 3＝很少思维的创造性 (用不同方法解决问题、独立思考) 1＝经常 2＝一般 3＝很少 思维的条理性（能表达自己的意见、解决问题的过程清楚、有计划） 1＝经常 2＝一般 3＝很少 是否善于与人合作和积|极表达意见) 1＝经常 2＝一般 3＝很少 是否自信（提出和别人不同的问题、大胆尝试并表达自己想法） 1＝经常 2＝一般 3＝很少 积极（举手发言、提出问题并询问、讨论与交流以、阅读课外读物） 1＝参与有关的活动2＝初步理解 3＝真正理解并掌握知识技能掌握情况（概率含义、解决问题） 说 明321 项 目【教案设计说明】：一.关于教学内容本课时是华东师大版义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级（上）第25章第3节概率含义第一课时，主要是探究概率的含义和介绍如何从频率的角度解释某一具体的概率值……二.关于教学方法为了充分调动学生学习的积极性，变主动学习为主动愉快学习，使数学课变得生动、有趣、高效，在教学中主要采用启导式教学法;采用“以学生为主体，以问题为中心，以活动为基础，以培养学生提出问题和解决问题为目标”进行教学,把启发、诱导贯穿教学始终，通过真实、熟悉的情景，激发学生的学习动机，尽力唤起学生的求知欲望，促使他们动脑、动手、动口，积极参与学习活动全过程，在老师的指导下生动地、主动地、富有个性地开展学习活动.三.关于教学手段在教学手段方面我选择多媒体辅助教学的方式，多媒体为教师进行教学演示和学生的观察与发现提供了平台，借助投影、计算机辅助教学，通过有声、有色、有动感的画面，提高学生学习的兴趣，在美的熏陶中主动愉快地获取知识，提高教学效益，使信息技术与数学教学有机整合，真正为教学服务.四.关于教学设计为了达成教学目标，强化重点、突破难点，我把引导学习活动分为实验回顾、学习新知、当堂训练、小结归纳、课后巩固等阶段.五.思考的几个问题1、怎样防止所谓新课程理念流于形式,如何合理选择值得讨论的问题，实现学生实质意义的参与.2、防止过于追求教学的情境化倾向,怎样把握一个度.3、怎样应对学生“动”起来后提出来的各种令教师始料不及的问题，防止学习秩序失控.。

中考内容中考要求ABC事件了解不可能事件、必然事件和随机事件的含义概率了解概率的意义；知道大量重复实验时，可以用频率估计概率会运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎩定义列表概率求法树状图用频率估算概率与频数的关系一、与概率有关的定义：1、必然事件：事先能肯定一定发生的事件称为必然事件.2、不可能事件：事先能肯定一定不发生的事件称为不可能事件.3、确定事件：事先能肯定它是否发生的事件称为确定事件，必然事件和不可能事件都是确定事件.4、不确定事件（随机事件）：事先不能肯定它会不会发生的事件称为不确定事件.5、概率：随机事件A 发生的可能性的大小.记为()P A .设n 为事件A 包含的可能结果数，m 为所有可能结果总数，则()nP A m=. 对于任何一个事件A ，它的概率()P A 满足0()1P A ≤≤，必然事件的概率是1， 不可能事件的概率是0.7、（补充）乘法原理：若一件事情需分m 个步骤完成，而且每个步骤的概率分别为：12,,m p p p ，则，完成该事件的概率为：12m p p p p =⋅⋅⋅.加法原理：若一件事情需分m 种方法完成，而且每种方法的概率分别为：12,,m p p p ，则，完成该事件的概率为：12m p p p p =+++二、求概率的方法：知识精讲中考大纲概率知识网络图1、列表2、画树状图3、用频率估计概率 列举法求概率如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中m 种结果，那么事件A 发生的概率为m n． 用树状图法求概率当一次试验涉及3个或更多因素（例如从3个口袋中取球）时，列举法就不方便了，可采用树状图法表示出所有可能的结果，再根据()mP A n=计算概率． 利用频率估计概率一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率mn稳定于某个常数p ，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率，记作()()()01P A p P A =≤≤三、概率与频率的关系←⎧⎪↓⎨⎪⎩频率用试验的方法频率与概率（试验次数很多）理论概率1、当一次试验涉及多个因素（对象）时，常用列表法或树状图法求出事件发出的所有等可能的结果，然后找出要求事件发生的结果数，根据概率的意义求其概率．2、当完成事件的层次较多或事件发生的可能性不相等时，求相关事件的概率是困难的，转换视角，从问题的对立面：反面求解，常能化简求值．3、游戏的公平性是通过概率来判断的，在得分相等的前提下，若对于参加游戏的每一个人获胜的概率相等，则游戏公平，否则不公平；在概率不等的前提下，可将概率乘相应得分，结果相等即公平，否则不公平．1、在审题时，看拿出来的东西是否放回．2、答题时需要注意步骤．易错点辨析解题方法技巧如图，有6张扑克牌，从中随机抽取1张，点数为偶数的概率（）．（2014北京中考）A．16B．14C．13D．12题型一事件【例1】下列事件中必然发生的是（）A．抛两枚均匀的硬币，硬币落地后，都是正面朝上B．掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数是3C．通常情况下，抛出的篮球会下落D．阴天就一定会下雨【例2】下列成语所描述的事件是必然发生的是（）A. 水中捞月B. 拔苗助长C. 守株待免D. 瓮中捉鳖【例3】下列事件中是必然事件的是（）A．小菊上学一定乘坐公共汽车B．某种彩票中奖率为1％，买10000张该种票一定会中奖C．一年中，大、小月份数刚好一样多D．将豆油滴入水中，豆油会浮在水面上【例4】下列事件是必然事件的是（）A．抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上B.打开电视体育频道，正在播放NBA球赛C.射击运动员射击一次，命中十环D.若a是实数，则0a课堂练习真题链接概率习题集题型二简单概率计算【例5】从1~12这十二个自然数中任取一个，取到的数恰好是4倍数的概率是（）．（2014石景山期末）A．112B．14C．13D．12【例6】在12的正方形网格格点上放三枚棋子，按图所示的位置已放置了两枚棋子，如果第三枚棋子随机放在其它格点上，那么以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为__________．（2014昌平期末）【例7】下列说法正确的是（）．（2014朝阳期末）A．“明天的降水概率为80%”，意味着明天有80%的时间降雨B．小明上次的体育测试成绩是“优秀”，这次测试成绩一定也是“优秀”C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会中奖D．掷一枚质地均匀的骰子，“点数为奇数”的概率等于“点数为偶数”的概率【例8】不透明的袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，这些球除数字不同外，其它均相同．从中随机取出一个球，以该球上的数字作为十位数，再从袋中剩余2个球中随机取出一个球，以该球上的数字作为个位数，所得的两位数大于20的概率为（）．（2014大兴期末）A．12B．13C．23D．16【例9】袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列是必然事件的是（）．（2014东城期末）A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球B．摸出的三个球中至少有一个球是白球C．摸出的三个球中至少有两个球是黑球D．摸出的三个球中至少有两个球是白球【例10】小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则向上的一面的点数小于3的概率为（）．（2014房山期末）A．13B．12C．16D．23【例11】一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字不小于3的概率是（）．（2014丰台期末）A．12B．13C．23D．16【例12】一个口袋里放有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是白色的，一枚是红色的．从中随机摸出一枚记下颜色，放回口袋搅匀，再从中随机摸出一枚记下颜色，两次摸出棋子颜色不同的概率是__________．（2014丰台期末）【例13】汶川大地震时，航空兵空投救灾物质到指定的区域（圆A）如图所示，若要使空投物质落在中心区域（圆B）的概率为12，则B与A的半径之比为．BA【例14】6张大小、厚度、颜色相同的卡片上分别画上线段、等边三角形、直角梯形、正方形、正五边形、圆．在看不见图形的条件下任意摸出1张，这张卡片上的图形是中心对称图形的概率是（）A．16B．13C．12D．23【例15】在今年的中考中，市区学生体育测试分成了三类，耐力类，速度类和力量类。

第23章概率初步第二节事件的概率§23.3事件的概率教学目标知道概率的含义，会用符号表示一个事件的概率；经历随机试验的活动过程，理解随机事件发生的频率的意义，知道频率与概率之间的区别和联系，会根据大数次试验所得频率估计事件的概率；通过具体的实例知道等可能试验的含义；初步掌握等可能试验中事件的概率计算公式；会运用公式来计算简单事例的概率；会用枚举法得出事件的概率；初步学会用树形图分析概率问题的方法，会用所学概率知识解释生活中的一些简单概率问题。

知识概要1.概率的定义用来表示某事件发生的可能性大小的数叫做这个事件的概率。

2.事件与概率的关系不能事件必定不发生，规定用“0”作为不可能事件的概率；而必然事件必定发生，就规定用“1”作为必然事件的概率。

这样，随机事件的概率，就是大于0且小于1的一个数，通常可以写成纯小数、百分数或真分数。

必然事件、不可能事件和随机事件的概率的取值情况，用线段图表示如下：很不可能发生的事件是指概率接近0的事件(即小概率事件)；很可能发生的事件是指概率接近1的事件。

3.概率的表示为了叙述的方便，我们可用大写的英文字母来表示事件，如事件A 、事件B 、……等；事件的概率，记作)(A P 。

如果用V 表示不可能事件，U 表示必然事件，那么0)(=V P ，1)(=U P 。

对于随机事件A ，可知 1)(0<<A P 。

4.频率与概率(1)频率在试验中，我们总共试验的次数称为“试验总次数”，发生事件A 的次数称为事件A 的“频数”，把频数与试验总次数(即发生事件A 的次数与总共试验的次数)的比值称为事件A 发生的“频率”。

(2)频率与概率的关系我们通常把某事件在大数次试验中发生的频率，作为这个事件的概率的估计值。

事件的概率是 一个确定的常数；而频率是不确定的，与试验次数的多少有关。

用频率估计概率，得到的只是近似 值。

为了得到概率的可靠的估计值，试验的次数要足够大。

概率的进一步认识知识点中
一、什么是概率
概率是一个变量，表示件事情发生的机率大小。

概率是数学中一种量度，也是一个抽象的概念，包含了多个事件的发生机率。

如果在一系列实验中，一个事件发生的次数越多，那么这种事件发生的可能性就越大，它具有一定的发生概率。

二、概率的定义
概率可以定义为一种事件发生的可能性，它可以通过实验测定和理论计算，可以量化描述一个事件的发生机率，用于计算任何事件是否发生。

常见的概率有绝对概率和相对概率。

绝对概率可以通过实验测定，就是一次实验中其中一种事件出现的频率与实验次数的比值，可用来测定当前实验中发生的概率。

而相对概率，是一种统计和概率比较的方法，它通过比较和计算两个事件发生概率的大小，来测定其中一个事件发生的概率。

三、概率的意义
概率是实际生活中一种重要的概念，它可以用来帮助我们确定事件发生的可能性，指导我们预测未来的情况，以及帮助我们分析从一些随机事件中受益。

此外，它对风险评估和经济分析也很有帮助。

四、概率的应用
概率可以应用于社会科学，金融学，数学，工程学，数据科学，生物学，医学等领域，常用于人们分析不确定的环境，了解系统变换，估计风险。