§1.2 概率的定义及其确定方法
在本节，我们要给出概率的定义，这是概率论中最基本的概念。本节中我们还将介绍几种确定概率的方法。
随机事件的发生有偶然性，但我们常常会觉察到随机事件发生的可能性是有大小之分的。例如，购买彩票后可能中大奖，可能不中奖，但中大奖的可能性远比不中奖的可能性小。既然各种事件发生的可能性有大有小，自然使人们想到用一个数字表示事件发生的可能性大小。这个数字就称为事件的概率。
然而，对于给定的事件A ，该用哪个数字作为它的概率呢？这决定于所研究的随机现象或随机试验以及事件A 的特殊性，不能一概而论。在概率论的发展历史上，人们针对特定的随机试验提出过不同的概率的定义和确定概率的方法：古典定义、几何定义和频率定义。这些概率的定义和确定方法虽然有其合理性，但也只适合于特定的随机现象，有很大的局限性。那么如何给出适合于一切随机现象的概率的最一般的定义呢? 1900年数学家希尔伯特提出要建立概率的公理化定义以解决这个问题,即以最少的几条本质特性出发去刻画概率的概念.1933年数学家柯尔莫哥洛夫首次提出了概率的公理化定义,这一公理化体系迅速得到举世公认,有了这个定义后,概率论才被正式承认为一个数学分支,并得到迅猛发展.
1. 概率的公理化定义
定义1.2.1 设Ω为样本空间,F 为Ω的某些子集组成的事件域.))((F A A P ∈是定义在事件域F 上的实值集函数,如果它满足:
(1) 非负性公理 对于任一F A ∈,有0)(≥A P ;
(2) 正则性公理 1)(=ΩP ;
(3) 可列可加性公理 若,,21A A …,,n A …两两互不相容,则
则称)(A P 为事件A 的概率,称三元总体),,(P F Ω为概率空间.
概率的公理化定义刻画了概率的本质，概率是集合（事件）的实值函数，若在
事件域上给出一个函数，只要这个函数满足上述三条公理就称为概率。
这个定义只涉及样本空间和事件域及概率的最本质的性质而与具体的随机现象无关。对于具体的随机现象中的给定的事件，其概率如何合理地确定那要依据具
体情况而定。历史上出现的概率的频率定义、古典定义和几何定义都是特定的场合下有着各自的确定概率的方法。在有了概率的公理化定义之后，把它们看作确定概率的方法是恰当的。下面介绍这些确定概率的方法。
2. 频率方法
设E 为一随机试验，A 为其中一事件，在相同条件下将E 独立重复做n 次，记
)(A n 为事件A 发生的次数（也叫频数）
，比值 称为事件A 在这n 次试验中的频率。
容易验证频率满足概率的公理化定义中的三条公理。
一般地，如事件A 发生的可能性愈大，那么在多次重复试验中, 事件A 发生愈频繁即频率)(A f n 也愈大.反之,频率)(A f n 愈大表明事件A 发生的可能性愈大.因此事件频率的大小与事件发生的可能性大小有密切的联系.但是还不能把事件的频率就确定为概率,因为频率有“波动性”.长期实践表明,随着试验次数n 的增加,频率)(A f n 会稳定于某一个常数p ,这个频率的稳定值是由事件本身决定的并且这样的稳定值满足概率的公理化定义中的三条公理,因能把这个稳定值确定为事件的概率是合理的.
这种确定概率的方法虽然有其合理性,但其缺点是明显的:在现实世界里,人们无法把一个试验无限次地重复下去,因此我们无法精确地得到频率的稳定值.尽管有明显的缺点,但这种方法有其重大意义:一方面,频率具有稳定性这一客观事实给概率提供经验背景.同时频率方法给我们提供了一个可以想象的具体值,并且在试验次数较大时,可用频率给出概率的近似值.例如,工业生产中,依据抽检的一些产品估计产品的废品率.另一方面,它提供了检验理论正确与否的准则.设想依据某一理论或假定算出了某事件A 的概率为p ,这一理论或假定是否与实际相符,我们并无把握,于是我们可诉诸试验,即进行大量重复试验以观察事件A 的频率)(A f n .若频率)(A f n 与p 接近,则可认为试验结果支持了有关理论或假定.若频率)(A f n 与p 相差较大,则认为理论可能有误.例如,在抛硬币的试验中,假定正反面出现的可能性相等,则出现正面的概率与出现反面的概率都是0.5, 如果我们多次抛掷硬币,若正面出现的频率与0.5相差甚远,那么正反面出现的可能性相等这个假定的正确性值得怀疑.
下面是频率稳定性的几个实例.
3. 古典方法
确定概率的古典方法是概率论历史上最早研究的情形，它简单、直观、不需做大量重复试验。
先看一个简单试验：掷一个六面均匀的骰子，这个试验有6个基本结果，如果六个面是平等看待，那么可以认为每个面朝上的可能性相同，即每个点数出现的概率相等，这样的试验称为古典概型。在古典概型中，事件的概率应该与事件包含的样本点个数成正比，事件的概率也就能容易地确定。
如果试验E 具有下列性质
（1） 试验的基本结果只有有限个，即试验的样本空间Ω为有限样本空间；
（2） 一切基本事科发生的可能性相等。
则称试验E 为古典概型。
设试验E 为古典概型，样本空间Ω包含有n 个样本点，A 为试验E 的一事件，且事件A 包含k 个样本点，则事件A 的概率为
古典方法是概率论发展初期确定概率的常用方法，在古典方法中，为求一个事件A 的概率，需求出试验的等可能的基本结果总数和事件A 包含的基本结果数。
例 将一硬币抛3次，假设每次抛掷中出现正面和反面的可能性相等，求恰好出现1次正面的概率。
解：由于每次抛掷中出现正面和反面的可能性相等，因此该试验的等可能的基本结果有8个。即样本空间取为
且各个基本结果具有等可能性，而事件=A “恰好出现1次正面”包含1个样本点“HHH ”,即{HHH}A =,所以所求的概率为
注意,此试验中若我们考虑的样本空间为}3,2,1,0{=Ω,那么=A “恰好出现1次正面”为Ω的子事}1{,但并不能由此得出A 的概率为4
1,因为样本空间为}3,2,1,0{=Ω的各个基本事件不具有等可能性.因此用古典方法确定概率时一定要注意“基本事件的等可能性”.
当样本空间中样本点较多时,我们不必将样本点一一列举出来,而只需求出样本点总数n 和事件A 包含的样本点个数k ,但要注意“等可能性”.下面介绍古典概型
