三次方程解法探究

三次方程求解方法详解一、引言三次方程是高中数学中重要的命题之一，解三次方程除了使用根式公式外，还可以利用变换、化简和因式分解等方法求解。

随着计算机科技的不断发展，解三次方程的方法也越来越多样化，本文将详细介绍传统的解法和现代的算法。

二、代数方法代数方法是求解三次方程的基础方法，也是高中数学课程中重点内容之一。

以一般形式的三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0为例，使用代数方法求解。

首先利用因式定理或配方公式，将其转化为(x+p)^3+q=0或(x+p)(x^2+qx+r)=0的形式，然后求解即可。

三、因式分解法当三次方程的系数为整数，方程有有理根时，可以利用因式分解法求解。

首先通过有理根定理求出方程的有理根，然后将因式分解成(x-a)(bx^2+cx+d)=0的形式，再求解即可。

需要注意的是，如果方程没有有理根，该方法就不适用了。

四、换元法换元法是利用变量替换的方法，转化为新的方程，从而使原方程变得更容易求解。

常用的换元方法有两种：一是令x=u-v，二是令x=u+1/u。

具体使用哪一种方法取决于三次方程的特点。

例如，方程x^3+3x^2-21x-65=0可利用令x=y-1求解，然后得到y^3=64，最终解得x=4-2√3、-2√3-4、4+2√3。

五、牛顿迭代法牛顿迭代法是用于寻找函数实根的经典算法，也可以用于解三次方程。

其思路是利用牛顿公式逐步逼近函数的零点，即x=x-f(x)/f'(x)，其中f(x)是原函数，f'(x)是它的导数。

具体来说，对于三次方程，可以将其化为f(x)=ax^3+bx^2+cx+d=0的形式，然后使用牛顿迭代法求解。

六、龙贝格-莫尔法龙贝格-莫尔法是一种数值求解三次方程的算法，也是比较经典的方法之一。

其思路是将三次方程化为函数的根的形式，然后利用龙贝格-莫尔积分公式进行计算。

具体来说，该方法可以分为三个步骤：首先将三次方程化为函数的根形式，然后对所得函数进行龙贝格-莫尔积分，最终得出方程的解。

三次方程与四次方程的解法与应用一、引言三次方程与四次方程作为高阶方程，在数学和应用数学领域扮演着重要的角色。

本文将讨论三次方程与四次方程的解法以及它们在实际问题中的应用。

二、三次方程的解法三次方程的一般形式为ax³ + bx² + cx + d = 0，其中a、b、c、d为已知系数且a≠0。

解决三次方程的一种常用方法是维也纳(Vieta)公式。

设方程的三个实根为x₁、x₂、x₃，根据维也纳公式可得：x₁ + x₂ + x₃ = -b/ax₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/ax₁x₂x₃ = -d/a结合这些条件，我们可以使用代数运算求解出方程的实根。

三、四次方程的解法四次方程的一般形式为ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0，其中a、b、c、d、e为已知系数且a≠0。

四次方程的求解相对复杂，但有几种有效的方法。

一种方法是使用费拉里(Ferrari)方法，该方法通过换元将四次方程转化为三次方程，然后再使用三次方程的解法求解。

另一种方法是使用Galois理论，该理论通过研究方程的对称群来解决方程的根的存在性、可解性以及根的表达式。

这两种方法都提供了解决四次方程的有效途径。

四、三次方程与四次方程的应用三次方程和四次方程在科学和工程领域有广泛的应用。

以三次方程为例，我们可以通过建立数学模型，对物理和工程问题进行建模和解决。

例如，在物理学中，三次方程可以用于描述天体运动、弹道轨迹等问题。

在工程学中，三次方程可以用于描述材料的应力-应变关系、电路中的电流变化等。

同样，四次方程也可以应用于类似的问题，例如描述粒子碰撞、流体动力学和电磁场建模等。

通过解决三次方程和四次方程，我们可以得到对问题的定量解释和预测，为实际应用提供参考和指导。

五、结论本文讨论了三次方程与四次方程的解法与应用。

通过掌握这些方程的求解方法，我们可以解决一些复杂的实际问题，并为科学和工程领域的研究提供基础。

求解三次方程问题三次方程是指包含三次幂（即x³）的方程。

解决三次方程问题时，我们通常使用数学方法和技巧来求得方程的解。

本文将介绍几种常见的解三次方程的方法，并提供详细的步骤和示例。

一、求解三次方程的方法一：因式分解法通过因式分解法，我们可以将三次方程转化为多个一次和二次方程的乘积形式，从而求得方程的解。

步骤一：将三次方程表示为乘积的形式。

例如，给定三次方程2x³+ 3x² - 2x = 0，我们可以根据方程中各项的系数来找到可能的因式。

步骤二：将因式展开并令其等于零，然后求出每个因式的解。

例如，将上述方程因式分解为x(2x² + 3x - 2) = 0，我们可以求解方程x = 0和2x² + 3x - 2 = 0。

步骤三：解二次方程。

对于2x² + 3x - 2 = 0，我们可以使用求解二次方程的常规方法，如配方法、公式法或图像法，求得方程的解为x =1/2和x = -2。

综合上述步骤，原方程2x³ + 3x² - 2x = 0的解为x = 0、x = 1/2和x= -2。

二、求解三次方程的方法二：公式法对于形如ax³ + bx² + cx + d = 0的三次方程，我们可以使用公式法求解。

公式法通过将三次方程与二次方程的解相关联来求得方程的解。

步骤一：计算三次方程的判别式。

判别式的计算公式为Δ = 18abcd - 4b³d + b²c² - 4ac³ - 27a²d²，其中a、b、c和d分别为方程中各项系数。

步骤二：根据判别式的值来判断方程的解类型。

- 当Δ > 0时，方程有一个实根和两个复根。

- 当Δ = 0时，方程有三个实根，其中至少两个根是相等的。

- 当Δ < 0时，方程有三个不相等的实根。

步骤三：根据解的类型使用公式计算方程的解。

高中数学解三次方程的方法及相关题目解析一、引言三次方程是高中数学中常见的一类方程，解三次方程是数学学习的重要内容之一。

本文将介绍解三次方程的三种常用方法，并通过具体题目进行解析，以帮助高中学生掌握解题技巧。

二、直接解法直接解法是最常用的解三次方程的方法之一。

对于形如ax^3 + bx^2 + cx + d =0的三次方程，我们可以通过整理方程，将其变形为(x - α)(x - β)(x - γ) = 0的形式，然后利用因式分解的方法求解。

例如，考虑方程x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0，我们可以通过观察发现x = 1是方程的一个根，进而得到(x - 1)(x^2 - 5x + 6) = 0，进一步分解为(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0。

因此，方程的解为x = 1，x = 2，x = 3。

三、代换法代换法是解三次方程的另一种常用方法。

对于形如ax^3 + bx^2 + cx + d = 0的三次方程，我们可以通过代换x = t - b/3a将其转化为形如t^3 + pt + q = 0的方程，其中p和q是关于t的多项式。

通过选择合适的代换，可以使得方程的形式更简单，从而更容易求解。

例如，考虑方程x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0，我们可以通过代换x =t + 1将其转化为t^3 - 8 = 0的形式，进而得到(t - 2)(t^2 + 2t + 4) = 0。

因此，方程的解为x = 1，x = 2 - √3i，x = 2 + √3i。

四、Cardano公式Cardano公式是解三次方程的一种较为复杂但更通用的方法。

对于形如ax^3 +bx^2 + cx + d = 0的三次方程，我们可以通过Cardano公式求解。

公式的表达式较为复杂，这里不做详细展开，但需要注意的是，Cardano公式的求解过程需要借助复数运算，因此方程的解可以是实数，也可以是复数。

3次方程求解方法三次方程，即含有三次项的方程，可一般表示为：ax^3 + bx^2 + cx + d = 0其中a、b、c、d为已知系数，且a≠0。

解三次方程一般有四种方法：代入法、化为二次方程法、牛顿迭代法和Cardano公式法。

下面将逐一介绍这四种方法。

一、代入法代入法是一种直观的解方程的方法。

步骤如下：1.假设已知解为x=r，将r代入原方程得到一个二次方程；2.求解二次方程，得到解r；3.将r代入原方程，检验是否满足。

当然，这种方法的前提是我们能够猜测到一个解r，且这个解确实存在。

二、化为二次方程法化为二次方程法又称Vieta定理法。

其思想是通过变量代换将三次方程转化为二次方程，再用求解二次方程的方法求解。

步骤如下：1.设x=t-b/3a，其中t是未知数，代入原方程化简；2.移项整理后得到一个以t为未知数的二次方程；3.求解二次方程，得到解t；4.通过t求解原方程。

三、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种数值计算方法，可以用来求方程的近似解。

步骤如下：1.假设已知解x0；2.假设x0附近存在解，通过牛顿迭代公式x=x0-f(x0)/f'(x0)求解近似解；3.重复步骤2，直至近似解达到所需精度。

四、Cardano公式法Cardano公式法适用于一般的立方方程。

步骤如下：1. 将原方程形式化为x^3 + px + q = 0；2. 令y = x + p/3x，将方程化为y^3 + ry + s = 0；3.引入一个新的变量z，使得y和z的线性项抵消，得到一个关于z 的二次方程；4.求解这个二次方程，得到根z；5.通过z回代求解y；6.通过y回代求解x。

四种方法中，代入法和化为二次方程法相对简单，适用于能够猜测到解的情况。

而牛顿迭代法和Cardano公式法更加复杂，适用于无法直接得到解的情况。

综上所述，解三次方程有多种方法，我们可以根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。

在实践中，通过结合多种方法，可以更加高效地求解三次方程。

数学学习与研究2014.20【摘要】给出一元三次方程x 3+ax 2+bx +c =0根的几种解法,并比较这几种解法之间的优缺点.【关键词】一元三次方程;因式分解;有理根;导数;极值;二分法解一元三次方程是世界数学史上较著名且较为复杂而又有趣味的问题,虚数概念的引进、复数理论的建立就是起源于解一元三次方程问题.一元三次方程的应用广泛,如电力工程、水利工程、建筑工程、机械工程、动力工程、数学教学及其他领域等.研究方程的解法不仅可以拓展对函数概念更深层的理解,而且对函数在实际生活中的应用具有一定的指导作用.许许多多的科学家都曾对方程的解法进行过研究,用根号解一元三次方程有著名的卡尔丹公式,并有相应的判别法,但用该公式解题比较复杂,缺乏直观性.80年代,中国的一名中学数学教师范盛金发明了比卡尔丹公式更实用的新求根公式———盛金公式,并建立了盛金判别法,同时提出了盛金定理.盛金公式与判别法及其定理形成了一套完整的、简明的、实用的解一元三次方程的理论体系,范盛金创造出的这套万能的系统方法,对研究解高次方程问题及提高解一元三次方程的效率作出了贡献.除了以上提及的卡尔丹公式以及盛金公式,以下几种方法应用起来也很有效:不失一般性,本文中只研究三次项系数为1的一元三次方程(如果三次项系数不是1,可用三次项系数除方程两边).1.有理根法一般来说,中学遇到的一元三次方程都有有理根.设方程为x 3+px 2+qx +r =0(这里p ,q ,r 都是有理数),那么方程的所有可能的有理根a 能整除r ,也就是r 的所有因数中至少有一个是方程的根(如果r 的所有因数中没有一个是方程的根,那么方程没有有理根).例1对于方程x 3-6x 2+9x -4=0,方程的所有可能的有理根为±1,±2,±4.容易验证x =1是方程的根,于是方程分解为(x -1)(x 2-5x +4)=(x -1)2(x -4)=0⇒x 1=1(二重根),x 2=4.其中x 2-5x +4是右边所示这样得到的.解其他方程(包括4次,5次……)也是这样,但注意前提是有理根.2.因式分解法因式分解法不是对所有的一元三次方程都适用,只对一些简单的适用,因此需要拆、凑.①有些三次方程只有3项,且其中两项的系数的绝对值之和等于第三项的系数的绝对值,这时只需将第三项按以下规律拆开,再提公因式求根.例2(1)x 3-5x +4=0⇒x 3-x -4x +4=0⇒x (x 2-1)-4(x -1)=0⇒x 1=1,x 2=-1+17√2,x 3=-1+17√2.(2)x 3-3x 2+4=0⇒x 3+1-3x 2+3=0⇒(x +1)(x 2-x +1)-3(x 2-1)=0⇒x 1=-1,x 2=2(二重根).②有些三次方程不具有上述特点,但由于中学阶段涉及的三次方程都有有理根,此时可通过以下方法进行拆、凑,然后再因式分解求根.例3x 3-x -6=0.要想利用因式分解提出公因式,只能将-x 拆成-ax -bx 的形式,即方程变形为x 3-ax -bx -6=0;进而x (x 2-a )-b x +6b()=0,其中a +b =1,b ≠0.要使x (x 2-a )与b x +6b()出现公因式,a 必须是1,4,9,16这种形式的数,且x +6b与x 2-a 的2个因式(x -a √),(x +a √)中的某一个相同.通过验证,a =4,b =-3时,原方程变形为x (x 2-4)+3(x -2)=0,解得x 1=2,x 2=-1-2√i,x 3=-1+2√i.③有些三次方程含有4项,即符合x 3+px 2+qx +r =0的形式,此时只需将平方项拆开,然后再因式分解求根.例4x 3-6x 2+9x -4=0.方程变形为x 3-ax 2-bx 2+9x -4=0,进而变形为x 2(x -a )-(bx 2-9x +4)=0.要使前后两项出现公因式,必须保证bx 2-9x +4分解后其中一个因式为x -a ,且满足a +b =6.根据十字相乘法,当b =5时,bx 2-9x +4分解为(x -1)(5x -4),而此时a =1,方程前后两项有公因式x -1,所以方程变形为x 2(x -1)-(x -1)(5x -4)=0,即(x -1)2(x -4)=0,解得x =1(二重根),x =4.3.导数二分法利用导数,求函数的极大值、极小值,单调递增及递减区间,画出函数草图,有利于方程的大致解答,并且能快速得到方程解的个数.例5x 3-6x 2+9x -10=0.令y =f (x )=x 3-6x 2+9x -10,则f′(x )=3x 2-12x +9=3[(x -2)2-1].由f′(x )=0,得x =1或x =3,且函数y =f (x )在区间(-∞,1)与(3,+∞)上单调递增,(1,3)上单调递减.根据极值的定义可得:函数y =f (x )在x =1处取得极大值f (1)=-6,在x =3处取得极小值f (3)=-10.又f (5)=10>0,根据以上分析,可得函数y =f (x )的大致形状如图.根据单调性知,函数y =f (x )只有一个零点,故方程x 3-6x 2+9x -10=0只有一个实根.又因为f (4)=-6<0,f (5)=10>0,且函数y =f (x )在(3,+∞)上单调递增,所以函数的唯一零点在区间(4,5)内,故方程x 3-6x 2+9x -10=0的唯一一个实根在区间(4,5)内.一元三次方程的解法探究◎刘静(河北石家庄第二实验中学051130)x -x 3-x 2-5x 2+9x -5x 2+5x4x -44x -4100. All Rights Reserved.数学学习与研究2014.20下面用二分法求解方程的近似解x 0(精确度0.1):第一步:取区间(4,5)的中点x 1=4.5,用计算器算得f (4.5)≈0.125.因为f (4)f (4.5)<0,所以方程的根x 0在区间(4,4.5)内.第二步:再取区间(4,4.5)的中点x 2=4.25,用计算器算得f (4.25)≈-3.36.因为f (4.25)f (4.5)<0,所以方程的根x 0在区间(4.25,4.5)内.同理可得,x 0∈(4.375,4.5),x 0∈(4.438,4.5).由于|4.438-4.5|=0.062<0.1,所以方程的近似解可取为4.438.该方法适用于解任何一元三次方程,在找不到简单方法时,即可考虑使用此法.【参考文献】[1]范盛金.一元三次方程的新求根公式与新判别法.海南师范学院学报(自然科学版),1989,12,2(2):91-98.[2]中学数学课程教材研究开发中心编著.普通高中课程标准实验教科书(必修)《数学》第一册(第二版).人民教育出版社,2007.[3]中学数学课程教材研究开发中心编著.普通高中课程标准实验教科书(选修)《数学》2-2(第二版).人民教育出版社,2007.【摘要】所谓分类讨论:就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究,得出每一类的结果,最后综合各类结果得到整个问题的结果.【关键词】分类讨论;个别情形引起分类讨论的原因很多,其中数学中的一些结论、公式、方法对于一般情形是正确的,但对某些特殊情形或者说较为隐蔽的“个别”情形未必成立,这时就需对其分类讨论,下面就常见的几种“个别”情形举例说明.1.不等式a x 2+bx +c ≤0(或≥0)容易忽略个别情形:当a =0时,不再是一元二次不等式例不等式(a -2)x 2+2(a -2)x -4<0对一切x都成立,求a 的取值范围.解(1)当a -2=0即a =2时,-4<0对一切x.(2)当a -2≠0即a ≠2时,a -2<0,Δ<0,{即a -2<0,[2(a -2)]2+16(a -2)<0,{∴a <2,-2<a <2.{∴-2<a <2.综上:a 的取值范围是{a |-2<a ≤2}.2.数列{a n }通项公式a n =s n -s n -1(n ≥2)个别情形:当n =1时,a 1=s 1例已知数列{a n }前n 项和s n =n 2+1,求{a n }的通项公式:解(1)当n =1时,a 1=s 1=2.(2)当n ≥2时,a n =s n -s n -1=(n 2+1)-[(n -1)2+1]=2n -1.而n =1时,a 1=2不适合a n =2n -1的公式.综上:a n =2,n =1,2n -1,n ≥2.{3.设直线方程时,一般可设直线的斜率为k ,但有个别情形:当直线与x 轴垂直时,直线无斜率,应另行考虑例已知圆x 2+y 2=9,求经过点P(3,5)且与圆相切的直线方程.解(1)当斜率k 不存在时,如图与圆相切的直线方程为x =3.(2)当斜率k 存在时,如图2,设所求直线方程为y -5=k (x -∵所求直线与圆相切,∴圆心到切线的距离d 等于圆的半径r.又∵圆心(0,0),r =3,直线一般式:kx -y +5-∴d =5-3k k 2+1√=3.∴k =815.∴y -5=815(x -3),∴8x -15y +51=0.∴所求直线方程为x =3或8x -15y +51=0.总之,只要我们平时仔细观察,善于思考,一定会把一般情形和个别情形处理好,在解题中恰当地对问题分类讨论.分类讨论中的“个别”情形◎徐书香(青海师范大学青海省西宁市城北区山川学校810003)(接上页)图1图2. All Rights Reserved.。

3次方程求解方法3次方程是数学中一类重要的方程，包括一元三次方程和二元三次方程。

一元三次方程的解法有求根公式法、插值法和图像法。

二元三次方程的解法有求根公式法、插值法和图像法。

下面，我们将详细介绍求解三次方程的方法。

一、求根公式法求根公式法是一种有效的求解三次方程的方法。

一元三次方程的求根公式是：ax3+bx2+cx+d=0，那么它的解析式是：x1=-b/3a+[bc/3a-3aab2/2a2]1/2+[2a3d/bc2-9a2d/2b3]1/3，x2=[bc/3a-3aab2/2a2]1/2-b/3a+[2a3d/bc2-9a2d/2b3]1/3，x3=-[bc/3a-3aab2/2a2]1/2-b/3a-[2a3d/bc2-9a2d/2b3]1/3。

二元三次方程的求根公式为：ax3+by3+cz3+dxy+exz+fxyz+g=0，它的解析式为：x=[2ad-bc2/6b2a2]1/3，y=[-ac3+9abc2-27a2d-2b3f/27b3a2]1/3，z=[9ab2c-27a2c-2b3d+bc3/27b3a2]1/3。

二、插值法插值法是一种求解三次方程的直接方法，其原理是在给定三个点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P3(x3,y3)，令 ax3+bx2+cx+d=0，其中 a、b、c、d是待求参数，计算得：a=-[(x2-x1)(x3-x1)(y2-y1)-(x2-x1)(x3-x2)(y3-y2)]/[(x2-x1)^3 (x3-x2)-(x2-x1)^2(x3-x1)]，b=[(x3-x1)^2(y2-y1)-(x2-x1)^2(y3-y2)]/[(x2-x1)^3(x3-x2)-(x2-x1)^2(x3-x1)]，c=-[(x2-x1)(x3-x2)^2(y2-y1)-(x2-x1)^2(x3-x2)(y3-y2)]/[(x2-x 1)^3(x3-x2)-(x2-x1)^2(x3-x1)]，d=(x2-x1)^2(x3-x1)^2(y2-y1)/[(x2-x1)^3(x3-x2)-(x2-x1)^2(x3-x1)]。

三次方程通解引言三次方程是指次数为3的代数方程，它的一般形式可以表示为ax3+bx2+cx+d=0。

解三次方程是高中数学中的重要内容，求解三次方程的通解可以帮助我们理解方程的性质和解法。

本文将深入探讨三次方程的通解及其相关内容。

三次方程的一般解法为了求解三次方程的通解，我们可以运用一些特定的解法。

下面介绍三次方程的三种常见解法：牛顿迭代法、Cardano公式和Vieta定理。

牛顿迭代法牛顿迭代法是一种数值计算方法，通过迭代逼近的方式求解方程。

对于三次方程，我们可以将其转化为一个不动点问题，然后利用迭代法求解。

具体步骤如下： 1. 假设三次方程的根为x，求方程的导数f′(x)。

2. 根据牛顿迭代公式x n+1=x n−f(x n)f′(x n)，进行迭代计算。

3. 当x n+1与x n的差值小于某个阈值时，迭代停止，x n即为方程的一个根。

需要注意的是，三次方程可能有三个实根或一个实根和两个共轭复根。

在进行牛顿迭代时，需要针对不同的情况进行处理。

Cardano公式Cardano公式是一种解三次方程的代数方法。

它是由意大利数学家Gerolamo Cardano在16世纪提出的。

对于一般的三次方程ax3+bx2+cx+d=0，Cardano公式给出了一种求解的方法： 1. 将方程转化为标准形式，即x3+px+q=0。

其中p=ba ，q=ca。

2. 引入一个新的变量y，使得x=y−p3，将方程转化为y3+py+q−p327=0。

3. 利用Cardano公式y=√−q2±√(q2)2+(p3)33得到y的解。

4. 将y的解代入x=y−p3，得到原方程的根。

Cardano公式的求解过程较为复杂，计算过程中会出现复数解。

但这种方法对于求解一些特殊的三次方程非常有效。

Vieta定理Vieta定理是一种利用系数和根之间的关系来求解方程的方法。

对于三次方程，Vieta定理给出了根与系数之间的关系。

关于一元三次方程的根的探究1.因式分解法因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解．当然，因式分解的解法很简便，直接把三次方程降次．例如：解方程x^3-x=0对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0,得方程的三个根：x1=0,x2=1,x3=-1.2.另一种换元法对于一般形式的三次方程，先用上文中提到的配方和换元，将方程化为x+px+q=0的特殊型．令x=z-p/3z,代入并化简，得：z-p/27z+q=0.再令z=w,代入，得：w+p/27w+q=0．这实际上是关于w的二次方程．解出w,再顺次解出z,x.3.盛金公式解题法三次方程应用广泛。

用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。

范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法．盛金公式一元三次方程aX^3＋bX^2＋c X＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。

重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd，总判别式：Δ=B^2－4AC。

当A=B=0时，盛金公式①：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。

当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②：X1=(－b－(Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(3a)；X2，3=(－2b＋(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)((Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(6a)，其中Y1，2=Ab＋3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。

当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：X1=－b/a＋K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。

当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④：X1=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；X2，3=(－b＋A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)，其中θ=arccosT，T=(2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－1<T<1)。