19.1 函数
19.1.1 变量与函数
教学目标
【知识与技能】
运用丰富的实例，使学生了解常量与变量的含义，理解函数的概念,能根据所给条件写出简单的函数关系式.
【过程与方法】
通过丰富的实例，分析变化过程中的常量与变量，经历从实际问题中得到函数关系式的过程,发展学生的数学应用能力.
【情感态度】
引导学生探索实际问题中的数量关系,培养学习数学的兴趣和积极参与数学活动的热情.在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦,建立自信心.
教学重难点
【教学重点】
理解常量、变量和函数的概念,并能根据具体问题得出相应的函数关系式.
【教学难点】
确定函数关系式及自变量的取值范围.
课前准备
无
教学过程
一、情境导入,初步认识
【教学说明】选取学生熟悉的生活情境,让学生感受其中的变化,从这些感受中逐渐领悟知识.
情境1 汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶里程为s km,行驶时间为t h.填写下列表格,再试着用含t的式子表示s.
情境2 已知每张电影票的售价为10元，如果早场售出150张，午场售出205张，晚场售出310张，那么三场电影的票房收入各为多少元？设一场电影售出x张票，票房收入y元，怎样用含x的式子表示y？
情境3 要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？画面积为20cm2的圆呢？怎样用含圆面积S的式子表示圆半径r?
二、思考探究，获取新知
问题1 在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，填入下表：
如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含重物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度l（cm）?
问题2 用10cm长的绳子围成长方形.试改变长方形的长度,观察长方形的面积怎样变化.记录不同的长方形的长度值,计算相应的长方形面积的值,探索它们的变化规律(用表格表示).设长方形的长为xcm,面积为Scm2,怎样用含x的式子表示S?
将学生分成若干小组,分别探究两个问题,再汇总交流.
【教学说明】在小组实践探究时,教师应参与小组活动,然后再作出总结.
上面的问题和探究都反映了不同事物的变化过程,其中有些量(时间t,里程s;出售票数x,票房收入y;……)的值是按照某种规律变化的.在一个变化过程中,数值发生变化的量,我们称为变量.也有些量是始终不变的,如上面问题中的速度60(km/h),票价10(元)等,即为常量.
一般来说，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
提出自变量取值范围的概念,总结求自变量取值范围的规律：
(1)自变量以整式形式出现,取值范围是全体实数.
(2)自变量以分式形式出现,取值范围是使分母不为0的数.
(3)自变量以偶次方根形式出现,取值范围为使被开方数为非负数的实数;自变量以立方根形式出现,取值为全体实数.
(4)自变量以零次幂形式出现,取值范围为使底数不为0的数.
(5)自变量取值范围还应考虑实际意义.
三、典例精析，掌握新知
例1 根据下列题意写出适当的关系式,并指出其中的变量和常量.
(1)多边形的内角和W与边数n的关系.
(2)甲、乙两地相距y km,一自行车以10km/h的速度从甲地驶向乙地,试用行驶时间t(h)表示自行车离乙地的距离 s(km).
【分析】弄清题意,找准其中的等量关系,并注意字母表示的量不一定是变量,如(2)中的y.
解:根据题意列表为:
例2 求下列函数中自变量的取值范围.
(1)y=x 2-2x-1; (2)24y x =
-
; (3)y =
(4)y =
; (5)y =0. 【教学说明】观察含自变量的式子,进行归类,再依各自特征求范围.
【答案】(1)一切实数; (2)x ≠4; (3)x ≥2; (4)x>-3; (5)1≤x ≤3; (6)x ≠1.
【归纳总结】含自变量的式子有时包含多种特征(如有分母,有被开方数等),这时要综合考虑各种要求,准确界定范围.
例3 小强在劳动技术课中要制作一个周长为80cm 的等腰三角形,请你写出底边长y(cm)与一腰长x(cm)的函数关系式,并求出自变量x 的取值范围.
【分析】(1)周长等于三边的长度和,由此求得函数关系式;(2)自变量x 要使腰、底为正数,即x>0,y>0.同时还要满足任意两边的和大于第三边,得到不等式组求解.
解：由题意,得2x+y=80,所以y=80-2x.由解析式本身有意义,得x 为全体实数.
又由使实际问题有意义,则要考虑到边长为正数,且要满足三边关系定理,故有
0,0,2.x y x y >⎧⎪>⎨⎪>⎩.即0,2800,2280.x x x x >-⎧+>>-+⎪⎨⎪⎩
解得20四、运用新知，深化理解
1.分别指出下列关系式中的变量与常量：
（1）一个物体从高处自由落下，该物体下落的距离h(m)与它下落的时间t(s)的关系式为212
h gt =（其中g ≈9.8m/s 2）； （2）等腰三角形的顶角y 与底角x 存在关系y=180°-2x ；
（3）长方体的体积V(cm 3)与长a （cm ），宽b(cm)，高h(cm)之间的关系式为V=abh.
2.人心跳速度通常和人的年龄有关，如果a 表示一个人的年龄，b 表示正常情况下每分钟心跳的最高次数.经过大量试验，有如下的关系：b=0.8(220-a).
（1）上述关系中的常量和变量各是什么？
（2）一个15岁的学生正常情况下每分钟心跳的最高次数是多少？
3.(1)齿轮每分钟转120转,如果用n 表示总转数,t(分)表示时间,那么n 关于t 的函数关系式是_____________.
(2)火车离开A 站10km 后,以55km/h 的平均速度前进了t(h)小时,那么火车离开A 站的距离s(km)与时间t(h)之间的函数关系式是_____________________.
4.某水果店卖苹果,其售出质量x(kg)与售价y(元)之间的关系如表
:
(1)试写出售价y(元)与售出质量x(kg)之间的函数关系式；
(2)计算当x=6时，y 的值；
(3)求售价为19.4元时，售出苹果的质量.
