人教版八年级下数学变量与函数知识讲解

《变量与函数》知识全解课标要求理解变量和常量的概念，学会用字母表示常量和变量，会用式子表示一个变化的过程。

知识结构（1）变量认识变量需要在一个变化的过程中，其中有些量的值是在按照某种规律发生变化的，我们称数值发生变化的量叫做变量。

变量是下一节函数中不可缺少的量，注意通过大量的实例让学生认识。

（2）常量与变量相对应，在一个变化过程中，不仅仅只有变化的量，还有一些量的数值是始终不变的，这种量我们称为常量。

有的问题中，可能用字母表示一些不变的量，此时，应读清题意，从题目当中发现哪些字母代表变化的量，哪些代表不变的量，从而找出变量与常量。

常量和变量是两个对立而又统一的量．它们是对“某一过程”而言的，•是相对的，“某一过程”的条件不同，常量和变量就可能不同．内容解析变量与常量是本课时的主要内容，它们是认识、了解函数的基础，在每一个函数关系中都存在着两个变量和若干个常量，因此，教材在一开始，安排了5个实例，以此来认识区分变量和常量。

本节内容简单易学，教学中可加入适当的实例，包括学生易错的用字母表示常量的问题，以及含有圆周率π的问题，加深学生对变量和常量的理解。

重点难点本节内容的重点是认识变量与常量；难点是用字母来表示常量，以及常量中含有圆周率π；会用式子来表示一个变化的过程也是本节的难点。

教法引导教师可举大量实例，帮助学生区别变量和常量，同时可要求学生自己举例说明，使得他们充分认识二者之间的不同。

学法建议学习时可通过具体问题，判断变量与常量；最好能自己举出一些例子来判断，一方面，通过自己举例可以开拓思维，另一方面，在举例过程中，能够将自己的对知识点的认识全面展现出来，便于老师了解我们的思维状况，及时纠正不足。

变量与函数【学习目标】1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）；2．能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法；给出自变量的一个值，会求出相应的函数值．3．对函数关系的表示法（如解析法、列表法、图象法）有初步认识．4. 理解函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系，会判断一个点是否在函数的图象上，明确交点坐标反映到函数上的含义.5. 初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化的关系．【要点梳理】要点一、变量、常量的概念在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，60s t =，速度60千米/时是常量，时间t 和里程s 为变量.要点二、函数的定义一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是x 的函数.要点诠释：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；（2）对于自变量x 的取值，必须要使代数式有实际意义；（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x 允许取的每一个值，y 是否都有唯一确定的值与它相对应.（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：①函数关系式相同（或变形后相同）；②自变量x 的取值范围相同.否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量x 的取值范围有时容易忽视，这点应注意.要点三、函数值y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值.要点诠释：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：2y x =中，当函数值为4时，自变量x 的值为±2.要点四、自变量取值范围的确定使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.要点诠释：自变量的取值范围的确定方法：首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.要点五、函数的几种表达方式：变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：（1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式.（2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法.（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系.要点诠释：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.要点六、函数的图象对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.要点诠释：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.【典型例题】类型一、变量与函数【高清课堂：389341 变量与函数，例1】1、下列等式中，y 是x 的函数有（ ）22320,1,||,||x y x y y y x x y -=-===A .1个 B.2个 C. 3个 D.4个【答案】C ；【解析】要判断是否为函数，需判断两个变量是否满足函数的定义.对于221,x y -= 当x取2，y ||x y =，当x 取2，y 有两个值±2和它对应，所以这两个式子不满足函数的定义的要求：y 都有唯一确定的值与x 对应，所以不是函数，其余三个式子满足函数的定义，故选C.【总结升华】在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数.抓住函数定义中的关键词语“y 都有唯一确定的值”，x 与y 之间的对应，可以是“一对一”，也可以是“多对一”，不能是“一对多”.举一反三：【变式】下列函数中与x y =表示同一函数的是（ ） A.x y = B.xx y 2= C.2)(x y = D.33x y = 【答案】D ；提示：表示同一函数，自变量的取值要相同，化简后的解析式要相同.2、如图所示，下列各曲线中表示y 是x 的函数的有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】 C ；【解析】这是一道函数识别题，从函数概念出发，领悟其内涵，此题不难得到答案，④不构成函数关系．【总结升华】在函数概念中注意两点：有两个变量，其中一个变量每取一个确定的值，另一个变量就有唯一的一个值与其对应．类型二、函数解析式【高清课堂：389341 变量与函数，例3】3、求出下列函数中自变量x 的取值范围（1）．52+-=x x y（2）．423x y x =- （3）．y =（4）．y =（5）．y （6）．y = 【思路点拨】自变量的范围，是使函数有意义的x 的值，大致是开平方时，被开方数是非负数，分式的分母不为零等等.【答案与解析】解：（1）．52+-=x x y ，x 为任何实数，函数都有意义； （2）．423x y x =-，要使函数有意义，需2x －3≠0，即x ≠32；（3）．y =2x ＋3≥0，即32x ≥-； （4）．y =2x －1＞0，即12x >；（5）．y =x 为任何实数，函数都有意义；（6）．y =，要使函数有意义，需3020x x +≥⎧⎨+≠⎩，即x ≥－3且x ≠－2. 【总结升华】自变量的取值范围必须使整个解析式有意义.加变式：【高清课堂：389341 变量与函数，例4】4、如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝10，设P 为BC 上任一点，点P不与点B 、C 重合，且CP ＝x ．若y 表示△APB 的面积．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)求自变量x 的取值范围．【答案与解析】解： (1)因为AC ＝6，∠C ＝90°，BC ＝10， 所以116103022ABC S AC BC ∆==⨯⨯=． 又116322APC S AC PC x x ∆==⨯⨯=， 所以303APB ABC APC y S S S x ∆∆∆==-=-，即303y x =-．(2)因为点P 不与点B 、C 重合，BC ＝10，所以0＜x ＜10．【总结升华】利用三角形面积公式找到函数关系式，要把握点P 是一动点这个规律，结合图形观察到点P 移动到特殊点，便可求出自变量的取值范围．举一反三：【变式】 小明在劳动技术课中要制作一个周长为80cm 的等腰三角形．请你写出底边长y (cm )与腰长x (cm )的函数关系式，并求自变量x 的取值范围．【答案】解：由题意得，2x y +＝80,所以802y x =-，由于三角形两边之和大于第三边，且边长大于0，所以080202802x y x x x >⎧⎪=->⎨⎪>-⎩，解得2040x <<所以802,2040y x x =-<<.类型三、函数值 5、 若y 与x 的关系式为306y x =-，当x ＝13时，y 的值为（ ） A ．5 B ．10 C ．4 D ．－4【思路点拨】把13x=代入关系式可求得函数值.【答案】C；【解析】130610643y=⨯-=-=.【总结升华】y是x的函数，如果当x＝a时y＝b，那么b叫做当自变量为a时的函数值. 类型四、函数的图象6、（2015春•织金县）星期天，玲玲骑自行车到郊外游玩，她离家的距离与时间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题．（1）玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？（2）她何时开始第一次休息？休息了多长时间？（3）她骑车速度最快是在什么时候？车速多少？（4）玲玲全程骑车的平均速度是多少？【答案与解析】观察图象可知：（1）玲玲到离家最远的地方需要3小时，此时离家30千米；（2）10点半时开始第一次休息；休息了半小时；（3）玲玲郊游过程中，各时间段的速度分别为：9～10时，速度为10÷（10﹣9）=10（千米/时）；10～10.5时，速度约为（17.5﹣10）÷（10.5﹣10）=15（千米/小时）；10.5～11时，速度为0；11～12时，速度为（30﹣17.5）÷（12﹣11）=12.5（千米/小时）；12～13时，速度为0；13～15时，在返回的途中，速度为：30÷（15﹣13）=15（千米/小时）；可见骑行最快有两段时间：10～10.5时；13～15时．两段时间的速度都是15千米/小时．速度为：30÷（15﹣13）=15（千米/小时）；（4）玲玲全程骑车的平均速度为：（30+30）÷（15﹣9）=10（千米/小时）．【总结升华】本题是一道函数图象的基础题，解题的关键是通过仔细观察图象，从中整理出解题时所需的相关信息，因此本题实际上是重点考查同学们的识图能力．举一反三：【变式】（2015•巴中）小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y（米）与时间t（分钟）之间关系的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】B；。

初中八年级数学下册 第17讲：变量与函数一：思维导图 二：知识点讲解知识点一：常量和变量➢ 概念✧ 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫变量 ✧ 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫常量 ➢ 变量和常量的区别在于，变量是可以变化的，常量是数例如：圆的周长公式r C π2=中，C 和r 是变量，2和π是常量例1：写出以下各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些量是常量，哪些量是变量1) 购置单价是0.4元的铅笔，总金额y(元)与购置的铅笔数n(支)的关系2) 运发动在400m 一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t(s)与跑步速度v(m/s)的关系知识点二：函数函数：一般的，假如在一个变化过程中，有两个变量，如x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，我们就说x 是自变量，y 是因变量，称y 是x 的函数。

例2：以下变量间的关系是函数关系的是 。

1) 长方形的长与面积 2) 圆的面积与半径3)ah S 21=中的S 与h 知识点三：自变量的取值范围2. 当用函数解析式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数解析式有意义，还必须符合实际意义。

例3：球以下函数中自变量x 的取值范围：知识点四：函数值对于一个函数，当自变量a x =时，我们可以求出与它对应的y 的值，我们就说这个值是a x =时的函数值。

1. 函数与函数值的区别：函数表示两个变量之间的一种关系，函数值是一个数值。

2. 当自变量的值确定时，函数值是唯一确定的。

但当函数值确定时，对应的自变量的值可以有多个：例如：24x y -=中，当2=x 时，0=y ；而当0=y 时，2±=x 。

例4：422+=x y1) 求x 取21和21-时的函数值 2) 求y 取10时x 的值三：知识点复习知识点一：常量和变量1. 一辆汽车以50km/h 的速度行驶，行驶的路程s(km)与行驶的时间t(h)之间的关系式为s=50t ，其中变量是〔 〕 A. 速度与路程 B. 速度与时间 C. 路程与时间 D. 三者均为变量 2. 球的半径和体积分别用r 和V 表示，那么它们的关系为334r V π=，在这个变化过程中，常量为 。