可压缩一维非定常流动

一维非定常连续流动一维非定常流动是指气流的速度和热力学参数仅与时间t和一个坐标变量x有关的流动,也就是说,在某一时刻,在任何一个垂直于x轴的平面上,气流的速度和热力学参数是不变的;它包括连续流等熵波和间断流激波、接触面;下面主要介绍连续流;在进行讨论之前,首先假定气体为常比热完全气体或称量热完全气体,忽略气流的粘性和热传导作用,流动过程是等熵的;作为理解非定常连续流动的基础,首先介绍小扰动波的产生,传播及其简化分析;一、小扰动波1.产生小扰动是指气流的速度和热力学参量的相对变化量都很小,例如声波就是一种小扰动波,它以声速传播,因此,通常人们把小扰动在介质中的传播速度称为声速;对介质的扰动形式有很多,但总归起来不外乎速度不匹配和压力不平衡;下面将要介绍的是由于活塞运动引起速度不匹配所产生的波;在一个等截面无限长的圆管中,初始时刻,活塞及其两边的气体处于静止状态;设活塞在很短的时间内,速度增加至du;此后,它以匀速向右运动;这时,活塞左右两边的气体同时受到一个微弱的扰动：右边的气体被压缩,左边的气体变得稀疏,其效果以小扰动波的形式向两边传播;这种波通过以后,波后气体均以活塞的速度向右运动;同时,右边气体压力增加一个微量dp,左边气体减小一个微量dp,这两种波分别称为小扰动压缩波和小扰动稀疏波;上述两类小扰动波得传播过程在x,t图上的图示法如下压缩波通过以后,波后气流速度方向与波面传播方向一致,质点迹线靠近波面迹线；稀疏波通过以后,波后气流速度方向与波面传播方向相反,质点迹线偏离波面迹线;对于运动的气体,压缩波后气体被加速,稀疏波后气体被减速;2.传播定义向右为x轴的正方向,如果气体本身以u代数值的速度在运动,则波的传播速度为dxdt=u±a定义以速度u+a传播的波为“右行波”,以速度u-a传播的波行波”;对于右行波而言,气体质点一定从右边x轴正向进入波阵面,对于左行波而言,气体质点一定从左边x轴负向进入波阵面;2.小扰动波的简化物理分析以一道右行小扰动波为例进行分析;把坐标系取在波阵面上,则变成驻波,波前的气体以-a 的速度流进波面,而波后的气体以-a+du 的速度流出波面; 由连续性方程ρ(−a )=(ρ+dρ)(−a +du)略去二阶小量,得dρρ=du a小扰动波是一种等熵波,满足下列关系式：p =Cργ,p =ρRT 和a 2其微分形式为：dρρ=1γdp p=1γ−1dTT=2γ−1da a代入上式,可得du =2γ−1da对于左行波,则有du =−2γ−1da二、 特征线方法在可压缩流体中,有限幅值连续波流动所满足的方程一般是一组非线性偏微分方程,不能再采用小扰动线化方法,否则,将造成较大的误差;特征线法根据数学上特征线所具有的性质,运用数值解法或者图解法,为解决这类问题提供了一种比较简便而实用的计算方法;1. 基本方程连续性方程,在等截面管中ρt+x(ρu )=0动量方程,在忽略体积力和粘性力情况下u t+u ux =−1ρpx能量方程,忽略粘性和热传导作用,流动过程是等熵的,热力学第二定律可写成st+u sx =0 状态方程,对于多方气体来说,等熵关系为p =Cργ 有时为了便于应用,可将方程改写成统一用u ,a ,s 参量表示式;a t+u a x +γ−12a ux =0u t +u u x +2a γ−1ax −a 2γR sx =0st+u sx =0 2. 特征线及其相容关系假定上述方程组和x ,t 平面内沿着某一曲线x 0=x 0(t)上各点的u 0,a 0,s 0的值已知,如果不能单值地决定曲线x 0=x 0(t)附近任意点的u ,a ,s 的值,则表示x 0(t)是弱间断线,它就是所求的特征线; 特征线及其相容关系为 第一族特征线(dxdt )1=u +adu +2γ−1da =aγR ds第二族特征线(dxdt )2=u −adu −2γ−1da =−aγR ds第三族特征线(dxdt )s =uds =0 从公式可以看出,气体的流速和热力学参数的扰动沿着第第二族特征线以音速传播;熵的扰动沿着第三族特征线传播,而第三族特征线就是流体质点的运动轨迹,这就表明,对于某一个流体质点而言,在运动过程中熵值保持不变;在均熵条件下,st =0,sx =0,因而,在全流场的任何时刻都有ds =0;因此第三族特征线已经失去意义,第一族和第二族特征线简化为：第一族特征线(dxdt )1=u +adu +2γ−1da =0第二族特征线(dxdt )2=u −adu −2γ−1da =0此时特征线相容关系可以直接积分u +2γ−1a =K 1u −2γ−1a =K 2式中K 1和K 2称为黎曼不变量;(dxdt )1和(dxdt )2代表x ,t 平面上的两族特征线,称为物理平面上的特征线,见图1-3a ；K 1和K 2在u ,a 平面上构成两族特征线,称为状态平面特征线,见图1-3b;在x ,t 平面上,第一族特征线中的每一根,对应于一个确定的K 1值,第二族特征线中的每一根对应于一个确定的K 2值;物理平面特征线表达了小扰动波的位置随时间的变化关系,也就是小扰动波波阵面的运动迹线;其中,第一族特征线对应于右行波,第二族特征线对应于左行波;不过,此时的u ,a在不同的位置x 和时同的,可以应用节点法求解流场中气流的速度和音速; 根据K 1和K 2是否为绝维非定常均熵流动分为三类：第一类：K 1和K 2均为绝对常数K 10和K 20,此时u 和a 均为常数;第二类：K 1和K 2中有一个为绝对常数,称为简单波流动,这是流场中只有单向传播的波;第三类：K 1和K 2均不是绝对常数,称为双波流;在流场中既有左行波,也有右行波;三、 简单波假定黎曼不变量之一K 2在整个波区为绝对常数K 20,可以得到u =K 1+K 202a =γ−14(K 1−K 20)由于沿着第一族特征线,K 1保持不变,可知沿着第一族特征线流u 和a 等均为常数;dx dt=u +a =常数由此可以断定,第一族特征线一定是直线,沿着这一族特征线的根,流动参量保持不变,整个简单波流场只需用u ,a 平面上的一根特征线表示;1. 简单波的产生和分类简单波是由无穷多道小扰动波迭加而成的;在图1-5所示的一根两端敞开的无限长管中,活塞在静止气体中向右持续加速;活塞右边不断产生小扰动压缩波,当无穷多道压缩波通过后,波后气体压力、音速和质点速度便增加一个有限量;对于右行简单压缩波而言,由于小扰动压缩波连续通过时,后面压缩波的传播速度一定比前面的块,因而波面迹线第一族特征线为一族收敛的直线;同时,在活塞左边,连疏波,波面迹线第二族特征线为一族发散的直线;图1-5中各画出了四道小扰动压缩波和稀疏波的产生过程,其中1-4是一段曲线,表示活塞的加速过程,4点以后为直线,表示活塞作匀速运动,没有非定常波产生;简单波大致可分为四类：右行稀疏波,右行压缩波,左行稀疏波和左行压缩波;2. 简单波的基本关系跨过简单波波面迹线时气体参数之间的关系如下： 对于右行波x =(u +a )t +f(u)u −2γ−1a =K 20对于左行波x =(u −a )t +f(u) u +2γ−1a =K 10f(u)是速度的任意函数;若已知简单波波前气流参数u 1和a 1,求波后参数时,由K 10或K 20为常数可得u 2γ−1a =u 12γ−1a 1整理后得到a a 1=1±γ−12(u−u 1a 1)如果波前气体是静止的,u 1=0,则有a a 1=1±γ−12u a 1“+”号表示右行波,“−”号表示左行波;对于波后气流的温度、压力和密度变化,利用等熵关系得T T 1=(aa 1)2p p 1=(aa 1)2γγ−1 ρρ1=(aa 1)2γ−1四、 中心稀疏波在一维非定常简单波中,有一种比较特殊的情况,就是所谓“中心稀疏波”;它的一个重要特点是流场中的速度u 和音速a 等参数不是单独地依赖于x 和t ,而是依赖于它们的组合参数x/t ,这种运动通常称为“一维自模拟运动”;1. 中心稀疏波的产生假定活塞由静止突然向右加速至某一均匀速度,那么,在图中,活塞迹线1-4的长度便缩短为零,即图1-6;由图可见,由于活塞突然加速,在x ,t 图的坐标原点发出的所有压缩波汇聚成一道运动激波,向右传播;在活塞左边,同样由坐标原点发出一束左行稀疏波,把它称为中心稀疏波;波头与波尾之间的区域称为中心稀疏波区,波尾与活塞之间的区域属于均匀区,在该区中气流通过中心稀疏波区以后,被等熵地加速到等于活塞的速度；可以是亚音速的,等音速的,也可以是超音速的,究竟属于哪一种情况,完全由; 若要求通过稀疏波以等于音速u=a ,所需活塞的速度大小由方程2-15在波头和波尾之间积分来确定,即du =−2γ−1da ∫du u u 1=−2γ−1∫da aa 1所以U p =u =2γ+1a 1当活塞速度U p >2γ+1a 1时,波后气流将被加速到超音速,但是由于极限速度的存在,波后气流速度最大只能被加速到u max =2γ−1a 1逃逸速度;使波后气流速度达到逃逸速度的稀疏波称为“完全膨胀的稀疏波”; 2. 中心稀疏波的基本关系式中心稀疏波是简单波的一种特殊形式,因此,只要令简单波关系式中的任意函数f (u )=0,即可得到中心稀疏波的相应关系式; 对于右行波x =(u +a )tu −2γ−1a =K 20对于左行波x =(u −a )t +f(u)u +2γ−1a =K 10以左行中心稀疏波为例,可以直接解出u 和a 的表达式;u =2γ+1(xt +a 1) a =2γ+1a 1−γ−1γ+1xt由上述公式可见,u 和a 仅是x/t 的函数;根据中心系数波得基本关系式,可以确定整个波区的范围;波头前面气体u1=0,波尾通过以后,气体速度等于活塞速度,代入公式4-8,得到−a1≤xt ≤γ+12U p−a13.通过中心稀疏波时气体质点的加速度气体质点通过左行稀疏波时的速度由4-8确定; 加速度可表示为b=dudt =ut+u ux结合公式4-9,可得b=2a(γ+1)t。

定常流动流体（气体、液体）流动时，若流体中任何一点的压力，速度和密度等物理量都不随时间变化，则这种流动就称为定常流动；反之，只要压力，速度和密度中任意一个物理量随时间而变化，液体就是作非定常流动或者说液体作时变流动。

所以，定常流动时，管中流体每单位时间流过的体积(体积流量)qV为常量，流体每单位体积的质量(密度)ρ也是常量。

非定常流动流体的流动状态随时间改变的流动。

若流动状态不随时间而变化，则为定常流动。

流体通常的流动几乎都是非定常的。

分类按流动随时间变化的速率，非定常流动可分为三类：①流场变化速率极慢的流动：流场中任意一点的平均速度随时间逐渐增加或减小，在这种情况下可以忽略加速度效应，这种流动又称为准定常流动。

水库的排灌过程就属于准定常流动。

可认为准定常流动在每一瞬间都服从定常流动的方程，时间效应只是以参量形式表现出来。

②流场变化速率很快的流动：在这种情况下须考虑加速度效应。

活塞式水泵或真空泵所造成的流动，飞行器和船舶操纵问题中所考虑的流动都属这一类。

这类流动和定常流动有本质上的差别。

例如，用伯努利方程（见伯努利定理）描述这类流动，就须增加一个与加速度有关的项，成为：,式中为理想流体沿流线的速度分布；A和B表示同一流线上的两个点;P 为压强;为密度；g为重力加速度；z为重力方向上的坐标；ds为流线上的长度元。

③流场变化速率极快的流动：在这种情况下流体的弹性力显得十分重要，例如瞬间关闭水管的阀门。

阀门突然关闭时，整个流场中流体不可能立即完全静止下来，速度和压强的变化以压力波（或激波）的形式从阀门向上游传播，产生很大的振动和声响，即所谓水击现象。

这种现象不仅发生在水流中，也发生在其他任何流体中。

在空气中的核爆炸也会发生类似现象。

除上述三类流动外，某些状态反复出现的流动也被认为是一种非定常流动。

典型的例子是流场各点的平均速度和压强随时间作周期性波动的流动，即所谓脉动流，这种流动存在于汽轮机、活塞泵和压气机的进出口管道中。

1、流体:在静力平衡时,不能承受拉力或剪力的物体。

2、连续介质:由无穷多个、无穷小的、紧密毗邻、连绵不断的流体质点所组成的一种绝无间隙的连续介质。

3、流体的黏性:流体运动时,其内部质点沿接触面相对运动,产生的内摩擦力以阻抗流体变形的性质。

4、流体的压缩性:温度一定时,流体的体积随压强的增加而缩小的特性。

5、流体的膨胀性:压强一定时,流体的体积随温度的升高而增大的特性。

6、不可压缩流体:将流体的压缩系数和膨胀系数都看做零,称作不可压缩流体。

/密度等于常数的流体,称作不可压缩流体。

7、可压缩流体:流体的压缩系数和膨胀系数不等于零,称作可压缩流体。

/密度不等于常数的流体,称作可压缩流体。

8、质量力:指与流体微团质量大小有关并且集中作用在微团质量中心上的力。

9、表面力:指与流体表面积有关且分布作用在流体表面上的力。

10、等压面:流体中压强相等的各点所组成的平面或曲面叫做等压面。

11、绝对压强:以绝对真空或完全真空为基准计算的压强称绝对压强。

12、相对压强:以大气压强为基准计算的压强称相对压强。

13、真空度:如果某点的压强小于大气压强时,说明该点有真空存在,该点压强小于大气压强的数值称真空度。

14、迹线:指流体质点的运动轨迹,它表示了流体质点在一段时间内的运动情况。

15、流线:指流体流速场内反映瞬时流速方向的曲线,在同一时刻处在流线上所有各点的流体质点的流速方向与该点的切线方向重合。

16、定常流动:如果流体质点的运动要素只是坐标的函数而与时间无关,这种流动称为定常流动。

17、非定常流动:如果流体质点的运动要素,既是坐标的函数又是时间的函数,这种流动称为非定常流动。

18、流面:通过不处于同一流线上的线段的各点作出的流线,则可形成由流线组成的一个面称为流面。

19、流管:通过流场中不在同一流面上的某一封闭曲线上的各点做流线,则形成由流线所组成的管状表面,称为流管。

20、微元流束:充满于微小流管中的流体称为微元流束。

定常流动流体（气体、液体）流动时，若流体中任何‎一点的压力，速度和密度等‎物理量都不随‎时间变化，则这种流动就‎称为定常流动‎；反之，只要压力，速度和密度中‎任意一个物理‎量随时间而变‎化，液体就是作非‎定常流动或者‎说液体作时变‎流动。

所以，定常流动时，管中流体每单‎位时间流过的‎体积(体积流量)qV为常量，流体每单位体‎积的质量(密度)ρ也是常量。

非定常流动流体的流动状‎态随时间改变‎的流动。

若流动状态不‎随时间而变化‎，则为定常流动‎。

流体通常的流‎动几乎都是非‎定常的。

分类按流动随时间‎变化的速率，非定常流动可‎分为三类：①流场变化速率‎极慢的流动：流场中任意一‎点的平均速度‎随时间逐渐增‎加或减小，在这种情况下‎可以忽略加速‎度效应，这种流动又称‎为准定常流动‎。

水库的排灌过‎程就属于准定‎常流动。

可认为准定常‎流动在每一瞬‎间都服从定常‎流动的方程，时间效应只是‎以参量形式表‎现出来。

②流场变化速率‎很快的流动：在这种情况下‎须考虑加速度‎效应。

活塞式水泵或‎真空泵所造成‎的流动，飞行器和船舶‎操纵问题中所‎考虑的流动都‎属这一类。

这类流动和定‎常流动有本质‎上的差别。

例如，用伯努利方程‎（见伯努利定理‎）描述这类流动‎，就须增加一个‎与加速度有关‎的项，成为：,式中为理想流‎体沿流线的速‎度分布；A和B表示同‎一流线上的两‎个点;P 为压强;为密度；g为重力加速‎度；z为重力方向‎上的坐标；ds为流线上‎的长度元。

③流场变化速率‎极快的流动：在这种情况下‎流体的弹性力‎显得十分重要‎，例如瞬间关闭‎水管的阀门。

阀门突然关闭‎时，整个流场中流‎体不可能立即‎完全静止下来‎，速度和压强的‎变化以压力波‎（或激波）的形式从阀门‎向上游传播，产生很大的振‎动和声响，即所谓水击现‎象。

这种现象不仅‎发生在水流中‎，也发生在其他‎任何流体中。

在空气中的核‎爆炸也会发生‎类似现象。

除上述三类流‎动外，某些状态反复‎出现的流动也‎被认为是一种‎非定常流动。

流体力学中不可忽略的可压缩性在流体力学中，可压缩性是一个不可忽略的因素。

可压缩性是指在流体运动过程中，流体的密度不是固定不变的，而是会随着流体的运动产生变化。

在许多实际问题中，流体被压缩导致的密度变化是非常明显的，因此在研究流体力学问题时，必须考虑流体的可压缩性。

可压缩流体力学是研究可压缩流体运动的一个分支。

与不可压缩流体力学不同，可压缩流体力学需要考虑流体的密度变化，并且流体的压力与密度之间的关系也变得更加复杂。

在可压缩流体力学中，为了描述流体的运动，需要引入一维、二维或三维的定常或非定常的方程组来描述流体的运动。

这些方程组通常包括连续方程、动量方程和能量方程等。

在理论方面，可压缩流体力学研究了空气动力学、燃烧和爆炸等各种问题。

在空气动力学中，流体的可压缩性是由于流体分子间的碰撞以及流体分子速度的变化导致的。

这种可压缩性使得气体在高速流动时，会形成激波、脱离面和压力波等现象。

在燃烧和爆炸中，可压缩性是由于燃料和氧气的爆炸反应导致的温度和压力的剧烈变化。

在工程应用方面，可压缩流体力学的研究对于设计和优化各种工程设备和系统具有重要的意义。

比如，在飞行器设计中，考虑到流体的可压缩性可以更准确地预测飞行器在高速飞行中的气动性能。

在燃气轮机中，可压缩流体力学的研究有助于优化燃烧室和涡轮部分的设计，提高燃气轮机的效率。

在超声速飞行器研究中，可压缩流体力学的理论和数值模拟研究可以帮助我们理解和解决高超声速飞行中的气动热力学问题。

为了研究可压缩流体的运动，我们需要做出一些假设和适当的简化。

一般情况下，我们可以假设流体是连续的，不可压缩的，粘性的，以及服从某种特定的状态方程。

然后，通过求解定常或非定常的连续方程、动量方程和能量方程等，可以得到流体的速度、压力、密度和温度等之间的关系。

不过需要注意的是，在可压缩流体力学中，流体的压力和密度之间的关系并不简单，而是通过热力学的状态方程来描述的。

最后，值得一提的是，可压缩性对流体流动的影响是非常复杂且重要的。

工程流体力学中可压缩流动的非定常模拟与分析1. 引言工程流体力学中的流动问题往往涉及到可压缩流动，在某些情况下需要进行非定常模拟与分析。

可压缩流动是指流体在流动过程中密度发生明显变化的流动现象。

非定常模拟与分析是指在时间和空间上流动参数发生变化的情况下进行流动问题的模拟和分析。

2. 可压缩流动的基本方程可压缩流动的基本方程是可压缩流体力学方程组，包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程。

这些方程需要根据非定常条件进行求解，在求解过程中需要考虑流动参数的变化和非定常性的影响。

3. 非定常模拟的方法非定常模拟可以采用数值模拟的方法进行，包括有限差分法、有限元法和有限体积法等。

这些方法可以基于空间和时间的离散化对非定常流动进行数值求解，得到流场的分布情况。

在非定常模拟中，还可以采用无网格方法，如粒子法和拉格朗日方法等。

4. 数值算例分析在工程实际中，可压缩流动的非定常模拟和分析通常涉及到具体的问题。

例如，飞行器机翼的气动特性分析、燃烧室内的燃烧过程模拟等。

这些问题需要通过数值算例进行模拟和分析，以得到流动参数的变化规律和相应的流动效应。

5. 应用与展望可压缩流动的非定常模拟与分析在工程实际中具有广泛的应用价值。

它可以帮助工程师和科研人员更好地理解和预测流体力学问题。

未来，随着计算能力的提高和数值方法的发展，可压缩流动的非定常模拟与分析将进一步拓展应用范围，并为工程实践提供更准确的流动模拟和分析结果。

6. 结论工程流体力学中可压缩流动的非定常模拟与分析是一个重要的研究领域。

通过对可压缩流动基本方程的求解和非定常模拟的数值方法的应用，可以得到流动参数的变化规律和相应的流动效应。

这有助于工程实践中对流体力学问题的理解和预测，为工程设计和科学研究提供有效的支持。

未来，可压缩流动的非定常模拟与分析将进一步发展，并在工程实践中发挥更大的作用。

流体力学-笔记参考书籍：《全美经典-流体动力学》《流体力学》张兆顺、崔桂香《流体力学》吴望一《一维不定常流》《流体力学》课件清华大学王亮主讲目录：第一章绪论第二章流体静力学第三章流体运动的数学模型第四章量纲分析和相似性第五章粘性流体和边界层流动第六章不可压缩势流第七章一维可压缩流动第八章二维可压缩流动气体动力学第九章不可压缩湍流流动第十章高超声速边界层流动第十一章磁流体动力学第十二章非牛顿流体第十三章波动和稳定性第一章绪论1、牛顿流体：剪应力和速度梯度之间的关系式称为牛顿关系式，遵守牛顿关系式的流体是牛顿流体。

2、理想流体：无粘流体，流体切应力为零，并且没有湍流？。

此时，流体内部没有内摩擦，也就没有内耗散和损失。

层流：纯粘性流体，流体分层，流速比较小；湍流：随着流速增加，流线摆动，称过渡流，流速再增加，出现漩涡，混合。

因为流速增加导致层流出现不稳定性。

定常流：在空间的任何点，流动中的速度分量和热力学参量都不随时间改变，3、欧拉描述：空间点的坐标；拉格朗日：质点的坐标；4、流体的粘性引起剪切力，进而导致耗散。

5、无黏流体—无摩擦—流动不分离—无尾迹。

6、流体的特性：连续性、易流动性、压缩性 不可压缩流体：0D Dtρ= const ρ=是针对流体中的同一质点在不同时刻保持不变，即不可压缩流体的密度在任何时刻都保持不变。

是一个过程方程。

7、流体的几种线流线：是速度场的向量线，是指在欧拉速度场的描述； 同一时刻、不同质点连接起来的速度场向量线；(),0dr U x t dr U ⇒⨯=r rP迹线：流体质点的运动轨迹，是流体质点运动的几何描述； 同一质点在不同时刻的位移曲线；涡线：涡量场的向量线，(),,0U dr x t dr ωωω=∇⨯⇒⨯=r r r rr r P涡线的切线和当地的涡量或准刚体角速度重合，所以，涡线是流体微团准刚体转动方向的连线，形象的说：涡线像一根柔性轴把微团穿在一起。

第二章 流体静力学1、压强：0limA F dFp A dA ∆→∆==∆静止流场中一点的应力状态只有压力。

可压缩准一维无粘管道流动摘 要 本题利用一维欧拉方程求解可压缩一维无粘管道流动，并针对出口不同的条件，出口亚音速和出口超音速两种不同条件，将流道进行网格划分，利用MacCormack 进行差分求解，得到管道的总压、马赫数、总焓、能的分布，并给出计算过程中残差收敛的过程。

关键词 准一维；欧拉方程；MacCormack1 问题提出如Figure 1所示，流动为流经变截面流道、理想、不可压、定常、平面的流动。

设进出口截面速度均匀分布。

来流条件为 1.5M ∞=，31.2218/kg m ρ∞=，47892.4p Pa ∞=。

计算出口超音速和亚音速(119/out u m s =)时，这个准一维流动的压强和马赫数分布，并给出残差收敛过程。

Figure 1准一维管道示意图本题的分析思路：首先，建立数学模型，之后运用边界条件定解。

接下来将模型问题转化为数值求解问题，通过网格划分、差分离散，并运用matlab 编程进行求解。

2 模型建立选定控制体，根据积分型方程导出该一维流动的欧拉方程。

控制体如Figure 1中红框所示，得到连续性、动量和能量方程如(1)、(2)和(3)()()0A dx uA dx t x ρρ∂∂+=∂∂⎰⎰(1) 2()()uA dx u A dx pAdx t x ρρ∂∂+=-∇∂∂⎰⎰⎰ (2) ()()()d EA dx EuA dx puA dx t x dx ρρ∂∂+=-∂∂⎰⎰⎰(3)控制体以上方程对于任意控制体均成立，因此可得到如下微分方程，即一维可压缩无粘流动的欧拉方程紧凑形式(4) t x∂∂+=∂∂Q FS (4)式中，20,,0dA A u A u p p dx E Hu ρρρρρρ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦Q F S (5)其中 1.3980.347tanh(0.8 4.0)A x =+-。

对于此处的欧拉方程，有三个方程组，但是未知量分别为,,,,p u H E ρ共5个，因此为了方程组的封闭需要补充两个方程。

液体动力学基本概念一、液体运动的基本概念1、理想液体：既无粘性又不可压缩的液体称为理想液体。

2、定常流动：液体流动时，若液体中任何一点的压力、速度和密度都不随时间而变化，则这种流动就称为定常流动。

否则，只要压力、速度和密度有一个量随时间变化，则这种流动就称为非定常流动。

3、一维流动：当液体整个作线形流动时，称为一维流动。

4、迹线、流线、流束和通流截面迹线：流动液体的某一质点在某一时间间隔内在空间的运动轨迹。

流线：表示某一瞬时，液流中各处质点运动状态的一条条曲线。

在此瞬时，流线上各质点速度方向与该线相切。

在定常流动时，流线不随时间而变化，这样流线就与迹线重合。

由于流动液体中任一质点在其一瞬时只能有一个速度，所以流线之间不可能相交，也不可能突然转折。

流束：在一条的流动空间中任意画一不属流线的封闭曲线，沿经过此封闭曲线上的每一点作流线，由这些流线组合的表面称为流管。

流管内的流线群称为流束。

通流截面：流束中与所有流线正交的截面称为通流截面。

截面上每点处的流动速度都垂直于这个面。

平行流动：流线彼此平行的流动。

缓变流动：流线夹角很小或流线曲率半径很大的流动。

平行流动和缓变流动都可算是一维流动。

5、流量和平均流速单位时间内通过某通流截面的液体的体积称为流量。

平均流速：v＝q/A6、流动液体的压力静止液体内任意点处的压力在各个方向上都是相等的，可是在流动液体内，由于惯性力和粘性力的影响，任意点处在各个方向上的压力并不相等，但数值相差甚微。

当惯性力很小，且把液体当作理想液体时，流动液体内任意点处的压力在各个方向上的数值可以看作是相等的。