FINE非定常计算理论及应用

henry burchard fine范式大代数Henry Burchard Fine（1858-1928）是一位美国的数学家，也是教育家。

他生于1858年4月14日，在美国密歇根州的布兰普顿出生，然后在底特律长大。

Fine的数学才能在他上学时就已经显现出来，他在追求学业的过程中取得了很大的成就。

他在数学领域的贡献主要集中在范式大代数，这个领域在当时还没有被广泛研究和应用。

范式大代数是数学中一个重要的分支，它主要关注代数结构和其在数学领域的应用。

Fine对这个领域进行了深入研究，并发表了很多重要的论文。

他的研究非常系统地整理了大量范式大代数的知识，并对这个领域做出了很多重要的贡献。

Fine的主要研究方向包括群论、模论和环论等。

在他的研究中，他提出了一些重要的概念和定理，为范式大代数的发展做出了重要贡献。

他的研究成果被广泛应用在数学和其他学科中，对学术界产生了深远的影响。

除了在数学领域的研究外，Fine还致力于教育事业。

他担任过密歇根大学的数学系主任，并在该校建立了一支很强的数学教育团队。

他注重培养学生对数学的兴趣和热爱，并对数学教育有着独特的见解。

他的教学方法非常受学生欢迎，并对很多学生产生了深远的影响。

Fine在他的一生中还担任过美国数学协会的主席，为该协会的发展做出了重要贡献。

他还参与了一些国际数学会议，并积极推动国际合作和交流。

他是国际数学界的重要人物，被广泛尊重和赞誉。

Fine在建立了自己的学术声誉之后，开始关注社会责任和乐善好施的行为。

他积极支持慈善事业，并为一些贫困困扰的学生提供经济支持。

他对社会的贡献也值得我们纪念和赞扬。

Henry Burchard Fine在1928年逝世，但他对数学和教育领域的贡献将永远被纪念和赞赏。

他的研究成果和教学方法对数学教育产生了深远影响，为范式大代数奠定了坚实的基础。

他的工作不仅在学术界有所成就，同时也为社会作出了宝贵的贡献。

让我们永远怀念Henry Burchard Fine，他是一个杰出的数学家和伟大的教育家。

空气动力学中的非定常流动数值模拟研究空气动力学是研究物体在空气中运动的力学学科，非定常流动数值模拟是其中非常重要的研究领域之一。

在过去的几十年里，非定常流动数值模拟已经成为了空气动力学研究的重要手段之一，对于许多行业和领域都具有重要的应用价值。

一、非定常流动数值模拟的意义和价值非定常流动是指在空气动力学中存在着时间上不稳定、空间上不均匀的气流现象。

这些气流现象通常包括了飞行器、汽车、船舶等物体运动中产生的涡旋、尾流等气流现象。

非定常流动数值模拟是一种通过数值模拟方法来研究这些气流现象的研究手段。

它可以帮助研究者了解非定常流动产生的机制和规律，进而对于减小气流阻力、提高效率、改进气动设计等方面具有重要的应用价值。

二、数值模拟的方法和技术在非定常流动数值模拟研究中，有许多数值模拟的方法和技术可供选择。

一般而言，这些方法和技术可以分为三类：欧拉方法、拉格朗日方法和欧拉-拉格朗日混合方法。

欧拉方法是以空气粒子在运动过程中所受到的作用力来计算空气流场的运动状态，它适用于基本上没有物体与空气之间的相互作用的流动。

拉格朗日方法则是用来研究物体运动时所产生的流动现象，例如在飞行器飞行时产生的尾流。

欧拉-拉格朗日混合方法则是将欧拉方法和拉格朗日方法相结合，既可以对欧拉方法适用的流动进行数值模拟，又可以对拉格朗日方法适用的流动进行数值模拟。

在非定常流动数值模拟的研究中，还会用到诸如贪吃蛇法、分叉皮带法、埃拉纳法等一系列基于无网格的数值模拟方法和技术。

这些方法和技术更具有灵活性和适用性，能够更加准确地描述非定常流动。

三、数值模拟在气象、航空航天等领域的应用非定常流动数值模拟在许多领域都具有广泛的应用，特别是在气象、航空航天等领域。

在气象研究中，非定常流动数值模拟可以帮助研究者更好地预测气象条件，从而为天气预报提供更加准确的数据。

在航空航天领域，非定常流动数值模拟不仅可以用来优化飞行器的设计，还可以帮助研究者了解飞机在高空飞行时遇到的各种气流现象，从而增强飞行安全。

非线性科学的理论和应用随着科技的发展，我们的生活已经离不开科学技术。

在这样的背景下，科学的进步离不开一些不断更新的理论和技术。

其中，非线性科学就是近年来发展迅猛的一个领域。

非线性科学的理论已经具备了严密的数学基础，而非线性科学的应用则正在各个领域得到广泛的应用。

一、非线性科学的概念和发展那么什么是非线性科学呢？简单来说，非线性科学就是探寻非线性系统的行为规律的科学。

非线性系统指的是系统因为受到内部和外部环境的影响而发生的复杂和难以预测的变化。

相比于线性系统（例如物理中的简谐振动），非线性系统具有更加复杂的行为规律，而且对于外界的扰动也更加敏感。

非线性科学迅猛的发展可以追溯到上世纪70年代，当时数学家Lorenz提出了“蝴蝶效应”的概念，他发现一个小小的扰动，可能会对整个系统作出巨大的影响。

这个发现震惊了当时的科学界，因为它打破了科学家们很久以来对系统行为的看法。

随后，为了更好地理解和描述非线性系统的行为，非线性动力学理论逐渐得到建立。

这个理论是通过数学方法来分析非线性系统的动态行为，而非线性动力学理论最基本的概念就是混沌。

所谓混沌，指的是非线性系统由于其本身复杂的行为规律，使得它的行为在长时间内表现出不可预测性。

这个概念不仅仅在科学研究中得到广泛应用，而且在其他领域也被广泛使用，例如经济学、社会学以及环境保护等等。

二、非线性科学的应用非线性科学的理论不仅仅具有科学上的意义，而且在现实生活中得到了广泛的应用。

下面我就以一些典型的例子来说明。

1. 混沌密码学混沌密码学是非线性科学在信息学领域的一个经典应用。

它利用非线性系统混沌的复杂性，将传输的信息更好地保护起来。

混沌密码学的基本原理是根据混沌系统的初始状态，生成一个序列，然后把这个序列作为密钥进行加密解密。

由于混沌系统对于初值非常敏感，因此这个密钥是非常难以伪造的。

2. 脑科学人类的大脑是一个非常复杂的系统，而非线性科学的研究方法可以更好地理解脑科学中的许多问题。

气动力学研究中的非定常问题分析与计算方法研究气动力学是研究物体在气流中运动时所产生的各种力和运动规律的学科。

研究对象包括飞行器、导弹、火箭、汽车等。

气动力学的发展在军事、航空、航天、汽车等领域具有重要的应用价值。

在气动力学研究中，非定常问题分析与计算方法研究是重要的研究方向。

一、非定常问题的定义非定常问题是指在气体流动过程中，流场参数随时间变化的问题。

对于这类问题，需要采用有关的计算方法和分析技术。

二、非定常问题的研究现状非定常问题的研究是气动力学领域的热点之一，现有研究成果较多，包括计算方法和分析技术等方面。

研究成果广泛应用于实际项目，提高了相关领域的技术水平。

1、计算方法非定常问题的计算方法主要有数值方法和解析方法两种。

数值方法主要包括有限差分法、有限元法、谱方法、蒙特卡罗方法等。

解析方法主要是基于数学推算，采用解析技巧求解非定常问题。

这些计算方法在不同领域的气动力学问题中得到广泛应用。

2、分析技术非定常问题的分析技术主要包括实验研究和理论分析两种方法。

实验方法主要是通过模型试验和现场试验来获取相关数据，并分析数据来研究非定常问题。

理论分析方法主要是通过推理和数学分析方法研究非定常问题的规律和特性。

三、计算方法的主要研究内容非定常问题的计算方法是研究非定常问题的重要手段。

近年来，国内外学者对计算方法进行了深入研究，主要内容包括以下方面：1、非定常流动的模拟和仿真计算方法是非定常问题研究的重要手段，其中，非定常流动的模拟和仿真是目前的研究热点。

国内外学者通过数值计算和实验研究等手段，对非定常流动规律进行了深入探究，取得了一些重要成果。

2、非定常流动的数值模拟在非定常问题的数值模拟研究中，数值方法是实现非定常流动模拟的重要手段。

近年来，学者们对数值方法进行了深入研究，如有限体积法、有限元法、伴随法等方法等，这些方法在实践中得到了广泛应用，为非定常问题研究提供了重要支撑。

3、非定常问题的策略和技术非定常问题是一个复杂的问题，需要采用多种策略和技术实现研究。

非线性动力学的基本原理和应用实例非线性动力学，又称为混沌理论，是一门研究复杂系统行为的学科。

它研究的领域包括物理学、化学、生物学、社会学等多个领域。

本文将介绍非线性动力学的基本原理和应用实例。

一、非线性动力学的基本原理非线性动力学研究的是具有非线性行为的系统。

所谓非线性行为，指的是系统对初始条件的微小变化极其敏感，这种敏感性在系统中表现为不可预测性和不规则性。

一个非线性系统可以用微分方程的形式表示。

因此，非线性动力学的基本原理是微分方程的求解。

非线性系统的微分方程通常较为复杂，无法通过解析方法求解。

因此，在非线性动力学中，常常使用数值计算方法来模拟系统的行为。

另一个非线性动力学的基本原理是混沌理论。

混沌理论表明，在一些非线性系统中，微小的扰动可以引起系统行为的剧烈变化。

这是由于在非线性系统中，不同的初值条件会引起系统的行为非常不同。

这种不确定性被称为“混沌”。

二、非线性动力学的应用实例1. 布朗运动布朗运动是指在液体中漂浮的物质在水分子的撞击下不断做无规则的运动。

这个过程可以用随机游走模型来描述，也可以用布朗粒子模型来描述。

布朗粒子模型是一个非线性系统，在模拟过程中需要使用非线性动力学的方法。

布朗运动在化学动力学、生物化学、统计物理学等领域有广泛应用。

2. 汇流问题汇流问题是指在不同流域中通过河道流动的水汇合到同一个点的问题。

这个问题可以用非线性水力模型来描述。

非线性水力模型是一个非线性系统，在模拟过程中需要使用非线性动力学的方法。

汇流问题在水文学和水资源管理等领域有广泛应用。

3. 神经网络神经网络是一种模拟大脑神经元之间相互作用的数学模型。

神经网络可以看作是一个非线性系统，因为神经元之间的连接是多样的、强弱不一的。

用非线性动力学的方法可以对神经网络模型进行仿真和分析。

神经网络在人工智能、模式识别等领域有广泛应用。

4. 生态系统生态系统是指生物体之间以及生物体与周围环境之间相互作用形成的系统。

生态系统通常是非线性的，因为生物体之间的相互作用和生物体与环境之间的相互作用都是非线性的。

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www.nu umecaumeca -b beijing.co omwww.nu umecaumeca -b beijing.co omNUMECA及其CFD软件简介NUMECA国际公司NUMECA国际公司创建于1992年，总部位于比利 时布鲁塞尔，主要致力于研发旋转机械内流CFD软件。

在中国 美国 德国 法国 巴西 西班牙 印度 在中国、美国、德国、法国、巴西、西班牙、印度、 日本、韩国设有分公司或办事处。

公司总裁Charles HIRSCH教授（比利时皇家科学 院院士）为国际旋转机械行业著名学者，曾多次来中 国讲学，在业界享有盛誉。

公司现有 讲 在 享有盛誉 有 50余名博士负责 余名博 负责 软件的研发，大部分人员皆从事汽轮机、发动机、压 气机 风机等旋转机械方面的数值分析和优化设计研 气机、风机等旋转机械方面的数值分析和优化设计研 究，具有雄厚的旋转机械专业背景。

时域有限积分法fit时域有限积分法（Finite Integration Technique，FIT）是一种数值电磁方法，用于求解电磁场问题。

它通过将Maxwell方程组进行离散化，将电磁场问题转化为求解一系列离散的积分方程，从而实现了对电磁场的数值求解。

FIT的基本原理是将电磁场问题分为两个步骤：离散化和迭代求解。

首先，将计算区域划分为一系列的网格单元，每个网格单元内部的电磁场被近似为常数。

然后，根据Maxwell方程组，将电磁场的分布转化为电场、磁场的积分等式。

这些积分等式可以通过对网格单元上的电磁场进行积分得到。

在迭代求解的过程中，FIT通过求解电场、磁场的积分等式，得到更新后的电磁场分布。

然后将更新后的电磁场分布代入到积分等式中，再次求解得到更准确的电磁场分布。

迭代求解的过程将不断重复，直到达到预设的收敛条件。

与其他数值电磁方法相比，FIT具有以下优势：首先，FIT适用于各种不规则形状和复杂介质分布的计算区域。

其次，FIT能够很好地处理高频和宽频段的电磁场问题，因为它不需要离散的网格节点与波长成比例。

此外，FIT还可以很好地处理边界条件，如吸收边界条件和散射边界条件。

FIT在电磁场计算中得到了广泛应用，特别是在微波、射频和光子学领域。

通过FIT，我们可以研究电磁场在介质中的传播、反射和散射行为，设计和优化天线、波导、光纤等电磁器件，以及解决电磁兼容性和电磁辐射等问题。

总之，FIT是一种有效的数值电磁方法，可以用于求解各种复杂的电磁场问题。

它通过将Maxwell方程组离散化，并通过迭代求解电场、磁场的积分等式，实现了对电磁场的数值求解。

FIT在电磁场计算和电磁器件设计中具有广泛的应用前景。

FINE非定常计算理论及应用
非定常流动问题在现实世界中广泛存在，例如飞机的起飞和着陆、汽车的行驶和刹车以及气动力装置的开关等。

这些问题通常涉及到时间上的变化，因此需要对流体流动进行非定常计算以获得更加准确的结果。

在非定常计算理论中，最常用的方法之一是时域方法。

该方法利用时间上的连续性方程和动量方程来模拟流体流动的变化。

时域方法能够精确地描述流动特性的变化过程，但计算量相对较大，需要消耗大量的计算资源。

另一种常用的非定常计算方法是频域方法。

该方法利用频域上的连续性方程和动量方程对流动进行模拟。

频域方法相对于时域方法来说计算量较小，但在处理流动的变化过程时可能存在一定的误差。

非定常计算理论的应用非常广泛。

首先，它在航空航天领域具有重要意义。

通过非定常计算，可以研究飞机在起飞和着陆时的气动力特性，以及导弹在高速飞行时的空气动力学特性，从而为设计和改进飞行器提供参考。

其次，非定常计算在汽车行业中也具有重要应用。

通过对汽车的非定常流动进行计算，可以分析汽车的气动力特性，从而优化车型设计，减少气动阻力，提高燃油利用率。

此外，非定常计算还在船舶工程、能源领域和建筑设计等领域中得到广泛应用。

通过对非定常流动的计算，可以研究水下船体的阻力特性，优化能源设备的设计，以及改进建筑物的通风和隔热设计。

总之，非定常计算理论及应用在现代科学技术中发挥着重要作用。

通过对非定常流动的模拟和计算，可以更加准确地预测和分析流体流动的变化过程，为相关工程的设计和优化提供科学依据。

关于定常（稳态）⾮定常（⾮稳态）模型的选择
1.根据物理模型和时间是否有关，选择定常/⾮定常
这个基本没有什么问题。

虽然所有的模型都和时间有关，但是根据问题的关注点和研究对象，还是很容易区分的。

⽐如，⼀直在变化的模型肯定要⽤⾮定常，或者关注的是达到某⼀⽬标值所需要的时间也要⽤⾮定常。

2.⾮定常⼜包括：
显式不定常/隐式不定常（根据时间尺度选择）
谐波平衡
piso⾮稳态
1）如果是分离流或分离流能量模型，只能选择隐式不定常
2）如果是耦合流，再根据时间尺度选择显式不定常/隐式不定常
3）⽽显式不定常，只能⽤在耦合能量模型（⼀般⽤在⾮粘性流体或层流粘性流体）。

非定常盘旋计算公式非定常盘旋是指在飞行器设计中常用的运动状态之一，也被称为条纹状螺旋翼运动。

它是指螺旋桨、涡轮和风扇等旋转设备在运动过程中速度和旋转半径发生变化的一种状态。

非定常盘旋是飞行器在一定条件下的一种特殊飞行状态，包括非定常盘旋运动的定义、非定常盘旋的观测、非定常盘旋运动的理论公式等方面的内容。

非定常盘旋是指飞行器在垂直平面内有一个或多个系绳支撑的过程，其动力学特征是由于没有实际穿越各种风的存在而产生误航漂移。

即在其自身重力中的受力状态下，飞行器靠着旋转的动力得以在空中保持自身平衡，类似于螺旋桨或旋翼的自旋过程。

1.观测点的选择：观测点需要位于飞行器旋转轴附近，以获得真实的数据信息。

2.数据采集：观测过程中需要获取旋转半径、角速度、飞行器质量、空气密度等数据。

3.数据处理：将观测到的数据进行处理和分析，得出非定常盘旋运动的各项参数和特征。

1.速度公式：V=ω*R，描述了速度与角速度以及旋转半径之间的关系。

2.动量公式：M=m*V，描述了动量与质量以及速度之间的关系。

3.加速度公式：A=(V2-V1)/t，描述了加速度与速度变化率之间的关系。

4.飞行器质量公式：m=ρ*V*S，描述了飞行器质量与空气密度、速度和受力面积之间的关系。

非定常盘旋运动的公式可以进一步推导和衍生，以满足不同的需求和问题。

例如，可以通过角动量和力矩的公式推导出非定常盘旋运动的旋转半径和角速度之间的关系，或者通过引入阻力和升力的公式推导出非定常盘旋运动的速度和空气密度之间的关系。

在实际应用中，非定常盘旋运动的公式被广泛用于飞行器的设计、优化和性能评估。

通过对非定常盘旋运动的模拟和计算，可以准确地预测飞行器在不同工况下的运动状态，为飞行器的设计和控制提供重要的参考和指导。

同时，非定常盘旋运动的公式也有助于深入理解和研究飞行器的动力学特性，并为解决实际问题提供理论支持。

numeca fine turbo theory
NUMECA Fine/Turbo是一种流体动力学（CFD）软件，用于进行涡轮机械和旋转机械的分析和优化。

它使用计算流体动力学方法来模拟流体在涡轮机械中的流动行为，并提供准确的流场数据和性能预测。

Fine/Turbo采用了基于有限体积法的求解器，可以模拟各种流动条件，包括稳态、非稳态、旋转、多相和过渡流动。

它还支持横向混合和轴向混合流动类型。

Fine/Turbo的理论基础包括雷诺平均Navier-Stokes方程（RANS）、可压缩流动、湍流模型以及涡轮机械的旋转网格技术等。

它还提供了广泛的后处理工具和数据分析功能，以帮助工程师对模拟结果进行详细的分析和评估。

使用Fine/Turbo，工程师可以对涡轮机械的设计进行优化，改善其性能并减少能量损失。

该软件广泛应用于航空、汽车、能源等领域，帮助工程师提高产品性能、降低开发成本并缩短设计周期。

FINE/Turbo 软件转静子交接面的设定与非定常计算o mb e i j i n g .c NUMECA FINE TM /Turbo尤迈克北京（流体）工程技术有限公司u m e c a -NUMECA-Beijing Fluid Engineering Co., LTD.w w .n转静子交接面的类型12345o m1.周向守恒型连接面2b e i j i n g .c 2.当地守恒型连接面（Volute+Impeller ）3.完全非匹配混合面4.完全非匹配固定转子交接面（周期必须相等）u m e c a -注：1、此为对定常计算情况，五种都为可选；对非定常计算，不同的非定常方法5.一维无反射的RS 交接面（目前仅限理想气体）w w .n 采用的交接面类型不同各类型比较1Conservative Coupling by Pitchwise Rows、可以保证质量、动量、能量严格守恒2、沿周向网格的连接方式需一样3、较好的鲁棒性建议大多数情况采用此方法Local Conservative Coupling 1、建议用于叶轮与蜗壳的交接面2、基于矢通量分解，对周向流动变化较大的情o mLocal Conservative Coupling况增加求解的稳定性3、物理量并非严格守恒4、求解跨音速问题时可能会引起发散b e i j i n g .c Full Non Matching Mixing plane1、质量、动量、能量严格守恒2、没有网格连接的限制1认为转静子连接为完全连接u m e c a -Full Non Matching Frozen-Rotor、认为转静子连接为完全连接2、在交接面的信息传递过程中忽略动叶的转动3、转静子的周期必须相等w w .n Non Reflecting 1D1、用于交接面非常靠近叶片2、用于在交接面上有激波反射的情况转静子交接面的处理方法MethodType of interfaceSteadyMixing plane1，2，3，5o mFrozen rotor4Domain Scaling method b e i j i n g .c UnsteadyDomain Scaling method1，2，3Phase lagged method 1，2，3u m e c a -Harmonic method5w w .n多排叶片o mb e i j i n g .c u m e c a -w w .nMixing Plane1、交接面上物理量进行周向平均2、面两侧的个patch 在展向覆盖的区域必须相同，展向的网格不必匹配，但周向的网格边界必须为圆弧3、交接面两侧的patch 应在同一个轴对称面上o m（Full Non Matching Mixing plane 没有1、2条限制）b e i j i n g .c u m e c a -w w .nFrozen Rotor1动绝对坐标系下求解最终解取决于动静叶的相对位1.\静叶里的流动分别在相对\绝对坐标系下求解，最终解取决于动静叶的相对位置，非定常的历史效应被忽略2.最适合于叶轮和蜗壳的交接面（流动在周向的变化不能忽略）缺点：1、需要做整周叶轮的通道2、最终的解取决于动叶的位置o m专家参数IRSNEW 必须为2b e i j i n g .c u m e c a -w w .n旋转机械非定常计算方法2、旋转机械专用非定常流动a. Domain Scaling + Sliding Grid （FNMB ） 例：多级旋转机械（轴流、径流、混流）b. Phase-Lagged例：但级（轴流、径流）非定常流动 c Non linear Harmonic Method o mc. Non linear Harmonic Method例：单级及多级非定常流动（轴流、径流、混流）b e i j i n g .c u m e c a -w w .nDomain Scaling MethodRai &Madavan 年提出保证了多叶片排信息传播的时间频率及傅Rai & Madavan 于1990年提出，保证了多叶片排信息传播的时间频率及傅立叶级数形式，可以精确捕捉任意频率的参数。

非定常计算时间步内的迭代逻辑在非定常计算中，时间步内的迭代逻辑主要包括以下几个关键步骤：1. 初始化：在每个时间步开始时，需要对计算进行初始化。

这包括设置初始条件、网格参数和物理参数等。

初始化的目的是为了建立一个合理的起点，使计算过程能够进行下去。

2. 时间步迭代：时间步迭代是非定常计算中的核心步骤。

它通过不断迭代求解时间步内的物理方程，得到每个时间步的解。

时间步迭代一般采用显式或隐式方法。

- 显式方法：显式方法是一种直接求解时间步内物理方程的方法。

在显式方法中，时间步内的物理方程会被离散化为一系列代数方程，然后通过迭代求解这些方程。

显式方法的优点是计算速度快，但其稳定性和精度相对较低。

- 隐式方法：隐式方法是一种间接求解时间步内物理方程的方法。

在隐式方法中，时间步内的物理方程会被离散化为一系列代数方程，但这些方程中包含未知数。

隐式方法通过迭代求解这些方程及未知数，得到时间步的解。

隐式方法的优点是稳定性和精度相对较高，但计算速度相对较慢。

3. 收敛判据：在时间步迭代过程中，需要设置一个收敛判据来判断迭代的终止条件。

常用的收敛判据包括残差、误差和迭代次数等。

当收敛判据满足要求时，迭代过程终止，得到时间步的解。

4. 更新时间：在时间步迭代完成后，需要更新时间。

这包括将当前时间增加一个时间步长，以便进行下一个时间步的计算。

更新时间的目的是使计算能够顺利进行下去。

时间步内的迭代逻辑在非定常计算中起着重要的作用。

一个合理的迭代逻辑可以提高计算的准确性和稳定性，确保计算结果的可靠性。

在实际应用中，根据具体问题的特点和计算要求，可以选择适合的时间步迭代方法和收敛判据，以获得满足要求的计算结果。

非定常计算中时间步内的迭代逻辑是确保计算准确性和稳定性的关键步骤。

通过合理设置初始条件、选择适合的迭代方法和收敛判据，可以得到满足要求的计算结果。

在实际应用中，需要根据具体情况进行调整和优化，以提高计算效率和精度。

定常流动流体（气体、液体）流动时，若流体中任何一点的压力，速度和密度等物理量都不随时间变化，则这种流动就称为定常流动；反之，只要压力，速度和密度中任意一个物理量随时间而变化，液体就是作非定常流动或者说液体作时变流动。

所以，定常流动时，管中流体每单位时间流过的体积(体积流量)qV为常量，流体每单位体积的质量(密度)ρ也是常量。

非定常流动流体的流动状态随时间改变的流动。

若流动状态不随时间而变化，则为定常流动。

流体通常的流动几乎都是非定常的。

分类按流动随时间变化的速率，非定常流动可分为三类：①流场变化速率极慢的流动：流场中任意一点的平均速度随时间逐渐增加或减小，在这种情况下可以忽略加速度效应，这种流动又称为准定常流动。

水库的排灌过程就属于准定常流动。

可认为准定常流动在每一瞬间都服从定常流动的方程，时间效应只是以参量形式表现出来。

②流场变化速率很快的流动：在这种情况下须考虑加速度效应。

活塞式水泵或真空泵所造成的流动，飞行器和船舶操纵问题中所考虑的流动都属这一类。

这类流动和定常流动有本质上的差别。

例如，用伯努利方程（见伯努利定理）描述这类流动，就须增加一个与加速度有关的项，成为：,式中为理想流体沿流线的速度分布；A和B表示同一流线上的两个点;P 为压强;为密度；g为重力加速度；z为重力方向上的坐标；ds为流线上的长度元。

③流场变化速率极快的流动：在这种情况下流体的弹性力显得十分重要，例如瞬间关闭水管的阀门。

阀门突然关闭时，整个流场中流体不可能立即完全静止下来，速度和压强的变化以压力波（或激波）的形式从阀门向上游传播，产生很大的振动和声响，即所谓水击现象。

这种现象不仅发生在水流中，也发生在其他任何流体中。

在空气中的核爆炸也会发生类似现象。

除上述三类流动外，某些状态反复出现的流动也被认为是一种非定常流动。

典型的例子是流场各点的平均速度和压强随时间作周期性波动的流动，即所谓脉动流，这种流动存在于汽轮机、活塞泵和压气机的进出口管道中。

非刚性常微分方程
非刚性常微分方程（Non-Rigid Ordinary Differential Equation，NRODE）是一类形式极其复杂的微分方程，它们没有确定系数，不能用于解决特定问题。

1.什么是非刚性常微分方程
非刚性常微分方程是一类无法采用常规求解数学方法求解的舍入方程。

它们不能用常规解法轻松解决，而且令人困惑，使其仅供专家使用。

由于其表达式不显示任何系数，因此通常被称为“非刚性常微分方程”。

2.非刚性常微分方程的特点
（1）它们的表达式没有系数，而且表示结果会因问题而异。

（2）它们比较复杂，无法用普通的数学方法产生准确的解。

（3）它们的求解方法多种多样，其中最常用的方法包括：线性近似法、拟合法、隐式欧拉法、有限差分法、小波变换法等。

3.非刚性常微分方程的应用
（1）在机械工程中，非刚性常微分方程应用于机械振动等方面。

（2）在概率论中，它可以用于解决随机过程、随机行走问题等。

（3）在电子电路中，非刚性常微分方程可以用于求解非线性电路中信号放大器的频率特性等。

（4）在光学学中，非刚性常微分方程可用于求解非线性光成像乃至非刚性光学方面的问题。

4.非刚性常微分方程的总结
非刚性常微分方程是一类非常具有挑战性的微分方程，它们对于解决一些重要的物理、机械、电子、光学等方面的问题具有重要的实际意义。

然而，它们的复杂性也让人们无法易于找到准确的解决方案。

必须采用复杂多变的数学方法，才能得到可靠的解决方案。

因而，研究把握非刚性常微分方程的解法，也是一个非常重要的数学难题。