一维不定常流笔记

一维不定常流体运动【参考文献】L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Fluid Mechanics, Chapter 10.Ya. B. Zel ’dovich and Yu. P. Raizer, Physics of Shock Waves and High-Temperature Hydrodynamic Phenomena, Chapter 1.我们简要学习理想流体的一维不定常流动，可以帮助我们理解ICF 中的流体力学过程。

对于理想流体，在不出现参数发生跃变的情况下，流体的熵是个常数，即 0.u s t x ∂∂⎡⎤+=⎢⎥∂∂⎣⎦如果初始时刻流体的参数不依赖于空间变量，那么流体的熵始终保持不变。

在这种情况下，流体的密度仅依赖于压强，().p ρρ=就只考虑流体的连续性方程和动量方程，()0,10.u t x u u p u t x x ρρρ∂∂+=∂∂∂∂∂++=∂∂∂ 利用绝热方程，连续性方程的形式可以改写为， 210s u u u u t x x p t x u u p c t x xρρρρρ⎛⎞∂∂∂∂∂∂∂⎡⎤⎡⎤++=++⎜⎟⎢⎥⎢⎥p x ∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎝⎠∂∂∂⎡⎤=++⎢⎥∂∂∂⎣⎦=∂ 或10.p u p u c c t c x x ρ∂∂∂++=∂∂∂ 这个方程与动量方程结合，可以得到如下两个方程，1()()1()()u c u u c p t x c t x u c u u c p t x c t x ρρ∂∂∂∂⎡⎤⎡⎤+++++=⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦∂∂∂∂⎡⎤⎡⎤+−−+−=⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦0,0. 引入所谓的特征线，:,:,dx C u dt dx C u dt +−c c =+=− 那么沿着特征线C +，有如下方程， 10,du dp cρ+= 那么沿着特征线C −，有如下方程， 10,du dp cρ−= 引入所谓的Riemann 不变量，其定义为J ±dp d J u u c c ρρρ±=±=±∫∫，那么沿着特征线，是个常数。

一维非定常连续流动集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]一维非定常连续流动一维非定常流动是指气流的速度和热力学参数仅与时间t 和一个坐标变量x 有关的流动，也就是说，在某一时刻，在任何一个垂直于x 轴的平面上，气流的速度和热力学参数是不变的。

它包括连续流（等熵波）和间断流（激波、接触面）。

下面主要介绍连续流。

在进行讨论之前，首先假定气体为常比热完全气体（或称量热完全气体），忽略气流的粘性和热传导作用，流动过程是等熵的。

作为理解非定常连续流动的基础，首先介绍小扰动波的产生，传播及其简化分析。

一、 小扰动波1. 产生小扰动是指气流的速度和热力学参量的相对变化量都很小，例如声波就是一种小扰动波，它以声速传播，因此，通常人们把小扰动在介质中的传播速度称为声速。

对介质的扰动形式有很多，但总归起来不外乎速度不匹配和压力不平衡。

下面将要介绍的是由于活塞运动引起速度不匹配所产生的波。

在一个等截面无限长的圆管中，初始时刻，活塞及其两边的气体处于静止状态。

设活塞在很短的时间内，速度增加至du 。

此后，它以匀速向右运动。

这时，活塞左右两边的气体同时受到一个微弱的扰动：右边的气体被压缩，左边的气体变得稀疏，其效果以小扰动波的形式向两边传播。

这种波通过以后，波后气体均以活塞的速度向右运动。

同时，右边气体压力增加一个微量dp ，左边气体减小一个微量dp ，这两种波分别称为小扰动压缩波和小扰动稀疏波。

上述两类小扰动波得传播过程在(x ，t )图上的图示法如下压缩波通过以后，波后气流速度方向与波面传播方向一致，质点迹线靠近波面迹线；稀疏波通过以后，波后气流速度方向与波面传播方向相反，质点迹线偏离波面迹线。

对于运动的气体，压缩波后气体被加速，稀疏波后气体被减速。

2.传播定义向右为x 轴的正方向，如果气体本身以u （代数值）的速度在运动，则波的传播速度为dd dd=d ±d定义以速度(u+a )传播的波为“右行波”，以速度(u-a )行波”。

《高等流体力学》学习笔记王恒宇113121001183重点实验室一维非定常流动中的特征线方程和特征关系一、概念特征曲线：对于双曲型方程组，在x，t平面有一系列曲线，若在这些曲线上，任意给定物理参数的值作为Cauchy问题的初始值，这样Cauchy问题的解一般是不存在的。

这些曲线称为方程组的特征曲线。

特征关系：对在这些曲线上的物理参数或未知函数的值给定一定的关系式。

二、推导设x=x(t)为某一特征曲线，在这条曲线上给定u(t)，ρ(t)，S(t)的值。

研究下面方程组的Cauchy问题∂ρ∂t +u∂ρ∂x+ρ∂u∂x=0，ρ∂u ∂t +ρu∂u∂x+∂p∂x=0，（1）∂S∂t+u∂S∂x=0，p=f(ρ,S)。

求解这个问题即要在x=x(t)上求出∂u∂t ，∂u∂x，∂ρ∂t，∂p∂x，∂S∂t，∂S∂x的值。

六个一级微商满足以下六个方程∂ρ∂t +u∂ρ∂x+ρ∂u∂x=0，S∂u ∂t +pρ∂ρ∂x+ρu∂u∂x+p S∂S∂x=0，∂S ∂t +u∂S∂x=0，（2）dt ∂ρ∂t +dx ∂ρ∂x =dρ， dt ∂u ∂t +dx ∂u ∂x =du ， dt∂S ∂t+dx∂S ∂x=dS 。

由于x=x(t)是特征曲线，上方程组无解。

因此，x=x(t)应使该方程组系数行列式等于零，即||100u ρ00ρ0p ρρu p S 00100u dt 00dx 000dt 00dx 000dt 00dx ||=0 （3） 化简得，|udt −dx ρdt 0p ρdtρudt −ρdx p S dt 00udt −dx|=ρ(udt −dx )3−ρp ρ(udt −dx )dt 2=0由于p ρ=c 2，可解得：dx dt=u ，u +c ，u −c （4）即方程组（1）的三族不同的特征线。

通过特征线方程可求出相应于每条特征线的特征关系式，这些关系式应使方程组（2）有解。

这样用方程组（2）的自由项（0，0，0，d ρ，du ，dS ）来代替行列式（3）中的任意一行时，所得到的新的行列式应该等于零。

《空气动力学基础》重点梳理（2013年6月 陈辰编）第一章 引述一、空气动力学基本变量1．压强——作用在单位面积上的正压力dAdFp dA 0lim→=（0dA dA →）其中：L dA l <<<0，l 为分子间距，L 为特征长度（如弦长、展长、直径等）压强具有点的属性：无粘流体，流体内部任意一点的压强均是各向同性的，即压强值与受压面的方位无关。

2．密度——单位体积内的质量dvdmdv 0lim→=ρ（dv 不能趋向于0）密度具有点的属性。

3．温度kT KE 23=温度具有点的属性。

4．流动速度 5．切应力6．完全气体状态方程 （1）所用假设①它的分子是一种完全弹性的微小球粒； ②分子除彼此碰撞瞬间外没有作用力；③分子的体积可以忽略不计（微粒的实有总体积和气体所占空间相比可忽略不计）。

（2）完全气体状态方程R 为通用气体常数，其数值为)/(831522K s m ⋅；m 为所研究气体的相对分子质量；T 为绝对温度(K)。

如将m R /改为R R 为气体常数。

7．单位二、空气动力及力矩 1．空气动力的来源（1）物体表面的压力分布；（2）物体表面的剪应力（摩擦应力）分布。

压力垂直作用在物体表面，剪应力相切作用在物体表面且与运动方向相反。

2．R 的分解（1）投影到风轴系L ：升力（垂直于∞V ）；D ：阻力（平行于∞V ） （2）投影到体轴系N ：轴向力（垂直于弦长c ）；A ：法向力（平行于弦长c ） （3）风轴系与体轴系之间关系⎩⎨⎧+=-=ααααcos sin sin cos A N D A N L （迎角α——弦长c 与来流速度∞V 之间的夹角） 3．空气动力与力矩表达式 （1）单位展长的法向力与轴向力：()()⎰⎰-++-='TELE l l l TE LEu u u ds p ds p N θτθθτθsin cos sin cos()()⎰⎰+++-='TELE l l l TELEu u u ds p ds p A θτθθτθcos sin cos sin （2）单位展长的前缘力矩：()()[]⎰--+='TELEu u u u u LEds y p x p M θτθθτθsin cos sin cos ()()[]⎰+-+-+TELEl l l l l ds y p x p θτθθτθcos sin sin cos4．力与力矩的无量纲系数 （1）动压的定义221∞∞∞=V q ρ，∞∞V ,ρ为物体远前方的密度和速度。

定常流动流体（气体、液体）流动时，若流体中任何‎一点的压力，速度和密度等‎物理量都不随‎时间变化，则这种流动就‎称为定常流动‎；反之，只要压力，速度和密度中‎任意一个物理‎量随时间而变‎化，液体就是作非‎定常流动或者‎说液体作时变‎流动。

所以，定常流动时，管中流体每单‎位时间流过的‎体积(体积流量)qV为常量，流体每单位体‎积的质量(密度)ρ也是常量。

非定常流动流体的流动状‎态随时间改变‎的流动。

若流动状态不‎随时间而变化‎，则为定常流动‎。

流体通常的流‎动几乎都是非‎定常的。

分类按流动随时间‎变化的速率，非定常流动可‎分为三类：①流场变化速率‎极慢的流动：流场中任意一‎点的平均速度‎随时间逐渐增‎加或减小，在这种情况下‎可以忽略加速‎度效应，这种流动又称‎为准定常流动‎。

水库的排灌过‎程就属于准定‎常流动。

可认为准定常‎流动在每一瞬‎间都服从定常‎流动的方程，时间效应只是‎以参量形式表‎现出来。

②流场变化速率‎很快的流动：在这种情况下‎须考虑加速度‎效应。

活塞式水泵或‎真空泵所造成‎的流动，飞行器和船舶‎操纵问题中所‎考虑的流动都‎属这一类。

这类流动和定‎常流动有本质‎上的差别。

例如，用伯努利方程‎（见伯努利定理‎）描述这类流动‎，就须增加一个‎与加速度有关‎的项，成为：,式中为理想流‎体沿流线的速‎度分布；A和B表示同‎一流线上的两‎个点;P 为压强;为密度；g为重力加速‎度；z为重力方向‎上的坐标；ds为流线上‎的长度元。

③流场变化速率‎极快的流动：在这种情况下‎流体的弹性力‎显得十分重要‎，例如瞬间关闭‎水管的阀门。

阀门突然关闭‎时，整个流场中流‎体不可能立即‎完全静止下来‎，速度和压强的‎变化以压力波‎（或激波）的形式从阀门‎向上游传播，产生很大的振‎动和声响，即所谓水击现‎象。

这种现象不仅‎发生在水流中‎，也发生在其他‎任何流体中。

在空气中的核‎爆炸也会发生‎类似现象。

除上述三类流‎动外，某些状态反复‎出现的流动也‎被认为是一种‎非定常流动。

气体动力学基础笔记手写一、气体动力学基本概念1. 气体：由大量分子组成的混合物，其分子在不断地运动和碰撞。

2. 温度：气体分子平均动能的量度，与分子平均动能成正比。

3. 压力：气体对容器壁的压强，由大量气体分子对容器壁的碰撞产生。

4. 密度：单位体积内的气体质量，与分子数和分子质量有关。

5. 流场：描述气体流动的空间和时间的函数，由速度、压力、密度等物理量描述。

二、理想气体状态方程1. 理想气体状态方程：pV = nRT，其中p为压力，V为体积，n为摩尔数，R为气体常数，T为温度。

2. 实际气体与理想气体的关系：实际气体在一定条件下可以近似为理想气体，但在某些情况下需要考虑分子间相互作用和分子内能等效应。

三、气体流动的基本方程1. 连续性方程：质量守恒方程，表示单位时间内流入流出控制体的质量流量相等。

2. 动量守恒方程：牛顿第二定律，表示单位时间内流入流出控制体的动量流量等于作用在控制体上的外力之和。

3. 能量守恒方程：热力学第一定律，表示单位时间内流入流出控制体的热量流量等于控制体内能的变化率加上作用在控制体上的外力所做的功。

四、一维定常流1. 一维流：流场中所有点的流速方向都在同一直线上。

2. 定常流：流场中各物理量不随时间变化而变化的流动。

3. 声速：气体中声速与温度和气体种类有关，是气体的特征速度。

4. 马赫数：流场中任意一点上流速与当地声速之比，是描述流动状态的重要参数。

五、膨胀波与压缩波1. 膨胀波：由于流体受压缩而产生的波，传播方向与流体运动方向相反，波前压力低于波后压力。

2. 压缩波：由于流体受扩张而产生的波，传播方向与流体运动方向相同，波前压力高于波后压力。

1.渗流：流体在多孔介质中流动叫做渗流。

渗透率为压力梯度为1时，动力黏滞系数为l的液体在介质中的渗透速度。

是表征土或岩石本身传导液体能力的参数。

其大小与孔隙度、液体渗透方向上空隙的几何形状、颗粒大小以及排列方向等因素有关，而与在介质中运动的液体性质无关。

渗透率（k）用来表示渗透性的大小。

在一定压差下，岩石允许流体通过的性质称为渗透性；在一定压差下，岩石允许流体通过的能力叫渗透率。

2.开敞式油藏：如果油气藏外围与天然水源相连通，可向油气藏供液就是开敞式油气藏。

如果外围封闭且边缘高程与油水界面高程一致则称为封闭式油藏。

3.原始地层压力：油气藏开发以前，一般处于平衡状态，此时油层的流体所承受的压力叫原始地层压力。

4.供给压力：油气藏中存在液源供给区时，在供给边缘上的压力称为供给压力。

5.驱动方式可分为：水压驱动，弹性驱动，溶解气驱动和重力驱动。

6.在渗流过程中，如果运动的各主要元素只随位置变化而与时间没有关系，则称为稳定流。

反之，若各主要元素之一与时间有关，则称为非定常渗流或者不稳定渗流。

7.渗流的基本方式：平面一维渗流，平面径向渗流，和球面渗流。

8.绘制渗流图时规定这样的原则：任何相邻两条等压线之间的压差必须相等，同时，任何两条流线之间的流量必须相等。

9.井底结构和井底附近地区油层性质发生变化的井称为渗流不完善井。

不完善井可以分为打开程度不完善，打开性质不完善，双重不完善井。

10.试井：直接从实测的产量压力数据反求地层参数，然后用求得的地层参数来预测新的工作制度下的产量。

11.井间干扰：油水井工作制度的变化以及新井的投产会使原来的压力分布状态遭受到破坏引起整个渗流场发生变化，自然会影响到邻井的产量，这种井间相互影响的现象称为井间干扰。

12.压降叠加原理：多井同时工作时，地层中任一点外的压降等于各井以各自不变的产量单独工作时在该点处造成的压降代数和。

13.势的叠加原理：如果均质等厚不可压缩无限大底层上有许多点源，点汇同时工作，我们自然会想到地层上任一点的势应该等于每个点源点汇单独工作时在该点所引起的势的代数和，这就是势的叠加原理。

第一章流体物性与黏性1、流体质点是体积无穷小的流体微团，指相对于流场无穷小2、连续性假设是将流体认为是连续分布的流体质点所组成3、流体力学中物理量的基本量纲是L、M、T、Θ4、静止流体具有粘性5、理想流体没有黏性6、牛顿流体层与层之间的黏性切应力与速度梯度成正比7、液体的粘度随着温度的升高而降低8、黏性使紧贴固体表面的薄层流体随固体一起运动9、由于流体的黏性，可使流体在流动时出现速度梯度，同时使流体之间存在黏性切应力10、流体的可压缩性是指流体密度或体积在压力变化时而有变化的属性11、流体的热膨胀性是指流体密度或体积在温度变化时而有变化的属性12、马赫数小于0.3为低速空气空气动力学，可忽略其中流体密度的变化第二章流体静力学1、重力场中，单位质量的质量力是已知的2、流体静止是指流体相邻流体质点间没有相对运动3、静止流体的表面力具有沿作用面内法线方向的特性4、锅炉内静止水中的压强计算选择p0+γh计算式5、静压力的通用计算式p=p0+γh在绝对静止流体、重力场中、不可压缩流体、连通的同种流体情况下使用6、在绝对静止流体、重力场中、不可压缩流体、连通的同种流体条件下，等高面就是等压面7、在重力作用下静止液体中，等压面是水平面的条件是相互连通8、静止流体中，任一点处流体的压强增加不一定等值传递9、静止不可压缩液体中，任一点处压强的增加可在液体中等值地传递到其他点10、液体受到表面压强p作用后，它将毫不改变地传递到液体内部任何一点11、真空度是低于当地大气压的那部分压强12、一般情况下，平板静压力合力的压力中在面积形心之下13、计算静压合力的竖直分力时，压力体的体积一般在受力壁面的上方14、平壁面静水压力的合力作用点在压力中心15、压力中心的位置在受压面的形心以下或受压面的形心处16、任意形状平壁上所受静水压力等于该平壁的形心处静水压强与该受压面的面积的乘积17、静止流体中，任一点处流体的压强来自各个方向，并相等18、对于高于当地大气压的那部分压强用表压力计量19、一般情况下，自由液面肯定是等压面20、计算静压合力的竖直分力时，压力体内不一定有流体21、流体中某点的相对压强/记示压强是指该点的绝对压强与当地大气压的差值22、静止流体中存在压应力23、平衡液体中的等压面必为与质量力相正交的面，等压面与质量力正交24、欧拉平衡微分方程理想流体和实际流体均适用25、相对压强必为正值×26、作用于两种不同液体接触面上的压力是质量力×27、静压强变化仅是由质量力引起的√28、静压强的大小与受压面的方位无关√29、静水总压力的方向垂直指向受压面30、用图解法计算静水总压力适用于受压平面是矩形31、二维曲面上的静水总压力的作用点就是静水总压力的水平分力与铅直分力的交点×32、物体在水中受到的浮力等于作用于物体表面的静水总压力√33、水深相同的静止水面一定是等压面×34、单位质量力是指作用在单位质量流体上的质量力35、粘性流体在宏观尺度上其在固体物面上的速度等于当地物面的速度36、静止流体受到的切应力为037、静止液体中任意一点的静水压强与自由面上压强的一次方成正比38、仅在重力作用下，静止液体中任意一点对同一基准面的单位势能为常数39、容器内盛有静止液体，则容器底部承受的合压力与自由面上的压强无关1、图示的容器a中盛有密度为r1的液体，容器b中盛有密度为r1和r2的两种液体，则两个容器中曲面AB上压力体相同，但压力不相等。

一维非定常连续流动一维非定常流动是指气流的速度和热力学参数仅与时间t和一个坐标变量x有关的流动，也就是说，在某一时刻，在任何一个垂直于x轴的平面上，气流的速度和热力学参数是不变的。

它包括连续流（等熵波）和间断流（激波、接触面）。

下面主要介绍连续流。

在进行讨论之前，首先假定气体为常比热完全气体（或称量热完全气体），忽略气流的粘性和热传导作用，流动过程是等熵的。

作为理解非定常连续流动的基础，首先介绍小扰动波的产生，传播及其简化分析。

一、小扰动波1.产生小扰动是指气流的速度和热力学参量的相对变化量都很小，例如声波就是一种小扰动波，它以声速传播，因此，通常人们把小扰动在介质中的传播速度称为声速。

对介质的扰动形式有很多，但总归起来不外乎速度不匹配和压力不平衡。

下面将要介绍的是由于活塞运动引起速度不匹配所产生的波。

在一个等截面无限长的圆管中，初始时刻，活塞及其两边的气体处于静止状态。

设活塞在很短的时间内，速度增加至du。

此后，它以匀速向右运动。

这时，活塞左右两边的气体同时受到一个微弱的扰动：右边的气体被压缩，左边的气体变得稀疏，其效果以小扰动波的形式向两边传播。

这种波通过以后，波后气体均以活塞的速度向右运动。

同时，右边气体压力增加一个微量dp，左边气体减小一个微量dp，这两种波分别称为小扰动压缩波和小扰动稀疏波。

上述两类小扰动波得传播过程在(x，t)图上的图示法如下压缩波通过以后，波后气流速度方向与波面传播方向一致，质点迹线靠近波面迹线；稀疏波通过以后，波后气流速度方向与波面传播方向相反，质点迹线偏离波面迹线。

对于运动的气体，压缩波后气体被加速，稀疏波后气体被减速。

2.传播定义向右为x轴的正方向，如果气体本身以u（代数值）的速度在运动，则波的传播速度为定义以速度(u+a)传播的波为“右行波”，以速度(u-a)传播“左行波”。

对于右行波而言，气体质点一定从右边（x轴正向）进入波阵面，对于左行波而言，气体质点一定从左边（x轴负向）进入2. 小扰动波的简化物理分析以一道右行小扰动波为例进行分析。

一维非定常连续流动一维非定常流动是指气流的速度和热力学参数仅与时间t和一个坐标变量x有关的流动,也就是说,在某一时刻,在任何一个垂直于x轴的平面上,气流的速度和热力学参数是不变的;它包括连续流等熵波和间断流激波、接触面;下面主要介绍连续流;在进行讨论之前,首先假定气体为常比热完全气体或称量热完全气体,忽略气流的粘性和热传导作用,流动过程是等熵的;作为理解非定常连续流动的基础,首先介绍小扰动波的产生,传播及其简化分析;一、小扰动波1.产生小扰动是指气流的速度和热力学参量的相对变化量都很小,例如声波就是一种小扰动波,它以声速传播,因此,通常人们把小扰动在介质中的传播速度称为声速;对介质的扰动形式有很多,但总归起来不外乎速度不匹配和压力不平衡;下面将要介绍的是由于活塞运动引起速度不匹配所产生的波;在一个等截面无限长的圆管中,初始时刻,活塞及其两边的气体处于静止状态;设活塞在很短的时间内,速度增加至du;此后,它以匀速向右运动;这时,活塞左右两边的气体同时受到一个微弱的扰动：右边的气体被压缩,左边的气体变得稀疏,其效果以小扰动波的形式向两边传播;这种波通过以后,波后气体均以活塞的速度向右运动;同时,右边气体压力增加一个微量dp,左边气体减小一个微量dp,这两种波分别称为小扰动压缩波和小扰动稀疏波;上述两类小扰动波得传播过程在x,t图上的图示法如下压缩波通过以后,波后气流速度方向与波面传播方向一致,质点迹线靠近波面迹线；稀疏波通过以后,波后气流速度方向与波面传播方向相反,质点迹线偏离波面迹线;对于运动的气体,压缩波后气体被加速,稀疏波后气体被减速;2.传播定义向右为x轴的正方向,如果气体本身以u代数值的速度在运动,则波的传播速度为dxdt=u±a定义以速度u+a传播的波为“右行波”,以速度u-a传播的波行波”;对于右行波而言,气体质点一定从右边x轴正向进入波阵面,对于左行波而言,气体质点一定从左边x轴负向进入波阵面;2.小扰动波的简化物理分析以一道右行小扰动波为例进行分析;把坐标系取在波阵面上,则变成驻波,波前的气体以-a 的速度流进波面,而波后的气体以-a+du 的速度流出波面; 由连续性方程ρ(−a )=(ρ+dρ)(−a +du)略去二阶小量,得dρρ=du a小扰动波是一种等熵波,满足下列关系式：p =Cργ,p =ρRT 和a 2其微分形式为：dρρ=1γdp p=1γ−1dTT=2γ−1da a代入上式,可得du =2γ−1da对于左行波,则有du =−2γ−1da二、 特征线方法在可压缩流体中,有限幅值连续波流动所满足的方程一般是一组非线性偏微分方程,不能再采用小扰动线化方法,否则,将造成较大的误差;特征线法根据数学上特征线所具有的性质,运用数值解法或者图解法,为解决这类问题提供了一种比较简便而实用的计算方法;1. 基本方程连续性方程,在等截面管中ρt+x(ρu )=0动量方程,在忽略体积力和粘性力情况下u t+u ux =−1ρpx能量方程,忽略粘性和热传导作用,流动过程是等熵的,热力学第二定律可写成st+u sx =0 状态方程,对于多方气体来说,等熵关系为p =Cργ 有时为了便于应用,可将方程改写成统一用u ,a ,s 参量表示式;a t+u a x +γ−12a ux =0u t +u u x +2a γ−1ax −a 2γR sx =0st+u sx =0 2. 特征线及其相容关系假定上述方程组和x ,t 平面内沿着某一曲线x 0=x 0(t)上各点的u 0,a 0,s 0的值已知,如果不能单值地决定曲线x 0=x 0(t)附近任意点的u ,a ,s 的值,则表示x 0(t)是弱间断线,它就是所求的特征线; 特征线及其相容关系为 第一族特征线(dxdt )1=u +adu +2γ−1da =aγR ds第二族特征线(dxdt )2=u −adu −2γ−1da =−aγR ds第三族特征线(dxdt )s =uds =0 从公式可以看出,气体的流速和热力学参数的扰动沿着第第二族特征线以音速传播;熵的扰动沿着第三族特征线传播,而第三族特征线就是流体质点的运动轨迹,这就表明,对于某一个流体质点而言,在运动过程中熵值保持不变;在均熵条件下,st =0,sx =0,因而,在全流场的任何时刻都有ds =0;因此第三族特征线已经失去意义,第一族和第二族特征线简化为：第一族特征线(dxdt )1=u +adu +2γ−1da =0第二族特征线(dxdt )2=u −adu −2γ−1da =0此时特征线相容关系可以直接积分u +2γ−1a =K 1u −2γ−1a =K 2式中K 1和K 2称为黎曼不变量;(dxdt )1和(dxdt )2代表x ,t 平面上的两族特征线,称为物理平面上的特征线,见图1-3a ；K 1和K 2在u ,a 平面上构成两族特征线,称为状态平面特征线,见图1-3b;在x ,t 平面上,第一族特征线中的每一根,对应于一个确定的K 1值,第二族特征线中的每一根对应于一个确定的K 2值;物理平面特征线表达了小扰动波的位置随时间的变化关系,也就是小扰动波波阵面的运动迹线;其中,第一族特征线对应于右行波,第二族特征线对应于左行波;不过,此时的u ,a在不同的位置x 和时同的,可以应用节点法求解流场中气流的速度和音速; 根据K 1和K 2是否为绝维非定常均熵流动分为三类：第一类：K 1和K 2均为绝对常数K 10和K 20,此时u 和a 均为常数;第二类：K 1和K 2中有一个为绝对常数,称为简单波流动,这是流场中只有单向传播的波;第三类：K 1和K 2均不是绝对常数,称为双波流;在流场中既有左行波,也有右行波;三、 简单波假定黎曼不变量之一K 2在整个波区为绝对常数K 20,可以得到u =K 1+K 202a =γ−14(K 1−K 20)由于沿着第一族特征线,K 1保持不变,可知沿着第一族特征线流u 和a 等均为常数;dx dt=u +a =常数由此可以断定,第一族特征线一定是直线,沿着这一族特征线的根,流动参量保持不变,整个简单波流场只需用u ,a 平面上的一根特征线表示;1. 简单波的产生和分类简单波是由无穷多道小扰动波迭加而成的;在图1-5所示的一根两端敞开的无限长管中,活塞在静止气体中向右持续加速;活塞右边不断产生小扰动压缩波,当无穷多道压缩波通过后,波后气体压力、音速和质点速度便增加一个有限量;对于右行简单压缩波而言,由于小扰动压缩波连续通过时,后面压缩波的传播速度一定比前面的块,因而波面迹线第一族特征线为一族收敛的直线;同时,在活塞左边,连疏波,波面迹线第二族特征线为一族发散的直线;图1-5中各画出了四道小扰动压缩波和稀疏波的产生过程,其中1-4是一段曲线,表示活塞的加速过程,4点以后为直线,表示活塞作匀速运动,没有非定常波产生;简单波大致可分为四类：右行稀疏波,右行压缩波,左行稀疏波和左行压缩波;2. 简单波的基本关系跨过简单波波面迹线时气体参数之间的关系如下： 对于右行波x =(u +a )t +f(u)u −2γ−1a =K 20对于左行波x =(u −a )t +f(u) u +2γ−1a =K 10f(u)是速度的任意函数;若已知简单波波前气流参数u 1和a 1,求波后参数时,由K 10或K 20为常数可得u 2γ−1a =u 12γ−1a 1整理后得到a a 1=1±γ−12(u−u 1a 1)如果波前气体是静止的,u 1=0,则有a a 1=1±γ−12u a 1“+”号表示右行波,“−”号表示左行波;对于波后气流的温度、压力和密度变化,利用等熵关系得T T 1=(aa 1)2p p 1=(aa 1)2γγ−1 ρρ1=(aa 1)2γ−1四、 中心稀疏波在一维非定常简单波中,有一种比较特殊的情况,就是所谓“中心稀疏波”;它的一个重要特点是流场中的速度u 和音速a 等参数不是单独地依赖于x 和t ,而是依赖于它们的组合参数x/t ,这种运动通常称为“一维自模拟运动”;1. 中心稀疏波的产生假定活塞由静止突然向右加速至某一均匀速度,那么,在图中,活塞迹线1-4的长度便缩短为零,即图1-6;由图可见,由于活塞突然加速,在x ,t 图的坐标原点发出的所有压缩波汇聚成一道运动激波,向右传播;在活塞左边,同样由坐标原点发出一束左行稀疏波,把它称为中心稀疏波;波头与波尾之间的区域称为中心稀疏波区,波尾与活塞之间的区域属于均匀区,在该区中气流通过中心稀疏波区以后,被等熵地加速到等于活塞的速度；可以是亚音速的,等音速的,也可以是超音速的,究竟属于哪一种情况,完全由; 若要求通过稀疏波以等于音速u=a ,所需活塞的速度大小由方程2-15在波头和波尾之间积分来确定,即du =−2γ−1da ∫du u u 1=−2γ−1∫da aa 1所以U p =u =2γ+1a 1当活塞速度U p >2γ+1a 1时,波后气流将被加速到超音速,但是由于极限速度的存在,波后气流速度最大只能被加速到u max =2γ−1a 1逃逸速度;使波后气流速度达到逃逸速度的稀疏波称为“完全膨胀的稀疏波”; 2. 中心稀疏波的基本关系式中心稀疏波是简单波的一种特殊形式,因此,只要令简单波关系式中的任意函数f (u )=0,即可得到中心稀疏波的相应关系式; 对于右行波x =(u +a )tu −2γ−1a =K 20对于左行波x =(u −a )t +f(u)u +2γ−1a =K 10以左行中心稀疏波为例,可以直接解出u 和a 的表达式;u =2γ+1(xt +a 1) a =2γ+1a 1−γ−1γ+1xt由上述公式可见,u 和a 仅是x/t 的函数;根据中心系数波得基本关系式,可以确定整个波区的范围;波头前面气体u1=0,波尾通过以后,气体速度等于活塞速度,代入公式4-8,得到−a1≤xt ≤γ+12U p−a13.通过中心稀疏波时气体质点的加速度气体质点通过左行稀疏波时的速度由4-8确定; 加速度可表示为b=dudt =ut+u ux结合公式4-9,可得b=2a(γ+1)t。