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第2章 一维定常流动的基本方程(Part1.四个方程)

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《高等流体力学》第2章 流体动力学积分形式的基本方程

《高等流体力学》第2章 流体动力学积分形式的基本方程
τ0
（φ 为广延量）
取τ= τ0(t)为控制体， A= A0(t)为控制面：
A2 ( A02 )
τ 03
′ A02
v∆t
A1 ( A01 )
′ A01
n
τ 02
v∆t
τ 01
dA0
τ = τ 0 (t )
A = A0 ( t )
n
′ ( t + ∆t ) = A′ A0
∆ = I I ( t + ∆t ) − I ( = t)
I在∆t内的增量为：
∫∫∫τ
01 +τ 02
φ ( r , t + ∆t ) dτ 0 − ∫∫∫
τ 01 +τ 03
φ ( r , t ) dτ 0
∫∫∫τ
φ ( r , t + ∆t ) − φ ( r , t ) dτ 0 + ∫∫∫ φ ( r , t + ∆t ) dτ 0 τ 02 01
D ∂φ Dφ φ dτ 0 = + ∇ φ= v + φ∇ ⋅ v ⇒ ∫∫∫ τ 0 Dt ∂t Dt Dt ∂t
( )
Dφ + φ∇ ⋅ v dτ ∫∫∫τ Dt
Dρ + ρ∇ ⋅ v = 0 （微分形式连续方程） 如果 φ = ρ ，则： Dt (2) D D ( ρφ ) ρφ dτ 0 ∫∫∫ = + ρφ∇ ⋅ v dτ ∫∫∫ τ τ 0 Dt Dt ρ Dφ ρ Dφ Dρ dτ = ∫∫∫ +φ + ρ∇ = ⋅ v dτ ∫∫∫ τ τ Dt Dt Dt
∂x′ ′ = ∇xα iβ α i′α = ∂xβ ∂φ ∂x′ ∂φ ∂φ ∴∇′φ = i′α = iβ α = iβ = ∇φ ′ ′ ∂xα ∂xβ ∂xα ∂xβ

一维气体流动

一维气体流动

§6.2 微弱扰动在空间的传播
马赫锥
• 倘若气流是非直匀的超声速流，即流线是弯曲的， 流动参数也是不均匀的，则当一个微弱扰动波发 生之后，它不仅随气流沿着弯曲的路线向下游移 动，而且它相对于气流的传播速度也随当地的声 速而异。
§6.2 微弱扰动在空间的传播
马赫锥
• 如果微弱扰动源以亚声速、声速或超声速在静止 的气体中运动，则微弱扰动波相对干扰动源的传 播，同样会出现图9－1所示的情况。
在某瞬时t，激波推进至2-2截面，又经t时间，推 进至1-1截面，两截面间距离为x。 选取1-1、2-2二截面和他们之间的管壁为控制面。 对其应用积分形式的基本方程。
§6.4.2 激波前后气流参数的变化
• 连续性方程：
2 1 Aδx
• 动量方程：
δt
2
Av g 0
正激波：波面与气流方向相垂直的平面激波。
激波
斜激波：波面与气流方向不垂直的平面激波。
曲激波：波形是弯曲的。
§6.4.1 激波的定义、分类和形成
四、正激波的形成（0 t1）
§6.4.1 激波的定义、分类和形成
四、正激波的形成
后面的微弱压缩波总比它前面的微弱压缩波传播得快
§6.4.1 激波的定义、分类和形成

2 Aδxvg
δt
2 Av p1 p2 A
2 g


§6.4.2 激波前后气流参数的变化
联立求解得：
2 p2 p1 vs 1 1 2
1 2
c1 2 1 2 1
p2 1 p1 2 1 1
§6.3.1
1 2 h v h0 2

第2章 一维定常流动的基本方程(Part3.滞止状态)

第2章 一维定常流动的基本方程(Part3.滞止状态)

能量方程的应用
绝能流动中能量方程可表示为
h h
等熵过程
1
2
或
T T
1
2
V12 V2 h1 h 2 2
k 1 k 1 2 kRT p1 2 V1 V h h1 c p T T1 1 2 k 1 p
1 点 代表了气流的滞止状态， 其温度为 T ， 线段 1 1* 2
P* 1 V1 2CP P1
2
T* 1
的长度应为 V1 2C p
T1
1
s
（三） 滞止压强和滞止密度
将气流速度绝能等熵地滞止到零时的压强和密度就称为滞 止压强和滞止密度 k p T k 1 对完全气体，由等熵关系式 p T
的做功能力大。
如保持出口气流总温不变，总压降低到和出口压强一样 时，气流就不可能再膨胀降压而加速了。这样的气流虽有 同样的总温，但由于总压过低，已失去了做功能力。 可以用气流的总压的高低来代表气流做功能力的大小
关于总压的讨论
影响总压变化的因素:粘性耗散、轴功与加热
T 1*, 2*
* p* 1= p2 * p2 f
c2 kRT2 1.33 287.4 971 609 m s
V2 c2 M a 2 609 0.93 567 m s
【例5-3】涡轮导向器出口总温、总压以及出口静压均与上 例相同，由于摩擦，导向器出口流速降为 V2 555 m s c p 1.17 kJ kg K 求导向器的总压恢复系数 ？ 解： 因为流动为绝能的，总温仍保持不变，故
上式即为一维定常绝能等熵流动的柏努利方程
p k 1 2 1 Ma p 2

第2章 一维定常流动的基本方程(Part4.临界状态和气体动力学函数)

第2章 一维定常流动的基本方程(Part4.临界状态和气体动力学函数)
2016/3/30
中国民航大学航空工程学院发动机系
8
气体动力学（Aerodynamics）
临界状态和临界参数
对于一个绝能等熵加速流动，
T
*
P
* * c T( ) *
出口截面马赫数等于 1 的喷管， 出口截面即为临界截面，它的 参数也是整个流管的临界参数 马赫数小于1的截面上的气流 状态参数、滞止参数和临界参 数的关系
2016/3/30
0.2 0 0.4 0.8 1.2 发动机系
气体动力学（Aerodynamics）
2016/3/30
中国民航大学航空工程学院发动机系
18
气体动力学（Aerodynamics）
2016/3/30
中国民航大学航空工程学院发动机系
19
( Ma ＜1 )
P T( c ) Pcr
cr
Tcr ( ccr )
s
滞止状态、临界状态和实际状态
2016/3/30
中国民航大学航空工程学院发动机系
9
气体动力学（Aerodynamics）
速度系数：λ
V ccr
——无量纲的速度，气流速度与临界声速之比
思考：已经定义了Ma，为什么还要引入速度系数λ？
2 p A q z k 1 p A f
qm AV
2016/3/30
中国民航大学航空工程学院发动机系
22
气体动力学（Aerodynamics）
2016/3/30
中国民航大学航空工程学院发动机系
23
气体动力学（Aerodynamics）
2016/3/30
中国民航大学航空工程学院发动机系
24

第二章 流体力学的基本方程1-2

第二章 流体力学的基本方程1-2

(v⋅ ∇) b = 0
→
→
→
v⋅ ∇ϕ = 0
21
一维、 三.一维、二维、三维流动 一维 二维、
在设定的坐标系中， 在设定的坐标系中，根据有关物理 量依赖于一个坐标、 量依赖于一个坐标、两个坐标和三个坐 流体运动可分为一维运动、 标，流体运动可分为一维运动、二维运 动和三维运动。 动和三维运动。
14
运 中 流 质 所 有 物 量 (例 v, p, ρ,T等 动 的 体 点 具 的 理 N 如 ) 对 间 变 率: 时 的 化 ∆N ∂N → dN = lim = + (V⋅ ∇)N ∆t→ ∆ 0 ∂t dt t 称 物 量 的 点 数或 体 数 为 理 N 质 导 ( 随 导 ) dN −全 数 随 导 导 或 体 数 dt ∂N −局 导 或 变 数 部 数 时 导 ∂t (V⋅ ∇)N − 位 导 变 数
9
流体速度v、压力 、密度ρ和温度 等的对应表达式为： 和温度T等的对应表达式为 流体速度 、压力p、密度 和温度 等的对应表达式为：
vx = vx(x, y, z, t) = vx[x(t ), y(t ),z(t ),t ] vy = vy(x, y, z, t) = vy[x(t ), y(t ),z(t ),t ] vz = vz(x, y, z, t) = vz[x(t ), y(t ),z(t ),t ] v = v(x, y, z, t) = v[x(t ), y(t ),z(t ),t ] 及 p = p(x, y, z, t) = p[x(t ), y(t ),z(t ),t ] ρ = ρ(x, y, z, t) = ρ[x(t ), y(t ),z(t ),t ] T = T(x, y, z, t) = T [x(t ), y(t ),z(t ),t ] x, y, z, t —欧 变 拉 数

气体的一维定常流动

气体的一维定常流动
1 1

1 2 1 M* 0 1
1 1
0 1 2 1 Ma 2
§6-4 气体流动的三种状态和速度系数
第六章 气体的一维定常流动
第五节 气流参数与通道截面 之间的关系
变截面一维定常等熵流动模型
§6-1 气体一维流动的基本概念
气体的比热容
比热容：单位质量物质温度升高 1K 或 1 ℃ 时所 吸收的热量。 单位质量气体升高 1K 或 1 ℃ 时所吸收的热量与 热力学过程有关，故气体的比热容不唯一。 定容比热容cV：容积不变条件下的比热容。 定压比热容cp：压强不变条件下的比热容。 比热比γ：定压比热与定容比热的比值。
v h h0 2
c v h0 1 2
2 2
2
v h0 1 2 v RT h0 1 2

p
2

2
cp p cp p p h R cp cV 1
§6-3 气体一维定常流动的基本方程
第六章 气体的一维定常流动
第四节 气体流动的三种状态 和速度系数
v M* ccr
§6-4 气体流动的三种状态和速度系数
速度系数
速度系数的优点在于： 临界声速是常数，故速度系数与流动速度成 线性正比关系； 速度存在极限速度，故速度系数的极限是有 限值。
vmax 1 M *max ccr 1
v M* ccr
§6-4 气体流动的三种状态和速度系数
滞止状态
气流速度减到零时的状态称为滞止状态，对应 的流动参数称为滞止参数或总参数。 能量方程可以写为
1 v2 v2 T T T0 R 2 2cp
c

《气体动力学》课件-一维定常流的基本方程

《气体动力学》课件-一维定常流的基本方程

gAdz Adp Ffric AVdV 曲线流管微段
gz dp p V 2 2
无粘性曲线流管
气体动力学基础_1
10
2.3应知的流体力学定义、定律方程
能量方程
m dq m pdv m du
（闭口系统＝）体系，无流动
• •
•
QW s m
g
z2 z1
h（2稳定h流1动的开V口22系2统V＝12）有 限控制体，定常流动
International Civil Aeronautical Organization 确定为ISA
气体动力学基础_1
5
2.1 应知的流体力学基本概念
描述流体运动的两种方法及基本概念
研究流体运动方法
拉格朗日法（体系） 积分法 欧拉法（控制体） 微发法
体系指某些确定物质的集合；通过边界与体系外物质（环境）分开。 边界上可有动量和能量的交换，但无质量交换。边界随流体运动。
气体动力学基础_1
21
例2-1 吸气式喷气发动机的推力公式
[解]：控制体受各力在x方向的合力为
R pa A0 pa Ae Ae pe Ae R Ae pe pa
x方向的动量变化率为
m V bg e mV
由动量方程得
R
Ae
pe
pa
m bg
Ve
mV
则发动机对控制体内气流的作用力 ：
2.4 国际标准大气
因大气密度ρ是变量且与p、T 有关，我们可用静平衡微分方
程把压强随高度下降的规律推导出来。
某个高度上的大气压强可以看作是面积 为1米2的一根上端无界的空气柱的重量 压下来所造成的 ，在如图坐标系中考虑 某高度上的单位质量空气微元，其受到 的彻体力分量为：

第二章+一维定常流基本方程

第二章+一维定常流基本方程
T
⎦
绝热轮缘功
1 ⎤ γR * ⎡ ⎥ wT = T3 ⎢1 − n −1 γ −1 ⎢ π * n ⎥ ⎣
T
⎦
涡轮绝热效率
ηT =
*
wT , s wT
第2.4节 能量方程
喷气速度
2γR * 1 V= T (1 − γ −1 ) γ −1 π *γ
e
燃烧室出口温度
第2.5节 贝努利方程
2.5.1 贝努利方程
流经发动机的贝努利方程
第2.5节 贝努利方程
典型流动的贝努利方程的应用 1、多变过程
2、定熵流
第2.5节 贝努利方程
3 定熵绝能流
4 定熵绝能不可压流
第2.5节 贝努利方程
2.5.3 贝努利方程的应用 1、 求压气机功
nR ⎡ wc = T1 ⎢π c n −1 ⎣
2、 求涡轮的轮缘功
n −1 n
第2.3节 动量方程
带入动量方程并整理：
亦可写为：
第2.3节 动量方程
讨论：无粘性流体 无叶片机时：
AdP＋ρgAdZ + qm dV = 0
欧拉运动微分方程： dP＋ρgdZ + ρVdV = 0 忽略质量力：
dP + ρVdV = 0
减速增压原理应用
轴流式压气机主要是利用扩散增压的原理来 提高空气压力的。 亚音速气流流过扩展形通道时，速度降低， 压力升高。
2.9.3 动量函数
第2.9节 气体动力学函数
第2.9节 气体动力学函数
第2.9节 气体动力学函数
第2.9节 气体动力学函数
2.9.5 气动函数表的应用
滞止焓 滞止温度
第2.7节 滞止参数
2.7.3 滞止压力

《气体动力学》课件-一维定常管流 (2)

《气体动力学》课件-一维定常管流 (2)

Ma>1 增大 增大 增大 减少 减少
单纯的摩擦不能使亚声气流变为超声，也不能使超声
气体动力学基础_1
气流变为亚声 15
4.7 摩擦管流——积分解
➢思路：先求 Ma=Ma (fdx)的解，然后求解其他参数
➢ 在管内任取两个截面1、2，之间距离 为L ，求解1和2截面气流参数关系
dMa2 Ma 2
kMa2[1 (k 1) 2
p
V
T h
p dp
V dV d
T dT h dh
能量方程
c
pdT
d
V2 (
2
)
0
连续方程
V const
气体动力学基础_1
dT T
k 1 Ma2 2
dV 2 V2
0
d 1 dV 2
2
V2
0
10
4.7 摩擦管流
动量方程
Adp wdsw m dV
A D2 dSw Ddx 4
p
2(1 Ma2 )
4f D
d
kMa 2
dx
2(1 Ma2 ) 4 f D
dT k(k 1)Ma4 dx T 2(1 Ma2 ) 4 f D
dV V
kMa 2 2(1 Ma2 ) 4 f
dx D
dMa 2 Ma 2
kMa2[1 (k 1) 2
1 Ma2
Ma2 ] 4f
dx D
气体动力学基础_1
25
4.8 换热管流
等截面换热管流基本物理模型
q
T* p
V
dx
T * dT * p dp d
V dV
➢ 假定加热前后气体成分不变、比热比不变、质量不变 ➢ 加热视作单纯的 T* 改变

气体的一维定常流动

气体的一维定常流动


c
vmax c0 c v 1 2 2 1
2
2
2
2
c0
vmax v
§6-4 气体流动的三种状态和速度系数
临界状态
流体等熵膨胀时，当 v=c 时， Ma=1 ，该状态称 为临界状态。
2 1 ccr c0 vmax 1 1 2RT0 ccr RTcr 1
基本假设： 完全气体一维定常流动； 截面积变化是影响流动变化的唯一因素； 忽略摩擦、传热、质量力等因素； 流动是等熵流动。
微弱扰动的传播
若气体静止，而扰动源以亚声速、声速、超声 速运动，则扰动波的传播规律仍是类似的。 微弱扰动在亚声速流动中可以传遍全流场，而 在超声速流中只能向下游传播，并被限制在马 赫锥之内，这是两者的最重要区别。
§6-2 微弱扰动在气体中的传播
第六章 气体的一维定常流动
第三节 气体一维定常流动 的基本方程
§6-1 气体一维流动的基本概念
气体的比热容
比热容：单位质量物质温度升高 1K 或 1 ℃ 时所 吸收的热量。 单位质量气体升高 1K 或 1 ℃ 时所吸收的热量与 热力学过程有关，故气体的比热容不唯一。 定容比热容cV：容积不变条件下的比热容。 定压比热容cp：压强不变条件下的比热容。 比热比γ：定压比热与定容比热的比值。
速度系数
马赫数与速度系数的关系
2 2 M* 1 Ma 2 1 2 1 M* 1
M* < 1 M* = 1 M* > 1
1 1
亚声速流动 声速流动 超声速流动
M*
1
M*
2
1
1
2
2
Ma 2 Ma
2
1

第二章 流体力学基础(1-6)知识讲解

第二章 流体力学基础(1-6)知识讲解
密闭容器中的静止液体，当外加压力发生变化时，液体内任一点的压力将 发生同样大小的变化。即施加于静止液体上的压力可以等值传递到液体内 各点。这就是帕斯卡原理。 在图中，F是外加负载，A是活塞面积。根据 帕斯卡原理，缸筒内的压力将随外加负载的变 化而变化，并且各点的压力变化值相等。如果 不考虑活塞和液体重力引起的压力，则液体中 的压力为
34
2.2 液体静力学
2.2.3 压力表示方法和单位
压力有两种表示方法：绝对压力和相对压力。
以绝对真空为基准度量的压力叫做绝对 压力； 以大气压为基准度量的压力叫做相对压 力或表压。
这是因为大多数测量仪表都受大气 压作用，这些仪表指示的压力是相对压 力。
在液压与气压传动系统中，如不特别 说明，提到的压力均指相对压力。
液压油的粘度等级就是以其40ºC时运动粘度的某一平均 值来表示，
如L-HM32液压油（32号液压油）的粘度等级为32，则 40ºC时其运动粘度的平均值为32mm2/s 。
12
2.1 液压油
相对粘度 雷氏粘度〞R——英国、欧洲 赛氏粘度SSU——美国 恩氏粘度oE——俄国、德国、中国
oE=
t1
t2
单位：无量纲
（2）润滑性能好 （3）质地纯净，杂质少。 （4）具有良好的相容性。
（5）具有良好的稳定性。（氧化） （6）抗乳化性、抗泡沫性、防锈性、腐蚀性小。
（7）膨胀系数低、比热容高。 （8）流动点和凝固点低，闪点和燃点高。 （9）对人体无害，成本低。
18
2.1 液压油
2.1.4 液压油的选择
正确合理地选择液压油液，对保证液压传动系统正常工作、延 长液压传动系统和液压元件的使用寿命以及提高液压传动系统的工 作可靠性等都有重要影响。

第2章 一维定常流动的基本方程(Part1.四个方程)

第2章 一维定常流动的基本方程(Part1.四个方程)

2015/8/16
中国民航大学航空工程学院发动机系
13
气体动力学（Aerodynamics）
连续方程——补充知识
试推导：全三维、可压、非定常任意流动连续方程
例题：二维、定常不可压缩流动，x方 向的速度分量为
vx e cos y 1
vy 0 求y方向的速度分量 vy，设y=0 时，
2015/8/16
气体动力学（Aerodynamics）
第1章 复习
黏性动力系数和运动黏性系数的单位（量纲） 流体流动的数学描述方法 拉格朗日法 欧拉法
加速度，随体导数（或物质导数）
流动的分类
迹线、流线的求解
2015/8/16
中国民航大学航空工程学院发动机系
1
气体动力学（Aerodynamics）
第 2章 一维定常流动的基本方程
中国民航大学航空工程学院发动机系
6
气体动力学（Aerodynamics）
体系和控制体（Control Volume）
体系：确定的物质集合，没有质量通过界面
对应闭口系统
控制体：流体流过的、固定在空间的一个任意体积。
对应开口系统
控制体的边界称为控制面，可以有流体流入或流出，
因而有质量、动量、能量的交换
中国民航大学航空工程学院发动机系
3
气体动力学（Aerodynamics）
一维定常流动
本课程主要研究一维气动问题——管内流动
一维流动：流动中描写流体运动的参数（速度、
压力等），仅是一个坐标和时间的函数
一维定常流动：仅是一个坐标的函数
V=V(S) P=P(S) T=T(S)
2015/8/16
平均值代替个截面的参数

定常流动的动量方程

定常流动的动量方程

2019/2/19
4
将式（3-1）对时间求一阶和二阶导数，可得任意流体 质点的速度和加速度为： x u u(a, b, c, t ) t y (3-2) v v(a, b, c, t ) t z w w(a, b, c, t ) t
u 2 x ax 2 ax (a, b, c, t ) t t
(3-8)
（3-9）
由式（3-8）可知，用欧拉法求得的流体质点的加速度 由两部分组成；第一部分是由于某一空间点上的流体质点
2019/2/19 9
的速度随时间的变化而产生的，称为当地加速度，即式 u v w （3-8）中等式右端的第一项 、 、 ；第二部分是 t t t 某一瞬时由于流体质点的速度随空间点的变化称为迁移加
所以当流体质点从1点流到2点时由于截面的收缩引起速度的增加从而产化增加或减少则管道中每一点上流体质点的速20197911图31中间有收缩形的变截面管道内的流动20197912度将相应发生变化增大或减少从而产生了当地加速应该注意流体质点和空间点是两个截然不同的概念空间点指固定在流场中的一些点流体质点不断流过空间点空间点上的速度指流体质点正好流过此空间点时的速度
2019/2/19 1
流体运动学研究流体的运动规律，如速度、加速度等 运动参数的变化规律，而流体动力学则研究流体在外力作 用下的运动规律，即流体的运动参数与所受力之间的关系。 本章主要介绍流体运动学和流体动力学的基本知识，推导 出流体动力学中的几个重要的基本方程：连续性方程、动
量方程和能量方程，这些方程是分析流体流动问题的基础。
2019/2/19 21
火电厂中，当锅炉和汽轮机都稳定在某一工况下运行时， 主蒸汽管道和给水管道中的流体流动也都是定常流动。可 见研究流体的定常流动有很大的实际意义。

第二讲-流动基本方程

第二讲-流动基本方程

第二章 基本流动方程本项目研究需要计算进气道内外流耦合的复杂三维粘性流动，采用的流场控制方程为三维的Navier-Stokes 方程组，它是连续方程、动量方程、能量方程的联立方程组。

本章给出了积分形式和微分形式的N-S 方程组，以及在有限体积法离散中需使用的坐标转换后N-S 方程组，另外还给出了湍流计算使用的平均化后的湍流N-S 方程。

§2.1 积分形式N-S 方程组在直角坐标系下，忽略重力做功和辐射传热的积分形式N-S 方程组可写为如下的矢量形式：质量守恒方程⎰⎰⎰⎰⎰=⋅+∂∂sds n v d t 0ρνρν （2-1） 动量守恒方程⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⋅-+⋅+∂∂s ss ds n ds n p ds n v v p d t v 0ˆ)()(τνρν（2-2） 能量守恒方程⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⋅+⋅-⋅+⋅+∂∂s ss s ds q n ds n v ds n v p ds n v E d t E 0)ˆ()()()(τρνρν （2-3） 这是一个关于时间的双曲型方程组，其中E 代表总比能（内能和动能之和）；q为能量流矢量（energy flux vector ），这里假定能量流矢量仅仅表达分子能量的运输，它可以用Fourier 定律来描述，即T grad K q ⋅-=（2-4）K 为热传导系数，根据Prandtl 数：KC p μ⋅=Pr 为常数，及Sutherland 公式：TT TK K f +⨯=0230来确定，其中0K 和 0f T 是与流体有关的常数，详见表2-1。

对于理想气体，总比能可表述为下述张量缩并的形式：()212i i i i u u pu u e E +-=+=γρ 并且总焓为：ρpE H +=这里ｅ代表内能，Ｈ为总焓，γ为比热比。

方程（2-2）中τ是粘性应力张量（viscous stress tensor ），对于牛顿流体，假定应力张量τˆ随着变形率张量Sˆ连续变化（Stokes 假设） )(32ˆ2ˆV S⋅∇-=μμτ （2-5）变形率张量Sˆ表为 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=z wyw z v x w z u y w z v y v x v y u x w z u xv y u x u S)(21)(21)(21)(21)(21)(21ˆ μ为粘性系数，层流的粘性系数与压力的关系可以忽略不计，于是可采用Sutherland 公式 TT T+⨯=0230μμ，其中0μ和 0T 是与流体有关的常数，详见表2-1。

粘性流体的一维定常流动

粘性流体的一维定常流动

分机械能，因而流体微团在流 动过程中，其总机械能沿流
动方向不断地减少。如果黏性流体从截面1流向截面2，则截
面2处的总机械能必定小于截面1处的总机械能。若以 hW 表 示单 位重量流体自截面1到2的流动中所损失的机械能（又
称为水头损失），则黏性流体微元流束的伯努利方程为
z1pg1 V 21g2 z2pg2V 22g2hw
图6-4 离心泵装置示意图
精选课件
【解】 选取吸水池液面l—1和泵进口截面2—2这两个缓变 流截面列伯努利方程，并以1—1为基准面，则得
0pga V 21g2 hgpg2V 22g2hw
因为吸水池面积足够大，故V1 0 。且
V 2 4d qV 236 0 4 3. 1 0 6 40 0.12 50.9（4m/s）
精选课件
在第三章中，通过对理想流体运动的基本规律的讨论，
得到了流场中任一空间点上、任一时刻流体微团的压强和
速度等流动参数之间的关系式，但在推导流体微团沿流线
运动的伯努利方程中，仅局限于微元流束的范围内。而在
工程实际问题中要研究实际流体在整个流场中的运动，其
中大量的是在管道和渠道中的流动问题。所以除了必须把
由上式可得
p g A p g B 0 .7 0 6 .3 0 6 .3 6 H g g g 0 .4 0 0 .3 1 6 93 8 3 5 0 .（ 3m 4 60 2 O m （） 0 c）H
将式（b）和式（c）代入（a）中
解得
5.3VB2 2g
1ddBA
40.96
2g(5.30.96) 29.806(5.30.96)
圆管层流流动
。 2
精选课件
【例6-1】 有一文丘里管如 图6-3所示，若水银差压计 的指示为360mmHg，并 设从截面A流到截面B的水 头损失为0.2mH2O，

一维波动方程

一维波动方程

G
t , 于是波
4
动方程(2.1) 的通解为
u( x t ) F ( x at ) G( x at ) (2.4)
§2 一维波动方程
《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
现在我们利用初始条件(2.2)来确定任意函数 F 和 G , 由等式 (2.4)有 u( x 0) F ( x) G( x) ( x) (2.5)
§2 一维波动方程
9
《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
再对 求积分, 便得方程(2.11)的通解 u ( ) ( )d 1 ( ) 写成 其中1 ( )是 的任意函数. 若令 2 ( ) ( )d , 上式可
u( ) 1 ( ) 2 ()
§2 一维波动方程
11
《偏微分方程教程》第四章双曲型方程
于是Cauchy问题的解可写成
xy xy ( ) xy xy ( ) u( x y) ( xy) xy d 2 xy 3 2 d 2
利用分部积分法, 它又可化为
xy 1 y x u( x y) ( xy) 2 2 y 4
x xy c1 c2 y
y 1, x 0
(2.10)
x xy y
§2 一维波动方程 8
《偏微分方程教程》 第四章 双曲型方程
就可把(2.10)中的方程化成标准型
u
为了求出方程(2.11)的通解, 我们令
1 u 0 2
(2.11)
w u
sup ( x) ( x) sup ( x) ( x) xR xR 时, 则与之相对应的Cauchy问题的解 u ( x t ) 与u( x t ) 满足

第二讲 流体力学 血液流变学

第二讲 流体力学 血液流变学
vB
1 1 2 2 p p v v B A 2 A 2 B g hB hA
5.24 104 Pa
2.3.2 伯努利方程的应用
1. 水平管中压强与流速的关系
结论：v 大的地方 P 小；v 小的地方 P 大
由连续性方程可知，流速与截面积成反比。所以， 理想流体在不均匀水平管中作定常流动时，管子截 面积大处压强大，截面积小处压强小.于是在管子细 处所造成的低压可使外界液体或气体被吸入，这个 现象称为空吸作用（suction effect）.
例题 设有流量为0.12m3/s的水流过如图所示的管子. A 点的 压强为 2×105Pa, A点的截面积为 100cm2, B 点的截面积为 60cm2. 假设水的黏性可以忽略不计, 求A、B两点的流速和 B点的压强.
Q 0.12 vA 2 12 m s 1 S A 10
Q 0.12 1 vB 20 m s S B 60104
（2）欧拉法（Eulerian method）：关注流体中某 点，又称流场法。
在流体运动的实际研究中 , 对流体每个质点的来龙去脉 并不关心, 所以常常采用欧拉法来描述流体的运动.
2.1.2 速度场 定常流动
一般情况下, 流体流动时空间各 点的流速随位置和时间的不同而 不同, 即
v v( x, y, z, t )
两边除ΔV ,
1 2 1 2 p1 v1 gh1 p2 v2 gh2 2 2
理想流体的伯努利方程
1 2 p v gh 常量 2
例题2-1 均匀地将水注入一 容器中，如图2-6所示.注入的
流量为150cm · s ，容器的底
部有个面积为0.50cm 的小 孔，使水不断流出.求达到稳
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气体动力学（Aerodynamics）
发动机推力的推导
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气体动力学（Aerodynamics）
微分形式的动量方程
动量方程的一般形式
特点：只要知道所划定的控制体表面上的流动情形， 就能够直接确定出作用在该控制体表面上的力，而不 涉及流体在控制体内流动的详细过程。 （1）不适用分析控制体内详细流动情况 （2）只有了解控制体内详细流动情况，才能确定进出 口流动情况
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气体动力学（Aerodynamics）
贝努利方程
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气体动力学（Aerodynamics）
贝努利方程
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气体动力学（Aerodynamics）
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气体动力学（Aerodynamics）
体系和控制体（Control Volume）
体系：确定的物质集合，没有质量通过界面
对应闭口系统
控制体：流体流过的、固定在空间的一个任意体积。
对应开口系统
控制体的边界称为控制面，可以有流体流入或流出，
因而有质量、动量、能量的交换
F＝（qm2V＋P2 A2）－（qm1V1＋P ） 1A 1
冲量
J＝qmV＋PA
F＝J 2 J1
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气体动力学（Aerodynamics）
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气体动力学（Aerodynamics）
发动机推力的推导
进出口截面法向力——压力×面积——指向控制体内 控制面侧表面的法向力和剪切力，一般未知
作用域控制体内流体的彻体力
一般为重力，气体多数情况下忽略
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气体动力学（Aerodynamics）
P 1A 1P 2 A2 F qm 2V2 qm1V 1
能量方程是热力学第一定律应用于流动气体所 得到的数学表达式
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气体动力学（Aerodynamics）
能量方程
微分形式
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气体动力学（Aerodynamics）
能量方程
微分形式
气体
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贝努利方程
流速：
体积流量：
质量流量
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气体动力学（Aerodynamics）
贝努利方程
流速：
体积流量：
质量流量
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气体动力学（Aerodynamics）
能量方程
质量守恒定律：单位时间流入控制体的流体质量 等于单位时间流出控制体的流体质量 qm1=qm2 即： 1 A1V1 2 A2V2 不可压流体：
A1V1 A2V2
密流定义：单位时间流过单位面积的流体的质量
j V
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气体动力学（Aerodynamics）
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气体动力学（Aerodynamics）
连续方程适用性
连续方程是一个运动学的方程式 没有涉及力的问题 有粘、无黏流动均适用 实际气体、完全气体均适用
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气体动力学（Aerodynamics）
连续方程
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气体动力学（Aerodynamics）
主要知识点
流体运动基本方程
连续性方程 动量方程 能量方程 贝努利方程
音速 马赫数
滞止状态和滞止参数
本章重要级别★ ★ ★ 数
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气体动力学（Aerodynamics）
一维定常流动的条件
沿流动方向管道横截面积的变化率非常小 管道的扩张角或收缩角较小 管道轴线的曲率半径比管道的直径大得多 流动通道近似很“直”
沿管道各个截面速度分布和温度分布的形状几乎不变
参数分布均匀，变化连续，可以用管道截面的
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x
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气体动力学（Aerodynamics）
动量方程
动量方程是牛顿第二定律应用于运动流体所得到的数
学关系
在某一瞬间，体系的动量对时间的变化率等于该瞬间
作用在体系上的所有外力的合力，动量对时间变化率的
方向与合力方向相同
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动量方程
动量方程的一般形式
特点：只要知道所划定的控制体表面上的流动情形，
就能够直接确定出作用在该控制体表面上的力，而
不涉及流体在控制体内流动的详细过程。
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气体动力学（Aerodynamics）
动量方程
作用在控制体上的外力 控制体外流体或固体壁面作用在控制面的表面力
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气体动力学（Aerodynamics）
动量方程
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气体动力学（Aerodynamics）
动量方程
体系经过dt时间后的动量变化：
体系动量对时间的变化率：
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气体动力学（Aerodynamics）
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气体动力学（Aerodynamics）
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气体动力学（Aerodynamics）
贝努利方程
无黏流动
无黏流动的一维定常流动运动微分方程式
积分
无黏流动的一维定常流动运动方程式
贝努利常数
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气体动力学（Aerodynamics）
贝努利方程
不可压流体：
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气体动力学（Aerodynamics）
连续方程——补充知识
试推导：全三维、可压、非定常任意流动连续方程
例题：二维、定常不可压缩流动，x方 向的速度分量为
vx e cos y 1
vy 0 求y方向的速度分量 vy，设y=0 时，
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第1章 复习
黏性动力系数和运动黏性系数的单位（量纲） 流体流动的数学描述方法 拉格朗日法 欧拉法
加速度，随体导数（或物质导数）
流动的分类
迹线、流线的求解
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气体动力学（Aerodynamics）
第 2章 一维定常流动的基本方程
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气体动力学（Aerodynamics）
微分形式的动量方程
2015/8/16
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气体动力学（Aerodynamics）
微分形式的动量方程
无黏流动
气体忽略自重
减速增压原理——扩散增压：亚音速气流流过扩展形
通道时，速度降低，压力升高
平均值代替个截面的参数
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气体动力学（Aerodynamics）
一维定常流动的基本方程
质量守恒定律——连续方程 动量定理或牛顿运动定律——动量方程 能量守恒与转换定律——能量方程、贝努利方程
其它方程——理想气体状态方程、动量矩方程
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连续方程
微分形式的连续方程：
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气体动力学（Aerodynamics）
连续方程
流量平均速度（不可压流）
V＝ A
VdA
A
平均速度（可压流）
V＝ A
VdA d A
A
平均密度（可压流）
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＝ A
VdA Vd A
A
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气体动力学（Aerodynamics）
一维定常流动
本课程主要研究一维气动问题——管内流动
一维流动：流动中描写流体运动的参数（速度、
压力等），仅是一个坐标和时间的函数
一维定常流动：仅是一个坐标的函数
V=V(S) P=P(S) T=T(S)
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2015/8/16
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气体动力学（Aerodynamics）
连续方程