2015届天津市河东区高三一模考试数学(理)试题
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2015届天津市河东区高三一模考试数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试 用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.本题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求. 1．复数2()2iz i i-=+为虚数单位在复平面内对应的点所在象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知变量x y ,满足约束条件21110x y x y y ,,.⎧+≥⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =-的最大值为（ ）A ． －3B ． 0C ．1D ．3 3．某程序框图如图1所示，则输出的结果S =（ ）A ．26B ．57C ．120D ．2474．函数()|2|ln f x x x =--在定义域内的零点的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．35．下列说法正确的是个数为（ ）① 1=a 是直线0=-ay x 与直线0=+ay x 互相垂直的充要条件 ② 直线12π=x 是函数)62sin(2π-=x y 的图象的一条对称轴③ 已知直线l ：20x y ++=与圆C ：22(1)(1)2x y -++=，则圆心C 到直线l 的距离是④ 若命题P ：“存在∈0x R ，01020>--x x ”，则命题P 的否定：“任意R x ∈，012≤--x x ”A ．1B ．2C ．3D ．46．已知双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为y =，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于（ ） A ．12B．2C．2D ．17．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若对任意2x >，不等式()2x a x a -⊗≤+都成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．17,⎡⎤-⎣⎦ B ．(3,⎤-∞⎦C ．(7,⎤-∞⎦D ．()17,,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣8．若直角坐标系内A 、B 两点满足：（1）点A 、B 都在f （x ）的图像上；（2）点A 、B 关于原点对称，则称点对（A ，B ）是函数f （x ）的一个“姊妹点对”（点对（A ，B ）与（B ，A ）可看作一个“姊妹点对”。
已知函数f （x ）=22(0)2(0)x x x x x e⎧+<⎪⎨≥⎪⎩，则f （x ）的“姊妹点对”有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个河 东 区 2015 年 高 考 一 模 考 试数学试卷（理工类）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡横线上.）9．一支田径队有男运动员 56 人，女运动员 42 人，若用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本，则样本中女运动员的人数为 人． 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为11．如右图3，AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于点C ，AD CE ⊥于D ，若AD=1，30ABC ∠= ，则圆O 的面积是 .12．函数()101x y a a a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线()100mx ny mn +-=>上，则11m n+的最小值为 ． 13．在极坐标系中，O 为极点，直线l 过圆C：)4πρθ=-的圆心C ，且与直线OC垂直，则直线l 的极坐标方程为 ．14．在ABC ∆中，0120=∠BAC ，2=AB ，1=AC ，D 是边BC 上一点，BD DC 2=，则=⋅ 三、解答题：（本大题6个题，共80分） 15. （本小题满分13分）已知函数x x x x x f cos sin 2)sin (cos 3)(22+-=． （1）求()f x 的最小正周期； （2）设[,]33x ππ∈-，求()f x 的值域和单调递减区间．16. （本小题满分13分）甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为12，乙，丙做对的概率分别为m ，n (m ＞n )，且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数，图3其分布列为：（1）求至少有一位学生做对该题的概率； （2）求m ，n 的值； （3）求ξ的数学期望.17. （本小题满分13分）等边三角形ABC 的边长为3，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足AD DB =12CE EA =（如图4）．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使二面角1A DE B --成直二面角，连结1A B 、1A C（如图5）．（1）求证：1A D ⊥平面BCED ；（2）在线段BC 上是否存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60？若存在，求出PB 的长，若不存在，请说明理由．18.（本小题满分13分）已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项的和为S n ，且对任意的n ∈N *，都有2S n =2n a +a n（1）求数列{a n }的通项公式；（2）数列{b n }满足b 1=1，2b n+1-b n =0，（n ∈N *）.若c n =a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n19. （本小题满分14分）已知函数).(111)(R a xaax nx x f ∈--+-= （1）当处的切线方程；，在点（时，求曲线))2(2)(1f x f y a =-= （2）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性．20. （本小题满分14分）设21F F ，分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，满足821=+PF PF ，21F PF∆的周长为12． （1）求椭圆的方程；（2）求21PF PF ⋅的最大值和最小值；（3）已知点()08，A ，()02，B ，是否存在过点A 的直线l 与椭圆交于不同的两点D C ，，使得BD BC =？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．密封装订线密 封 线 内 不 要 答 题河东区2014年高考一模试卷数 学 答 案（理工类）一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。
每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求。
二、填空题每小题5分，共30分.9. 12 ，10.108+3π，11. 4π ，12. 4 ，13. cos sin 20ρθρθ+-= ，14.83-三、解答题：本大题6个题，共80分15. 解：（1）解：∵()sin 2f x x x = 2sin(2)3x π=+)(x f ∴的最小正周期为π．（2）∵[,]33x ππ∈-， 233x πππ∴-≤+≤，．)(x f ∴的值域为[．()f x 的递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,12ππ．16. 解：设“甲做对”为事件A ，“乙做对”为事件B ，“丙做对”为事件C ，由题意知， ()()()12P A P B m P C n ,,===. （1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0ξ=”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是()1310144Pξ-==-=. （2）由题意知()()()()1101124PP ABC m n ξ===--=，()()113224PP ABC mn ξ====， 整理得 112mn =，712m n +=.由m n >解得13m =，14n =.（3）由题意知()()()()1a PP ABC P ABC P ABC ξ===++()()()()11111111122224m n m n m n =--+-+-=， (2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==14， ∴ξ的数学期望为0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+==1312. 17. 证明：（1）因为等边△ABC 的边长为3，且AD DB=12CE EA =， 所以1AD =，2AE =． 在△ADE 中，60DAE ∠=，由余弦定理得DE = 因为222AD DE AE +=， 所以AD DE ⊥．折叠后有1A D DE ⊥．因为二面角1A DE B --是直二面角，所以平面1A DE ⊥平面BCED ．又平面1A DE 平面BCED DE =，1A D ⊂平面1A DE ，1A D DE ⊥， 所以1A D ⊥平面BCED ．（2）解：由（1）的证明，可知ED DB ⊥，1A D ⊥平面BCED ．以D 为坐标原点，以射线DB 、DE 、1DA 分别为x 轴、y 轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -如图．设2PB a =()023a ≤≤，则BH a =，PH =，2DH a =-．所以()10,0,1A，()2,0P a -，()E ．所以()12,,1PA a =-．因为ED ⊥平面1A BD ，所以平面1A BD的一个法向量为()DE =．因为直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60，所以11sin 60PA DE PA DE=…………10分==， 解得54a =．即522PB a ==，满足023a ≤≤，符合题意． 所以在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60，此时52PB =．18. 解：（1）当n=1时，由2a 1=2S 1=211a a +，a 1＞0，得a 1=1 当n ≥2时，由2a n =2S n -2S n-1=(2n a +a n )-(211n n a a --+)得（a n +a n-1）(a n -a n-1-1)=0 因为a n +a n-1＞0，所以a n -a n-1=1 故a n =1+(n-1)×1=n (2)由b 1=1，112n n b b +=，得b n =11()2n -，则c n =n 11()2n -因为 T n =12111112()3()()222n n -+++⋅⋅⋅+，所以 21111112()(1)()()22222n n n T n n -=++⋅⋅⋅+-+得 21111111()()()22222n nn T n -=+++⋅⋅⋅+-=2-（n+2）1()2n所以 T n =4-（n+2）11()2n -19. 解：（1） 当=-=)(1x f a 时，),,0(,12ln +∞∈-++x xx x所以 )('x f 222,(0,)x x x x +-=∈+∞ 因此，，）（12=f即 曲线.1))2(2)(，处的切线斜率为，在点（f x f y = 又 ,22ln )2(+=f所以曲线.02ln ,2)22(ln ))2(2)(=+--=+-=y x x y f x f y 即处的切线方程为，在点（（2）因为 11ln )(--+-=xaax x x f ，所以 211)('x a a x x f -+-=221xax ax -+--= ),0(+∞∈x ， 令 ,1)(2a x ax x g -+-=),,0(+∞∈x（1）当0,()1,(0,)a h x x x ==-+∈+∞时所以，当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><时此时，函数()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，此时()0,f x '>函数f(x)单调递（2）当0a '≠时,由f (x)=0 即210ax x a -+-=，解得1211,1x x a==- ①当12a =时，12,()0x x h x =≥恒成立， 此时()0f x '≤，函数()f x 在（0，+∞）上单调递减； ②当110,1102a a<<->>时 (0,1)x ∈时，()0,()0,()h x f x f x '><此时函数单调递减； 1(1,1)x a∈-时，()0,()0,()h x f x f x '<>此时函数单调递增；1(1,),()0x h x a∈-+∞>时，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减；③当0a <时，由于110a-< (0,1)x ∈时，()0h x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减； (1,)x ∈+∞时，()0h x <，此时()0f x '>，函数()f x 单调递增。
