河北省衡水中学2017届高三上学期五调(12月)数学(理)试题(解析版)

3 sin
cos

2sin2

2
cos

2

π 3


3
x 1 x 1
当
cos

2

π 3


1
，即
y

3 2
或

y


3 时，上式取最小值1 ． 2
即当
M
1,
3 2

或
M

1,

3 2

2a2 a 3 3 ，即 2a2 a 0 ，解得 a 0 或 a 1 ， 2
又因为 a 0,b 0,a b 3 ，所以 1 a 3 ．………………10 分 2
-6-/6
又 GF GE G ，所以平面 GEF 平面 ABB1A1 ，
EF 平面 GEF ，EF 平面 ABB1A1 ．…………4 分
(2)连接 AC1 ，在 △AA1C1 中，
C1 A1 A

4
,
A1C1

2AA1 ，
所以由余弦定理得 AC12 AA12 A1C12 2AA1 A1C1 cos AA1C1 AA12 , AA1 AC1,△A1AC1 是等腰直角三角形，



1 2
x2

x
1

0
，
x 1 0
x 1 0
即
ex


1 2
x2

x
1

0
或
ex


1 2
x2

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2|1log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（ ） A ．8k > B ．8k ≥ C ．16k > D ．16k ≥ 【答案】C 【解析】试题分析：因为集合A 中至少有3个元素，所以2log 4k >，所以4216k >=，故选C ．考点：1、集合的元素；2、对数的性质． 2.复数212ii+-的共轭复数的虚部是（ ） A ．35- B ．35C ．-1D ．1 【答案】C 【解析】考点：复数的概念及运算． 3. 下列结论正确的是（ ）A ．若直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则//αβB ．若直线//l 平面α，直线//l 平面β，则//αβC ．若两直线12l l 、与平面α所成的角相等，则12//l lD ．若直线l 上两个不同的点A B 、到平面α的距离相等，则//l α 【答案】A 【解析】试题分析：A 中，垂直于同一直线的两平面互相平行，所以直线直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则//αβ，正确；B 中，若直线//l 平面α，直线//l 平面β，则两平面可能相交或平行，故B 错；C 中，若两直线12l l 、与平面α所成的角相等，则12l l 、可能相交、平行或异面，故C 错；D 中，若直线l 上两个不同的点A B 、到平面α的距离相等，则直线与平面可能相交或者平行，故D 错，故选A ． 考点：空间直线与平面间的位置关系．【思维点睛】解答此类试题的关键是对于空间几何中的一些概念、公理、定理和推论的理解一定要结合图形，理解其本质，准确把握其内涵，特别是定理、公理中的限制条件，如公理3中“不共线的三点”，“不共线”是很重要的条件．4.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2532a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ） A ．29 B ．31 C ．33 D ．36 【答案】B考点：等比数列通项公式及求前n 项和公式． 【一题多解】由2532a a a =，得42a =．又47522a a +=，所以714a =，所以12q =，所以116a =，所以515(1)311a q S q-==-，故选B ．5.已知实数,x y 满足21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩，则22x y z x ++=的取值范围为（ ）A ．100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．(]10,2,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]10,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ 【答案】D 【解析】试题分析：作出不等式组不等式的平面区域如图所示，2222x y y z x x+++==+表示的几何意义为区域内的点到点(0,2)P -的斜率k 加上2．因为(3,2)A 、(1,0)C -，所以4,23AP CP k k ==-，所以由图知43k ≥或2k ≤-，所以1023k +≥或20k +≤，即103z ≥或0z ≤，故选D ．考点：简单的线性规划问题．6.若()0,0,lg lg lg a b a b a b >>+=+，则a b +的最小值为（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 【答案】C考点：1、对数的运算；2、基本不等式．7.阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（ ）A ．计算数列{}12n -前5项的和B ．计算数列{}21n -前5项的和 C ．计算数列{}21n -前6项的和 D ．计算数列{}12n -前6项的和 【答案】D 【解析】试题分析：第一次循环，得1,2A i ==；第二次循环：1+21,3A i =⨯=；第三次循环：21+21+21,4A i =⨯⨯=；第四次循环：231+2+2+2,5A i ==；第五次循环：2341+2+2+2+2,6A i ==；第六次循环：23451+2+2+2+2+2A =，76i =>，不满足循环条件，退出循环，输出23451+2+2+2+22A =+，即计算数列{}12n -前6项的和，故选D ．考点：循环结构流程图．【易错点睛】应用循环结构应注意的三个问题分别为：（1）确定循环变量和初始值；（2）确定算法中反复执行的部分，即循环体；（3）确定循环的终止条件．同时依次计算出每次的循环结果，直到不满足循环条件为止是解答此类问题的常用方法．8.ABC ∆中，“角,,A B C 成等差数列”是“)sin sin cos C A A B =+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】考点：1、充分条件与必要条件；2、、两角和的正弦函数．9.已知a b >，二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（ ）A ．1BC ．2D ．【答案】D 【解析】试题分析：因为二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，所以0440a ab >⎧⎨-≤⎩；又o x ∃∈R ，使220oo ax x b ++=成立，所以440ab -≥，故只有440ab -=，即0,,1a a b ab >>=，所以22a b a b+-＝a b -+2aba b-=2a b a b -+≥-D ． 考点：1、存在性命题；2、基本不等式；3、不等式恒成立问题．10.已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的自然数n ，都有2343n n S n T n -=-，则()3153392102a a a b b b b ++=++（ ）A ．1941 B ．1737C ．715D ．2041【答案】A考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前n 项和公式． 11.已知函数()21,g x a x x e e e ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭为自然对数的底数与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦ C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣ 【答案】B 【解析】试题分析：由条件知，方程22ln a x x -=-，即22ln a x x -=-在1[,]e e上有解．设2()2ln f x x x =-，则22(1)(1)()2x x f x x x x -+'=-=．因为1x e e ≤≤，所以()0f x '=在1x =有唯一的极值点．因为1()f e＝212e --，2()2f e e =-，()(1)1f x f ==-极大值，又1()()f e f e <，所以方程22ln a x x -=-在1[,]e e上有解等价于221e a -≤-≤-，所以a 的取值范围为21,2e ⎡⎤-⎣⎦，故选B ．考点：1、函数极值与导数的关系；2、函数函数的图象与性质．12.如图，在OMN ∆中，,A B 分别是,OM ON 的中点，若(),OP xOA yOB x y R =+∈，且点P 落在四边形ABNM 内（含边界），则12y x y +++的取值范围是（ ）A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】考点：向量的几何意义．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若实数()0,1a b ∈、，且满足()114a b ->，则a b 、的大小关系是_____________． 【答案】a b < 【解析】试题分析：因为()0,1a b ∈、，且满足()114a b ->12>，又()12a b -+≥所以()1122a b -+>，即a b <．考点：基本不等式． 14.若110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为___________． 【答案】0 【解析】试题分析：由110tan tan 3αα+=，得(tan 3)(3tan 1)0αα--=，所以tan 3α=或1tan 3α= ．因为,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan 3α=，所以2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭22αα+＋cos 2)2α+＝2222αα+＝2222222sin cos cos sin 2sin cos sin cos 2αααααααα-⋅+++＝2222tan 1tan 2tan 1tan 12αααα-++++＝22223130231312⨯-+=++． 考点：1、两角和的正弦函数公式；2、同角三角函数间的基本关系；3、二倍角． 15.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是_____________．【答案】80 【解析】考点：空间几何体的三视图及体积．【方法点睛】名求组合体的几何，首先应该知道它是哪些简单几何体组合而成，这就要求必须掌握简单几何体（柱、锥、台、球等）的三视图，只有在掌握简单几何体三视图的基础上才能确定组合体的“组合”，同时注意三视图的作图原则：“长对正，高平齐，宽相等”，由此可确定几何体中各数据．16.已知函数()()2lg ,064,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若关于x 的方程()()210f x bf x -+=有8个不同根，则实数b 的取值范围是______________． 【答案】1724b <≤ 【解析】考点：1、分段函数；2、函数的图象；3、方程的根．【方法点睛】方程解的个数问题解法：研究程)(x g 0=的实根常将参数移到一边转化为值域问题．当研究程)(x g 0=的实根个数问题，即方程)(x g 0=的实数根个数问题时，也常要进行参变分离，得到)(x f a =的形式，然后借助数形结合（几何法）思想求解；也可将方程化为形如)()(x h x f =，常常是一边的函数图像是确定的，另一边的图像是动的，找到符合题意的临界值，然后总结答案即可．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知()2sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭，集合(){}|2,0M x f x x ==>，把M 中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{}*,n a n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记211n n b a +=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：14n T <． 【答案】（1）()*21n a n n N =-∈；（2）见解析． 【解析】试题分析：（1）首先根据正弦函数性质解出M 中的元素，从而得到21,x k k Z =+∈，由此可求得数列{}n a 的通项公式；（2）首先结合（1）求得n b 的表达式，然后利用放缩法与裂项法即可使问题得证．考点：1、递推数列；2、数列的通项公式；3、裂项法求数列的和． 18.（本小题满分12分）已知向量2,1,cos ,cos 444x x x m n ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭，记()f x m n =． （1）若()1f x =，求cos 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，求()2f A 的取值范围． 【答案】（1）12；（2）32⎤⎥⎝⎦． 【解析】试题分析：（1）首先利用向量的数量积公式求出函数()f x 的解析式，然后利用二倍角公式求值即可；（2）首先由正弦定理将边角的混合等式化为角的等式，然后利用三角函数公式化简求出角A 的范围，从而求出三角函数值的范围．试题解析：（1）()21113sincos cos cos sin 44422222262x x x x x x f x m n π⎛⎫==+=++=++ ⎪⎝⎭， 由()1f x =，得1sin 262x π⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以21cos 12sin 3262x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．6分（2）因为()2cos cos a c B b C -=，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，所以2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=，所以()2sin cos sin A B B C =+，因为A B C π++=， 所以()sin sin B C A +=，且sin 0A ≠，所以1cos 2B =，又02B π<<，所以3B π=， 则22,33A C A C ππ+==-，又02C π<<，则62A ππ<<，得2363A πππ<+<，sin 16A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，又因为()12sin 62f A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故函数()2f A 的取值范围是13,22⎛⎤⎥ ⎝⎦．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1、两角和的正弦函数；2、倍角公式；3、正弦定理；4、正弦函数的图象与性质．【思路点睛】第一问解答时，要注意分析结论中的角与条件中角的关系，合理选择变换策略达到求值的目的；第二问解答时，求得内角B 的值是关键，结合三角形形状得到函数(2)f A 的定义域，问题就容易解答了，常见的错误是不少考生由于审题不够仔细，漏掉2A π<，实在可惜．19.（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11A B BA ，且12AA AB ==．（1）求证：AB BC ⊥；（2）若直线AC 与平面1A BC 所成角的正弦值为12，求锐二面角1A A C B --的大小．【答案】（1）见解析；（2）3π． 【解析】（2）解法一：连接CD ，由（1）可知AD ⊥平面1A BC ，则CD 是AC 在平面1A BC 内的射影， ∴ACD ∠即为直线AC 与平面1A BC 所成的角，因为直线AC 与平面1A BC 所成的角的正弦值为12，则6ACD π∠=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分在等腰直角1A AB ∆中，12AA AB ==，且点D 是1A B 中点，∴112AD A B ==且,26ADC ACD ππ∠=∠=，∴AG =．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 过点A 作1AE A C ⊥于点E ，连接DE ，由（1）知AD ⊥平面1A BC ，则1AD A C ⊥，且AEAD A =，∴AED ∠即为二面角1A A C B --的一个平面角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 且直角1A AC ∆中，11A A AC AE AC ===，又2AD ADE π=∠=，∴sin 2AD AED AE ∠===，且二面角1A A C B --为锐二面角， ∴3AED π∠=，即二面角1A A C B --的大小为3π．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 解法二（向量法）：由（1）知AB BC ⊥且1BB ⊥底面ABC ，所以以点B 为原点，以1BC BA BB 、、所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示，且设BC a =，则()()()()10,2,0,0,0,0,,0,0,0,2,2A B C a A ，()()()()11,0,0,0,2,2,,2,0,0,0,2BC a BA AC a AA ===-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 设平面1A BC 的一个法向量()1,,n x y z =， 由111,BC n BA n ⊥⊥得：220za y z =⎧⎨+=⎩，令1y =，得0,1x z ==-，则()10,1,1n =-．．．．．．．．．．．．10分考点：1、空间直线与直线的位置关系；2、线段垂直的性质定理；3、二面角．【技巧点睛】破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．由于“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．20.（本小题满分12分）已知函数()()()()212ln f x a x x a R =---∈．（1）若曲线 ()()g x f x x =+上点()()1,g 1处的切线过点()0,2，求函数()g x 的单调减区间； （2）若函数()y f x =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，求a 的最小值． 【答案】（1）()0,2；（2）24ln 2-． 【解析】（2）因为()0f x <在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立不可能， 故要使函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，只要对任意的()10,,02x f x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭恒成立， 即对12ln 0,,221x x a x ⎛⎫∈>- ⎪-⎝⎭恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 令()2ln 12,0,12x I x x x ⎛⎫=-∈ ⎪-⎝⎭， 则()()()()222212ln 2ln 211x x x x x I x x x --+-'==--．．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：1、函数的零点；2、导数的几何意义；3、利用导数研究函数的单调性．【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，()f x a ≥恒成立，只需()min f x a ≥即可；()f x a ≤恒成立，只需max ()f x a ≤即可；（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解． 21.（本小题满分12分）已知()(),,,1p x m q x a ==+，二次函数()1f x p q =+，关于x 的不等式()()2211f x m x m >-+-的解集为()(),1,m m -∞++∞，其中m 为非零常数，设()()1f xg x x =-． （1）求a 的值；（2）若存在一条与y 轴垂直的直线和函数()()ln x g x x x Γ=-+的图象相切，且切点的横坐标0x 满足0013x x -+>，求实数m 的取值范围；（3）当实数k 取何值时，函数()()()ln 1x g x k x ϕ=--存在极值？并求出相应的极值点． 【答案】（1）2a =-；（2）12m >；（3）若0m >时，k ∈R ，函数()x ϕ极小值点为2x ；若0m <时，当k >()x ϕ极小值点为2x ，极大值点为1x （其中122k x +=，2x =【解析】试题分析：（1）首先用向量的数量积公式代入到()f x 的表达式中，然后根据所给出的不等式解集即可求得a 的值；（2）若存在这样的直线，则说明函数()x Γ的导数可为0，从而对函数()x Γ求导后解得切点横坐标0x 与m 的关系，根据不等式得到0x 的范围，进而求得实数m 的范围；（3）当函数()x ϕ存在极值时，其导数必为零点，因此先对函数求导，由于解析式中含实数k ，由此对导数进行分类讨论，从而可求得极极值以及极值点．试题解析：（1）∵()()(),,,1,1p x m q x a f x p q ==+=+， ∴二次函数()21f x x ax m =+++，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 关于x 的不等式()()2211f x m x m >-+-的解集为()(),01,m -∞++∞，也就是不等式()22120x a m x m m ++-++>的解集为()(),01,m -∞++∞，∴m 和 1m +是方程()22120x a m x m m ++-++=的两个根， 由韦达定理得：()()112m m a m ++=-+-， ∴2a =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分（3）()()()()()ln 11ln 11mx g x k x x k x x ϕ=--=-+---的定义域为()1,+∞， ∴()()()()222211111x k x k m mkx x x x ϕ-++-+'=--=---方程()2210x k x k m -++-+= （*）的判别式()()222414k k m k m ∆=+--+=+．①若0m >时，0∆>，方程（*）的两个实根为1212k x +-=<，或2212k x ++=>，则()21,x x ∈时，()0x ϕ'<；()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>， ∴函数()x ϕ在()21,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，此时函数()x ϕ存在极小值，极小值点为2,x k 可取任意实数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分综上所述，若0m >时，k 可取任意实数，此时函数()x ϕ有极小值且极小值点为2x ；若0m <时，当k >()x ϕ有极大值和极小值，此时极小值点为2x ，极大值点为1x （其中122222k k x x +++==）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1、不等式的解法；2、方程的根；3、导数的几何意义；4、函数极值与导数的关系．请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知四边形ABCD 为圆O 的内接四边形，且BC CD =，其对角线AC 与BD 相交于点M ，过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ．（1）求证：AB MD AD BM =；（2）若CP MD CB BM =，求证：AB BC =． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】考点：1、圆周角定理；2、相似三角形；3、弦切角定理． 23.本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为22x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上． （1）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求FA FB 的值； （2）求曲线C 的内接矩形的周长的最大值．【答案】（1）2；（2）16． 【解析】考点：24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知0x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立． （1）求满足条件的实数t 的集合T ；（2）若1,1m n >>，对t T ∀∈，不等式23log log m n t ≥恒成立，求m n +的最小值． 【答案】（1）{}|1T t t =≤；（2）6． 【解析】试题分析：（1）由条件可知关于x 的不等式t x x ≥---|2||1|有解即可，因此只需()max12x x t ---≥，进而可求出实数t 的集合T ；（2）根据条件知道应有max 33log log t n m ≥⋅，再结合（1）的结论以及基本不等式，进而可求出n m +的最小值．试题解析：（1）令()1,11223,121,2x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩，则()11f x -≤≤，由于0x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立，有{}|1t T t t ∈=≤．．．．．．．．．．．．．．5分考点：1、绝对值不等式的解法；2、基本不等式．。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2|1log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（ ） A ．8k > B ．8k ≥ C ．16k > D ．16k ≥ 【答案】C 【解析】试题分析：因为集合A 中至少有3个元素，所以2log 4k >，所以4216k >=，故选C ．考点：1、集合的元素；2、对数的性质． 2.复数212ii+-的共轭复数的虚部是（ ） A ．35- B ．35C ．-1D ．1 【答案】C 【解析】考点：复数的概念及运算． 3. 下列结论正确的是（ ）A ．若直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则//αβB ．若直线//l 平面α，直线//l 平面β，则//αβC ．若两直线12l l 、与平面α所成的角相等，则12//l lD ．若直线l 上两个不同的点A B 、到平面α的距离相等，则//l α 【答案】A 【解析】试题分析：A 中，垂直于同一直线的两平面互相平行，所以直线直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则//αβ，正确；B 中，若直线//l 平面α，直线//l 平面β，则两平面可能相交或平行，故B 错；C 中，若两直线12l l 、与平面α所成的角相等，则12l l 、可能相交、平行或异面，故C 错；D 中，若直线l 上两个不同的点A B 、到平面α的距离相等，则直线与平面可能相交或者平行，故D 错，故选A ． 考点：空间直线与平面间的位置关系．【思维点睛】解答此类试题的关键是对于空间几何中的一些概念、公理、定理和推论的理解一定要结合图形，理解其本质，准确把握其内涵，特别是定理、公理中的限制条件，如公理3中“不共线的三点”，“不共线”是很重要的条件．4.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2532a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ） A ．29 B ．31 C ．33 D ．36 【答案】B考点：等比数列通项公式及求前n 项和公式． 【一题多解】由2532a a a =，得42a =．又47522a a +=，所以714a =，所以12q =，所以116a =，所以515(1)311a q S q-==-，故选B ．5.已知实数,x y 满足21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩，则22x y z x ++=的取值范围为（ ）A ．100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．(]10,2,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]10,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ 【答案】D 【解析】试题分析：作出不等式组不等式的平面区域如图所示，2222x y y z x x+++==+表示的几何意义为区域内的点到点(0,2)P -的斜率k 加上2．因为(3,2)A 、(1,0)C -，所以4,23AP CP k k ==-，所以由图知43k ≥或2k ≤-，所以1023k +≥或20k +≤，即103z ≥或0z ≤，故选D ．考点：简单的线性规划问题．6.若()0,0,lg lg lg a b a b a b >>+=+，则a b +的最小值为（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 【答案】C考点：1、对数的运算；2、基本不等式．7.阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（ ）A ．计算数列{}12n -前5项的和B ．计算数列{}21n -前5项的和 C ．计算数列{}21n -前6项的和 D ．计算数列{}12n -前6项的和【答案】D 【解析】试题分析：第一次循环，得1,2A i ==；第二次循环：1+21,3A i =⨯=；第三次循环：21+21+21,4A i =⨯⨯=；第四次循环：231+2+2+2,5A i ==；第五次循环：2341+2+2+2+2,6A i ==；第六次循环：23451+2+2+2+2+2A =，76i =>，不满足循环条件，退出循环，输出23451+2+2+2+22A =+，即计算数列{}12n -前6项的和，故选D ．考点：循环结构流程图．【易错点睛】应用循环结构应注意的三个问题分别为：（1）确定循环变量和初始值；（2）确定算法中反复执行的部分，即循环体；（3）确定循环的终止条件．同时依次计算出每次的循环结果，直到不满足循环条件为止是解答此类问题的常用方法．8.ABC ∆中，“角,,A B C 成等差数列”是“)sin sin cos C A A B =+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】考点：1、充分条件与必要条件；2、、两角和的正弦函数．9.已知a b >，二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（ ）A ．1BC ．2D ．【答案】D 【解析】试题分析：因为二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，所以0440a ab >⎧⎨-≤⎩；又o x ∃∈R ，使220oo ax x b ++=成立，所以440ab -≥，故只有440ab -=，即0,,1a a b ab >>=，所以22a b a b+-＝a b -+2aba b-=2a b a b -+≥-D ．考点：1、存在性命题；2、基本不等式；3、不等式恒成立问题．10.已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的自然数n ，都有2343n n S n T n -=-，则()3153392102a a a b b b b ++=++（ ）A ．1941 B ．1737C ．715D ．2041【答案】A考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前n 项和公式． 11.已知函数()21,g x a x x e e e ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭为自然对数的底数与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦ C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣ 【答案】B 【解析】试题分析：由条件知，方程22ln a x x -=-，即22ln a x x -=-在1[,]e e上有解．设2()2ln f x x x =-，则22(1)(1)()2x x f x x x x -+'=-=．因为1x e e ≤≤，所以()0f x '=在1x =有唯一的极值点．因为1()f e＝212e --，2()2f e e =-，()(1)1f x f ==-极大值，又1()()f e f e <，所以方程22ln a x x -=-在1[,]e e上有解等价于221e a -≤-≤-，所以a 的取值范围为21,2e ⎡⎤-⎣⎦，故选B ．考点：1、函数极值与导数的关系；2、函数函数的图象与性质．12.如图，在OMN ∆中，,A B 分别是,OM ON 的中点，若(),OP xOA yOB x y R =+∈，且点P 落在四边形ABNM 内（含边界），则12y x y +++的取值范围是（ ）A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】考点：向量的几何意义．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若实数()0,1a b ∈、，且满足()114a b ->，则a b 、的大小关系是_____________． 【答案】a b < 【解析】试题分析：因为()0,1a b ∈、，且满足()114a b ->()112a b ->，又()()112a b a b -+≥-以()1122a b -+>，即a b <．考点：基本不等式． 14.若110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为___________． 【答案】0 【解析】试题分析：由110tan tan 3αα+=，得(tan 3)(3tan 1)0αα--=，所以tan 3α=或1tan 3α= ．因为,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan 3α=，所以2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝22sin 2cos 222αα+＋2(1cos 2)2α+＝22sin 22cos 222αα++＝22222222sin cos cos sin 222sin cos sin cos 2αααααααα-⋅+⋅+++＝22222tan 1tan 222tan 1tan 12αααα-⋅+⋅+++＝22222313220231312⨯-⨯+⨯+=++． 考点：1、两角和的正弦函数公式；2、同角三角函数间的基本关系；3、二倍角． 15.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是_____________．【答案】80 【解析】考点：空间几何体的三视图及体积．【方法点睛】名求组合体的几何，首先应该知道它是哪些简单几何体组合而成，这就要求必须掌握简单几何体（柱、锥、台、球等）的三视图，只有在掌握简单几何体三视图的基础上才能确定组合体的“组合”，同时注意三视图的作图原则：“长对正，高平齐，宽相等”，由此可确定几何体中各数据．16.已知函数()()2lg ,064,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若关于x 的方程()()210f x bf x -+=有8个不同根，则实数b 的取值范围是______________． 【答案】1724b <≤ 【解析】考点：1、分段函数；2、函数的图象；3、方程的根．【方法点睛】方程解的个数问题解法：研究程)(x g 0=的实根常将参数移到一边转化为值域问题．当研究程)(x g 0=的实根个数问题，即方程)(x g 0=的实数根个数问题时，也常要进行参变分离，得到)(x f a =的形式，然后借助数形结合（几何法）思想求解；也可将方程化为形如)()(x h x f =，常常是一边的函数图像是确定的，另一边的图像是动的，找到符合题意的临界值，然后总结答案即可．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知()2sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭，集合(){}|2,0M x f x x ==>，把M 中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{}*,n a n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记211n n b a +=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：14n T <． 【答案】（1）()*21n a n n N =-∈；（2）见解析． 【解析】试题分析：（1）首先根据正弦函数性质解出M 中的元素，从而得到21,x k k Z =+∈，由此可求得数列{}n a 的通项公式；（2）首先结合（1）求得n b 的表达式，然后利用放缩法与裂项法即可使问题得证．考点：1、递推数列；2、数列的通项公式；3、裂项法求数列的和．18.（本小题满分12分）已知向量2,1,cos ,cos 444x x x m n ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭，记()f x m n =． （1）若()1f x =，求cos 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，求()2f A 的取值范围．【答案】（1）12；（2）32⎤⎥⎝⎦． 【解析】试题分析：（1）首先利用向量的数量积公式求出函数()f x 的解析式，然后利用二倍角公式求值即可；（2）首先由正弦定理将边角的混合等式化为角的等式，然后利用三角函数公式化简求出角A 的范围，从而求出三角函数值的范围．试题解析：（1）()21113sin cos cos cos sin 4442222262x x x x x x f x m n π⎛⎫==+=++=++ ⎪⎝⎭， 由()1f x =，得1sin 262x π⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以21cos 12sin 3262x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．6分（2）因为()2cos cos a c B b C -=，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，所以2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=，所以()2sin cos sin A B B C =+，因为A B C π++=，所以()sin sin B C A +=，且sin 0A ≠，所以1cos 2B =，又02B π<<，所以3B π=， 则22,33AC A C ππ+==-，又02C π<<，则62A ππ<<，得2363A πππ<+<，所以sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，又因为()12sin 62f A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故函数()2f A 的取值范围是32⎤⎥⎝⎦．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1、两角和的正弦函数；2、倍角公式；3、正弦定理；4、正弦函数的图象与性质．【思路点睛】第一问解答时，要注意分析结论中的角与条件中角的关系，合理选择变换策略达到求值的目的；第二问解答时，求得内角B 的值是关键，结合三角形形状得到函数(2)f A 的定义域，问题就容易解答了，常见的错误是不少考生由于审题不够仔细，漏掉2A π<，实在可惜．19.（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11A B BA ，且12AA AB ==．（1）求证：AB BC ⊥；（2）若直线AC 与平面1A BC 所成角的正弦值为12，求锐二面角1A A C B --的大小． 【答案】（1）见解析；（2）3π． 【解析】（2）解法一：连接CD ，由（1）可知AD ⊥平面1A BC ，则CD 是AC 在平面1A BC 内的射影， ∴ACD ∠即为直线AC 与平面1A BC 所成的角，因为直线AC 与平面1A BC 所成的角的正弦值为12，则6ACD π∠=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分在等腰直角1A AB ∆中，12AA AB ==，且点D 是1A B 中点，∴112AD A B ==且,26ADC ACD ππ∠=∠=，∴AG =．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 过点A 作1AE A C ⊥于点E ，连接DE ，由（1）知AD ⊥平面1A BC ，则1AD A C ⊥，且AEAD A =，∴AED ∠即为二面角1A A C B --的一个平面角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 且直角1A AC ∆中，11A A AC AE AC ===，又2AD ADE π=∠=，∴sin AD AED AE ∠===1A A C B --为锐二面角， ∴3AED π∠=，即二面角1A A C B --的大小为3π．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 解法二（向量法）：由（1）知AB BC ⊥且1BB ⊥底面ABC ，所以以点B 为原点，以1BC BA BB 、、所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示，且设BC a =，则()()()()10,2,0,0,0,0,,0,0,0,2,2A B C a A ，()()()()11,0,0,0,2,2,,2,0,0,0,2BC a BA AC a AA ===-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 设平面1A BC 的一个法向量()1,,n x y z =， 由111,BC n BA n ⊥⊥得：220za y z =⎧⎨+=⎩，令1y =，得0,1x z ==-，则()10,1,1n =-．．．．．．．．．．．．10分考点：1、空间直线与直线的位置关系；2、线段垂直的性质定理；3、二面角．【技巧点睛】破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．由于“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．20.（本小题满分12分）已知函数()()()()212ln f x a x x a R =---∈．（1）若曲线 ()()g x f x x =+上点()()1,g 1处的切线过点()0,2，求函数()g x 的单调减区间； （2）若函数()y f x =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，求a 的最小值． 【答案】（1）()0,2；（2）24ln 2-． 【解析】（2）因为()0f x <在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立不可能， 故要使函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，只要对任意的()10,,02x f x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭恒成立， 即对12ln 0,,221x x a x ⎛⎫∈>- ⎪-⎝⎭恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 令()2ln 12,0,12x I x x x ⎛⎫=-∈ ⎪-⎝⎭， 则()()()()222212ln 2ln 211x x x x x I x x x --+-'==--．．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：1、函数的零点；2、导数的几何意义；3、利用导数研究函数的单调性．【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，()f x a ≥恒成立，只需()min f x a ≥即可；()f x a ≤恒成立，只需max ()f x a ≤即可；（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解． 21.（本小题满分12分）已知()(),,,1p x m q x a ==+，二次函数()1f x p q =+，关于x 的不等式()()2211f x m x m >-+-的解集为()(),1,m m -∞++∞，其中m 为非零常数，设()()1f xg x x =-． （1）求a 的值；（2）若存在一条与y 轴垂直的直线和函数()()ln x g x x x Γ=-+的图象相切，且切点的横坐标0x 满足0013x x -+>，求实数m 的取值范围；（3）当实数k 取何值时，函数()()()ln 1x g x k x ϕ=--存在极值？并求出相应的极值点． 【答案】（1）2a =-；（2）12m >；（3）若0m >时，k ∈R ，函数()x ϕ极小值点为2x ；若0m <时，当k >()x ϕ极小值点为2x ，极大值点为1x （其中122k x +-=，222k x +=）【解析】试题分析：（1）首先用向量的数量积公式代入到()f x 的表达式中，然后根据所给出的不等式解集即可求得a 的值；（2）若存在这样的直线，则说明函数()x Γ的导数可为0，从而对函数()x Γ求导后解得切点横坐标0x 与m 的关系，根据不等式得到0x 的范围，进而求得实数m 的范围；（3）当函数()x ϕ存在极值时，其导数必为零点，因此先对函数求导，由于解析式中含实数k ，由此对导数进行分类讨论，从而可求得极极值以及极值点．试题解析：（1）∵()()(),,,1,1p x m q x a f x p q ==+=+， ∴二次函数()21f x x ax m =+++，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 关于x 的不等式()()2211f x m x m >-+-的解集为()(),01,m -∞++∞，也就是不等式()22120x a m x m m ++-++>的解集为()(),01,m -∞++∞，∴m 和 1m +是方程()22120x a m x m m ++-++=的两个根， 由韦达定理得：()()112m m a m ++=-+-， ∴2a =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分（3）()()()()()ln 11ln 11mx g x k x x k x x ϕ=--=-+---的定义域为()1,+∞， ∴()()()()222211111x k x k m mkx x x x ϕ-++-+'=--=---方程()2210x k x k m -++-+= （*）的判别式()()222414k k m k m ∆=+--+=+．①若0m >时，0∆>，方程（*）的两个实根为212412k k m x +-+=<，或222412k k mx +++=>，则()21,x x ∈时，()0x ϕ'<；()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>， ∴函数()x ϕ在()21,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，此时函数()x ϕ存在极小值，极小值点为2,x k 可取任意实数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分综上所述，若0m >时，k 可取任意实数，此时函数()x ϕ有极小值且极小值点为2x ；若0m <时，当2k m >-()x ϕ有极大值和极小值，此时极小值点为2x ，极大值点为1x （其中2212242422k k m k k mx x +++++==）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1、不等式的解法；2、方程的根；3、导数的几何意义；4、函数极值与导数的关系．请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知四边形ABCD 为圆O 的内接四边形，且BC CD =，其对角线AC 与BD 相交于点M ，过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ．（1）求证：AB MD AD BM =；（2）若CP MD CB BM =，求证：AB BC =． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】考点：1、圆周角定理；2、相似三角形；3、弦切角定理． 23.本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为22x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上． （1）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求FA FB 的值； （2）求曲线C 的内接矩形的周长的最大值． 【答案】（1）2；（2）16．【解析】考点：24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知0x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立． （1）求满足条件的实数t 的集合T ；（2）若1,1m n >>，对t T ∀∈，不等式23log log m n t ≥恒成立，求m n +的最小值． 【答案】（1）{}|1T t t =≤；（2）6． 【解析】试题分析：（1）由条件可知关于x 的不等式t x x ≥---|2||1|有解即可，因此只需()max12x x t ---≥，进而可求出实数t 的集合T ；（2）根据条件知道应有max 33log log t n m ≥⋅，再结合（1）的结论以及基本不等式，进而可求出n m +的最小值．试题解析：（1）令()1,11223,121,2x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩，则()11f x -≤≤，由于0x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立，有{}|1t T t t ∈=≤．．．．．．．．．．．．．．5分考点：1、绝对值不等式的解法；2、基本不等式．。

绝密★启用前2017届河北衡水中学高三文12月月考数学试卷（带解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．已知集合{|24}A x x =<<，{|(1)(3)0}B x x x =--<，则A B =∩（ ）A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4)2．已知21iz i =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．若sin 2a =，则cos a =（ ）A ．23- B ．13-C ．13D ．234．设向量,a b 满足||a b += ||a b -= a b = •（ ）A ．1B ．2C ．3D ．55．要得到函数sin(4)3y x π=-的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位6．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）A ．13B ．11C ．9D ．77．已知(,)P x y 为平面区域001(0)x y x y a x a a -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤+>⎩内的任意一点，当该区域的面积为3时，2z x y =-的最大值是（ ）A ．6B ．3C ．2D ．18．已知实数0a <，函数22,1,(),1,x a x f x x x ⎧+<=⎨-≥⎩若(1)(1)f a f a -≥+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,0)-B ．[2,1]--C ．(,2]-∞-D ．(,0)-∞9．《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著．其第五卷《商功》中有如下问题：“今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？”这里所说的圆堡就是圆柱体，其底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少?若π取3，估算该圆堡的体积为（1丈=10尺）（ ）A ．1998立方尺B ．2012立方尺C ．2112立方尺D ．2324立方尺10．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．24B ．30C ．48D ．7211．若实数数列：123181a a a --，，，，成等比数列，则圆锥曲线2221y x a +=的离心率是（ ）A ．13C 12．设函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =对称，且(2)(4)1f f +=-，则a =（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．4第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．已知函数3()2f x ax x =-的图象过点(1,4)-，则a = ．14．已知抛物线2:4C y x =，直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，若线段AB 的中点坐标为(2,2)，则直线l 的方程为 ．15．若42log (34)log a b +=a b +的最小值为 ．16．数列{}n a 满足1(1)(1)n n n a a a +--=，82a =，则2017S = ．三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin cos B b A c +=．（1）求B ；（2）若a =，ABC S ∆=b ．18．已知等差数列{}n a 的前三项为142a a -，，，记前n 项和为n S ． （1）设2550k S =，求a 和k 的值；（2）设n n S b n=，求371141n b b b b -++++ 的值． 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形， 60BAD ∠=°，2PA PD AD ===，点M 在线段PC 上，且2PM MC =，N 为AD 的中点．（1）求证：AD ⊥平面PNB ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求三棱锥P NBM -的体积．20．已知抛物线21:4C y x =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为过点F 的直线l 与1C 相交于,A B 两点，与2C 相交于,C D两点，且AC 与BD 同向．（1）求2C 的方程；（2）若||||AC BD =，求直线l 的斜率．21．设函数2()mx f x e x mx =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e -≤-，求m 的取值范围．22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为12x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）． （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换'1'2x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩得到曲线'C ，设(,)M x y 为曲线'C 上任一点，求222x y +的最小值，并求相应点M 的坐标．23．选修4-5：不等式选讲已知实数0a >，0b >，函数()||||f x x a x b =---的最大值为3．（1）求a b +的值；（2）设函数2()g x x ax b =---，若对于x a ∀≥均有()()g x f x <，求a 的取值范围．参考答案1．C【解析】试题分析：{}{|(1)(3)0}|13B x x x x x =--<=<<，所以{}|23(2,3)A B x x =<<=∩故选C ．考点：集合的运算．2．D【解析】 试题分析：()()()2121111i i i z i i i i -===+++-,1z i =-,所以z 的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限，故选D ．考点：1．复数的运算；2．复数相减的概念．3．C【解析】试题分析：221cos 12sin 1223αα=-=-⨯=⎝⎭,故选C ． 考点：二倍角公式．4．A【解析】试题分析：因为||a b += 222()210a b a a b b +=+⋅+= ………………①，又||a b -= 222()26a b a a b b -=-⋅+= …………②，①-②得44a b ⋅= ，所以1a b ⋅= ，故选A ．考点：1．向量模的定义及运算；2．向量的数量积．5．B【解析】 试题分析：sin(4)sin 4()312y x x ππ=-=-,所以要得到函数sin(4)3y x π=-的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象向右平移12π个单位即可，故选B ． 考点：三角函数图象的平移变换．6．C【解析】试题分析：该程序框图所表示的算法功能为满足条件1312lg lg lg 2lg 13522i S i i =++++=+<++ 的最小的i 值，解之得8i >，所以i 的最小值为9，故选C ．考点：程序框图．7．A【解析】试题分析：在直角坐标系内作出平面001(0)x y x y a x a a -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤+>⎩，当区域面积为3时，1a =，由图可知，当目标函数过点(2,2)B -时目标函数2z x y =-有最大值，即max 2226z =⨯+=，故选A ．考点：线性规划．8．B【解析】试题分析：因0a <，所以(1)(1)f a f a -≥+等价于()()2121a a a ++≥--，解之得21x -≤≤-，即实数a 的取值范围是[2,1]--，故选B ．考点：1．函数的表示；2．二次不等式的解法．9．A【解析】试题分析：由底面半径为r ，则248r π=，又3π=，所以8r =，所以该圆堡的体积为883111998V =⨯⨯⨯=立方尺，故选A ．考点：1．数学文化；2．旋转体的表面积与体积．10．C【解析】试题分析：该三视图所表示的几何体为如下图所示的三棱锥，其底面是一个直角边长为6的等腰直角三角形，高为4，所以其体积116642432V =⨯⨯⨯⨯=，故选C ．AC考点：三视图．【名师点睛】本题考查三视图，属中档题；对简单组合体的三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状，再根据“长对正，宽相等，高平齐”的法则组合体中的各个量．11．D【解析】试题分析：因为123181a a a --，，，，成等比数列，所以2221(81)81,9a a =-⨯-==-（等比数列的奇数项同号），所以圆锥曲线的方程为2219y x -=，其中1,3,a b c ===c e a==D ． 考点：1．等比数列的性质；2．双曲线的几何性质．【名师点睛】本题考查等比数列的性质、双曲线的几何性质，属中档题；求双曲线的离心率的值或范围的基本思想是建立关于,,a b c 的方程或不等式，根据已知条件和双曲线中,,a b c 的关系，要据题中提供的条件列出所求双曲线中关于,a c 的等量关系或不等关系，解方程或不等式可得所求离心率的值或范围．解题中要注意椭圆与双曲线中,,a b c 关系的不同．12．C【解析】试题分析：因为函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =对称，所以2()log y f x x α==-，(2)(4)12321,f f ααα+=-+-=-=- 所以2α=，故选C ． 考点：1．函数与反函数的关系；2．对数的运算性质．【名师点睛】本题考查函数与反函数的关系、对数的运算性质，属中档题；函数与反函数的图象关于直线y x =对称，本题中未给出两个函数是反函数，而是给出对称关系，教科书中只提到了指数函数与对数函数互为反函数，本题取之于教材，而高于教材．13．2-【解析】试题分析：因为函数3()2f x ax x =-的图象过点(1,4)-，所以(1)24,2f a a -=-+==-． 考点：函数的表示与求值．14．0x y -=【解析】试题分析：设1122(,),(,)A x y B x y ，由,A B 在抛物线上，所以2211224,4y x y x ==，两式作差得2212124()y y x x -=-，所以直线AB 的斜率1212124414y y k x x y y -====-+，直线方程为22y x -=- 即0x y -=．考点：直线与抛物线的位置关系．15．7+【解析】试题分析：由42log (34)log a b +=34ab a b =+，即304a b a =>-，所以4a >，312477744a ab a a a a +=+=-++≥+=+--当且仅当4a =+时取等号，所以a b +的最小值为7+．考点：1．对数的性质；2．基本不等式．【名师点睛】本题考查对数的性质、基本不等式，属中档题；利用基本不等式求最值时，首先是要注意基本不等式的使用条件，“一正、二定、三相等”；其次在运用基本不等式时，要特别注意适当“拆”、“拼”、“凑”．16．20172【解析】试题分析：由1(1)(1)n n n a a a +--=得1111111n n n n n n na a a a a a a ++-=+==---，所以87121a a ==-，解得712a =，761121a a ==-，61a =-，同理54321112,,1,2,22a a a a a ===-==，即数列{}n a 是一个周期数列，周期是为4，且12341121222a a a a +++=+-+=，所以20172016120172422S =⨯+=． 考点：1．数列的递推关系；2．数列的性质．【名师点睛】本题考查数列的递推关系、数列的性质，属中档题．数列是特殊的函数，函数的周期性可在数列中应用，本题就是利用了数列的周期性求解的，数列周期的判断方法一般是通过求出数列的前若干项，通过观察规律得到的．17．(1) 30B =︒；(2) b =【解析】试题分析：(1) 由正弦定理得将条件中的边换为相应角的正弦值，并由sin sin()C A B =+化简整理可得tan 3B =，从而求出角B 的值；(2) 由a =及三角形面积公式可求得边,a c 的值，再利用余弦定理可求出边b ．试题解析：（1sin sin cos sin A B B A C +=，()sin sin cos sin A B B A A B +=+，sin sin cos A B A B =，由sin 0A ≠得tan B =，所以30B =︒．…………6分（2）由a =得21sin 2ABC S ac B ∆===2,c a ==由余弦定理得22228b a c =+=，故b =12分 【考点】1．正弦定理与余弦定理；2．三角恒等变换． 18．(1) 3,50a k ==；（2）222n n +． 【解析】试题分析：(1)由等差数列{}n a 的前三项为142a a -，， 可列出关系式()128a a -+=，从而求出a 的值，求出数列的首项与公差，由数列的前n 项和公式可求k 的值；（2）由（1）可知2n S n n =+，所以1nn s b n n ==+，即{}n b 是等差数列，由等差数列求和公式求之即可．试题解析：（1）由已知得1231,4,2a a a a a =-== ，又1322a a a += ，∴()128a a -+=，即3a =．∴12a =，公差212d a a =-=．由()112k k k S ka d -=+，得()12225502k k k -+⨯=， 即225500k k +-=．解得50k =或51k =-（舍去）．∴3,50a k ==．（2）由()1n 12n n S na d -=+，得()2n 1222n n S n n n -=+⨯=+．∴1nn s b n n==+，∴{}n b 是等差数列． 则()()[]()3711413171111411n b b b b n -++++=+++++++-+ ；()442n n +=．∴237114122n b b b b n n -++++=+ ．【考点】等差数列的性质与前n 项和公式． 19．（1）见解析；（2）23． 【解析】试题分析：(1)欲证AD ⊥平面PNB ，只要证PN AD ⊥、BN AD ⊥即可，由等边三角形性及菱形的性质可证PN AD ⊥、BN AD ⊥；(2) 利用等体积转换的方法求解，即P NMB M PNB V V --= ，求出三角形PNB 的面积及M 到平面PNB 的距离即可求体积．试题解析：（1）∵,PA PD N =为AD 的中点，∴PN AD ⊥，……（2分） ∵底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，∴BN AD ⊥，……（4分） ∵PN BN N = ，∴AD ⊥平面PNB ．……（6分） （2）∵2PN PD AD ===，∴PN NB ==7分）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PN AD ⊥， ∴PN ⊥平面ABCD ，……（8分） ∴PN NB ⊥，∴1322PNB S ∆==．……（9分） ∵AD ⊥平面,//PNB AD BC ，∴BC ⊥平面PNB ．（10分） ∵2PM MC =，∴22132233323P NRM M PNB C PNB V V V ---===⨯⨯⨯=．（12分） 【考点】1．线面垂直的判定与性质；2．面面垂直的判定与性质；3．多面体的体积．【名师点睛】本题考查线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质、多面体的体积，属中档题；证明面面垂直的关键是证明线面垂直，证明线面垂直可由面面垂直得到，但由面面垂直得到线面垂直一定要注意找两个面的交线，否则很容易出现错误．求几何体的体积的方法主要有公式法、割补法、等积法等，本题求三棱锥的体积，采用了等积法．20．(1)22198x y +=；(2) 【解析】试题分析：(1)先求出抛物线的焦点，从而可求得椭圆的焦点，又椭圆与双曲线均关于x 轴对称，由公共弦长为,,a b c 的关系式，求出,a b 即可；（2）设l 的方程为()1y k x =-，代入抛物线方程得()2222240k x k x k -++=，从而求出212224k x x k ++=，即22242k AB k +=+，将直线方程代入椭圆方程得()222289189720k x k x k +-+-=，由此得23421889k x x k +=+，求出()2248189k CD k +=+，由AB CD =列出方程解之即可．试题解析：（1）由21:4C y x =知其焦点F 的坐标为()1,0，因为F 也是椭圆2C 的一个焦点，所以221a b -=①；又1C 与2C的公共弦长为1C 与2C 都关于x 轴对称，且1C 的方程为21:4C y x =，由此易知1C 与2C的公共点的坐标为3,2⎛ ⎝，∴229614a b +=②，联立①②得229,8a b ==，故2C 的方程为222:198x y C +=． （2）如图，设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，因AC 与BD 同向，且AC BD =知AB CD =，设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为()1y k x =-，由()214y k x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩得()2222240k x k x k -++=，由12,x x 是这个方程的两根，212224k x x k ++=，从而22242k AB k+=+, 由()221198y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()222289189720k x k x k +-+-=，而34,x x 是这个方程的两根，23421889k x x k +=+，从而()2222481118638989k k CD k k +=-=++， 由AB CD =得：238k =，解得k =l的斜率为±【考点】1．椭圆与抛物线的性质；2．直线与抛物线、椭圆的位置关系．【名师点睛】本题考查椭圆与抛物线的性质、直线与抛物线、椭圆的位置关系，属难题；高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成,其中考查较多的圆锥曲线是椭圆,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用．21．（1）()f x 在(),0-∞时单调递减，在()0,+∞单调递增；（2）[]1,1-． 【解析】试题分析：（1）求函数()f x 的导数，分0m ≥与0m <分别讨论()f x '的符号，即可得到函数()f x 的单调性；（2）任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e -≤-等价于max min ()()1f x f x e -≤-，由（1）可知min ()(0)f x f =，max ()(1)f x f =或max ()(1)f x f =-，所以只要(1)(0)1(1)(0)1f f e f f e -≤-⎧⎨--≤-⎩ ，解不等式组即可．试题解析：（1）()(1)2mxf x m e x '=-+．若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，10,()0mxe f x '-≤<；当(0,)x ∈+∞时，10,()0mxef x '-≥>．所以()f x 在区间(0,)+∞上单调递增,在区间(,0)-∞上单调递减；若m 0<，则当(,0)x ∈-∞时，10,()mx e f x '-><；当(0,)x ∈+∞时，10,()mx e f x '-<>．所以，()f x 在(),0-∞时单调递减，在()0,+∞单调递增． 综上，()f x 在(),0-∞时单调递减，在()0,+∞单调递增．（2）由（1）知，对任意的,m ()f x 在[]1,0-单调递减，在[]0,1单调递增，故()f x 在x 0=处取得最小值．所以对于任意1212,[1,1],()()1x x f x f x e ∈--≤-的要条件是(1)(0)1(1)(0)1f f e f f e -≤-⎧⎨--≤-⎩，即m-m e -m e-1e +m e-1⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，① 令()g xx e x =-，则()()g 1,g xx e x =-在()0,+∞单调递增，在(,0-∞单调递减不妨设()01g x e =-，因为()()211111,221g e g e e e-=-<--=->-，所以()02,1x ∈--，所以0011x m x m -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，综上，m 的取值范围为[]1,1-．【考点】1．导数与函数的单调性、极值、最值；2．函数与不等式．22．（120y -=,曲线C 的普通方程为224x y +=；（2）最小值为1，相应的点为1,2M ⎛⎝⎭或1,2⎛-- ⎝⎭． 【解析】试题分析：(1)将直线中的参数消去，即可得到其普通方程，在极坐标方程2ρ=两边平方，由222x y ρ=+替换即可得到圆的直角坐标方程．(2)由变换公式先写出变换后的方程为一椭圆，用椭圆的参数方程表示点()2cos ,sin M θθ代入222x y +，由三角函数知识求之即可．试题解析：（1）由1x t =-，得1t x =-，代入2y =，20y -=． 由2ρ=，得24ρ=，∴224x y +=．（2）∵'1'2x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴'C 的直角坐标方程为2214x y +=．∴设()2cos ,sin M θθ，则2cos ,sin x y θθ==．∴222224coscos 2sin 2cos 233x y πθθθθθ⎛⎫+=-+=++ ⎪⎝⎭． ∴当cos 213πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩1．即当1,2M ⎛ ⎝⎭或1,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，222x y +的最小值为1． 【考点】1．参数方程与普通方程的互化；2．极坐标与直角坐标的互化；3．大陆架参数方程的应用．23．(1) 3a b +=；(2) 132a <<． 【解析】试题分析：(1)由绝对值不等式()()x a x b x a x b a b --+≤--+=+可得m a x ()3f x a b =+=；（2）对于x a ∀≥均有()()g x f x <等价于max min ()()g x f x < ，分别求()g x 的最大值与()f x 的最小值，解不等式即可．试题解析：（1）()()()f x x a x b x a x b a b =--+≤--+=+，……2分 所以()f x 的最大值为a b +，∴3a b +=，……4分（2）当x a ≥时，()()3f x x a x b x a x b a b =--+=--+=--=-，……6分 对于x a ∀≥，使得()()g x f x <等价于()max ,3x a g x ∀≥<-成立， ∵()g x 的对称轴为2ax a =-<，∴()g x 在[),x a ∈+∞为减函数， ∴()g x 的最大值为()22223g a a a b a a =---=-+-，……8分 ∴2233a a -+-<-，即220a a ->，解得0a <或12a >， 又因为,0,3a ob a b >>+=，所以132a <<．……10分 【考点】1．绝对值不等式的性质；2．函数与不等式．。