石群自动控制原理(第7章)作业答案
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自动控制原理第二章到第七章课后习题答案第二章2-1试求下图所示电路的微分方程和传递函数。
解:(a )根据电路定律,列写出方程组:001Li R c L R C di L u u dtu R i i dt Ci i i ⋅+==⋅==+⎰消除中间变量可得微分方程:20002i d u du L L C u u dt R dt⋅⋅+⋅+=对上式两边取拉氏变换得:2000()()()()i LL C U s s U s s U s U s R⋅⋅⋅+⋅⋅+= 传递函数为022()1()()1i U s R G s L U s R Ls LCRs s LCs R ===++++ (b )根据电路定律,列写出方程组:12011()i i u i R R idt C u u i R =++-=⎰消除中间变量可得微分方程:121012i R R Ru u idt R R C+=-⎰ 对上式两边取拉氏变换得:2012()(1)()(1)i U s R Cs U s R Cs R Cs +=++传递函数为0212()1()()1i U s R CsG s U s R Cs R Cs+==++2-3求下图所示运算放大器构成的电路的传递函数。
解:(a )由图(a ),利用等效复数阻抗的方法得22111(s)1(s)()1o i R U R Cs Cs G U s R R Cs ++==-=-+(b )由图(b ),利用等效复数阻抗的方法得222121211221211111(s)()1(s)1()1o i R U C s R R C C s R C R C s G U s R C s R C s R C s++++==-=-+2-5试简化下图中各系统结构图,并求传递函数()()C s R s 。
2-6试求下图所示系统的传递函数11()()C s R s ,21()()C s R s ,12()()C s R s 及22()()C s R s 。
7.1 求下列矩阵的若尔当型及其变换矩阵(1)010001341⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦解:矩阵的特征值为:1230.78,0.11 1.95,0.11 1.95i i λλλ=-=-+=--,因此可化为对角线规范型:0.780.11 1.950.11 1.95ii -⎡⎤⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦变换矩阵为:1232221231111110.780.11 1.950.11 1.950.61-3.8 - 0.42i -3.8 + 0.42i P i i λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(2)540430461⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦解:矩阵的特征值为:1231λλλ===,()2rank I A -=,表明1λ=的几何重数为3-()rank I A -=1,即该特征值对应一个若尔当块。
所以该矩阵的若尔当型为:11111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,变换矩阵0410404040P ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(3)421043521⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦解:矩阵的特征值为:1232, 2.21, 6.79λλλ=-==,因此可化为对角线规范型:2 2.21 6.79-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,变换矩阵为00.40.610.410.370.780.810.350.46P ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(4)010001340⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦解:矩阵的特征值为:1232.3,1, 1.3λλλ==-=-,因此可化为对角线规范型:2.31 1.3⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,变换矩阵为30.1 2.130.25 2.7530.583.58P -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦7.2已知系统状态方程,求状态变换阵P ,使系统变为对角线型(假设系统的特征值为123,,λλλ)(1)012010001x x a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦解:123222123111P λλλλλλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(2)123100100a x a x a -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦解:系统的特征方程为:32123det()00I A a a a λλλλ-=⇒+++= 设变换矩阵123[,,],i i i i P v v v v Av v λ==满足 设123[,,]Ti i i i v v v v =,则有:11212132313(1)(2)(3)i i i i i i i i i i i a v v v a v v v a v v λλλ-+=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩ 由(1)得211()(4)i i i v a v λ=+由(2)(4)得23121()(5)i i i i v a a v λλ=++ 代入(3)得321123()0i v a a a λλλ+++=所以1i v 是任意常数,取为1,则21i i v a λ=+,2312i i i v a a λλ=++所以112131222111221223132111P a a a a a a a a a λλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥++++++⎣⎦7.3证明:对于具有互相不同特征值12,,,n λλλ 的矩阵1211000010000010000n n a a A a a --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦能将其变换为对角矩阵形式的变换矩阵为:11122111212121211111111n n n n n n n n n n n a a P a a a a a a a a λλλλλλλλλλ------⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎢⎥=++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++++⎣⎦证明:系统的特征方程为:111det()00nn n n I A a a a λλλλ---=⇒++++=设变换矩阵12[,,,],n i i i i P v v v v Av v λ== 满足 设12[,,,]Ti i i in v v v v = ,则有:21111212213231211211111111()()()(1)0(2)i i i i i i i i i i i i i i i n n n i in i in in i i n i n i i in i in n i v a v a v v v a v v v v a a v a v v v v a a v a v v v a v λλλλλλλλλλ-----=+⎧-+=⎧⎪⎪-+==++⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-+==+++⎪⎪-=⎪⎪+=⎩⎩将(1)代入(2)得11110n n i i n i n i a a a v λλλ--++++= 对比系统特征方程可知11i v =满足。
习 题7-1 根据定义*()e()enTsn E s nT ∞-==∑试求下列函数的E *(s )和闭合形式的E (z )。
(1) e (t ) = t ; (2) 2)(1)(a s s E +=解 (1) e (t ) = t 求解过程可分为以下三个步骤进行:① 求()e t 的采样函数*()e t :由()()|,0,1,2,t nT e nT e t nT n ==== ,得斜坡函数()e t 在各采样时刻的值()e nT 。
故采样函数为*00()(0)()()()()()()()()n n e t e t e T t T e nT t nT e nT t nT nT t nT δδδδδ∞=∞==+-++-+=-=-∑∑② 求*()e t 的拉氏变换式*()E s :*()e t 的拉氏变换式为*()E s*0223'2'''2()()02[][(1)]1111(1)nTsnTsn n Ts TsnTsTs TsTsnTsTsTsTsnTs TsTs Ts Ts Ts E s e nT enTeTe TenTe e e eeeeeeTe e e e e ∞∞--==-------------===+++++=-+++++=-+++++⎡⎤⎡⎤=-=-=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦∑∑③ 求()E z :由*1ln ()()|s znE z E s ==,得2()(1)Tz E z z =-(2) 2)(1)(a s s E +=① 求()e t :()ate t te -=② 求*()e t*0()()(),()()|anTt nTn e t e nT t nT e nT e t nTeδ∞-===-==∑所以 *0()()anTn e t nTet nT δ∞-==-∑③ 求*()E s*()()nTsanTnTsn n E s e nT enTee∞∞---====∑∑④ 求()E s*1ln 012()()|[()2()()]anTns zn Tat atatnE s E s nTeze z e z n e z T∞--==---===++++∑令1()at e z y -=,则2123''2()(123)()1(1)n nE y y y nyyT y y y y yTy Ty yT y y -=+++++=+++++⎛⎫== ⎪--⎝⎭将1()at y e z -=代入上式,可得()E z 为 1122()()[1()]()ataT at aTT e z Tze E z e z z e----==--7-2 求下列函数的Z 变换X (z )。
第一章1-1图1-2是液位自动控制系统原理示意图。
在任意情况下,希望液面高度c维持不变, 试说明系统工作原理并画岀系统方块图。
图1-2 液位自动控制系统解:被控对象:水箱;被控量:水箱的实际水位;给定量电位器设定水位U r(表征液位的希望值C r);比较元件:电位器;执行元件:电动机;控制任务:保持水箱液位高度不变。
工作原理:当电位电刷位于中点(对应U r)时,电动机静止不动,控制阀门有一定的开度,流入水量与流出水量相等,从而使液面保持给定高度C r,一旦流入水量或流出水量发生变化时,液面高度就会偏离给定高度C r。
当液面升高时,浮子也相应升高,通过杠杆作用,使电位器电刷由中点位置下移,从而给电动机提供一定的控制电压,驱动电动机,通过减速器带动进水阀门向减小开度的方向转动,从而减少流入的水量,使液面逐渐降低,浮子位置也相应下降,直到电位器电刷回到中点位置,电动机的控制电压为零,系统重新处于平衡状态,液面恢复给定高度r。
反之,若液面降低,则通过自动控制作用,增大进水阀门开度,加大流入水量,使液面升高到给定高度C r。
系统方块图如图所示:1-10 下列各式是描述系统的微分方程,其中c(t)为输岀量,r (t)为输入量,试判断哪些是线性定常或时变系统,哪些是非线性系统?2c(t) =5 r2(t) t d2(^(1) dt ;3 2d c(t) 3d c(t) 6dc(t) --- 3 3 ---- 2 6 — dt dt dt xdc(t) dr(t)t c(t) =r(t) 3 dt dtc(t) = r(t)cos t 5 ;dr (t) tc(t) =3r(t)6 5 r(.)d. (5) dt =;(6)c(t)訂 2 ⑴;0, t ::: 6c(t)= “r(t), t 畠 6.(7) -解:(1)因为c(t)的表达式中包含变量的二次项 『(t),所以该系统为非线性系统。
(2) 因为该微分方程不含变量及其导数的高次幕或乘积项,且各项系数均为常数,所以该 系统为线性定常系统。
杭电期末自控原理- 第七章习题参考答案7-1 试求下列函数的初值和终值。
(2)211)1(10=)(---z z z X解:0=)1(10=)(=)0(211∞→∞→---z z limz X lim x z z ∞=)1(10)1(=)()1(=)∞(2111→1→-----z z z lim z X z lim x z z7-2试求下列函数的Z 反变换。
(2))2()1(=)(2--z z z z X (4)))((=)(3T T e z e z zz X ----解 (2)1)1(2=)2()1(=)(22-------z zz z z z z z z z X12=]1)1(2[=)(2--------1n z zz z z z Z nT x n)()1(2=)(∑∞=nT t δn t x n n *---(4)))((=)(3T T e z e z zz X ----]))(([=])([=)(31∑∑T T nn e z e z z s Re zz X s Re nT x -----T T nT z=e TT T n e e e e z e z e z z R T331=)]())(([=-----------T T nT z=e TT T n ee e e z e z e z z R T-----------33332=)]())(([=3T T nTnT T T nT T T nT ee e e e e e e e e nT x --------------33333=+=)()(=)(∑∞0=33nT t δee e e t x n T T nTnT *-------7-4 试判断图7-24所示系统的稳定性。
解 开环脉冲传递函数为))()(190()()1()()1100(+))()(1(99))((900=]901910+11011)1(10)[(1=]100+190110+1910+1101110[)(1=]1)+.0101)(+.10(10[)(1=]1)+.0101)(+.10(101[=)(100101021002100101001010010212121T T T T T T T T TT Ts e z e z z e z z e z z e z e z z e z e z T e z ze z z z z z Tz z s s s s Z z s s s Z z s s s s e Z z G ----------------------------------------闭环系统的特征方程为:0=)(+1z G0=)()1()()1100(+))()(1(9))((90010210021001010010T T T T T T e z z e z z e z e z z e z e z T -----------------将1=T 代入上式得:0=)()1()()1100(+))()(1(9))((90010210021001010010-----------------e z z e z z e z e z z e z e z整理后,近似得:0=11+79+1023z z z将11+=-w w z 代入上述特征方程,得 0=293049+5023--w w ww 域的劳斯表为:图7-24 采样系统294920294930500123----w /ww w可见,系统不稳定。
第七章非线性控制系统分析练习题及答案7-1设一阶非线性系统的微分方程为xx3 x试确定系统有几个平衡状态,分析平衡状态的稳定性,并画出系统的相轨迹。
解令x0得3(21)(1)(1)0xxxxxxx系统平衡状态x e0,1,1其中:x0:稳定的平衡状态;ex1,1:不稳定平衡状态。
e计算列表,画出相轨迹如图解7-1所示。
x-2-11301312x-600.3850-0.38506x112010211图解7-1系统相轨迹可见:当x(0)1时,系统最终收敛到稳定的平衡状态;当x(0)1时,系统发散;x(0)1 时,x(t);x(0)1时,x(t)。
注:系统为一阶,故其相轨迹只有一条,不可能在整个x~x平面上任意分布。
7-2试确定下列方程的奇点及其类型,并用等倾斜线法绘制相平面图。
(1)xxx0(2) x1x2xx122xx12解(1)系统方程为1:xxx0(x0):xxx0(x0)令xx0,得平衡点:x e0。
系统特征方程及特征根:132:ss10,sj(稳定的焦点)1,2222:ss10,s1.618,0.618(鞍点)1,2xf(x,x)xx, d xdxxxxdx dx 1xx,1xxx11I:1(x0)1II:1(x0)计算列表-∞-3-1-1/301/313∞x0:11-1-2/302-∞-4-2-4/3-1x0:11-1-4/3-2-4∞20-2/3-1用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2(a)所示。
2图解7-2(a)系统相平面图(2)xxx112①x22xx②12由式①:x2x1x1③式③代入②:(x1x1)2x1(x1x1)即x12x1x10④令x1x10得平衡点:x e0由式④得特征方程及特征根为2.4142ss2101,2(鞍点)0.414画相轨迹,由④式xx 11 d x1dxx12x1x1x 1 x1 2计算列表322.53∞11.52=1/(-2)∞210-1-2∞用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2(b)所示。
7-10 试求图7-69 闭环离散系统的脉冲传递函数Φ(z) 或输出C(z)。
解:
121()[()()]()
C z E z E z G z =−22()[()()]
E z Z C s G s =122112()
()()
1()
G G z E z E z G G z =+13()()()()
E z R z G z C z =−11213()()
()1()()()
G z C z R z G G z G z G z =
++1212[()()]()
E z E z G G z =−Mason Gain Rule
Mason Gain Rule
24()[()()()]()
C s R s G s B s G s =+*
3()()()()
h B s E s G s G s =1()()()()
E s G s R s C s =−*
**
1
()()()
E s RG s C s =−*
234()[()()()()()]()
h C s R s G s E s G s G s G s =+{}**
21
34()()[()()]()()()
h R s G s RG s C s G s G s G s =+−*
***
*241
34
()()[()()]()
h C s RG G s RG s C s G G G s =+−2413434()()()
()1()
h h RG G z RG z G G G z C z G G G z +=
+
12()[()()]()C s N s B s G s =+*12
1()()()()
h B s B s G s G s =221()()()()()
B z R z D z E z D z =+()()()
E z R z C z =−*22
12()()()()()()()h C s N s G s B s G s G s G s =+*
***2
2
12
()()()()
h C s NG s B s G G G s =+2212()()()()
h C z NG z B z G G G z =+22112()[()()()()]()h NG z R z D z E z D z G G G z =++21212112()[()()]()()
()1()()
h h NG z D z D z G G G z R z C z D z G G G z ++=
+
7-15 设离散系统如图7-70所示,采样周期T=1s, G h (z)为零阶保持器。
要求:
⑴当K=5时,分别在z 域和w 域中分析系统的稳定性;⑵确定使系统稳定的K 值范围。
解:⑴
00()[()()]h h G G z Z G s G s =1
2151[
]25(1)[]
(0.21)(5)
Ts
e
Z z Z s
s s s s −−−==−++1
20.20.040.0425(1)[]5
z Z s s s −=−−++1
25
0.20.040.0425(1)[](1)1z z z z z z z e −−=−−+−−−55
5
(4)(16)
(1)()
e z e z z e −−−++−=−−
55
025
0()(4)(16)
()1()315h h G G z e z e z G G z z z e
−−−++−Φ==+++−25
()3150
D z z z e −=++−=122.633, 0.367
z z =−=−11z >11
w z w +=
−2
()0.01360.21490
D w w w =+−=120.4704, 0.4568
w w =−=20w >552
55416()[(1)()]()0
55
T
T
T
T
e e D z z e K z e K −−−−+−=+−++++=2
()0.9933(1.98650.3838)(1.01350.6094)0
D w Kw K w K =+−+−=0 1.6631
K <<由于,故闭环系统不稳定。
令:由于,故闭环系统不稳定。
⑵确定系统稳定时K 的取值范围。
根据劳斯判据:
7-17 设离散系统如图7-72所示,其中T=0.1, K=1, r(t)=t,试求静态误差系数K p 、K v 、K a ,并求系统稳态误差。
解:
1
021()[
](1)[](1)(1)
sT
h e
K K G G z Z z Z s
s s s s −−−==−++1
1
22
1110.1(1)[](1)[]1(1)
10.905z z z z Z z s s s z z z −−=−−+=−−++−−−0.005(0.9)(1)(0.905)z z z +=−−2
01(1)(0.905)()1() 1.90.905
e h z z z G G z z z −−Φ==+−+
2
() 1.90.9050D z z z =−+=1,20.950.087
z j =±1,21z <01
lim[1()]p h z K G G z →=+=∞
01
lim(1)()0.1
v h z K z G G z →=−=2
01
lim(1)()0
a h z K z G G z →=−=()1ss v
T e K ∞==闭环特征方程为:
由于,故闭环稳定。
开环脉冲传递函数为1型,故t 输入时常值稳态误差为:
7-20 已知离散系统如图7-74所示,其中T=1,连续部分传递函数为,试求r(t)=1(t)时,系统无稳态误差、过渡过程在最少拍内结束的数字控制器D(z)。
解:
0()1[(1)]G s s s =+1()
()(1)
m
A z R z z −=−()1(),1,()1
r t t m A z ===1
011
111(1)()[][](1)11(1)()z z e z
G z Z Z s s s s z z e z z e −−−−==−=−=++−−−−1
()1e z z
−Φ=−1
()1()e z z z
−Φ=−Φ=1
0()0.368() 1.582(10.368)()()
0.632e z z D z z G z z z −Φ−=
==−Φ
7-22(1) 试按无纹波最少拍系统设计方法,分别计算7-20题的D(z)。
解:⑴7-20题根据11101
111
(1)(1)()(1)()
(1)(1)
e z e z
G z z z e z e z −−−−−−−−−=
=
−−−−0()
G z 1
z −1z =可见
没有零点,有1个延迟因子,且在单位圆上有1个极点。
说明:
7-20题中设计的最少拍D(z),已经满足无纹波的要求!不必对和升阶。
故从第2拍起,输出没有纹波。
()1(),1,()1
r t t m A z ===1
()1e z z
−Φ=−1
()1()e z z z
−Φ=−Φ=()e z Φ()z Φ1
2()()()() 1.5820.582e E z D z z R z z
−=Φ=−判断零点数,首先整理!。