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湘教版2020—2021学年九年级数学上册第4章《锐角三角函数》培优试题与简答一．选择题（10小题，每小题3分，共30分）1．如图，ABC∆中，90B∠=︒，2BC AB=，则sin(C=)A．52B．12C ．255D ．552．如图，在ABC∆中，90C∠=︒，4BC=，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若4sin5BDC∠=，则AC的长是()A．43B．26C．10D．83．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:5，堤高4BC m=，则迎水坡宽度AC的长为()A．5m B．45m C．26m D．46m4．已知ABC∆是锐角三角形，若AB AC>，则()A．sin sinA B<B．sin sinB C<C．sin sinA C<D．sin sinC A<5．如图，在Rt ACB∆中，90C∠=︒，sin0.5B=，若6AC=，则BC的长为() A．8B．12C．63D．1236．已知A，B都是锐角、且sin sinA B<，则下列关系正确的是()A．A B∠>∠B．tan tanA B>C．cos cosA B>D．以上都不正确7．如图，在ABC∆中，30A∠=︒，3tan B，23AC=AB的长是()第1题图第2题图第3题图第5题图第7题图A ．4B ．33+C ．5D ．223+8．在Rt ABC ∆中，若90ACB ∠=︒，1tan 2A =，则sin (B = ) A ．12B ．32C ．55D ．2559．如图，某停车场入口的栏杆AB ，从水平位置绕点O 旋转到A B ''的位置，已知AO 的长为4米．若栏杆的旋转角AOA α∠'=，则栏杆A 端升高的高度为( ) A ．4sin α米 B ．4sin α米 C ．4cos α米 D ．4cos α米10．如图，A ，B 两景点相距20km ，C 景点位于A 景点北偏东60︒方向上，位于B 景点北偏西30︒方向上，则A ，C 两景点相距( ) A ．10kmB ．103kmC ．102kmD ．2033km 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11．已知3tan(15)α+︒=，则锐角α的度数为 ︒． 12．比较大小：cos45︒ cos55︒（用“>”或“<”填空） 13．在ABC ∆中，若90C ∠=︒，10AB =，2sin 5A =，则BC = 14．如图，在ABC ∆中，1sin 3B =，3tanC =，3AB =，则AC 的长为 ．15．已知A ∠为锐角，且1cos 2A，那么A ∠的范围是 ． 16．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2AC =，3tan 4B =，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，DE BC ⊥，垂足为点E ，则DE = ．17．如图，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公大楼顶端A 测得旗杆顶端E 的第9题图第10题图第14题图第16题图俯角α是45︒，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是10米，梯坎坡长BC是10米，梯坎坡度41:3BCi=，则大楼AB的高为米．18．如图，在菱形ABCD中，AE BC⊥，E为垂足，若4cos5B=，2EC=，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是．三．解答题（共6小题，满分46分，其中19、20每小题6分，21、22每小题7分，23、24每小题10分）19．已知032a b=≠，求代数式3cot60(2)cos30tan45a ba b+︒-︒︒的值．20．如图，在ABC∆中，90C∠=︒，3tan3A=，ABC∠的平分线BD交AC于点D，3CD=，求AB的长？21．如图，AD是ABC∆的中线，1tan3B=，2cos C=，2AC=．求：（1）BC的长；（2）sin ADC∠的值．22．如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的长度是19.5米，MN是二楼楼顶，//MN PQ，点C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC MN⊥，在自动扶梯底端点A处测得C点的仰角CAQ∠为45︒，坡角BAQ∠为37︒，求二楼的层高BC（精确到0.1米）．（参考数据：sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75)︒≈第17题图第18题图23．某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度，他们先在点D 处用测角仪测得楼顶M 的仰角为30︒，再沿DF 方向前行40米到达点E 处，在点E 处测得楼顶M 的仰角为45︒，已知测角仪的高AD 为1.5米．请根据他们的测量数据求此楼MF 的高．（结果精确到0.1m ，参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈，6 2.449)≈24．如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45︒的防洪大堤（横断面为梯形)ABCD 急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF 的坡比1:3i =． （1）求加固后坝底增加的宽度AF ；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）湘教版2020—2021学年九年级数学上册第4章《锐角三角函数》培优试题参考简答一．选择题（共10小题）1．D ． 2．D ． 3．B ． 4．B ． 5．C ． 6．C ． 7．C ． 8．D ． 9．B ． 10．B ． 二．填空题（共8小题）11． 15 ︒． 12． > ． 13． 4 ． 14．21． 15． 6090A ︒<︒ ． 16．87． 17． 27 ． 18． 4.8 ． 三．解答题（共6小题）19．已知032a b=≠，求代数式3cot 60(2)cos30tan 45a b a b +︒-︒︒的值． 【解】：032a b=≠， 23a b ∴=，∴23b a =， 原式323323..22322332(2).a a a===-．20．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，3tan A =，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，3CD =，求AB 的长？【解】：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3tan A =， 30A ∴∠=︒， 60ABC ∴∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，30CBD ABD ∴∠=∠=︒，又3CD =，3tan30CDBC ∴==︒，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30A ∠=︒， 6sin30BCAB ∴==︒． 答：AB 的长为6．21．如图，AD 是ABC ∆的中线，1tan 3B =，2cosC =，2AC =．求：（1）BC 的长； （2）sin ADC ∠的值．【解】：（1）过点A 作AE BC ⊥于点E ，2cos C 45C ∴∠=︒，在Rt ACE ∆中，cos 1CE AC C ==， 1AE CE ∴==，在Rt ABE ∆中，1tan 3B =，即13AE BE =，33BE AE ∴==，4BC BE CE ∴=+=；（2）AD 是ABC ∆的中线，122CD BC ∴==， 1DE CD CE ∴=-=， AE BC ⊥，DE AE =， 45ADC ∴∠=︒，2sin ADC ∴∠=． 22．如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB 的长度是19.5米，MN 是二楼楼顶，//MN PQ ，点C 是MN 上处在自动扶梯顶端B 点正上方的一点，BC MN ⊥，在自动扶梯底端点A 处测得C 点的仰角CAQ ∠为45︒，坡角BAQ ∠为37︒，求二楼的层高BC （精确到0.1米）．（参考数据：sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75)︒≈【解】：延长CB 交AQ 于点D ，则CD AQ ⊥，在Rt BAD ∆中，sin BD BAD AB ∠=，cos ADBAD AB∠=， sin 19.50.611.7BD AB BAD ∴=∠≈⨯=，cos 19.50.815.6AD AB BAD =∠≈⨯=，在Rt CAD ∆中，45CAD ∠=︒， 15.6CD AD ∴==， 3.9BC CD BD ∴=-=，答：二楼的层高BC 约为3.9米．23．某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度，他们先在点D 处用测角仪测得楼顶M 的仰角为30︒，再沿DF 方向前行40米到达点E 处，在点E 处测得楼顶M 的仰角为45︒，已知测角仪的高AD 为1.5米．请根据他们的测量数据求此楼MF的高．（结果精确到0.1m，参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈，6 2.449)≈【解】：设MC x=，30MAC∠=︒，∴在Rt MAC∆中，3tan3MCAC xMAC===∠．45MBC∠=︒，∴在Rt MCB∆中，MC BC x==，又40AB DE==，40AC BC AB∴-==，即340x x-=，解得：2020354.6x=+≈，54.6 1.556.1MF MC CF∴=+=+=（米)，答：楼MF的高56.1米．24．如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45︒的防洪大堤（横断面为梯形)ABCD急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比1:3i=．（1）求加固后坝底增加的宽度AF；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）【解】：（1）分别过点E、D作EG AB⊥、DH AB⊥交AB于G、H．四边形ABCD 是梯形，且//AB CD ，DH ∴平行且等于EG ．故四边形EGHD 是矩形． ED GH ∴=．在Rt ADH ∆中，tan 10tan4510AH DH DAH =÷∠=÷︒=（米)．在Rt FGE ∆中， 3EGi FG==， 33FG EG ∴=（米)．1033101037AF FG GH AH ∴=+-=-=（米)；（2）加宽部分的体积AFED V S =⨯梯形坝长 1(31037)105002=⨯+⨯⨯ 25000310000=-（立方米）．答：（1）加固后坝底增加的宽度AF 为(1037)米； （2）完成这项工程需要土石310000)立方米．。
一、三角函数的定义1. 正弦函数sinx：对于任意实数x，将x的终边与x轴正方向的夹角的终点的纵坐标就是sinx。
2. 余弦函数cosx：对于任意实数x，将x的终边与x轴正方向的夹角的终点的横坐标就是cosx。
3. 正切函数tanx：对于任意实数x，将sinx除以cosx就是tanx。
4. 余切函数cotx：对于任意实数x，将cosx除以sinx就是cotx。
5. 正割函数secx：对于任意实数x，将1除以cosx就是secx。
6. 余割函数cscx：对于任意实数x，将1除以sinx就是cscx。
二、三角函数的性质1. 基本关系式：sin^2x + cos^2x = 12. 周期性：sin(x+2kπ) = sinx，cos(x+2kπ) = cosx，其中k为任意整数。
3. 奇偶性：奇函数有sinx、tanx和cotx，偶函数有cosx、secx和cscx。
4. 正函数和负函数：在单位圆上，sinx和cscx为正函数，cosx和secx为负函数。
5. 三角函数的范围：sinx、cosx和tanx的范围是[-1,1]，cotx、secx和cscx的范围是(-∞,∞)。
三、特殊角的三角函数值1.0°、30°、45°、60°和90°的三角函数值。
2.30°、45°、60°和90°的三角函数值的推导。
四、角度的度量转换1.度和弧度之间的转换：π弧度=180°，1°=π/180弧度。
2.角度的换算：1°=60'，1'=60''。
五、倍角、半角和三倍角公式1. 倍角公式：sin2x = 2sinxcosx，cos2x = cos^2x - sin^2x，tan2x = 2tanx / (1 - tan^2x)。
2. 半角公式：sin(x/2) = ±√[(1-cosx)/2]，cos(x/2) =±√[(1+cosx)/2]，tan(x/2) = ±√[(1-cosx) / (1+cosx)]。
华师大版九年级（上）《第二十五章·解直角三角形》第二节25.2 锐角三角函数—3 教案【三维教学目标】知识与技能：会用计算器求已知锐角的三角函数值；会用计算器由锐角三角函数值求锐角的度数。
过程与方法：①引导（教师指出学习目标）②学生自学③分组交流、探究④展示（探究结果）⑤教师点评（探究结果最终确认与知识、能力的提升）情感态度与价值观：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决。
教学重点：会用计算器求解锐角的三角函数相关问题。
教学难点：把实际问题转化为数学问题来解决。
【课堂导入】问题A：小明放一个线长为125米的风筝，他的风筝线与水平地面构成60°的角，他的风筝有多高?(精确到1米)解：根据题意画出示意图，如右图所示，在Rt△ABC中，AB＝125米，∠B＝60°，求出AC的长。
（下略）在上节课，我们学习了30°、45°、60°的三角函数值，假如把上题的∠B＝60°改为∠B＝63°，这个问题是否也能得到解决呢?问题B：如图,为了方便行人，市政府在10m高的天桥.两端修建了40m长的斜道.这条斜道的倾斜角是多少?如图,在Rt△ABC中, 那么∠A是多少度呢?以上就是我们这一节课要研究的两个问题：①如何用计算器求已知锐角的三角函数值；②如何用计算器由锐角三角函数值求锐角的度数。
【教学过程】A自学：请同学们用10---15分钟时间自学教科书上本节内容。
B交流：例1：用计算器求下列任意锐角的三角函数值，并把它们按从小到大的顺序用“<”连接：（同种计算器的学生组成一个学习小组，共同探讨计算器的按键方法。
）（2）cos27°12′，cos85°，cos63°36′15″，cos54°23′，cos38°39′52″问：当α为锐角时，各类三角函数值随着角度的增大而做怎样的变化?教师小结：Sinα，tanα随着锐角α的增大而增大； Cosα随着锐角α的增大而减小。
25.2.1锐角三角函数教学目标：1.直角三角形可简记为 Rt △ABC2.理解Rt △中锐角的正弦、余弦、正切、余切的概念. 教学重点：四种锐角三角函数的定义. 教学难点：理解锐角三角函数的定义. 教学过程：一．复习提问：1. 什么叫Rt △？它的三边有何关系？2.Rt △中角、边之间的关系是：①∠A+∠B=90°②222c b a =+ 二．新课探究：1.Rt △ABC 中，某个角的对边、邻边的介绍.2.如图，由Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2∽Rt △AB 3C 3得,333222111k AC C B AC CB C A C B === 可见，在Rt △ABC 中，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是惟一确定的. 同样，其对边与斜边，邻边与斜边，邻边与对边的比值也是惟一确定的. 3.四种锐角三角函数.,cot ,tan cos ,sin 的对边的邻边的邻边的对边，的斜边的邻边的斜边的对边A A A A A A A A A A A A ∠∠=∠∠=∠∠=∠∠=分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A 的三角函数. 显然，锐角三角函数值都是正实数，并且0<sinA<1,0<cosA<1,tanA>0,cotA>0. 4.四种三角函数的关系.1cot tan ,1cos sin 22=⋅=+A A A A三．四种三角函数值例1.①求出如图所示的Rt △ABC 中，∠A 的四个三角函数值.解：Rt △ABC 中，AB=22AC BC +=22815+=17∴sinA=178=AB BC ，cosA=1715=AB AC tanA=158=AC BC ，cotA=815=BC AC8②若图中AC ︰BC=4︰3呢？ 15解：设AC=4κ，BC=3κ，则AB=5κ∴sinA=53，cosA=54，tanA=43，cotA=34 ③若图中tanA=43呢？（解法同上）ABCA B CC C 32111B B 1C B A例2.△ABC 中，∠B=90°，a=5，b=13，求∠A 的四个三角函数值.解：Rt △ABC 中，c=22a b -=22513-=12 ∴sinA=135，cosA=1312，tanA=125，cotA=512注意：解Rt △，如无图，应根据题意自己画图，寻找线段比值也应根据定义，不能死记公式.四．巩固练习：书P76 1-2 五．引申提高：例3．如图，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，若AD=2，BD=8.求cosB.你还能求什么？ 法一：Rt △BCD,552cos ==BC BD B 法二：Rt △ABC 中，552cos ==AB BC B 变式：若AD:BD=9:16, 求∠A 的四个三角函数值. ( 43,34,53,54 ) 六．课时小结：灵活运用四个三角函数求值. 七．课堂作业：P78 习题25.2 1、2A BCA BC D。
第二十八章锐角三角函数第25讲锐角三角函数知识导航1．正弦、余弦、正切的概念及表示方法．2．特殊角的三角函数值．【板块一】求锐角三角函数值方法技巧1．结合图形，理解并牢记三角函数的定义．2．数形结合法熟记特殊角的三角函数值．3．求一个角的三角函数值，一般利用已有的或构造的直角三角形，也可以利用等角转化等，结合三角函数定义求解．题型一紧扣定义求三角函数值【例1】已知锐角α满足tanα＝12，求sinα的值．【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，∵tanα＝12BCAC=，∴设BC＝x，AC＝2x，∴AB，∴sinBCABα===【点评】由于三角函数的定义是基于直角三角形，所以要画出符合题意的直角三角形，结合勾股定理和三角函教的定义求解．【例2】如图，在正方形ABCD中，点M为AD的中点，点E为AB上一点，且BE＝3AE，求cos∠ECM 的值．【解析】首先确定△EMC为直角三角形，设AE＝x，则BE＝3x，AM＝MD＝2x，CD＝4x．∴AE MDAM CD=，又∠A＝∠D＝90°，∴△AEM∽△DMC，可得∠EMC＝90°，由勾股定理可求CM＝x，CE＝5x，在Rt△CEM中，cos∠ECM＝CMCE=．题型二等角转换求三角函数值【例3】如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，点B是y轴左侧⊙A优弧上一点，求tan∠OBC 的值．αA BCCBEA M D【解析】作直径CD，在Rt△OCD中．CD＝6．OC＝2．∴ODtan∠CDO＝OCOD＝,由圆周角定理得∠OBC＝∠CDO，则tan∠OBC【点评】在圆中经常利用同弧或等弧所对的圆周角相等进行角的转换，用直径所对的圆周角去构造直角三角形．题型三构造直角求三角函数值【例4】如图，在Rt△BAD中，tan∠B＝53，延长斜边BD到点C，使DC＝12BD，连接AC，求tan∠CAD 的值．【解析】要求tan∠CAD，必须将∠CAD放在直角三角形中，考虑∠BAD＝90°，故过点D作DE∥AB交AC于点E．则∠ADE＝90°，且有△CDE∽△CBA可利用，由tan∠B＝53ADAB=，设AD＝5x，AB＝3x，而13DE CDAB BC==，∴DE＝x，∴tan∠CAD＝155DE xAD x==．【点评】求一个角的三角函数值，必须将所求的角放在直角三角形中．题型四等比转化求三角函数值【例5】如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，过BC的中点D作DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，求tan∠ACE的值．CDBACDEBAA BDEC【解析】过点E 作EH ⊥AC 于点H ，易证AH ＝HE ，∴tan ∠ACE ＝HE AH AECH CH EB==，设BE ＝x ，则BD ＝CD，∴BC ＝x ，AB ＝4x ，∴AE ＝AB －BE ＝3x ，∴tan ∠ACE ＝AEEB＝3．【例6】如图，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P ，若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【解析】连接AC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACP ＝90°，∴cos ∠APC ＝PCPA，又易证△PCD ∽△P AB ,∴63105PC CD PA AB ===，∴cos ∠APC ＝35． 【点评】在直角三角形中，锐角的三角函数值等于两边的比值，当这个比值无法直接求解时，可利用相似三角形对应线段成比例进行转化．题型五 利用特殊角求三角函数值【例7】利用45°角的正切，求tan 22．5°的值，方法如下：解：构造Rt △ABC ，其中∠C ＝90°，∠B ＝45°，如图，延长CB 到点D ，使BD ＝AB ，连接AD ，则∠D ＝12∠ABC ＝22．5°，设AC ＝a ，AB ＝BDa a ，∴CD ＝(1)a ，∴tan 22．5°＝tan ∠D＝AC CD =－1．A BE DHCAACA请你依照此法求tan 15°的值．【解析】构造如图所示的∠A ＝15°的直角三角形，∠C ＝90°，并过点B 作∠ABD ＝15°交AC 于点D ，则∠BDC ＝30°，设BC ＝x ，则BD ＝AD ＝2x ，CD，∴AC ＝(2x ，∴tan 15°＝BC AC＝2针对练习11．如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A ＝．2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝513，则tan B ＝ 125 ．3．如图，将边长为2的正方形ABCD 沿 EF 和ED 折叠，使得点B ，C 两点折叠后重合于点G ，则tan ∠FEG ＝12．4．如图，直线MN 与⊙O 相切于点M ，ME ＝EF ，EF ∥MN ，则cos ∠E ＝12． A D CBABCDG F DCBA E5．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC ＝tan 2A的值．解：AB=7．延长CA 到点D ，使AD ＝AB ＝7，则CD ＝7＋tan2A＝tan ∠D＝7－ 6．如图，AC 为⊙O 的直径，△ABD 内接于⊙O ，BD 交AC 于点F ，过点B 的切线BE ∥AD 交AC 的延长线于点E ，若CF ＝2，AF ＝8，求sin ∠E 的值．解：连接OB ，CD ，∵CF ＝2，AF ＝8，∴AC ＝10．∴OB ＝5．易证CD ⊥AD ，OB ⊥AD ，∴OB ∥CD ，∴△BOF ∽△DCF ．∴32OB OF CD CF ==．CD ＝103．sin ∠E ＝sin ∠CAD ＝CD AC ＝13． 7．将一副三角尺(Rt △ABC 与Rt △BDC )按如图所示摆放在一起，连接AD ，试求∠ADB 的正切值．解：过点A 作AM ⊥DB 交DB 的延长线于点M ，易证∠MBA ＝45°，∴设AM ＝BM ＝x，则AB x ．∴BC，BD ．∴tan ∠ADB ＝AMDM8．如图，在△ABC 中，BC ＝4，AC ＝6，AB ＝5，求tan12∠BAC ·tan 12∠CBA 的值．ABCDEAAEDCBABCDM解：过点C作CH⊥AB于点H，延长BA到点D，使AD＝AC，延长AB到点E，使BE＝BC，设AH＝x，则BH＝5－x，∴42－(5－x)2＝62－x2，∴x＝92．∴BH＝12，CH∴tan12∠BAC＝tan∠D＝CHDH＝2962+．tan12∠CBA＝tan∠E＝CHHE＝2142+，∴tan12∠BAC·tan12∠CBA＝13．方法技巧：深刻理解三角函数的定义，画出符合题意的示意图，充分运用数形结合的思想解题．▶题型一利用已知三角函数，求其他角的三角函数值【例1】同学们，在我们进入高中以后，将会学到三角函数公式：sin2α＝2sinα·cosα，则当锐角a的正切值为12时，sin2a＝．【解析】如图，在Rt△ABC中．∠C＝90°，∠A＝α，由tanα＝BCAC＝12，设BC＝1，AC＝2，则AB．sinα＝BCAB，cosα＝ACAB，由公式sin2α＝2sinα·cosα＝2＝45．【点评】紧扣定义，运用公式解题．▶题型二利用已知三角函数，求线段长【例2】如图，点D是△ABC的边AC上一点，BD＝8，sin∠CBD＝34，AE⊥BC于点E，若CD＝2AD，求AE的长．BACEDCBA HC BADBAO OFAB CDE【解析】过点D作DF⊥BC于点F，则DF＝BD·sin∠CBD＝8×2＝6，由AE⊥B C．DF⊥BC，∴DF∥AE．∴△CDF∽△CAE．∴CDAC＝DFAE＝23．∴AE＝32DF＝9．【点评】因三角函数的本质是线段比，故与三角函数相关的计算常与相似三角形联系在一起．▶题型三利用已知三角函数，求线段比【例3】如图，在Rt△ABC中，CD，CE分别为斜边AB上的高和中线，BC＝a，AC＝b(b＞a)，若tan∠DCE＝12，求ab的值．【解析】易证△BCD∽△BAC，∴BC2＝BD·BA，又BA，∴BD2，同理CD＝DE＝BE－BD222，又∵谈∠DCE＝DECD＝222b aab-＝12，∴a2＋ab－b2＝0，∴ab▶题型四利用已知三角函数，求面积【例4】如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，tan∠CAD＝12，cos∠ACD，AC与BD交于点E，CDBE＝2ED，求四边形ABCD的面积．【解析】过点D作DF⊥ACC于点F，则AB∥DF．∴△ABE∽△FDE．∴ABDF＝AEEF＝BEED＝2，设EF＝2a，AE＝4a．∴AF＝6a，在Rt△AFD中．tan∠F AD＝FDAF＝12，∴DF＝3a，在Rt△CFD中，cos∠ACD ＝CFCD．∴CF＝1，DF＝3a＝3，∴a＝1，AC＝7，AB＝2DF＝6，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△AC＝12AB·AC＋12AC·DF＝12×6×7＋12×7×3＝632．针对练习21．在△ABC中，∠A为锐角，BC＝12．tan A＝34．∠B＝30°，则AB2．如图，点E是正方形ABCD的边CB的延长线上的一点，且tan∠DEC＝34，则tan∠AED的值为EDCBAABCDEFE DCBA913．3．已知△ABC中，AB＝10，AC＝B＝30°，则△ABC4．如图，在四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC＝90”，tan∠ABD＝34，AB＝20，BC＝10，AD＝13，求CD的长．解：分别过点A，C作AH⊥BD于点H，CG⊥BD于点G，∵tan∠ABD＝AHBH＝34，∴设AH＝3x，BH＝4x，(3x)2＋(4x)2＝202，∴x＝4．∴AH＝12，BH＝16．∴HD＝5，BD＝21，易证∠BCG＝∠ABD，．．tan∠BCG＝GBGC＝34，又BC＝10，∴BG＝6，CG＝8，∴DG＝BD－BG＝15，∴CD＝＝17．5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝34．边BC的重直平分线与AB的交点为点D．求ADDB的值．解：过点D作DF⊥BC于点F，连接CD，则BD＝CD，BF＝CF＝52，tan∠DBF＝DFBF＝34．∴DF ＝158，在Rt△BFD中，BD＝258，∴AD＝5－258＝158，∴ADDB＝35．6．如图，已知四边形ABCD的一组对边AD，BC的延长线相交于点E，∠ABC＝120°，cos∠ADC＝35，CD＝5，AB＝12，ACDE的面积为6，求四边形ABCD的面积．EDCBAAB CDGHDCBAAB CDF CBA解：过点C作CF⊥AD于点F，过点A作AG⊥EB于点G，在Rt△ACDF中，cos∠ADC＝DF CD＝3 5．又CD＝5，DF＝3，CF＝4，∵S△CDE＝12ED·CF＝6，∴ED＝3，∴EF＝6，在Rt△BAG中，∠BAG＝30°，AB＝12，∴AG＝EFC∽△EAG，得EFEG＝CFAG，可求EG＝BE＝EG－BG＝9 6．∴S四边形ABCD＝S△ABE－S△CED＝126)×6＝75－E DCBA ABCDE FG。
