三次样条插值——三转角方程的算法设计

三次样条插值——三转角方程的算法设计
三次样条插值是一种插值方法，用于通过一组离散点的数据生成连续的曲线。

三次样条插值算法可以通过三转角方程来实现。

三转角方程是指在每个节点处，曲线的一阶导数和二阶导数与相邻插值段的一阶导数和二阶导数相等。

该方程可以用来计算插值段的系数，从而得到连续的曲线。

三次样条插值的算法设计包括以下步骤：
1. 确定插值节点，即给定一组数据点{x_i, y_i}。

2. 计算相邻插值段的一阶导数和二阶导数。

3. 根据三转角方程，计算每个节点的插值段系数。

4. 通过插值段系数，得到连续的三次样条曲线。

三次样条插值算法的优点是可以减少插值误差，同时保持曲线的平滑性。

该算法在数值分析、计算机图形学和工程设计等领域得到广泛应用。

在实现三次样条插值算法时，需要注意以下问题：
1. 插值节点的选择会影响插值曲线的精度和平滑性。

2. 计算导数时需要使用数值差分或解析方法。

3. 三转角方程的求解可能存在线性方程组求解的问题。

总之，三次样条插值算法是一种重要的插值方法，可以用来生成平滑的曲线，具有广泛的应用前景。

三转角样条插值摘要:对于插值多项式的次数问题，人们一般认为：插值多项式的次数越高，精度越高。

比如线性插值的误差就比抛物线插值的误差要大。

但是在20世纪初龙格（Runge ）现象说明插值多项式并非次数越高精度越高。

人们利用样条插值来拟合曲线，可以利用足够的的数据点，还有公式简单，运算量节省等好处，其中最常用的样条函数是三次样条。

在课本《现代数字数学与计算》中采用的是三弯矩方法推导得出三次样条插值多项式的计算公式，本文将采用三转角法推出三次样条插值多项式的计算公式，并用其拟合几个函数。

在发现等距节点在拟合不连续函数的结果不让人满意时，使用Chebyshev 插值节点构造不均匀节点来减少其拟合的误差，最后用三转角样条插值函数拟合画出手写字母。

三转角法的理论：对于b t t t a n =<<<=...10，考虑],[2b a C s ∈的三次样条插值函数，使得n i t f f t s i i i ,...,1,0),()(===，且满足第一类边界条件00'0')()(β==t f t s ，n n n t f t s β==)()(''。

验证在区间n i t t i i ,...,2,1],,[1=-上满足)()()()()(11t v t u t q f t p f t s i i i i i i i i i ββ+++=--其中1--=i i i t t h ，)](2[)()(132--+-=i i ii i t t h ht t t p ， )](2[)()(321i i ii i t t h h t t t q ---=- ，212)()()(ii i i h t t t t t u ---=， 221)()()(ii i i h t t t t t v --=- ，而 i β可由递推公式)(3)11(31)11(21212112121111ii i i i ii i i i i ii ih f h f h h f h h h h -++++++--+-=+++βββ所确定。

三次样条插值的求解摘要：分段低次插值虽然解决了高次插值的振荡现象和数值不稳定现象，使得插值多项式具有一致收敛性，保证了插值函数整体的连续性，但在函数插值节点处不能很好地保证光滑性要求，这在某些要求光滑性的工程应用中是不能接受的。

如飞机的机翼一般要求使用流线形设计，以减少空气阻力，还有船体放样等的型值线，往往要求有二阶光滑度（即有二阶连续导数）。

因此，在分段插值的基础上，引进了一种新的插值方法，在保证原方法的收敛性和稳定性的同时，又使得函数具有较高的光滑性的样条插值。

关键字:三转角方程 三弯矩阵方程0. 引言1，三次样条函数定义1：若函数2()[,]S x a b C ∈,且在每个小区间上1,j j x x +⎡⎤⎦⎣上是三次多项式，其中01n a x x x b ⋯=<<<= 是给定节点，则称()s x 是节点01,,,n x x x ⋯上的三次样条函数。

若节点j x 上 给定函数值()j j y f x =(0,1,)j n ⋯= ,且()j j s x y = (0,1,)j n ⋯= （1.1）成立，则称 ()s x 为三次样条差值函数。

从定义知，要求出()s x ，在每个应小区间1[,]j j x x + 上确定4个待定系数，共有 n 个小区间，故应确定4n 个参数，根据()s x 在[,]a b 上二阶导数连续，在节点()1,2,3,,1j x j n ⋯=-处应满足连续性条件(0)(0),j j s x s x -=+ ''(0)(0),j j s x s x -=+''''(0)(0)j j s x s x -=+ （1.2） 共有 3n-3个条件，再加上()s x 满足插值条件（1.1），共有4n-2个条件，因此还需要2个条件才能确定()s x 。

通常可在区间[,]a b 端点0,n a x b x ==上各加一个条件（称边界条件），边界条件可根据实际的问题要求给定。

2012-2013（1）专业课程实践论文三次样条插值樊旭，0818180212，R数学08-2班当插值节点很多时，插值多项式的次数就会很高，这不仅增大了计算量，还会影响结果的精确度。

虽然可以采用原始的插值法，但是主要缺点就是分段接头处不光滑，导数不连续。

因此构想了这样的函数，既能分段的低次插值，又能保证接头处光滑，就产生了三次样条插值。

三次样条插值应该满足的条件：1：满足定义2：S(f x -0)=S(f x +0), S '(f x -0)= S '(f x +0),S ''( f x -0)= S ''(f x +0) 3：边界条件：(1) S '(n x )=0f 'S '(n x )=n f '(2) S ''(0x )=0f 'S ''(n x )=n f '(3) S ''(0x )=S ''(n x )=04：周期函数时：S(0x +0)=S(n x -0),S '(0x +0)=S '(n x -0),S ''(0x +0)=S ''(n x -0),计算方程：1：三转角方程：S(x)=[][][][]11221112212233)()()(2)()(2)(++++++--+--+-+-+-+-j j j j j j j j j j j j j j j j j j m h x x x x m h x x x x y h x x h x x y h x x h x x2：三弯矩方程：S(x)=()j j j j i j j j j i j j J j j j h x x h M y h x x h M y h x x M h x x M -⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-+++++666)(6221113131 以1为例用VC++程序编程就求解NN输入n,xi,yi,和待估点xx ，边界条件。