下载文档原格式
1.3二项式定理【课题】：1.3.1二项式定理【教学目标】：（1）知识与技能：：1、能用计数原理证明二项式定理；2、掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式（2）过程与方法：在推导证明的过程中培养类比、归纳能力及科学的思维方式；（3）情感态度与价值观：、培养勇于探索、勇于创新的个性品质，体验数学美，激发爱国主义热情【教学重点】：掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式【教学难点】：用计数原理推导二项式定理的过程中各项系数的规律.并求指定项【课前准备】：Powerpoint或投影片【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入：二、讲解新课：一、复习引入：⑴；22202122222()2a b a ab b C a C ab C b+=++=++⑵33223031222333333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b+=+++=+++⑶的各项都是次式，4()()()()()a b a b a b a b a b+=++++4即展开式应有下面形式的各项：，，，，，4a3a b22a b3ab4b展开式各项的系数：上面个括号中，每个都不取的情况有种，即4b104C种，的系数是；恰有个取的情况有种，的系数是，4a04C1b14C3a b14C恰有个取的情况有种，的系数是，恰有个取的情况2b24C22a b24C3b有种，的系数是，有都取的情况有种，的系数是34C3ab34C4b44C4b，44C∴40413222334444444()a b C a C a b C a b C a b C b+=++++二、讲解新课：1、二项式定理：01()()n n n r n r r n nn n n na b C a C a b C a b C b n N-*+=+++++∈引入课题对二项式定理（基础题）1.的展开式中，不含a 的项是第（ D ）项153)a1a (-A .7B .8C .9D .62．由展开所得的的多项式中，系数为有理数的共有 （B ）1003)23(+x x 50项17项 16项 15项()A ()B ()C ()D 3．若展开式中存在常数项,则n 的值可以是 （ C ）n xx )2(3+A ．8B ．9C ．10 D ．12（中等题）4.展开式中的系数为_________288)1(xx -5x .5.展开式中含的项为_______________．9)23(z y x +-432z y x 43290720z y x -（难题）6.在的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，若实数，7)1(+ax 3x 2x 4x 1>a 那么______________．=a 5101+7．的展开式中，的系数为__________．179(用数字作答))1()2(210-+x x 10x 8．设展开式中第2项的系数与第4项的系数的比为4：45，试求项的系nxx )32(-2x 数．解：第项，1r +32213()2(3)n r r n r r r n r r r n n T C C xx---+-=⋅⋅=⋅⋅-∴，即，∴，113332(3)42(3)45n n n n C C --⋅⋅-=⋅⋅-4649(1)(2)45n n n n ⋅=⋅--23280n n --=∴或（舍负）．7n =4n =-令，即，∴．3222n r -=73222r -=1r =∴项的系数2x 17172(3)1344C -⋅⋅-=-。
1.3 二项式定理 第一课时一、教学目标 1．核心素养通过二项式定理的推导过程的学习，提高学生的归纳推理能力，树立由特殊到一般的数学思想，增强学生的逻辑推理能力. 2．学习目标(1)初步掌握求二项展开式.(2)熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）. 3．学习重点熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）. 4．学习难点熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）. 二、教学设计 （一）课前设计1.预习任务（阅读教材完成）1.二项式定理：=+nb a ）（ ； 2.(1)n b a ）（+的二项展开式中共有 项； (2)二项式系数： ；(3)二项展开式的通项公式：=+1r T ，它是展开式的第 项. 2．预习自测1.二项式91()x x-的展开式的第3项是( )A ．－84x 3B ．84x 3C ．－36x 5D ．36x 5 解：D2．(1＋x )7的展开式中x 2的系数是( ) A ．42 B ．35 C ．28 D ．21 解：D3．在62()x x-的二项展开式中，常数项等于________．解：－160 （二）课堂设计1．知识回顾(1)错误！未找到引用源。
；(2)错误！未找到引用源。
(3)错误！未找到引用源。
2．问题探究问题探究一探究归纳，形成二项式定理●活动一回顾旧知，回忆展开式(a+b)4=(a+b) (a+b) (a+b) (a+b)展开式中的各项是什么？思考：ab3是怎样来的？有多少个？引导学生追究每个系数的来源，借助于组合的思想找到规律，从中体会到探索的乐趣.归纳结论：由上面的探索得到：(a+b)4=C04a4+C14a3b+C24a2b2+C34ab3+C44b4●活动二大胆猜想(a+b)n展开式中的各项是什么？归纳：一般对于任意的正整数n,有：(a+b)n=C0n a n+C1n a n-1b+…+C r n a n-r b r…+C n n b n(n∈N*)并指出：①这个式子所表示的定理叫二项式定理.右边的多项式叫(a+b)n的二项展开式.各项系数C r n（r=0、1、2、…、n）叫做二项式系数.②式子中的C r n a n-r b r叫做二项展开式的通项.记做：T r+1=C r n a n-r b r.上述结论是从分析了少数特例后，得出了一般的结论，这种方法叫不完全归纳法，还需用数学归纳法证明，但这里教材不要求证明了.问题探究二利用二项式定理能解决问题？1.求二项式的指定项或其系数例1.（1）(1＋x)7的展开式中x2的系数是( )A．42 B．35 C．28 D．21【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：选D 依题意可知，二项式(1＋x)7的展开式中x2的系数等于C27×15＝21.（2）在(2x2－1x)5的二项展开式中，x的系数为( )A．10 B．－10 C．40 D．－40【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：D.(2x2－1x)5的展开式的通项为T r＋1＝5rC(2x2)5－r(－1x)r＝5rC25－r(－1)r x10－3 r，令10-3r＝1得，r＝3，∴T4＝35C22(－1)3x＝－40x.∴x的系数是－40.例2.（1）在62()x x-的二项展开式中，常数项等于________．【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：-160.由通项公式得T r ＋1＝6r C x 6－r 2()r x-＝(－2)r 6r C x 6－2r，令6－2r ＝0，解得r ＝3，所以是第4项为常数项，T 4＝(－2)336C ＝－160.(2)已知8()ax x-展开式中常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )A ．28B ．38C ．1或38D ．1或28【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：选C 由题意知48C ·(－a )4＝1 120，解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式各项系数和为(1－a )8＝1或38.例3.(1) 在(x －2)5y)4的展开式中x 3y 2的系数为________． 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】 解：480 (x －2)5的展开式的通项为T r ＋1＝5r C x 5－r (－2)r ，令5－r ＝3得r ＝2，得x 3的系数25C (－2)2＝40；y)4的展开式的通项公式为T r ＋1＝4r C 4－ry r ，令r ＝2得y 2的系数24C 2＝12，于是展开式中x 3y 2的系数为40×12＝480.(2) 在(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)的展开式中，含x 4的项的系数是________． 【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：－15.从4个因式中选取x ，从余下的一个因式中选取常数，即构成x 4项，即－5x 4－4x 4－3x 4－2x 4－x 4，所以x 4项的系数应是－1－2－3－4－5＝－15. 3．课堂总结 【知识梳理】二项式定理及其通项公式1.二项式定理：01()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈2.(1)nb a ）（+的二项展开式中共有错误！未找到引用源。
二项式定理一、教学目标：1、知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式。
2、过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题。
3、情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
二、教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用。
教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用。
三、教学方法：探析归纳，讨论交流四、教学过程(一)新课引入：(提问)：若今天是星期一，再过810天后的那一天是星期几？在初中，我们已经学过了222()2a b a ab b +=++ 33223()33a b a a b ab b +=+++(提问)：对于4()a b +，5()a b + 如何展开?(利用多项式乘法)(再提问)：100()a b +又怎么办？ ()n a b +(n ∈N+)呢？我们知道，事物之间或多或少存在着规律。
这节课，我们就来研究()n a b +的二项展开式的规律性(二)新课探析：(如何着手研究它的规律呢)？采用从特殊到一般（不完全归纳）的方法。
规律：1()a b +=a+b 2()a b +=(a+b)(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=222a ab b ++ 3()a b + =2()a b + (a+b)=22(2)a ab b ++(a+b)=322333a a b ab b +++ 4()a b +=3()a b + (a+b)=3223(33)a a b ab b +++(a+b)=432234464a a b a b ab b ++++ 根据以上的归纳，可以想到()na b +的展开式的各项是齐次的，它们分别为 122,,,,n n n n a a b a b b --⋅⋅⋅展开式中各项系数的规律，可以列表：1()a b + 1 1810＝(7+1)10＝010C 710+110C 79+…+910C 7+1010C＝2(733＋c 1732+…+c 32·7+22()a b + 1 2 13()a b + 1 3 3 14()a b + 1 4 6 4 15()a b + 1 5 10 10 5 1（这表是我国宋代杨辉于1261年首次发现的，称为杨辉三角，比欧洲至少早了三百年。
1．(x －2y )10展开式中共有( )A ．10项B ．11项C ．12项D ．9项 解析：根据二项式定理可知有10＋1＝11项．答案：B[2．(x －2y )7的展开式中的第4项为( )A ．－280x 4y 3B ．280x 4y 3C ．－35x 4y 3D ．35x 4y 3 解析：(x －2y )7的展开式中的第4项为T 4＝C 37x 4(－2y )3＝(－2)3C 37x 4y 3＝－280x 4y 3.答案：A3．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( )A ．－27C 610B ．27C 410 C ．－9C 610D ．9C 410 解析：T k ＋1＝C k 10·x10－k (－3)k ，令10－k ＝6，知k ＝4，∴T 5＝C 410x 6(－3)4，即x 6的系数为9C 410.答案：D 4．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋1x n 的展开式中的常数项是第7项，则正整数n 的值为( ) A ．7B ．8C ．9D ．10解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋1x n 的展开式的通项T r ＋1＝C r n 2n －r x 3n －4r ，由r ＝6时，3n －4r ＝0.得n ＝8. 答案：B5．(2012·大纲全国卷)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x2的系数为________． 解析：由C 2n ＝C 6n 可知n ＝8，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 8的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 8x 8－2r, 由8－2r ＝－2，得r ＝5，所以1x2的系数为C 58＝56. 答案：566.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 9的展开式中含x 3项的系数是________．(用数字作答)解析：由T r ＋1＝C r 9(x 2)9－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 9x 18－3r ，依题意知18－3r ＝3，得r ＝5，故C 59＝C 49＝126. 答案：77.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋23x n 展开式第9项与第10项二项式系数相等，求x 的一次项系数．解：由题意知，C 8n ＝C 9n .∴n ＝17.∴T r ＋1＝C r17x 17－r 2·2r ·x －r 3＝C r 17·2r ·x 17－r 2－r3.∴17－r2－r3＝1.解得r ＝9.∴T r ＋1＝C 917·x 4·29·x －3，即T 10＝C 917·29·x .其一次项系数为C 917·29.8.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中，求(1)第3项的二项式系数及系数；(2)含x 2的项．解：(1)第3项的二项式系数为C 26＝15，又T 3＝C 26(2x )4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＝24·C 26x ，∴第3项的系数为24C 26＝240.(2)T k ＋1＝C k 6(2x )6－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k 26－k C k 6x 3－k，令3－k ＝2，得k ＝1.∴含x 2的项为第2项，且T 2＝－192x 2.。
完整版)二项式定理教案1.3.1 二项式定理（第一课时）一、教学目标1.知识与技能1）理解二项式定理，并能简单应用。
2）能够区分二项式系数与项的系数。
2.过程与方法通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、归纳的能力，以及转化化归的意识与知识迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式。
3.情感与态度价值观通过探究问题，归纳假设让学生在研究的过程中养成独立思考的好惯，在自主研究中体验成功，在思索中感受数学的魅力，让学生在体验知识产生的过程中找到乐趣。
二、教学重点难点1.教学重点：二项式定理及二项式定理的应用。
2.教学难点：二项式定理中单项式的系数。
三、教学设计教学过程一、新课讲授引入：让学生回顾多项式乘法法则，利用排列、组合理解，写展开式，设计意图是师生活动展开(a+b)²、(a+b)³。
学生完成：a+b)² = a²+2ab+b²a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³分析(a+b)的展开式：展开式有3项，a、b的指数分别为2、1、0，各项系数分别为1、2、1.教学过程设计意图是师生活动恰有1个因式选b的情况有C₂¹种，所以ab的系数是C₂¹；2个因式选b的情况有C₂²种，所以b的系数是C₂²；每个因式都不选b的情况有C₂⁰种，所以a的系数是C₂⁰。
思考3个问题：1.项数2.每一项a、b的指数和3.各项的系数是什么？a+b) = C₁aCb类比展开(a+b)³：a+b)³ = C₃¹a²b+C₃²ab²+C₃³b³归纳、类比(a+b)的展开式。
二、二项式定理：a+b)ⁿ = C₀aⁿ+C₁aⁿ⁻¹b+。
+Cₙbⁿ学生完成：按照a的降幂排列，解释ab的系数。
