MATLAB三次样条插值之三转角法

三次样条插值例题解析matlab 三次样条插值是一种常用的插值方法，可以通过一定数量的离散数据点，拟合出一个光滑的曲线。

在MATLAB中，插值函数interp1可以实现三次样条插值。

该函数的基本语法为：y_interp = interp1(x, y, x_interp, 'spline');其中，x和y分别是原始数据的横坐标和纵坐标，x_interp是插值点的横坐标，'spline'表示使用三次样条插值方法。

插值函数会根据原始数据拟合出一个插值曲线，在插值点的位置上返回相应的纵坐标值。

下面我们以一个具体的例子来解析三次样条插值的使用。

假设我们有如下一组离散数据点：```matlabx = [0, 1, 2, 3, 4];y = [2, 3, 1, 4, 2];```我们希望通过这些离散数据点拟合出一个光滑的曲线，并在插值点处求取纵坐标值。

首先，我们需要在插值区间内定义一组插值点。

这里我们取0.1为步长，生成插值点：```matlabx_interp = 0:0.1:4;```然后，使用interp1函数进行插值计算：```matlaby_interp = interp1(x, y, x_interp, 'spline');```最后，我们可以通过图表来比较原始数据和插值结果：```matlabplot(x, y, 'o', x_interp, y_interp, '-');legend('原始数据', '插值结果');```在生成的图表中，原始数据以圆点表示，插值结果以实线表示。

通过比较可以看出，插值结果在原始数据之间形成了光滑的曲线。

以上就是使用MATLAB进行三次样条插值的基本步骤和方法。

然而，三次样条插值在某些情况下可能会产生不稳定的结果。

这是因为三次样条插值的结果受到了边界条件的影响。

文章标题：深度解析Matlab三次样条插值1. 前言在数学和工程领域中，插值是一种常见的数值分析技术，它可以用来估计不连续数据点之间的值。

而三次样条插值作为一种常用的插值方法，在Matlab中有着广泛的应用。

本文将从简单到复杂，由浅入深地解析Matlab中的三次样条插值方法，以便读者更深入地理解这一技术。

2. 三次样条插值概述三次样条插值是一种利用分段三次多项式对数据点进行插值的方法。

在Matlab中，可以使用spline函数来进行三次样条插值。

该函数需要输入数据点的x和y坐标，然后可以根据需要进行插值操作。

3. 三次样条插值的基本原理在进行三次样条插值时，首先需要对数据点进行分段处理，然后在每个分段上构造出一个三次多项式函数。

这些多项式函数需要满足一定的插值条件，如在数据点处函数值相等、一阶导数相等等。

通过这些条件，可以得到一个关于数据点的插值函数。

4. Matlab中的三次样条插值实现在Matlab中，可以使用spline函数来进行三次样条插值。

通过传入数据点的x和y坐标，可以得到一个关于x的插值函数。

spline函数也支持在已知插值函数上进行插值点的求值，这为用户提供了极大的灵活性。

5. 三次样条插值的适用范围和局限性虽然三次样条插值在许多情况下都能够得到较好的插值效果，但也存在一些局限性。

在数据点分布不均匀或有较大噪音的情况下，三次样条插值可能会出现较大的误差。

在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的插值方法。

6. 个人观点和总结通过对Matlab中三次样条插值的深度解析，我深刻地理解了这一插值方法的原理和实现方式。

在实际工程应用中，我会根据数据点的情况选择合适的插值方法，以确保得到准确且可靠的结果。

我也意识到插值方法的局限性，这为我在实际工作中的决策提供了重要的参考。

通过以上深度解析，相信读者已经对Matlab中的三次样条插值有了更加全面、深刻和灵活的理解。

在实际应用中，希望读者能够根据具体情况选择合适的插值方法，以提高工作效率和准确性。

三转角样条插值摘要:对于插值多项式的次数问题，人们一般认为：插值多项式的次数越高，精度越高。

比如线性插值的误差就比抛物线插值的误差要大。

但是在20世纪初龙格（Runge ）现象说明插值多项式并非次数越高精度越高。

人们利用样条插值来拟合曲线，可以利用足够的的数据点，还有公式简单，运算量节省等好处，其中最常用的样条函数是三次样条。

在课本《现代数字数学与计算》中采用的是三弯矩方法推导得出三次样条插值多项式的计算公式，本文将采用三转角法推出三次样条插值多项式的计算公式，并用其拟合几个函数。

在发现等距节点在拟合不连续函数的结果不让人满意时，使用Chebyshev 插值节点构造不均匀节点来减少其拟合的误差，最后用三转角样条插值函数拟合画出手写字母。

三转角法的理论：对于b t t t a n =<<<=...10，考虑],[2b a C s ∈的三次样条插值函数，使得n i t f f t s i i i ,...,1,0),()(===，且满足第一类边界条件00'0')()(β==t f t s ，n n n t f t s β==)()(''。

验证在区间n i t t i i ,...,2,1],,[1=-上满足)()()()()(11t v t u t q f t p f t s i i i i i i i i i ββ+++=--其中1--=i i i t t h ，)](2[)()(132--+-=i i ii i t t h ht t t p ， )](2[)()(321i i ii i t t h h t t t q ---=- ，212)()()(ii i i h t t t t t u ---=， 221)()()(ii i i h t t t t t v --=- ，而 i β可由递推公式)(3)11(31)11(21212112121111ii i i i ii i i i i ii ih f h f h h f h h h h -++++++--+-=+++βββ所确定。

用matlab 实现三次 NURBS 插值曲线 作者:大漠孤狼 发表于matlab 乐园()作者:这是我在大学时做大学生研究计划时写的,当时刚学会matlab ,编写了这个程序,用了很多循环,效率不高.当时我并不清楚循环是matlab 的弱点,等明白了,也不做这方面的工作了,也就懒的去改写了.如果谁需要用,就自己改吧.算法也有一些问题,我就不多说了,自己看吧一 、三次NURBS 插值算法给定平面控制顶点d i (i=1,2,…n)及对应的权因子i ω (i=1,2,…n)，可定义一条三次NURBS 曲线。

先对控制顶点进行参数化，得一矢量：U=[u 0,u 1,u 2…,u n+4]则三次NURBS 曲线的分段方程形式为： ∑∑+====33,33,1)()()(k k i i i k k i i i k u N u N d u P ωω u ∈[u k+3,u k+4] k=0,1,2,…,n-3 (1) 首先证明一条性质：若三点d k ,d k+1,d k+2共线，且满足 )()()()(33,2333,233,2333,1++++++++++++=k k k k k k k k k k k k k k k u N u N d u N d u N d ωωωω则三次NURBS 曲线插值点d k+1.证明：由（1）式可得：)()()()()()()(33,2233,1133,233,22133,1133,3+++++++++++++++++++++=k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k u N u N u N d u N d u N d u N u P ωωωωωω )()()()()()()(43,3343,2243,11343,23243,22143,114++++++++++++++++++++++++++=k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k u N u N u N d u N d u N d u N u P ωωωωωω 由以知可得)()()()()()(33,2233,1133,233,22133,1133,1+++++++++++++++++++++=k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k u N u N u N d u N d u N d u N d ωωωωωω 故性质得证。

MATLAB作业给定一个时间序列，使用三次样条插值方法进行均匀内插（题目的相关说明：按题目要求编写一个MATLAB程序函数，并把自己编制程序所得的结果与MATLAB库函数分析结果进行对比。

）理论基础：时间序列的概念：时间序列是一种定量预测方法，又称简单外延法，时间序列分析是根据系统观测得到的时间序列数据，通过曲线拟合和参数估计来建立数学模型的理论与方法，时间序列分析可分为以下三种情况（1）把一个时间序列的值变动为N 个组成部分，通常可以分为四种 a、倾向变动，又称长期趋势变动 b、循环变动，又称周期变动 c、季节变动，即每年有规则的反复进行变动 d、不规则变动，即随机变动。

然后把这四个综合到一起得出预测的结果。

虽然分成这四部分，但这四部分之间的相互关系是怎么样的呢，目前一般采用相乘的关系，其实各个部分都是在其他部分作用的基础上进行作用的，所以采用相乘是有一定依据的，此种方法适合于短期预测和库存预测（2）把预测对象、预测目标和对预测的影响因素都看成为具有时序的，为时间的函数，而时间序列法就是研究预测对象自身变化过程及发展趋势，如果未来预测是线性的，其数学模型为YT+L=aT+bTL,YT+L为未来预测值，aT为截距，bT为斜率，L为由T到需要预测的单位时间数（如5年、10年等）（3）根据预测对象与影响因素之间的关系及影响程度来推算未来，与目标的相关因素很多，只能选择那些因果关系较强的为预测影响的因素，此时间序列法用于短期预测比较有效，若要用于长期预测，还需要结合其他方法才行。

三次样条插值的实际应用：在制造船体和汽车外形等工艺中传统的设计方法是，首先由设计人员按外形要求，给出外形曲线的一组离散点值，施工人员准备好有弹性的样条（一般用竹条或有弹性的钢条）和压铁，将压铁放在点的位置上，调整竹条的形状，使其自然光滑，这时竹条表示一条插值曲线，我们称为样条函数。

从数学上看，这一条近似于分段的三次多项式，在节点处具有一阶和二阶连续微商。

Matlab进行一般插值和三次样条插值比较对于一组给定的随机点（x，y），用lagrange插值加深对高次插值产生Runge现象的理解，并与三次样条插值比较，观察插值图形，了解三次样条插值的优越性。

先进行lagrange插值的程序编写，我们知道matlab软件中没有直接进行lagrange插值的函数，故先自己编写一个函数M文件，该M文件是lagrange插值的算法表示过程，编好后可以直接调用，编写如下：
我这里的函数名是lagrange3，可以自由定义，但在matlab命令窗口中调用函数时应和定义的函数名一致：
程序编好以后就出图了，lagrange插值的图形：
f（x）是数据的散点图，p（x）是lagrange插值图，可见高次的误差很大，就产生了runge 现象
再来三次样条插值，matlab直接定义了三次样条插值的函数名和出图函数，只需在命
令窗口直接编程：
再就是三次样条插值出图了；
最后把散点图，lagrange插值图和三次样条插值图生成在一个图像里，便于观察：
带*号得曲线在图中表示样条插值，在大坐标情况下几乎与散点图重合，至此，讨论结束，三次样条插值比lagrange插值更好。

数值逼近实习报告题目：三次样条插值II班级：计算111班学号：3110811009姓名：刘艳平指导老师：秦新强2013-3题目：三次样条插值（三转角算法） 姓名：刘艳平 学号：3110811009 一、目的意义以上我们讨论的分段线性插值，逼近程度虽然好，但光滑性差，分段三次Hermite 插值，逼近程度好，光滑性也有所提高，但也增加了更多的条件，不太实用。

接下来我们研究的三次样条插值多项式，这就结合二者的优点，即逼近程度虽然好，光滑性强，不需要增加太多的条件，很实用。

当已知区间两个端点的导数值时，既满足边界条件1，用三弯矩算法来求解，相对简单，且很准确。

二、数学公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈∈-],[),(............],[),(],[),(1212101n n nx x x x s x x x x s x x x x s 具体：iii i i ii i iii i i i ii i i i m h x x x x m h x x x x y h x x x x h y h x x x x h x s 22112213211321))(())(())]((2[))]((2[)(--------+--+---+--+=其中：n i x x x x x h i i i i i ,...,2,1],,[,11=∈-=-- i i i i y x s y x s ==--)(,)(11需要求出：ii i i m x s m xs ='='--)(,)(11三、计算流程 Step 1:输入节点n x x x ,...,,10，函数值ny y y ,...,,10,边界条件及x.Step 2:计算⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=-=+=-++++]),[],[(3111111i i i i i i i ii i ii i i i i x x f x x f g h h h h h h λμλμλStep 3：根据边界条件，求解相应的方程得到nm m m ,...,,10.Step 4：判断x 属于],[1i i x x -，i=1,2,...,n中的那一个.Step 5：计算)(x s y i ≈.Step 6：输出y. 四、代码#include <iostream.h> //三次样条三转角边界条件1 #include "process.h" #define N 2 #define M 4double a[N],d[N],c[N],p[N],q[N],b[N],xx[N]; void p_q() { int k; if(d[0]==0) {cout<<"Method failed"<<endl;exit(0);}p[0]=d[0];q[0]=c[0]/p[0];for(k=1;k<N-1;k++){p[k]=d[k]-a[k]*q[k-1];if(p[k]==0){cout<<"Method failed"<<endl; exit(0);}q[k]=c[k]/p[k];}p[N-1]=d[N-1]-a[N-1]*q[N-2]; if(p[N-1]==0){cout<<"Method failed"<<endl; exit(0);}}void jisuan(){int k;double y[N];y[0]=b[0]/p[0];for(k=1;k<=N-1;k++)y[k]=(b[k]-a[k]*y[k-1])/p[k];xx[N-1]=y[N-1];for(k=N-2;k>=0;k--)xx[k]=y[k]-q[k]*xx[k+1];for(k=0;k<N;k++)cout<<"m的值为:"<<xx[k]<<'\t'<<endl;}void main(){double X[M],Y[M],h[M],v[M],u[M],m[M],g[M],mm[M]; int i;double x,y1,y2,w1,w2,w3,w4,w,hh;cout<<"输入已知点的X坐标:"<<endl;for(i=0;i<M;i++)cin>>X[i];cout<<"输入已知点的Y坐标:"<<endl;for(i=0;i<M;i++)cin>>Y[i];cout<<"输入边界条件:"<<endl;cin>>y1>>y2;cout<<"输入需要计算的x值:"<<endl;cin>>x;for(i=1;i<M;i++){h[i]=X[i]-X[i-1];}for(i=1;i<M-1;i++){v[i]=h[i+1]/(h[i]+h[i+1]);u[i]=h[i]/(h[i]+h[i+1]);g[i]=3*((v[i]*(Y[i+1]-Y[i])/(X[i+1]-X[i]))+(u[i]*(Y[i]-Y[i-1])/(X[i]-X[i-1])));}a[0]=0;b[0]=g[1]-v[1]*y1;for(i=1;i<N;i++)a[i]=v[i+1];for(i=0;i<N;i++)d[i]=2;for(i=0;i<N;i++)c[i]=u[i+1];for(i=1;i<N;i++)b[i]=g[i+1];p_q();jisuan();mm[0]=y1;mm[1]=xx[0];mm[2]=xx[1];mm[3]=y2;for(i=1;i<M;i++){hh=X[i]-X[i-1];if(x>=X[i-1]){w1=((hh+(x-X[i-1])*2)*(x-X[i])*(x-X[i])*Y[i-1])/(hh*hh*hh);w2=((hh-(x-X[i])*2)*(x-X[i-1])*(x-X[i-1])*Y[i])/(hh*hh*hh);w3=((x-X[i-1])*(x-X[i])*(x-X[i])*mm[i-1])/(hh*hh);w4=((x-X[i])*(x-X[i-1])*(x-X[i-1])*mm[i])/(hh*hh);w=w1+w2+w3+w4;}}cout<<"x 点的结果为"<<w<<endl; }五、数值实例已知函数y=f(x),的如下数据，试求其在区间]3,0[上的三次样条插值函数S(x). X 0 1 2 3 Y0 1 0 1 y '1解：在此题中，解得：151,15421=-=m m其中：0,130==m m ，一起带入上边公式即可得到所求的三次样条函数如下⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈--+---=∈--+------=∈---+--=]3,2[,)3)(2(151)2)](3(21[)(]2,0[),2()1(151)2)(1(154)2)](1(21[)(]1,0[),1(154)1()]1(21[)(22322222221x x x x x x s x x x x x x x x s x x x x x x x x s 假设，求出x=1.5处的函数值为：0.458333 程序运行结果截图如下：六、对计算机结果进行分析评价三次样条插值函数与三次Hermite插值函数相比，不仅光滑度有提高，而且要求求解时还不需要增加内节点处的导数值，因此比较实用。

三次样条插值函数matlab一、 MATLAB 三次样条插值函数MATLAB 提供了一系列的函数可以进行数据的插值，样条插值函数提供了基于曲线和曲面的插值，MATLAB 主要提供了两类样条插值函数：一类是 spline 函数，另一类是 csapi 函数。

1. spline 函数spline 函数是基于经典的三次样条插值理论，它接受三维点集并用一条三次样条曲线连接。

使用 spline 函数时，您可以向函数提供三维点集，例如：x=[1,2,3,4,5];y=[2,8,16,30,50];z=[3,6,12,24,42];spline_curve=spline(x,y,z);2. csapi 函数csapi 函数是 MATLAB 的一种“三次样条插值”，允许你使用固定的方程，更有效地解决插值问题。

它可以把一组三维点集拟合成一条三次样条曲线。

使用 csapi 时，您可以向函数提供三维点集，例如：x=[1,2,3,4,5];y=[2,8,16,30,50];z=[3,6,12,24,42];csapi_curve=csapi(x,y,z);二、MATLAB 三次样条插值函数使用1. spline 函数spline 函数可以实现三次样条曲线的插值，该函数的基本格式如下：y2=spline(x,y,x2)其中，x 为一个由 N 个不重复的坐标值组成的向量，y 为长度为 N 的向量，x2 为要求的坐标值向量；而 y2 为长度为 length(x2) 的向量，其中的每个元素表示一个拟合结果。

例如，有以下数据：x=[2.1;3.3;4.2;5.1]，y=[7.2;11.7;15.3;20.5]，现在要求 x=2.8 时，插值结果 y2：x=[2.1;3.3;4.2;5.1];y=[7.2;11.7;15.3;20.5];x2=2.8;y2=spline(x,y,x2)2. csapi 函数csapi 函数可以实现三次样条曲线的插值，该函数的基本格式如下：pp=csapi(x,y)其中，x 为一个由 N 个不重复的坐标值组成的向量，y 为长度为 N 的向量；而 pp 为三次样条插值函数的拟合结果。

非常类似前面的三弯矩法，这里的sanzhj函数和intersanzhj作用相当于前面的sanwanj和intersanwj，追赶法程序通用，代码如下。

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%function [newu,w,newv,d]=sanzhj(x,y,x0,y0,y1a,y1b)% 三转角样条插值% 将插值点分两次输入，x0 y0 单独输入% 边值条件a的一阶导数 y1a 和b的一阶导数 y1bn=length(x);m=length(y);if m~=nerror('x or y 输入有误，再来');endv=ones(n-1,1);u=ones(n-1,1);d=zeros(n-1,1);w=2*ones(n-1,1);h0=x(1)-x0;h=zeros(n-1,1);for k=1:n-1h(k)=x(k+1)-x(k);endv(1)=h0/(h0+h(1));u(1)=1-v(1);d(1)=3*(v(1)*(y(2)-y(1))/h(1)+u(1)*((y(1)-y0))/h0);%for k=2:n-1v(k)=h(k-1)/(h(k-1)+h(k));u(k)=1-v(k);d(k)=3*(v(k)*(y(k+1)-y(k))/h(k)+u(k)*(y(k)-y(k-1))/h(k-1));endd(1)=d(1)-u(1)*y1a;d(n-1)=d(n-1)-v(n-1)*y1b;newv=v(1:n-2,:);newu=u(2:n-1,:);%%%%%%%%%%%%function intersanzhj(x,y,x0,y0,y1a,y1b)% 三转角样条插值%第一部分n=length(x);m=length(y);if m~=nerror('x or y 输入有误，再来');end%重新定义hh=zeros(n,1);h(1)=x(1)-x0;for k=2:nh(k)=x(k)-x(k-1);end% 调用三转角函数[a,b,c,d]=sanzhj(x,y,x0,y0,y1a,y1b);% 三对角方程m=chase(a,b,c,d);% 求MM=[1;m;0];% 求插值函数fprintf('三次样条（三转角）插值的函数表达式\n');syms X ;fprintf('S0--1:\n');S(1)=collect((y0/h(1).^3)*(X-x(1)).^2*(h(1)+2*(X-x0))+(y(1)/h(1).^3)*(X-x0).^2*(h(1)+2*(x(1)-X))+(M(1)/h(1).^2)*(X-x0)*(X-x(1)).^2+(M(2)/h(1).^2)*(X-x(1))*(X-x0).^2);for k=2:nfprintf('S%d--%d:\n',k-1,k);S(k)=collect((y(k-1)/h(k).^3)*(X-x(k)).^2*(h(k)+2*(X-x(k-1)))+(y(k)/h(k).^3)*(X-x(k-1)).^2*(h(k)+2*(x(k)-X))+(M(k)/h(k).^2)*(X-x(k-1))*(X-x(k)).^2+(M(k+1)/h(k).^2)*(X-x(k))*(X-x(k-1)).^2);endS=S.';disp(S);fprintf('以上为样条函数（三转角）解析式，显示为手写习惯如下：\n');pretty(S);%第二部分%是否继续运行程序myloop=input('继续运行程序输入“1”，否则输入“0”\n');if myloopwhile myloopxi=input('输入需要计算的点的值，并按回车键\n');if xi>x0|xi<x(n)fprintf('现在开始计算输入点的插值函数值……\n');elsefprintf('输入数值不在插值范围内，请重新输入\n');xi=input('输入需要计算的点的值，并按回车键……\n'); end% 确定输入的数值应该使用哪个解析式newx=[x0;x];[r,suoy]=min(abs(newx-xi));fprintf('输入点的插值函数值为:\n\n');fprintf('\t');if xi<=newx(suoy)f=subs(S(suoy-1),X,xi);elsef=subs(S(suoy),X,xi);enddisp(f);myloop=input('继续计算输入“1”，终止计算输入“0”\n'); endelsereturn;end。

matlab 三次插值原理三次插值原理：为了更好地理解三次插值原理，让我们从一个日常生活中的场景开始讲述。

假设你是一名摄影师，正在拍摄一张美丽的风景照片。

你站在一座高山上，眼前是一片绚丽的湖泊和远处的山脉。

你想要捕捉到湖泊中微小的波纹和山脉的细节，因此你使用了一台高像素的相机。

然而，在拍摄过程中，你发现湖泊中的波纹和山脉的细节并没有被完美地捕捉到。

相机的像素并不足以表达出这些微小的细节。

这时，你想到了三次插值。

三次插值是一种数学方法，通过对已知数据点之间的间隔进行计算，从而估计未知数据点的值。

在摄影中，三次插值可以用来增加图像的细节和清晰度。

回到你的照片，你决定使用三次插值来增强图像的细节。

首先，你通过相机拍摄的原始图像，确定了一组已知的像素值。

然后，你使用三次插值算法，在已知像素值之间进行推算，得到了更多的像素值。

通过三次插值，你成功地增强了照片中湖泊的波纹和山脉的细节。

现在，你可以清晰地看到每一个波纹和山脉的纹理，仿佛置身于真实的风景之中。

三次插值不仅在摄影中有应用，它还在许多其他领域发挥着重要作用。

例如，在数字图像处理中，三次插值可以用来改善图像的质量；在计算机图形学中，三次插值可以用来平滑曲线和曲面；在数据分析中，三次插值可以用来预测缺失的数据点。

三次插值是一种强大的数学方法，可以通过已知数据点之间的推算，估计未知数据点的值。

它在摄影、数字图像处理、计算机图形学和数据分析等领域都有广泛的应用。

通过三次插值，我们可以增强图像的细节和清晰度，使其更加真实和自然。

无论是为了捕捉美丽的风景，还是为了分析数据，三次插值都是一个不可或缺的工具。