高中数学论文：抛物线焦点弦与“五朵金花”沪教版

抛物线焦点弦的研究上海师范大学附属外国语中学 张勇华一、教学目标：1.知识目标：掌握抛物线焦点弦的要领及性质，能写出命题与逆命题，并判断其真假2.能力目标：学会用解析法及几何法解决问题，养成独立分析问题与解决问题的能力3.情感目标：学会欣赏数学动静结合的美，学会欣赏，学会人与人合作二、教学重点：依据焦点弦的特征，研究焦点弦的定值，定量问题。

培养学生对问题研究的兴趣，及研究能力。

真假命题的判断与证明。

三、教学难点：培养学生发散思维能力及猜测论证能力。

通过对证题技巧的掌握提高学生对于数学的学习兴趣 及增加学习 动力.四、教学方法：研究探讨式五、授课班级：高二（2）班六、教学过程（一）课前作业：在平面直角坐标系xoy 中，直线l 过抛物线px y 22=的焦点F ，且相交于两点),(11y x A 和),(22y x B ，(1)试探讨21x x +，21x x 是否为定值；(2)试探讨21y y +，21y y 是否为定值；（二）课堂交流探讨：1.作业交流：解：当x l ⊥轴时，2:p x l =代入px y 22=，得p y ±= (1)p x x =+21,4221p x x = (2)021=+y y ,221p y y -=当)2(:p x k y l -=04)2(2)2(222222=++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=p k x k p x k pxy p x k y (1)2221)2(k k p x x +=+，4221p x x = kp pk kk p pk x x k p x k p x k y y 2)2()()2()2()2(2212121=-+=-+=-+-=+ 2222222212122121]4)2(24[]4)(2[)2()2(p p kk p p p k p x x p x x k p x k p x k y y -=++⋅-=++-=-⋅-=说明：(1)结论：21x x 与21y y 是定值(2)让学生体会数学问题的形成或结论的得出是经过研究研讨得出，如作业中的式子并非都是定值的。

[很全]抛物线焦点弦的有关结论知识点1：若是过抛物线的焦点的弦。

设，AB ()022>=p px y F (),,11y x A ()22,y x B 则（1）；（2）4221p x x =221p y y -=证明：如图，（1）若的斜率不存在时，AB 依题意,221px x ==4221p x x =∴若的斜率存在时，设为则AB ,k ⎝⎛=:k y AB ()42222222222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k 综上：.4221p x x =∴.4221p x x =（2），p y x p y x 2,2222211==Q ,22142221p y y p y y ±=⇒=∴但22121,0p y y y y -=∴<（2）另证：设与联立，得2:pmy x AB +=px y 22=22122,02p y y p pmy y -=∴=--知识点2：若是过抛物线的焦点的弦。

设，AB ()022>=p px y F (),,11y x A ()22,y x B 则（1）（2）设直线的倾斜角为;21p x x AB ++=AB α证明：（1）由抛物线的定义知,2,221px BF p x AF +=+=p x x BF AF AB ++=+=∴21（2）若由（1）知,2,90210p x x ===则α2p AB ==若联立，得px y p x k y AB 2,2:,9020=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≠与设α()42222222222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k ，而，(),22221k k p x x +=+∴()222112k k p p x x AB +=++=∴αtan =k ()ααα222sin 2tan tan 12pp AB =+=∴知识点3：若是过抛物线的焦点的弦，则以为直径的圆与AB ()022>=p px y F AB 抛物线的准线相切。

高三数学专题复习--《抛物线的焦点弦问题》课堂设计方案高三数学组设计依据根据普通高中数学课程标准：认识抛物线的几何特征，建立它们的标准方程，应用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质及它们的位置关系，运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想。

教学设想1.教学任务群：任务一、借助复习学案引导学生回顾抛物线的相关知识任务二、展示学生做题方法达到学生间的交流互动任务三、提取本节课的重难点形成解题模式任务四、当堂巩固提高检测学生学习效率2.教学方法：多媒体教学法，小组合作法，点拨法3.教学时间：1课时4.教学目标：1、抛物线焦半径坐标形式和倾角形式、弦长公式2、过焦点的直线与抛物线交点的定值问题。

3、焦点弦中的位置关系问题。

重难点：和抛物线的焦点弦相关的公式的证明和使用。

教学过程一、复习导入通过一道抛物线的证明题回顾抛物线的焦半径，焦点弦，定值问题，展示学生的解题过程及学生的讲解，达到回顾知识，引出本节的重难点，让学生对本节知识有个整体认知。

教师板书本届知识点达到知识梳理，给学生形成知识脉络的目的。

二、知识讲解知识点一：焦半径及焦点弦 例一、已知抛物线，AB 是抛物线的焦点弦，点C 是AB 的中点，AA '垂直准线于A '，BB '垂直准线于B ',CC '垂直准线于C ',CC '交抛物线于点M ，准线交x 轴于点K.求证： 1.12||,||,22p p AF x BF x =+=+ 2. ||,||,1cos 1cos p p AF BF αα==-+ 证明：作AH 垂直于x 轴于点H,则||||||||||cos ,AF AA KF FH p AF α'==+=+∴||.1cos p AF α=-同理可证另一个. 3．112||||AF BF p+= 证明：由||,||;1cos 1cos p p AF BF αα==-+得证. 4.1222||sin p AB x x p α=++=证明：1212AB AF FB 22p p x x x x p =+=+++=++， AB =p p p p p 2sin 2cos 12cos 1cos 122≥=-=++-αααα 教学目的：通过焦半径及焦点弦的公式的推导以及在原有题目上的应用，达到掌握公式，体会公式使用的优越性，突出本节的重难点。

尝试探究有关抛物线的焦点弦问题设计理念美国著名作家海明威在谈到阅读欣赏时，曾讲过一个“冰山理论”：他认为人们看到的小说只是冰山露在海面上的八分之一，那海面下的八分之七得让读者自己去体会揣摩。

小说的表象后面包藏了极为丰富的内涵，它们是小说广阔的背景材料，要真正读懂小说，就必须掌握和了解这些材料。

这段话从一定程度上反映了开展探究性教学的可能和意义所在。

事实上，现行教材中存在很多可选的探究性学习课题，只要我们在教学过程中，善于探究，积极引导，其探究性课题还是比较丰富，并确实有探究的价值。

探究性学习课题一道习题的引申探究性学习目标通过推理、发现、猜测、概括、探究等双边活动过程，来启迪学生思维，调动学生兴趣，激发学习热情，树立创新意识，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。

探究性学习方法学生主动探究与教师启发引导相结合。

探究性学习问题预测重点：抛物线的焦点弦问题的知识联想。

难点：习题的证明结论引发的几何意义。

疑点：更多结论的发现。

情感目标培养学生锲而不舍的个性品质。

体验数学中的对称美、和谐美、统一美都是客观世界美的特征在数学中的反映。

探究性学习双边活动过程问题：过抛物线y2=2px的焦点的一条直线与此抛物线相交，两个交点的纵坐标分别为y 1、y 2.求证：y 1y 2= －p 2证明： 222y px p y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩()k o ≠ ⇒ 2220p y y p k --= （1） 或22222(2)04k p k x p k x ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭（2） ⇒ 212y y p =-以上是同学遇到的一道习题。

请同学判断以上的过程是否正确。

忽视了k 这个变数的讨论当k 不存在时：222y px p x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ⇒ 22y p = ⇒ y p =或y p =- ⇒ 212y y p =-思考1：在证明这个结论的同时，还能得到什么新结论？可得：()21221222p k x x k py y k ++=+=2124p x x =； 甚至还可得到： 2121234x x y y p +=-； 2121254x x y y p -=； 412124p x x y y =-； 121214x x y y =- 设问1 以上的部分结论能否以一个命题形式给出？成果1：过抛物线y 2=2px 的焦点的一条直线与此抛物线相交，两交点的横、纵坐标之积，以及它们的和、差、积、商均为定值。