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空间几何体的三视图与直观图__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________了解中心投影与平行投影；能画出简单几何体的三视图；能识别三视图所表示的空间几何体．一、投影的相关定义1.投影光线（投射线）通过物体，向选定的面（投影面）投射，并在该面上得到图形的方法．2.中心投影投射线交于一点的投影称为中心投影．注意：(1)中心投影也称透视投影；(2)其优点是形成的直观图能非常逼真地反映原来的物体；(3)其缺点是投影中心、投影面、和物体相对位置发生改变时，直观图的大小和形状亦将改变(4)用途：主要用于绘画领域．3.平行投影投射线相互平行的投影称为平行投影．注意：按照投射方向是否正对着投影面，可分为斜投影和正投影两种．二、三视图1.视图——是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形．（1）光线自物体的前面向后投影所得的投影称为主视图或正视图；（2）光线自物体的上部向下部投影所得的投影称为俯视图；（3）光线自物体的左面向右投影所得的投影称为左视图；以上三种视图刻画空间物体的结构，称为三视图．2.三视图的画法规则（1）“高平齐”：指主视图和左视图的高要保持平齐；（2）“宽相等”：指左视图的宽和俯视图的宽度相等；（3）“长对正”：指主视图和俯视图的长应对正； （4）看不到的棱应该用虚线． 三、直观图 1.定义按平行投影法，把空间图形在纸上或黑板上画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系，我把这种投影图叫直观图． 2.优点（1）直观性强；（2）各主要部分的位置关系和度量关系明确；（3）画法较容易． 四、斜二测画法1.在空间图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴交于O ，在取z 轴，使90,90xOy yOz ∠=∠=o o；2.画直观图时把它们画成对应的'x 轴、'y 轴和'z 轴，它们相交与'O ，并使'''45x O y ∠=o（或135o ），'''90x O y ∠=o，'x 轴和'y 轴所确定的平面表示水平平面．3.已知图中平行于x 轴、y 轴或z 的线段，在直观图中分别画成平行于'x 轴、'y 轴或'z 轴的线段． 4.已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．类型一投影例1：下列说法正确的是________．①直线或线段的平行投影仍为直线或线段；②与投射面平行的平面图形，它的平行投影与这个图形一定全等； ③平行四边形的平行投影可能为矩形； ④两平行直线的平行投影一定平行；⑤如果一条长为10的线段的平行投影为5，则长为20的线段的平行投影为10.解析：根据平行投影的性质可知，直线或线段与投影线平行时，其平行投影为点，故①错误；②正确；当投影线和投射面成适当的角度，或改变图形相对于投射面的位置时，平行四边形的平行投影可能为矩形，故③正确；两平行直线的平行投影除平行外，还可能为两点或重合，故④错误；当两直线平行时，两线段与其投影对应成比例，而题中两线段不一定平行，故⑤错误． 答案：②③练习1：一条直线在平面上的投影是（）A ．直线B ．点C ．线段D ．直线或点 答案：D练习2：已知△ABC 是一个直角三角形，则经过平行投影后所得三角形是（）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能 答案：D.练习3：下列命题中正确的是( )A ．矩形的平行投影一定是矩形B ．梯形的平行投影一定是梯形C ．两条相交直线的投影可能平行D ．一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点 答案：D. 类型二三视图例2：(2014·山东文登高一期末测试)一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )A．三棱锥B．底面不规则的四棱锥C．三棱柱D．底面为正方形的四棱锥解析：根据三视图可知，该几何体是一个倒放的三棱柱．答案：C练习1：下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④答案：D练习2：在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图如图所示，则相应的左视图可以为()答案：D.练习3：用若干块相同的小正方体搭成一个几何体（中间不能空），该几何体的三视图如下图所示，则搭成该几何体最少需要的小正方体的块数是（）.A．8 B．7 C．6 D．5答案：B.类型三直观图与斜二测画法例3：(2014·山东潍坊高一检测)如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC中最长的边为________．解析：忽视了图形中的平行关系，从而得不到原图中边与坐标轴的平行关系，判断不出直角三角形而导致错误．答案：AC由图知B′C′∥y′轴，A′B′∥x′轴，则原图中BC∥y轴，则∠ABC＝90°，AC为Rt△ABC的斜边，故AC是△ABC中最长的边．练习1：如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，B′O′＝O′C′＝C′A′，则原△ABC是()A．等边三角形B．等腰非直角三角形C．直角非等腰三角形D．等腰直角三角形答案：建立平面直角坐标系，在x轴上截取BO＝CO＝B′O′，过C作y轴平行线并在上面截取AC＝2OC，连接AB，则得△A′B′C′的原△ABC，如图所示，由于AC⊥BC，且AC＝BC，所以△ABC是等腰直角三角形练习2：水平放置的矩形ABCD长AB＝4，宽BC＝2，以AB、AD为轴作出斜二测直观图A′B′C′D′，则四边形A′B′C′D′的面积为()A．42B．2 2 C．4 D．2答案：B. 平行线在斜二测直观图中仍为平行线，∴四边形A′B′C′D′为平行四边形， ∠D′A′B′＝45°，A′B′＝4， A′D′＝12×2＝1，∴D′E ＝1×sin45°＝22， ∴S 四边形A ′B ′C ′D ′＝A ′B ′·D ′E ＝4×22＝2 2. 练习3：水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________．答案：原图中AC ＝3，BC ＝4，且△ABC 为直角三角形，故斜边上的中线长为1232＋42＝52.1.已知△ABC 是一个直角三角形，则经过平行投影后所得三角形是（）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能答案：D 2．有下列说法：①从投影的角度看，三视图和斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的空间图形；②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；③空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但平行线可能变成了相交的直线；④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：D3．如图所示的是一个简单几何体的三视图，它的上部是一个________，下部是一个________．答案：圆锥 圆柱4．(2014·甘肃庆阳市西峰育才中学高一期末测试)有一个几何体的三视图如下（依次为正视图、侧视图、俯视图），这个几何体应是一个（）A ．棱台B ．棱锥C ．棱柱D ．都不对 答案：A5．如图在平面直角坐标系中有一个边长为a 的正方形，利用斜二测画法得到正方形的直观图，则这个直观图的面积为（）A ．22aB ．422a C．222aD ．22a答案：B6.(2014·山东枣庄第三中学高一期末测试)一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是( ) A ．球 B ．三棱锥 C ．正方体 D ．圆柱 答案：D7.如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图， 则这个平面图形的面积是______ 答案：228.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是BB 1、BC 的中点，则图中阴影部分在平面ADD 1A 1上的射影为( )答案：据正投影的特点可知，M 点、N 点在平面ADD 1A 1内的射影分别为AA 1、AD 的中点，对照选项可知是A.x ′ y′O ′－45__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.下列图形中采用中心投影画法的是()答案：A2.当图形中的直线或线段不平行于投射线时，关于平行投影的性质，下列说法不正确的是()A．直线或线段的平行投影仍是直线或线段B．平行直线的平行投影仍是平行的直线C．与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等D．在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比答案：B3.由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体木块有（）A、6块B、7块C、8块D、9块正视图侧视图俯视图答案：B4.有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图的值为（）所示.如果记3的对面的数字为m，4的对面的数字为n，那么m nA．3 B．7 C．8 D．11答案：C5.若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是（）A．圆锥B．正四棱锥C．正三棱锥D．正三棱台答案：C6.如图所示的是水平放置的三角形ABC在直角坐标系中的直观图，其中D′是A′C′的中点，且∠A′C′B′≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．答案：27．如图所示为一个水平放置的正方形ABCO，在直角坐示系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．答案：2 28．画出如图所示几何体的三视图．答案：已知几何体为正六棱柱，其三视图如图所示．能力提升9.正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为()答案：B10.一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为()答案：C11.一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长．宽．高分别为20m,5m,10m，四棱锥的高为8m，若按1500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长．宽．高和四棱锥的高应分别为()A．4cm,1cm,2cm,1.6cmB．4cm,0.5cm,2cm,0.8cmC．4cm,0.5cm,2cm,1.6cmD．2cm,0.5cm,1cm,0.8cm答案：C12.太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是103，则皮球的直径是()A．53 B．15C．10 D．83答案：B13.桌子上放着一个长方体和圆柱(如图所示)，则下列三幅图分别是什么图(主视图．俯视图．左视图)①________．②________．③________.答案：俯视图 主视图 左视图14.如图所示，梯形A ′B ′C ′D ′是平面图形ABCD 的直观图，若A ′D ′∥O ′y ′，A ′B ′∥C ′D ′，A ′B ′＝23C ′D ′＝2，A ′D ′＝1，则四边形ABCD 的面积是____________．答案：原图形ABCD 为直角梯形，AD 为垂直于底边的腰，AD ＝2，AB ＝2，CD ＝3，∴S 四边形ABCD ＝5.15.如图所示的平行四边形A ′B ′C ′D ′是一个平面图形的直观图，且∠D ′A ′B ′＝45°，请画出它的实际图形．答案：①在直观图A′B′C′中建立坐标系x′A′y′，再建立一个直角坐标系xOy ，如图所示．②在x 轴上截取线段AB ＝A′B′，在y 轴上截取线段AD ，使AD ＝2A′D′.③过B 作BC ∥AD ，过D 作DC ∥AB ，使BC 与DC 交于点C ，则四边形ABCD 为四边形A′B′C′D′的实际图形．。
空间几何体的三视图与直观图知识集结知识元投影的概念与绘制知识讲解中心投影和平行投影1．投影的定义由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面．2．中心投影与平行投影投影定义特征分类中心投影光由一点向外散射形成的投影投影线交于一点平行投影在一束平行光线照射下形成的投影投影线互相平行正投影和斜投影3(1)中心投影中投影线交于一点.(2)平行投影中:①直线或线段的投影是直线或线段或点,平行直线的投影平行或重合或为两个点.②平行于投影面的线段,它的投影与这条线段平行且等长.③与投影面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等.4．中心投影和平行投影具有的区别(1)中心投影的投影线交于一点,平行投影的投影线互相平行.(2)在平行投影中,与投影面平行的平面图形留下的影子,与这个平面图形的形状和大小完全相同;而中心投影则不同.(3)画实际效果图一般用中心投影法;画立体几何中的图形一般用平行投影法.5.判断一个几何体的投影是什么图形,先分清楚是平行投影还是中心投影,投影面的位置如何,再根据平行投影或中心投影的性质来判断.当图形中的直线或线段不平行于投影线时,平行投影具有下述性质:(1)直线或线段的平行投影仍是直线或线段.(2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线.(3)平行于投影面的线段,它的投影与这条线段平行且等长.(4)与投影面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等.例题精讲投影的概念与绘制例1.一条直线在平面上的正投影是()A．直线B．点C．线段D．直线或点【解析】题干解析:当直线与平面垂直时，其正投影为点，其他位置时其正投影均为直线，故选D.例2.如图，E、F分别是正方体的面ADD1A1，面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正射影可能是________.(要求：把可能的图的序号都填上)【答案】②③【解析】题干解析:因为正方体是对称的几何体，所以四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，也就是在面ABCD，面ABB1A1，面ADD1A1上的射影，四边形BFD1E在面ABCD和面ABB1A1上的射影相同，如图②所示；四边形BFD1E在该正方体对角面的ABC1D1内，它在面ADD1A1上的射影显然是一条线段，如图③所示.故②③正确.例3.如图，点O为正方体ABCD-A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号).【答案】①②③【解析】题干解析:要画出四边形OEFD′在该正方体的各个面上的投影，只需画出四个顶点O，E，F，D′在每个面上的投影，再顺次连接就可得到在该面上的投影，并且在两个相对面上的投影是相同的.在面ABCD和面A′B′C′D′上的投影是③；在面ADD′A′和面BCC′B′上的投影是②；在面ABB′A′和面DCC′D′上的投影是①.故答案为①②③.例4.设四面体ABCD各棱长均相等，S为AD的中点，Q为BC上异于中点和端点的任一点，则△SQD在四面体的面BCD上的射影可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】题干解析:略根据三视图分析几何体空间结构知识讲解空间几何体的三视图1．三视图的基本概念三视图概念规律正视图光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图一个几何体的正视图和侧视图高度一样，正视图和俯视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样侧视图光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图俯视图光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图2旋转体是由某个平面图形绕着旋转轴旋转形成的,显然它是关于旋转轴对称的一类几何体.当旋转体的底面水平放置时(除球外),它的三视图比较简单,这时常见的三视图分别为:(1)圆柱的正视图和侧视图都是矩形,俯视图是圆;(2)圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形,俯视图是圆和圆心;(3)圆台的正视图和侧视图都是等腰梯形,俯视图是两个同心圆.例题精讲根据三视图分析几何体空间结构例1.已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，给出下列5个图形：其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是()A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】B【解析】题干解析:由正视图和侧视图可知，几何体可以为圆柱挖去一个小圆柱，圆柱挖去长方体，长方体挖去圆柱，长方体挖去直三棱柱，所以图①②③⑤都可作俯视图，图④不能.例2.已知如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1，点P，Q分别在棱BB1，DD1上，且=，过点A，P，Q作截面截去该正方体的含点A1的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的正视图的是()A．B．C．D．【解析】题干解析:当P，B1重合时，正视图为选项B；当P到B点的距离比B1近时，正视图为选项C；当P到B点的距离比B1远时，正视图为选项D，因此答案为A.例3.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积S的取值范围是________.【答案】【解析】题干解析:正视图的最小面积为正方形ABB1A1的面积，为1，最大面积为矩形ACC1A1的面积，为，故所求范围为[1，]．根据空间几何体绘制三视图知识讲解空间几何体的三视图1．三视图的基本概念三视图概念规律正视图光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图一个几何体的正视图和侧视图高度一样，正视图和俯视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样侧视图光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图俯视图光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图2旋转体是由某个平面图形绕着旋转轴旋转形成的,显然它是关于旋转轴对称的一类几何体.当旋转体的底面水平放置时(除球外),它的三视图比较简单,这时常见的三视图分别为:(1)圆柱的正视图和侧视图都是矩形,俯视图是圆;(2)圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形,俯视图是圆和圆心;(3)圆台的正视图和侧视图都是等腰梯形,俯视图是两个同心圆.例题精讲根据空间几何体绘制三视图例1.如图，下列四个几何体中，它们的三视图(正视图、俯视图、侧视图)有且仅有两个相同，而另一个不同的两个几何体是________.(1)棱长为2的正方体(2)底面直径和高均为2的圆柱(3)底面直径和高均为2的圆锥【答案】(2)(3)【解析】题干解析:依题可知(1)中三视图均是边长为2的正方形.(2)正视图与侧视图是边长为2的正方形，俯视图是直径为2的圆.(3)正视图与侧视图均是底边长和高都为2的等腰三角形，俯视图是直径为2的圆.例2.画出如图所示的几何体的三视图．【答案】见解析【解析】题干解析:该几何体的三视图如图所示．例3.已知点E，F，G分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，C C1，DD1的中点，点M，N，Q，P分别在线段DF，AG，BE，C1B1上.以M，N，Q，P为顶点的三棱锥P-MNQ的俯视图不可能是()A．B．C．D．【解析】题干解析:如图(1)，俯视图即为A，当M，N，Q，P分别为DF，AG，BE，C1B1中点时，俯视图为B.如图(2)，俯视图即为D.不管P，Q，M，N在什么位置，俯视图都不可能是一个正三角形，故选C.例4.用小立方体搭成一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？【答案】见解析【解析】题干解析:由于正视图中每列的层数即是俯视图中该列的最大数字，因此，用的立方块数最多的情况是每个方框都用该列的最大数字，即如图①所示，此种情况共用小立方块17块，即最多要17块.而搭建这样的几何体用小立方体个数最少的情况是每列只要有一个最大的数字，其他方框内的数字可减少到最少的1，即如图②所示，这样的摆法只需小立方块11块，即最少要11块.绘制水平放置的平面图形的直观图知识讲解空间几何体的直观图1．直观图的概念(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形．2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’轴或y’轴的线段．(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．3．立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变．其他同平面图形的画法．例题精讲绘制水平放置的平面图形的直观图例1.关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是()A．直角三角形的直观图仍是直角三角形B．梯形的直观图是平行四边形C．正方形的直观图是菱形D．平行四边形的直观图仍是平行四边形【答案】D【解析】题干解析:由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确．例2.如图为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是()A．B．C．D．【解析】题干解析:根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于y′轴的边与底边垂直．例3.画边长为1 cm的正三角形的水平放置的直观图．【答案】见解析【解析】题干解析:(1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5 cm，在y′轴上截取O′A′＝AO＝cm，连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．绘制空间几何体的直观图知识讲解空间几何体的直观图1．直观图的概念(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形．2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’轴或y’轴的线段．(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．3．立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变．其他同平面图形的画法．例题精讲绘制空间几何体的直观图例1.如图所示，在平面直角坐标系中，各点坐标为O(0，0)，A(1，3)，B(3，1)，C(4，6)，D(2，5).试画出四边形ABCD的直观图.【答案】见解析【解析】题干解析:画法：(1)先画x′轴和y′轴，使∠x′O′y′=45°(如图1).(2)在原图中作AE⊥x轴，垂足为E(1，0).(3)在x′轴上截取O′E′=OE，作A′E′∥y′轴，截取E′A′=1.5.(4)同理确定点B′，C′，D′，其中B′G′=0.5，C′H′=3，D′F′=2.5.(5)连线成图(去掉辅助线)(如图2).例2.有一个正六棱锥(底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图．【答案】见解析【解析】题干解析:(1)先画出边长为3 cm的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示；(2)过正六边形的中心O′建立z′轴，在z′轴上截取O′V′＝3 cm，如图②所示；(3)连接V′A′、V′B′、V′C′、V′D′、V′E′、V′F′，如图③所示；(4)擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示．例3.一几何体的三视图如图：（1）画出它的直观图；（2）求该几何体的体积．【答案】略【解析】题干解析:略直观图的还原知识讲解空间几何体的直观图1．直观图的概念(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形．2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’轴或y’轴的线段．(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．3．立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变．其他同平面图形的画法．例题精讲直观图的还原例1.用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，且∠A ＝90°，则在直观图中∠A′等于()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°【解析】题干解析:在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°.例2.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，则△ABC中AB边上的中线的长度为()A．B．C．5D．【答案】【解析】题干解析:由斜二测画法规则知△ABC是∠ACB为直角的三角形，其中AC＝3，BC＝8，AB＝，所以AB边上的中线长为.例3.已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC中∠ABC的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】题干解析:根据斜二测画法可知△ABC中，BC＝2，AO＝，AO⊥BC，∴AB＝AC＝＝2，故△ABC是等边三角形，则∠ABC＝60°.根据空间几何体的直观图进行相关计算知识讲解空间几何体的直观图1．直观图的概念(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形．2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’轴或y’轴的线段．(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．3．立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变．其他同平面图形的画法．例题精讲根据空间几何体的直观图进行相关计算例1.如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图，已知O′B′=4，且△AOB的面积为16，A′B′∥y′轴，过A′作A′C′⊥x′轴，则A′C′=__________. 【答案】2【解析】=16，题干解析:因为A′B′∥y′轴，所以△ABO中，AB⊥OB，又S△ABOOB=O′B′=4，所以AB·OB=16，所以AB=8，所以A′B′=4，在Rt△A′B′C′中，A′C′=A′B′·sin45°=4×=2.例2.如图，△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′⊥x′轴，且B′C′=3，则△ABC的边AB上的高为__________.【答案】6【解析】题干解析:过C′作C′D′∥A′B′交y′轴于D′，则O′D′==3，由斜二测画法规则知D′对应点在y轴上，且OD=6，此即为△ABC的边AB上的高.例3.在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形ABCD并求出其面积.【答案】2【解析】题干解析:四边形ABCD的真实图形如图所示，因为A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，所以∠D′A′C′=∠A′C′B′=45°，所以在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC，因为DA=2D′A′=2，AC=A′C′=，=AC·AD=2.所以S四边形ABCD例4.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求原平面图形的面积．【答案】2+【解析】题干解析:过A作AE⊥BC，垂足为E，又∵DC⊥BC且AD∥BC，∴四边形ADCE是矩形，∴EC＝AD＝1，由∠ABC＝45°，AB＝AD＝1知BE＝，∴原平面图形是梯形且上下两底边长分别为1和1＋，高为2，∴原平面图形的面积为××2＝2＋.备选题库知识讲解本题库作为知识点“空间几何体的直观图与三视图”的题目补充.例题精讲备选题库例1.（2019春∙河南期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）D．64+8πA．64+B．64+C．64+【解析】题干解析:根据三视图可知几何体是一个组合体：上面是圆锥、下面是正方体，由题意可知：几何体的体积V=4×4×4+×π×22×2=64+，例2.（2019∙四川模拟）已知一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）B．20 C．D．A．【解析】题干解析:该几何体是棱长为2的正方体削去一个角后得到的几何体（如图），其表面积为。
空间几何体的三视图与直观图__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________了解中心投影与平行投影；能画出简单几何体的三视图；能识别三视图所表示的空间几何体．一、投影的相关定义1.投影光线（投射线）通过物体，向选定的面（投影面）投射，并在该面上得到图形的方法．2.中心投影投射线交于一点的投影称为中心投影．注意：(1)中心投影也称透视投影；(2)其优点是形成的直观图能非常逼真地反映原来的物体；(3)其缺点是投影中心、投影面、和物体相对位置发生改变时，直观图的大小和形状亦将改变(4)用途：主要用于绘画领域．3.平行投影投射线相互平行的投影称为平行投影．注意：按照投射方向是否正对着投影面，可分为斜投影和正投影两种．二、三视图1.视图——是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形．（1）光线自物体的前面向后投影所得的投影称为主视图或正视图；（2）光线自物体的上部向下部投影所得的投影称为俯视图；（3）光线自物体的左面向右投影所得的投影称为左视图；以上三种视图刻画空间物体的结构，称为三视图．2.三视图的画法规则（1）“高平齐”：指主视图和左视图的高要保持平齐； （2）“宽相等”：指左视图的宽和俯视图的宽度相等； （3）“长对正”：指主视图和俯视图的长应对正； （4）看不到的棱应该用虚线． 三、直观图 1.定义按平行投影法，把空间图形在纸上或黑板上画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系，我把这种投影图叫直观图． 2.优点（1）直观性强；（2）各主要部分的位置关系和度量关系明确；（3）画法较容易． 四、斜二测画法1.在空间图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴交于O ，在取z 轴，使90,90xOy yOz ∠=∠=；2.画直观图时把它们画成对应的'x 轴、'y 轴和'z 轴，它们相交与'O ，并使'''45x O y ∠=（或135），'''90x O y ∠=，'x 轴和'y 轴所确定的平面表示水平平面．3. 已知图中平行于x 轴、y 轴或z 的线段，在直观图中分别画成平行于'x 轴、'y 轴或'z 轴的线段．4. 已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．类型一 投影例1：下列说法正确的是________．①直线或线段的平行投影仍为直线或线段；②与投射面平行的平面图形，它的平行投影与这个图形一定全等； ③平行四边形的平行投影可能为矩形； ④两平行直线的平行投影一定平行；⑤如果一条长为10的线段的平行投影为5，则长为20的线段的平行投影为10.解析：根据平行投影的性质可知，直线或线段与投影线平行时，其平行投影为点，故①错误；②正确；当投影线和投射面成适当的角度，或改变图形相对于投射面的位置时，平行四边形的平行投影可能为矩形，故③正确；两平行直线的平行投影除平行外，还可能为两点或重合，故④错误；当两直线平行时，两线段与其投影对应成比例，而题中两线段不一定平行，故⑤错误． 答案：②③练习1：一条直线在平面上的投影是（ ）A ．直线B ．点C ．线段D ．直线或点 答案：D练习2：已知△ABC 是一个直角三角形，则经过平行投影后所得三角形是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能 答案：D.练习3：下列命题中正确的是( )A ．矩形的平行投影一定是矩形B ．梯形的平行投影一定是梯形C ．两条相交直线的投影可能平行D ．一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点答案：D.类型二三视图例2：(2014·山东文登高一期末测试)一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个()A．三棱锥B．底面不规则的四棱锥C．三棱柱D．底面为正方形的四棱锥解析：根据三视图可知，该几何体是一个倒放的三棱柱．答案：C练习1：下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④答案：D练习2：在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图如图所示，则相应的左视图可以为()答案：D.练习3：用若干块相同的小正方体搭成一个几何体（中间不能空），该几何体的三视图如下图所示，则搭成该几何体最少需要的小正方体的块数是（）.A．8 B．7 C．6 D．5答案：B.类型三直观图与斜二测画法例3：(2014·山东潍坊高一检测)如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC中最长的边为________．解析：忽视了图形中的平行关系，从而得不到原图中边与坐标轴的平行关系，判断不出直角三角形而导致错误．答案：AC由图知B′C′∥y′轴，A′B′∥x′轴，则原图中BC∥y轴，则∠ABC＝90°，AC为Rt△ABC的斜边，故AC是△ABC中最长的边．练习1：如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，B′O′＝O′C′＝C′A′，则原△ABC是()A．等边三角形B．等腰非直角三角形C ．直角非等腰三角形D ．等腰直角三角形答案：建立平面直角坐标系，在x 轴上截取BO ＝CO ＝B ′O ′，过C 作y 轴平行线并在上面截取AC ＝2OC ，连接AB ，则得△A ′B ′C ′的原△ABC ，如图所示，由于AC ⊥BC ，且AC ＝BC ，所以△ABC 是等腰直角三角形练习2：水平放置的矩形ABCD 长AB ＝4，宽BC ＝2，以AB 、AD 为轴作出斜二测直观图A ′B ′C ′D ′，则四边形A ′B ′C ′D ′的面积为( )A ．4 2B ．2 2C ．4D ．2 答案：B. 平行线在斜二测直观图中仍为平行线， ∴四边形A′B′C′D′为平行四边形， ∠D′A′B′＝45°，A′B′＝4， A′D′＝12×2＝1，∴D′E ＝1×sin45°＝22， ∴S 四边形A ′B ′C ′D ′＝A ′B ′·D ′E ＝4×22＝2 2. 练习3：水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________．答案：原图中AC ＝3，BC ＝4，且△ABC 为直角三角形，故斜边上的中线长为1232＋42＝52.1. 已知△ABC 是一个直角三角形，则经过平行投影后所得三角形是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能答案：D 2．有下列说法：①从投影的角度看，三视图和斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的空间图形；②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；③空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但平行线可能变成了相交的直线；④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：D3．如图所示的是一个简单几何体的三视图，它的上部是一个________，下部是一个________．答案：圆锥 圆柱4．(2014·甘肃庆阳市西峰育才中学高一期末测试)有一个几何体的三视图如下（依次为正视图、侧视图、俯视图），这个几何体应是一个（ ）A ．棱台B ．棱锥C ．棱柱D ．都不对 答案：A 5．如图在平面直角坐标系中有一个边长为a 的正方形，利用斜二测画法得到正方形的直观图，则这个直观图的面积为（ ）A ．22aB ．422aC ．222aD ．22a答案：B 6. (2014·山东枣庄第三中学高一期末测试)一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是( ) A ．球 B ．三棱锥 C ．正方体 D ．圆柱 答案：D7.如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图， 则这个平面图形的面积是______ 答案：228.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是BB 1、BC 的中点，则图中阴影部分在平面ADD 1A 1上的射影为( )x ′ y′O ′－45答案：据正投影的特点可知，M点、N点在平面ADD1A1内的射影分别为AA1、AD的中点，对照选项可知是A.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.下列图形中采用中心投影画法的是()答案：A2.当图形中的直线或线段不平行于投射线时，关于平行投影的性质，下列说法不正确的是()A．直线或线段的平行投影仍是直线或线段B．平行直线的平行投影仍是平行的直线C．与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等D．在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比答案：B3. 由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体木块有（）A、6块B、7块C、8块D、9块正视图侧视图俯视图答案：B4.有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示.如果记3的对面的数字为m，4的对面的数字为n，那么m n的值为（）A．3 B．7 C．8 D．11答案：C5. 若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是（）A．圆锥B．正四棱锥C．正三棱锥D．正三棱台答案：C6.如图所示的是水平放置的三角形ABC在直角坐标系中的直观图，其中D′是A′C′的中点，且∠A′C′B′≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．答案：27．如图所示为一个水平放置的正方形ABCO，在直角坐示系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．答案：2 28．画出如图所示几何体的三视图．答案：已知几何体为正六棱柱，其三视图如图所示．能力提升9. 正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为()答案：B10.一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为()答案：C11.一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长．宽．高分别为20m,5m,10m，四棱锥的高为8m，若按1500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长．宽．高和四棱锥的高应分别为()A．4cm,1cm,2cm,1.6cmB．4cm,0.5cm,2cm,0.8cmC．4cm,0.5cm,2cm,1.6cmD．2cm,0.5cm,1cm,0.8cm答案：C12.太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是103，则皮球的直径是()A ．53B ．15C ．10D ．83答案：B13. 桌子上放着一个长方体和圆柱(如图所示)，则下列三幅图分别是什么图(主视图．俯视图．左视图)①________．②________．③________.答案：俯视图 主视图 左视图14. 如图所示，梯形A ′B ′C ′D ′是平面图形ABCD 的直观图，若A ′D ′∥O ′y ′，A ′B ′∥C ′D ′，A ′B ′＝23C ′D ′＝2，A ′D ′＝1，则四边形ABCD 的面积是____________．答案：原图形ABCD 为直角梯形，AD 为垂直于底边的腰，AD ＝2，AB ＝2，CD ＝3，∴S 四边形ABCD ＝5.15. 如图所示的平行四边形A ′B ′C ′D ′是一个平面图形的直观图，且∠D ′A ′B ′＝45°，请画出它的实际图形．答案：①在直观图A′B′C′中建立坐标系x′A′y′，再建立一个直角坐标系xOy ，如图所示．②在x 轴上截取线段AB ＝A′B′，在y 轴上截取线段AD ，使AD ＝2A′D′.③过B作BC∥AD，过D作DC∥AB，使BC与DC交于点C，则四边形ABCD为四边形A′B′C′D′的实际图形．课程顾问签字： 教学主管签字：。
