2017圆和圆的位置关系5.doc

第50讲：圆与圆的位置关系一、课程标准1、能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系2、能用圆与圆的关系方解决一些简单的数学问题与实际问题. 二、基础知识回顾 圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1＞0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2＞0).三、自主热身、归纳总结1、圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋4y ＝0，则两圆的位置关系是( )A . 内含B . 相交C . 外切D . 外离 【答案】B【解析】圆C 1：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆C 2：x 2＋(y ＋2)2＝22，∴C 1C 2＝5，且2－1＜5＜2＋1，∴两圆相交．故选B .2、圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为( )A . 2B . 2 2C . 3D . 23 【答案】B【解析】由⎩⎨⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，∴所求弦长为2 2.故选B .3、已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A . 内含B . 相交C . 外切D . 外离 【答案】B 【解析】圆M ：x 2＋(y －a)2＝a 2(a>0)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫||a 22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2，由||2－1<()0－12＋()2－12<2＋1得两圆相交．故选B .4、知圆C 与圆x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0相切于原点，且过点A(0，－6)，则圆C 的标准方程为____． 【答案】(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18【解析】 设圆C 方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r>0)，则由题意得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝r 2，()a ＋52＋()b ＋52＝()r±522，a 2＋()b ＋62＝r2解之得圆C 方程为(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18.5、半径为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为_ _ 【答案】(x±4)2＋(y －6)2＝36．【解析】 由题意知，圆心可设为(a ，6)，半径r ＝6，∴()a －02＋()6－32＝6－1，∴a ＝±4，∴所求圆的方程为(x±4)2＋(y －6)2＝36.6、（河北省石家庄二中2019届期末）已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝________. 【答案】2或－5【解析】圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，则C 1(m ，－2)，r 1＝3，C 2(－1，m )，r 2＝2.当圆C 1与圆C 2相外切时，显然有|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即m ＋12＋m ＋22＝5，整理得m 2＋3m －10＝0，解得m ＝－5或m ＝2.四、例题选讲考点一、圆与圆的位置关系例1、已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0.(1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．【解析】 两圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，圆心分别为M (1,3)，N (5,6)，半径分别为11和61－m .(1)＝11＋61－m ，解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心距5，故只有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011. (3)当m ＝45时，4－11＜|MN |＝5＜11＋4，两圆相交，其两圆的公共弦所在直线方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，即4x ＋3y －23＝0.所以公共弦长为=. 变式1、分别求当实数k 为何值时，两圆C 1：x 2＋y 2＋4x －6y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－2x －14y ＋k ＝0相交和相切．【解析】 将两圆的一般方程化为标准方程，得C 1：(x ＋2)2＋(y －3)2＝1，C 2：(x －1)2＋(y －7)2＝50－k ，则圆C 1的圆心为C 1(－2，3)，半径r 1＝1；圆C 2的圆心为C 2(1，7)，半径r 2＝50－k ，k<50.从而|C 1C 2|＝（－2－1）2＋（3－7）2＝5. 当|50－k －1|<5<50－k ＋1，即4<50－k<6， 即14<k<34时，两圆相交．当1＋50－k ＝5，即k ＝34时，两圆外切； 当|50－k －1|＝5，即k ＝14时，两圆内切． ∴当k ＝14或k ＝34时，两圆相切．方法总结：(1)判断两圆的位置关系多用几何法，即用两圆圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．(2)求两圆公共弦长的方法是在其中一圆中，由弦心距d ，半弦长l2，半径r 所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．考点二 圆与圆的综合问题例2、已知圆C 1：(x －a)2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b)2＋(y ＋2)2＝1相外切，则ab 的最大值为________．【答案】 94【解析】 由圆C 1与圆C 2相外切，可得（a ＋b ）2＋（－2＋2）2＝2＋1＝3，即(a ＋b)2＝9，根据基本不等式可知ab≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立．故ab 的最大值为94.变式1、已知圆C 1：(x －a)2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b)2＋(y ＋2)2＝1相内切， 则 a 2＋b 2的最小值为__________．【答案】 12【解析】 由圆C 1与圆C 2内切，得（a ＋b ）2＋（－2＋2）2＝1，即(a ＋b)2＝1.又由基本不等式a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，可知a 2＋b 2≥（a ＋b ）22＝12，当且仅当a ＝b 时等号成立，故a 2＋b 2的最小值为12.变式2、已知圆C 1：(x －a)2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b)2＋(y ＋2)2＝1相交”，则公共弦所在的直线方程为______________________． 【答案】 (2a ＋2b)x ＋3＋b 2－a 2＝0【解析】 由题意将圆C 1，圆C 2的方程都化为一般方程，得圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2＝0①，圆C 2：x 2＋y 2＋2bx ＋4y ＋b 2＋3＝0②， 由②－①得(2a ＋2b)x ＋3＋b 2－a 2＝0，即所求公共弦所在直线方程为(2a ＋2b)x ＋3＋b 2－a 2＝0.变式3、已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A. 3B. 8C. 4D. 9 【答案】D【解析】 由题设中可知两圆相内切，其中C 1(－2a ，0)，r 1＝2；C 2(0，b )，r 2＝1，故|C 1C 2|＝a 2＋4b 2，由题设可知a 2＋4b 2＝2－1，即a 2＋4b 2＝1，则1a 2＋1b 2＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2(a 2＋4b 2)＝5＋4b 2a 2＋a 2b2≥5＋4＝9.当且仅当a 2＝2b 2时等号成立．故选D.变式4、 已知A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，则|PA →＋PB →|的取值范围为____． 【答案】[]7，13【解析】 设AB 的中点为E ，则其轨迹为x 2＋y 2＝14，|PA →＋PB →|＝2||PE →，由||PE →∈⎣⎡⎦⎤72，132，∴|PA →＋PB →|∈[]7，13.变式5、 求圆心在直线x ＋y ＝0上，且过两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0交点的圆的方程．【解析】 (方法1)(利用圆心到两交点的距离相等求圆心)将两圆的方程联立得方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解这个方程组求得两圆的交点坐标A(－4，0)，B(0，2)． 因所求圆心在直线x ＋y ＝0上，故设所求圆心坐标为(x ，－x)，则它到上面的两上交点(－4，0)和(0，2)的距离相等，故有()－4－x 2＋()0＋x 2＝x 2＋()2＋x 2，即4x ＝－12，∴x ＝－3，y ＝－x ＝3，从而圆心坐标是(－3，3)．又r ＝()－4＋32＋32＝10，故所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝10.(方法2)(利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程)同方法1求得两交点坐标A(－4，0)，B(0，2)，弦AB 的垂直平分线方程为2x ＋y ＋3＝0，它与直线x ＋y ＝0交点(－3，3)就是圆心，又半径r ＝10，故所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝10.(方法3)(用待定系数法求圆的方程)同方法1求得两交点坐标为A(－4，0)，B(0，2)．设所求圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，∵两点在此圆上，且圆心在x ＋y ＝0上，∴得方程组⎩⎨⎧()－4－a 2＋b 2＝r 2，a 2＋()3－b 2＝r 2，a ＋b ＝0，解之得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3，r ＝10，故所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝10.(方法4)设所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋10y －24＋λ(x 2＋y 2＋2x ＋2y －8)＝0(λ≠－1)， 即x 2＋y 2－2()1－λ1＋λx ＋2()5＋λ1＋λy －8()3＋λ1＋λ＝0.可知圆心坐标为(1－λ1＋λ，－5＋λ1＋λ)．∵圆心在直线x ＋y ＝0上，∴1－λ1＋λ－5＋λ1＋λ＝0，解得λ＝－2.将λ＝－2代入所设方程并化简，求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －6y ＋8＝0.方法总结：圆与圆的综合题目涉及到参数的问题，解题思路就是通过圆与圆的位置关系，寻求参数之间的关系，然后转化为函数的思想进行解决。

匚J Sf" 源于名校，成就所托、知识梳理:1圆与圆的五种位置关系：（1）外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外离。

（2）外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外切。

（3）相交：两个圆有两个公共点，叫做这两个圆相交。

（4）内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内切。

（5）内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内含。

2、圆与圆位置关系的数量描述：如果两圆的半径为r1?r2，圆心距为d,那么（1）两圆外离：二d ■ r1 r2；（2）两圆外切二d = 口• $ ；（3）两圆相交 u * - r2c d c * + r2；（4）两圆内切二d = A -r2；（5）两圆内含二；（当d=0时，两圆同心）3、相交两圆连心线的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

4、相切两圆连心线的性质：相切两圆的连心线经过切点。

二、例题精讲：例1、（ 1 ）已知两圆的半径分别为5和2,且圆心距为3,那么这两个圆的位置关系是_____________（2）___________________________________________________________________ 已知两圆的半径是8和4,圆心距为3,这两个圆的位置关系是________________________________________________（3）_______________________________________________________________________________________________ 如果两个圆的圆心距为7,且这两个圆的直径分别为6和8，那么这两个圆的位置关系是__________________________ （4）_____________________________________________________________ 直径为10和8,且圆心距为10的两个圆的位置关系是_______________________________________________________（5）已知一个圆的半径为4，另一个圆的直径为6，而圆心距为5,这两个圆的位置关系是—（6）___________________________________________________________ 直径为8与6的两个圆相切，这两个圆的圆心距等于_______________________________________________________例2、解下列各题：（1）已知两圆内切，圆心距为2，一个圆的半径为3，那么另一个圆的半径是多少？（2）已知两个圆的圆心距为10, —个圆的半径为8,要使这两个圆外离，那么另一个圆的半径r的取值范围是怎样？（3）已知两圆外切，一个圆的半径为5,而圆心距为乙那么另一个圆的半径是多少？轡立方教冃、古宀丄亠源于名校，成就所托(4) 已知相切两圆的圆心距为 7，一个圆的半径为 6，试求另一个圆的半径。

与圆有关的位置关系1.能根据点到圆心的距离和半径的大小关系确定点与圆的位置关系；2.能根据圆心到直线的距离和半径的大小关系确定直线与圆的位置关系；3.能根据两圆的圆心距与两圆的半径之间的数量关系判定两圆的位置关系．1.点与圆的位置关系的判定；2.直线与圆的位置关系的判定.点与圆的位置关系1.点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP = d，则有：点P在圆内⇔d<r点P在圆上⇔d=r点P在圆外⇔d>r【注意】点与圆的位置关系是由点P到圆心的距离ｄ和圆的半径ｒ的数量关系决定的，在运用这一性质时应注意“形”与“数”之间的转化．2.确定圆的条件：不在同一条直线上的三点确定一个圆．【注意】可以让学生通过作图进行归纳总结“不在同一条直线上的三点确定一个圆”，熟练掌握其方法，经过一点或经过两点作圆，因为圆心不能唯一确定，半径也就不能确定．所以作出的圆都有无限多个．“不在同一直线上的三点确定一个圆”，这个“确定”的含义是“有且只有”．3.外接圆与外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心，三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．【注意】要注意的是，锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心是三角形斜边中点；钝角三角形的外心在三角形的外部，反之成立．例1.矩形ABCD中，AB=8，BC=35，点P在边AB上，且BP=3AP，如果圆P 是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）A.点B、C均在圆P外B.点B在圆P外、点C在圆P内C.点B在圆P内、点C在圆P外D.点B、C均在圆P内【答案】解：连接PD、PC，⊙AB=8，点P 在边AB 上，且BP=3AP ，⊙AP=2，BP=6 在Rt APD ∆中，7PD ====，⊙⊙P 的半径r=7， 在Rt BPC ∆中，9PC ===⊙PB=6＜r ，PC=9＞r⊙点B 在圆P 内、点C 在圆P 外．故选C ．【解析】此题主要考查判断点与圆的位置关系．需要比较点到圆心的距离与半径的大小关系，根据BP=3AP 和AB=8求得AP 的长，然后利用勾股定理求得圆P 的半径PD 的长，根据点B 、C 到P 点的距离判断点P 与圆的位置关系即可．练习1.如图，在Rt⊙ABC 中⊙ACB=90°，AC=6，AB=10，CD 是斜边AB 上的中线，以AC 为直径作⊙O ，设线段CD 的中点为P ，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）A.点P 在⊙O 内B.点P 在⊙O 上C.点P 在⊙O 外D.无法确定 【答案】A【解析】解：⊙AC=6，AB=10，CD 是斜边AB 上的中线， ⊙AD=5，OP=2.5，OC=OA=3， ⊙OP ＜OA ，⊙点P 在⊙O 内，故选A ．练习2.如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1， 点A坐标为12⎛ ⎝⎭，则点A 与⊙O的位置关系是（ ）ABA.点A 在⊙O 外B.点A 在⊙O 上C.点A 在⊙O 内D.无法判断【答案】解：⊙点A 坐标为12⎛ ⎝⎭，⊙OA = ⊙点A 在⊙O 上，故选B ．【解析】本题考查点与圆的三种位置关系：点在圆内，点在圆上，点在圆外．根据点与圆的位置关系比较点到圆心的距离与1的大小关系，然后再确定点在圆上、内、外． 练习3.点P 到⊙O 的圆心O 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，d 与r 的值是一元二次方程的两个根，则点P 与⊙O 的位置关系为（ ）A.点P 在⊙O 内B.点P 在⊙O 外C.点P 在⊙O 上D.点P 不在⊙O 上 【答案】解：解方程2320x x -+=得：x=1或x=2， ⊙d≠r ，⊙点P 不在⊙O 上， 故选D ．【解析】本题考查了点与圆的位置关系及用因式分解法解一元二次方程的知识，解题的关键是正确地解方程.解方程求得方程的两个根即可得到d 与r 的值，然后做出判断．点与圆心之间的距离d 和该圆的半径r 有三种不同的大小关系，则点与圆也有三种不同的位置关系，所以在判断点与圆的位置关系时，只需要判断点到圆心的距离与半径的大小即可.例2.如图所示，一圆弧过方格的格点A 、B 、C ，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A 的坐标为（-2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）0232=+-xxA.（-1，2）B.（1，-1）C.（-1，1）D.（2，1）【答案】C【解析】解：如图所示，⊙AW=1，WH=3，=⊙BQ=3，QH=1，=⊙AH=BH同理，AD=BD，所以GH为线段AB的垂直平分线，易得EF为线段AC的垂直平分线，H为圆的两条弦的垂直平分线的交点，则BH=AH=HC，H为圆心．则该圆弧所在圆的圆心坐标是（-1，1）．故选C．练习1.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A.点PB.点QC.点RD.点M【答案】B【解析】根据垂径定理的推论，则作弦AB和BC的垂直平分线，交点Q即为圆心．故选B．练习2.如图，小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A.第⊙块B.第⊙块C.第⊙块D.第⊙块【答案】B【解析】解：第⊙块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，就交于圆心，进而可得到半径的长．故选B．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心.例3.下列说法中，正确的有（）①三点可以确定一个圆；⊙ 三角形的外心是三角形三边中线的交点；⊙ 锐角三角形的外心在三角形外；⊙ 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A【解析】解：⊙不在同一直线上三点才可以作一个圆，⊙⊙错误；⊙三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，⊙⊙错误；⊙锐角三角形的外心在三角形的内部，⊙⊙错误；⊙三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，⊙根据垂直平分线性质得出三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，⊙⊙正确；故选A．练习1.有如下结论：⊙一个圆只有一个内接三角形；⊙一个三角形只有一个外接圆；⊙直角三角形的外心是它斜边的中点；⊙等边三角形的外心是它角平分线的交点．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】解：一个圆有无数个内接三角形，⊙⊙错误；三角形只有一个外接圆，⊙⊙正确；直角三角形斜边的中点到直角三角形三个顶点的距离相等，是直角三角形的外心，⊙⊙正确；等边三角形具有等腰三角形的三线合一的性质，等边三角形的外心是三边垂直平分线的交点，也是三条角平分线的交点，⊙⊙正确；故选C．练习2.正三角形的外接圆的半径和高的比为( )A.1⊙2B.2⊙3C.3⊙4D.1⊙3【答案】B【解析】连接OB，AO，延长AO交BC于D，⊙⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙AD⊙BC，⊙OBC=12⊙ABC =12×60°=30°，⊙⊙ADB=90°，⊙OBC=30°，⊙12 OD OB⊙AD=OA+OD，⊙AD=OB+12OB =32OB，即OB：AD =2：3．故选B．练习3.已知：如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，D为CB延长线上一点，⊙AOC=130°，则⊙ABD 的度数为（）A.40°B.50°C.65°D.100°【答案】C【解析】解：在优弧AC上任意找一点E，连接AE、CE，根据圆周角定理得⊙E=65°；⊙四边形ABCE内接于⊙O，⊙⊙ABD=⊙E=65°．故选C不在同一直线上三点才可以作一个圆，在同一直线上三点不能作一个圆，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，锐角三角形的外心在三角形的内部.直线与圆的位置关系1.直线与圆的三种位置关系：【注意】判断直线与圆的位置关系时，既可以用直线与圆的公共点个数来判断，也可以用圆心到直线的距离d与r的大小关系来判定．要注意让学生根据不同的条件准确快速地判断直线与圆的位置关系．2.切线的判定方法（1）定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线．（2）数量法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线（d=r）．（3）判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.3.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．例1.已知⊙O 的半径为3cm ，点P 是直线l 上一点，OP 长为5cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系为（ ） A.相交 B.相切C.相离D.相交、相切、相离都有可能【答案】D【解析】本题知道⊙O 的半径为3cm ，并知道点P 是直线l 上一点，OP 长为5cm ，并没有告诉圆心到直线l 的距离，且根据已知条件无法确定圆心到直线l 的距离的大小，所以此时要根据直线圆的位置关系的三种情况分别探究是否都有可能.通过具体的数值分析，可知直线l 与圆的位置关系三种都有可能，所以选D.练习1.如图，⊙O 的半径OC=5cm ，直线l ⊥OC ，垂足为H ，且l 交⊙O 于点A 、B 两点，AB=8cm ，则l 沿OC 所在的直线向下平移____cm 时与⊙O 相切.【答案】2【解析】本题是一道判断直线与圆相切有关的问题,涉及到垂径定理、勾股定理以及平移等有关知识的应用.要判断直线l 沿OC 的方向平移多少cm 时与⊙O 相切，只要求到CH 的长度即可.因为CH=OC -OH ，所以只要求到OH 就可解决问题. 解：连接OA ，在Rt⊙AOH 中，因为0A=5cm ，AH=4cm ， 所以OH=3452222=-=-AH OA cm.所以CH=OC -OH=2cm.即l 沿OC 所在的直线向下平移2cm 时与⊙O 相切.练习2.如图，直线AB 、CD 相交于点O ，⊙AOD=30°，半径为1cm 的⊙P 的圆心在射线OA 上，且与点O 的距离为6cm ．如果⊙P 以1cm/s 的速度沿由A 向B 的方向移动，那么（ ）秒钟后⊙P 与直线CD 相切． A ．4B ．8C ．4或6D ．4或8【解析】本题是一道设计比较新颖的题目，要判断几秒种后⊙P与直线CD相切，则需要计算出当P与直线CD相切时，圆心P移动的距离，如图，在移动的过程中，P与直线CD相切有两种情况，如图，当圆心运动到P1、P2的位置时与直线CD相切，只要求到PP1，PP2长度即可.解：当圆心移动到P1、P2的位置时，设P1与直线CD切于E点，则P1E=1，因为⊙POD=30°，所以OP1=2，所以PP1=6-2=4，同样可求PP2=8cm，所以经过4秒或8秒钟后⊙P与直线CD 相切.故选D.练习3.如图，⊙ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE 为直径的圆与BC的位置关系（）A.相交B.相切C.相离D.无法确定【答案】A【解析】解：过点A作AM⊙BC于点M，交DE于点N，⊙AM·BC=AC·AB，⊙AM=4.8⊙D、E分别是AC、AB的中点，⊙DE⊙BC，DE=12BC=5⊙AN=MN=12AM，⊙MN=2.4，⊙以DE为直径的圆半径为2.5⊙r=2.5＞2.4，⊙以DE为直径的圆与BC的位置关系是：相交．故选A练习4.如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y=x与⊙O的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.以上三种情况都有可能 【答案】B【解析】解：⊙令x=0，则y=令y=0，则， ⊙A(0，，,0)，⊙⊙AOB 是等腰直角三角形， ⊙AB=2，过点O 作OD⊙AB ，则OD=BD=1 ⊙直线y=x与⊙O 相切．故选B判断直线与圆的位置关系时，既可以用直线与圆的公共点个数来判断，也可以用圆心到直线的距离d 与r 的大小关系来判定．例2.如图，在⊙O 中，AB 是直径，AD 是弦，⊙ADE = 60°，⊙C = 30°．判断直线CD是否为⊙O 的切线，并说明理由．【答案】解：连接OD ，如图，⊙⊙ADE=60°，⊙C=30°， ⊙⊙A=⊙ADE -⊙C=60°-30°=30°， 又⊙OD=OA ，⊙⊙ODA=⊙A=30°， ⊙⊙EDO=90°，⊙OD 为⊙O 的半径，⊙CD 是⊙O 的切线【解析】本题考查圆切线的判定方法：若直线与圆有唯一交点，则此直线是圆的切线；若圆心到直线的距离等于圆的半径，则此直线是圆的切线；经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线．当已知直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要连接圆心和该点，证明该连线与已知直线垂直即可；当没告诉直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于圆的半径，由题可知直线CD 与圆有公共点，故直接连接OD 证明OD⊙CD 即可．练习1.已知：如图，O 为ABC ∆的外接圆，BC 为O 的直径，作射线BF ，使得BA 平分CBF ∠，过点A 作AD BF ⊥于点D ．求证： 直线DA 为⊙O 的切线．【答案】解：连接OA ，⊙BC 为⊙O 的直径，BA 平分⊙CBF ，AD⊙BF ，⊙⊙ADB=⊙BAC=90°，⊙DBA=⊙CBA；⊙⊙OAC=⊙OCA，⊙⊙DAO=⊙DAB+⊙BAO=⊙BAO+⊙OAC=90°，⊙OA为⊙O半径，⊙DA为⊙O的切线．【解析】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．练习2.已知：如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的平行线，交⊙O于点C，直线OC上一点D满足⊙D=⊙ACB.判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论．【答案】直线BD与⊙O相切．证明：如图，连接OB．⊙⊙OCB=⊙CBD+⊙D，⊙1=⊙D，⊙⊙2=⊙CBD，⊙AB⊙OC，⊙⊙2=⊙A，⊙⊙A=⊙CBD．⊙OB=OC，⊙⊙BOC+2⊙3=180°．⊙⊙BOC=2⊙A，⊙⊙A+⊙3=90°．⊙⊙CBD+⊙3=90°．⊙⊙OBD=90°．⊙OB为⊙O半径，⊙直线BD与⊙O相切．【解析】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．练习3.如图，D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO，求证：BD是⊙O的切线．【答案】连接BO，⊙AB=AD，⊙⊙D=⊙ABD⊙AB=AO，⊙⊙ABO=⊙AOB又在⊙OBD中，⊙D+⊙DOB+⊙ABO+⊙ABD=180°，⊙⊙OBD=90°，即BD⊙BO⊙OB为⊙O半径，⊙BD是⊙O的切线．练习4.已知：如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊙DC，交DC的延长线于点E，且AC平分⊙EAB．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若⊙ADC=30°，AC=6，求BC的长．【答案】（1）连接OC，则⊙CAO=⊙ACO．⊙AC平分⊙EAB，⊙⊙EAC=⊙CAO．⊙⊙EAC=⊙ACO ．⊙AE⊙OC ． ⊙⊙DCO=⊙E=90°，即DE⊙OC ． ⊙OC 为半径，⊙DE 是⊙O 的切线． （2）⊙⊙ADC=30°，⊙⊙EAD=60°， ⊙⊙BAC=12⊙EAD=30°， ⊙AB 是⊙O 的直径，⊙⊙ACB=90°，⊙BC=【解析】本题考查了切线的判定与性质；证明某一直线是圆的切线时，一般情况下是连接切点与圆心，通过证明该半径垂直于这一直线来判定切线．（1）应用判定定理判定圆的切线时，必须先弄清“题设”中的两个条件：一是经过半径的外端，二是垂直于这条半径，这两者缺一不可；（2）切线的判定定理中，只有证明是切线后，这个交点才能称为切点；（3）证明切线常见题型：⊙已知交点：连半径、证垂直；⊙交点未知：作垂直、证半径．例3.等腰⊙ABC 中，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，交AB 于点G ，过点D 作⊙O 的切线交AB 于点E ，交AC 的延长线与点F ．求证：EF⊙AB ．【答案】解：连接OD ，⊙OC=OD ，⊙⊙ODC=⊙OCD ，又⊙AB=AC，⊙⊙OCD=⊙B，⊙⊙ODC=⊙B，⊙OD⊙AB，⊙ED是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，⊙OD⊙EF，⊙AB⊙EF ．练习1.如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线l，过点B 作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E．（1）求⊙AEC的度数；（2）求证：四边形OBEC是菱形．【答案】解：（1）在⊙AOC中，AC=2，⊙AO=OC=2，⊙⊙AOC是等边三角形，⊙⊙AOC=60°，⊙⊙AEC=30°；（2）⊙OC⊙l，BD⊙l．⊙OC⊙BD．⊙⊙ABD=⊙AOC=60°．⊙AB为⊙O的直径，⊙⊙AEB=90°，⊙⊙AEB为直角三角形，⊙EAB=30°．⊙⊙EAB=⊙AEC．⊙CE⊙OB，又⊙CO⊙EB，⊙四边形OBEC为平行四边形．又⊙OB=OC=2．⊙四边形OBEC是菱形．归纳切线的性质：(1)切线和圆有唯一公共点（切线的定义）；(2)圆心到直线的距离等于圆的半径（判定方法(2)的逆命题）；(3)切线垂直于过切点的半径（切线的性质定理）；(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点（推论1）；(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心（推论2）．例4.如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与圆O相切于E点．若圆O的半径为5，且AB=11，则DE的长度为（）A．5B．6C．√30D．112【答案】B【解析】解：连接OM、ON，⊙四边形ABCD是正方形，⊙AD=AB=11，⊙A=90°，⊙圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，⊙⊙OMA=⊙ONA=90°=⊙A，⊙OM=ON，⊙四边形ANOM是正方形，⊙AM=OM=5，DE与圆O相切于E点，圆O的半径为5，⊙AM=5，DM=DE，⊙DE=11﹣5=6，故选B．练习1.如图，在Rt⊙AOB中，OA=OB=3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为．【答案】2【解析】解：连接OP、OQ．⊙PQ 是⊙O 的切线，⊙OQ⊙PQ ； 根据勾股定理知PQ 2=OP 2﹣OQ 2， ⊙当PO⊙AB 时，线段PQ 最短， ⊙在Rt⊙AOB 中，OA=OB=3， ⊙AB=OA=6，⊙OP==3， ⊙PQ===2．故答案为：2．练习2.对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在两个点A ，B ，使得⊙APB=60°，则称P 为⊙C 的关联点. 已知点D （21，），E （0，-2），F （32，0） （1）当⊙O 的半径为1时，⊙在点D ，E ，F 中，⊙O 的关联点是__________；⊙过点F 作直线交y 轴正半轴于点G ，使⊙GFO=30°，若直线上的点P （m ，n ）是⊙O 的关联点，求m 的取值范围；（2）若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径的取值范围.【答案】(1) ⊙；⊙；(2)21E D 、30≤≤m 1≥r【解析】(1) ⊙；⊙由题意可知，若点要刚好是圆的关联点；需要点到圆的两条切线和之间所夹的角度为； 由图可知，则，连接，则rBC CPBBCPC 22sin ==∠=； ⊙若点为圆C 的关联点；则需点P 到圆心的距离d 满足r d 20≤≤； 由上述证明可知，考虑临界位置的P 点，如图2；点P 到原点的距离212=⨯=OP ；过作轴的垂线，垂足为，； ⊙，⊙； ⊙，⊙； 易得点与点重合，过作轴于点； 易得，⊙；从而若点为圆的关联点，则点必在线段上，⊙；E D 、P C P C PA PB ︒601︒=∠60APB ︒=∠30CPB 图1CBAPBC PO x OH H 3232tan ===∠OG OF OGF ︒=∠60OGF 360sin =︒⋅=OG OH 23sin ==∠OP OH OPH ︒=∠60OPH 1P G 2P x M P ⊥2M ︒=∠302OM P 330cos 2=︒⋅=OP OM P O P 21P P 30≤≤m(2) 若线段上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小， 则这个圆的圆心应在线段的中点； 考虑临界情况，如图3；即恰好点为圆的关联时，则； ⊙此时；故若线段上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径的取值范围为.利用直线与圆相切的性质可以处理一些较综合的问题，其中相切的性质可以为解题提供垂直的条件.圆与圆的位置关系1.圆和圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含2.设两圆圆心距为d ，两圆半径分别为R ，r （R>r ）由圆和圆的位置关系及圆心距d 与R ，r （R>r ）之间的关系得： 两圆外离d R r ⇔>+； 两圆外切d R r ⇔=+；EF EFF E 、K2212===EF KN KF 1=r EF r 1≥r两圆相交R r d R r ⇔-<<+；两圆内切d R r ⇔=-；两圆内含0d R r ⇔≤<-3.相交两圆性质定理: 两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的公共弦．4.相切两圆的性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上．例1.两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则两圆的位置关系是（ ）A.内切B.相交C.外切D.外离【答案】B【解析】解：根据题意得R+r=5+3=8，R -r=5-3=2，圆心距=7，⊙2＜7＜8，⊙两圆相交．故选B ．练习1.已知⊙O 1与⊙O 2相交，它们的半径分别是4，7，则圆心距12O O 可能是（ ）A.2B.3C.6D.12【答案】C【解析】解：两圆半径之差为3，半径之和为11，两圆相交时，圆心距大于两圆半径差，且小于两圆半径和，所以，3＜12O O ＜11．符合条件的数只有C ．故选C ．练习2.已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别是方程2430x x -+=的两根，且两圆的圆心距等于4，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是（ ）A 、外离B 、外切C 、相交D 、内切【答案】B【解析】解：⊙2430x x -+=，⊙（x -3）（x -1）=0，解得：x=3或x=1，⊙⊙O 1与⊙O 2的半径12,r r 分别是方程2430x x -+=的两实根，⊙124r r +=，⊙⊙O 1与⊙O 2的圆心距d=4，⊙⊙O 1与⊙O 2的位置关系是外切．故选B ．练习3.若两个圆相切于A 点，它们的半径分别为10cm 、4cm ，则这两个圆的圆心距为( )A ．14cmB ．6cmC ．14cm 或6cmD ．8cm【答案】C 【解析】解：⊙两圆半径分别为10cm 、4cm ，⊙若这两个圆外切，则圆心距为：10+4=14（cm ），若这两个圆内切，则圆心距为：10-4=6（cm ），⊙这两个圆的圆心距为14cm 或6cm ．故选C ．练习4.定圆O 的半径是4cm ，动圆P 的半径是2cm ，动圆在直线l 上移动，当两圆相切时，OP 的值是（ ）A.2cm 或6cmB.2cmC.4cmD.6cm【答案】A【解析】解：设定圆O 的半径为R=4cm ，动圆P 的半径为r=2cm ，分两种情况考虑： 当两圆外切时，圆心距OP=R+r=4+2=6cm ；当两圆内切时，圆心距OP=R -r=4-2=2cm ，综上，OP 的值为2cm 或6cm ．故选A由圆和圆的位置关系及圆心距d 与R ，r （R>r ）之间的关系得：两圆外离d R r ⇔>+； 两圆外切d R r ⇔=+；两圆相交R r d R r ⇔-<<+；两圆内切d R r ⇔=-；两圆内含0d R r ⇔≤<-.例2.已知：如图，⊙O 1与⊙O 2外切于A 点，直线l 与⊙O 1、⊙O 2分别切于B ，C 点，若⊙O 1的半径r 1=2cm ，⊙O 2的半径r 2=3cm ．求BC 的长．【答案】解：连接O 1B ，O 2C ，O 1O 2，过点O 1作O 1D⊙O 2C 于D ，⊙直线l 与⊙O 1、⊙O 2分别切于B ，C 点，⊙O 1B⊙BC ，O 2C⊙BC ，⊙四边形O 1BCD 是矩形，⊙CD=O 1B=r 1=2cm ，BC=O 1D ，⊙O 2D=O 2C -CD=3-2=1（cm ），⊙⊙O 1与⊙O 2外切于A 点，在Rt⊙O 2DO 1中，O 2O 1=r 1+r 2=2+3=5（cm ），⊙O 1D=cm ，⊙BC=cm ．【解析】此题考查两圆相切的性质、切线的性质、矩形的判定与性质．难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握相切两圆的性质．练习1.如图为某机械的截面图，相切的两圆⊙O 1，⊙O 2均与⊙O 的弧AB 相切，且O 1O 2⊙l 1（l 1为水平线），⊙O 1，⊙O 2的半径均为30mm ，弧AB 的最低点到l 1的距离为30mm ，公切线l 2与l 1间的距离为100mm ．则⊙O 的半径为（ ）A.70mmB.80mmC.85mmD.100mm【答案】B【解析】解：如图，设⊙O 的半径为Rmm ，依题意，得CE=100-30=70（mm ），⊙l 2⊙O 1O 2，⊙CD=O 1D=30（mm ），DE=CE -CD=70-30=40（mm ），OD=OE -DE=R -40（mm ），在Rt⊙OO 1D 中，O 1O=R -30（mm ），O 1D=30mm ，由勾股定理，得O 1D 2+OD 2=O 1O 2，即302+（R -40）2 =（R -30）2，解得R=80mm ．故选B 练习2.如图，⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3两两相切,AB 为⊙O 1，⊙O 2的公切线，AB 为半圆，且分别与三圆各切于一点．若⊙O 1，⊙O 2的半径均为1，则⊙O 3的半径为（ ）A.1B.121 1 【答案】C 【解析】解：如图，分别作三个圆心到AB 的垂线，垂足分别点E 、D 、F ，⊙O 1与⊙O 2的半径相等且相切于S ，则O 3D 过点S ，且点D 是半圆AB 的圆心，延长DS 交圆D 于点W ，则WD 是半圆AB 的半径．EFO 2O 1是矩形，SDEO 1是正方形，DQ=DW=SD+O 3S+O 3W设圆O 3的半径为R ，由勾股定理得O 3DO 1-1．故选C ．两圆相切有两种情况：内切和外切，注意在处理两圆相切问题时需要分类讨论.例3.已知：如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，过A 点的割线分别交两圆于C ，D ，弦CE⊙DB ，连接EB ，试判断EB 与⊙O 2的位置关系，并证明你的结论．【答案】解：过B 作⊙O 2的直径BH ，连接AH ，AB ，⊙BH 是⊙O 2的直径，⊙⊙BAH=90°，⊙CE⊙DB ，⊙⊙ACE=⊙D⊙⊙H=⊙D ，⊙ACE=⊙ABE ，⊙⊙H=⊙ABE⊙⊙H+⊙ABH=90°，⊙⊙ABH+⊙ABE=90°⊙⊙EBH=90°， 又⊙O 2B 为半径，⊙EB 是⊙O 2的切线．【解析】此题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是根据题意作出辅助线，再根据在同圆中等弧所对的圆周角相等和三角形的内角和等于180°进行解答．练习1.已知：相交两圆的公共弦的长为6cm ，两圆的半径分别为cm 23，cm 5，求这两个圆的圆心距．【答案】解：当公共弦在圆心的同侧时如图，AB=6cm ，O 1A=5cm ，O 2A=⊙公共弦长为6cm ，⊙AC=3cm ，AC⊙O 1O 2，⊙O 1C=4cm ，O 2C=3cm ，⊙当公共弦在两个圆心之间时，圆心距=4+3=7cm ；当公共弦在圆心的同侧时，圆心距=4-3=1cm ．则这两个圆的圆心距是7cm 或1cm ．【解析】此题主要考查了相交两圆的性质以及勾股定理．注意此题应考虑两种情况是解题关键．先根据勾股定理，得圆心距的两部分分别是4cm，3cm，然后根据两圆的位置关系确定圆心距．练习2.已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，连接EB并延长交⊙O1于点C，直线CA交⊙O2于点D．（1）如图，当点D与点A不重合时，试猜想线段EA=ED是否成立？证明你的结论；（2）当点D与点A重合时，直线AC与⊙O2有怎样的位置关系？此时若BC=2，CE=8，求⊙O1的直径．【答案】解：（1）EA=ED成立．证明：连接AB，在EA延长线上取点F；⊙AE是⊙O1的切线，切点为A，⊙⊙FAC=⊙ABC，⊙⊙FAC=⊙DAE（对顶角），⊙⊙ABC=⊙DAE，而⊙ABC是⊙O2内接四边形ABED的外角，⊙⊙ABC=⊙D，⊙⊙DAE=⊙D，⊙EA=ED；（2）当点D与点A重合时，直线CA与⊙O2只有一个公共点，所以，直线CA与⊙O2相切，直径为4．两圆相交的重点是对相交弦的处理.。

圆和圆的位置关系涟水县安东学校:凌岭 教学目标知识与技能：了解圆与圆之间的几种位置关系；了解两圆外切、内切与两圆圆心距d 、半径R 和r 的数量关系的联系．过程与方法：经历探索两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探索能力；通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系，发展学生的识图能力和动手操作能力．情感、态度与价值观：通过探索圆和圆的位置关系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性；经历探究图形的位置关系，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思维．重点：位置关系与对应数量关系的运用难点：两圆的位置关系对应数量关系的探索 教学过程 一、创设情境1、点与圆有哪几种位置关系？用数量关系如何判别位置关系？2、直线与圆有哪几种位置关系？用数量关系如何判别位置关系？3、学生在透明纸上画2个大小不同的圆，1个固定，另1个从其外部逐渐向其靠近，然后教师用再铁丝做成的两个圆在黑板上演示，引导学生发现、归纳两圆的位置关系。

二、新知探究1、两圆位置关系的定义 注：（1）找到分类的标准：①公共点的个数；②一个圆上的点是在另一个圆的内部还是外部（2）两圆相切是指两圆外切与内切 （3）两圆同心是内含的一种特殊情况2、两圆位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系之间的联系 若两圆的半径分别为R 、r ，圆心距为d ，那么 两圆外离 d ＞ R ＋r 两圆外切 d = R ＋r两圆相交 R －r ＜ d ＜R ＋r （R ≥r ） 两圆内切 d = R －r （R ＞ r ） 两圆内含 d ＜ R －r （R ＞ r ）■借助数轴进一步理解两圆位置关系与量关系之间的联系⇔⇔⇔⇔⇔三、例题教学课本P139页例例题分析：通过数量关系判定两圆的位置关系关键在于比较三个数量d、R+r、R－r之间的大小关系四、练习1、如图，国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成，在这个图案中反映出的两圆位置关系有（）．A.内切、相交B.外离、相交C.外切、外离D.外离、内切2、已知两圆的半径分别为3cm和2cm，圆心距为5cm，则两圆的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切34、若⊙O1与⊙O2的半径分别为4和9，根据下列给出的圆心距d的大小，写出对应的两圆的位置关系：(1)当d=4时，两圆_______ ; (2)当d=10时，两圆_______ ;(3)当d=5时，两圆_______; (4)当d=13时，两圆_______; (5)当d=14时，两圆_______.5、已知定圆O的半径为2cm，动圆P的半径为1cm.（1）设⊙P与⊙O相外切，那么点P与点O之间的距离是多少？点P应在怎样的图形上运动？（2）设⊙P与⊙O相内切，情况又怎样？6、⊙O1和⊙O2的半径分别为3 cm和4cm，若两圆外切，则d＝_____；若两圆内切；d＝____．7、两圆的半径分别为10 cm和R、圆心距为13 cm，若这两个圆相切，则R的值是____.8、半径为5 cm的⊙O外一点P，则以点P为圆心且与⊙O相切的⊙P能画_______个．9、两圆半径之比为3：5，当两圆内切时，圆心距为4 cm，则两圆外切时圆心距的长为_____．10、两圆内切时圆心距是2，这两圆外切时圆心距是5，两圆的半径分别是______、_______11、两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为 .五、课堂小结1、圆与圆的位置关系有五种：两圆相离、两圆外切、两圆相交、两圆内切、两圆内含；2、两圆位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系之间的联系。

十四 与圆有关的位置关系赛点解读1.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有：点在圆内、点在圆上、点在圆外三种.设⊙O 的半径为r ，点P 与圆心的距离为d ，则有：⑴点P 在圆内r d <⇔；⑵点P 在圆上r d =⇔；⑶点P 在圆外r d >⇔.用图表表示如下：点与圆的位置关系图形数量关系(d 与r )点在圆内r OP d <=点在圆上r OP d ==点在圆外r OP d >=点与圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是互相对应的，知道位置关系可以确定数量关系，同样，知道数量关系也可以确定位置关系.2.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系主要研究直线和圆这两种图形随位置变化而引起的角与角之间的数量关系、截分线段的等积关系等，它为我们解决与圆相关的问题提供了一些重要的理论依据.直线与圆有三种位置关系；相离、相切、相交，用图表表示如下：直线与圆的位置关系相交相切相离图形dBOAr dOArd OA公共点的个数 2 1 0 公共点的名称 交点 切点 无 直线名称 割线切线 无 圆心到直线距离d 与半径r 的关系 r d <r d =r d >在直线与圆相离、相切、相交这三种位置关系中，重点是掌握直线和圆相切的判定和性质.圆的切线的判定方法有：①和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线.圆的切线的性质定理有：①切线和圆只有唯一的公共点；②切线和圆心的距离等于圆的半径；③切线垂直于过切点的半径；④经过圆心垂直于切线的直线必过圆心；⑤经过切点垂直于切线的直线必过切点.涉及切线的重要性质还有切线长定理和弦切角定理，其中切线长定理及其对应的基本图形、以及圆的外切三角形、外切四边形所存在的线段之间的关系也是解决问题常用的依据和方法，弦切角定理更是转化圆中相关角的重要定理.和圆有关的比例线段定理包括相交定理、切割定理及其推论，统称圆幂定理，它揭示了直线与圆相交后所存在的线段间的比例关系.相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段的积相等. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段的比例中项.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.概括圆幂定理其内容为：过定点圆的弦被该点内分（或外分）成的两条线段的积为定值，如图14-3.()22r OP PB AP -=⋅定值PBAO BP AO3.圆与圆的位置关系两圆的位置关系共分为五种：外离、外切、相交、内切、内含（同心圆是内含的特例）.用图表表示如下：两圆的位置关系 图形 公共点的个数 数量关系(d 与R 、r)外离dO 2O 1rR0个 r R d +>外切dO 2O 1r R1个r R d +=相交dO 2O 1r R2个r R d r R +<<-内切Td O 2O 1rR1个r R d -=关于圆和圆的位置关系的性质，判定： ⑴设两圆的半径分别为R 、r ，圆心距为d ，则： ①r R d +>⇔⇔两圆外离条公切线4 ②r R d +=⇔⇔两圆外切条公切线3③()r R r R d r R ≥+<<-⇔⇔两圆相交条公切线2 ④()r R r R d >-=⇔⇔两圆内切条公切线1⑤()r R r R d >-<⇔⇔两圆内含无公切线 ⑵相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必过切点. ⑶相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分公共弦.由圆的对称性知，若两圆有两条外(内)公切线，那么这两条外(内)公切线长相等；若两条外(内)公切线相交，则交点必在连心线上，并且连心线平分两条切线所夹的角.运用直线与圆、圆与圆的有关知识解决问题，既是圆的有关知识综合应用，同时又是重要的数学方法的体现.本节常用的解题方法有：⑴切线的判定常用的两种方法： ①若待证的切线与圆有一个公共点，则连线过该点的半径，证这条直线与所连半径垂直，即为圆的切线；②当直线与圆的公共点不明确，要证该直线是圆的切线时，常过圆心作该直线的垂线，证圆心到直线的距离等于圆的半径，即为圆的切线.⑵切线应用方法与技巧：遇到条件中有切线时，常用如下途径思考： ①连过切点的半径——利用切线的性质定理； ②将切点与圆上的点相连，构造弦切角——利用弦切角定理； ③应用切割线定理. ⑶利用和圆有关的比例线段定理，可直接进行线段的等积式的转换，或比例线段的转化. ⑷求两圆外（或内）公切线的长或求公切线与连心线的夹角的常规方法是通过构造直角三角形，将两圆半径、圆心距、公切线集中起来解决.如图（14-4(1)(2))2()1()⑸遇到两圆相交的问题，常作公共弦或连心线，尤其是公共弦，它是联系两圆关系的重要纽带.⑹遇到两圆相切的问题，常过切点作公切线，构造弦切角，可进行有关角的转化. 本节涉及到的热门赛点有：内含d O 2O 1r R0个r R d -<1.圆中有关计算.2.证线段相等.3.证等积、等比及其他有关线段的等式. 赛题详解赛点1：圆中有关计算例1 在平行四边形ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切，若4=AB ，5=BE ，则DE 的长为（ ）A.3B.4C.415 D.516 BEDCA例2 如图14-6，在半径为r 的⊙O 中，AB 为直径，C 为弧AB 的中点，D 为弧CB 的三分之一等分点，且弧DB 的长等于两倍的弧CD 的长；连接AD 并延长交⊙O 的切线CE 于点E （C 为切点），求AE 的长.DEC BOA例3 如图14-7,7根圆形筷子的横截面圆的半径为r ，则捆扎这7根筷子一周的绳子的长度为 .CB AO 2O 1例4 已知：如图14-8，P A 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，PO 交AB 于点M ，C 是MB 上的一点，OC 的延长线交⊙O 于点E ，OE PD ⊥，垂足为D ，且3=OC ，8=OD ，求⊙O 的半径.PD EC MOBA例5 如图14-9，D 、E 是△ABC 边上BC 上的两点，F 是BA 延长线上一点，CAF DAE ∠=∠.⑴判断△ABD 的外接圆与△ACE 的外接圆的位置关系，并证明你的结论. ⑵若△ABD 的外接圆半径是△ACE 的外接圆半径的2倍，6=BC ，4=AB ，求BE 的长.E D CFB A赛点2：证线段相等例6 如图14-10，已知BC 是⊙O 的切线，OC 平行弦AD ，过点D 作AB DE ⊥于点E ，连接AC ，与DE 交于点P ，问：EP 与PD 是否相等？证明你的结论.CDPB OE A例7 如图14-11，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，延长BC 至D ，是BC CD =，AD CE ⊥，垂足为E ，BE 交⊙O 于F ，AF 交CE 于P ，求证：PC PE =.BOF CP EDA赛点3：证等积、等比及其他有关线段的等式 例8 如图14-12，P 是⊙O 外一点，P A 与⊙O 切于A ，P AC 是⊙O 的割线，PO AD ⊥于D ，求证：CD PC BD PB ::=.COD BPA例9 如图14-13，已知点P 是⊙O 外一点，PS 、PT 是⊙O 的两条切线，过点P 作⊙O 的割线P AB ，交⊙O 于A 、B 两点，与ST 交于点C .求证：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=PB PA PC 11211. H ACOTPBS实战演练赛点整合，步步为营1.如图14-14，在△ABC 中，︒=∠70A ，⊙O 截△ABC 的三条边所得的三条弦都相等，则BOC ∠的度数是 .CB AO2.如图14-15，正方形ABCD 的边长为4，E 点在BC 上，以E 为圆心，EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则EC = .EC BDA3.如图14-16，⊙O 1和⊙O 2内切于点P ，⊙O 2的弦AB 经过⊙O 1的圆心，交⊙O 1于点C 、D .若2:4:1::=DB CD AC ，则点O 2与⊙O 1的位置关系是（ ）A.O 2在⊙O 1内B.O 2在⊙O 1外C.O 2在⊙O 1上D.以上情况都有可能O 2O 1PDC BA4.直角三角形△ABC 的三条边长分别为3，4，5，若将其内切圆挖去，则剩下部分的面积等于 .5.在平面上，如果点A 和点B 到点C 的距离分别为3和4，那么A 、B 两点的距离d 应该是（ ）A.1=dB.2=dC.7=dD.71≤≤d 6.如图14-17，等边△ABC 中，边AB 与⊙O 相切于点H ，边BC 、CA 分别与⊙O 交于点D 、E 、F 、G .已知2=AG ，6=GF ，1=FC ，则DE = .DEFGHCOBA7.如图14-18，大圆O 的直径acm AB =，分别以OA 、OB 为直径作⊙O 1和⊙O 2，并在⊙O 与⊙O 1和⊙O 2的空隙间作两个等圆⊙O 3和⊙O 4，这些圆互相内切或外切，则四边形O 1O 2O 3O 4的面积为 cm 2.O 3O 4O 2O 1OBA8.如图14-19，ABCD 是边长为a 的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆交于另一点P ，延长AP 交BC 于点N ，则=NCBN. NPCBDA9.如图14-20所示，AB 是⊙O 1的直径，AO 1是⊙O 2的直径，弦MN ∥AB ，且MN 与⊙O 2相切点C .若⊙O 1的半径为2，则由O 1B 、弧BN 、NC 、弧CO 1围成的图形的面积等于 .O 2O 1N M CBA10.如图14-21，⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，O 为圆心，点P 在劣弧AB 上，DP 交AO 于点Q .若QO PQ =，则AQQC等于（ ）A.132-B.23+C.23+D.32PQ OD BCA11.如图14-22，在等腰三角形△ABC 中，O 为底边BC 的中点，以O 为圆心作半圆与AB 、AC 相切，切点分别为D 、E .过半圆上一点F 作半圆的切线，分别交AB 、AC 于M 、N ，那么2BC CN BM ⋅的值等于（ ）A.81B.41C.21D.1 ED FN M CABO12.如图14-23所示，A 为弧BC 的中点，过点C 的切线交BA 的延长线于D ，G 为DC的中点，AC DE ⊥于E ，求证：EC BD 2=.ECGDBA13.如图14-24，已知AB 是半圆O 的直径，过A 、B 作弦AC 与BD 交于点E ，过C 、D 作圆的切线交于点P .求证：BA PE ⊥.OPDCBEA智能升级，链接赛题14.已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心、AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得AC BD =；再以点D 为圆心、DA 的长为半径作圆，与⊙A 分布相交于F 、G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则BHAH的值为 . 15.图14-25中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成.如果中间一块阴影的面积等于上下两块阴影的面积之和，则这两圆的公共弦长是（ ）A.25 B.26 C.22521π- D.21621π- PNMQ 2Q 1CBDA 16.如图14-26，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点M ，且分正方形为四个三角形，⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3、⊙O 4分别为△AMB 、△BMC 、△CMD 、△DMA 的内切圆，已知1=AB ，则⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3、⊙O 4所夹的中心（阴影）部分的面积为（ ）A.()()162234--π B.()4223π- C.()()42234--π D.164π-MO 2O 4O 3O 1CDBA17.如图14-27，已知圆心为A 、B 、C 的三个圆彼此相切，且均与直线l 相切，若⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径分别为a 、b 、c (0<c<a<b )，则a 、b 、c 一定满足的关系式为（ ）A.c a b +=2B.c a b +=2C.b a c 111+= D.ba c 111+=CBAl18.如图14-28有五个圆顺次相外切，且又都与直线a 、b 相切.如果其中最小圆与最大圆的直径分别为18和32，那么⊙O 3的直径为 .O 5O 4O 3O 2O 119.已知直角梯形ABCD 的四条边长分别为2=AB ，10==CD BC ，6=AD ，过B 、D 两点作圆，与BA 的延长线交于点E ，与CB 的延长线交于点F ，则BF BE -的值为 .20.如图14-29,点C 是半径为1的半圆弧AB 的一个三等分点，分别以弦AC 、BC 为直径向外侧作4个半圆，则图中阴影部分（4个新月形）的面积是 .EDCBA21.8月8日，第29届奥运会在北京举行，奥运五环旗象征着全世界人民的大团结，五环旗中，五个大小相等的环环环相扣，三个环在上，两个环在下，五个环的中心连接成等腰梯形，构成一个喜庆、和谐、优美的轴对称图形.如图14-30，假设a O O =42，a O O 221=，a O =∠1，则等腰梯形O 1O 2O 4O 5的对角线O 1O 4的长为 .O 5O 4O 3O 2O 122.宏远广告公司要为某企业的一种产品设计商标图案，给出了如下几种初步方案，供继续设计选用（设图中圆的半径均为r ）（图14-31）. ⑴如图14-31(1)，分别以线段O 1O 2的两个端点为圆心，以这条线段的长为半径作出两个互相交错的圆的图案，试求两圆相交部分的面积. ⑵如图14-31(2)，分别以等边△O 1O 2O 3的三个顶点为圆心，以其边长为半径，作出三个两两相交的相同的圆，这时这三个圆相交部分的面积又是多少呢？ ⑶如图14-31(3)，分别以正方形O 1O 2O 3O 4的四个顶点为圆心，以其边长为半径作四个相同的圆，则这四个圆的相交部分的面积又是多少呢？图3()图(2)图1()O 1O 2O 3O 2O 1O 4O 3O 2O 123.如图14-32，已知△ABC 内接于⊙O ，AD 、BD 为⊙O 的切线，作DE ∥BC ，交AC 于E ，连接EO 并延长交BE 于F ，求证：BF=FC .OFE DCBA24.如图14-33，△ABC 是锐角三角形，以BC 为直径作⊙O ，AD 是⊙O 的切线，从AB 上一点E 作AB 的垂线交AC 的延长线于点F ，若ACAEAF AB =，求证：AE AD =. OFE DCBA25.如图14-34，△ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径，连接EF .求证：BCEF PAD =∠tan . CD P EFB A26.已知等腰三角形△ABC 中，AC AB =，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD ∥AC ，交⊙I 于点D ，证明：PD 是⊙I 的切线.C M I DPB A。

图1扇形、圆与圆的位置关系一、圆和圆的位置关系.1、外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.(1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(2)外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.(3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.(4)内切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.(5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例. 2、相切两圆的性质:如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上. 3、 相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 二、弧长及扇形的面积1、圆周长公式: 圆周长C=2πR (R 表示圆的半径)2. 弧长公式: 弧长180R n l π= (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)3、扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.4、弓形定义:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高. 5、圆的面积公式.2R S π= (R 表示圆的半径) 6、扇形的面积公式:扇形的面积3602R n S π=扇形 (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)※弓形的面积公式:(如图5) (1)当弓形所含的弧是劣弧时, 三角形扇形弓形S S S -= (2)当弓形所含的弧是优弧时, 三角形扇形弓形S S S += (3)当弓形所含的弧是半圆时, 扇形弓形S R S ==221π提高试题1、如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该半圆的半径为（ ）A. (4+cm B. 9 cmC. D.cm第1题 第2题2、如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN =30°，B 为AN 弧的中点，点P 是直径MN 上一个动点，则PA+PB 的最小值为（ ）A ．22B ．2C ．1D ．23、已知两圆的半径为Ｒ，r 分别是方程X 2-5X+6=0两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是（ ） A.外离 B.外切 C.内切 D.相交4、已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于 （ ）A ．8πB ．9πC ．10πD ．11π 5、一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是 （ ）．A ．1B ．34C ．12D ．136、 现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）.该圆锥底面圆的半径为（ ）A ．B ．C ．D ．7、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连接DP ，DP 交AC 于点Q ．若QO=PQ ，则QA QC的值为（ ） （A ）132-（B ）32（C ）23+（D ）23+8、已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75°9、如图，已知平行四边形ABCD ，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切。

第5讲圆与圆的位置关系考点梳理1．圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．2．判断圆与圆位置关系的方法(1)几何法：圆心距与两圆半径的和或差的大小关系．两圆圆心距d＞r1＋r2，则两圆外离；d＝r1＋r2，则两圆外切；|r1－r2|＜d＜r1＋r2，则两圆相交；d＝|r1－r2|，则两圆内切；d＜|r1－r2|，则两圆内含；(2)代数法：解两圆的方程组成的方程组，若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若方程组无实数解，则两圆相离．【助学·微博】两圆公共弦(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得直线方程即为两圆公共弦所在直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．(2)两圆公共弦的垂直平分线是两圆圆心的连线．(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．考点自测1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是________．2．若圆C：x2＋y2－ax＋2y＋1＝0和圆O：x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，则a＝________.3．已知两圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q两点，若点P的坐标为(1,2)，则点Q的坐标为________．4．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．5．若两圆相交于两点(1,3)和(m，－1)，且两圆圆心都在x－y＋c＝0上，则m＋c＝________.考向一两圆位置关系的判定及应用【例1】a为何值时，两圆x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0，(1)相切；(2)相交；(3)相离．【训练1】已知⊙C1：x2＋y2－2kx＋k2－1＝0和⊙C2：x2＋y2－2(k＋1)y＋k2＋2k＝0，则当它们的圆心距最小时，判断两圆的位置关系．考向二两圆相切及其应用【例2】已知圆O：x2＋y2＝1，圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝1，由圆外一点P(a，b)引两圆的切线P A，PB，切点分别为A，B，满足P A＝PB.(1)求实数a，b满足的等量关系；(2)求切线长P A的最小值；(3)是否存在以P为圆心的圆，使它与圆O相内切并且与圆C相外切？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明理由．【训练2】已知圆C与圆C1：x2＋y2－2x＝0相外切，并且与直线l：x＋3y＝0相切于点P(3，－3)，求圆C的方程．考向三 两圆位置关系的综合应用【例3】 (2012·苏中三市调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1. (1)若过点C 1(－1,0)的直线l 被圆C 2截得的弦长为65，求直线l 的方程；(2)设动圆C 同时平分圆C 1的周长、圆C 2的周长． ①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．【训练3】 已知圆C 1：x 2＋y 2－10x －10y ＝0和圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋2y －40＝0相交，圆C 过原点，半径为10，圆心在已知两圆圆心连线的垂直平分线上，求圆C 的方程．方法优化8 与圆有关的综合题的解法与圆有关的综合题，既可以用代数法求解，用到方程与函数思想．同时圆有很多几何性质，充分利用圆的几何性质求解，往往会事半功倍．【示例】 (2012·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．高考经典题组训练1．(2011·全国卷改编)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离C1C2＝________.2．(2011·广东卷改编)设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为________．3．(2009·四川卷)若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．4.(2009·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)第5讲圆与圆的位置关系分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．圆C1：x2＋y2＋2x＝0，圆C2：x2＋y2＋4y＝0，则两圆的位置关系是________．2．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是________．3．与圆x2＋y2＝25外切于点P(4,3)，且半径为1的圆的方程是________．4．两圆x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－1＝0与x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2－1＝0的公共弦长的最大值为________．5．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为________．6．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为23，则a＝________.二、解答题(每小题15分，共30分)7．求过两圆x2＋y2＋4x＋y＝－1，x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程．8．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2,1)．(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程，并求内公切线方程；(2)若圆O2与圆O1交于A、B两点，且AB＝22，求圆O2的方程．分层训练B级创新能力提升1．圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为________．2．(2012·苏州调研)已知圆x2＋y2＝m与圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0相交，则实数m的取值范围为________．3．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r＞0.若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是________．4．圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0恰有三条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则1a2＋1b2的最小值为________．5．已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．6．(2012·南京二模)已知⊙C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB 的长为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．第6讲与圆有关的定点、定值、最值与范围问题对应学生用书P147考点梳理1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)121112一个考情分析与圆有关的综合性问题，其中最重要的类型有定点问题、定值问题、最值与范围问题．解这类问题可以通过建立目标函数、利用几何意义、直接求解或计算求得．考点自测1．已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，则经过两圆交点且面积最小的圆的方程为________________．2．若直线y＝x＋b与曲线y＝1－x2有两个公共点，则b的取值范围是________．3．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是________．4．(2012·盐城模拟)与直线x＝3相切，且与圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1相内切的半径最小的圆的方程为________．5．(2013·连云港模拟)一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射，到达圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上一点的最短路程是________．【例1】已知⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点．(1)若|AB|＝423，求|MQ|、Q点的坐标以及直线MQ的方程；(2)求证：直线AB恒过定点．【训练1】已知圆x2＋y2＝1与x轴交于A、B两点，P是该圆上任意一点，AP、PB的延长线分别交直线l：x ＝2于M、N两点．(1)求MN的最小值；(2)求证：以MN为直径的圆恒过定点，并求出该定点的坐标．【例2】(2013·扬州调研)已知圆C：x2＋y2＝9，点A(－5,0)，直线l：x－2y＝0.(1)求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；(2)在直线OA上(O为坐标原点)，存在定点B(不同于点A)，满足：对于圆C上任一点P，都有PB P A为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标．【训练2】(2012·徐州市调研(一))在平面直角坐标系xOy中，直线x－y＋1＝0截以原点O为圆心的圆所得弦长为 6.(1)求圆O的方程；(2)若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于点D、E，当DE长最小时，求直线l的方程；(3)设M、P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交x轴于点(m,0)和(n,0)，问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．考向三 与圆有关的最值与范围问题【例3】(2012·扬州中学质检(三))已知⊙C ：x 2＋(y －1)2＝1和直线l ：y ＝－1，由⊙C 外一点P (a ，b )向⊙C 引切线PQ ，切点为Q ，且满足PQ 等于P 到直线l 的距离．(1)求实数a ，b 满足的关系式；(2)设M 为⊙C 上一点，求线段PM 长的最小值；(3)当P 在x 轴上时，在l 上求一点R ，使得|CR －PR |最大．【训练3】 (2012·南通、泰州、扬州三市调研(二))若动点P 在直线l 1：x －y －2＝0上，动点Q 在直线l 2：x －y －6＝0上，设线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且(x 0－2)2＋(y 0＋2)2≤8，则x 20＋y 20的取值范围是________．高考经典题组训练1．(2010·江西卷改编)直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M 、N 两点，若MN ≥23，则k 的取值范围是________．2．(2012·天津卷改编)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是________．分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分) 1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则点(x ，y )到圆(x ＋2)2＋(y －6)2＝1上点的距离的最小值是________．2．已知x ，y 满足x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，则x 2＋y 2最小值为________．答案 14－2133．圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆M 的方程为(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )．过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF →的最小值是________．4．直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0,1)之间的距离的最大值为________．115．(2012·北京师大附中检测)已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值是________．6．(2013·南京29中模拟)过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，则AB 的最小值为________．二、解答题(每小题15分，共30分)7．已知圆C 的方程为(x ＋4)2＋y 2＝16，直线l 过圆心且垂直于x 轴，其中G 点在圆上，F 点坐标为(－6,0)．(1)若直线FG 与直线l 交于点T ，且G 为线段FT 的中点，求直线FG 被圆C 所截得的弦长； (2)在平面上是否存在定点P ，使得对圆C 上任意的点G 有|GF ||GP |＝12？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．分层训练B 级 创新能力提升1．(2012·南通模拟)若圆C ：(x －a )2＋(y －1)2＝1在不等式x ＋y ＋1≥0所表示的平面区域内，则a 的最小值为________．2．(2012·苏州调研)过点P ()12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A 、B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为________．3．过直线x ＋y －22＝0上一点P 作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．4．(2013·南师附中月考)若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为________．5．(2013·宿迁联考)已知⊙C 过点P (1,1)，且与⊙M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求⊙C 的方程；(2)设Q 为⊙C 上的一个动点，求PQ →·MQ →的最小值；(3)过点P 作两条相异直线分别与⊙C 相交于A 、B ，且直线P A 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．。

圆与圆位置关系的教案5篇圆与圆位置关系的教案1教学目标：1.掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法;两圆连心线的性质;2.通过两圆的位置关系，培养学生的分类能力和数形结合能力;3.通过演示两圆的位置关系，培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力.教学重点：两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系.教学难点：两圆位置关系及判定.(一)复习、引出问题1.复习：直线和圆有几种位置关系?各是怎样定义的?(教师主导，学生回忆、回答)直线和圆有三种位置关系，即直线和圆相离、相切、相交.各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的2.引出问题：平面内两个圆，它们作相对运动，将会产生什么样的位置关系呢?(二)观察、分类，得出概念1、让学生观察、分析、比较，分别得出两圆：外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系，准确给出描述性定义：(1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.(图(1))(2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(2))(3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交.(图(3))(4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(4))(5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含(图(5)).两圆同心是两圆内含的一个特例. (图(6))2、归纳：(1)两圆外离与内含时，两圆都无公共点.(2)两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一(3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离(外离和内含);相交;相切(外切和内切).教师组织学生归纳，并进一步考虑：从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离;有一个公共点则相切;有两个公共点则相交.除以上关系外，还有其它关系吗?可能不可能有三个公共点?结论：在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系.(三)分析、研究1、相切两圆的性质.让学生观察连心线与切点的关系，分析、研究，得到相切两圆的连心线的性质：如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上.这个性质由圆的轴对称性得到，有兴趣的同学课下可以考虑如何对这一性质进行证明2、两圆位置关系的数量特征.设两圆半径分别为R和r.圆心距为d，组织学生研究两圆的五种位置关系，r和d之间有何数量关系.(图形略)两圆外切 d=R+r;两圆相交 R-r两圆内切两圆外离两圆内含d=R-r (R>r); d>R+r; dr);说明：注重“数形结合”思想的教学.(四)应用、练习例1：如图，⊙O的半径为5厘米，点P是⊙O外一点，OP=8厘米求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少?(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少?解：(1)设⊙P与⊙O外切与点A，则PA=PO-OA∴PA=3cm.(2)设⊙P与⊙O内切与点B，则PB=PO+OB∴PB=1 3cm.例2：已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=8，以AC为直径作⊙O，以B为圆心，4为半径作.求证：⊙O与⊙B相外切.证明：连结BO，∵AC为⊙O的直径，AC=12，∴⊙O的半径，且O是AC的中点∴，∵∠C=90°且BC=8，∴，∵⊙O的半径，⊙B的半径，∴BO= ，∴⊙O与⊙B相外切.练习(P138)(五)小结知识：①两圆的五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含;②以及这五种位置关系下圆心距和两圆半径的数量关系;③两圆相切时切点在连心线上的性质.能力：观察、分析、分类、数形结合等能力.思想方法：分类思想、数形结合思想.(六)作业教材P151中习题A组2，3，4题.圆与圆位置关系的教案2教学目标(一)教学知识点1.了解圆与圆之间的几种位置关系.2.了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系.(二) 能力训练要求1.经历探索两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探索能力.2.通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系，发展学生的识图能力和动手操作能力.(三)情感与价值观要求1.通过探索圆和圆的位置关系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.2.经历探究图形的位置关系，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思维.教学重点探索圆与圆之间的几种位置关系，了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系.教学难点探索两个圆之间的位置关系，以及外切、内切时两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的过程.教学方法教师讲解与学生合作交流探索法教具准备投影片三张第一张：(记作3. 6A)第二张：(记作3.6B)第三张：(记作3.6C)教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课[师]我们已经研究过点和圆的位置关系，分别为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种;还探究了直线和圆的位置关系，分别为相离、相切、相交.它们的位置关系都有三种.今天我们要学习的内容是圆和圆的位置关系，那么结果是不是也是三种呢?没有调查就没有发言权.下面我们就来进行有关探讨.Ⅱ.新课讲解一、想一想[师]大家思考一下，在现实生活中你见过两个圆的哪些位置关系呢?[生]如自行车的两个车轮间的位置关系;车轮轮胎的两个边界圆间的位置关系;用一只手拿住大小两个圆环时两个圆环间的位置关系等.[师]很好，现实生活中我们见过的有关两个圆的位置很多.下面我们就来讨论这些位置关系分别是什么.二、探索圆和圆的位置关系在一张透明纸上作一个⊙O.再在另一张透明纸上作一个与⊙O1半径不等的⊙O2.把两张透明纸叠在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1与⊙O2有几种位置关系?[师]请大家先自己动手操作，总结出不同的位置关系，然后互相交流.[生]我总结出共有五种位置关系，如下图：[师]大家的归纳、总结能力很强，能说出五种位置关系中各自有什么特点吗?从公共点的个数和一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来考虑.[生]如图：(1)外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部;(2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部;(3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部;(4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O2上的点在⊙O1的内部;(5)内含：两个圆没有公共点，⊙O2上的点都在⊙O1的内部.[师]总结得很出色，如果只从公共点的个数来考虑，上面的五种位置关系中有相同类型吗?[生]外离和内含都没有公共点;外切和内切都有一个公共点;相交有两个公共点.[师]因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种.经过大家的讨论我们可知：投影片(24.3A)(1)如果从公共点的个数，和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑，两个圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含.(2)如果只从公共点的个数来考虑分三种：相离、相切、相交，并且相离，相切三、例题讲解投影片(24.3B)两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图所示(点O，O’是圆心)，分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求TPN的大小.分析：因为两个圆大小相同，所以半径OP=O’P=OO’，又TP、NP分别为两圆的切线，所以PTOP，PNO’P，即OPT=O’PN=90，所以TPN等于36 0减去OPT+O’PN+OPO’即可.解：∵OP=OO’=PO’，△PO’O是一个等边三角形.OPO’=60.又∵TP与NP分别为两圆的切线，TPO =NPO’=90.TPN=360-290-60=120.四、想一想如图(1)，⊙O1与⊙O2外切，这个图是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?切点与对称轴有什么位置关系?如果⊙O1与⊙O2内切呢?〔如图(2)〕[师]我们知道圆是轴对称图形，对称轴是任一直径所在的直线，两个圆是否也组成一个轴对称图形呢?这就要看切点T是否在连接两个圆心的直线上，下面我们用反证法来证明.反证法的步骤有三步：第一步是假设结论不成立;第二步是根据假设推出和已知条件或定理相矛盾的结论;第三步是证明假设错误，则原来的结论成立.证明：假设切点T不在O1O2上.因为圆是轴对称图形，所以T关于O1O2的对称点T’也是两圆的公共点，这与已知条件⊙O1和⊙O2相切矛盾，因此假设不成立.则T在O1O2上.由此可知图(1)是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线，切点与对称轴的位置关系是切点在对称轴上.在图(2)中应有同样的结论.通过上面的讨论，我们可以得出结论：两圆相内切或外切时，两圆的连心线一定经过切点，图(1)和图(2)都是轴对称图形，对称轴是它们的连心线.五、议一议投影片(24.3C)设两圆的半径分别为R和r.(1)当两圆外切时，两圆圆心之间的距离(简称圆心距)d与R和r具有怎样的关系?反之当d与R和r 满足这一关系时，这两个圆一定外切吗?(2)当两圆内切时(R>r)，圆心距d与R和r具有怎样的关系?反之，当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定内切吗?[师]如图，请大家互相交流.[生]在图(1)中，两圆相外切，切点是A.因为切点A在连心线O1O2上，所以O1O2=O1A+O2A=R+r，即d=R+r;反之，当d=R+r时，说明圆心距等于两圆半径之和，O1、A、O2在一条直线上，所以⊙O1与⊙O2只有一个交点A，即⊙O1与⊙O2外切.在图(2)中，⊙O1与⊙O2相内切，切点是 B.因为切点B在连心线O1O2上，所以O1O2=O1B-O2B，即d=R-r;反之，当d=R-r时，圆心距等于两半径之差，即O1O2=O1B-O2B，说明O1、O2、B在一条直线上，B既在⊙O1上，又在⊙O2上，所以⊙O1与⊙O2内切.[师]由此可知，当两圆相外切时，有d=R+r，反过来，当d=R+r时，两圆相外切，即两圆相外切 d=R+r.当两圆相内切时，有d=R-r，反过来，当d=R-r时，两圆相内切，即两圆相内切 d=R-r.Ⅲ.课堂练习随堂练习Ⅳ.课时小结本节课学习了如下内容：1.探索圆和圆的五种位置关系;2.讨论在两圆外切或内切情况下，图形的轴对称性及对称轴，以及切点和对称轴的位置关系;3. 探讨在两圆外切或内切时，圆心距d与R和r之间的关系.Ⅴ.课后作业习题24.3Ⅵ.活动与探究已知图中各圆两两相切，⊙O的半径为2R，⊙O1、⊙O2的半径为R，求⊙O3的半径.分析：根据两圆相外切连心线的长为两半径之和，如果设⊙O3的半径为r，则O1O3=O2O3=R+r，连接OO3就有OO3O1O2，所以OO2O3构成了直角三角形，利用勾股定理可求得⊙O3的半径r.解：连接O2O3、OO3，O2OO3=90，OO3=2R-r，O2O3=R+r，OO2=R.(R+r)2=(2R-r)2+R2.r= R.板书设计24.3 圆和圆的位置关系一、1.想一想2.探索圆和圆的位置关系3.例题讲解4.想一想5.议一议二、课堂练习三、课时小结四、课后作业圆与圆位置关系的教案3教学目标：探索圆与圆几种位置及两圆相切时两圆圆心距.半径的数量关系的过程.教学重点及教学难点：了解圆与圆的几种位置关系及两圆相切时圆心距d、半径R和r的数量关系一.创设问题情境，引入新课我们已经研究过点和圆的位置关系，还探究了直线和圆的位置关系，它们的位置关系都有三种.今天我们要学习的内容是圆和圆的位置关系，那么结果是不是也是三种呢?没有调查就没有发言权.下面我们就来进行有关探讨.二.新课讲解(一). 探索圆和圆的位置关系在一张透明纸上作一个⊙O.在另一张透明纸上作一个与⊙O1半径不等的⊙O2.两张透明纸叠在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1与⊙O2有几种位置关系?相互交流，总结出不同的位置关系. 投影片(§3.6.1)(1)如果从公共点的个数，和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑，两个圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含.?外离?外切(2)如果只从公共点的个数来考虑分三种：相离、相切、相交，并且相离?，相切??内切.?内含(二)、例题讲解教师出示投影片(§3.6.2)(本节练习2)然后做好引导。

圆与圆的位置关系一、教材内容《圆和圆的位置关系》是九年级下第三章第六节的教学内容。

其主要内容是两个圆的各种位置关系的概念、相切两圆连心线的性质、两圆的位置与两圆的半径、圆心距数量之间的关系等。

它是本章的重要内容之一；它是点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系的延续，它体现了事物之间的内在联系。

在获得知识的过程中蕴含着运动、数形结合、类比等数学思想和方法。

教学重点是探索圆与圆之间的几种位置关系，了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系．教学难点：探索两个圆之间的位置关系，以及外切、内切时两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的过程。

教学目标：（一）知识目标：:1：了解圆与圆之间的几种位置关系2：了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系（二）能力目标：1：经历探索两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探索能力2：通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系，发展学生的识图能力和动手操作能力（三）情感目标：1：通过探索圆和圆的位置关系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性2：经历探究图形的位置关系，丰富对现实空间及图形的认识，发展形思维二、学习者特征分析1、教学对象：面向人教版地区的初中学生2、初始能力分析：学生已经学习了圆与直线的关系和圆的基本知识，对圆有了基本的理解。

3、学习风格分析：学生已经进入了初中二年级的学习，已经是大孩子了，虽然还是很顽皮，但对于学习还是有一定的兴趣。

4、认知能力：学生特别喜欢直观的教具以及课件中的图片，动画等。

学生的思维非常活跃，能够在老师指引下完成学习。

三、教学内容与学习水平的分析与确定1、知识点的划分与学习水平的确定课题知识点学习水平名称知识理解应用圆与圆的位置关系了解圆与圆之间的几种位置关系了解两圆外切、内切与两圆圆心距d 两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系２、学习水平的具体描述知识点学习水平描述语句行为动词了解圆与圆之间的几种关系理解能够说出几种关系并描述说出了解两圆外切、内切与两圆圆心距d能够对画出几种圆心距画出两圆圆心距d、半径R和r 的数量关系的联系能对几种圆心距都够求解解题3、分析教学的重点和难点重点：1、探索并了解圆与圆的位置关系；难点：1、探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径间的数量关系。

例 已知两圆半径之比是5:3，如果两圆内切时，圆心距等于6，问当两圆的圆心距分别是24、5、20、0时，相应两圆的位置关系如何? 解：设大圆半径R=5x∵两圆半径之比为5: 3，∴小圆半径r=3x ， ∵两圆内切时圆心距等于6，∴5x-3x=6，∴x=3， ∴大圆半径R=15，小圆半径r=9，当两圆圆心距d l =24时，有d l =R+r ，∴此时两圆外切； 当两圆圆心距d 2=5时，有d 2<R-r, ∴此时两圆内含；当两圆圆心距d 3=20时, 有R-r<d 3<R+r, ∴此时两圆相交； 当两圆圆心距d 4=0时，两圆圆心重合，两圆为同心圆．说明：此题考察学生对两圆位置的数量认识与形象思维的联想能力．考察数形结合能力．例 已知两相交圆的半径分别为5cm 和4cm ，公共弦长为6cm ，求这两圆的圆心距． 解：分两种情况：（1）如图1，设⊙O 1的半径为r 1=5cm ，⊙O 2的半径为r 2=4cm ． 圆心O l ，02在公共弦的异侧． ∵O 1 O 2垂直平分AB ，∴AD=cm 3AB 21=． 连O 1A、O 2A，则435AD A O D O 222211=-=-=．734AD A O D O 222222=-=-=．74D O D O O O 2121+=+=（cm ）．（2） 如图2，圆心O l ，02在公共弦AB 的同侧，同理可求01D=4cm ，02D=7（cm ）．74D O D O O O 2121-=-=（cm ）．说明：①此题为基本题目；②此题未给出图形，所以应分两种情况求解；若题中给出图形，按已知图形分析求解即可；若题中已知的相交两圆是等圆时，两相交等圆的圆心只能在公共弦两侧．例 （武汉市，2002）已知：如图，⊙O 和⊙O 1内切于A ，直线OO 1交⊙O 于另一点B ，交⊙O 1于另一点F ，过B 点作⊙O 1的切线，切点为D ，交⊙O 于C 点，DE ⊥AB 垂足为E ．求证：(1)CD ＝DE ； (2)若将两圆内切改为外切，其他条件不变，(1)中的结论是否成立?请证明你的结论．证明：（1）连结DF 、AD ，∵AF 为⊙O 1的直径，∴FD ⊥AD ，又DE ⊥AB ， ∴∠DFE=∠EDA ，∵BC 为⊙O 1的切线，∴∠CDA=∠DFE ， ∴∠CDA=∠EDA ，连结AC ，∵AB 为⊙O 的直径， ∴AC ⊥BC ，又AD 公共， O 1O CDE F O 1OC ADE∴Rt △EDA ≌Rt △CDA ， ∴CD ＝DE ．（2）当两圆外切时，其他条件不变，(1)中的结论仍成立．证法同（1）． 说明：①此题应用“如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上”、双垂直、弦切角、全等三角形等知识；②第（2）问是开放性问题．例 （宁波市，2002）如图，⊙O ’经过⊙O 的圆心，E 、F 是两圆的交点，直线OO ’交⊙O 于点Q 、D ，交⊙O ’于点P ，交EF 于点C 且EF=152，sin ∠P=41． (1)求证：PE 是⊙O 的切线； (2)求⊙O 和⊙O ’的半径的长； (3)点A 在劣弧上运动(与点Q 、F 不重合)，连结PA 交于点B ，连结BC 并延长交⊙O 于点G ，设CG=x ，PA=y ．求y 关于x 的函数关系式． 证明：（1）连结OE ，∵OP 是⊙O ’的直径， ∴∠OEP=90°，∴PE 是⊙O 的切线． （2）设⊙O 、⊙O ’的半径分别r 、r ’． ∵⊙O 与⊙O ’ 交于E 、F ， ∴EF ⊥OO ’， 15EF 21EC ==． ∴在Rt △EOC 、Rt △POE 中，∠OEC=∠OPE ．∴sin ∠OEC= sin ∠OPE=41， ∴sin ∠OEC=41r OC OE OC ==，即41OC =r ，15r 161r 22=-，得r=4．在Rt △POE 中，sin ∠OPE='r 2rOP OE =，∴r ’=8． （3）按题意画图，连结OA ，∵∠OEP=90°，CE ⊥OP ，∴PE 2=PC ·PO ．又∵PE 是⊙O 的切线，∴PE 2=PB ·PA ，∴PC ·PO=PB ·PA ， 即PO PB PA PC =，又∵∠CPO=∠APO ，∴△CPB ∽△APO ，∴PAPCOA BC =， ∴BC=60/PA ．由相交弦定理得BC ·CG=EC ·CF ，∴BC=15/CG ， ∴PA=4CG ，即y=4x （5x 15<<）．说明：此题为综合题目，主要应用：切线的判定、两圆相交的性质、勾股定理、三角函数、切割线定理及相似形等知识．典型例题五例 两圆的半径分别是方程0232=+-x x 的两根且两圆的圆心距等于3，则两圆的位置关系是（ ）（A ）外离（B ）外切 （C ）内切（D ）相交O'OD AB CGFQE解：∵方程0232=+-x x 的两根分别为1和2，而两圆的圆心距是3，∴两圆的半径之和等于圆心距， ∴两圆的位置关系是外切，故选B ．说明：本题利用两圆的半径的和或差与圆心距的数量关系判定两圆的位置关系．设两圆的半径分别为R 、r ，圆心距为d ，则（1）两圆外离r R d +>⇔； （2）两圆外切r R d +=⇔；（3）两圆相交)(r R r R d r R ≥+<<-⇔； （4）两圆内切)(r R r R d >-=⇔； （5）两圆内含)(r R r R d >-<⇔．典型例题六例 若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆的位置关系是（ ） （A ）相交（B ）内切 （C ）内含 （D ）不能确定解：∵两圆的圆心距小于两圆的半径之和，根据两圆的半径之和或差与圆心距的数量关系可知，两圆的位置关系可能是相交、内切或内含，∴位置关系不能确定，故选D ．说明：根据两圆的五种位置关系，进行正确判定．典型例题七例 两圆的半径之比为1：2，当两圆外切时，圆心距是6cm ；当两圆内切时，圆心距为（ ）（A ）2cm （B ）3cm （C ）4cm （D ）5cm 解：由题意，设两圆的半径分别为r 和2r ． ∵两圆外切时，圆心距是6cm ， 2,62==+∴r r r （cm ）．∴两圆的半径分别为2cm 和4cm ，∴当两圆内切时，圆心距是224=-（cm ），故选A ． 说明：熟记公式的基础上要灵活运用．典型例题八例 若R 、r 分别为两圆的半径，d 为圆心距，且)(2222r R d Rd r R >-=-，则这两个圆的位置关系是（ ）（A ）相交（B ）相切 （C ）外离（D ）内含解：∵2222d Rd r R -=-，,0))(( ,0)( ,0222222=--+-=--=-+-∴r d R r d R r d R r d Rd Rr R d +=∴或r R d -=∴。