人教版初三数学圆和圆的位置关系1
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3·6圆和圆的位置关系1.圆与圆的五种位置关系:(1)外离:两个圆没有公共点,并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部;(2)外切:两个圆有唯一公共点,除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部;(3)相交:两个圆有两个公共点,一个圆上的点有的在另一个圆的外部,有的在另一个圆的内部;(4)内切:两个圆有一个公共点,除公共点外,⊙O2上的点在⊙O1的内部;(5)内含:两个圆没有公共点,⊙O2上的点都在⊙O1的内部.外离和内含都没有公共点;外切和内切都有一个公共点,相交有两个公共点.因此只从公共点的个数来考虑,可分为相离、相切、相交三种.(2)相交2.两圆相内切或外切时,两圆的连心线一定经过切点,都是轴对称图形,对称轴是它们的连心线.3.在图(1)中,两圆相外切,切点是A.因为切点A在连心线O1O2上,所以O1O2=O1A+O2A =R+r,即d=R+r:反之,当d=R+r时,说明圆心距等于两圆半径之和,O1、A、O2在一条直线上,所以⊙O1与⊙O2只有一个交点A,即⊙O1与⊙O2外切.在图(2)中,⊙O1与⊙O2相内切,切点是B.因为切点B在连心线O1O2,所以O1O2=O1B-O2B,即d=R-r:反之,当d=R-r时,圆心距等于两半径之差,即O1O2=O1B-O2B,说明O1、O2、B在一条直线上,B既在⊙O1上,又在⊙O2上,所以⊙O1与⊙O2内切.当两圆相外切时,有d=R+r,反过来,当d=R+r时,两圆相外切,即两圆相外切 d=R+r当两圆相内切时,有d=R-r,反过来,当d=R-r时,两圆相内切,即两圆相内切d =R-r.设两圆半径分别为R和r,圆心矩为d,那么(1)两圆外离d>R+r(2)两圆外切d=R+r(3)两圆相交R-r<d<R=r(R≥r)(4)两圆内切d=R-r(R>r)(5)两圆内含d<R-r(R>r)同心圆d=04.定理:相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.1.两个同样大小的肥皂泡黏(点O,O′是圆心),分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线,TP、NP分别为两圆的切线,求∠TPN的大小.分析:因为两个圆大小相同,所以半径OP=O′P=OO′,又TP、NP分别为两圆的切线,所以PT⊥OP,PN⊥O′P,即∠OPT=∠O′PN=90°,所以∠TPN等于360°减去∠OPT+∠O′PN+∠OPO°即可.【解析】∵OP =OO′=PO′,∴△PO′O是一个等边三角形.∴∠OPO′=60°.又∵TP与NP分别为两圆的切线,∴∠TPO=∠NPO′=90°.∴∠TPN=360°-2× 90°-60°=120°.2.如图⊙O的半径为5cm,点P是⊙O外一点,OP=8cm.求:(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切,小圆⊙P的半径是多少?(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切,大圆⊙P的半径是多少?【解析】(1)设⊙O与⊙P外切于点A.∴ PA=OP-OA=8-5,∴ PA=3cm.(2)设⊙O与⊙p内切于点B.∴ PB=OP+OB=8+5,∴ PB=13cm.(3)如图7-101,⊙O2与以O1为圆心的同心圆相交于A、B、C、D.3.求证:四边形ABCD是等腰梯形.分析:欲证明四边形ABCD是等腰梯形,只需证明AB∥CD,AD=BC且AB≠CD即可.【解析】证明:连结O1O2,∵⊙O2与以O1为圆心的圆相交于A、B、C、D,∴ AB⊥O1O2,DC⊥O1O2.∴ AB∥CD.在⊙O2中,∵AB∥CD,又∵ AB≠CD,∴四边形ABCD是等腰梯形.4.已知:如图7-102,A是⊙O1、⊙O2的一个交点,点P是O1O2的中点.如果过A的直线MN垂直于PA,交⊙O1于M,交⊙O2于N.那么AM与AN有什么关系呢?是O1O2中点,由平行线等分线段定理可得AC=AD,而得结论.【解析】证明:过点O1、O2分别作O1C⊥MN,O2D⊥MN,垂足为C、D,又∵ PA⊥MN,∴ PA∥O1C∥O2D,∵O1P=O2P,∴ AC=AD.∴ AM=AN.。
初三数学圆和圆的位置关系知识精讲圆和圆的位置关系1. 基本概念(1)两圆外离、外切、相交、内切、内含的定义;(2)两圆的公切线、外公切线、内公切线、公切线长的定义; (3)两圆的连心线、圆心距、公共弦。
两圆的位置 圆心距d 与两圆的半径R 、r 的关系 外公切线条数内公切线条数公切线条数外离 d R r >+ 2 2 4 外切 d R r =+2 13 相交 R r d R r R r -<<+≥()2 0 2 内切 d R r R r =->()1 0 1 内含d R r R r <->()说明:(1)两圆的位置关系和半径,圆心距的数量关系是互相对应的,即知道位置关系就可以确定数量关系,知道数量关系也可以确定位置关系;(2)如果遇到“相离”或“相切”问题时,都要分两种情况来解决。
3. 相交两圆的性质相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
4. 相切两圆的性质如果两圆相切,那么切点一定在连心线上。
5. 两圆中常引用的辅助线(1)相切:过切点引公切线,引连心线。
(2)相交:引连心线、公共弦(将两圆半径、圆心距、公共弦的一半集中在一个三角形中) (3)遇两条内公切线或外公切线:引过切点的半径,构造直角三角形(将半径、圆心距、例:(1997某某)如图,已知:两圆内切于点A,P是两圆公切线上的一点过P作小圆的割线PBC,连结AB、AC,并延长分别交大圆于D、E,求证:PCPBAEAD=22。
证明:连结DEPA是两圆的公切线,∴∠=∠=∠PAD PCA E∴∴=BC DEAEADACAB//PA是⊙O1的切线,PBC是⊙O1的割线∴=⋅PA PB PC2又 ∠=∠∠=∠PCA PAB CPA APB,∴∴=∆∆PAB PCAACABPCPA~∴=∴==⋅=AEADPCPAAEADPCPAPCPB PCPCPB22222即PCPBAEAD=22说明:相切两圆中公切线是联系两圆中角的最有利条件,利用两圆的公切线,构造两圆的弦切角来进行角的转化。