圆与圆的位置关系Revised on November 25, 2020
第三讲直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系
第一部分知识梳理
一 .直线与圆的位置关系
1.直线与圆的三种位置关系
如图，设⊙O的半径为r ，圆心O到直线l的距离为d，得出直线和圆的三种位置关系：
>
（1）直线l和⊙O相离⇔d r
此时：直线和圆没有公共点． （2）直线l 和⊙O 相切 ⇔d r =
此时:直线和圆有唯一公共点，这时的直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
（3）直线l 和⊙O 相交 ⇔0d r ≤<
此时:直线与圆有两个公共点，这时的直线叫做圆的割线．
2. 切线
的判定定
理
经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的性质:
（1）与圆只有一个公共点； （2）圆心到切线的距离等于半径； （3）圆的切线垂直于过切点的半径. 切线的识别:
（1）如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线. （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
（3）经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线. 证明直线是圆的切线的两种情况
:
l
l
（1
（2
（3
（1）当不能说明直线与圆是否有公共点时，应当用“圆心到直线的距离等于半径长”来判定直线与圆相切.
（2）当已知直线与圆有公共点时，应当用判定定理，即“经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线”，简单地说，就是“联半径，证垂直”. 二. 圆与圆的位置关系 1. 圆与圆的五种位置关系
在同一个平面内，两个不等的圆的位置关系共有五种:外离、外切、相交、内切、内含.
圆心距：两圆圆心的距离叫做圆心距.
设两圆的圆心距为12O O d =，半径为0r R <<，则有： （1）外离：没有公共点 ，两圆外离⇔ d R r >+ （2）外切：有唯一的公共点，两圆外切⇔d R r =+ （3）相交：有两个公共点， 两圆相交⇔R r d R r -<<+ （4）内切：有唯一的公共点，两圆内切⇔d R r =- （5）内含：没有公共点，两圆内含⇔0d R r ≤<-
（1） （2） （3） （4） （5）
2. 相切两圆的性质
连心线：经过两个圆的圆心之间的直线. 相切两圆的性质：相切两圆的连心线经过切点. 注 ：当两圆相切时分为两种情况：外切和内切.
3.相交两圆的性质
相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．
注：当两圆相交时分为两种情况：圆心在公共弦的同侧和圆心在公共弦的两侧.
第二部分例题精讲
例1 如图，已知Rt ABC
∆中，∠C=90°，AC=3，BC=4
（1）圆心为点C、半径长R为2的圆与直线AB有怎样的位置关系
（2）圆心为点C、半径长R为4的圆与直线AB有怎样的位置关系
（3）如果以点C为圆心的圆与直线AB有公共点，求⊙C的半径R的取值范围.
出题意图：考查直线与圆的位置关系. 解析：
.
答案：
解：在Rt ABC
∆中，∠C=90°，AC=3，BC=4. 由勾股定理，得AB=5.
设点C到AB的距离为d，则
即
d5
2
1
4
3
2
1
⨯
=
⨯
⨯
解得 d=.
（1）∵＞2，即d＞R ∴半径长R为2的⊙C与直线AB相离.
（2）∵＜4，即d＜R，∴半径长R为4的⊙C与直线AB相交.
（3）如果以点C为圆心的圆与直线AB有公共点，那么⊙C与直线AB相切或相交.
∴当R≥时，⊙C与直线AB有公共点.
针对训练 1
已知Rt ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，以B 为圆心作⊙B.
（1）若⊙B 与斜边AC 只有唯一一个公共点，求⊙B 的半径长R 的取值范围.
（2）若⊙B 与斜边AC 没有公共点，求⊙B 的半径长R 的取值范围.
例 2 已知：直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，
求证：直线AB 是⊙O 的切线． 出题意图：考查切线的判定定理.
解析：欲证AB 是⊙O 的切线,由于AB 过圆上点C,若连结OC,则AB 过半径OC 的外端,只需证明OC ⊥AB 即可.
答案：
证明：连结0C ∵0A ＝0B ，CA ＝CB
∴0C 是等腰三角形0AB 底边AB 上的中线． ∴AB ⊥OC ．
∵直线AB 经过半径0C 的外端C ，并且垂直于半径0C ∴AB 是⊙O 的切线．
针对训练 2
如图，AC 是⊙O 的弦，AC=BC=OC. 求证：AB 是⊙O 的切线.
例3 如图，已知⊙A 、⊙B 、⊙C 两两外切，且AB=3厘米，BC=5厘米，AC=6厘米，求这个三个圆的半径长.
出题意图： 考查圆与圆的位置关系.
解析：利用外切两圆的圆心距等于半径之和即可.
答案：解：设⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径长分别为x 厘米、y 厘米、z 厘米.
A
C
B
∵⊙A 、⊙B 、⊙C 两两外切， ∴AB ＝ x ＋y ，BC ＝y ＋z ，CA ＝z ＋x. 根据题意，得关于x 、y 、z 的方程组
⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+653x z z y y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧===142z y x
∴⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径长分别为2厘米、1厘米、4厘米. 针对训练 3
如图，⊙O 的半径为5厘米，点P 是⊙O 外一点，OP=8厘米. 求：（1）以P 为圆心作⊙P 与⊙O 外切，小圆⊙P 的半径是多少 （2）以P 为圆心作⊙P 与⊙O 内切，大圆⊙P 的半径是多少
例4 相交两圆的公共弦长为6，若两圆半径分别为8和5，求两圆的圆心距. 出题意图： 考查相交两圆的性质.
解析：两圆相交要考虑两种情况：（1）圆心在公共弦的同侧，此时圆心距等于两条弦心距之和；（2）圆心在公共弦的两侧，此时圆心距等于两条弦心距之差的绝对值.
答案： 解：①圆心在公共弦的两侧
12O O ∴为AB 的垂直平分线
∴AB ⊥12O O ，AC=CB ②圆心在公共弦的同侧 由①可得：
1OC =24O C = 针对训练 4
已知1O 和2O 相交于A 、B 两点，P 是连心线12O O 与2O 的交点，PA 、PB 的延长线分别交1O 于点C 、D.
