高中数学人教版选修2-2(理科) 第二章推理与证明 2.3数学归纳法 同步练习D卷

习题课 数学归纳法明目标、知重点1．进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题．2．掌握证明n ＝k ＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．1．归纳法归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明． 2．数学归纳法(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数n 有关的数学命题； (2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可； (3)注意点：在第二步递推归纳时，从n ＝k 到n ＝k ＋1必须用上归纳假设．题型一 用数学归纳法证明不等式思考 用数学归纳法证明不等式的关键是什么？答 用数学归纳法证明不等式，首先要清楚由n ＝k 到n ＝k ＋1时不等式两边项的变化；其次推证中可以利用放缩、比较、配凑分析等方法，利用归纳假设证明n ＝k ＋1时的结论．例 1 已知数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，求证：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1都成立． 证明 由b n ＝2n ，得b n ＋1b n ＝2n ＋12n ，所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n.下面用数学归纳法证明不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n＝32·54·76·…·2n ＋12n>n ＋1成立． (1)当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32>2，所以不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时不等式成立， 即b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ＝32·54·76·…·2k ＋12k>k ＋1成立． 则当n ＝k ＋1时，左边＝b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ·b k ＋1＋1b k ＋1＝32·54·76·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋2 >k ＋1·2k ＋32k ＋2＝(2k ＋3)24(k ＋1)＝4k 2＋12k ＋94(k ＋1)>4k 2＋12k ＋84(k ＋1)＝4(k 2＋3k ＋2)4(k ＋1)＝4(k ＋1)(k ＋2)4(k ＋1)＝k ＋2＝(k ＋1)＋1. 所以当n ＝k ＋1时， 不等式也成立． 由(1)、(2)可得不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n>n ＋1对任意的n ∈N *都成立．反思与感悟 用数学归纳法证明不等式时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标．在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都可选用．跟踪训练1 用数学归纳法证明122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n (n ≥2，n ∈N *)．证明 当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12，因为14<12，所以不等式成立．假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k2<1－1k，则当n＝k＋1时，1 22＋132＋142＋…＋1k2＋1(k＋1)2<1－1k＋1(k＋1)2＝1－(k＋1)2－kk(k＋1)2＝1－k2＋k＋1k(k＋1)2<1－k(k＋1)k(k＋1)2＝1－1k＋1，所以当n＝k＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．题型二利用数学归纳法证明整除问题例2 求证：a n＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*.证明(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，a k＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，a k＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·a k＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝aa k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝aa k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，故n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n∈N*，命题成立．反思与感悟证明整除性问题的关键是“凑项”，先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成n＝k时的情形，再利用归纳假设使问题获证．跟踪训练2 证明x2n－1＋y2n－1(n∈N*)能被x＋y整除．证明(1)当n＝1时，x2n－1＋y2n－1＝x＋y，能被x＋y整除．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，即x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除．那么当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1＝x2k＋1＋y2k＋1＝x2k－1＋2＋y2k－1＋2＝x2·x2k－1＋y2·y2k－1＋x2·y2k－1－x2·y2k－1＝x2(x2k－1＋y2k－1)＋y2k－1(y2－x2)．∵x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，y2－x2＝(y＋x)(y－x)也能被x＋y整除，∴当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1能被x＋y整除．由(1)，(2)可知原命题成立．题型三利用数学归纳法证明几何问题思考用数学归纳法证明几何问题的关键是什么？答用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少，还需用到几何知识或借助于几何图形来分析，实在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．例3 平面内有n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数f(n)＝n(n－1)2.证明(1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)＝12×2×(2－1)＝1，∴当n＝2时，命题成立．(2)假设n＝k(k>2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数f(k)＝12k(k－1)，那么，当n＝k＋1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)＝12k(k－1)，l与其他k条直线交点个数为k，从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，即f(k＋1)＝f(k)＋k＝12k(k－1)＋k＝12k(k－1＋2)＝12k(k＋1)＝12(k＋1)(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，对任意n∈N*(n≥2)命题都成立．反思与感悟用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明．跟踪训练3 有n个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2部分．证明(1)n＝1时，分为2块，f(1)＝2，命题成立；(2)假设n＝k(k∈N*)时，被分成f(k)＝k2－k＋2部分；那么当n＝k＋1时，依题意，第k＋1个圆与前k个圆产生2k个交点，第k＋1个圆被截为2k段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了2k个区域．∴f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，即n＝k＋1时命题成立，由(1)(2)知命题成立．呈重点、现规律]1．数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等．2．证明问题的初始值n0不一定，可根据题目要求和问题实际确定n0.3．从n＝k到n＝k＋1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子；一定要用到归纳假设.一、基础过关1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N*)，验证n＝1时，左边应取的项是( )A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4答案 D解析等式左边的数是从1加到n＋3.当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )A．2 B．3C．5 D．6答案 C解析当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C.3．已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，证明不等式f(2n)>n2时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是( )A．2k－1项B．2k＋1项C．2k项D．以上都不对答案 C解析观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f(2k)＝1＋12＋…＋12k，而f(2k＋1)＝1＋12＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k.因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项．4．用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋12n>1124(n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，下列说法正确的是( )A．增加了一项12(k＋1)B．增加了两项12k＋1和12(k＋1)C．增加了B中的两项，但又减少了一项1 k＋1D．增加了A中的一项，但又减少了一项1 k＋1答案 C解析当n＝k时，不等式左边为1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，当n＝k＋1时，不等式左边为1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2，故选C.5．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( )A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3答案 A解析假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k3即可．6．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，S n＝n2a n(n∈N*)．依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想S n的表达式为________________．答案S n＝2n n＋1解析S1＝1，S2＝43，S3＝32＝64，S4＝85，猜想S n＝2nn＋1.7．已知正数数列{a n}(n∈N*)中，前n项和为S n，且2S n＝a n＋1an，用数学归纳法证明：a n＝n－n－1.证明(1)当n＝1时，a1＝S1＝12(a1＋1a1)，∴a21＝1(a n>0)，∴a1＝1，又1－0＝1，∴n＝1时，结论成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时，结论成立，即a k＝k－k－1. 当n＝k＋1时，a k＋1＝S k＋1－S k＝12(a k＋1＋1ak＋1)－12(a k＋1ak)＝12(a k＋1＋1ak＋1)－12(k－k－1＋1k－k－1)＝12(a k＋1＋1ak＋1)－k.∴a2k＋1＋2ka k＋1－1＝0，解得a k＋1＝k＋1－k(a n>0)，∴n＝k＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对n∈N*都有a n＝n－n－1.二、能力提升8．对于不等式n2＋n≤n＋1 (n∈N*)，某学生的证明过程如下：①当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．②假设n＝k (n∈N*)时，不等式成立，即k2＋k≤k＋1，则n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<k2＋3k＋2＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法( )A．过程全部正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确答案 D解析从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求．9．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1(n＋1)2>12－1n＋2.假设n＝k时，不等式成立．则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是__________________________．答案122＋132＋…＋1k2＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2>12－1k＋3解析观察不等式中的分母变化知，122＋132＋…＋1k2＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2>12－1k＋3.10．证明：62n－1＋1能被7整除(n∈N*)．证明(1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，62k－1＋1能被7整除．那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1＝36×(62k－1＋1)－35.∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．由(1)，(2)知命题成立．11．求证：1n＋1＋1n＋2＋…＋13n>56(n≥2，n∈N*)．证明(1)当n＝2时，左边＝13＋14＋15＋16>56，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即1k＋1＋1k＋2＋…＋13k>56.则当n＝k＋1时，1 (k＋1)＋1＋1(k＋1)＋2＋…＋13k＋13k＋1＋13k＋2＋13(k＋1)＝1k＋1＋1k＋2＋…＋13k＋(13k＋1＋13k＋2＋13k＋3－1k＋1)>56＋(13k＋1＋13k＋2＋13k＋3－1k＋1)>56＋(3×13k＋3－1k＋1)＝56，所以当n＝k＋1时不等式也成立．由(1)和(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．12．已知数列{a n }中，a 1＝－23，其前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋1S n＋2(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法加以证明． 解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝S n ＋1S n＋2.∴S n ＝－1S n －1＋2(n ≥2)． 则有：S 1＝a 1＝－23，S 2＝－1S 1＋2＝－34，S 3＝－1S 2＋2＝－45，S 4＝－1S 3＋2＝－56，由此猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N *)．用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，S 1＝－23＝a 1，猜想成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)猜想成立，即S k ＝－k ＋1k ＋2成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1＝－1S k ＋2＝－1－k ＋1k ＋2＋2＝－k ＋2k ＋3＝－(k ＋1)＋1(k ＋1)＋2. 即n ＝k ＋1时猜想成立．由(1)(2)可知，对任意正整数n ，猜想结论均成立． 三、探究与拓展13．已知递增等差数列{a n }满足：a 1＝1，且a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若不等式(1－12a 1)·(1－12a 2)·…·(1－12a n )≤m 2a n ＋1对任意n ∈N *，试猜想出实数m 的最小值，并证明．解 (1)设数列{a n }公差为d (d >0)，由题意可知a 1·a 4＝a 22，即1(1＋3d )＝(1＋d )2，解得d ＝1或d ＝0(舍去)．所以a n ＝1＋(n －1)·1＝n .(2)不等式等价于12·34·56·…·2n －12n ≤m 2n ＋1， 当n ＝1时，m ≥32；当n ＝2时，m ≥358； 而32>358，所以猜想，m 的最小值为32. 下面证不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1对任意n ∈N *恒成立． 下面用数学归纳法证明： 证明 (1)当n ＝1时，12≤323＝12，命题成立． (2)假设当n ＝k 时，不等式，12·34·56·…·2k －12k ≤322k ＋1成立， 当n ＝k ＋1时，12·34·56·…·2k －12k ·2k ＋12k ＋2≤322k ＋1·2k ＋12k ＋2， 只要证322k ＋1·2k ＋12k ＋2≤ 322k ＋3， 只要证2k ＋12k ＋2≤12k ＋3，只要证2k ＋12k ＋3≤2k ＋2， 只要证4k 2＋8k ＋3≤4k 2＋8k ＋4，只要证3≤4，显然成立．1 2·34·56·…·2n－12n≤322n＋1恒成立．所以，对任意n∈N*，不等式。

第二章 2.3一、选择题1．在数列{a n }中，a n ＝1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ，则a k ＋1＝( D )A ．a k ＋12k ＋1B ．a k ＋12k ＋2－12k ＋4C ．a k ＋12k ＋2D ．a k ＋12k ＋1－12k ＋2解析 当n ＝k 时，a k ＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2，故a k ＋1＝a k ＋12k ＋1－12k ＋2. 2．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k )多的项数是( C )A ．2k－1项 B ．2k＋1项C ．2k 项D ．以上都不对解析 观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k )＝1＋12＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k .因此f (2k ＋1)比f (2k )多了2k 项． 3．凸n 边形有f (n )条对角线，则凸(n ＋1)边形的对角线条数f (n ＋1)为( C ) A ．f (n )＋n ＋1B ．f (n )＋nC ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －2解析 四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，六边形有9条对角线，七边形有14条对角线，……，而5＝2＋(4－1)，9＝5＋(5－1)，14＝9＋(6－1)，…，猜测f (n ＋1)＝f (n )＋n －1，故选C ．4．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＝1－a n ＋11－a (a ≠1，n ∈N *)，在验证n ＝1时，左边计算所得的式子是( B )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 4解析 当n ＝1时，左边的最高次数为1，即最后一项为a ，左边是1＋a ，故选B ． 5．对于不等式n 2＋n ＜n ＋1(n ∈N *)，某学生的证明过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k ＜k ＋1，则n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2＜(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立． 上述证法( D ) A ．过程全都正确 B ．n ＝1验证不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确解析 n ＝1的验证及归纳假设都正确，但从n ＝k (k ∈N *)到n ＝k ＋1(k ∈N *)的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明的，不符合数学归纳法的证题要求．6．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( D )A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立B ．若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立C ．若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )<k 2成立D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立 解析 f (4)＝25≥42，由题设的递推关系知D 正确． 二、填空题7．设k (k ≥3，k ∈N *)棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱的对角面的个数f (k ＋1)＝f (k )＋__k －1__.解析 可类比凸k 边形的对角线问题来解决．第(k ＋1)条棱与原来的k 条棱共构成k 个面，去掉和它相邻的两条棱所构成的面，再加上这两条棱所构成的平面，共多出了(k －1)个对角面．8．用数学归纳法证明34n ＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n ＝k ＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为____25(34k ＋2＋52k ＋1)＋56·34k ＋2___. 解析 当n ＝k ＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81·34k ＋2＋25·52k ＋1＝25(34k ＋2＋52k ＋1)＋56·34k＋2.9．用数学归纳法证明某个命题时，左边为1·2·3·4＋2·3·4·5＋…＋n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)，从n ＝k 到n ＝k ＋1左边需增加的代数式为__(k ＋1)(k ＋2)·(k ＋3)(k ＋4)__.解析 当n ＝k 时，左边＝1·2·3·4＋2·3·4·5＋…＋k (k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)．当n ＝k ＋1时，左边＝1·2·3·4＋2·3·4·5＋…＋k (k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)＋(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)(k ＋4)，所以从n ＝k 到n ＝k ＋1左边需增加的代数式为(k ＋1)(k ＋2)·(k ＋3)(k ＋4)．三、解答题10．数列{a n }中，a 1＝52，a n ＋1＝a 2n 2(a n －1)(n ∈N *)，用数学归纳法证明：a n >2(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，a 1＝52>2，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即a k >2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1－2＝a 2k2(a k －1)－2＝(a k －2)22(a k －1)>0(因为a k >2)，所以a k ＋1>2，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综合(1)(2)，可知不等式对所有正整数n 都成立． 11．用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋1n＜2n (n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2,1＜2，所以不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋1k＜2k ， 则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＜2k ＋ 1k ＋1＝2k (k ＋1)＋1k ＋1＜k ＋k ＋1＋1k ＋1＝2k ＋1， 即当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)可知，对于任意n ∈N *，不等式都成立． 12．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，n ∈N *.(1)计算a 2，a 3，a 4的值；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 解析 (1)由题意，得a 2＝14，a 3＝17，a 4＝110.(2)由a 1，a 2，a 3，a 4，猜想a n ＝13n －2.下面用数学归纳法证明：对任意的n ∈N *，a n ＝13n －2.证明：①当n ＝1时，由已知，左边＝1， 右边＝13×1－2＝1，结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，a k ＝13k －2成立， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k3a k ＋1＝13k －23×13k －2＋1＝13k ＋1＝13(k ＋1)－2， 所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①和②，可知结论对于任何n ∈N *都成立．由Ruize收集整理。

高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法教材习题点拨 新人教A 版选修2-2练习1．证明：先证明：首项是a 1，公差是d 的等差数列的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . (1)当n ＝1时，左边＝a 1，右边＝a 1＋(1－1)d ＝ a 1，因此，左边＝右边． 所以，当n ＝1时命题成立．(2)假设当n ＝k 时命题成立，即a k ＝a 1＋(k －1)d .那么，a k ＋1＝a k ＋d ＝a 1＋(k －1)d ＋d ＝a k ＋[(k ＋1)－1]d .所以，当n ＝k ＋1时命题也成立．根据(1)和(2)，可知命题对任何n ∈N *都成立． 再证明：该数列的前n 项和公式是S n ＝na 1＋n n －2d .(1)当n ＝1时，左边＝S 1＝a 1，右边＝1×a 1＋－2d ＝ a 1，因此，左边＝右边．所以，当n ＝1时命题成立． (2)假设当n ＝k 时命题成立，即S k ＝ka 1＋k k －2d .那么，S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝ka 1＋k k －2d ＋a 1＋[(k ＋1)－1]d ＝(k ＋1)a 1＋k [k －2＋1]d＝(k ＋1)a 1＋k k ＋2d .所以，当n ＝k ＋1时命题也成立．根据(1)和(2)，可知命题对任何n ∈N *都成立．点拨：利用数学归纳法证明时，应注意分两步作证，尤其要注意第二步． 2．证明：先证明首项是a 1，公比是q 的等比数列的通项公式是a n ＝a 1q n －1.(1)当n ＝1时，左边＝a 1，右边＝a 1q k －1＝a 1，因此，左边＝右边．所以，当n ＝1时命题成立．(2)假设当n ＝k 时命题成立，即a k ＝a 1qk －1.那么，a k ＋1＝a k q ＝a 1q k －1·q ＝a 1q (k ＋1)－1.所以，当n ＝k ＋1时命题也成立． 由(1)和(2)知，命题对任何n ∈N *都成立．再证明该数列的前n 项和公式是S n ＝a 1－q n1－q(q ≠1)．(1)当n ＝1时，左边＝a 1，右边＝a 1－q1－q＝a 1，因此，左边＝右边．所以，当n ＝1时，命题成立． (2)假设n ＝k 时，命题成立，即S k ＝a 1－q k1－q ，那么， S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝a 1－q k1－q＋a 1q k＝a 1－q k ＋11－q.所以，当n ＝k ＋1时，命题也成立． 由(1)和(2)知，命题对于任何n ∈N *都成立． 习题2.3A 组1．证明：(1)①当n ＝1时，左边＝1，右边＝12×1×(1＋1)＝1.因此，左边＝右边．所以当n ＝1时，等式成立．②假设当n ＝k 时，等式成立，即1＋2＋3＋…＋k ＝12k (k ＋1)，那么，1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)＝12k (k ＋1)＋(k ＋1)＝12(k ＋1)(k ＋2)＝12(k ＋1)[(k ＋1)＋1]，所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据①②可知，等式对任何n ∈N *都成立．(2)①当n ＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，因此，左边＝右边．所以当n ＝1时，等式成立． ②假设当n ＝k 时，等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k －1)＝k 2.那么，1＋3＋5＋…＋(2k －1)＋(2k ＋1)＝k 2＋(2k ＋1)＝(k ＋1)2.所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据①和②可知，等式对任何n ∈N *都成立．(3)①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，左边＝右边，等式成立．②假设当n ＝k 时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，那么，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k＝2k ＋1－1，所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据①和②可知，等式对任何n ∈N *都成立．2．解：S 1＝11×2＝1－12，S 2＝11×2＋12×3＝(1－12)＋(12－13)＝1－13，S 3＝11×2＋12×3＋13×4＝1－13＋(13－14)＝1－14. 由此猜想S n ＝1－1n ＋1. 证明如下：(1)当n ＝1时，左边＝S 1＝11×2＝1－12＝12，右边＝1－11＋1＝1－12＝12，因此，左边＝右边．所以当n ＝1时，猜想成立．(2)假设当n ＝k 时，猜想成立，即11×2＋12×3＋13×4＋…＋1k k ＋＝1－1k ＋1.那么，11×2＋12×3＋13×4＋…＋1k k ＋＋1k ＋k ＋＝1－1k ＋1＋1k ＋k ＋＝1－1k ＋1(1－1k ＋2)＝1－1k ＋1×k ＋2－1k ＋2＝1－1k ＋2. 所以当n ＝k ＋1时，猜想也成立．根据(1)和(2)可知，猜想对任何n ∈N *都成立．B 组1．证明：(1)当n ＝1时，左边＝13，右边＝12×1＋1＝13，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n ＝k 时，等式成立， 即11×3＋13×5＋15×7＋…＋1k －k ＋＝k2k ＋1， 那么，11×3＋13×5＋15×7＋…＋1k －k ＋＋1k ＋－k ＋＋1]＝k 2k ＋1＋1k ＋－k ＋＋1]＝k 2k ＋1＋1k ＋k ＋＝k ＋k ＋k ＋k ＋＝k ＋1k ＋＋1.所以，当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由(1)、(2)可知等式对任意n ∈N *都成立．2．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1×1＝1，右边＝16×1×(1＋1)×(1＋2)＝1，因此，左边＝右边．所以，当n ＝1时等式成立．(2)假设当n ＝k 时等式成立，即1×k ＋2(k －1)＋3×(k －2)＋…＋k ×1＝16k (k ＋1)(k＋2)．那么，1×(k ＋1)＋2×[(k ＋1)－1]＋3×[(k ＋1)－2]＋…＋(k ＋1)×1 ＝[1×k ＋2×(k －1)＋3×(k －2)＋…＋k ×1]＋[1＋2＋3＋…＋(k ＋1)] ＝16k (k ＋1)(k ＋2)＋12(k ＋1)(k ＋2) ＝16(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)．所以，当n＝k＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．。

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2。

3 数学归纳法学习目标核心素养1。

了解数学归纳法的原理．(难点、易混点）2。

能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点）1。

通过数学归纳法定义的学习,体现了数学抽象的核心素养。

2。

通过数学归纳法的应用，培养学生的逻辑推理的核心素养.1．数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行:（1）归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0∈N*）时命题成立；（2)归纳递推:假设n＝k（k≥n0，k∈N＊)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．思考：数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1？[提示］不一定．如证明n边形的内角和为（n－2)·180°，第一个值n0＝3.2．数学归纳法的框图表示1．下面四个判断中,正确的是( ）A．式子1＋k＋k2＋…＋k n（n∈N＊)中，当n＝1时，式子的值为1B．式子1＋k＋k2＋…＋k n－1（n∈N＊）中,当n＝1时，式子的值为1＋kC．式子1＋错误!＋错误!＋…＋错误!(n∈N＊）中，当n＝1时，式子的值为1＋错误!＋错误!D．设f(n)＝错误!＋错误!＋…＋错误!(n∈N*),则f(k＋1)＝f(k）＋错误!＋错误!＋错误!C[A中，n＝1时,式子＝1＋k；B中,n＝1时，式子＝1；C中，n＝1时,式子＝1＋错误!＋错误!；D中，f（k＋1）＝f(k）＋错误!＋错误!＋错误!－错误!.故正确的是C。

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2—21．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝错误!(n∈N*，a≠1),在验证n＝1时，左边所得的项为（）A．1 B．1＋a＋a2C．1＋a D．1＋a＋a2＋a32．用数学归纳法证明“凸n（n≥3，n∈N)边形的内角和公式"时，由n＝k到n＝k＋1时增加的是( ）A．错误! B．π C．错误! D．2π3．利用数学归纳法证明错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＜1（n∈N＊，且n≥2)时,第二步由k到k＋1时不等式左端的变化是( )A．增加了错误!这一项B．增加了错误!和错误!两项C．增加了错误!和错误!两项，同时减少了错误!这一项D．以上都不对4．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步是( )A．假设n＝k(k∈N*）时正确,再推n＝k＋1时正确B．假设n≤k（k∈N＊)时正确，再推n＝k＋2时正确C．假设n＝2k＋1（k∈N*）时正确，再推n＝2k＋3时正确D．假设n＝2k－1（k∈N＊)时正确，再推n＝2k＋1时正确5．设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：“当f(k）≥k2成立时，总可推出f（k＋1)≥(k＋1)2成立”,那么，下列命题总成立的是( )A．若f(3）≥9成立，则当k≥1时，均有f（k）≥k2成立B．若f（5)≥25成立，则当k≤5时，均有f（k)≥k2成立C．若f(7)＜49成立,则当k≥8时，均有f(k）＜k2成立D．若f（4）＝25成立,则当k≥4时，均有f（k)≥k2成立6．用数学归纳法证明1＋错误!＋错误!＋…＋错误!＜n（n∈N*且n＞1)时,假设当n＝k时不等式成立,则当n＝k＋1时,应推证的目标不等式是________．7．用数学归纳法证明(1＋1)(2＋2)(3＋3）…（n＋n）＝2n－1（n2＋n)时，从n＝k到n＝k＋1左边需要添加的因式是________．8．用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子（k＋1）3＋5(k＋1)应变形为__________．9．已知数列{a n｝的第一项a1＝5且S n－1＝a n(n≥2，n∈N*）．(1）求a2，a3，a4,并由此猜想a n的表达式;(2)用数学归纳法证明{a n}的通项公式．10．用数学归纳法证明对一切n∈N*,1＋错误!＋错误!＋…＋错误!≥错误!。

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2.3 数学归纳法[课时作业][A组基础巩固]1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为错误!n（n－3)条时,第一步检验第一个值n等于( ）A．1 B．2C．3 D．0解析：边数最少的凸n边形是三角形．答案：C2．用数学归纳法证明（n＋1）(n＋2）…（n＋n)＝2n·1·3…（2n－1）（n∈N＊)时，从“n＝k到n＝k＋1”左边需增乘的代数式为（)A．2k＋1 B．2（2k＋1)C。

错误!D。

错误!解析：当n＝k时,左边＝(k＋1)（k＋2）·…·(k＋k），当n＝k＋1时，左边＝（k＋2)（k＋3)·…·（k＋k)（k＋1＋k）(2k＋2）＝(k＋1)·（k＋2）·…·（k＋k）(2k＋1)×2,故需增乘的代数式为2（2k＋1）．答案：B3．凸n边形有f（n）条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为（）A．f（n）＋n＋1 B．f（n）＋nC．f(n)＋n－1 D．f(n）＋n－2解析：增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n）＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1。

贵州省高中数学人教版选修2-2（理科）第二章推理与证明 2.3数学归纳法同步练习姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共1题；共2分)1. （2分） (2018高二下·葫芦岛期中) 假设n=k时成立,当n=k+1时,证明 ,左端增加的项数是（）A . 1项B . k﹣1项C . k项D . 2k项二、选择题 (共7题；共14分)2. （2分） (2017高二下·保定期末) 用数学归纳法证明：1+ + ++ ＜n（n∈N* ，n≥2）时，第二步证明由“k到k+1”时，左端增加的项数是（）A . 2k﹣1B . 2kC . 2k﹣1D . 2k+13. （2分）用数学归纳法证明：1+x+x2+x3+…+xn+2= （x≠1，n∈N+）成立时，验证n=1的过程中左边的式子是（）A . 1B . 1+xC . 1+x+x2D . 1+x+x2+x34. （2分）用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)时，从n＝k 到n＝k＋1，左端需要增加的代数式为（）A . 2k＋1B . 2(2k＋1)C .D .5. （2分）用数学归纳法证明1+2+3+...+2n =2n-1+22n-1时,假设n=k时命题成立，则当n=k+1时，左端增加的项数是（）A . 1项B . k-1 项C . k 项D . 2k 项6. （2分）用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，第二步归纳假设应写成（）A . 假设n=2k+1（k∈N*）正确，再推n=2k+3正确B . 假设n=2k﹣1（k∈N*）正确，再推n=2k+1正确C . 假设n=k（k∈N*）正确，再推n=k+1正确D . 假设n=k（k≥1）正确，再推n=k+2正确7. （2分）用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是（）A . 假设n＝k(k∈N*)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立B . 假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立C . 假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋2时命题也成立D . 假设n＝2k＋1(k∈N)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立8. （2分）已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N＋都成立，则a、b、c 的值为（）A .B .C . a=0,D . 不存在这样的a、b、c三、填空题 (共3题；共3分)9. （1分）已知数列 ,通过计算得,由此可猜测Sn＝________.10. （1分）用数学归纳法证明命题：，从“第 k 步到 k+1 步”时，两边应同时加上________．11. （1分）用数学归纳法证明：，在验证n＝1时，左边计算所得的项为________四、解答题 (共3题；共25分)12. （5分） (2019高二下·蓝田期末) 已知函数对任意实数都有，且.（I）求的值，并猜想的表达式；（II）用数学归纳法证明（I）中的猜想.13. （10分）设个正数满足（且）．（1）当时，证明：；（2）当时，不等式也成立，请你将其推广到（且）个正数的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明．14. （10分） (2016高二下·连云港期中) 证明（1）如果a，b都是正数，且a≠b，求证：+ ＞ +（2）设x＞﹣1，m∈N*，用数学归纳法证明：（1+x）m≥1+mx．参考答案一、单选题 (共1题；共2分)1-1、二、选择题 (共7题；共14分)2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、三、填空题 (共3题；共3分)9-1、10-1、11-1、四、解答题 (共3题；共25分)12-1、13-1、13-2、14-1、14-2、。

高中数学人教新课标A版选修2-2（理科）第二章推理与证明 2.1.2演绎推理同步测试共 14 题一、选择题1、下面说法正确的有（）①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．A.1个B.2个C.3个D.4个2、《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是（）A.类比推理B.归纳推理C.演绎推理D.以上都不对3、下面几种推理是演绎推理的是（）B.猜想数列5,7,9,11，…的通项公式为A.由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可以C.由正三角形的性质得出正四面体的性质D.半径为的圆的面积，则单位圆的面积4、有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（ ）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误5、有一段演绎推理：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线∥平面，则∥ ”的结论显然是错误的，这是因为（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误6、下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（ ）①y=cosx（x∈R）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y=cosx（x∈R）是周期函数．A.①②③B.②①③C.②③①D.③②①7、“三段论”是演绎推理的一般模式，推理“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③正方形是平行四边形”中的小前提是（）A.①B.②C.③D.以上均错8、在中，，求证：证明： “ .” ，其中，引号包括部分是演绎推理的（）A.大前提B.小前提C.结论D.三段论二、填空题9、已知结论“函数y＝2x＋5的图象是一条直线”，若将其恢复成完整的三段论后，大前提是________．10、“不能被2整除的整数是奇数，35不能被2整除，所以35奇数．”把此演绎推理写成“三段论”的形式．大前提：________，小前提：________，结论：________．11、若定义在区间D上的函数f（x）对于D上的n个值x1， x2， …，x n总满足 [f（x1）＋f（x2）＋…＋f（x n）]≤，称函数f（x）为D上的凸函数．现已知f（x）＝sin x在（0，π）上是凸函数，则在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．三、解答题12、在数列{a n}中，a1=1, a n+1= （n∈N+），归纳猜想这个数列的通项公式，并用三段论加以论证．13、已知：在梯形ABCD中，如图，AB＝DC＝DA，AC和BD是梯形的对角线．用三段论证明：AC平分∠BCD，DB平分∠CBA.14、将下列演绎推理写成“三段论”的形式．(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行；(2)菱形的对角线互相平分；(3)函数f（x）＝x2－cos x是偶函数．参考答案一、选择题1、【答案】C【解析】【解答】①③④正确，②错误的原因是：演绎推理的结论要为真，必须前提和推理形式都为真．故答案为:C.【分析】①演绎推理是由一般到特殊的推理,显然正确;②演绎推理得到的结论不一定是正确的；故不正确;③演绎推理的一般模式是“三段论”形式；显然正确;④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关,显然正确.2、【答案】C【解析】【解答】本题为三段论推理，三段论推理分为大前提、小前提、结论三部分构成，本题采用了这种推理模式.故答案为:C.【分析】本题为三段论推理，三段论推理分为大前提、小前提、结论三部分构成.3、【答案】D【解析】【解答】由演绎推理的定义可知它的推理为由一般到特殊，与归纳推理相反.分析可知：D选项是演绎推理.而A,B为归纳推理，C为类比推理.故答案为:D.【分析】A,B是由特殊到一般,为归纳推理;C是由平面图到空间,为类比推理.只有D是由一般到特殊,为演绎推理.4、【答案】C【解析】【解答】∵大前提的形式：“有些有理数是真分数”，不是全称命题，∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误，故答案为:C．【分析】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及整数的，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“有些…”，不难得到结论。

第二章推理与 明2.3 数学 法A基 稳固一、1．等式 12＋ 22＋ 32＋ ⋯ ＋ n 2＝12(5n 2－ 7n ＋ 4)()A ． n 任何正整数都建立B ． 当 n ＝1， 2， 3 建立C ．当 n ＝4 建立， n ＝ 5 不建立D ． 当 n ＝ 4 不建立分析： ，n ＝ 1， 2， 3 建立， n ＝ 4， 5，⋯不建立 .答案： B2．用数学 法 明n 2“2＞ n ＋1 于n ≥n 0 的自然数 n 都建立 ” ，第一步 明中的开端n 0 取 ( )A ．2B ．3C ．5D ．6分析：当 n 取 1、 2、 3、 4 2n ＞ n 2＋ 1 不建立，当n ＝ 5 ， 25＝ 32＞ 52＋ 1＝ 26，第一个能使 2n ＞ n 2＋ 1 的 n5.答案： C13．用数学 法 明某命 ， 左式2＋ cos α＋ cos 3α＋ ⋯ ＋cos (2n － 1)α(α≠k π，k ∈ Z ，n ∈ N * )，在 n ＝ 1 ，左 所得的代数式()A.12B.1＋ cos α2C.12＋ cos α＋ cos 3α1D.2＋ cos α＋ cos 3α＋ cos 5α分析：令n ＝ 1，左式＝ 1＋ cos α.2答案： B4．已知 f(n)＝ 1＋1＋1＋ ⋯＋1(n ∈ N*)， 明不等式f(2n)＞ n， f(2k ＋1 )比 f (2k )多的 数2 3n2是 ()A ． 2k －1B ． 2k ＋1C ． 2 kD ．以上都不分析： 察f(n)的表达式可知，右端分母是 的正整数，f(2k)＝ 1＋ 1＋ ⋯ ＋ 1k ，而 f(2k2 2＋ 11 1111k ＋1kk)＝ 1＋2＋ ⋯ ＋ 2k ＋2k＋ 1＋ 2 k ＋ 2＋ ⋯ ＋ 2 k ＋ 2k ，所以 f(2)比 f(2 )多了 2 ．答案： C5．用数学 法 明(n ＋ 1)(n ＋ 2) ⋯⋯(n ＋ n)＝ 2n · 1×3⋯⋯ (2n ＋ 1)(n ∈N * )，从 “k 到 k ＋ 1”左端需增乘的代数式()A ． 2k ＋ 1B ． 2(2k ＋ 1)2k ＋ 12k ＋ 3C.k ＋ 1D.k ＋ 1分析：当 n ＝ k 左端 (k ＋ 1)(k ＋ 2) ⋯(k ＋ k)，当 n ＝ k ＋ 1 ，左端 (k ＋ 2)(k ＋ 3) ⋯(k ＋ 1＋ k － 1)( k ＋ 1＋ k)(k ＋ 1＋ k ＋ 1)，即 (k ＋ 2)( k ＋（ 2k ＋ 1）（ 2k ＋ 2）3) ⋯⋯(k ＋ k)(2k ＋ 1)(2k ＋ 2)． 察比 它 的 化知增乘了＝ 2(2k ＋ 1)．k ＋ 1答案： B二、填空6． 于不等式n 2＋ 4n ＜ n ＋ 2(n ∈ N * ) ，某学生的 明 程以下：(1)当 n ＝ 1 ，12＋ 4＜ 1＋ 2，不等式建立．(2) 假n ＝ k(k ∈ N * ) ， 不 等 式 成 立 ， 即k 2＋ 4k ＜ k ＋ 2 ，n ＝ k ＋ 1，（ k ＋ 1） 2＋ 4（ k ＋ 1）＝k 2＋ 6k ＋ 5＜ （ k 2＋ 6k ＋ 5）＋ 4＝ （ k ＋ 3） 2＝ (k ＋ 1)＋ 2.所以当 n ＝ k ＋ 1 ，不等式建立．上述 法第 ________步 ．分析：第二步 ， 明 程中没实用到 假 ．答案： (2)7．已知数列 {a n }的前 n 和S n ，且 a 1＝ 1， S n ＝ n 2 a n (n ∈ N * )挨次 算出 S 1、 S 2、S 3、S 4 后，可猜想 S n 的表达式 ________．分析： S ＝1，S ＝4，S ＝ 3＝ 6， S ＝8，12332445猜想 S n ＝ 2n.n ＋1答案：2nn ＋ 18． 随意 n ∈ N * ， 34n ＋ 2＋ a 2n ＋1 都能被14 整除， 最小的自然数 a ＝________．分析：当 n ＝ 1 ， 36＋ a 3 能被 14 整除的数a ＝3 或 5；当 a ＝3 且 n ＝ 2 ， 310＋ 35 不能被 14 整除，故a ＝ 5.答案： 5三、解答9．用数学 法 明：1 ＋1 ＋ 1 ＋ ⋯ ＋1 ＝2×4 4×6 6× 82n （ 2n ＋2）n4（ n ＋ 1） .明：(1)当 n ＝ 1 ，左 ＝1＝1，右 ＝1等式建立．2× 4 88(2)假 n ＝ k ，等式建立，即1 ＋ 1 ＋ 1＋ ⋯＋ 1 ＝ k 建立．2× 4 4×6 6×8 2k （ 2k ＋ 2） 4（ k ＋ 1）当 n ＝ k ＋ 1 ，1＋ 1 ＋1 ＋ ⋯ ＋1＋1＝k＋4× 6 6× 8（ 2k ＋ 2）（ 2k ＋ 4）2× 42k （ 2k ＋ 2）4（ k ＋ 1）1＝k （ k ＋ 2）＋ 1＝（ 2k ＋ 2）（2k ＋ 4）4（ k ＋ 1）（ k ＋ 2）（ k ＋1） 2＝k ＋1 ＝k ＋ 14（ k ＋ 1）（ k ＋ 2） 4（ k ＋ 2） 4[（ k ＋ 1）＋ 1].所以 n ＝ k ＋ 1 ，等式建立．由 (1) 、 (2)可得 全部 n ∈ N * ，等式建立．10．在数列 {a n }中， a 1＝ 1， a n ＋1＝2a n(n ∈ N * )．2＋ a n(1) 求： a 2、 a 3、 a 4 的 ，由此猜想数列 {a n }的通 公式 a n ；(2)用数学 法加以 明．2a n*(1)解：由 a 1＝1，an＋1＝2＋ a n (n ∈ N )，可得 a 2＝ 2， a 3＝ 2， a 4＝ 2.3 4 52由此能够猜想数列 {a n }的通 公式 a n ＝.2(2) 明：①当n ＝ 1 ， a 1＝＝ 1，猜想建立．②假 当n ＝ k(k ≥1， k ∈ N * )， ，猜想建立，即 a ＝ 2 ，kk ＋1当 n ＝ k ＋ 1 ， a k ＋ 1＝2a k＝2.2＋a k k ＋ 2明当 n ＝ k ＋1 ，猜想也建立．由①、②可知，猜想 全部的n ∈ N * 都建立．B 能力提高1．用数学 法 明1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ ⋯ ＋ 1＜ 1(n ∈ N * ， n ≥ 2)，由 “k 到 k ＋ 1” ，不n ＋ 1 n ＋ 2 2nn 等式左端的 化是 ()A ．增添1一2（ k ＋ 1）B ．增添 1和 1 两2k ＋ 1 2（ k ＋ 1）C ．增添1 和 1 两 ，同 减少 1一2k ＋ 1 2（ k ＋ 1）kD ．以上都不分析： n ＝ k ，左 ＝1 1 1 1k ＋ ＋ ＋ k ＋ ＋⋯＋2k ，k 1 21 1 11 1 1），比 可知，增添n ＝ k ＋ 1 ，左 ＝＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ⋯ ＋2k ＋ ＋ ＋（ ＋k 1 k 2 k 32k 1 2 k 1 1 和 （ 1 ） 两 ，同 减少 12k ＋ ＋ k 一 ．1 2 k 1答案： C2．用数学 法 明：2＝ n 4＋ n 21＋ 2＋ 3＋ ⋯ ＋ n2， n ＝ k ＋ 1 的左端 在 n ＝k的左端加上 ______________________ ．分析： n ＝ k ，左 ＝1＋ 2＋ 3＋ ⋯ ＋ k 2， n ＝ k ＋ 1，左 ＝1＋ 2＋ 3＋ ⋯＋ k 2＋ (k 2＋1)＋ (k 2＋ 2)＋ ⋯ ＋ (k ＋ 1)2 比 可知，左端 加上(k 2＋ 1)＋ (k 2 ＋2)＋ ⋯ ＋ (k ＋ 1)2.答案： (k 2 ＋ 1)＋ (k 2＋ 2)＋ ⋯＋ (k ＋ 1)23．已知某数列的第一1，而且 全部的自然数n ≥2，数列的前 n 之 n 2.(1)写出 个数列的前5 ；(2)写出 个数列的通 公式并加以 明．解： (1) 已知 a 1＝ 1，由 意得 a 1· a 2＝ 22，所以 a 2＝ 22.因 a 1· a 2· a 3＝ 3232，所以 a 3＝ 2.2224 5同理，可得 a 4＝ 32， a 5＝ 42. 9 16 25所以 个数列的前5 分1，4， ，，.(2) 察 个数列的前5 ，猜 数列的通 公式 ：1， n ＝ 1，a n ＝n 2（ n － 1） 2， n ≥ 2.下边用数学 法 明当2nn ≥2 ， a n＝（n － 1） 2.①当 n ＝ 2 ， a ＝22 2＝ 22， 建立．2（2－ 1）②假 当n ＝ k(k ≥2， k ∈ N * ) ， 建立，k 2即 a k＝（k － 1） 2.因 a 1· a 2⋯ a k － 1＝ (k － 1)2，a 1· a 2⋯ a k － 1· a k · a k ＋ 1＝ (k ＋ 1)2，（ k ＋ 1） 2（ k ＋ 1） 2（ k － 1） 2（ k ＋ 1） 2所以 ak ＋1＝（ a－）a＝（ k － 1）2·k2＝ （＋）－2 .1a 2a k 1k[k 11]就是 当n ＝k ＋ 1 ， 也建立．依据①②可知，当n ≥2 ， 个数列的通 公式是2a n ＝ n（ n － 1）2.1， n ＝ 1，所以 个数列的通 公式a n ＝n 2（ n －1） 2， n ≥ 2.。

2.3 数学归纳法课时过关·能力提升 基础巩固1用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3,n ∈N *),第一步应验证( ) A.当n=1时,不等式成立B.当n=2时,不等式成立C.当n=3时,不等式成立D.当n=4时,不等式成立解析由题知n 的最小值为3,所以第一步验证当n=3时,不等式成立,选C .答案C2已知f (n )=1n +1n+1+1n+2+…+1n 2,则( ) A.f (n )共有n 项,当n=2时,f (2)=12+13B.f (n )共有(n+1)项,当n=2时,f (2)=12+13+14C.f (n )共有(n 2-n )项,当n=2时,f (2)=12+13D.f (n )共有(n 2-n+1)项,当n=2时,f (2)=12+13+14 解析由题意知f (n )的最后一项的分母为n 2,故f (2)=12+13+122,排除选项A,选项C. 又f (n )=1n+0+1n+1+…+1n+(n 2-n ), 所以f (n )的项数为n 2-n+1.故选D.答案D3已知n 为正偶数,用数学归纳法证明1-12+13−14+…+1n -1−1n =2(1n+2+1n+4+ (12))时,若已假设当n=k (k ≥2,且为偶数)时,命题为真,则还需要用归纳假设再证( )A.当n=k+1时,等式成立B.当n=k+2时,等式成立C.当n=2k+2时,等式成立D.当n=2(k+2)时,等式成立解析因为假设n=k (k ≥2,且为偶数),故下一个偶数为k+2,故选B.答案B4用数学归纳法证明不等式1+12+14+…+12n -1>12764(n ∈N *)成立,其初始值至少应取( )A.7B.8C.9D.10 解析左边=1+12+14+…+12n -1=1-12n 1-12=2-12n -1,代入验证可知n 的最小值是8. 答案B 5用数学归纳法证明1-12+13−14+…+12n -1−12n =1n+1+1n+2+…+12n ,则当n=k+1时,等式左边应在n=k 的基础上加上( )A.12k+2 B.-12k+2 C.12k+1−12k+2 D.12k+1+12k+2 解析当n=k 时,左边=1-12+13−14+…+12k -1−12k ,当n=k+1时,左边=1-12+13−14+…+12k -1−12k +12k+1−12k+2. 答案C 6用数学归纳法证明“当n 为正奇数时,x n +y n 能被x+y 整除”,当第二步假设n=2k-1(k ∈N *)命题为真时,进而需证n= 时,命题为真.解析因为n 为正奇数,所以奇数2k-1之后的奇数是2k+1.答案2k+17在用数学归纳法证明“34n+2+52n+1(n ∈N *)能被14整除”的过程中,当n=k+1时,式子34(k+1)+2+52(k+1)+1应变形为 .答案(34k+2+52k+1)34+52k+1(52-34)8用数学归纳法证明122+132+142+…+1n 2<1-1n (n ≥2,n ∈N *). 分析验证当n=2时不等式成立→假设当n=k 时不等式成立→证明当n=k+1时不等式成立→结论证明(1)当n=2时,左边=122=14,右边=1-12=12. 因为14<12,所以不等式成立.(2)假设当n=k (k ≥2,k ∈N *)时,不等式成立,即122+132+142+ (1)2<1-1k , 则当n=k+1时,122+132+142+ (1)2+1(k+1)2<1-1k +1(k+1)2=1-(k+1)2-k k (k+1)2=1-k 2+k+1k (k+1)2<1-k (k+1)k (k+1)2 =1-1k+1. 所以当n=k+1时,不等式也成立.综上所述,对任意n ≥2的正整数,不等式都成立.9用数学归纳法证明1×4+2×7+3×10+…+n (3n+1)=n (n+1)2(其中n ∈N *).证明(1)当n=1时,左边=1×4=4,右边=1×22=4,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k (k ∈N *)时等式成立,即1×4+2×7+3×10+…+k (3k+1)=k (k+1)2,则当n=k+1时,1×4+2×7+3×10+…+k (3k+1)+(k+1)·[3(k+1)+1]=k (k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)(k 2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2, 即当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任何n ∈N *都成立.能力提升1某同学解答“用数学归纳法证明√n (n +1)<n+1(n ∈N *)”的过程如下:证明:①当n=1时,显然命题是正确的;②假设当n=k (k ≥1,k ∈N *)时,有√k (k +1)<k+1,则当n=k+1时,√(k +1)2+(k +1)=√k 2+3k +2<√k 2+4k +4=(k+1)+1,所以当n=k+1时命题是正确的.由①②可知对于n ∈N *,命题都是正确的.以上证法是错误的,错误的原因在于( )A.从n=k 到n=k+1的推理过程中没有使用归纳假设B.假设的写法不正确C.从n=k 到n=k+1的推理不严密D.当n=1时,验证过程不具体解析由分析证明过程中的②可知,从n=k 到n=k+1的推理过程中没有使用归纳假设,故该证法不能叫数学归纳法,选A . 答案A2用数学归纳法证明“凸n (n ≥3,n ∈N *)边形的内角和公式”时,由n=k 到n=k+1增加的是( )A.π2B.πC.3π2D.2π解析如图,由n=k 到n=k+1时,凸n 边形的内角和增加的是∠1+∠2+∠3=π,故选B.答案B3用数学归纳法证明(n+1)(n+2)·…·(n+n )=2n ·1·3·…·(2n-1),从n=k 到n=k+1,左边需要增乘的代数式为( )A.2k+1B.2(2k+1)C.2k+1k+1D.2k+3k+1解析当n=k 时,等式左边为(k+1)(k+2)·…·(k+k ),而当n=k+1时,等式左边为(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k+1)=(k+2)·(k+3)·…·(k+k+2),前边少了一项(k+1),后边多了两项(k+k+1)(k+k+2),故增乘的代数式为(k+k+1)(k+k+2)k+1=2(2k+1). 答案B★4某个与正整数有关的命题:若当n=k (k ∈N *)时,命题成立,则可以推出当n=k+1时,该命题也成立.现已知当n=5时,命题不成立,则可以推得( )A.当n=4时,命题不成立B.当n=6时,命题不成立C.当n=4时,命题成立D.当n=6时,命题成立解析“若n=k 时,命题成立,则n=k+1时,该命题也成立”的等价命题是“若n=k+1时,命题不成立,则n=k 时,命题也不成立.”故选A.答案A★5用数学归纳法证明“n 3+5n 能被6整除”的过程中,当n=k+1时,式子(k+1)3+5(k+1)应变形为 .解析采取凑配法,凑出归纳假设k 3+5k 来,(k+1)3+5(k+1)=k 3+3k 2+3k+1+5k+5=(k 3+5k )+3k (k+1)+6.答案(k 3+5k )+3k (k+1)+66设实数c>0,整数p>1,n ∈N *.(1)用数学归纳法证明:当x>-1,且x ≠0时,(1+x )p >1+px ;(2)数列{a n }满足a 1>c 1p ,a n+1=p -1p a n +c p a n 1-p ,证明:a n >a n+1>c 1p . 证明(1)①当p=2时,(1+x )2=1+2x+x 2>1+2x ,原不等式成立.②假设当p=k (k ≥2,k ∈N *)时,不等式(1+x )k >1+kx 成立.则当p=k+1时,(1+x )k+1=(1+x )(1+x )k >(1+x )(1+kx )=1+(k+1)x+kx 2>1+(k+1)x.所以当p=k+1时,原不等式也成立.综合①②可得,当x>-1,x ≠0时,对一切整数p>1,不等式(1+x )p >1+px 均成立.(2)先用数学归纳法证明a n >c 1p .①当n=1时,由题设a 1>c 1p 知a n >c 1p 成立.②假设当n=k (k ≥1,k ∈N *)时,不等式a k >c 1p 成立.由a n+1=p -1p a n +c p a n 1-p 及a 1>c 1p >0,易知a n >0,n ∈N *.则当n=k+1时,a k+1a k =p -1p +c p a k -p =1+1p (c a k p -1). 由a k >c 1p >0,得-1<-1p <1p (c a k p -1)<0. 由(1)中的结论得(a k+1a k )p =[1+1p (c a k p -1)]p >1+p ·1p (c a k p -1)=c a k p .因此a k+1p >c ,即a k+1>c 1p . 所以当n=k+1时,不等式a n >c 1p 也成立.综合①②可得,对一切正整数n ,不等式a n >c 1p 均成立.因此a n+1>c 1p 也成立. 再由a n+1a n =1+1p (c a n p -1)可得a n+1a n <1, 即a n+1<a n .综上所述,a n >a n+1>c 1p ,n ∈N *.7已知集合X={1,2,3},Y n ={1,2,3,…,n }(n ∈N *),设S n ={(a ,b )|a 整除b 或b 整除a ,a ∈X ,b ∈Y n }.令f (n )表示集合S n 所含元素的个数.(1)写出f (6)的值;(2)当n ≥6时,写出f (n )的表达式,并用数学归纳法证明.解(1)f (6)=13.(2)当n ≥6时,f (n )={ n +2+(n 2+n 3),n =6t ,n +2+(n -12+n -13),n =6t +1,n +2+(n 2+n -23),n =6t +2,n +2+(n -12+n 3),n =6t +3,n +2+(n 2+n -13),n =6t +4,n +2+(n -12+n -23),n =6t +5(t ∈N *). 下面用数学归纳法证明: ①当n=6时,f (6)=6+2+62+63=13,结论成立;②假设当n=k (k ≥6)时结论成立,那么n=k+1时,S k+1在S k 的基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论:1)若k+1=6t ,则k=6(t-1)+5,此时有f (k+1)=f (k )+3=k+2+k -12+k -23+ 3=(k+1)+2+k+12+k+13,结论成立;2)若k+1=6t+1,则k=6t ,此时有f (k+1)=f (k )+1=k+2+k 2+k 3+1=(k+1)+2+(k+1)-12+(k+1)-13,结论成立;3)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有 f (k+1)=f (k )+2=k+2+k -12+k -13+2 =(k+1)+2+k+12+(k+1)-23,结论成立;4)若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有 f (k+1)=f (k )+2=k+2+k 2+k -23+2=(k+1)+2+(k+1)-12+k+13,结论成立;5)若k+1=6t+4,则k=6t+3,此时有 f (k+1)=f (k )+2=k+2+k -12+k 3+2=(k+1)+2+k+12+(k+1)-13,结论成立;6)若k+1=6t+5,则k=6t+4,此时有 f (k+1)=f (k )+1=k+2+k 2+k -13+1=(k+1)+2+(k+1)-12+(k+1)-23,结论成立.综上所述,结论对满足n ≥6的自然数n 均成立.。