贵州师范大学数计学院《初等代数研究》(A卷)

铜仁学院2008级数学本科班 《初等代数研究》期末考试卷（A ）一，填空题：每题4分，共40分1、已知实数y x ,满足1≤+≤22y x 4，则22y xy x u ++=的最大值是2、方程22)6(117236-=-+-x x x 的解是3、函数的值域是x x y -+=14、设=+=++141421,01xx x x 则5、设=⨯=+=+n n n n a a a a 则通项,23,0116、方程 012sin 22=+-xx x π的所有实数根是7,的值域是则是实数已知2222,3,,y xy x z y xy x y x +-==++8,已知数列{n a }的前n 项之和n S 满足11log 2+=+n S n ,则通项n a =9，若恒成立，则是正数，且y x a y x y x a +≤+,,的最小值为a10,若且R p ∈p x x p x p +>++<2222log 21log log ,2）不等式（恒成立，则实数x 的取值范围是二、解答题（每题10分，共70分 ）班级________________ 姓 名1，设,,+∈N b a 证明：2在a b 与ba b a ++2之间。

2，⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+x y xy x x 100lg8lg 268)(lg 42解方程组3，已知.2,,=++∈+c b a R c b a 且（1） 求证：;964)2(≤-a a （2） 求S=的最大值。

333222c b a c b a ---++4考虑以下数列｛n a ｝,*∈N n(1) n a =1ln)3(;12)2(;12+=+=++n n a n a n n n n . 其中满足性质“对任意的正整数都成立122,++≤+n nn a a a n ”的数列有_____（写出所有满足条件的序号）；若数列｛n a ｝满足上述性质，且,11=a ,5820=a 求10a 的最小值5已知()()().111,,,,2≤≤≤-+=++=x f x b ax x g c bx ax x f c b a 时，当是实数，函数（1），证明：当1≤c（2），证明：当.2)(11≤≤≤-x g x 时，（3），当).(2)(11,0x f x g x a ，求的最大值为时，≤≤-> 、6，已知函数[]且同时满足，的定义域为,10)(x f ①，对任意[];2)(1,0≥∈x f x 总有 ②，;3)1(=f③，若2)()()(1.0,021212121-+=+≤+≥≥x f x f x x f x x x x ，则有且 （1），求的值；)0(f （2），试求的最大值；)(x f（3），设数列｛n a ｝的前n 项和为n S ，满足,11=a n S +∈--=N n a n ),3(21。

高等代数贵师大考研题库高等代数是数学专业研究生入学考试中的一个重要科目，它涵盖了线性代数、多项式代数、群论、环论和域论等基础数学理论。

以下是一份模拟的高等代数考研题库，供同学们复习和练习。

一、选择题1. 给定线性空间 \( V \) 上的线性变换 \( T \)，若 \( T \) 的特征多项式等于其最小多项式，则 \( T \) 被称为：A. 可对角化B. 幂零C. 循环D. 正规2. 在复数域 \( \mathbb{C} \) 上，多项式 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) 的根的个数是：A. 1B. 2C. 3D. 43. 以下哪个选项不是群的公理：A. 封闭性B. 结合律C. 存在单位元D. 存在逆元二、填空题1. 若矩阵 \( A \) 可逆，则 \( \det(A) \neq ________ \)。

2. 线性空间 \( V \) 的维数定义为 \( V \) 的一个基的________。

3. 给定一个多项式 \( f(x) \)，若 \( f(x) \) 可以表示为 \( (x - a)^n \) 的形式，则称 \( f(x) \) 为________。

三、简答题1. 简述线性空间的定义及其性质。

2. 解释什么是特征值和特征向量，并给出一个具体的例子。

3. 描述群的拉格朗日定理，并说明其在群论中的重要性。

四、计算题1. 给定矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} \)，求 \( A \) 的行列式和逆矩阵。

2. 证明多项式 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \) 在 \( \mathbb{R} \) 上恰有两个实根。

3. 给定群 \( G \) 和其子群 \( H \)，证明 \( H \) 在 \( G \) 中的左陪集和右陪集是等价的。

五、论述题1. 论述环和域的区别，并给出具体的例子。

贵州大学2020-2021学年第一学期考试卷A线性代数一、 填空题（共24分，每小题3分）1. 4阶行列式中，项13243142a a a a 前面的符号为_______.（填“+”或“−”）2.设11310131D −=−，3(1,2,3)i A i =是D 的第3行元素的代数余子式，则3132332A A A +− 等于__________________.3.设102020103B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪−⎝⎭，A 为34⨯矩阵，且()2A =R ，则()AB =R . 4.已知12(1,0,1),(3,1,5)T T ηη=−=−是3元非齐次线性方程组Ax =b 的两个解，则对应齐次线性方程组0Ax =的有一个非零解ξ= .5. 若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)T T T t ααα==−=线性相关，则t .6. 设A 是3阶实对称矩阵，(,,1)Tm m α=−是线性方程组0=Ax 的解，(,1,1)T m m β=−是线性方程组0)(=+x E A 的解，则常数=m .7. 设A 和B 是3阶方阵，A 的3个特征值分别为3,3,0−，若AB B E =+，则行列式=+−|2|1E B .8.设二次型2212124f tx x tx x =+−正定，则实数t 的取值范围是 .二、选择题（共12分，每小题3分）1. 设A 为3阶矩阵，且21||=A ，则行列式|2|*−A 等于（ ）。

(A) 2− (B) 21−(C) 1− (D) 2 2.矩阵110120001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵为（ ）。

(A) 210110001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭(B)210110001−⎛⎫⎪− ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 110120001−⎛⎫ ⎪− ⎪⎪⎝⎭(D) 110110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.3.设矩阵123123123a a a A b b b c c c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，200030004P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则PA =（ ）。

贵州师范大学数计学院《中学数学研究》（几何） （A ）期末考试答案及评分标准（02数本）一、分别用直接证法、反证法、同一法证明命题（共18分，每种方法6分） 已知：D 、E 在BC 上，C B CAE BAD ∠=∠∠=∠,。

求证：AE AD = 证明：⑴直接证法CAF C AED BAD B ADE ∠+∠=∠∠+∠=∠, CAF BAD C B ∠=∠∠=∠, AE AD AED ADB =∴∠=∠,⑵若AE AD ≠，不妨设AE AD >，ADE ∆中，ADE AED ∠>∠，又BAD B ADE CAE C AED ∠+∠=∠∠+∠=∠,又CAE BAD C B ∠=∠∠=∠,，ADE AED ∠=∠ ，矛盾AE AD >∴不成立，同理AE AD <不成立。

AE AD =∴ ⑶作AD AE =交BC 于E ，则AED ADE ∠=∠又BAD B ADE E CA C D E A ∠+∠=∠'∠+∠='∠,E CA BAD C B '∠=∠∴∠=∠, ，又E CA CAE CAE BAD '∠=∠∴∠=∠,所以E 与E '重合，AD AE =∴二、（20分）CD 和BE 分别是ABC ∆中ACB ∠和ABC ∠的外角平分线，AE BE AD CD ⊥⊥,，求ED 的长。

解：延长AE 交CB 于F ，延长AD 交BC 于G 。

由已知21∠=∠形，EF AE BF AB ==,AE BE ⊥，则AB F ∆为等腰三角同理可证DG AD CG AC ==, F 就是AFG ∆的中位线，)(2121CG BC FB FG ED ++==， 又()CA BC AB ED AC CG AB FB ++=∴==21,,三、（21分）直角三角形的斜边固定，重心的轨迹是以斜边的中点为圆心，斜边的61为半径的圆。

已知：ABC ∆中︒=∠90A ，BC 为固定边，a BC =，G 为ABC ∆的重心，BC 重点为O 。

武汉大学2006〜2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题(A 卷)科H 名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。

一、(12分)设方程组Ax = 0为■1、 (1\J 1>(1)用Doolittle 分解法求解方程组;(2) 求矩阵A 的条件数Cwd(A)g 二、(12分)设A 为n 阶对称正定矩阵，A的n 个特征值为山 < 心< .•. V 九，为 求解方程组Ax = b,建立迭代格式求出常数s 的取 值范围，使迭代格式收敛。

三、(12分)已知数据试用二次多项式p ⑴=ax 1 2+hx + c 拟合这些数据。

四、(14分)已知y = /(x)的数据如下：取得最小值。

六、 (12)确定常数片，使求积公式1求f (x)的Hermite 插值多项式W 3(x)；2 为求\\f{x)dx 的值，采用算法：•⑴必:=「久3)击+ R 试导出截断误差R五、(12分)确定常数。

，b 的值，使积分r I.2I(a,b) = J 0(czx + /?-/) dxc 2^f{x)dx a A/(0) + A2/(l) + A3/(2)的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss型公式。

七、(12分)设伊⑴导数连续，迭代格式x M =(p{x k)—阶局部收敛到点x*。

对于常数人，构造新的迭代格式：A 1 ,、队=一从+ 一心)1 +2 1 + 人问如何选取人，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是儿阶收敛。

八、(14分)对于下面求解常微分方程初值问题」方= 的单步法：Mo) = JoA)'〃+】=儿 + hk2< k、=(1)验证它是二阶方法；(2)确定此单步法的绝对稳定区域。

武汉大学2007~2008学年第一学期硕士研究生期末考试试题科目名称：数值分析学生所在院：学号：姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。

贵州师范大学数学与计算机科学院2006-2007年度第二学期期末考试试卷(A)考试科目名称：近世代数; 班级：2004级本科数学专业。

注：本试题共三个大题，16个小题。

满分100 分。

一、选择题（每小题有4个备选项，仅一项正确的可选。

每小题3分，共15分）1、设实数在有理数域Q 上的极小多项式f (x )的次数为n , 则α可以用圆规直尺作图作出的条件是 ( )。

α (A) n 是2的方幂； (B) n 是素数；(C) n 是素数的方幂；(D) n >2。

2、设H 是群G 的正规子群，商群G/H 中的元素是 ( ) 。

(A) H 中的元素； (B) G\H 中的元素；(C) G 关于H 的所有右陪集； (D) H 的所有共轭g -1Hg 。

3、设是环同态, 则同态的核( ) 。

S R →:ϕ (A) Ker(ϕ)={a ∈S: ∃b ∈R, ϕ(b )=a }； (B) Ker(ϕ)={a ∈R: ϕ(a )=a }；(C) Ker(ϕ)={a ∈R: ϕ(a )=1}； (D) Ker(ϕ)={a ∈R: ϕ(a )=0}。

4、下列数中，能用圆规直尺来作出的是 ( ) 。

(A) ； (B) ； (C) π2； (D) 。

622+80560cos +020sin 11+5、设I 是交换环R 的理想, |R|=81, |I|=3, 下列结论中正确的是 ( ) 。

(A) R 一定是特征为3的域; (B) 商环R/I 中有27个元素;(C) R 可能是域且I 是R 的子域，[R : I]=3;(D)商环R/I 一定是特征为3的域。

二、简答题（每小题6分，共30分）6、剩余类环Z 6是域吗？为什么？7、环R的含有单位元的理想有多少个？为什么？8、300阶群G有7阶元吗? 为什么？9、x3-2是实数-1在有理域上的极小多项式吗？为什么？3210、设有限域F含有343个元素，说明Z7是F的素域。

三、解答题11、(7分) 把置换ρ=(1365)(3457)(7215)表示为不相交的轮换的乘积12、(8分) 计算20072007 (mod 5)13、(10分) 设f(x)=x4+x+1∈Z2[x],(1) 求Z2[x]中所有一次和二次不可约多项式;(2) 证明: f(x)在Z2[x]中不可约;14、(10分) 设G是群, Z(G)={a∈G: ∀g∈G, ga=ag}是G的中心. 证明:(1) Z(G)是G的正规子群;G(2) 如果商群是循环群, 则G是交换群。

贵州师范大学全国硕士研究生入学考试大纲（科目：代码828 高等代数）第一部分考试说明本《高等代数》考试大纲适用于贵州师范大学数学与计算机科学学院数学专业硕士研究生入学考试。

高等代数是大学数学系本科学生的最基本课程之一，也是大多数理工科专业学生的必修基础课。

要求考生熟悉基本概念、掌握基本定理、有较强的运算能力和综合分析解决问题能力。

1考试目的《高等代数》是我校数学与计算机科学学院招收全日制硕士研究生而设置的具有选拔性质的入学考试科目，其目的是考察学生是否具备本学科各专业硕士研究生学习所要求的水平，为我校数学与计算机科学学院择优选拔硕士研究生提供依据。

2考试的基本要求1）要求考生比较系统地理解高等代数的基本概念和基本理论；2）掌握高等代数的基本思想和方法；3）要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

3考试形式和试卷结构1）答卷方式：闭卷，笔试；所列题目全部为必答题。

2）答题时间：180分钟。

3）试卷成绩：150分。

4）各部分的考查比例：多项式理论约10%行列式、线性方程组、矩阵约35%线性空间、线性变换约30%欧氏空间、二次型约15%综合题约10%5）题型：填空、计算、证明6）参考书目[1] 北京大学编《高等代数》，高等教育出版社，2003年7月第3版 .[2] 张禾瑞，郝鈵新，《高等代数》，高等教育出版社， 2007.第二部分考查内容（或知识点）1 多项式数域，多项式的带余除法及整除，最大公因式与互素多项式，因式分解与不可约多项式，重因式，多项式函数与根，复系数与实系数多项式的因式分解，艾森斯坦判别法及应用，一元多项式根与系数的关系及一元多项式有重根的判别式。

2 行列式、线性方程组、矩阵排列，行列式的定义及性质，行列式按一行（列）展开，代数余子式的计算，低阶行列式、高阶规律性较强的行列式计算。

消元法，n维向量空间，线性相关性，矩阵的秩，线性方程组有解判别定理，线性方程组解的结构。

贵州师范大学数计学院《初等代数研究》（B 卷）期末考试答案及评分标准（03数本）2005～2006学年度第一学期期末考试1.⑴先证对0)(,>∈∀x f R x 。

由0]2[)22()(2≥⎪⎭⎫⎝⎛=+=x f x x f x f 。

又若()0,00=∍∈∃x f R x ，则()()()()00000=-=+-=x f x x f x x x f x f 与()x f 在R 上单调矛盾。

故()0>x f 。

（8分）对①两边取对数，得)(log )(log )(log y f x f y x f a a a +=+，令)()(log x g x f a =，则⎩⎨⎧===+=+1log )1(log )1()()()(a f g y g x g y x g a a 由柯西方程的解可得 x x g =)(，即 )1,0()(,)(l o g ≠>=∴=a a a x f x x f xa （7分）⑵由()⇔≠>=)1,0(a a a x f x 性质①②③由充要条件可知，从①②③可给出())1,0(≠>=a a a x f x 的公理化定义。

（5分）2.⑴令2)5(248202)(22+--=-+-=x x x x f当5≥x 时，()x f 递减，而5≤x 时，()x f 递增。

且5=x 时，()x f 的最大值是2。

（5分）又令()10)315(252+-=x x f ，故531=x 时，()x g 取最大值，且531≥x 时，()xg 递减；531≤x 时，()x g 递增。

（5分）将{}n b 视为()()x g x f +，则{}n b 的最大值应在{}654321,,,,,b b b b b b 中，经计算知最大项是462525=b 。

（5分）⑵上面解法将函数性质的讨论与数列问题联系起来，通过函数的最值求数列的最大项。

（5分）3. ⑴中学数学教材中，关于方程的观点可以归结为等式观点；函数观点；逻辑函数观点；“问题”观点等。