辽宁省六校协作体2021届高三第一次联考 数学(含答案)

辽宁省六校2021届高三第一学期期中联考数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知,R a b ∈，则“20a b +="是“2ab=-”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.已知函数()131,2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭那么在下列区间中含有函数()f x 零点的是( )A.10,3⎛⎫⎪⎝⎭B.11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭3.8122x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项是( ) A ．235x B ．220x C ．470x D ．435x4. 数列{}n a 满足11a =，对任意*N n ∈的都有11n n a a n +=++，则1299111...a a a +++=（ ）A.9998B.2C.9950D.991005.设函数()()2log 1,04,0x x x f x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，则()()23log 3f f -+=( )A.9B.11C.13D.156.设函数1()ln1xf x x x+=-,则函数的图像可能为( ) A. B. C. D.7.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割。

如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿。

”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)。

例：五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC △中，512BC AC-=。

根据这些信息，可得sin 234︒=（ ）A.1254- B.358+-C.514+-D.458+-8.若==>1,则48x yz xy ++的取值范围是( )A.[]1,4B.[)1,+∞C.(22,)+∞ D.[)4,+∞二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

辽宁省2021版高三上学期数学第一次联考试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）(2017·新课标Ⅱ卷理) 设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（）A . {1，﹣3}B . {1，0}C . {1，3}D . {1，5}2. （2分）已知双曲线中心在原点且一个焦点为(， 0)，直线与其相交于两点，且的中点的横坐标为,则此双曲线的方程式为（）A .B .C .D .3. （2分）如下图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）A .B .C .D .4. （2分） (2020高一下·七台河期中) 设满足，则目标函数的最小值是（）A . 0B . －1C . －4D . －55. （2分）设，则“”是“”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分） (2017高三上·长葛月考) 定义在上的奇函数的一个零点所在区间为（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高一下·南昌期末) 已知某8个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为，方差为s2 ，则（）A . =5，s2＞3B . =5，s2＜3C . ＞5，s2＜3D . ＞5，s2＞38. （2分） (2019高一下·重庆期中) 下列命题正确的是（）A . 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。

B . 有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。

C . 绕直角三角形的一边旋转所形成的几何体叫圆锥。

D . 用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。

2021-2022学年辽宁省六校协作体高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|−4<x <2}，B ={x|x 2−x −6<0}，则A ∩B =(( )A. (−4,3)B. (−4,−2)C. (−2,2)D. (2,3)2. 已知α，β∈R ，则“存在k ∈Z ，使得α=kπ+(−1)k β”是“sinα=sinβ”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知复数z 满足z ⋅i =4−3i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数等于( )A. 3−4iB. 3+4iC. −3−4iD. −3+4i4. 已知四边形ABCD 的三个顶点A(0,2)，B(−1,−2)，C(3,1)，且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则顶点D 的坐标为( )A. (2,72)B. (2,−12)C. (3,2)D. (1,3)5. 函数y =(x 2−1)e |x|的图象大致是( )A.B.C.D.6. 设P =(1π)−0.3,Q =ln2,R =sin 87π，则( )A. R <Q <PB. P <R <QC. Q <R <PD. R <P <Q7. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2=(a −b)2+6，C =π3，则△ABC 的面积为( )A. 3B. 9√32 C. 3√32D. 3√38. 边长为2的正三角形ABC 内一点M(包括边界)满足：CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，则CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( )A. [−43,23]B. [−23,23]C. [−43,43]D. [−2,2]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知f(x)=(x 3−1x )8，则( )A. f(x)的展开式中的常数项是56B. f(x)的展开式中的各项系数之和为0C. f(x)的展开式中的二项式系数最大值是70D. f(x)的展开式中不含x 4的项10. 下列说法正确的是( )A. 当x ∈(0,1)时，x√1−x 2≤12 B. sin 2x +2sin 2x 的最小值为2√2C. x 2x 4+2≤√24D. 若a >1，b >12，则2√(log 2a)⋅(log 22b)1+log 2ab≤111. 在公比为q 等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，若a 1=1，a 5=27a 2，则下列说法正确的是( )A. q =3B. 数列{2S n −3n }是等差数列C. 数列{a n −3n }是等比数列D. 数列{lga n −3n }是等比数列12. 已知函数f(x)={x +1x −4,x >0|x+1x |,x <0，若关于x 的方程f(|x|−2)=k 有6个不同的实数根，则实数k 的值可以是( )A. 0B. 12C. 23D. 1三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)的定义域是R ，f(1−x)=f(1+x)，且f(x)在(1,+∞)为单调递增函数，则满足条件的f(x)=______.(写出一个满足条件的函数即可)14. 某种品牌的摄像头的使用寿命ξ(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为______． 15. 已知f(x)=2sin(2x +π3)，若∃x 1，x 2，x 3∈[0,3π2]，使得f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)，若x 1+x 2+x 3的最大值为M ，最小值为N ，则M +N =______．16. 设函数f(x)=e x (sinx −cosx)，若0≤x ≤2011π，则函数f(x)的各极大值之和为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=√3acosB．(1)求角B的大小；(2)①b=3，②sinC=2sinA，③c=2√3，以上三个条件任选两个，求边a，角C．18.已知向量a⃗=(1,−√3)，b⃗ =(sinx,cosx)，f(x)=a⃗⋅b⃗ ．(Ⅰ)若f(θ)=0，求2cos2θ2−sinθ−1√2sin(θ+π4)的值；(Ⅱ)当x∈[0,π]时，求函数f(x)的值域．19.已知函数f(x)=x3+ax2+b的图象上一点P(1,0)，且在P点处的切线与直线3x+y=0平行．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间[0,t](0<t<3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)=c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．20. 忽如一夜春风来，翘首以盼的5G 时代，已然在全球“多点开花”，一个万物互联的新时代，即将呈现在我们的面前．为更好的满足消费者对流量的需求，中国电信在某地区推出六款不同价位的流量套餐，每款套餐的月资费x(单位：元)与购买人数y(单位：万人)的数据如表：对数据作初步的处理，相关统计量的值如表：其中v i =lnx i ，ωi =lny i ，且绘图发现，散点(v i ,ωi )(l ≤i ≤6)集中在一条直线附近．(1)根据所给数据，求y 关于x 的回归方程；(2)按照某项指标测定，当购买人数y 与月资费x 的比在区间(e 9,e7)内，该流量套餐受大众的欢迎程度更高，被指定为“主打套餐”，现有一家三口从这六款套餐中，购买不同的三款各自使用．记三人中使用“主打套餐”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和期望．附：对于一组数据(v 1,ω1)，(v 2,ω2)，…，(v 3,ω3)，其回归直线ω=bv +a 的斜率和截距的最小二乘估计值分别为b ̂=∑v i n i=1ωi −nvω−∑v i 2n i=1−nv−2，a ̂=ω−−b ̂v −．21. 已知等差数列{a n }满足S 6=21，S 7=28，其中s n 是数列{a n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项； (2)令b n =(−1)n−14n(1a n −1)(2a n+1)，证明：b 1+b 2+⋯+b n ≤2n+22n+1．22. 已知函数f(x)=1+ln(x+1)x.(x >0)(1)函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数还是减函数？证明你的结论； (2)若当x >0时，f(x)>kx+1恒成立，求正整数k 的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A={x|−4<x<2}，B={x|−2<x<3}，∴A∩B=(−2,2)．故选：C．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法和区间的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数值的性质，利用分类讨论思想进行判断是解决本题的关键，属于中档题．根据充分条件和必要条件的定义，分别讨论k为偶数和奇数时，是否成立即可．【解答】解：当k=2n，为偶数时，α=2nπ+β，此时sinα=sin(2nπ+β)=sinβ，当k=2n+1，为奇数时，α=2nπ+π−β，此时sinα=sin(π−β)=sinβ，即充分性成立，当sinα=sinβ，则α=2nπ+β，n∈Z或α=2nπ+π−β，n∈Z，即α=kπ+(−1)kβ，即必要性成立，则“存在k∈Z使得α=kπ+(−1)kβ”是“sinα=sinβ”的充要条件，故选：C．3.【答案】D【解析】解：由z⋅i=4−3i，得z=4−3ii =−i(4−3i)−i2=3i2−4i=−3−4i，则z−=−3+4i．故选：D ．由z ⋅i =4−3i ，得z =4−3i i=−i(4−3i)−i 2=3i 2−4i =−3−4i ，从而即可确定z 的共轭复数．本题考查复数的运算，考查学生的运算求解能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】 【分析】本小题主要考查平面向量的基本知识，先设出点的坐标，根据所给的点的坐标，写出向量的坐标，根据向量的数乘关系，得到向量坐标之间的关系，由横标和纵标分别相等，得到结果． 【解答】解：设顶点D 的坐标为(x,y) ∵BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,3)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y −2)， 且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{2x =42y −4=3⇒{x =2y =72故选A ．5.【答案】C【解析】解：因为f(−x)=(x 2−1)e |x|=f(x)， 所以f(x)为偶函数，所以图象关于y 轴对称，故排除B ， 当x →+∞时，y →+∞，故排除A 当−1<x <1时，y <0，故排除D 故选：C ．根据函数的函数奇偶性，值域即可判断．本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数奇偶性，值域，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：因为y=(1π)x在R上为减函数，且−0.3<0，所以(1π)−0.3>(1π)0=1，即P>1，因为y=lnx在(0,+∞)上为增函数，且1<2<e，所以0=ln1<ln2<lne=1，即0<Q<1，因为R=sin8π7=sin(π+π7)=−sinπ7<0，所以R<Q<P．故选：A．利用指数函数、对数函数和正弦函数的性质比较与中间量0，1的大小，从而可得结论．本题考查了利用函数的单调性比较大小的问题，属于基础题．7.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查三角形的面积的计算，根据余弦定理求出ab=6是解决本题的关键．属于基础题．根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：∵c2=(a−b)2+6，∴c2=a2−2ab+b2+6，即a2+b2−c2=2ab−6，∵C=π3，∴cosπ3=a2+b2−c22ab=2ab−62ab=12，解得ab=6，则三角形的面积S=12absinC=12×6×√32=3√32．故选C．8.【答案】B【解析】解：∵点M 在边长为2的正三角形△ABC 一点，(包括边界)满足：CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)， ∴0≤λ≤23，∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(−CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(λ−1)⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=2λ−2+13×4=2λ−23∈[−23,23]， 故选：B ．通过已知M 在三角形内或者边界，得到λ的范围，然后利用向量的数量积的定义解答． 本题考查了向量的三角形法则以及数量积运算，属于中档题．9.【答案】BC【解析】解：∵f(x)=(x 3−1x )8，其二项展开式的通项为T r+1=C 8r⋅x 24−4r ⋅(−1)r ，令24−4r =0，得r =6，常数项为：C 86×(−1)6=28，故A 错误；各项系数和为f(1)=0，故B 正确；二项式系数的最大值为：C 84=70，故C 正确；令24−4r =4⇒r =5，故D 错误． 故选：BC ．写出二项展开式的通项，然后逐一分析得答案．本题主要考查二项式系数的性质，考查运算求解能力，是中档题．10.【答案】ACD【解析】解：对于A ：由于x ∈(0,1)，故x√1−x 2≤x 2+1−x 22=12，当且仅当x =√22时，等号成立，故A 正确；对于B ：函数f(x)=sin 2x +2sin 2x ，设sin 2x =t ，t ∈(0,1]，所以f(t)=t +2t ，当t =1时，对勾函数在t =1时取得最小值，即sinx =±1时，f(x)min =1+2=3，故B 错误； 对于C ：x 2x 4+2=12x 2+x 2≤2√2=√24，当x4=2时，等号成立，故C 正确；对于D ：若a >1，b >12，故log 2a >0，log 22b >0，则2√(log 2a)⋅(log 22b)1+log 2ab≤log 2a+log 22b log 2(a⋅2b)=1，故D 正确．故选：ACD ．直接利用关系式的恒等变换和基本不等式的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．11.【答案】ABC【解析】解：在公比为q 等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，a 1=1，a 5=27a 2， ∴1×q 4=27×1×q ，解得q =3，故A 正确； S n =1−3n 1−3=3n −12，∴2S n −3n =−1，∴数列{2S n −3n }是等差数列，故B 正确；a n =1×3n−1=3n−1，∴a n −3n =3n−1−3n =−23×3n ， ∴数列{a n −3n }是等比数列，故C 正确；lga n −3n =(n −1)lg3−3n ，∴数列{lga n −3n }不是等比数列，故D 错误． 故选：ABC ．利用等比数列通项公式求出公式判断A ；利用等比数列前n 项和公式和等差数列定义判断B ；利用等比数列通项公式及定义判断CD ．本题考查命题真假的判断，考查等比数列、等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】ACD【解析】解：函数f(x)={x +1x −4,x >0|x+1x |,x <0的图象如图所示，由图象可知，方程f(t)=k 的实根个数可能为0，1，2，3，4，当k<−2时，方程f(t)=k无实数根；当k=−2时，方程f(t)=k有唯一实根；当−2<k<0时，方程f(t)=k有2个实根；当k=0或k=1时，方程f(t)=k有3个实根；当0<k<1时，方程f(t)=k有4个实根，因为t=|x|−2最多有2个实根，此时t>−2，则方程f(|x|−2)=k有6个不同的实数根，等价于f(t)=k的实根至少有3个，当k=0时，f(t)=k的三个根均大于−2，符合题意；时，f(t)=k的四个根均大于−2，则f(|x|−2)=k有8个不同的实根，不合当0<k<12题意；时，f(|x|−2)=k有7个不同的实根，不合题意；当k=12时，f(t)=k只有三个均大于−2的不同实根，符合题意．当k>12,+∞)．综上所述，实数k的取值范围为{0}∪(12故选：ACD．作出函数f(x)的图象，由图象可知方程f(t)=k的实根个数可能为0，1，2，3，4，而t=|x|−2最多有2个实根，由此分类讨论，求解即可．本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：(1)方程法(直接解方程得到函数的零点)；(2)图象法(直接画出函数的图象分析得解)；(3)方程+图象法(令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解).属于中档题．13.【答案】|x−1|(答案不唯一)【解析】解：由f(1−x)=f(1+x)，可得f(x)关于x=1对称，又f(x)在(1,+∞)为单调递增函数，可得满足条件的f(x)=|x−1|，f(x)=(x−1)2．故答案为：|x−1|(答案不唯一)．由题意可得f(x)关于x=1对称，再结合f(x)在(1,+∞)为单调递增函数，即可求得结论．本题主要考查函数的对称性及单调性，熟练掌握常见函数的性质是解题的关键，属于基础题．14.【答案】14【解析】解：∵ξ～N(μ,σ2)，P(ξ≥2)=0.8，P(ξ≥6)=0.2，∴P(ξ<2)=0.2，显然P(ξ<2)=P(ξ≥6)…(3分)由正态分布密度函数的对称性可知，μ=4，即每支这种灯管的平均使用寿命是4年；…(5分)∴在4年内一个摄像头都能正常工作的概率12，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为12×12=14．故答案为：14根据题意ξ～N(μ,σ2)，且P(ξ<2)=P(ξ≥6)，结合正态分布密度函数的对称性可知，μ=4，从而得出每支这种摄像头的平均使用寿命，即可得到在4年内一个摄像头都能正常工作的概率，最后利用相互独立事件同时发生的概率的乘法公式即得这两个摄像头都能正常工作的概率．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查曲线的变化特点，本题是一个基础题．15.【答案】23π6【解析】解：作出函数f(x)在[0,3π2]上的图象，x1，x2，x3为函数f(x)的图象与函数y=m 图象的交点的横坐标，数形结合即可求出M和N的值；作出函数f(x)的图象；如图所示：①当函数f(x)的图象与函数y=√3的图象相交时，前三个交点的横坐标依次为x1，x2，x3，此时取N，x1+x2=π12×2=π6，f(π)=2sin(3π+π3)=−√3，所以x3=π，所以N=x1+x2+x3=π12×2+π=7π6，②当函数f(x)的图象与函数y=−√3的图象相交时，前三个交点的横坐标依次为x1，x2，x3，此时取M，x1+x2=7π12×2=7π6，f(3π2)=2sin(3π+π3)=−√3即x3=3π2，所以：M=7π6+3π2=8π3，故M+N=8π3+7π6=23π6．故答案为：23π6．直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的值的应用求出函数的最大值和最小值，最后求出最值的和．本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．16.【答案】eπ(1−e2012π)1−e2π【解析】解：∵f(x)=e x(sinx−cosx)，∴令f′(x)=e x(sinx−cosx)+e x(cosx+sinx)=2e x sinx=0；则x=kπ(k∈Z)，故函数f(x)的极大值点为π+2kπ(k∈Z)，故函数f(x)的各极大值为eπ(sinπ−cosπ)，e3π(sin3π−cos3π)，e5π(sin5π−cos5π)，…，e2009π(sin2009π−cos2009π)；即eπ，e3π，e5π，…，e2009π；故其和为eπ+e3π+e5π+⋯+e2009π=eπ(1−e2π⋅1005)1−e2π=eπ(1−e2010π)1−e2π；先求出其导函数，利用导函数得到其单调区间以及其极大值点，进而求出其极大值；再利用等比数列的求和公式求出函数f(x)的各极大值之和即可．本题主要考查利用导数研究函数的极值以及等比数列求和公式的应用．在求函数的极大值时，须注意极大值两侧导函数值是先正后负，原函数是先增后减．17.【答案】解：(1)由正弦定理，可将bsinA=√3acosB化为sinBsinA=√3sinAcosB，sinA≠0，则sinB=√3cosB，即tanB=√3，所以B=π3．(2)若选①②，由sinC=2sinA可得c=2a，因为b=3，由余弦定理可得b2=a2+c2−2accosB，则9=5a2−2a2，解得a=√3，由c2=a2+b2得C=π2．若选①③，由正弦定理可得，sinCc =sinBb，则sinC=1，所以C=π2，则A=π6，因此a=csinA=√3．若选②③，由sinC=2sinA可得c=2a，因为c=2√3，所以a =√3，由c 2=a 2+b 2得C =π2．【解析】(1)根据已知条件，结合正弦定理，即可求解． (2)若选①②，结合正弦，余弦定理，即可求解． 选①③，结合正弦定理，即可求解．选②③，结合正弦定理，以及勾股定理的逆定理，即可求解． 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)∵a ⃗ =(1，−√3)，b ⃗ =(sinx,cosx)， ∴f(x)=a ⃗ ⋅b −=sinx −√3cosx ， ∵f(θ)=0，即sinθ−√3cosθ=0， ∴tanθ=√3， ∴2cos 2θ2−sinθ−1√2sin(θ+π4)=cosθ−sinθsinθ+cosθ=1−tanθtanθ+1=√3√3+1=−2+√3．(Ⅱ)f(x)=sinx −√3cosx =2sin(x −π3)， ∵x ∈[0,π]， ∴x −π3∈[−π3,2π3]，当x −π3=−π3即x =0时，f(x)min =−√3， 当x −π3=π2，即x =5π6时，f(x)max =2，∴当x ∈[0,π]时，函数f(x)的值域为[−√3,2]．【解析】(Ⅰ)利用向量的数量积的坐标运算知，f(x)=a ⃗ ⋅b −=sinx −√3cosx ，f(θ)=0⇒tanθ=√3，再对所求关系式降幂化简为cosθ−sinθsinθ+cosθ，“弦”化“切”即可； (Ⅱ)x ∈[0,π]时，x −π3∈[−π3,2π3]，从而可求得f(x)=2sin(x −π3)的值域． 本题主要考查三角恒等变换，三角函数的图象与性质；考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．19.【答案】解：(1)因为f′(x)=3x 2+2ax ，所以曲线在P(1,0)处的切线斜率为f′(1)=3+2a ，即3+2a =−3，所以a =−3． 又函数过(1,0)点，即−2+b =0，所以b =2．所以f(x)=x 3−3x 2+2.---------------------------------------------------(2分) (2)由f(x)=x 3−3x 2+2，f′(x)=3x 2−6x ． 由f′(x)=0，得x =0或x =2．①当0<t ≤2时，在区间(0,t)上f′(x)<0，f(x)在[0,t]上是减函数，所以f(x)max =f(0)=2，f(x)min =f(t)=t 3−3t 2+2.---------------------------(4分) ②当2<t <3时，当x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况见下表：--------------------------------------------------------------------(6分) f(x)min =f(2)=−2，f(x)max 为f(0)与f(t)中较大的一个． f(t)−f(0)=t 3−3t 2=t 2(t −3)<0．所以f(x)max =f(0)=2.--------------------------------------------------(8分) (3)令g(x)=f(x)−c =x 3−3x 2+2−c ，g′(x)=3x 2−6x =3x(x −2)． 在x ∈[1,2)上，g′(x)<0；在x ∈(2,3]上，g′(x)>0． 要使g(x)=0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则{g(1)≥0g(2)<0g(3)≥0，解得−2<c ≤0.-------------------------------------------(12分)【解析】(1)利用导数的几何意义求出a ，根据函数过(1,0)点，求出b ，即可求出函数f(x)的解析式；(2)求导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求出函数f(x)在区间[0,t](0<t <3)上的最大值和最小值；(3)构造函数，研究构造函数的性质尤其是单调性，列出该方程有两个相异的实根的不等式组，求出实数a 的取值范围．本题考查导数的工具作用，考查学生利用导数研究函数的单调性的知识．考查学生对方程、函数、不等式的综合问题的转化与化归思想，将方程的根的问题转化为函数的图象交点问题，属于综合题型．20.【答案】解：(1)∵散点(v i ,ωi )(l ≤i ≤6)集中在一条直线附近).设回归直线方程为ω=bv +a ，由v −=16∑v i 6i =4.1，ω−=16∑ωi 6i=1=3.05， 则b ̂=∑v i ni=1ωi −nvω−∑v i 2n i=1−nv −2=75.3−6×4.1×3.05101.4−6×4.1×4.1=12， a ̂=ω−−b ̂v −=3.05−12×4.1=1， ∴变量ω交于v 的回归方程为ω=12v +1，∵v i =lnx i ，ωi =lny i ，∴y =12lnx +1，∴y =ex 12， 综上，y 关于x 的回归方程为y =ex 12． (2)由yx=ex 12x=ex 12∈(e 9,e7)，解得49<x <81，∴x =58，68，78，∴C 、D 、E 为“主打套餐”，则三人中使用“主打套餐”的人数X 服从超几何分布，X 的可能取值为0，1，2，3， P(X =0)=C 33C 63=120，P(X =1)=C 31C 32C 63=920， P(X =2)=C 32C 31C 63=920，P(X =3)=C 33C 63=120，∴X 的分布列为：E(X)=0×120+1×920+2×920+3×120=32．【解析】(1)设回归直线方程为ω=bv +a ，由v −=16∑v i 6i =4.1，ω−=16∑ωi 6i=1=3.05，则b ̂=12，a ̂=ω−−b ̂v −=1，变量ω交于v 的回归方程为ω=12v +1，由v i =lnx i ，ωi =lny i ，求出y 关于x 的回归方程． (2)由yx=ex 12x=ex 12∈(e 9,e7)，得C 、D 、E 为“主打套餐”，则三人中使用“主打套餐”的人数X 服从超几何分布，X 的可能取值为0，1，2，3，由此能求出X 的分布列和E(X)． 本题考查回归直线方程的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列、概率的求法，考查超几何分布等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)数列{a n }为等差数列，依题意有{7a 1+21d =286a 1+15d =21，解得：a 1=1，d =1， 所以a n =1+(n −1)×1， 所以a n =n ，证明：(2)b n =(−1)n−14n(2an −1)(2a n +1)=(−1)n−112n−1−(−1)n12n+1，b 1+b 2+b 3+⋅⋅⋅+b n =(1+13)+(−13−15)+(15+17)+⋅⋅⋅+[(−1)n−112n−1−(−1)n12n+1]=1−(−1)n 12n+1≤1+12n+1=2n+22n+1．【解析】(1)由题意，根据S 6=21，S 7=28，列出方程，求出a n 即可， (2)将a n 代入b n ，再利用裂项相消求数列的和，再证明不等式成立即可．本题考查数列的通项公式及裂项相消法求数列的和，考查学生的综合能力，属于难题．22.【答案】解：(1)函数f(x)=1+ln(x+1)x∴f′(x)=1x 2[xx+1−1−ln(x +1)]=−1x 2[1x+1+ln(x +1)]． 由x >0，x 2>0，1x+1>0，ln(x +1)>0，得f′(x)<0． 因此函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数．(2)解法一：当x >0时，f(x)>kx+1恒成立，令x =1有k <2[1+ln2]． 又k 为正整数．则k 的最大值不大于3．下面证明当k =3时，f(x)>kx+1(x >0)恒成立． 即证明x >0时(x +1)ln(x +1)+1−2x >0恒成立． 令g(x)=(x +1)ln(x +1)+1−2x ， 则g′(x)=ln(x +1)−1．当x >e −1时，g′(x)>0；当0<x <e −1时，g′(x)<0． ∴当x =e −1时，g(x)取得最小值g(e −1)=3−e >0． ∴当x >0时，(x +1)ln(x +1)+1−2x >0恒成立． 因此正整数k 的最大值为3．解法二：当x >0时，f(x)>k x+1恒成立． 即ℎ(x)=(x+1)[1+ln(x+1)]x>k 对x >0恒成立．即ℎ(x)(x>0)的最小值大于k．由ℎ′(x)=x−1−ln(x+1)，记Φ(x)=x−1−ln(x+1).(x>0)x2>0，则Φ′(x)=xx+1∴Φ(x)在(0,+∞)上连续递增．又Φ(2)=1−ln3<0，Φ(3)=2−2ln2>0，∴Φ(x)=0存在惟一实根a，且满足：a∈(2,3)，a=1+ln(a+1)，由x>a时，Φ(x)>0，ℎ′(x)>0；0<x<a时，Φ(x)<0，ℎ′(x)<0知：ℎ(x)(x>0)的最小值为ℎ(a)=(a+1)[1+ln(a+1)]=a+1∈(3,4)．a因此正整数k的最大值为3．【解析】(1)直接求函数f(x)的导函数，化简导函数分子，判断正负即可；(2)可以先利用特殊值x=1先尝试k的可能值，然后用导数的方法予以证明；或者构造新函数将问题转化为求函数最值，利用函数的导数去研究函数的最值即可．本题考查函数的导数在最大值、最小值中的应用，以及函数的导数法研究函数的单调性，同时转化思想是解决此类恒成立问题的“良方”．。

2021-2022学年辽宁省名校联盟高三上学期联合考试数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设全集U={−1,0,1,2,4}，集合A={−1,0,2}，B={0,1,2,4}，则∁U(A∩B)=()A. ⌀B. {−1,1}C. {1,4}D. {−1,1,4}2.设复数z在复平面内对应的点为(2,−1)，则2z1−i的虚部为()A. iB. −1C. 1D. 33.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以圆形攒尖为例.如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面(过圆锥旋转轴的截面)是底边长为6m，顶角为2π3的等腰三角形，则该屋顶的体积约为()A. 6πm3B. 3√3πm3C. 9√3πm3D. 12πm34.已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(cos15∘+sin15∘,cos15∘−sin15∘)，则tanα=()A. √33B. 1C. √3D. 25.在底面为正方形的长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB，P，R分别为B1D1，DD1的中点，则直线C1P与AR所成角的正弦值为()A. 12B. √22C. √32D. √1556.已知点A(−5,0)，B(5,0)，动点P(m,n)满足：直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为−1625，则4m2+n2的取值范围为()A. [16,100]B. [25,100]C. [16,100)D. (25,100)7.北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，长征系列火箭的频频发射成功，标志着我国在该领域已逐步达到世界一流水平.在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，可以用公式v=v0⋅ln(1+Mm)计算火箭的最大速度v(m/s)，其中v0(m/s)是喷流相对速度，m(kg)是火箭(除推进剂外)的质量，M(kg)是推进剂与火箭质量的总和，Mm 称为总质比，当总质比较大时，1+Mm用Mm近似计算.若将火箭的总质比从500提升到1000，则其最大速度v大约增加了()(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)A. 5%B. 11%C. 20%D. 30%8.已知函数f(x)的定义域为R，且y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线，f(x+1)为偶函数，f(2x+2)为奇函数，f(0)=0，当x∈(0,2)时，f(x)<0，则当x∈(2,8)时，f(x)>0的解集为()A. (4,5)B. (6,8)C. (5,7)D. (2,4)∪(6,8)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知命题p:∃x∈R，ax2−4x−4=0，若p为真命题，则a的值可以为()A. −2B. −1C. 0D. 310.若0<a<b，则下列结论正确的是()A. a4<ab3B. a+1b >b+1aC. a+2b>4√abD. ab<a+2b+211.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<1)的部分图像如图所示，下列结论正确的是()A. φ=−π4B. 将f(x)的图像向右平移1个单位，得到函数y =2sin π4x 的图像 C. f(x)的图像关于直线x =−1对称 D. 若|x 1−x 2|<4，则|f(x 1)−f(x 2)|<412. 斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多⋅斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式有如下定义：用a n 表示斐波那契数列的第n 项，则数列{a n }满足：a 1=a 2=1，a n+2=a n+1+a n .记∑a i n i=1=a 1+a 2+⋯+a n ，则下列结论正确的是( )A. a 10=55B. 3a n =a n−2+a n+2(n ≥3)C. ∑a i 2019i=1=a 2021D. ∑a i 22021i=1=a 2021⋅a 2022三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(3,−1)，b ⃗ =(4,−2)，且a ⃗ ⊥(λa ⃗ −b ⃗ )，则实数λ的值为 ． 14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)的解析式为f(x)= ． ①f(4−x)=f(x);②当x ∈(2,+∞)时，f ′(x )<0;③f(x)的最大值大于1．15. 已知圆C:x 2+y 2−4x −2y =0恰好被双曲线D:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线平分成周长相等的两部分，则D 的离心率为 ．16. 对于函数f(x)与g(x)，若存在x 0，使f(x 0)=−g(x 0)，则称点A(x 0,f(x 0))，B(x 0,g(x 0))是函数f(x)与g(x)图像的一对“靓点”.已知函数f(x)={|lnx|,x >0,x 2+2x +2,x ⩽0,g(x)=kx ，若函数f(x)与g(x)恰有两对“靓点”，则k 的取值范围为 ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a8=a4+8，S5=7a2．(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=a n+2a n−1，求数列{b n}的前n项和T n．18.在ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b(2−cosA)=√3asin B.(1)若a:b:c=1:2:2，则此时ΔABC是否存在⋅若存在，求ΔABC的面积;若不存在，请说明理由;(2)若ΔABC的外接圆半径为4，且b−c=a，求ΔABC的面积．219.已知圆C经过点A(−1,0)和B(5,0)，且圆心在直线x+2y−2=0上．(1)求圆C的标准方程;(2)直线l过点D(−1,1)，且与圆C相切，求直线l的方程;(3)设直线l′:x+√3y−1=0与圆C相交于M，N两点，点P为圆C上的一动点，求ΔPMN的面积S的最大值．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PA=2AD=4，且PC=2√6，点E在PC上．(1)求证：平面BDE⊥平面PAC;(2)若E为PC的中点，求直线PC与平面AED所成的角的正弦值．21.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点M(x0,4)在C上，且|MF|=5p．2(1)求点M的坐标及C的方程;(2)设动直线l与C相交于A，B两点，且直线MA与MB的斜率互为倒数，试问直线l是否恒过定点⋅若过，求出该点坐标;若不过，请说明理由．22.已知函数f(x)=xlnx−mx+m，其中m∈R.(1)求f(x)的单调区间;(2)请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择．①若对任意x∈(0,1)，不等式f(x)>−x恒成立，求m的最小整数值．②若存在x∈(1,+∞)，使得不等式f(x)<−lnx成立，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查集合的交集与补集的混合运算，属于基础题．根据交集与补集的定义进行求解即可．【解答】解：由题意知A∩B={0,2}，所以∁U(A∩B)={−1,1,4}．故选D．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的几何意义，是基础题．由已知求得z，代入2z1−i，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由题意得，z=2−i，∴2z1−i =4−2i1−i=(1+i)(4−2i)(1+i)(1−i)=3+i．所以2z1−i的虚部为1．故选C．3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查锥体的几何性质以及体积求法，空间想象能力等知识，属于基础题．由题意分别求得锥体的底面圆的半径和高度，然后计算其体积即可．【解答】解：由已知可知，该圆形攒尖的底面圆半径r=3，高ℎ=rtanπ6=√3，故其体积V=13πr2ℎ=3√3πm3．故选B．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查三角函数的定义以及两角和差正切公式，属于基础题．利用三角函数的定义以及两角差的正切公式可得tanα=tan(45∘−15∘)，即可求解．【解答】解：由正切函数的定义得tanα=cos15∘−sin15∘cos15∘+sin15∘=1−tan15∘1+tan15∘=tan45∘−tan15∘1+tan15∘tan45∘=tan(45∘−15∘)=√33．故选A．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查异面直线所成的角，考查空间想象能力和思维能力，属于基础题．由题意连接AC，可得C1P//AC，找出直线C1P与AR所成角，求解三角形得答案．【解答】解：连接AC，因为P为B1D1的中点，所以C1P//AC，所以C1P与AR所成角即为CA与AR所成角，即为∠CAR．连接CR，因为R为DD1的中点，AA1=2AB，设AB=1，所以AC=AR=CR=√2，所以△ACR为正三角形，所以∠CAR=π3，所以sin∠CAR=√32．故选C．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了与椭圆有关的轨迹问题，直线的斜率及圆锥曲线中的范围问题，属于基础题．根据题目条件得到nm+5⋅nm−5=−1625，用m表示n，代入到4m2+n2中，即可得到结果．【解答】解：由题意可知，nm+5⋅nm−5=−1625，整理得m225+n216=1(m≠±5)，则n2=16−16m225⩾0，得到−5<m<5，故4m2+n2=16+84m225，因为−5<m<5，所以0≤m2<25，所以16≤16+84m225<100，即4m2+n2∈[16,100)．故选C项．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数模型的应用，主要考查对数的运算，属于基础题．当Mm =500时，v1≈v0ln500，当Mm=1000时，v2≈v0ln1000，因为v0ln1000v0ln500=lg1000lg500=32+lg5，即可求解．【解答】解：当Mm =500时，v1≈v0ln500，当Mm=1000时，v2≈v0ln1000，因为v0ln1000v0ln500=lg1000lg500=32+lg5=33−lg2≈33−0.3010≈1.11，所以将总质比从500提升到1000，其最大速度v大约增加了11%．故选B．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性，对称性，周期性的应用，属于基础题．由条件得到f(x)的图象的对称性，再得到周期性，结合函数图象得到函数值的符号即可求解．【解答】解：因为f(x+1)为偶函数，所以f(x)的图象关于直线x=1对称，即f(−x+1)=f(x+1)，即f(x+2)=f(−x)，因为f(2x+2)为奇函数，则f(2−2x)=−f(2x+2)，所以f(2−x)=−f(x+2)，即f(x)的图象关于点(2,0)对称，所以f(x+2)=−f(2−x)=f(−x)，所以f(2−x)=−f(−x)，即f(2+x)=−f(x)所以f(x+4)=−f(x+2)=−[−f(x)]=f(x)，即f(x+4)=f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，于是可知，f(0)=f(2)=f(4)=0，又当x∈(0,2)时，f(x)<0，根据f(x)为定义在R上且图象不间断的函数，可作出f(x)的草图如下图所示：所以当x∈(2,8)时，f(x)>0的解集为(2,4)∪(6,8)．故选D．9.【答案】BCD【解析】【分析】本题主要考查存在量词命题的应用，利用判别式Δ进行求解是解决本题的关键．属于较易题。

数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．“{1,2}m ∈”是“ln 1m <”成立的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件2．函数1()lg 2x f x x =-的零点所在区间为（ ）A ． (0,1)B ．(1,2)C ． (2,3)D ． (3,4)3．某医院拟派甲、乙、丙、丁四位专家到3所乡镇卫生院进行对口支援，若每所乡镇卫生院至少派1位专家，每位专家对口支援一所医院，则选派方案有（ ） A.18种B.24种C.36种D.48种4．若R x ∃∈，使得(2)a x x ≤-成立，则实数a 的最大值为（ ）A．B ．2C ．1D ．05．已知cos (0)()(1)1(0)x x f x f x x π≤⎧=⎨-+>⎩，则44()()33f f +-的值为（ ）A ．1-B ．12-C ．0D ．16．已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．sin ||()2cos x f x x =+ B ．sin ln ||()2cos x x f x x⋅=+C ．cos ln ||()2cos x x f x x ⋅=+ D ．cos ()xf x x=7．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如下：设得分的中位数e m ，众数0m ，平均数x ，下列关系正确的是（ ）A ．0e m m x ==B ．0e m m x =<C ．0e m m x <<D ．0e m m x <<8．已知函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x +是偶函数，(1)f x -是奇函数，()f x 在[1,1]-上单调递增，则（ ） A ．(0)(2020)(2019)f f f >> B ．(0)(2019)(2020)f f f >> C ．(2020)(2019)(0)f f f >>D ．(2020)(0)(2019)f f f >>二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

辽宁省鞍山市2021届新高考第一次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若1tan 2α=，则cos2=α( ) A ．45-B ．35C ．45D ．35【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二倍角余弦公式与弦化切即可得到结果． 【详解】 ∵1tan 2α=， ∴22222211cos sin 1tan 34cos21cos sin 1tan 514ααααααα---====+++， 故选D 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．2．下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ） A ．2y x =+ B ．y sinx =C ．3y x x =-D ．2x y =【答案】C 【解析】 【分析】依次判断函数的值域和奇偶性得到答案. 【详解】A. 2y x =+，值域为R ，非奇非偶函数，排除；B. y sinx =，值域为[]1,1-，奇函数，排除；C. 3y x x =-，值域为R ，奇函数，满足；D. 2x y =，值域为()0,∞+，非奇非偶函数，排除； 故选：C .本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.3．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且//AB CD ，若正方体的六个面所在的平面与直线CE EF ，相交的平面个数分别记为m n ，，则下列结论正确的是（ ）A ．m n =B ．2m n =+C ．m n <D ．8m n +<【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，画出几何位置图形，由图形的位置关系分别求得,m n 的值，即可比较各选项. 【详解】如下图所示，CE ⊂平面ABPQ ，从而//CE 平面1111A B PQ ，易知CE 与正方体的其余四个面所在平面均相交， ∴4m =，∵//EF 平面11BPPB ，//EF 平面11AQQ A ，且EF 与正方体的其余四个面所在平面均相交， ∴4n =，∴结合四个选项可知，只有m n =正确. 故选：A. 【点睛】本题考查了空间几何体中直线与平面位置关系的判断与综合应用，对空间想象能力要求较高，属于中档题. 4．已知函数()3cos f x x m x =+，其图象关于直线3x π=对称，为了得到函数2()3g x m x=+的图象，只需将函数()f x 的图象上的所有点（ ） A ．先向左平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 B ．先向右平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的1，纵坐标保持不变C ．先向右平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 D ．先向左平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 【答案】D 【解析】 【分析】由函数()f x 的图象关于直线3x π=对称，得1m =，进而得()cos 2sin 2cos 63f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用图像变换求解即可【详解】由函数()f x 的图象关于直线3x π=对称，得3f π⎛⎫=⎪⎝⎭322m +=1m =，所以()cos 2sin 2cos 63f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2cos2g x x =，故只需将函数()f x 的图象上的所有点“先向左平移3π个单位长度，得2cos ,y x =再将横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变,得()2cos2g x x =”即可. 故选：D 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查图像变换，考查运算求解能力，是中档题5．已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是上底面1111D C B A 上的动点.给出以下四个结论中，正确的个数是（ ）①与点D P 形成一条曲线，则该曲线的长度是2π；②若//DP 面1ACB ，则DP 与面11ACC A 所成角的正切值取值范围是⎣；③若DP =，则DP 在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】①与点D P 形成以1D 的1圆弧MN ，利用弧长公式，可得结论；②当P 在1A （或1)C 时，DP 与面11ACC A 所成角1DA O ∠（或1)DC O ∠的正切值为63最小，当P 在1O 时，DP 与面11ACC A 所成角1DO O ∠的正切值为2最大，可得正切值取值范围是6[,2]；③设(P x ，y ，1)，则2213x y ++=，即222x y +=，可得DP 在前后、左右、上下面上的正投影长，即可求出六个面上的正投影长度之和． 【详解】 如图：①错误， 因为()222211312D P DP DD =-=-= ，与点D 距离为3的点P 形成以1D 为圆心，半径为2的14圆弧MN ，长度为122242⋅π⋅=π； ②正确，因为面11//A DC 面1ACB ，所以点P 必须在面对角线11A C 上运动，当P 在1A （或1C ）时，DP 与面11ACC A 所成角1DA O ∠（或1DC O ∠）的正切值为63最小（O 为下底面面对角线的交点），当P 在1O 时，DP 与面11ACC A 所成角1DO O ∠的正切值为2最大，所以正切值取值范围是6,2⎡⎤⎢⎥⎣；③正确，设(),,1P x y ，则2213x y ++=，即222x y +=，DP 在前后、左右、上下面上的正投影长分别为21y +，21x +，22x y +，所以六个面上的正投影长度之()2222112112222622y x y x ⎛⎫+++++++≤+= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当P 在1O 时取等号.故选：C .【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点，综合性强，属于难题．6．设椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 、C 为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF 交直线AC 于M ，且M 为AC 的中点，则椭圆E 的离心率是（ ） A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】C 【解析】 【分析】连接OM ，OM 为ABC ∆的中位线，从而OFM AFB ∆∆，且12OF FA=，进而12c a c =-，由此能求出椭圆的离心率. 【详解】如图，连接OM ，椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 、C 为椭圆上关于原点对称的两点，不妨设B 在第二象限， 直线BF 交直线AC 于M ，且M 为AC 的中点∴OM 为ABC ∆的中位线， ∴OFMAFB ∆∆，且12OF FA=， 12c a c ∴=-， 解得椭圆E 的离心率13c e a ==. 故选：C 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了运算求解能力，属于基础题.7．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ） A ．2550100,,777B ．252550,,1477C ．100200400,,777 D ．50100200,,777【答案】D 【解析】 【分析】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,易知123,,a a a 成等比数列,1232,50q a a a =++=,结合等比数列的性质可求出答案. 【详解】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,则123,,a a a 成等比数列,且公比1232,50q a a a =++=,则1(1a q +)250q +=,故1250501227a ==++,2110027a a ==,23120027a a ==. 故选:D. 【点睛】本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.8．已知正三角形ABC 的边长为2，D 为边BC 的中点，E 、F 分别为边AB 、AC 上的动点，并满足2AE CF =，则DE DF ⋅的取值范围是（ ）A ．11[,]216- B ．1(,]16-∞ C ．1[,0]2-D ．(,0]-∞【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出直线:1)AB y x =+，:1)AC y x =-设出点(1)),(,1))E m m F n n +-，通过||2||AE CF =，找出m 与n 的关系．通过数量积的坐标表示，将DE DF ⋅表示成m 与n 的关系式，消元，转化成m 或n 的二次函数，利用二次函数的相关知识，求出其值域，即为DE DF ⋅的取值范围． 【详解】以D 为原点，BC 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建系，设(1,0),(1,0)A B C -，则直线:1)AB y x =+ ，:1)AC y x =-设点(1)),(,1))E m m F n n +-，10,01m n -≤<<≤所以(,3),(1,1))AE m m CF n n ==-- 由||2||AE CF =得224(1)m n =- ，即2(1)m n =- ，所以22713(1)(1)4734()816DE DF mn m n n n n ⋅=-+-=-+-=--+， 由12(1)0m n -≤=-<及01n <≤，解得112n ≤<，由二次函数2714()816y n =--+的图像知，11[,]216y ∈-，所以DE DF ⋅的取值范围是11[,]216-．故选A ．【点睛】本题主要考查解析法在向量中的应用，以及转化与化归思想的运用．9．己知a =544log 21b =， 2.913c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >>D ．c a b >>【答案】B 【解析】 【分析】先将三个数通过指数，对数运算变形104661a ==>=，2.95544411log log 10,012133b c ⎛⎫⎛⎫=<=<=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭再判断. 【详解】因为104661a ==>=， 2.95544411log log 10,012133b c ⎛⎫⎛⎫=<=<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以a c b >>， 故选：B. 【点睛】本题主要考查指数、对数的大小比较，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题.10．等差数列{}n a 中，已知51037a a =，且10a <，则数列{}n a 的前n 项和n S *()n N ∈中最小的是（ ）A ．7S 或8SB ．12SC ．13SD ．14S【答案】C 【解析】 【分析】设公差为d ，则由题意可得()()113479a d a d +=+，解得1451a d =-，可得1(554)51n n a a -=.令554051n -<，可得 当14n ≥时，0n a >，当13n ≤时，0n a <，由此可得数列{}n a 前n 项和()*n S n N ∈中最小的. 【详解】解：等差数列{}n a 中，已知51037a a =，且10a <，设公差为d ， 则()()113479a d a d +=+，解得 1451a d =-， 11(554)(1)51n n a a a n d -∴=+-=.令554051n -<，可得545n >，故当14n ≥时，0n a >，当13n ≤时，0n a <， 故数列{}n a 前n 项和()*n S n N ∈中最小的是13S.故选：C. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式的应用，属于中档题. 11．方程2(1)sin 10x x π-+=在区间[]2,4-内的所有解之和等于( ) A ．4 B ．6C ．8D ．10【答案】C 【解析】 【分析】画出函数sin y x =π和12(1)y x =--的图像，sin y x =π和12(1)y x =--均关于点()1,0中心对称，计算得到答案. 【详解】2(1)sin 10x x π-+=，验证知1x =不成立，故1sin 2(1)x x π=--，画出函数sin y x =π和12(1)y x =--的图像，易知：sin y x =π和12(1)y x =--均关于点()1,0中心对称，图像共有8个交点，故所有解之和等于428⨯=.【点睛】本题考查了方程解的问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数关于点()1,0中心对称是解题的关键.12．体育教师指导4个学生训练转身动作，预备时，4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时，每次都让3个学生“向后转”，若4个学生全部转到面朝正北方向，则至少需要“向后转”的次数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】【分析】通过列举法，列举出同学的朝向，然后即可求出需要向后转的次数.【详解】“正面朝南”“正面朝北”分别用“∧”“∨”表示，利用列举法，可得下表，原始状态第1次“向后转”第2次“向后转”第3次“向后转”第4次“向后转”∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨可知需要的次数为4次.故选：B.【点睛】本题考查的是求最小推理次数，一般这类题型构造较为巧妙，可通过列举的方法直观感受，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

辽宁省葫芦岛市六校协作体2021届高三数学上学期11月月考试题 理（含解析）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，三角函数.第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}41M x x x =><或，[)1,N =-+∞，则M N =（ ）A. (),-∞+∞B. ()()1,14,-+∞C. ∅D. [)()1,14,-+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可求出结果.【详解】因为{}41M x x x =><或，[)1,N =-+∞，所以[)()1,14,M N =-+∞.故选：D.【点睛】本题考查集合的交集运算，注意仔细检查，属基础题. 2.命题“存在一个偶函数，其值域为R ”的否定为（） A. 所有的偶函数的值域都不为R B. 存在一个偶函数，其值域不为R C. 所有的奇函数的值域都不为R D. 存在一个奇函数，其值域不为R 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用命题的否定的定义得到答案.【详解】命题“存在一个偶函数，其值域为R ”的否定为：“所有的偶函数的值域都不为R ”故答案选A【点睛】本题考查特称命题的否定，考查推理论证能力3.函数()ln ||f x x =的定义域为（） A. [)1,-+∞B. [)()1,00,-⋃+∞C. (],1-∞-D.()()1,00,-+∞【答案】B 【解析】 【分析】分别计算两部分的定义域，求交集得到答案.【详解】函数()ln ||f x x∵3300xx -⎧-≥⎪⎨>⎪⎩，∴[1,0)(0,)x ∈-+∞.故答案选B【点睛】本题考查函数的定义域，考查运算求解能力4.若10b a =，且a 为整数，则“b 能被5整除”是“a 能被5整除”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】分别考虑充分性和必要性，得到答案.【详解】若a 能被5整除，则10b a =必能被5整除； 若b 能被5整除，则10ba =未必能被5整除 故答案选B .【点睛】本题考查充分条件、必要条件，考查推理论证能力5.若函数()23f x x ax a =-++在[]1,2上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A. 3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】 【分析】对函数进行配方，根据一元二次函数的图象和性质可知对称轴要在给定区间右侧，由此即可求出a 的范围.【详解】依题意，()22239324a a f x x ax a x a ⎛⎫=-++=--++⎪⎝⎭在[]1,2上单调递增， 由二次函数的图象和性质，则322a ≥，解得43a ≥.故选：C.【点睛】本题考查一元二次函数的图象和性质，研究二次函数的单调性问题关键在于判断对称轴与给定区间的位置关系，属基础题. 6.将曲线2sin(4)5y x π=+上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得曲线关于y 轴对称，最后得到的曲线的对称轴方程为（） A. 3()808k x k ππ=+∈Z B. 3()808k x k ππ=-+∈Z C. 3()202k x k ππ=+∈Z D. 3()202k x k ππ=-+∈Z 【答案】D 【解析】 【分析】由函数图像的伸缩变换可得曲线为2sin(2)5y x π=+，再由对称变换可得曲线2sin(2)5y x π=-+，再令2()52x k k πππ-+=-∈Z ，运算即可得解.【详解】解：将曲线2sin(4)5y x π=+上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍后得到曲线2sin(2)5y x π=+，再将所得曲线关于y 轴对称，得到曲线2sin(2)5y x π=-+，令2()52x k k πππ-+=-∈Z ，得3()202k x k ππ=-+∈Z ， 故选D.【点睛】本题考查三角函数图象的伸缩变换与对称变换及函数图像的对称轴方程，考查运算求解能力，属中档题. 7.函数()421xf x x =+的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】先判断()f x 的奇偶性，由此可排除C 与D ，再求23f ⎛⎫⎪⎝⎭，令其跟1比较，据此可排除C ，从而可得到正确选项. 【详解】因为()()421x f x f x x --==-+，所以()421xf x x =+为奇函数，排除C 与 D.因为21081397f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以排除B ，所以A 正确. 故选：A.【点睛】本题考查函数图象的判断，根据函数的性质和利用赋值进行排除是解决此类问题的常用方法，属中档题.8.下列不等式正确的是（ ） A. 3sin130sin 40log 4>> B. tan 226ln 0.4tan 48<< C. ()cos 20sin 65lg11-<<D. 5tan 410sin 80log 2>>【答案】D 【解析】 【分析】根据3sin 40log 4,ln 0.40tan 226,cos(20)sin 70sin 65<1<<<-=>，利用排除法，即可求解．【详解】由3sin 40log 4,ln 0.40tan 226,cos(20)cos 20sin 70sin 65<1<<<-==>， 可排除A 、B 、C 选项，又由551tan 410tan 501sin80log log 22=>>>=>， 所以5tan 410sin 80log 2>>． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及对数的比较大小问题，其中解答熟记三角函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9.已知cos 270.891︒=)cos72cos18︒+︒的近似值为（）A. 1.77B. 1.78C. 1.79D. 1.81【答案】B 【解析】分析】化简式子等于2cos27︒，代入数据得到答案.【详解】()cos72cos18sin18cos18184563=+=︒+︒︒︒︒=︒+︒︒ )cos72cos1820.891 1.782︒+︒≈⨯=，)cos72cos18︒+︒的近似值为1.78.故答案选B【点睛】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力10.已知函数()f x 的导函数'()f x 满足()(1)'()0f x x f x ++>对x ∈R 恒成立，则下列判断一定正确的是（ ） A. (0)02(1)f f << B. 0(0)2(1)f f << C. 02(1)(0)f f << D. 2(1)0(0)f f <<【答案】B 【解析】 【分析】根据题意及选项构造函数()()()1g x x f x =+，然后求导判断出函数()g x 的单调性，再根据单调性判断出各值的大小，进而得到结论． 【详解】由题意设()()()1g x x f x =+，则()()()()'1'0g x f x x f x =++>， 所以函数()g x 在R 上单调递增， 所以()()()101g g g -<<，即()()0021f f <<．故选B ．【点睛】当题目条件中有含有导函数的不等式，而所求结论与判断函数值的大小有关时，解题时一般需要通过构造函数来解决．构造函数时要根据题意及积或商的导数来进行，然后判断出所构造的函数的单调性，进而可比较函数值的大小．11.已知定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =-，且()f x 的图象关于点(3,0)对称，当12x 时，3 ()2log (43)f x x x =++，则1609()2f =（）A. 4-B. 4C. 5-D. 5【答案】C 【解析】 【分析】由()f x 的图象关于点(3,0)对称，则()(6)0f x f x +-=，结合()(2)f x f x =-， 则可得()(8)f x f x =+，即函数()f x 的周期为8，即有16099()()22f f =，又9()52f =-， 即可得解.【详解】解：因为()f x 的图象关于点(3,0)对称，所以()(6)0f x f x +-=.又()(2)f x f x =-，所以(2)(6)0f x f x -+-=，所以()(4)f x f x =-+，则()(8)f x f x =+，即函数()f x 的周期为8，所以160999()(1008)()222f f f =+⨯=， 因为99()(6)022f f +-=，()393()()3log 9522f f =-=-+=-，所以1609()52f =-， 故选C.【点睛】本题考查函数的对称性与周期性，考查推理论证能力与抽象概括能力. 12.若函数()()3220f x x axa =-<在6,23a a +⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值，则a 的取值不可能为（ ）A. 6-B. 5-C. 4-D. 3-【答案】D 【解析】先求出()f x 的单调性，可得极大值3a f ⎛⎫⎪⎝⎭，根据单调性可知，()f x 在6,23a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最大值即为3a f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，只需令633a a f f +⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可，故可求出()327af x =-的解3a x =或6a x =-，则6336a a a+<≤-，解之即可求得结果.【详解】令()()23f x x x a '=-，得10x =，()203ax a =<. 当03a x <<，()0f x '<；当3ax <或0x >时，()0f x '>. 从而()f x 在3ax =处取得极大值3327a a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.根据单调性可知，()f x 在6,23a a +⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值即为3a f ⎛⎫⎪⎝⎭， 由()327a f x =-，得22033a a x x ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3a x =或6a x =-.()f x 在6,23a a +⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值，即633a a f f +⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴6336a a a+<≤-，∴4a ≤-. 故选：D.【点睛】本题考查根据函数的最值求参数的范围，要求学生会利用导数研究函数的最值，本题关键在于得出函数极大值即为最大值的结论，由此可列不等式求解，属中档题.第Ⅱ卷二、填空题：把答案填在答题卡的相应位置.13.设函数2lg ,0()1,04xx x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎩，则((10))f f -=________.【答案】16【分析】直接代入数据得到答案.【详解】2((10))(2)416f f f -=-== 故答案16【点睛】本题考查分段函数求值，考查运算求解能力 14.函数()ln f x x x =-的极小值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】对函数求导，研究单调性，根据极小值的概念即可得到结果. 【详解】()1x f x x-'=，当01x <<时，()0f x '<； 当1x >时，()0f x '>. 故()f x 的极小值为()11f =. 故答案为：1.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，要求学生掌握求极值的方法，属基础题.15.直线210y +=与曲线cos y x =，在33,42ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的交点的个数为________. 【答案】3 【解析】 【分析】判断31cos 42π⎛⎫-=<- ⎪⎝⎭，画出图像得到答案. 【详解】如图所示：31cos 422π⎛⎫-=-<- ⎪⎝⎭直线210y +=与曲线cos y x =在33,42ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上有3个交点.【点睛】本题考查三角函数的图象及函数与方程，考查数形结合的数学方法，16.张军自主创业，在网上经营一家干果店，销售的干果中有松子、开心果、腰果、核桃，价格依次为120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元千克，为增加销量，张军对这四种干果进行促销:一次购买干果的总价达到150元，顾客就少付x (2x ∈Z)元.每笔订单顾客网上支付成功后，张军会得到支付款的80%.①若顾客一次购买松子和腰果各1千克，需要支付180元，则x =________；②在促销活动中，为保证张军每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为_____.【答案】 (1). 10 (2). 18.5 【解析】 【分析】①结合题意即可得出；②分段列出式子，求解即可。

2021-2022学年辽宁省名校联盟高三（上）联考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x−2x≤0}，集合B={x|e x−1>1}，A∩(∁R B)=()A. (1,2]B. (0,2]C. (0,1]D. [0,1]2.“lna>lnb”是“ab>1”的()条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要3.已知复数z=(1−i1+i )2021+(1+i1−i)2022，则z的共轭复数z−=()A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i4.已知平面向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(0,2)，c⃗=(2,1)，若(a⃗−λb⃗ )//c⃗，则λ=()A. 14B. 34C. 54D. 25.人们通常把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，因为它的底边和腰长的比值等于黄金分割比√5−12，我们熟悉的五角星就是由5个黄金三角形和1个正五边形组成的，如图，△ABC就是一个黄金三角形，根据以上信息，可得sin54°=()A. 1+√54B. 3+√58C. 4+√58D. 2√5−146.2021年5月11日，全国第七次人口普查的结果正式公布，截止到2020年，全国人口总数约为14亿，下列各选项的数字与14亿最接近的是()(参考数据：e≈2.718，ln2≈0.7，ln5≈1.6，ln7≈1.9)A. e19.11B. e20.03C. e21.06D. e22.117.已知函数f(x)=x2−4x，g(x)=x2+5√x2+1，若对于∀x1∈[a,a+1]，∃x2∈[0,2√2]，使得f(x1)≤g(x2)，则a的取值范围是()A. [−1,4]B. [6−5√33,3+5√33]C. [2−2√2,1+2√2]D. [0,3]8.已知函数f(x)=a(x+cosx)−e x在(0,π)上恰有两个极值点，则a的取值范围是()A. (0,1)B. (−∞,eπ)C. (0,e−π)D. (eπ,+∞)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 下列说法正确的有( )A. 命题∃x <0，x 2+x +1<0的否定是∀x <0，x 2+x +1≥0B. 若复数z 1，z 2满足|z 1|=|z 2|，则z 12=z 22C. 若平面向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=|b ⃗ |，则a ⃗ 2=b ⃗ 2D. 在△ABC 中，若tanAtanB >1，则△ABC 为锐角三角形10. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2022>0，a 2021+a 2022<0，则( )A. 数列{a n }是递增数列B. 数列{S n }是递增数列C. S n 的最小值是S 2021D. 使得S n 取得最小正数的n =404211. 著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC 的外心为O ，重心为G ，垂心为H ，M 为BC 中点，且AB =4，AC =2，则下列各式正确的有( )A. AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4B. AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−6C. OH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2HM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 12. 已知定义在R 上的函数f(x)图像连续，满足f(x)−f(−x)=6sinx −2x ，且x >0时，f′(x)<3cosx −1恒成立，则不等式f(x)≥f(x −π3)−π3+3sin(x +π3)中的x 可以是( )A. −π6B. 0C. π6D. π3三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 写出一个同时具有下列性质①②③的数列{a n }，①无穷数列；②递减数列；③每一项都是正数，则a n =______．14. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，满足f(x +2)=−f(x)，当x ∈[−1,0]，f(x)=e x −1，则f(2021)=______．15. 已知函数f(x)=4cosωxsin(ωx +π6)(ω>0)在x ∈(0,π)上恰有2个极大值点，则ω的取值范围是______．16. 已知正数x ，y 满足xy 2(x +6y)=1，当x =______时，x +3y 取得最小值，最小值是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知数列{a n }满足a 3=16，a n+1=an2a n +1．(1)求证：数列{1a n}是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若____，求数列{b n }的前n 项和T n ． (在①b n =a n a n+1；②b n =(−1)n a n；③b n =1a n+(13)1a n三个条件中选择一个补充在第(2)问中，并对其求解)18. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0≤φ≤π)的图像如图所示． (1)求函数f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图像上每一点的横坐标缩短为原来的12，再向右平移π8个单位，再向上平移1个单位，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)图像的对称轴方程和对称中心坐标．19. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且三条边的长度a ，b ，c 是三个连续的正整数(a <b <c)．(1)若△ABC 是直角三角形，且∠ACB 的平分线交AB 于点D ，求CD 的长； (2)若△ABC 是钝角三角形，求△ABC 的面积．20.已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，满足a1=1，S n+2−2S n+1=S n−2S n−1(n≥2)．(1)求{a n}的通项公式；(2)求数列{2n+1a n}前n项和T n；(3)在(2)的条件下，若∀n∈N+，T n≥10(1−1a n)−λ，求λ的最小值．21.已知函数f(x)=(x2−2x)e x+2ex−e2lnx．(1)求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求证：f(x)>0．22.已知函数f(x)=23x3−(2a+1)x2+4ax+163a2．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)只有1个零点x0，且x0<0，求a的取值范围；(3)当a=−14时，是否存在正整数k，使得关于x的方程|f(sinx)+f(cosx)|=k有解？如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|x−2x≤0}={x|0<x≤2}，集合B={x|e x−1>1}={x|x>1}，∴∁R B={x|x≤1}，A∩(∁R B)={x|0<x≤1}=(0,1]．故选：C．求出集合A，集合B，从而求出∁R B，由此能求出A∩(∁R B)．本题考查集合的运算，考查并集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：由题意可得lna>lnb等价于a>b>0，即有ab>1成立，而由ab>1不一定可推得lna>lnb，如a=−2，b=−1，lna，lnb没有意义，所以“lna>lnb”是“ab>1”的充分不必要条件，故选：A．由题意可得lna>lnb等价于a>b>0，反之可以举例说明不成立，即可判断出结论．本题考查了对数函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力了与计算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：∵1−i1+i =−i，1+i1−i=i，∴z=(1−i1+i )2021+(1+i1−i)2022=(−i)2021+i2022=−i2021+(i2)1011=−i⋅(i2)1010+(−1)=−i+(−1)=−1−i，∴z的共轭复数z−=−1+i，故选：C．利用复数的四则运算先化简1−i 1+i ，1+i1−i ，再代入复数z 中，利用i 2=−1化简复数z ，从而求出z 的共轭复数z −．本题主要考查了复数的四则运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．4.【答案】B【解析】解：根据题意，向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(0,2)，c ⃗ =(2,1)， 则a ⃗ −λb ⃗ =(1,2−2λ)，若(a ⃗ −λb ⃗ )//c ⃗ ，则有2(2−2λ)=1， 解可得：λ=34， 故选：B ．根据题意，求出a ⃗ −λb ⃗ 的坐标，进而可得2(2−2λ)=1，解可得答案． 本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：由BC AC=√5−12.△ABC 为等腰三角形且顶角36°，所以sin18°=√5−14，sin54°=cos36°=1−2sin 218°=√5+14，故选：A ．由顶角是36°的等腰三角形底边与腰的比值可得18°的正弦值，再由诱导公式可得sin54°=cos36°，再由二倍角公式，求出54°的正弦值．本题考查黄金三角形的性质的应用及诱导公式和二倍角公式的应用，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：∵1400000000=2×7×108=29×7×58，∴ln(29×7×58 )=ln29+ln7+ln58=9ln2+ln7+8ln5≈9×0.7+1.9+8×1.6=21． 故选：C ．根据已知条件，结合对数函数的公式，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数公式是解本题的关键，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：g(x)=2√x 2+1=√x 2+1+√x 2+1，x ∈[0,2√2]，令t =√x 2+1，则t ∈[1,3]， 则ℎ(t)=t +4t ，t ∈[1,3]，因为ℎ(t)在[1,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增， 所以ℎ(t)min =ℎ(2)=4，又ℎ(1)=5，ℎ(3)=133，所以ℎ(t)max =5，所以g(x)min =4，g(x)max =5，因为对于∀x 1∈[a,a +1]，∃x 2∈[0,2√2]，使得f(x 1)≤g(x 2)， 所以f(x)min ≤g(x)min =4，f(x)max ≤g(x)max =5，函数f(x)=x 2−4x ，x ∈[a,a +1]，图象开口向上，对称轴x =2，当a +1≤2，即a ≤1时，则{f(x)min =f(a +1)=(a +1)2−4(a +1)≤4f(x)max =f(a)=a 2−4a ≤5，解得−1≤a ≤1；当a ≥2时，则{f(x)max =f(a +1)=(a +1)2−4(a +1)≤5f(x)min =f(a)=a 2−4a ≤4，解得2≤a ≤4；当1<a <1.5时，则{f(x)min =f(2)=22−4×2≤4f(x)max =f(a)=a 2−4a ≤5，解得1<a <1.5；当1.5≤a <2时，则{f(x)max =f(a +1)=(a +1)2−4(a +1)≤5f(x)min =f(2)=22−4×2≤4，解得1.5≤a <2．综上可得，a 的取值范围是[−1,4]． 故选：A ．求出g(x)的最值，由题意可得f(x)min ≤g(x)min ，f(x)max ≤g(x)max ，由二次函数的图象与性质，对a 分类讨论，求出f(x)的最值，列不等式组，即可求解a 的取值范围． 本题主要考查函数恒成立问题，考查分类讨论思想与转化思想的运用，考查运算求解能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：因为f(x)=a(x +cosx)−e x ， 所以f′(x)=a −asinx −e x ，令f′(x)=0得a=e x1−sinx (x≠2kπ+π2,k∈Z)，令g(x)=e x1−sinx (x≠2kπ+π2,k∈Z)，因为函数f(x)=a(x+cosx)−e x在(0,π)上恰有两个极值点，所以g(x)=a有两个零点，又g′(x)=e x(1−sinx+cosx)(1−sinx)2(x≠2kπ+π2,k∈Z)，令g′(x)>0，得0<x<π2，令g′(x)<0，得π2<x<π，所以函数g(x)在(0,π2)上单调递增，在(π2,π)上单调递减，由于g(0)=1，g(π)=eπ，画出函数g(x)的大致图像，如图所示，因为g(x)=a有两个零点，所以函数y=g(x)与y=a的图像有两个交点，根据函数g(x)的图像，由数形结合法可得a>eπ，即a∈(eπ,+∞)，故选：D．根据题意，求出函数f(x)的导数，令f′(x)=0可得a=e x1−sinx (x≠2kπ+π2,k∈Z)，，再令g(x)=e x1−sinx (x≠2kπ+π2,k∈Z)，原问题可以转化为g(x)=a有两个零点，求出g(x)的导数，分析g(x)的单调性，画出函数g(x)的大致图像，再利用数形结合法即可求出a的取值范围．本题考查导数与极值问题，考查转化与化归、函数与方程的数学思想以及运算求解能力和推理论证能力，是中档题．9.【答案】ACD【解析】解：对于A：命题∃x<0，x2+x+1<0的否定是∀x<0，x2+x+1≥0，故A正确；对于B：若复数z1，=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)满足|z1|=|z2|，则a2+b2=c2+d2，则z12=a2+b2+2abi，z22=c2+d2+2cdi，故z12≠z22，故B 错误；对于C：平面向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=|b⃗ |，则a⃗2=b⃗ 2，故C正确；对于D：在△ABC中，若tanAtanB>1，整理得：sinAsinBcosAcosB−1>0，化简为sinAsinB−cosAcosBcosAcosB >0，整理得cos(A+B)cosAcosB<0，即cosCcosAcosB>0，则△ABC为锐角三角形，故D正确．故选：ACD．直接利用命题的否定，复数的运算，向量的模，三角函数的关系式的变换，三角形形状的判定的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：命题的否定，复数的运算，向量的模，三角函数的关系式的变换，三角形形状的判定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．10.【答案】AC【解析】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a2022>0，a2021+a2022<0，对于A，由题意a2022>0，a2021<0，即公差d>0，所以数列{a n}是递增数列，故A 正确；对于B，由题意a2022>0，a2021<0，所以数列{S n}是先减后增数列，故B错误；对于C，由题意a2022>0，a2021<0，所以S n的最小值是S2021，故C正确；对于D，由S4043=12(a1+a4043)×4043=4043a2022>0，S4042=12(a1+a4042)×4042=2021(a2021+a2022)<0，使得S n取得最小正数的n=4043，故D错误．故选：AC．由等差数列的定义可判断公差大于0，可判断A；结合数列的项的符号，可判断B、C；由等差数列的求和公式和性质，可判断D．本题考查等差数列的通项公式、求和公式的运用和性质，考查转化思想和运算能力，属于中档题．11.【答案】BCD【解析】解：对于A ：∵G 为△ABC 的重心， ∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ²−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ²)=13(4−16)=−4，故A 错误，对于B ：∵O 为外心，∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ²，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ²， ∴AO⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ²−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ²=−6，故B 正确， 对于C ：∵OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵G 为重心，∴GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，∴13OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 即OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故C 正确； 对于D ：如图所示，由OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可得MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13MH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即GM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13HM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6GM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6(23OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13HM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=4OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2HM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故D 正确． 故选：BCD ．利用重心的性质、平面向量的运算法则及数量积运算判断A ；利用外心的性质和数量积运算判断B ；利用重心的性质及欧拉线定理可判断C ；由欧拉线定理及平面向量的线性运算即可判断D ．本题考查平面向量的线性运算，数量积运算，以及三角形的三心问题，考查学生分析问题的能力和推理论证能力，属于中档题．12.【答案】ABC【解析】解：由f(x)−f(−x)=6sinx−2x整理得f(x)+x−3sinx=f(−x)+(−x)−3sin(−x)，设g(x)=f(x)+x−3sinx，则有g(x)=g(−x)，所以g(x)是偶函数，因为x>0时，f′(x)<3cosx−1，所以g′(x)=f′(x)+1−3cosx<0，所以g(x)在(0,+∞)单调递减，又g(x)是偶函数，所以g(x)在(−∞,0)单调递增，又不等式f(x)≥f(x−π3)−π3+3sin(x+π3)等价于：f(x)+x−3sinx≥f(x−π3)+(x−π3)−3sin(x−π3)，即g(x)≥g(x−π3)，根据g(x)的单调性和奇偶性可得|x|≤|x−π3|，解得x≤π6．故选：ABC．由题意首先确定函数的单调性和函数的奇偶性，然后结合函数的性质得到关于x的不等式，求解不等式确定x的取值范围即可确定其可能的取值．本题主要考查函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性，函数性质的综合应用等知识，属于中等题．13.【答案】1n2(答案不唯一)【解析】解：根据题意，要求的数列可以为a n=1n2，故答案为：1n2(答案不唯一)．根据题意，由题目要求的数列性质，分析可得答案．本题考查数列的表示方法，涉及数列的函数特性，属于基础题．14.【答案】e−1e【解析】解：因为f(x+2)=−f(x)，则f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，故f(x)的周期为4，又f(x)为奇函数且当x∈[−1,0]，f(x)=e x−1，所以f(2021)=f(4×505+1)=f(1)=−f(−1)=−(e−1−1)=e−1e．故答案为：e−1e．先判断函数的周期性，然后利用周期性将f(2021)转化为f(−1)，再利用奇偶性以及已知的解析式求解即可．本题考查了函数性质的综合应用，函数的周期性、奇偶性的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．15.【答案】(76,13 6]【解析】解：f(x)=4cosωxsin(ωx+π6)+1=4cosωx(sinωxcosπ6+cosωxsinπ6)=4cosωxsinωx×√32+4cosωxcosωx×12=√3sin2ωx+cos2ωx+1=2sin(2ωx+π6)+1，∵x∈(0,π)，∴π6<2ωx+π6<2ωπ+π6，∵f(x)=2sin(2ωx+π6)+1(ω>0)在x∈(0,π)上恰有2个极大值点，∴5π2<2ωπ+π6≤9π2，解得76<ω≤136，故答案为：(76,13 6].利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式将函数进行化简，结合题意利用三角函数的最值性质进行求解即可．本题主要考查三角函数的恒等变形，利用辅助角公式将函数进行化简以及利用三角函数的性质解决问题是关键，属于中档题．16.【答案】√6−√3√6【解析】解：由xy 2(x +6y)=1得x 2y 2+6y 3x −1=0， 得x =−6y 3±√36y 6+4y 22y 2=−3y ±√9y 4+1y， 又∵x ，y >0，∴取x ==−3y +√9y 4+1y，∴x +3y =√9y 4+1y=√9y 2+1y 2≥√2√9y 2⋅1y 2=√6，当且仅当9y 2=1y 2，即y =√33时等号成立，此时x =−√3√2√33=−√3+√6．故答案为：√6−√3，√6．由xy 2(x +6y)=1得x 2y 2+6y 3x −1=0，得x =−6y 3±√36y 6+4y 22y 2=−3y ±√9y 4+1y，代入x +3y ，再利用基本不等式可求得其最小值．本题考查一元二次方程根的求法及基本不等式应用，考查数学运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)证明：由a n+1=a n 2a n +1，可得1a n+1=1a n +2，由a 3=16，可得a 2=14，a 1=12，则数列{1a n}是首项和公差为2的等差数列，所以1a n=2+2(n −1)=2n ，则数列{a n }的通项公式为a n =12n ；(2)选①，b n =a n a n+1=14n(n+1)=14(1n −1n+1)，则T n =14(1−12+12−13+...+1n −1n+1)=14(1−1n+1)=n4n+4； 选②，b n =(−1)n a n=(−1)n (2n)，当n 为偶数时，T n =(−2+4)+(−6+8)+...+(−2n +2+2n)=2⋅n2=n ；当n 为奇数时，T n =T n−1+a n =n −1−2n =−n −1， 所以T n ={−1−n,n 为奇数n,n 为偶数；选③，b n =1a n+(13)1a n =2n +(19)n ，则T n =(2+4+...+2n)+(19+181+...+19n )=12n(2+2n)+19(1−19n)1−19=n+n2+18−18×9n．【解析】(1)将数列的递推式两边取倒数，结合等差数列的定义，可得证明；再由等差数列的通项公式可得所求；(2)选①，运用数列的裂项相消求和可得所求和；选②，分别讨论n为偶数和奇数，由并项求得，可得所求和；选③，由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等差数列的定义和通项公式，以及数列的求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由图可知A=2，又因为3T4=13π12−π3，所以T=π，又因为T=2π|ω|，所以ω=2，又由f(13π12)=2，得2sin(2×13π12+φ)=2，可得2×13π12+φ=kπ+π2，k∈Z，可得φ=kπ−5π3，k∈Z，因为0≤φ≤π，可得k=2时，φ=π3，所以f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+π3).(2)将函数f(x)的图像上每一点的横坐标缩短为原来的12，可得函数解析式为y=2sin(4x+π3)，再向右平移π8个单位，可得函数解析式为y=2sin[4(x−π8)+π3]=2sin(4x−π6)，再向上平移1个单位，得到函数g(x)=2sin(4x−π6)+1，令4x−π6=kπ+π2，k∈Z，解得x=14kπ+π6，k∈Z，可得函数g(x)图像的对称轴方程是x=14kπ+π6，k∈Z，令4x−π6=kπ，k∈Z，解得x=14kπ+π24，k∈Z，可得函数g(x)图像的对称中心坐标是(14kπ+π24,1)k ∈Z ．【解析】(1)由函数的图像的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由f(13π12)=2求出φ的值，可得函数的解析式．(2)由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出函数g(x)的解析式，进而根据正弦函数的性质即可求解．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律以及正弦函数的性质，考查了函数思想，属于基础题．19.【答案】解：设△ABC 三条边的长度分别为b −1，b ，b +1(b ≥2且b ∈N ∗)，(1)由勾股定理得(b −1)²+b²=(b +1)²，解得b =4或b =0(舍)， 则三边长度分别为3，4，5， 易知sinB =45，cosB =35，在△BCD 中，sin∠BDC =sin(π−∠B −∠BCD)=sin(B +45°)=45×√22+35×√22=7√210， 由正弦定理得BC sin∠BDC =CDsinB ，即7√210=CD45，解得CD =12√27．(2)由题意得cosC =(b−1)2+b 2−(b+1)22b(b−1)<0，整理得b 2−4b <0，解得0<b <4，由三角形两边之和大于第三边可得b −1+b >b +1，解得b >2，所以2<b <4，故B b =3，则三边长度分别是a =2，b =3，c =4， 此时cosC =4+9−162×2×3=−14，因为C ∈(π2,π)，所以sinC =√1−cos 2C =√154，所以△ABC 的面积S =12absinC =12×2×3×√154=3√154．【解析】(1)利用勾股定理可求得三边的长度，从而可求得sinB ，cosB ，再由诱导公式及两角和的正弦可求得sin∠BDC ，在△BCD 中，利用正弦定理即可求解CD 的长；(2)由余弦定理及cosC <0可求得b 的取值范围，再结合三角形两边之和大于第三边即可求得b ，从而可得三边的长，利用余弦定理可求得cosC ，由同角三角函数的基本关系可求得sinC ，再利用三角形面积公式求解即可．本题主要考查正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意可得a n >0，q >0，若q =1，则(n +2)−2(n +1)=n −2(n −1)，即0=2不成立， 所以q 不为1， 所以1−q n+21−q−2(1−q n+1)1−q=1−q n 1−q−2(1−q n−1)1−q，化为(2−q)q n−1(1−q 2)=0， 解得q =2(−1,1舍去)， 所以a n =2n−1； (2)2n+1a n=(2n +1)⋅(12)n−1，前n 项和T n =3⋅(12)0+5⋅(12)1+7⋅(12)2+...+(2n +1)⋅(12)n−1，12T n =3⋅(12)1+5⋅(12)2+7⋅(12)3+...+(2n +1)⋅(12)n ，上面两式相减可得12T n =3+1+(12)1+(12)2+(12)3+...+(12)n−2−(2n +1)⋅(12)n =3+1−12n−11−12−(2n +1)⋅(12)n ，化简可得T n =10−(2n +5)⋅(12)n−1； (3)T n ≥10(1−1a n)−λ即为λ≥10−102n−1−10+2n+52n−1=2n−52n−1，设b n =2n−52n−1，b n+1−b n =2n−32n−2n−52n−1=7−2n 2n，当1≤n ≤3时，b 4>b 3>b 2>b 1，当n ≥4时，b n+1−b n <0，即b n+1<b n ，即有b 4>b 5>b 6>...， 综上可得{b n }的最大值为b 4=38， 所以λ≥38， 故λ的最小值为38．【解析】(1)由等比数列的求和公式，解方程可得所求通项公式；(2)由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和；(3)由参数分离和数列的单调性求得最值，可得所求最小值．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的错位相减法求和、不等式恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)f(x)=(x2−2x)e x+2ex−e2lnx，f(1)=−e+2e=e，f′(x)=(x2−2)e x+2e−e2，∴f′(1)=−e+2e−e2=e−e2．x∴f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为：y−e=(e−e2)(x−1)，化为：(e−e2)x−y−e2=0．(2)证明：要证明：f(x)>0，即证明(x−2)e x>e2lnx−2e，x−2e，分别令：g(x)=(x−2)e x，ℎ(x)=e2lnxxg′(x)=(x−1)e x，可得：x=1时，函数g(x)取得极小值即最小值，g(1)=−e．ℎ′(x)=e2(1−lnx)，x2可得函数ℎ(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，∴函数ℎ(x)在x=e时取得极大值即最大值，ℎ(e)=−e，而函数g(x)与ℎ(x)不是在同一点取得−e，因此对于∀x∈(0,+∞)，都有：(x2−2x)e x+2ex−e2lnx>0．即f(x)>0．【解析】(1)f(x)=(x2−2x)e x+2ex−e2lnx，可得f(1)，f′(x)，f′(1)，再利用点斜式即可得出．(2)要证明：f(x)>0，即证明(x−2)e x>e2lnx−2e，分别令：g(x)=(x−2)e x，ℎ(x)=xe2lnx−2e，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明结论．x本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、切线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)f′(x)=2x2−2(2a+1)x+4a=2(x−1)(x−2a)，时，f′(x)=2(x−1)2≥0，所以f(x)在R上是增函数；当a=12当a <12时，令f′(x)>0，解得x <2a 或x >1； 令f′(x)<0，解得2a <x <1，所以f(x)在(−∞,2a]和[1,+∞)是增函数，在[2a,1]是减函数． 当a >12时，令f′(x)>0，解得x <1或x >2a ； 令f′(x)<0，解得1<x <2a ，所以f(x)在(−∞,1]和[2a,+∞)是增函数，在[1,2a]是减函数． (2)由(1)可知，a =0.5时满足题意，f(x)在R 上是增函数， 因为f(0)=43>0且x →−∞，f(x)→−∞， 所以f(x)只有1个零点x 0，且x 0<0，符合题意； 当a <12时，需要满足：{f(0)>0f(1)>0，即{163a 2>0163a 2+2a −13>0， 解得a <−12或18<a <12； 当a >12时，需要满足：{f(0)>0,f(2a)>0,即{163a 2>0,−83a 3+283a 2>0解得12<a <72． 综上所述，a 的取值范围是(−∞,−12)∪(18,72)． (3)当a =−14时，f(x)=23x 3−12x 2−x +13，f(sinx)+f(cosx)=23(sin 3x +cos 3x)−12(sin 2x +cos 2x)−(sinx +cosx)+23 =23(sinx +cosx)(sin 2x −sinxcosx +cos 2x)−12−(sinx +cosx)+23 =(sinx +cosx)(23−23sinxcosx)−(sinx +cosx)+16 =(sinx +cosx)(23−23sinxcosx −1)+16 =−13(sinx +cosx)(1+2sinxcosx)+16 =−13(sinx +cosx)3+16=−2√23sin 3(x +π4)+16，因为sin(x +π4)∈[−1,1]，所以|f(sinx)+f(cosx)|∈[0,2√23+16]，因为1<2√23+16<2，所以存在k =1，使得关于x 的方程|f(sinx)+f(cosx)|=k 有解．【解析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后讨论其单调性即可；(2)首先确定函数的单调性，然后分类讨论求解关于a的不等式组即可求得a的取值范围；(3)由函数的解析式将f(sinx)+f(cosx)进行变形，然后求解其取值范围即可确定是否存在满足题意的实数k．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的零点，导数与三角函数想结合的问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．。

2021届辽宁省抚顺市六校协作体高三一模数学试题一、单选题1．已知集合{|10}M x x =->，{}2|10N x x =<，则M N =( )A ．{|x x >B ．{|110}x x <<C ．{|x x >D ．{|1x x <<【答案】D【分析】先化简集合M 和集合N ，再对M ，N 求交集得解.【详解】因为{|1}M x x =>，{|N x x =<，所以{|1M N x x ⋂=<<．故选：D2．已知z 在复平面内对应的点的坐标为()2,1-，则21zz =-（ ） A ．3i + B ．13i -C ．1i -D ．2i -【答案】A【分析】由题意知2z i =-，进一步求出答案.【详解】由题意知2z i =-，所以()()()()()22221231111i i i z i z i i i --+===+---+． 故选：A.3．每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，要用分层抽样的方法从中抽检27家，则粮食加工品店需要被抽检（ ） A ．20家 B ．10家C ．15家D ．25家【答案】A【分析】确定抽样比，即可得到结果.【详解】解：根据分层抽样原理知，粮食加工品店需要被抽检10027202010015⨯=++（家）. 故选：A.4．已知抛物线2:(0)C y mx m =>上的点(,2)A a 到其准线的距离为4，则m =（ ）A ．14B ．8C ．18D ．4【答案】C【分析】首先根据抛物线的标准方程的形式，确定2p的值，再根据焦半径公式求解. 【详解】21x y m=，()0m >， 因为点(,2)A a 到C 的准线的距离为4，所以1244m+=，得18m =．故选：C5．《周牌算经》是我国古代的天文学和数学著作，其中有一个问题大意如下：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(即太阳照射物体的影子长度增加和减少的大小相同)，二十四个节气及晷长变化如图所示，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(注：一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则立秋晷长为（ ）A ．五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸【答案】D【分析】首先根据题意转化为等差数列，根据等差数列的项求通项公式，再求项. 【详解】设从夏至到冬至，每个节气晷长为n a ，即夏至时晷长为115a =，冬至时晷长为13135a =，由每个节气晷长损益相同可知，1n n a a +-=常数，所以{}n a 为等差数列，设公差为d ，由题意知，131121512135a a d d =+=+=，解得10d =，则413153045a a d =+=+=，四十五寸即四尺五寸.故选：D6．2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式0lnMv v m=⋅计算火箭的最大速度()m/s v ，其中()0m/s v 是喷流相对速度，()kg m 是火箭（除推进剂外）的质量，()M kg 是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”．若A 型火箭的喷流相对速度为1000m/s ，当总质比为500时，A 型火箭的最大速度约为（lg 0.434e ≈，lg 20.301≈）（ ） A ．4890m/s B ．5790m/sC ．6219m/sD ．6825m/s【答案】C【分析】根据题意把数据代入已知函数可得答案. 【详解】0lg5003lg 2ln 1000ln 500100010006219/lg lg M v v m s m e e-==⨯=⨯=⨯≈． 故选：C.7．P 为双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）上一点，1F ，2F 分别为其左、右焦点，O 为坐标原点.若OP b =，且2112sin 3sin PF F PF F ∠∠＝，则C 的离心率为（ ）A ．BC ．2D 【答案】B【分析】结合正弦定理、余弦定理以及双曲线的定义，求得c =，由此求得双曲线的离心率.【详解】由2112sin 3sin PF F PF F ∠∠＝，以及正弦定理可得213PF PF =， 因为122PF PF a -=，所以13PF a =，2PF a =， 因为2OF c =，OP b =，所以22OPF π∠=，所以2cos aOF Pc， 在12F F P 中，22212223cos cos 22a c a a F F POF Pa cc.化简可得c =，所以C 的离心率==ce a. 故选：B8．在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了10个小球，其中9个是白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球．方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；方法二：在10箱中各任意摸出两个小球．将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为1p 和2p ，则（ ） A ．12p p = B ．12p p <C ．12p p >D ．以上三种情况都有可能 【答案】B【分析】分别计算1p 和2p ，再比较大小. 【详解】方法一：每箱中的黑球被选中的概率为110，所以至少摸出一个黑球的概率2019110p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．方法二：每箱中的黑球被选中的概率为15，所以至少摸出一个黑球的概率102415p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．10201010124948105105100p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则12p p <．故选：B.【点睛】概率计算的不同类型： （1）古典概型、几何概型直接求概率；（2）根据事件间的关系利用概率加法、乘法公式求概率； （3）利用对立事件求概率；（4）判断出特殊的分布列类型，直接套公式求概率.二、多选题 9．在3nx⎛-⎝的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则（ ） A ．二项式系数和为64 B ．各项系数和为64 C ．常数项为135- D ．常数项为135【答案】ABD【分析】先根据题意，分别对四个选项一一验证： 求出n =6，得到二项展开式的通项公式， 对于A: 二项式系数和为2n ,可得；对于B:赋值法，令1x =，可得；对于C 、D:利用二项展开式的通项公式，可得.【详解】在3nx⎛⎝的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，令1x =，得各项系数和为2n ，二项式系数和为2n ，则22128n ⨯=，得6n =，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A 、B 正确；63x⎛- ⎝展开式的通项为()()366h k62166C 3C 13kk k k k k T x x ---+⎛=⋅⋅=⋅-⋅ ⎝， 令3602k -=，得4k =，因此，展开式中的常数项为()44256C 13135T =⋅-⋅=． 故D 正确. 故选：ABD.【点睛】二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析． 10．已知函数()22ln f x a x x b =++.（ ）A ．当1a =-时，()f x 的极小值点为()1,1b +B ．若()f x 在[)1,+∞上单调递增，则[)1,a ∈-+∞ C ．若()f x 在定义域内不单调，则(),0a ∈-∞ D ．若32a =-且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与曲线x y e =-相切，则2b =- 【答案】BC【分析】A 选项用极值点的概念进行判断，B 选项由()'0f x ≥利用分离常数法来判断，C 选项结合()'fx 以及对a 进行分类讨论来进行判断，D 选项通过曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程求得b 来进行判断.【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()2'2222a x af x x x x+=+=. 根据极值点定义可知，极小值点不是坐标，A 错误； 由()220af x x x'=+≥得2≥-a x ， 因为1≥x ，所以1a ≥-，B 正确；因为()22222a a x f x x x x+'=+=， 当0a ≥时，()0f x '>恒成立，当0a <时，()0f x '>不恒成立，函数不单调，C 正确；32a =-，()232f x x x'=-+，所以()11f '=-，()11f b =+，所以切线方程为()()11y b x -+=--，即2y x b =-++， 设切点横坐标为0x ，则01x e -=-，故00x =，切点()0,1-，代入2y x b =-++得3b =-，D 错误. 故选：BC【点睛】与单调性有关的恒成立问题，可利用分离常数法来进行求解.11．如图，在平行四边形ABCD 中，1AB =，2AD =，60A ∠=︒，沿对角线BD 将ABD △折起到PBD △的位置，使得平面PBD ⊥平面BCD ，下列说法正确的有（ ）A ．平面PCD ⊥平面PBDB ．三棱锥P BCD -四个面都是直角三角形C ．PD 与BC 3D ．过BC 的平面与PD 交于M ，则MBC △21 【答案】ABD【分析】先根据勾股定理判断BD CD ⊥，再由面面垂直得线线垂直，可判断AB ，以D 为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量可计算线线角判断C ，由点M 到BC 的距离222733477MB BC d MB a BC ⎛⎫⋅⎛⎫ ⎪=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可判断D. 【详解】BCD △中，1CD =，2BC =，60A ∠=︒， 由余弦定理可得3BD =，故222BD CD BC +=， 所以BD CD ⊥，因为平面PBD ⊥平面BCD 且平面PBD 平面BCD BD =，所以CD ⊥平面PBD ，CD PD ⊥； 同理PB ⊥平面CBD ， 因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面BPD ，A ，B 正确； 以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()3,0,0B，()0,1,0C ，()3,0,1P，因为()3,0,1DP =，()3,1,0BC =-，所以3cos ,4BC DPBC DP BC DP ⋅==-，即PD 与BC 所成角的余弦值为34，C 错误；因为M 在线段PD 上，设()3,0,M a a ，则()33,0,MB a a =--，所以点M 到BC 的距离2222733733424477MB BC a a d MB a BC ⎛⎫⋅⎛⎫ ⎪=-=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当37a =时，d 取得最小值217，此时MBC △面积取得最小值12121277BC ⨯=，D 正确. 故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题中D 较难，解题的关键是利用空间向量计算点线距，利用的22MB BC d MB BC ⎛⎫⋅⎪=- ⎪⎝⎭，进而坐标化得最值. 12．已知函数2()2sin cos 2cos 1f x a x x x ωωω=-+(0,0)a ω>>，若()f x 的最小正周期为π，且对任意的x ∈R ，()0()f x f x ≥恒成立，下列说法正确的有（ ）A ．2ω=B ．若06x π=-，则a =C．若022f x π⎫⎛-= ⎪⎝⎭，则a =D ．若()()2|()|g x f x f x =-在003,4x x πθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，则324ππθ≤< 【答案】BCD【分析】化简函数，由最小正周期求得参数ω，再结合选项一一判断即可． 【详解】因为2()2sin cos 2cos 1f x a x x x ωωω=-+sin2cos2)ax x x ωωωϕ=-=-，其中cos ϕ=sin ϕ=．因为()f x 的最小正周期为π，所以1ω=，故A 错误．因为对任意的x ∈R ，()0()f x f x ≥恒成立，以()0f x 是()f x 的最小值． 若06x π=-，则22()62k k ππϕπ⎫⎛⨯--=-+∈ ⎪⎝⎭Z ，2()6kk πϕπ=-∈Z ．所以cos 2ϕ==，a =B 正确． 因为()0f x 是()f x 的最小值，所以02f x π⎫⎛-⎪⎝⎭2=，所以a =C 正确．因为当003,42x x x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0f x >，所以()()=-g x f x ． 因为()f x 在003,42x x ππ⎛⎫- ⎝-⎪⎭上单调递增，所以()g x 在003,42x x ππ⎛⎫- ⎝-⎪⎭上单调递减．当00,24x x x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0f x >，所以()()=-g x f x ．因为()f x 在00,24x x ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，所以()g x 在00,24x x ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，所以000342x x x ππθ-<-≤-，所以324ππθ≤<，故D 正确． 故选：BCD三、填空题13．已知单位向量a ，b 满足|2|3a b -=，则a 与b 的夹角为________． 【答案】3π（或写成60︒）【分析】将等式|2|3a b -=两边平方即可. 【详解】因为222|2|443a b a a b b -=-⋅+=， 所以12a b ⋅=， 所以1cos ,2a b 〈〉=，[],0π,3a b a b π∈=，，．故答案为：3π.14．函数概念最早出现在格雷戈里的文章《论圆和双曲线的求积》（1667年）中.他定义函数是这样一个量：它是从一些其他量出发，经过一系列代数运算而得到的，或者经过任何其他可以想象到的运算得到的.若一个量c a b =+，而c 所对应的函数值()f c 可以通过()()()f c f a f b =⋅得到，并且对另一个量d ，若d c >，则都可以得到()()f d f c >.根据自己所学的知识写出一个能够反映()f c 与c 的函数关系式：_________.【答案】()2cf c =（单调递增的指数函数都可以）.【分析】若()2x f x =，得f （c ）2c =，满足f （c ）f =（a ）f ⋅（b ），且()2x f x =在R 上是增函数，满足题意，所以单调递增的指数函数都可以．【详解】解：若()2xf x =，得()2c f c =，()()222a b a bf a f b +⋅=⋅=，而()()()f c f a f b =⋅，即22c a b +=，则c a b =+成立①， 又由()2xf x =在R 上是增函数，而d c >，则()()f d f c >成立②，结合①②()f c 与c 的函数关系式为：()2cf c =.故答案为：()2cf c =（单调递增的指数函数都可以）.15．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的序号是______.①“等腰四面体”每个顶点出发的三条棱一定可以构成三角形； ②“等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形；③三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为④三组对棱长度分别为a ，b ，c 的“等腰四面体”【答案】①②③【分析】将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为a ，b ，c ，与之对应的长方体的长宽高分别为x ，y ，z ，然后结合长方体的性质分别检验各选项即可判断．【详解】解：将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为a ，b ，c ，与之对应的长方体的长宽高分别为x ，y ，z ，则222222222x y a y z b x z c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩， 故22222a c b x +-=，22222a b c y +-=，22222b c a z +-=，结合图像易得①②正确；三组对棱长度分别为5a =，6b =，7c =，则x =y =z ， 因为等腰四面体的体积是对应长方体体积减去四个小三棱锥的体积，所以等腰四面体的体积1114323xyz xyz xyz -⨯⨯==③正确； 三组对棱长度分别为a ，b ，c 的“等腰四面体”的外接球直径2R ④错误.故答案为：①②③.【点睛】关键点点睛：对棱相等的四面体可以内接于长方体，借助长方体的性质处理问题降低了思维量.四、双空题16．直线()():213430l a x a y a -+-+-=与圆()2229x y -+=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为_________；此时a =_________.【答案】2743. 【分析】判断出直线l 恒过定点()1,1，根据圆的几何性质求得弦长AB 的最小值，进而求得a 的值.【详解】∵直线()():213430l a x a y a -+-+-=恒过定点()1,1， ∴当圆心与点()1,1的连线与直线AB 垂直时，弦长AB 最小， ∵圆心()2,0与点()1,1()()2221012-+-=3，∴弦长AB 的最小值为29227-=∵圆心()2,0与点()1,1连线的斜率为10112-=--，∴此时直线l 的斜率为1， 由2113a a --=-，解得43a =. 故答案为：2743五、解答题17．a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边.已知3sin a b A =，3a =，32c =.（1）若b c <，求b ； （2）求cos 2C .【答案】（1）b =（2）13-或4751. 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得sin B ，然后求得cos B ，利用余弦定理求得b .（2）由（1）求得cos B =，由此进行分类讨论，求得cos C 的值，进而求得cos 2C 的hi.【详解】（1）因为3sin a b A =， 所以sin 3sin sin A B A =， 因为sin 0A >，所以1sin 3B =，因为b c <，所以B C <，所以B 为锐角，可得cos B =，由余弦定理可得b =（2）由（1）可知，cos B =，当cos 3B =时，b =222cos 23a b c C ab +-==-，可得21cos 22cos 13C C =-=-；当cos 3B =-时，b 222cos2a b c C ab +-==可得247cos 22cos 151C C =-=. 【点睛】利用同角三角函数的基本关系式求值时，要注意可能有两个解.18．为了解华人社区对接种新冠疫苗的态度，美中亚裔健康协会日前通过社交媒体，进行了小规模的社区调查，结果显示，多达73.4%的华人受访者最担心接种疫苗后会有副作用.其实任何一种疫苗都有一定的副作用，接种新型冠状病毒疫苗后也是有一定副作用的，这跟个人的体质有关系，有的人会出现副作用，而有的人不会出现副作用.在接种新冠疫苗的副作用中，有发热、疲乏、头痛等表现.为了了解接种某种疫苗后是否会出现疲乏症状的副作用，某组织随机抽取了某地200人进行调查，得到统计数据如下：（1）求22⨯列联表中的数据x ，y ，m ，n 的值，并确定能否有85%的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关.（2）从接种疫苗的n 人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出8人，再从8人中随机抽取3人做进一步调查.若初始总分为10分，抽到的3人中，每有一人有疲乏症状减1分，每有一人没有疲乏症状加2分，设得分结果总和为X ，求X 的分布列和数学期望.【答案】（1）60，20，40，80，有；（2）分布列见解析，554. 【分析】（1）根据所给数据补全未知量，再代入公式，根据所得结果比对数据表，即可得解；（2）求出得分结果总和X 的所有可能，然后求出对应的概率，利用期望公式直接求解即可.【详解】（1）由题意得：20016040m =-=，2020y m =-=，16010060x =-=，602080n x y =+=+=，因为()2220010********* 2.083 2.072160401208012K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯.所以有85%的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关.（2）从接种疫苗的n 人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出8人，可知8人中无疲乏症状的有6人，有疲乏症状的有2人，再从8人中随机抽取3人，当这3人中恰有2人有疲乏症状时，10X =；当这3人中恰有1人有疲乏症状时，13X =；当这3人中没有人有疲乏症状时，16X =.因为()21263831028C C P X C ===；()122638151328C C P X C ===；()03263851614C C P X C ===.所以X 的分布列如下：期望()1013162828144E X =⨯+⨯+⨯=. 19．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，11321n n n a a a +--+=，11a =，24a =． （1）证明：数列{}11n n a a +-+是等比数列； （2）求n S ．【答案】（1）证明见解析；（2）225242n n n nS ++=--．【分析】（1）由11321n n n a a a +--+=可得()1121n n n n a a a a +--=-+，等式两边同时加1，即可证明结论；（2）由（1）利用等比数列的通项公式可得1112n n n a a ++-+=，即1112n n n a a ++-=-，再利用累加法求出n a ，然后利用分组求法求出n S 【详解】（1）证明：因为11321n n n a a a +--+=， 所以()1121n n n n a a a a +--=-+，即11121n n n n a a a a +--+=-+． 因为11a =，24a =，所以2114a a -+=，故数列{}11n n a a +-+是首项为4，公比为2的等比数列． （2）解：由（1）知1112n n n a a ++-+=．因为()()112n n n n n a a a a a ---=-+-()211a a a +⋅⋅⋅+-+()23222(1)1n n =++⋅⋅⋅+--+，所以122n n a n +=--．所以()231222(12)2n n S n n +=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+-()412(1)2122n n n n -+=---，故225242n n n n S ++=--．【点睛】关键点点睛：此题考查了数列递推关系，等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查计算能力，第（2）问解题的关键是由（1）得1112n n n a a ++-+=，再利用累加法求出通项公式，然后利用等比数列和等差数列的求和公式可求出n S ，属于中档题20．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 是BB 1的中点，点F 在棱AB 上，且AF ＝2FB ，设直线BD 1、DE 相交于点G ．（1）证明：GF ∥平面A 1A 1D 1D ． （2）求二面角D ﹣CE ﹣D 1的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）53【分析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行，根据比例关系，证明1//FG AD ，即可证明；（2）以点C 为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面DCE 和平面CED 1的法向量m 和n ，利用法向量求二面角的余弦值.【详解】（1）证明：连接AD 1，因为点E 是BB 1的中点，所以DD 1＝2BE ，所以BG ＝3BD 1，因为AF ＝2FB ，所以BF ＝3BA ，所以FG ∥AD 1，又因为AD 1⊂平面A 1A 1D 1D ，FG ⊄平面A 1A 1D 1D ， 所以GF ∥平面A 1A 1D 1D ．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，CE ＝（0，1，12），CD ＝（1，0，0），1CD ＝（1，0，1）， 设平面DCE 和平面CED 1的法向量分别为m ＝（x ，y ，z ），n ＝（u ，v ，w ），1020CE m y z CD m x ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩，令z ＝2，m ＝（0，﹣1，2）， 11020CE n v w CD n u w ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令w ＝2，n ＝（﹣2，﹣1，2）， 因为二面角D ﹣CE ﹣D 1为锐角， 所以二面角D ﹣CE ﹣D 1的余弦值为||55||||353m n m n ⋅==⋅⋅．【点睛】方法点睛：求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，求得对应平面的法向量之间夹角的余弦值，再判断锐二面角或钝二面角，确定结果，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大； 二是传统方法，利用垂直关系和二面角的定义，找到二面角对应的平面角，再求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角. 21．已知函数()()1ln f x a x a R x=+∈，()21g x x x x =--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()()()F x f x g x =+存在两个极值点1x ，2x ，且曲线()y F x =在12x x x =()y G x =，求使不等式()()F x G x <成立的x 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）2a ⎛ ⎝. 【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a 进行分类讨论，确定导数符号，进而确定函数的单调性；（2）先对()F x 求导，然后结合极值存在条件可转化为()0F x '=有两个不等正实数解，结合二次方程根的存在条件及方程的根与系数关系及导数几何意义求出切线方程，构造函数()()()h x F x G x =-，结合导数与单调性关系进而可求． 【详解】解：（1）()21-='ax f x x ， 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，函数()f x 在()0,∞+上单调递减， 当0a >时，易得当1x a >时，()0f x '>，当10x a<<时，()0f x '<，故()f x 在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， （2）()()()2ln F x f x g x a x x x =+=+-，所以()2221a x x aF x x x x-+'=+-=，0x >，因为()()()F x f x g x =+存在两个极值点1x ，2x ，所以()220x x aF x x-+'==有两个不等正实数解，即220x x a -+=有两个不等式正根，所以18002a a∆=->⎧⎪⎨>⎪⎩，解得108a <<， 因为122a x x =，x ==所以1F '=-，ln 222a a a F =+所以曲线()y F x =在x =()ln 1222a a a y x ⎛⎛-+=- ⎝⎝， 即()()31ln 222a a a G x y x ==-+-， 令()()()23ln ln 222a a a h x F x G x x a x =-=+-+-， ()20h x x'==>，故()h x 在()0,∞+上单调递增，且0h =，故当0x <<()0h x <，即()()F x G x <， 故x的范围⎛ ⎝. 【点睛】关键点点睛：解不等式比较常用的方法是构造新函数，研究函数的单调性，明确函数的零点，即可明确不等式何时成立.22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(c,0)F ，离心率12e =．（1）若P 为椭圆C 上一动点，证明P 到F 的距离与P 到直线2a x c=的距离之比为定值，并求出该定值；（2）设1c =，过定点(0,)c 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在y 轴上是否存在一点Q ，使得y 轴始终平分MQN ∠？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；定值12；（2）存在；(0,3)Q ． 【分析】（1）根据两点距离公式，结合已知进行证明即可；（2）根据1c =求出椭圆的方程，将直线方程与椭圆方程联立得到一元二次方程，根据一元二次方程的根与系数关系，结合直线的斜率公式进行求解即可.【详解】解：（1）设点()00,P x y ，则2200221x y a b+=．因为||PF ===0c a x a=-， 点P 到直线2a x c =的距离20a d x c=-，所以20||12c a x PF c a e a d a x c-====-， 即P 到F 的距离与P 到直线2a x c=的距离之比为定值12．（2）因为1c =，12e =，所以2a =，b =C 的方程为22143x y +=．假设存在这样的一点Q ，设(0,)Q t ，直线:1l y kx =+，联立方程组221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()2234880k x kx ++-=，()296210k ∆=+>． 设()11,M x y ，()22,N x y ，则122834k x x k -+=+，122834x x k-=+．因为y 轴平分MQN ∠，所以直线QM 与QN 的斜率互为相反数， 即121211QM QN kx t kx t k k x x +-+-+=+()1212122(1)0kx x t x x x x +-+==，所以22882(1)3434k k t k k --⋅+-⋅++22168(1)8(3)03434k k t k t k k ----===++，因为8(3)0k t -=与k 无关，所以3t =．故在y 轴上存在一点(0,3)Q ，使得y 轴始终平分MQN ∠．【点睛】关键点睛：由y 轴平分MQN ∠，得到直线QM 与QN 的斜率互为相反数，这是解题的关键.。

2021年辽宁省名校高考数学第一次联考试卷一、选择题（共8小题）.1．已知集合U＝{x|﹣1≤x≤3}，A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则∁U A＝（）A．{﹣1}B．{3}C．{﹣1，3}D．∅2．复数＝（）A．1﹣3i B．1+3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i3．以点（3，﹣1）为圆心，且与直线x﹣3y+4＝0相切的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2＝20B．（x﹣3）2+（y+1）2＝10C．（x+3）2+（y﹣1）2＝10D．（x+3）2+（y﹣1）2＝204．在（2﹣x）6展开式中，x2的系数为（）A．240B．﹣240C．﹣160D．1605．已知sinα+cosα＝，且α∈（0，π），sinα﹣cosα＝（）A．B．C．D．6．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点M（x0，2）到焦点F的距离|MF|＝x0，则p ＝（）A．1B．2C．4D．57．某保鲜封闭装置由储物区与充氮区（内层是储物区用来放置新鲜易变质物品，充氮区是储物区外的全部空间，用来向储物区输送氮气从而实现保鲜功能）．如图所示，该装置外层上部分是半径为2半球，下面大圆刚好与高度为3的圆锥的底面圆重合，内层是一个高度为4的倒置小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆锥的底面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，为了保存更多物品，充氮区空间最小可以为（）A．4πB．C．D．8．已知函数f（x）＝x+．若曲线y＝f（x）存在两条过（2，0）点的切线，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（8，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（8，+∞）C．（﹣∞，0）∪（8，+∞）D．（﹣∞，﹣8）∪（0，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图为某省高考数学卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）．根据对比图，其中正确的为（）A．近三年容易题分值逐年增加B．近三年中档题分值所占比例最高的年份是2019年C．2020年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上D．近三年难题分值逐年减少10．设正实数a，b满足a+b＝1，则（）A．+有最小值4B．有最大值C．有最大值D．a2+b2有最小值11．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，其特点是圆的周长和面积同时被平分，充分体现了相互转化、对称统一、和谐共存的特点．若函数y＝f（x）的图象能够将圆的周长和面积同时平分，则称函数f（x）为这个圆的“和谐函数”．给出下列命题中正确的有（）A．对于任意一个圆，其“和谐函数”至多有2个B．函数f（x）＝ln（x+）可以是某个圆的“和谐函数”C．正弦函数y＝sin x可以同时是无数个圆的“和谐函数”D．函数f（x）＝2x+1不是“和谐函数”12．已知f（x）＝，则下列有关函数g（x）＝f[f（x）]﹣πf（x）﹣π在[﹣3，5]上零点的说法正确的是（）A．函数g（x）有5个零点B．函数g（x）有6个零点C．函数g（x）所有零点之和大于2D．函数g（x）正数零点之和小于4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．写出两个与终边相同的角．14．2021年的两会政府工作报告中提出：加强全科医生和乡村医生队伍建设，提升县级医疗服务能力，加快建设分级诊疗体系，让乡村医生“下得去、留得住”．为了响应国家号召，某医科大学优秀毕业生小李和小王，准备支援乡村医疗卫生事业发展，在康庄、青浦、夹山、河东4家乡村诊所任选两家分别就业，则小李选择康庄且小王不选择夹山的概率为．15．在边长为2的正三角形ABC中，D是BC的中点，＝2，CE交AD于F．①若＝x+y，则x+y＝；②•＝．16．已知数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝2a n+1，若b n+1＝（n﹣2t）（a n+1），b1＝﹣t，且数列{b n}是单调递增数列，则实数t的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2B+cos2C﹣cos2A＝1﹣sin B sin C．（1）求A；（2）若a＝，求△ABC的面积的最大值．18．已知首项为2的数列{a n}中，前n项和S n满足S n＝tn2+n（t∈R）．（1）求实数t的值及数列{a n}的通项公式a n；（2）将①b n＝，②b n＝2+a n，③b n＝2•a n，三个条件任选一个补充在题中，求数列{b n}的前n项和T n．19．目前，新能源汽车尚未全面普及，原因在于技术水平有待提高，国内几家大型汽车生产商的科研团队已经独立开展研究工作．吉利研究所、北汽科研中心、长城攻坚战三个团队两年内各自出成果的概率分别为，m，．若三个团队中只有长城攻坚战出成果的概率为．（1）求吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内至少有一个出成果的概率及m的值；（2）三个团队有X个在两年内出成果，求X分布列和数学期望．20．正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世届上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正四面体QPTR和一个正八面体AEFBHC的棱长都是a（如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体．（1）求新多面体的体积；（2）求二面角A﹣BF﹣C的余弦值；（3）求新多面体为几面体？并证明．21．已知函数f（x）＝．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若对于∀x∈[0，]，f（x）≤kx恒成立，求实数k的取值范围．22．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦距为2b，经过点P（﹣2，1）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足＝，直线PM，PN分别交椭圆于AB，PQ⊥AB，Q为垂足，是否存在定点R，使得|QR|为定值，说明理由．参考答案一、选择题（共8小题）.1．已知集合U＝{x|﹣1≤x≤3}，A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则∁U A＝（）A．{﹣1}B．{3}C．{﹣1，3}D．∅解：∵集合U＝{x|﹣1≤x≤3}，A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，∴∁U A＝{﹣1，3}．故选：C．2．复数＝（）A．1﹣3i B．1+3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i 解：＝．故选：A．3．以点（3，﹣1）为圆心，且与直线x﹣3y+4＝0相切的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2＝20B．（x﹣3）2+（y+1）2＝10 C．（x+3）2+（y﹣1）2＝10D．（x+3）2+（y﹣1）2＝20解：r＝＝，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y+1）2＝10．故选：B．4．在（2﹣x）6展开式中，x2的系数为（）A．240B．﹣240C．﹣160D．160解：展开式的通项公式为T＝C，令r＝2，则展开式中含x2项的系数为C，故选：A．5．已知sinα+cosα＝，且α∈（0，π），sinα﹣cosα＝（）A．B．C．D．解：把sinα+cosα＝，两边平方得：（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝﹣＜0，∵0＜α＜π，∴＜α＜π，即sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα＝＝＝＝．故选：C．6．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点M（x0，2）到焦点F的距离|MF|＝x0，则p ＝（）A．1B．2C．4D．5解：由抛物线的定义可知，|MF|＝x0+，∵|MF|＝x0，∴x0+＝x0，即x0＝p①，∵点M（x0，2）在抛物线y2＝2px上，∴（2）2＝2p•x0②，由①②解得，p＝2或﹣2（舍负），故选：B．7．某保鲜封闭装置由储物区与充氮区（内层是储物区用来放置新鲜易变质物品，充氮区是储物区外的全部空间，用来向储物区输送氮气从而实现保鲜功能）．如图所示，该装置外层上部分是半径为2半球，下面大圆刚好与高度为3的圆锥的底面圆重合，内层是一个高度为4的倒置小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆锥的底面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，为了保存更多物品，充氮区空间最小可以为（）A．4πB．C．D．解：设半球的半径为R，则R＝2，小圆锥的高为4，大圆锥的高为3，整个保鲜封闭装置的体积为＝，小圆锥的半径为r，则r2＝R2﹣（4﹣3）2＝22﹣1＝3，所以，故小圆锥的体积为，所以充氮区空间最小可以为．故选：B．8．已知函数f（x）＝x+．若曲线y＝f（x）存在两条过（2，0）点的切线，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（8，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（8，+∞）C．（﹣∞，0）∪（8，+∞）D．（﹣∞，﹣8）∪（0，+∞）解：f（x）＝x+．f′（x）＝1﹣，设切点坐标为（x0，x0+），则切线方程为：y﹣x0﹣＝（1﹣）（x﹣x0），又切线过点（2，0），可得﹣x0﹣＝（1﹣）（2﹣x0），整理得2x02+ax0﹣a＝0，曲线存在两条切线，故方程有两个不等实根，即满足△＝a2﹣8（﹣a）＞0，解得a＞0或a＜﹣8，故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图为某省高考数学卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）．根据对比图，其中正确的为（）A．近三年容易题分值逐年增加B．近三年中档题分值所占比例最高的年份是2019年C．2020年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上D．近三年难题分值逐年减少解：根据对比图，容易题这三年的分值分别为40，55，96，逐年增加，故选项A正确；2018年中档题分值76，占比最高，故选项B错误；2020年的容易题与中档题的分值之和占总分的100%＞90%，故选项C正确；难题分值分别为：34，46，12，并不是逐年减少，故选项D错误．故选：AC．10．设正实数a，b满足a+b＝1，则（）A．+有最小值4B．有最大值C．有最大值D．a2+b2有最小值解：正实数a，b满足a+b＝1，所以＝＝2+≥4，当且仅当且a+b＝1，即a＝b＝时取等号，此时取得最小值4，A正确；＝ab＝，当且仅当a＝b＝时取等号，此时取得最大值，B错误；（）2＝a+b+2＝1+2≤1+a+b＝2，当且仅当a＝b＝时取等号，故，即有最大值，C正确；a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝1﹣2ab＝，当且仅当a＝b＝时取等号，此时a2+b2取得最小值，D正确．故选：ACD．11．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，其特点是圆的周长和面积同时被平分，充分体现了相互转化、对称统一、和谐共存的特点．若函数y＝f（x）的图象能够将圆的周长和面积同时平分，则称函数f（x）为这个圆的“和谐函数”．给出下列命题中正确的有（）A．对于任意一个圆，其“和谐函数”至多有2个B．函数f（x）＝ln（x+）可以是某个圆的“和谐函数”C．正弦函数y＝sin x可以同时是无数个圆的“和谐函数”D．函数f（x）＝2x+1不是“和谐函数”解：选项A：因为过圆心的直线都可以将圆的面积周长同时平分，所以对于任意一个圆，其“和谐函数”有无数个，故A错误；选项B：因为函数f（x）＝ln（x+）是奇函数，满足和谐函数的定义，故B正确；选项C：将圆的圆心放在正弦函数的对称中心处，则正弦函数是该圆的和谐函数，故有无数个圆成立，故C正确；选项D：将圆的圆心放在函数f（x）＝2x+1图象上，则有无数个圆成立，故函数是和谐函数，故D错误，故选：BC．12．已知f（x）＝，则下列有关函数g（x）＝f[f（x）]﹣πf（x）﹣π在[﹣3，5]上零点的说法正确的是（）A．函数g（x）有5个零点B．函数g（x）有6个零点C．函数g（x）所有零点之和大于2D．函数g（x）正数零点之和小于4解：作出函数f（x）＝的图象如图所示，令f（x）＝t，则t，当时，函数g（x）＝f[f（x）]﹣πf（x）﹣π可变为，令h（t）＝0，即，即，则，解得，所以f（x）＝t＝﹣，由图可知，方程f（x）＝﹣有2个不同的实根x1，x2，且x1+x2＝﹣3；当t∈（1，+∞）时，函数g（x）＝f[f（x）]﹣πf（x）﹣π可变为＝，令p（t）＝0，即，又因为，所以方程有且仅有1个实根，则f（x）＝t，又，由图可知，方程f（x）＝t有4个不同的实根x3＜x4＜x5＜x6，由图可知，x3+x4＝1，又|log2（x﹣1）|＝t，所以log2（x5﹣1）＝﹣t，log2（x6﹣1）＝t，则，所以（x5﹣1）（x6﹣1）＝x5x6﹣（x5+x6）+1＝1，整理可得x5x6＝x5+x6＞2+2＝4，所以函数g（x）有6个零点，故选项A错误，选项B正确；x1+x2+x3+x4+x5+x6＞﹣3+1+4＝2，故选项C正确，因为x5+x6＞2+2＝4，故选项D错误．故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．写出两个与终边相同的角，（答案不唯一）．解：与终边相同的角．k∈Z，当k＝1时，α＝，当k＝2时，．故答案为：，（答案不唯一）．14．2021年的两会政府工作报告中提出：加强全科医生和乡村医生队伍建设，提升县级医疗服务能力，加快建设分级诊疗体系，让乡村医生“下得去、留得住”．为了响应国家号召，某医科大学优秀毕业生小李和小王，准备支援乡村医疗卫生事业发展，在康庄、青浦、夹山、河东4家乡村诊所任选两家分别就业，则小李选择康庄且小王不选择夹山的概率为．解：某医科大学优秀毕业生小李和小王在康庄、青浦、夹山、河东4家乡村诊所任选两家分别就业，基本事件总数n＝＝12，其中小李选择康庄且小王不选择夹山包含的基本事件个数m＝2，则小李选择康庄且小王不选择夹山的概率P＝＝＝．故答案为：．15．在边长为2的正三角形ABC中，D是BC的中点，＝2，CE交AD于F．①若＝x+y，则x+y＝；②•＝．解：如图：过E作EM∥AD，且EM∩BC＝M．由＝2，D是BC的中点得：，，故，即．所以＝．所以＝．故．易知．由已知得．所以•＝（）•（）＝＝＝．故答案为：．16．已知数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝2a n+1，若b n+1＝（n﹣2t）（a n+1），b1＝﹣t，且数列{b n}是单调递增数列，则实数t的取值范围是．解：因为a n+1＝2a n+1，即a n+1+1＝2（a n+1），所以数列{a n+1}是首项为a1+1＝2，公比为2的等比数列，则有a n+1＝2•2n﹣1，即a n＝2n﹣1，所以b n+1＝（n﹣2t）（a n+1）＝（n﹣2t）•2n，则b n＝（n﹣1﹣2t）•2n﹣1，n≥2，因为数列{b n}是单调递增数列，所以（n﹣2t）•2n＞（n﹣1﹣2t）•2n﹣1对n≥2恒成立，即n＞2t﹣1对n≥2恒成立，所以，又b2＞b1，即2（1﹣2t）＞﹣t，解得t＜，所以实数t的取值范围是．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2B+cos2C﹣cos2A＝1﹣sin B sin C．（1）求A；（2）若a＝，求△ABC的面积的最大值．解：（1）因为cos2B+cos2C﹣cos2A＝1﹣sin B sin C，所以1﹣sin2B+1﹣sin2C﹣（1﹣sin2A）＝1﹣sin B sin C．即sin2B+sin2C﹣sin2A＝sin B sin C，由正弦定理得b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理cos A＝＝，由A为三角形内角得A＝；（2）＝＝＝2，故b＝2sin B，c＝2sin C，S△ABC＝＝×4sin B sin C＝sin B sin（），＝（），＝sin2B+，＝sin2B﹣cos2B，＝sin（2B﹣）+，因为0，所以﹣＜2B﹣＜，故﹣＜sin（2B﹣）≤1，所以0＜sin（2B﹣）+≤．故△ABC的面积的最大值．18．已知首项为2的数列{a n}中，前n项和S n满足S n＝tn2+n（t∈R）．（1）求实数t的值及数列{a n}的通项公式a n；（2）将①b n＝，②b n＝2+a n，③b n＝2•a n，三个条件任选一个补充在题中，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）由题可知a1＝2，因为S n＝tn2+n，令n＝1，可得a1＝S1＝t+1＝2，解得t＝1，所以S n＝n2+n，S n﹣1＝（n﹣1）2+（n﹣1），所以a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）＝2n，当n＝1时，a1＝2也适合上式，所以数列{a n}的通项公式a n＝2n．（2）若选①b n＝＝（﹣），所以T n＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝﹣．若选②b n＝2+a n＝4n+2n，所以T n＝+n2+n＝﹣+n2+n．若选③b n＝2•a n＝2n•4n，所以T n＝2×41+4×42+6×43+…+2n•4n，4T n＝2×42+4×43+6×44+…+2n•4n+1，两式相减可得﹣3T n＝2×41+2×42+2×43+…+2•4n﹣2n•4n+1＝2×﹣2n•4n+1＝（﹣2n）4n+1﹣，所以T n＝（n﹣）4n+1+．19．目前，新能源汽车尚未全面普及，原因在于技术水平有待提高，国内几家大型汽车生产商的科研团队已经独立开展研究工作．吉利研究所、北汽科研中心、长城攻坚战三个团队两年内各自出成果的概率分别为，m，．若三个团队中只有长城攻坚战出成果的概率为．（1）求吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内至少有一个出成果的概率及m的值；（2）三个团队有X个在两年内出成果，求X分布列和数学期望．解：（1）三个团队中只有长城攻坚战出成果的概率为，则，解得，“吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内至少有一个出成果”的对立事件为“吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内都没有出成果”，则吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内至少有一个出成果的概率为＝；（2）根据题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，所以P（X＝0）＝；P（X＝1）＝＝；P（X＝2）＝＝；P（X＝3）＝＝．所以X的分布列为：X0123PX的数学期望为E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．20．正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世届上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正四面体QPTR和一个正八面体AEFBHC的棱长都是a（如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体．（1）求新多面体的体积；（2）求二面角A﹣BF﹣C的余弦值；（3）求新多面体为几面体？并证明．解：（1）连接BE、FH，交于O点，连接OA，四棱锥A﹣BFEH的高为AO，四棱锥A﹣BFEH的体积为V＝•S BFEH•AO＝＝，取PT中点N，连接NQ、NR，由NQ⊥PT，NR⊥PT，三棱锥Q﹣PTR的体积为V′＝•S△NQR•PT＝•a＝，所以新多面体的体积为2V+V′＝2•+＝．（2）取EF中点M连接AM、MC、MO，设∠AMO＝θ，cosθ＝＝＝，由几何体特征知，EF⊥MA，EF⊥MC，二面角A﹣EF﹣C的平面角为∠AMC＝2θ，cos2θ＝2cos2θ﹣1＝，因为二面角A﹣BF﹣C与二面角A﹣EF﹣C相等，所以二面角A﹣BF﹣C的余弦值为．（3）新多面体为7面体，证明如下：取AF中点H，连接EH、BH，OH，设∠OHE＝γ，sinγ＝＝＝因为AF⊥HE，AF⊥HB，所以二面角B﹣AF﹣E的平面角为∠BHE＝2γ，cos2γ＝1﹣2sin2γ＝，取RQ中点G，连接NG，设∠QNG＝α，sinα＝＝＝，因为NQ⊥PT，NR⊥PT，所以二面角Q﹣PT﹣R的平面角为∠QNR＝2α，cos2α＝1﹣2sin2α＝，所以2α与2θ、2γ都互补，于是把正四面体QPTR和正八面体AEFBHC拼接起来后，相邻面共面，所以新多面体为7面体．21．已知函数f（x）＝．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若对于∀x∈[0，]，f（x）≤kx恒成立，求实数k的取值范围．解：（1）由于f（x）＝，所以f′（x）＝，当cos x﹣sin x＞0，cos（x+）＞0，即x∈（2kπ﹣，2kπ+）（k∈Z）时，f'（x）＞0，当cos x﹣sin x＜0，cos（x+）＜0，即x∈（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）时，f'（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为（2kπ﹣，2kπ+）（k∈Z），单调递减区间为（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）；（2）令g（x）＝f（x）﹣kx＝﹣kx，要使f（x）≤kx总成立，只需x∈[0，]时g（x）max≤0，对g（x）求导，可得g′（x）＝﹣k，令h（x）＝，则h′（x）＝＜0（x∈[0，]）所以h（x）在[0，]上为减函数，而h（0）＝1，h（）＝﹣，所以h（x）∈[﹣，1]；对k分类讨论：①当k≤﹣时，g′（x）≥0恒成立，所以g（x）在[0，]上为增函数，所以g（x）max＝g（）＝﹣，即g（x）≤g（）＝﹣，由﹣≤0，解得：k≥，故≤k≤，无解；②当﹣＜k＜1时，g′（x）＝0在上有实根x0，因为h（x）在[0，]上为减函数，所以当x∈（x0，）时，g′（x）＜0，所以g（x0）＞g（0）＝0，不符合题意；③当k≥1时，g′（x）≤0恒成立，所以g（x）在[0，]上为减函数，则g（x）≤g（0）＝0，故成立；综上，可得实数k的取值范围是[1，+∞）．22．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦距为2b，经过点P（﹣2，1）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足＝，直线PM，PN分别交椭圆于AB，PQ⊥AB，Q为垂足，是否存在定点R，使得|QR|为定值，说明理由．解：（1）由题意可得，解得：a2＝8，b2＝2，所以椭圆的标准方程为：+＝1；（2）当M，N分别为椭圆的短轴上的端点时，设M（0，），N（0，﹣），则可得直线AB为y轴，由PQ⊥AB可得Q在y轴上，当M，N表示短轴的端点时，设直线AB的方程为y﹣kx+t，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理可得：（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣8＝0，x1+x2＝﹣，x1x2＝，直线PA：y﹣1＝（x+2）＝（x+2），令x＝0可得y＝，即M（0，）同理可得N（0，），由题意＝，所以+＝0整理可得：（4k+2）x1x2+（4k+2t+2）（x1+x2）+8t＝0，代入可得：（4k+2）（）+（4k+2+2t）（﹣）+8t＝0，整理可得：k（﹣4﹣2t）+t2﹣2﹣t＝0，当时，不论k为何时都成立，即t＝﹣2时恒成立，这时直线AB的方程为：y＝kx﹣2，所以直线AB恒过T（0，﹣2），因为PQ⊥AB，所以PQ⊥QT，所以Q是以PT为直径的圆上的点，又因为P（﹣2，1），所以它的圆心为（﹣1，﹣），所以设R（﹣1，﹣），则|QR|为定值，使|QR|＝|PT|，所以存在R使得|QR|为定值．21。