辽宁省六校协作体2021届高三第一次联考数学试卷

辽宁省2021年高三上学期数学第一次联考试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019高一上·浙江期中) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）在复平面内，复数对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）(2012·辽宁理) 设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）A . 20B . 35C . 45D . 554. （2分） (2015高二下·福州期中) 设函数y=f（x）在（a，b）上可导，则f（x）在（a，b）上为增函数是f′（x）＞0的（）A . 必要不充分条件B . 充分不必要条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）(2019·北京模拟) 已知函数，若函数在区间内没有零点，则的最大值是（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高二上·惠州期末) 点是双曲线上一点，是双曲线的左，右焦点，，则双曲线的离心率为（）A .B . 2C .D .7. （2分）若函数在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，则实数a的取值范围是（）A . a≤2B . 5≤a≤7C . 4≤a≤6D . a≤5或a≥78. （2分） (2019高二下·吉林期末) 已知平面向量，则（）A .B . 3C .D . 59. （2分） 10件产品，其中3件是次品，任取2件，若表示取到次品的个数，则等于（）A .B .C .D . 110. （2分）(2017·奉贤模拟) 若正方体A1A2A3A4﹣B1B2B3B4的棱长为1，则集合{x|x= ，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2016高二上·自贡期中) 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=5，则直线AC1与平面ABCD所成角的大小为________．12. （1分）已知两条直线的方程分别为l1：x﹣y+1=0和l2：2x﹣y+2=0，则这两条直线的夹角大小为________ （结果用反三角函数值表示）．13. （1分） (2017高一下·龙海期中) 当x＞1时，不等式x+ ≥a恒成立，则实数a的取值范围是________．14. （1分） (2017高一下·静海期末) 若直线 =1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为________．三、双空题 (共4题；共4分)15. （1分） (2019高三上·抚州月考) 如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且，则异面直线与所成角的正切值是________.16. （1分） (2017高二下·濮阳期末) 的展开式中的有理项共有________．17. （1分） (2018高一下·枣庄期末) 若，则 ________．18. （1分） (2016高一下·宁波期中) 已知圆C的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，则圆心C的坐标为________；过点（3，5）的最短弦的长度为________．四、解答题 (共4题；共40分)19. （10分） (2019高一上·咸阳月考) 如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB；20. （10分） (2020高二下·商丘期末) 函数，，（1）若函数，求函数的极值．（2）若在恒成立，求实数m的取值范围．21. （10分）(2020·包头模拟) 已知椭圆的右焦点为，过点且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，且与短轴两端点的连线相互垂直.（1）求椭圆C的方程；（2）若圆上存在两点M，N，椭圆上存在两个点满足：三点共线，三点共线，且，求四边形面积的取值范围.22. （10分）(2018·广东模拟) 已知函数 .（1）若函数的图象在点处的切线方程为，求，的值；（2）当时，在区间上至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、双空题 (共4题；共4分)15-1、16-1、17-1、18-1、四、解答题 (共4题；共40分) 19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

辽宁省2021版高三上学期数学第一次联考试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）(2017·新课标Ⅱ卷理) 设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（）A . {1，﹣3}B . {1，0}C . {1，3}D . {1，5}2. （2分）已知双曲线中心在原点且一个焦点为(， 0)，直线与其相交于两点，且的中点的横坐标为,则此双曲线的方程式为（）A .B .C .D .3. （2分）如下图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）A .B .C .D .4. （2分） (2020高一下·七台河期中) 设满足，则目标函数的最小值是（）A . 0B . －1C . －4D . －55. （2分）设，则“”是“”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分） (2017高三上·长葛月考) 定义在上的奇函数的一个零点所在区间为（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高一下·南昌期末) 已知某8个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为，方差为s2 ，则（）A . =5，s2＞3B . =5，s2＜3C . ＞5，s2＜3D . ＞5，s2＞38. （2分） (2019高一下·重庆期中) 下列命题正确的是（）A . 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。

B . 有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。

C . 绕直角三角形的一边旋转所形成的几何体叫圆锥。

D . 用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。

2021-2022学年辽宁省名校联盟高三上学期联合考试数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设全集U={−1,0,1,2,4}，集合A={−1,0,2}，B={0,1,2,4}，则∁U(A∩B)=()A. ⌀B. {−1,1}C. {1,4}D. {−1,1,4}2.设复数z在复平面内对应的点为(2,−1)，则2z1−i的虚部为()A. iB. −1C. 1D. 33.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以圆形攒尖为例.如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面(过圆锥旋转轴的截面)是底边长为6m，顶角为2π3的等腰三角形，则该屋顶的体积约为()A. 6πm3B. 3√3πm3C. 9√3πm3D. 12πm34.已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(cos15∘+sin15∘,cos15∘−sin15∘)，则tanα=()A. √33B. 1C. √3D. 25.在底面为正方形的长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB，P，R分别为B1D1，DD1的中点，则直线C1P与AR所成角的正弦值为()A. 12B. √22C. √32D. √1556.已知点A(−5,0)，B(5,0)，动点P(m,n)满足：直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为−1625，则4m2+n2的取值范围为()A. [16,100]B. [25,100]C. [16,100)D. (25,100)7.北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，长征系列火箭的频频发射成功，标志着我国在该领域已逐步达到世界一流水平.在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，可以用公式v=v0⋅ln(1+Mm)计算火箭的最大速度v(m/s)，其中v0(m/s)是喷流相对速度，m(kg)是火箭(除推进剂外)的质量，M(kg)是推进剂与火箭质量的总和，Mm 称为总质比，当总质比较大时，1+Mm用Mm近似计算.若将火箭的总质比从500提升到1000，则其最大速度v大约增加了()(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)A. 5%B. 11%C. 20%D. 30%8.已知函数f(x)的定义域为R，且y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线，f(x+1)为偶函数，f(2x+2)为奇函数，f(0)=0，当x∈(0,2)时，f(x)<0，则当x∈(2,8)时，f(x)>0的解集为()A. (4,5)B. (6,8)C. (5,7)D. (2,4)∪(6,8)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知命题p:∃x∈R，ax2−4x−4=0，若p为真命题，则a的值可以为()A. −2B. −1C. 0D. 310.若0<a<b，则下列结论正确的是()A. a4<ab3B. a+1b >b+1aC. a+2b>4√abD. ab<a+2b+211.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<1)的部分图像如图所示，下列结论正确的是()A. φ=−π4B. 将f(x)的图像向右平移1个单位，得到函数y =2sin π4x 的图像 C. f(x)的图像关于直线x =−1对称 D. 若|x 1−x 2|<4，则|f(x 1)−f(x 2)|<412. 斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多⋅斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式有如下定义：用a n 表示斐波那契数列的第n 项，则数列{a n }满足：a 1=a 2=1，a n+2=a n+1+a n .记∑a i n i=1=a 1+a 2+⋯+a n ，则下列结论正确的是( )A. a 10=55B. 3a n =a n−2+a n+2(n ≥3)C. ∑a i 2019i=1=a 2021D. ∑a i 22021i=1=a 2021⋅a 2022三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(3,−1)，b ⃗ =(4,−2)，且a ⃗ ⊥(λa ⃗ −b ⃗ )，则实数λ的值为 ． 14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)的解析式为f(x)= ． ①f(4−x)=f(x);②当x ∈(2,+∞)时，f ′(x )<0;③f(x)的最大值大于1．15. 已知圆C:x 2+y 2−4x −2y =0恰好被双曲线D:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线平分成周长相等的两部分，则D 的离心率为 ．16. 对于函数f(x)与g(x)，若存在x 0，使f(x 0)=−g(x 0)，则称点A(x 0,f(x 0))，B(x 0,g(x 0))是函数f(x)与g(x)图像的一对“靓点”.已知函数f(x)={|lnx|,x >0,x 2+2x +2,x ⩽0,g(x)=kx ，若函数f(x)与g(x)恰有两对“靓点”，则k 的取值范围为 ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a8=a4+8，S5=7a2．(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=a n+2a n−1，求数列{b n}的前n项和T n．18.在ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b(2−cosA)=√3asin B.(1)若a:b:c=1:2:2，则此时ΔABC是否存在⋅若存在，求ΔABC的面积;若不存在，请说明理由;(2)若ΔABC的外接圆半径为4，且b−c=a，求ΔABC的面积．219.已知圆C经过点A(−1,0)和B(5,0)，且圆心在直线x+2y−2=0上．(1)求圆C的标准方程;(2)直线l过点D(−1,1)，且与圆C相切，求直线l的方程;(3)设直线l′:x+√3y−1=0与圆C相交于M，N两点，点P为圆C上的一动点，求ΔPMN的面积S的最大值．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PA=2AD=4，且PC=2√6，点E在PC上．(1)求证：平面BDE⊥平面PAC;(2)若E为PC的中点，求直线PC与平面AED所成的角的正弦值．21.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点M(x0,4)在C上，且|MF|=5p．2(1)求点M的坐标及C的方程;(2)设动直线l与C相交于A，B两点，且直线MA与MB的斜率互为倒数，试问直线l是否恒过定点⋅若过，求出该点坐标;若不过，请说明理由．22.已知函数f(x)=xlnx−mx+m，其中m∈R.(1)求f(x)的单调区间;(2)请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择．①若对任意x∈(0,1)，不等式f(x)>−x恒成立，求m的最小整数值．②若存在x∈(1,+∞)，使得不等式f(x)<−lnx成立，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查集合的交集与补集的混合运算，属于基础题．根据交集与补集的定义进行求解即可．【解答】解：由题意知A∩B={0,2}，所以∁U(A∩B)={−1,1,4}．故选D．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的几何意义，是基础题．由已知求得z，代入2z1−i，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由题意得，z=2−i，∴2z1−i =4−2i1−i=(1+i)(4−2i)(1+i)(1−i)=3+i．所以2z1−i的虚部为1．故选C．3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查锥体的几何性质以及体积求法，空间想象能力等知识，属于基础题．由题意分别求得锥体的底面圆的半径和高度，然后计算其体积即可．【解答】解：由已知可知，该圆形攒尖的底面圆半径r=3，高ℎ=rtanπ6=√3，故其体积V=13πr2ℎ=3√3πm3．故选B．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查三角函数的定义以及两角和差正切公式，属于基础题．利用三角函数的定义以及两角差的正切公式可得tanα=tan(45∘−15∘)，即可求解．【解答】解：由正切函数的定义得tanα=cos15∘−sin15∘cos15∘+sin15∘=1−tan15∘1+tan15∘=tan45∘−tan15∘1+tan15∘tan45∘=tan(45∘−15∘)=√33．故选A．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查异面直线所成的角，考查空间想象能力和思维能力，属于基础题．由题意连接AC，可得C1P//AC，找出直线C1P与AR所成角，求解三角形得答案．【解答】解：连接AC，因为P为B1D1的中点，所以C1P//AC，所以C1P与AR所成角即为CA与AR所成角，即为∠CAR．连接CR，因为R为DD1的中点，AA1=2AB，设AB=1，所以AC=AR=CR=√2，所以△ACR为正三角形，所以∠CAR=π3，所以sin∠CAR=√32．故选C．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了与椭圆有关的轨迹问题，直线的斜率及圆锥曲线中的范围问题，属于基础题．根据题目条件得到nm+5⋅nm−5=−1625，用m表示n，代入到4m2+n2中，即可得到结果．【解答】解：由题意可知，nm+5⋅nm−5=−1625，整理得m225+n216=1(m≠±5)，则n2=16−16m225⩾0，得到−5<m<5，故4m2+n2=16+84m225，因为−5<m<5，所以0≤m2<25，所以16≤16+84m225<100，即4m2+n2∈[16,100)．故选C项．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数模型的应用，主要考查对数的运算，属于基础题．当Mm =500时，v1≈v0ln500，当Mm=1000时，v2≈v0ln1000，因为v0ln1000v0ln500=lg1000lg500=32+lg5，即可求解．【解答】解：当Mm =500时，v1≈v0ln500，当Mm=1000时，v2≈v0ln1000，因为v0ln1000v0ln500=lg1000lg500=32+lg5=33−lg2≈33−0.3010≈1.11，所以将总质比从500提升到1000，其最大速度v大约增加了11%．故选B．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性，对称性，周期性的应用，属于基础题．由条件得到f(x)的图象的对称性，再得到周期性，结合函数图象得到函数值的符号即可求解．【解答】解：因为f(x+1)为偶函数，所以f(x)的图象关于直线x=1对称，即f(−x+1)=f(x+1)，即f(x+2)=f(−x)，因为f(2x+2)为奇函数，则f(2−2x)=−f(2x+2)，所以f(2−x)=−f(x+2)，即f(x)的图象关于点(2,0)对称，所以f(x+2)=−f(2−x)=f(−x)，所以f(2−x)=−f(−x)，即f(2+x)=−f(x)所以f(x+4)=−f(x+2)=−[−f(x)]=f(x)，即f(x+4)=f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，于是可知，f(0)=f(2)=f(4)=0，又当x∈(0,2)时，f(x)<0，根据f(x)为定义在R上且图象不间断的函数，可作出f(x)的草图如下图所示：所以当x∈(2,8)时，f(x)>0的解集为(2,4)∪(6,8)．故选D．9.【答案】BCD【解析】【分析】本题主要考查存在量词命题的应用，利用判别式Δ进行求解是解决本题的关键．属于较易题。

辽宁省铁岭市六校2021届高考数学一模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设全集U={1,2，3，4，5，6}，集合A={1,2，4}，B={3,4，5}，则图中的阴影部分表示的集合为()A. {5}B. {4}C. {1,2}D. {3,5}2.设a∈R，i是虚数单位，则当是纯虚数时，实数a为A. B. −1 C. D. 13.已知a、b、c为三条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，①a//c，b//c⇒a//b②a//β，b//β⇒a//b③a//c，c//α⇒a//α④a//β，a//α⇒α//β以上命题正确的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 34.已知命题甲：，命题乙：，那么甲是乙的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知直角梯形ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=4，沿AC折叠成三棱锥D−ABC，当三棱锥D−ABC体积最大时，其外接球的表面积为()π B. 4π C. 8π D. 16πA. 436.y=f(x)的大体图象如图所示，则函数y=f(|x|)的零点的个数为()A. 4B. 5C. 6D. 77.已知定义在R 上的函数f(x)=x 2+5，记a =f(−log 25)，b =f(log 23)，c =f(−1)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. c <b <aB. a <c <bC. c <a <bD. a <b <c8.已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，A(x 0,y 0)是C 上一点，若|AF|=98x 0，则x 0等于( )A. 1B. 2C. 4D. 8二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.已知曲线C 1：y =2sinx ，C 2：y =2sin(2x +π3)，则( )A. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动π6个单位长度，得到曲线C 2B. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动5π6个单位长度，得到曲线C 2C. 把C 1向左平行移动π3个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到曲线C 2D. 把C 1向左平行移动π6个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到曲线C 210. 设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组，可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( ) A. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗C. CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DC ⃗⃗⃗⃗⃗D. OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 11. 设a >0，b >0，称a+b 2为a ，b 的算术平均数，√ab 为a ，b 的几何平均数，2aba+b 为a ，b 的调和平均数，称√a2+b 22为a ，b 的加权平均数.如图，C 为线段AB 上的点，且|AC|=a ，|CB|=b ，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆.过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连结OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E.取弧AB⏜的中点为F ，连接FC ，则在图中能体现出的不等式有( ) A.a+b 2≥√abB. √a2+b 22≥a+b 2C. 2aba+b ≥√abD. √a2+b 22≥2aba+b12. 设首项为1的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n+1=2S n +n −1，则下列结论正确的是( )A. 数列{a n}为等比数列B. 数列{S n+n}为等比数列C. 数列{a n+1}为等比数列D. 数列{2S n}的前n项和为2n+2−n2−n−4三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.水波的半径以0.5m/s的速度向外扩张，当半径为25m时，圆面积的膨胀率是______．14.计算C32+C42+C52+C62+C72+C82+C92+C102=______．15.已知中心在原点，坐标轴为对称轴的双曲线的渐近线方程是y=±4x，则该双曲线的离心率是______ ．16.某数学练习册，定价为40元.若一次性购买超过9本，则每本优惠5元，并且赠送10元代金券；若一次性购买超过19本，则每本优惠10元，并且赠送20元代金券.某班购买x(x∈N∗,x≤40)本，则总费用f(x)与x的函数关系式为______ (代金券相当于等价金额)．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设△ABC中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，(a+b)(sinA−sinB)=(c−b)sinC．(Ⅰ)若b=2，求c边的长；(Ⅱ)求△ABC面积的最大值，并指明此时三角形的形状．18.如图，已知点P在圆柱OO1的底面⊙O上，AB、A1B1分别为⊙O、⊙O1的直径，且A1A⊥平面PAB．(1)求证：BP⊥A1P；(2)若圆柱OO1的体积V=12π，OA=2，∠AOP=120°，①求三棱锥A1−APB的体积．②在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与A1B所成角的余弦值为2？若存在，请指出M的5位置，并证明；若不存在，请说明理由．19.已知数列{a n}满足a1=1，|a n+1−a n|=p n，n∈N∗．(Ⅰ)若{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；(Ⅱ)若p=12，且{a2n−1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式．20.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．得到甲、乙两位学生成绩的茎叶图．(1)现要从中选派一人参加数学竞赛，对预赛成绩的平均值和方差进行分析，你认为哪位学生的成绩更稳定？请说明理由；(2)若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．21.设椭圆C：(a>b>0)的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，.(1)求椭圆C的离心率；(2)如果|AB|=，求椭圆C的方程．22.已知f(x)=13x3+12x2+2ax，a∈R．(Ⅰ)若a=−1，求f(x)在[−2,2]上的最大值；(Ⅱ)若f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查的知识点是Venn图表达集合的关系及运算，属于基础题．由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(∁U A)∩B，根据集合的运算求解即可．解：全集U={1,2，3，4，5，6}，集合A={1,2，4}，B={3,4，5}，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(∁U A)∩B，∵∁U A={3,5，6}，∴(∁U A)∩B={3,5}．故选D．2.答案：D解析：试题分析：，要使它是纯虚数，则考点：本小题主要考查复数的概念和运算．点评：复数的概念和运算是每年高考必考的题目，难度较低．3.答案：B解析：解：由a，b，c为三条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，知：在①中，若a//c，b//c，则由平行公理得a//b，故①正确．在②中，若a//β，b//β，则a//b或a与b相交或异面，故②错误；在③中，若a//c，c//α，则a//α或a⊂α，故③错误；在④中，若a//β，a//α，则α与β相交或平行，故④错误；故选：B．在①中，由平行公理得a//b；在②中，α//b或a，b相交或异面；在③中，a//α或a⊂α；在④中，α与β相交或平行．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考推理论证能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．4.答案：A解析：本题考查充分条件和必要条件的判断及绝对值不等式的解法，先求出命题乙的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结果．解：由|x−2|<3得−3<x−2<3，即−1<x<5，∵甲为“0<x<5”，∴甲是乙的充分不必要条件．故选A．5.答案：D解析：本题考查折叠问题，三棱锥的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．画出图形，确定三棱锥外接球的半径，然后求解外接球的表面积即可．解：已知直角梯形ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=4，沿AC折叠成三棱锥，如图：AB=4，AD=2，CD=2，∴AC=2√2，BC=2√2，∴BC⊥AC，取AC的中点E，AB的中点O，连结DE，OE，OE=DE=√2，OE//BC，OE⊥AC，三棱锥体积最大时，平面DCA⊥平面ACB，又平面DCA∩平面ACB=AC，OE⊂平面ACB，则OE⊥平面DAC，因为DE⊂平面DAC，所以OE⊥DE，此时有OB=OA=OC=OD=2，故O为外接球球心，外接球的半径为2，此时外接球的表面积为：4π⋅22=16π．故选：D．6.答案：D解析：解：∵函数y=f(|x|)是偶函数，∴利用偶函数的对称性可知，当x>0时，函数y=f(x)的零点个数为3个，∴根据对称性可知当x<0时，函数y=f(x)的零点个数为3个，当x=0时，函数y=f(x)的零点个数为1个，∴函数y=f(|x|)的零点的个数为3+3+1=7个．故选：D．根据函数y=f(|x|)是偶函数，即可判断函数y=f(|x|)的零点个数．本题主要考查函数零点个数的判断，利用偶函数的对称性结合图象是解决本题的关键，比较基础．7.答案：A解析：解：∵f(x)是偶函数，∴a=f(−log25)=f(log25)，c=f(−1)=f(1)，∵log25>log23>1，f(x)在(0,+∞)上是增函数，∴f(log25)>f(log23)>f(1)，∴a>b>c．故选：A．根据函数的单调性和奇偶性进行判断．本题考查了二次函数，对数函数的单调性，函数奇偶性的性质，属于中档题．8.答案：B解析：解：抛物线C：y2=x的焦点为F(14,0)∵A(x0,y0)是C上一点，|AF|=98x0，∴98x0=x0+14，解得x0=2．故选：B．利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．本题考查了抛物线的定义、焦点弦长公式，属于基础题．9.答案：ABC解析：解：∵曲线C 1：y =2sinx ，C 2：y =2sin(2x +π3)，∴把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得y =sin2x 的图象；再把得到的曲线向左平行移动π6个单位长度，得到y =2sin(2x +π3)，即得到曲线C 2，故A 选项正确； 同理，B 选项正确；把C 1向左平行移动π3个单位长度，可得y =2sin(x +π3)的图象， 再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变， 得到y =2sin(2x +π3)，即得到曲线C 2，故C 选项正确； 同理，D 选项错误．综上所述，正确选项为ABC ． 故选：ABC ．利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查三角恒等变换、函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．10.答案：AC解析：解析：选AC 由题意作平行四边形ABCD ，如下所示图．因为AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，所以它们均可作为这个平行四边形所在平面的一组基底， DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，故这两组向量不能作为该平面的一组基底， 故选：AC ．两个不共线的平面向量可作为一组基底．本题考查向量是否可作为基底的充要条件，属于基础题．11.答案：ABD解析：解：由题意可得：OC =a−b 2，CD =√ab ，OD =a+b 2，在Rt △OCD 中，由射影定理可得：DE =CD 2OD=aba+b2=2aba+b ，在Rt △OCF 中，由勾股定理可得：CF =√OF 2+OC 2=√(a+b 2)2+(a−b 2)2=√a2+b 22，利用直角三角形的边的关系，可得CF >OD >CD >DE ． 当O 和C 重合时，CF =OD =CD =DE ，所以√a2+b22≥a+b2≥√ab≥2aba+b，结合选项可知ABD正确．故选：ABD．根据题意及圆的性质、勾股定理用a，b分别表示CF，OD，CD，DE，由直角三角形三边大小关系判断即可．本题主要考查了圆的性质、射影定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：BD解析：解：依题意，由S n+1=2S n+n−1，可得S n+1+n+1=2S n+n−1+n+1=2(S n+n)，∵S1+1=a1+1=2，∴数列{S n+n}是以2为首项，2为公比的等比数列，故选项B正确，∴S n+n=2⋅2n−1=2n，∴S n=2n−n，n∈N∗，∴2S n=2n+1−2n，数列{2S n}的前n项和为2S1+2S2+⋯+2S n=(22−2×1)+(23−2×2)+⋯+(2n+1−2n)=(22+23+⋯+2n+1)−2×(1+2+⋯+n)=22−2n+21−2−2×n(n+1)2=2n+2−n2−n−4，故选项D正确，∵当n≥2时，a n=S n−S n−1=2n−n−2n−1−(n−1)=2n−1+1，∴数列{a n}不是等比数列，选项A不正确，∵a n+1=2n−1+1+1=2n−1+2，∴数列{a n+1}不是等比数列，选项C不正确．故选：BD．本题先将已知条件进行转化，并进一步计算可发现数列{S n+n}是以2为首项，2为公比的等比数列，即可判断选项B，然后进一步推导出S n的表达式，进一步计算出数列{2S n}的通项公式，再运用分组求和计算出数列{2S n}的前n项和，即可判断选项D，然后根据公式a n=S n−S n−1进行计算，通过计算出数列{a n}和数列{a n+1}的通项公式可判断选项A、C．本题主要考查等比数列的判别，以及求前n项和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．13.答案：25π解析：解：∵水波的半径以v=0.5m/s的速度向外扩张，∴圆面积S=πr2=π(vt)2=0.25πt2，∴圆面积的膨胀率S′=0.5πt，当r=25m时，t=250.5=50s，∴S′=0.5π×50=25π，即半径为25m时，圆面积的膨胀率是25π，故答案为：25π．先设半径为r，速度为v，时间为t，面积为S，用t表示出面积S，再求导，代值即可得出结论．本题主要考查导数的概念及应用，属于基础题．14.答案：164解析：解：根据题意，C32+C42+C52+C62+C72+C82+C92+C102=C33+C32+C42+C52+C62+C72+C82+C92+C102−1=C113−1=165−1=164；故答案为：164．根据题意，由组合数的性质可得原式=C33+C32+C42+C52+C62+C72+C82+C92+C102−1=C113−1，计算可得答案．本题考查组合数公式的计算，关键是掌握组合数公式的性质，属于基础题．15.答案：√17,√174解析：解：当双曲线的焦点在x轴时，渐近线为y=±ba x=±4x，即ba=4，变形可得b=4a，可得离心率e=ca =√a2+b2a=√17aa=√17，当双曲线的焦点在y轴时，渐近线为y=±ab x=±4x，即ab=4，变形可得a=4b，可得离心率e=ca =√a2+b2a=√17b4b=√174，故此双曲线的离心率为：√17或√174故答案为：√17,√174． 当双曲线的焦点在x 轴时，由渐近线方程可得b =4a ，离心率e =c a =√a 2+b 2a ，代入化简可得，当双曲线的焦点在y 轴时，可得a =4b ，同样代入化简可得答案．本题考查双曲线的离心率，涉及双曲线的渐近线，考查分类讨论的思想，属中档题．16.答案：f(x)={40x,0<x <1035x −10,10≤x <2030x −20,20≤x ≤40(x ∈N ∗) 解析：解：当0<x <10时，f(x)=40x ；当10≤x <20时，f(x)=35x −10；当20≤x ≤40时，f(x)=30x −20．所以f(x)={40x,0<x <1035x −10,10≤x <2030x −20,20≤x ≤40(x ∈N ∗)， 答案：f(x)={40x,0<x <1035x −10,10≤x <2030x −20,20≤x ≤40(x ∈N ∗). 根据已知分段求出对应的关系式，然后按照分段函数的性质写出解析式即可．本题考查了分段函数的实际应用，考查了学生的分析能力，属于基础题． 17.答案：解：(I) 由正弦定理得：(a +b)(a −b)=(c −b)c ，即a 2−b 2=c 2−bc --------(3分) 因为a =2且b =2，所以解得：c =2.---------------------(5分)(II) 由(I)知 cosA =b 2+c 2−a 22bc =12，则A =60°------------------(7分) 因为a =2，∴b 2+c 2−bc =4≥2bc −bc =bc ，------------------(10分)∴S △ABC =12bcsinA ≤12⋅4⋅sin60°=√3，此时三角形是正三角形---(12分) 解析：(I) 由正弦定理化简已知可得a 2−b 2=c 2−bc ，代入a =2，b =2，即可解得c 的值． (II) 由(I)可求cosA =12，可求A =60°，又由基本不等式可得bc ≤4，利用三角形面积公式即可得解． 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式及三角形面积公式的应用，考查了计算能力，属于中档题． 18.答案：(1)证明：∵P 在⊙O 上，AB 是⊙O 的直径，∴AP ⊥BP ，∵AA 1⊥平面PAB ，∴AA1⊥BP，又AP∩AA1=A，AP，AA1⊂平面PAA1，∴BP⊥平面PAA1，又A1P⊂平面PAA1，故B P⊥A1P.(2)①由题意V=π⋅OA2⋅AA1=4π⋅AA1=12π，解得AA1=3，由OA=2，∠AOP=120°，得∠BAP=30°，BP=2，AP=2√3，∴S△PAB=12×2×2√3=2√3，∴三棱锥A1−APB的体积V=13S△PAB⋅AA1=13×2√3×3=2√3．②答：在AP上存在一点M，当M为AP的中点时，使异面直线OM与A1B所成角的余弦值为25．证明：∵O、M分别为AB、AP的中点，则OM//BP，∴∠A1BP就是异面直线OM与A1B所成的角，∵AA1=3，AB=4，∴A1B=5．又BP⊥A1P，在Rt△A1PB中，cos∠A1BP=BP A1B =25．∴在AP上存在一点M，当M为AP的中点时，使异面直线OM与A1B所成角的余弦值为25．解析：本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．(1)根据BP⊥AP，BP⊥AA1得出BP⊥平面A1AP，故而BP⊥A1P；(2)①根据圆柱的体积计算AA1，根据∠AOP=120°计算BP，AP，代入体积公式计算棱锥的体积；②根据cos∠A1BP=25可得OM//BP，故M为AP的中点．19.答案：解：(Ⅰ)∵数列{a n}是递增数列，∴a n+1−a n>0，则|a n+1−a n|=p n化为：a n+1−a n=p n，分别令n=1，2可得，a2−a1=p，a3−a2=p2，即a2=1+p，a3=p2+p+1，∵a1，2a2，3a3成等差数列，∴4a2=a1+3a3，即4(1+p)=1+3(p2+p+1)，化简得3p2−p=0，解得p=13或0，当p=0时，数列a n为常数数列，不符合数列{a n}是递增数列，∴p=13；(Ⅱ)由题意可得，|a n+1−a n|=12n，则|a2n−a2n−1|=122n−1，|a2n+2−a2n+1|=122n+1，∵数列{a2n−1}是递增数列，且{a2n}是递减数列，∴a2n+1−a2n−1>0，且a2n+2−a2n<0，则−(a2n+2−a2n)>0，两不等式相加得a2n+1−a2n−1−(a2n+2−a2n)>0，即a2n+1−a2n+2>a2n−1−a2n，又∵|a2n−a2n−1|=122n−1>|a2n+2−a2n+1|=122n+1，∴a2n−a2n−1>0，即a2n−a2n−1=122n−1，同理可得：a2n+3−a2n+2>a2n+1−a2n，又|a2n+3−a2n+2|<|a2n+1−a2n|，则a2n+1−a2n=−122n当数列{a n}的项数为偶数时，令n=2m(m∈N∗)，a2−a1=12，a3−a2=−122，a4−a3=123，…，a2m−a2m−1=122m−1，这2m−1个等式相加可得，a2m−a1=(121+123+⋯+122m−1)−(122+124+⋯+122m−2)=12(1−14m)1−14−14(1−14m−1)1−14=13+13⋅22m−1，则a2m=43+13⋅22m−1；当数列{a n }的项数为奇数时，令n =2m +1(m ∈N ∗)a 2−a 1=12，a 3−a 2=−122，a 4−a 3=123，…，a 2m+1−a 2m =−122m ， 这2m 个等式相加可得，a 2m+1−a 1=(121+123+⋯+122m−1)−(122+124+⋯+122m ) =12(1−14m )1−14−14(1−14m )1−14=13−13⋅22m ，则a 2m+1=43−13⋅22m ，且当m =0时a 1=1符合，故a n =43−13⋅2n−1， 综上得，．解析：本题考查了等差数列的通项公式，等比数列前n 项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力，难度很大．(Ⅰ)根据条件去掉式子的绝对值，分别令n =1，2代入求出a 2和a 3，再由等差中项的性质列出关于p 的方程求解，利用“{a n }是递增数列”对求出的p 的值取舍；(Ⅱ)根据数列的单调性和式子“|a n+1−a n |=p n ”、不等式的可加性，求出a 2n −a 2n−1=122n−1和a 2n+1−a 2n =−122n ，再对数列{a n }的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n 项和公式，求出数列{a n }的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来．20.答案：解：(1)派甲参加比较合适，理由如下：x 甲=18(78+79+81+82+84+88+93+95)=85，x 乙=18(75+80+80+83+85+90+92+95)=85，∴S 甲2=18[(78−85)2+(79−85)2+(81−85)2+(82−85)2 +(84−85)2+(88−85)2+(93−85)2+(95−85)2]=35.5，S 乙2=18[(75−85)2+(80−85)2+(80−85)2+(83−85)2 +(85−85)2+(90−85)2+(92−85)2+(95−85)2]=41，∵x 甲=x 乙，S 甲2<S 乙2，∴甲的成绩比较稳定．(2)记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A ，则P(A)=68=34， 随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ～B(3,34)，∴P(ξ=0)=C 30(34)0(14)3=164，P(ξ=1)=C 31(34)(14)2=964， P(ξ=2)=C 32(34)2(14)=2764，P(ξ=3)=C 33(34)3=2764，∴ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3P 164 964 2764 2764∵ξ～B(3,34)，∴Eξ=3×34=94． 解析：本题考查平均数、方差的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意茎叶图、二项分布的性质的合理运用．(1)求出x 甲=x 乙，S 甲2<S 乙2，从而甲的成绩比较稳定，由此得到派甲参加比较合适． (2)记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A ，求出P(A)=68=34，随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ～B(3,34)，由此能求出ξ的分布列及数学期望Eξ． 21.答案：解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1<0，y 2>0．(1)直线l 的方程为y =(x − c )，其中c =． 联立得(3a 2+ b 2) y 2+2b 2 cy −3 b 4=0． 解得y 1=，y 2=． 因为，所以− y 1=2 y 2， 即=2·． 得离心率e =． (2)因为| AB |=| y 2− y 1|， 所以 由得b = a ． 所以，得a =3，b =． 椭圆C 的方程为．解析：略 22.答案：解：(Ⅰ)若a =−1，f(x)=13x 3+12x 2−2x ．所以f′(x)=x 2+x −2=(x +2)(x −1)．令f′(x)=0得x =−2或x =1．由f′(x)>0得x <−2或x >1；由f′(x)<0得−2<x <1．所以f(x)在(−2,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增．又因为f(−2)=103，f(2)=23， 所以f(x)在[−2,2]上的最大值为103．(Ⅱ)f′(x)=x 2+x +2a =(x +12)2−14+2a ．要使f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，只需f′(x)≥0在x ∈[0,+∞)恒成立即可．当x ∈[0,+∞)时，由于f′(x)在x ∈[0,+∞)单调递增，所以f′(x)的最小值为f′(0)=2a．令2a≥0，得a≥0．所以当a≥0时，f(x)在区间[0,+∞)上单调递增．解析：(I)先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系求出函数的单调区间进而可求最值；(II)要使f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，只需f′(x)≥0在x∈[0,+∞)恒成立即可．本题考查利用导数研究函数的单调性及由单调性求解函数的最值，属于中档试题．。

辽宁省葫芦岛市六校协作体2021届高三数学上学期11月月考试题 理（含解析）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，三角函数.第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}41M x x x =><或，[)1,N =-+∞，则M N =（ ）A. (),-∞+∞B. ()()1,14,-+∞C. ∅D. [)()1,14,-+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可求出结果.【详解】因为{}41M x x x =><或，[)1,N =-+∞，所以[)()1,14,M N =-+∞.故选：D.【点睛】本题考查集合的交集运算，注意仔细检查，属基础题. 2.命题“存在一个偶函数，其值域为R ”的否定为（） A. 所有的偶函数的值域都不为R B. 存在一个偶函数，其值域不为R C. 所有的奇函数的值域都不为R D. 存在一个奇函数，其值域不为R 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用命题的否定的定义得到答案.【详解】命题“存在一个偶函数，其值域为R ”的否定为：“所有的偶函数的值域都不为R ”故答案选A【点睛】本题考查特称命题的否定，考查推理论证能力3.函数()ln ||f x x =的定义域为（） A. [)1,-+∞B. [)()1,00,-⋃+∞C. (],1-∞-D.()()1,00,-+∞【答案】B 【解析】 【分析】分别计算两部分的定义域，求交集得到答案.【详解】函数()ln ||f x x∵3300xx -⎧-≥⎪⎨>⎪⎩，∴[1,0)(0,)x ∈-+∞.故答案选B【点睛】本题考查函数的定义域，考查运算求解能力4.若10b a =，且a 为整数，则“b 能被5整除”是“a 能被5整除”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】分别考虑充分性和必要性，得到答案.【详解】若a 能被5整除，则10b a =必能被5整除； 若b 能被5整除，则10ba =未必能被5整除 故答案选B .【点睛】本题考查充分条件、必要条件，考查推理论证能力5.若函数()23f x x ax a =-++在[]1,2上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A. 3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】 【分析】对函数进行配方，根据一元二次函数的图象和性质可知对称轴要在给定区间右侧，由此即可求出a 的范围.【详解】依题意，()22239324a a f x x ax a x a ⎛⎫=-++=--++⎪⎝⎭在[]1,2上单调递增， 由二次函数的图象和性质，则322a ≥，解得43a ≥.故选：C.【点睛】本题考查一元二次函数的图象和性质，研究二次函数的单调性问题关键在于判断对称轴与给定区间的位置关系，属基础题. 6.将曲线2sin(4)5y x π=+上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得曲线关于y 轴对称，最后得到的曲线的对称轴方程为（） A. 3()808k x k ππ=+∈Z B. 3()808k x k ππ=-+∈Z C. 3()202k x k ππ=+∈Z D. 3()202k x k ππ=-+∈Z 【答案】D 【解析】 【分析】由函数图像的伸缩变换可得曲线为2sin(2)5y x π=+，再由对称变换可得曲线2sin(2)5y x π=-+，再令2()52x k k πππ-+=-∈Z ，运算即可得解.【详解】解：将曲线2sin(4)5y x π=+上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍后得到曲线2sin(2)5y x π=+，再将所得曲线关于y 轴对称，得到曲线2sin(2)5y x π=-+，令2()52x k k πππ-+=-∈Z ，得3()202k x k ππ=-+∈Z ， 故选D.【点睛】本题考查三角函数图象的伸缩变换与对称变换及函数图像的对称轴方程，考查运算求解能力，属中档题. 7.函数()421xf x x =+的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】先判断()f x 的奇偶性，由此可排除C 与D ，再求23f ⎛⎫⎪⎝⎭，令其跟1比较，据此可排除C ，从而可得到正确选项. 【详解】因为()()421x f x f x x --==-+，所以()421xf x x =+为奇函数，排除C 与 D.因为21081397f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以排除B ，所以A 正确. 故选：A.【点睛】本题考查函数图象的判断，根据函数的性质和利用赋值进行排除是解决此类问题的常用方法，属中档题.8.下列不等式正确的是（ ） A. 3sin130sin 40log 4>> B. tan 226ln 0.4tan 48<< C. ()cos 20sin 65lg11-<<D. 5tan 410sin 80log 2>>【答案】D 【解析】 【分析】根据3sin 40log 4,ln 0.40tan 226,cos(20)sin 70sin 65<1<<<-=>，利用排除法，即可求解．【详解】由3sin 40log 4,ln 0.40tan 226,cos(20)cos 20sin 70sin 65<1<<<-==>， 可排除A 、B 、C 选项，又由551tan 410tan 501sin80log log 22=>>>=>， 所以5tan 410sin 80log 2>>． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及对数的比较大小问题，其中解答熟记三角函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9.已知cos 270.891︒=)cos72cos18︒+︒的近似值为（）A. 1.77B. 1.78C. 1.79D. 1.81【答案】B 【解析】分析】化简式子等于2cos27︒，代入数据得到答案.【详解】()cos72cos18sin18cos18184563=+=︒+︒︒︒︒=︒+︒︒ )cos72cos1820.891 1.782︒+︒≈⨯=，)cos72cos18︒+︒的近似值为1.78.故答案选B【点睛】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力10.已知函数()f x 的导函数'()f x 满足()(1)'()0f x x f x ++>对x ∈R 恒成立，则下列判断一定正确的是（ ） A. (0)02(1)f f << B. 0(0)2(1)f f << C. 02(1)(0)f f << D. 2(1)0(0)f f <<【答案】B 【解析】 【分析】根据题意及选项构造函数()()()1g x x f x =+，然后求导判断出函数()g x 的单调性，再根据单调性判断出各值的大小，进而得到结论． 【详解】由题意设()()()1g x x f x =+，则()()()()'1'0g x f x x f x =++>， 所以函数()g x 在R 上单调递增， 所以()()()101g g g -<<，即()()0021f f <<．故选B ．【点睛】当题目条件中有含有导函数的不等式，而所求结论与判断函数值的大小有关时，解题时一般需要通过构造函数来解决．构造函数时要根据题意及积或商的导数来进行，然后判断出所构造的函数的单调性，进而可比较函数值的大小．11.已知定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =-，且()f x 的图象关于点(3,0)对称，当12x 时，3 ()2log (43)f x x x =++，则1609()2f =（）A. 4-B. 4C. 5-D. 5【答案】C 【解析】 【分析】由()f x 的图象关于点(3,0)对称，则()(6)0f x f x +-=，结合()(2)f x f x =-， 则可得()(8)f x f x =+，即函数()f x 的周期为8，即有16099()()22f f =，又9()52f =-， 即可得解.【详解】解：因为()f x 的图象关于点(3,0)对称，所以()(6)0f x f x +-=.又()(2)f x f x =-，所以(2)(6)0f x f x -+-=，所以()(4)f x f x =-+，则()(8)f x f x =+，即函数()f x 的周期为8，所以160999()(1008)()222f f f =+⨯=， 因为99()(6)022f f +-=，()393()()3log 9522f f =-=-+=-，所以1609()52f =-， 故选C.【点睛】本题考查函数的对称性与周期性，考查推理论证能力与抽象概括能力. 12.若函数()()3220f x x axa =-<在6,23a a +⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值，则a 的取值不可能为（ ）A. 6-B. 5-C. 4-D. 3-【答案】D 【解析】先求出()f x 的单调性，可得极大值3a f ⎛⎫⎪⎝⎭，根据单调性可知，()f x 在6,23a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最大值即为3a f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，只需令633a a f f +⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可，故可求出()327af x =-的解3a x =或6a x =-，则6336a a a+<≤-，解之即可求得结果.【详解】令()()23f x x x a '=-，得10x =，()203ax a =<. 当03a x <<，()0f x '<；当3ax <或0x >时，()0f x '>. 从而()f x 在3ax =处取得极大值3327a a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.根据单调性可知，()f x 在6,23a a +⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值即为3a f ⎛⎫⎪⎝⎭， 由()327a f x =-，得22033a a x x ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3a x =或6a x =-.()f x 在6,23a a +⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值，即633a a f f +⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴6336a a a+<≤-，∴4a ≤-. 故选：D.【点睛】本题考查根据函数的最值求参数的范围，要求学生会利用导数研究函数的最值，本题关键在于得出函数极大值即为最大值的结论，由此可列不等式求解，属中档题.第Ⅱ卷二、填空题：把答案填在答题卡的相应位置.13.设函数2lg ,0()1,04xx x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎩，则((10))f f -=________.【答案】16【分析】直接代入数据得到答案.【详解】2((10))(2)416f f f -=-== 故答案16【点睛】本题考查分段函数求值，考查运算求解能力 14.函数()ln f x x x =-的极小值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】对函数求导，研究单调性，根据极小值的概念即可得到结果. 【详解】()1x f x x-'=，当01x <<时，()0f x '<； 当1x >时，()0f x '>. 故()f x 的极小值为()11f =. 故答案为：1.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，要求学生掌握求极值的方法，属基础题.15.直线210y +=与曲线cos y x =，在33,42ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的交点的个数为________. 【答案】3 【解析】 【分析】判断31cos 42π⎛⎫-=<- ⎪⎝⎭，画出图像得到答案. 【详解】如图所示：31cos 422π⎛⎫-=-<- ⎪⎝⎭直线210y +=与曲线cos y x =在33,42ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上有3个交点.【点睛】本题考查三角函数的图象及函数与方程，考查数形结合的数学方法，16.张军自主创业，在网上经营一家干果店，销售的干果中有松子、开心果、腰果、核桃，价格依次为120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元千克，为增加销量，张军对这四种干果进行促销:一次购买干果的总价达到150元，顾客就少付x (2x ∈Z)元.每笔订单顾客网上支付成功后，张军会得到支付款的80%.①若顾客一次购买松子和腰果各1千克，需要支付180元，则x =________；②在促销活动中，为保证张军每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为_____.【答案】 (1). 10 (2). 18.5 【解析】 【分析】①结合题意即可得出；②分段列出式子，求解即可。

2021届辽宁省抚顺市六校协作体高三一模数学试题一、单选题1．已知集合{|10}M x x =->，{}2|10N x x =<，则M N =( )A ．{|x x >B ．{|110}x x <<C ．{|x x >D ．{|1x x <<【答案】D【分析】先化简集合M 和集合N ，再对M ，N 求交集得解.【详解】因为{|1}M x x =>，{|N x x =<，所以{|1M N x x ⋂=<<．故选：D2．已知z 在复平面内对应的点的坐标为()2,1-，则21zz =-（ ） A ．3i + B ．13i -C ．1i -D ．2i -【答案】A【分析】由题意知2z i =-，进一步求出答案.【详解】由题意知2z i =-，所以()()()()()22221231111i i i z i z i i i --+===+---+． 故选：A.3．每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，要用分层抽样的方法从中抽检27家，则粮食加工品店需要被抽检（ ） A ．20家 B ．10家C ．15家D ．25家【答案】A【分析】确定抽样比，即可得到结果.【详解】解：根据分层抽样原理知，粮食加工品店需要被抽检10027202010015⨯=++（家）. 故选：A.4．已知抛物线2:(0)C y mx m =>上的点(,2)A a 到其准线的距离为4，则m =（ ）A ．14B ．8C ．18D ．4【答案】C【分析】首先根据抛物线的标准方程的形式，确定2p的值，再根据焦半径公式求解. 【详解】21x y m=，()0m >， 因为点(,2)A a 到C 的准线的距离为4，所以1244m+=，得18m =．故选：C5．《周牌算经》是我国古代的天文学和数学著作，其中有一个问题大意如下：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(即太阳照射物体的影子长度增加和减少的大小相同)，二十四个节气及晷长变化如图所示，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(注：一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则立秋晷长为（ ）A ．五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸【答案】D【分析】首先根据题意转化为等差数列，根据等差数列的项求通项公式，再求项. 【详解】设从夏至到冬至，每个节气晷长为n a ，即夏至时晷长为115a =，冬至时晷长为13135a =，由每个节气晷长损益相同可知，1n n a a +-=常数，所以{}n a 为等差数列，设公差为d ，由题意知，131121512135a a d d =+=+=，解得10d =，则413153045a a d =+=+=，四十五寸即四尺五寸.故选：D6．2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式0lnMv v m=⋅计算火箭的最大速度()m/s v ，其中()0m/s v 是喷流相对速度，()kg m 是火箭（除推进剂外）的质量，()M kg 是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”．若A 型火箭的喷流相对速度为1000m/s ，当总质比为500时，A 型火箭的最大速度约为（lg 0.434e ≈，lg 20.301≈）（ ） A ．4890m/s B ．5790m/sC ．6219m/sD ．6825m/s【答案】C【分析】根据题意把数据代入已知函数可得答案. 【详解】0lg5003lg 2ln 1000ln 500100010006219/lg lg M v v m s m e e-==⨯=⨯=⨯≈． 故选：C.7．P 为双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）上一点，1F ，2F 分别为其左、右焦点，O 为坐标原点.若OP b =，且2112sin 3sin PF F PF F ∠∠＝，则C 的离心率为（ ）A ．BC ．2D 【答案】B【分析】结合正弦定理、余弦定理以及双曲线的定义，求得c =，由此求得双曲线的离心率.【详解】由2112sin 3sin PF F PF F ∠∠＝，以及正弦定理可得213PF PF =， 因为122PF PF a -=，所以13PF a =，2PF a =， 因为2OF c =，OP b =，所以22OPF π∠=，所以2cos aOF Pc， 在12F F P 中，22212223cos cos 22a c a a F F POF Pa cc.化简可得c =，所以C 的离心率==ce a. 故选：B8．在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了10个小球，其中9个是白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球．方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；方法二：在10箱中各任意摸出两个小球．将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为1p 和2p ，则（ ） A ．12p p = B ．12p p <C ．12p p >D ．以上三种情况都有可能 【答案】B【分析】分别计算1p 和2p ，再比较大小. 【详解】方法一：每箱中的黑球被选中的概率为110，所以至少摸出一个黑球的概率2019110p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．方法二：每箱中的黑球被选中的概率为15，所以至少摸出一个黑球的概率102415p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．10201010124948105105100p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则12p p <．故选：B.【点睛】概率计算的不同类型： （1）古典概型、几何概型直接求概率；（2）根据事件间的关系利用概率加法、乘法公式求概率； （3）利用对立事件求概率；（4）判断出特殊的分布列类型，直接套公式求概率.二、多选题 9．在3nx⎛-⎝的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则（ ） A ．二项式系数和为64 B ．各项系数和为64 C ．常数项为135- D ．常数项为135【答案】ABD【分析】先根据题意，分别对四个选项一一验证： 求出n =6，得到二项展开式的通项公式， 对于A: 二项式系数和为2n ,可得；对于B:赋值法，令1x =，可得；对于C 、D:利用二项展开式的通项公式，可得.【详解】在3nx⎛⎝的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，令1x =，得各项系数和为2n ，二项式系数和为2n ，则22128n ⨯=，得6n =，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A 、B 正确；63x⎛- ⎝展开式的通项为()()366h k62166C 3C 13kk k k k k T x x ---+⎛=⋅⋅=⋅-⋅ ⎝， 令3602k -=，得4k =，因此，展开式中的常数项为()44256C 13135T =⋅-⋅=． 故D 正确. 故选：ABD.【点睛】二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析． 10．已知函数()22ln f x a x x b =++.（ ）A ．当1a =-时，()f x 的极小值点为()1,1b +B ．若()f x 在[)1,+∞上单调递增，则[)1,a ∈-+∞ C ．若()f x 在定义域内不单调，则(),0a ∈-∞ D ．若32a =-且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与曲线x y e =-相切，则2b =- 【答案】BC【分析】A 选项用极值点的概念进行判断，B 选项由()'0f x ≥利用分离常数法来判断，C 选项结合()'fx 以及对a 进行分类讨论来进行判断，D 选项通过曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程求得b 来进行判断.【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()2'2222a x af x x x x+=+=. 根据极值点定义可知，极小值点不是坐标，A 错误； 由()220af x x x'=+≥得2≥-a x ， 因为1≥x ，所以1a ≥-，B 正确；因为()22222a a x f x x x x+'=+=， 当0a ≥时，()0f x '>恒成立，当0a <时，()0f x '>不恒成立，函数不单调，C 正确；32a =-，()232f x x x'=-+，所以()11f '=-，()11f b =+，所以切线方程为()()11y b x -+=--，即2y x b =-++， 设切点横坐标为0x ，则01x e -=-，故00x =，切点()0,1-，代入2y x b =-++得3b =-，D 错误. 故选：BC【点睛】与单调性有关的恒成立问题，可利用分离常数法来进行求解.11．如图，在平行四边形ABCD 中，1AB =，2AD =，60A ∠=︒，沿对角线BD 将ABD △折起到PBD △的位置，使得平面PBD ⊥平面BCD ，下列说法正确的有（ ）A ．平面PCD ⊥平面PBDB ．三棱锥P BCD -四个面都是直角三角形C ．PD 与BC 3D ．过BC 的平面与PD 交于M ，则MBC △21 【答案】ABD【分析】先根据勾股定理判断BD CD ⊥，再由面面垂直得线线垂直，可判断AB ，以D 为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量可计算线线角判断C ，由点M 到BC 的距离222733477MB BC d MB a BC ⎛⎫⋅⎛⎫ ⎪=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可判断D. 【详解】BCD △中，1CD =，2BC =，60A ∠=︒， 由余弦定理可得3BD =，故222BD CD BC +=， 所以BD CD ⊥，因为平面PBD ⊥平面BCD 且平面PBD 平面BCD BD =，所以CD ⊥平面PBD ，CD PD ⊥； 同理PB ⊥平面CBD ， 因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面BPD ，A ，B 正确； 以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()3,0,0B，()0,1,0C ，()3,0,1P，因为()3,0,1DP =，()3,1,0BC =-，所以3cos ,4BC DPBC DP BC DP ⋅==-，即PD 与BC 所成角的余弦值为34，C 错误；因为M 在线段PD 上，设()3,0,M a a ，则()33,0,MB a a =--，所以点M 到BC 的距离2222733733424477MB BC a a d MB a BC ⎛⎫⋅⎛⎫ ⎪=-=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当37a =时，d 取得最小值217，此时MBC △面积取得最小值12121277BC ⨯=，D 正确. 故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题中D 较难，解题的关键是利用空间向量计算点线距，利用的22MB BC d MB BC ⎛⎫⋅⎪=- ⎪⎝⎭，进而坐标化得最值. 12．已知函数2()2sin cos 2cos 1f x a x x x ωωω=-+(0,0)a ω>>，若()f x 的最小正周期为π，且对任意的x ∈R ，()0()f x f x ≥恒成立，下列说法正确的有（ ）A ．2ω=B ．若06x π=-，则a =C．若022f x π⎫⎛-= ⎪⎝⎭，则a =D ．若()()2|()|g x f x f x =-在003,4x x πθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，则324ππθ≤< 【答案】BCD【分析】化简函数，由最小正周期求得参数ω，再结合选项一一判断即可． 【详解】因为2()2sin cos 2cos 1f x a x x x ωωω=-+sin2cos2)ax x x ωωωϕ=-=-，其中cos ϕ=sin ϕ=．因为()f x 的最小正周期为π，所以1ω=，故A 错误．因为对任意的x ∈R ，()0()f x f x ≥恒成立，以()0f x 是()f x 的最小值． 若06x π=-，则22()62k k ππϕπ⎫⎛⨯--=-+∈ ⎪⎝⎭Z ，2()6kk πϕπ=-∈Z ．所以cos 2ϕ==，a =B 正确． 因为()0f x 是()f x 的最小值，所以02f x π⎫⎛-⎪⎝⎭2=，所以a =C 正确．因为当003,42x x x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0f x >，所以()()=-g x f x ． 因为()f x 在003,42x x ππ⎛⎫- ⎝-⎪⎭上单调递增，所以()g x 在003,42x x ππ⎛⎫- ⎝-⎪⎭上单调递减．当00,24x x x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0f x >，所以()()=-g x f x ．因为()f x 在00,24x x ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，所以()g x 在00,24x x ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，所以000342x x x ππθ-<-≤-，所以324ππθ≤<，故D 正确． 故选：BCD三、填空题13．已知单位向量a ，b 满足|2|3a b -=，则a 与b 的夹角为________． 【答案】3π（或写成60︒）【分析】将等式|2|3a b -=两边平方即可. 【详解】因为222|2|443a b a a b b -=-⋅+=， 所以12a b ⋅=， 所以1cos ,2a b 〈〉=，[],0π,3a b a b π∈=，，．故答案为：3π.14．函数概念最早出现在格雷戈里的文章《论圆和双曲线的求积》（1667年）中.他定义函数是这样一个量：它是从一些其他量出发，经过一系列代数运算而得到的，或者经过任何其他可以想象到的运算得到的.若一个量c a b =+，而c 所对应的函数值()f c 可以通过()()()f c f a f b =⋅得到，并且对另一个量d ，若d c >，则都可以得到()()f d f c >.根据自己所学的知识写出一个能够反映()f c 与c 的函数关系式：_________.【答案】()2cf c =（单调递增的指数函数都可以）.【分析】若()2x f x =，得f （c ）2c =，满足f （c ）f =（a ）f ⋅（b ），且()2x f x =在R 上是增函数，满足题意，所以单调递增的指数函数都可以．【详解】解：若()2xf x =，得()2c f c =，()()222a b a bf a f b +⋅=⋅=，而()()()f c f a f b =⋅，即22c a b +=，则c a b =+成立①， 又由()2xf x =在R 上是增函数，而d c >，则()()f d f c >成立②，结合①②()f c 与c 的函数关系式为：()2cf c =.故答案为：()2cf c =（单调递增的指数函数都可以）.15．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的序号是______.①“等腰四面体”每个顶点出发的三条棱一定可以构成三角形； ②“等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形；③三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为④三组对棱长度分别为a ，b ，c 的“等腰四面体”【答案】①②③【分析】将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为a ，b ，c ，与之对应的长方体的长宽高分别为x ，y ，z ，然后结合长方体的性质分别检验各选项即可判断．【详解】解：将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为a ，b ，c ，与之对应的长方体的长宽高分别为x ，y ，z ，则222222222x y a y z b x z c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩， 故22222a c b x +-=，22222a b c y +-=，22222b c a z +-=，结合图像易得①②正确；三组对棱长度分别为5a =，6b =，7c =，则x =y =z ， 因为等腰四面体的体积是对应长方体体积减去四个小三棱锥的体积，所以等腰四面体的体积1114323xyz xyz xyz -⨯⨯==③正确； 三组对棱长度分别为a ，b ，c 的“等腰四面体”的外接球直径2R ④错误.故答案为：①②③.【点睛】关键点点睛：对棱相等的四面体可以内接于长方体，借助长方体的性质处理问题降低了思维量.四、双空题16．直线()():213430l a x a y a -+-+-=与圆()2229x y -+=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为_________；此时a =_________.【答案】2743. 【分析】判断出直线l 恒过定点()1,1，根据圆的几何性质求得弦长AB 的最小值，进而求得a 的值.【详解】∵直线()():213430l a x a y a -+-+-=恒过定点()1,1， ∴当圆心与点()1,1的连线与直线AB 垂直时，弦长AB 最小， ∵圆心()2,0与点()1,1()()2221012-+-=3，∴弦长AB 的最小值为29227-=∵圆心()2,0与点()1,1连线的斜率为10112-=--，∴此时直线l 的斜率为1， 由2113a a --=-，解得43a =. 故答案为：2743五、解答题17．a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边.已知3sin a b A =，3a =，32c =.（1）若b c <，求b ； （2）求cos 2C .【答案】（1）b =（2）13-或4751. 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得sin B ，然后求得cos B ，利用余弦定理求得b .（2）由（1）求得cos B =，由此进行分类讨论，求得cos C 的值，进而求得cos 2C 的hi.【详解】（1）因为3sin a b A =， 所以sin 3sin sin A B A =， 因为sin 0A >，所以1sin 3B =，因为b c <，所以B C <，所以B 为锐角，可得cos B =，由余弦定理可得b =（2）由（1）可知，cos B =，当cos 3B =时，b =222cos 23a b c C ab +-==-，可得21cos 22cos 13C C =-=-；当cos 3B =-时，b 222cos2a b c C ab +-==可得247cos 22cos 151C C =-=. 【点睛】利用同角三角函数的基本关系式求值时，要注意可能有两个解.18．为了解华人社区对接种新冠疫苗的态度，美中亚裔健康协会日前通过社交媒体，进行了小规模的社区调查，结果显示，多达73.4%的华人受访者最担心接种疫苗后会有副作用.其实任何一种疫苗都有一定的副作用，接种新型冠状病毒疫苗后也是有一定副作用的，这跟个人的体质有关系，有的人会出现副作用，而有的人不会出现副作用.在接种新冠疫苗的副作用中，有发热、疲乏、头痛等表现.为了了解接种某种疫苗后是否会出现疲乏症状的副作用，某组织随机抽取了某地200人进行调查，得到统计数据如下：（1）求22⨯列联表中的数据x ，y ，m ，n 的值，并确定能否有85%的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关.（2）从接种疫苗的n 人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出8人，再从8人中随机抽取3人做进一步调查.若初始总分为10分，抽到的3人中，每有一人有疲乏症状减1分，每有一人没有疲乏症状加2分，设得分结果总和为X ，求X 的分布列和数学期望.【答案】（1）60，20，40，80，有；（2）分布列见解析，554. 【分析】（1）根据所给数据补全未知量，再代入公式，根据所得结果比对数据表，即可得解；（2）求出得分结果总和X 的所有可能，然后求出对应的概率，利用期望公式直接求解即可.【详解】（1）由题意得：20016040m =-=，2020y m =-=，16010060x =-=，602080n x y =+=+=，因为()2220010********* 2.083 2.072160401208012K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯.所以有85%的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关.（2）从接种疫苗的n 人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出8人，可知8人中无疲乏症状的有6人，有疲乏症状的有2人，再从8人中随机抽取3人，当这3人中恰有2人有疲乏症状时，10X =；当这3人中恰有1人有疲乏症状时，13X =；当这3人中没有人有疲乏症状时，16X =.因为()21263831028C C P X C ===；()122638151328C C P X C ===；()03263851614C C P X C ===.所以X 的分布列如下：期望()1013162828144E X =⨯+⨯+⨯=. 19．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，11321n n n a a a +--+=，11a =，24a =． （1）证明：数列{}11n n a a +-+是等比数列； （2）求n S ．【答案】（1）证明见解析；（2）225242n n n nS ++=--．【分析】（1）由11321n n n a a a +--+=可得()1121n n n n a a a a +--=-+，等式两边同时加1，即可证明结论；（2）由（1）利用等比数列的通项公式可得1112n n n a a ++-+=，即1112n n n a a ++-=-，再利用累加法求出n a ，然后利用分组求法求出n S 【详解】（1）证明：因为11321n n n a a a +--+=， 所以()1121n n n n a a a a +--=-+，即11121n n n n a a a a +--+=-+． 因为11a =，24a =，所以2114a a -+=，故数列{}11n n a a +-+是首项为4，公比为2的等比数列． （2）解：由（1）知1112n n n a a ++-+=．因为()()112n n n n n a a a a a ---=-+-()211a a a +⋅⋅⋅+-+()23222(1)1n n =++⋅⋅⋅+--+，所以122n n a n +=--．所以()231222(12)2n n S n n +=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+-()412(1)2122n n n n -+=---，故225242n n n n S ++=--．【点睛】关键点点睛：此题考查了数列递推关系，等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查计算能力，第（2）问解题的关键是由（1）得1112n n n a a ++-+=，再利用累加法求出通项公式，然后利用等比数列和等差数列的求和公式可求出n S ，属于中档题20．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 是BB 1的中点，点F 在棱AB 上，且AF ＝2FB ，设直线BD 1、DE 相交于点G ．（1）证明：GF ∥平面A 1A 1D 1D ． （2）求二面角D ﹣CE ﹣D 1的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）53【分析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行，根据比例关系，证明1//FG AD ，即可证明；（2）以点C 为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面DCE 和平面CED 1的法向量m 和n ，利用法向量求二面角的余弦值.【详解】（1）证明：连接AD 1，因为点E 是BB 1的中点，所以DD 1＝2BE ，所以BG ＝3BD 1，因为AF ＝2FB ，所以BF ＝3BA ，所以FG ∥AD 1，又因为AD 1⊂平面A 1A 1D 1D ，FG ⊄平面A 1A 1D 1D ， 所以GF ∥平面A 1A 1D 1D ．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，CE ＝（0，1，12），CD ＝（1，0，0），1CD ＝（1，0，1）， 设平面DCE 和平面CED 1的法向量分别为m ＝（x ，y ，z ），n ＝（u ，v ，w ），1020CE m y z CD m x ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩，令z ＝2，m ＝（0，﹣1，2）， 11020CE n v w CD n u w ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令w ＝2，n ＝（﹣2，﹣1，2）， 因为二面角D ﹣CE ﹣D 1为锐角， 所以二面角D ﹣CE ﹣D 1的余弦值为||55||||353m n m n ⋅==⋅⋅．【点睛】方法点睛：求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，求得对应平面的法向量之间夹角的余弦值，再判断锐二面角或钝二面角，确定结果，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大； 二是传统方法，利用垂直关系和二面角的定义，找到二面角对应的平面角，再求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角. 21．已知函数()()1ln f x a x a R x=+∈，()21g x x x x =--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()()()F x f x g x =+存在两个极值点1x ，2x ，且曲线()y F x =在12x x x =()y G x =，求使不等式()()F x G x <成立的x 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）2a ⎛ ⎝. 【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a 进行分类讨论，确定导数符号，进而确定函数的单调性；（2）先对()F x 求导，然后结合极值存在条件可转化为()0F x '=有两个不等正实数解，结合二次方程根的存在条件及方程的根与系数关系及导数几何意义求出切线方程，构造函数()()()h x F x G x =-，结合导数与单调性关系进而可求． 【详解】解：（1）()21-='ax f x x ， 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，函数()f x 在()0,∞+上单调递减， 当0a >时，易得当1x a >时，()0f x '>，当10x a<<时，()0f x '<，故()f x 在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， （2）()()()2ln F x f x g x a x x x =+=+-，所以()2221a x x aF x x x x-+'=+-=，0x >，因为()()()F x f x g x =+存在两个极值点1x ，2x ，所以()220x x aF x x-+'==有两个不等正实数解，即220x x a -+=有两个不等式正根，所以18002a a∆=->⎧⎪⎨>⎪⎩，解得108a <<， 因为122a x x =，x ==所以1F '=-，ln 222a a a F =+所以曲线()y F x =在x =()ln 1222a a a y x ⎛⎛-+=- ⎝⎝， 即()()31ln 222a a a G x y x ==-+-， 令()()()23ln ln 222a a a h x F x G x x a x =-=+-+-， ()20h x x'==>，故()h x 在()0,∞+上单调递增，且0h =，故当0x <<()0h x <，即()()F x G x <， 故x的范围⎛ ⎝. 【点睛】关键点点睛：解不等式比较常用的方法是构造新函数，研究函数的单调性，明确函数的零点，即可明确不等式何时成立.22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(c,0)F ，离心率12e =．（1）若P 为椭圆C 上一动点，证明P 到F 的距离与P 到直线2a x c=的距离之比为定值，并求出该定值；（2）设1c =，过定点(0,)c 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在y 轴上是否存在一点Q ，使得y 轴始终平分MQN ∠？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；定值12；（2）存在；(0,3)Q ． 【分析】（1）根据两点距离公式，结合已知进行证明即可；（2）根据1c =求出椭圆的方程，将直线方程与椭圆方程联立得到一元二次方程，根据一元二次方程的根与系数关系，结合直线的斜率公式进行求解即可.【详解】解：（1）设点()00,P x y ，则2200221x y a b+=．因为||PF ===0c a x a=-， 点P 到直线2a x c =的距离20a d x c=-，所以20||12c a x PF c a e a d a x c-====-， 即P 到F 的距离与P 到直线2a x c=的距离之比为定值12．（2）因为1c =，12e =，所以2a =，b =C 的方程为22143x y +=．假设存在这样的一点Q ，设(0,)Q t ，直线:1l y kx =+，联立方程组221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()2234880k x kx ++-=，()296210k ∆=+>． 设()11,M x y ，()22,N x y ，则122834k x x k -+=+，122834x x k-=+．因为y 轴平分MQN ∠，所以直线QM 与QN 的斜率互为相反数， 即121211QM QN kx t kx t k k x x +-+-+=+()1212122(1)0kx x t x x x x +-+==，所以22882(1)3434k k t k k --⋅+-⋅++22168(1)8(3)03434k k t k t k k ----===++，因为8(3)0k t -=与k 无关，所以3t =．故在y 轴上存在一点(0,3)Q ，使得y 轴始终平分MQN ∠．【点睛】关键点睛：由y 轴平分MQN ∠，得到直线QM 与QN 的斜率互为相反数，这是解题的关键.。

2021年辽宁省名校高考数学第一次联考试卷一、选择题（共8小题）.1．已知集合U＝{x|﹣1≤x≤3}，A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则∁U A＝（）A．{﹣1}B．{3}C．{﹣1，3}D．∅2．复数＝（）A．1﹣3i B．1+3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i3．以点（3，﹣1）为圆心，且与直线x﹣3y+4＝0相切的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2＝20B．（x﹣3）2+（y+1）2＝10C．（x+3）2+（y﹣1）2＝10D．（x+3）2+（y﹣1）2＝204．在（2﹣x）6展开式中，x2的系数为（）A．240B．﹣240C．﹣160D．1605．已知sinα+cosα＝，且α∈（0，π），sinα﹣cosα＝（）A．B．C．D．6．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点M（x0，2）到焦点F的距离|MF|＝x0，则p ＝（）A．1B．2C．4D．57．某保鲜封闭装置由储物区与充氮区（内层是储物区用来放置新鲜易变质物品，充氮区是储物区外的全部空间，用来向储物区输送氮气从而实现保鲜功能）．如图所示，该装置外层上部分是半径为2半球，下面大圆刚好与高度为3的圆锥的底面圆重合，内层是一个高度为4的倒置小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆锥的底面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，为了保存更多物品，充氮区空间最小可以为（）A．4πB．C．D．8．已知函数f（x）＝x+．若曲线y＝f（x）存在两条过（2，0）点的切线，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（8，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（8，+∞）C．（﹣∞，0）∪（8，+∞）D．（﹣∞，﹣8）∪（0，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图为某省高考数学卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）．根据对比图，其中正确的为（）A．近三年容易题分值逐年增加B．近三年中档题分值所占比例最高的年份是2019年C．2020年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上D．近三年难题分值逐年减少10．设正实数a，b满足a+b＝1，则（）A．+有最小值4B．有最大值C．有最大值D．a2+b2有最小值11．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，其特点是圆的周长和面积同时被平分，充分体现了相互转化、对称统一、和谐共存的特点．若函数y＝f（x）的图象能够将圆的周长和面积同时平分，则称函数f（x）为这个圆的“和谐函数”．给出下列命题中正确的有（）A．对于任意一个圆，其“和谐函数”至多有2个B．函数f（x）＝ln（x+）可以是某个圆的“和谐函数”C．正弦函数y＝sin x可以同时是无数个圆的“和谐函数”D．函数f（x）＝2x+1不是“和谐函数”12．已知f（x）＝，则下列有关函数g（x）＝f[f（x）]﹣πf（x）﹣π在[﹣3，5]上零点的说法正确的是（）A．函数g（x）有5个零点B．函数g（x）有6个零点C．函数g（x）所有零点之和大于2D．函数g（x）正数零点之和小于4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．写出两个与终边相同的角．14．2021年的两会政府工作报告中提出：加强全科医生和乡村医生队伍建设，提升县级医疗服务能力，加快建设分级诊疗体系，让乡村医生“下得去、留得住”．为了响应国家号召，某医科大学优秀毕业生小李和小王，准备支援乡村医疗卫生事业发展，在康庄、青浦、夹山、河东4家乡村诊所任选两家分别就业，则小李选择康庄且小王不选择夹山的概率为．15．在边长为2的正三角形ABC中，D是BC的中点，＝2，CE交AD于F．①若＝x+y，则x+y＝；②•＝．16．已知数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝2a n+1，若b n+1＝（n﹣2t）（a n+1），b1＝﹣t，且数列{b n}是单调递增数列，则实数t的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2B+cos2C﹣cos2A＝1﹣sin B sin C．（1）求A；（2）若a＝，求△ABC的面积的最大值．18．已知首项为2的数列{a n}中，前n项和S n满足S n＝tn2+n（t∈R）．（1）求实数t的值及数列{a n}的通项公式a n；（2）将①b n＝，②b n＝2+a n，③b n＝2•a n，三个条件任选一个补充在题中，求数列{b n}的前n项和T n．19．目前，新能源汽车尚未全面普及，原因在于技术水平有待提高，国内几家大型汽车生产商的科研团队已经独立开展研究工作．吉利研究所、北汽科研中心、长城攻坚战三个团队两年内各自出成果的概率分别为，m，．若三个团队中只有长城攻坚战出成果的概率为．（1）求吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内至少有一个出成果的概率及m的值；（2）三个团队有X个在两年内出成果，求X分布列和数学期望．20．正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世届上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正四面体QPTR和一个正八面体AEFBHC的棱长都是a（如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体．（1）求新多面体的体积；（2）求二面角A﹣BF﹣C的余弦值；（3）求新多面体为几面体？并证明．21．已知函数f（x）＝．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若对于∀x∈[0，]，f（x）≤kx恒成立，求实数k的取值范围．22．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦距为2b，经过点P（﹣2，1）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足＝，直线PM，PN分别交椭圆于AB，PQ⊥AB，Q为垂足，是否存在定点R，使得|QR|为定值，说明理由．参考答案一、选择题（共8小题）.1．已知集合U＝{x|﹣1≤x≤3}，A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则∁U A＝（）A．{﹣1}B．{3}C．{﹣1，3}D．∅解：∵集合U＝{x|﹣1≤x≤3}，A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，∴∁U A＝{﹣1，3}．故选：C．2．复数＝（）A．1﹣3i B．1+3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i 解：＝．故选：A．3．以点（3，﹣1）为圆心，且与直线x﹣3y+4＝0相切的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2＝20B．（x﹣3）2+（y+1）2＝10 C．（x+3）2+（y﹣1）2＝10D．（x+3）2+（y﹣1）2＝20解：r＝＝，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y+1）2＝10．故选：B．4．在（2﹣x）6展开式中，x2的系数为（）A．240B．﹣240C．﹣160D．160解：展开式的通项公式为T＝C，令r＝2，则展开式中含x2项的系数为C，故选：A．5．已知sinα+cosα＝，且α∈（0，π），sinα﹣cosα＝（）A．B．C．D．解：把sinα+cosα＝，两边平方得：（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝﹣＜0，∵0＜α＜π，∴＜α＜π，即sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα＝＝＝＝．故选：C．6．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点M（x0，2）到焦点F的距离|MF|＝x0，则p ＝（）A．1B．2C．4D．5解：由抛物线的定义可知，|MF|＝x0+，∵|MF|＝x0，∴x0+＝x0，即x0＝p①，∵点M（x0，2）在抛物线y2＝2px上，∴（2）2＝2p•x0②，由①②解得，p＝2或﹣2（舍负），故选：B．7．某保鲜封闭装置由储物区与充氮区（内层是储物区用来放置新鲜易变质物品，充氮区是储物区外的全部空间，用来向储物区输送氮气从而实现保鲜功能）．如图所示，该装置外层上部分是半径为2半球，下面大圆刚好与高度为3的圆锥的底面圆重合，内层是一个高度为4的倒置小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆锥的底面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，为了保存更多物品，充氮区空间最小可以为（）A．4πB．C．D．解：设半球的半径为R，则R＝2，小圆锥的高为4，大圆锥的高为3，整个保鲜封闭装置的体积为＝，小圆锥的半径为r，则r2＝R2﹣（4﹣3）2＝22﹣1＝3，所以，故小圆锥的体积为，所以充氮区空间最小可以为．故选：B．8．已知函数f（x）＝x+．若曲线y＝f（x）存在两条过（2，0）点的切线，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（8，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（8，+∞）C．（﹣∞，0）∪（8，+∞）D．（﹣∞，﹣8）∪（0，+∞）解：f（x）＝x+．f′（x）＝1﹣，设切点坐标为（x0，x0+），则切线方程为：y﹣x0﹣＝（1﹣）（x﹣x0），又切线过点（2，0），可得﹣x0﹣＝（1﹣）（2﹣x0），整理得2x02+ax0﹣a＝0，曲线存在两条切线，故方程有两个不等实根，即满足△＝a2﹣8（﹣a）＞0，解得a＞0或a＜﹣8，故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图为某省高考数学卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）．根据对比图，其中正确的为（）A．近三年容易题分值逐年增加B．近三年中档题分值所占比例最高的年份是2019年C．2020年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上D．近三年难题分值逐年减少解：根据对比图，容易题这三年的分值分别为40，55，96，逐年增加，故选项A正确；2018年中档题分值76，占比最高，故选项B错误；2020年的容易题与中档题的分值之和占总分的100%＞90%，故选项C正确；难题分值分别为：34，46，12，并不是逐年减少，故选项D错误．故选：AC．10．设正实数a，b满足a+b＝1，则（）A．+有最小值4B．有最大值C．有最大值D．a2+b2有最小值解：正实数a，b满足a+b＝1，所以＝＝2+≥4，当且仅当且a+b＝1，即a＝b＝时取等号，此时取得最小值4，A正确；＝ab＝，当且仅当a＝b＝时取等号，此时取得最大值，B错误；（）2＝a+b+2＝1+2≤1+a+b＝2，当且仅当a＝b＝时取等号，故，即有最大值，C正确；a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝1﹣2ab＝，当且仅当a＝b＝时取等号，此时a2+b2取得最小值，D正确．故选：ACD．11．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，其特点是圆的周长和面积同时被平分，充分体现了相互转化、对称统一、和谐共存的特点．若函数y＝f（x）的图象能够将圆的周长和面积同时平分，则称函数f（x）为这个圆的“和谐函数”．给出下列命题中正确的有（）A．对于任意一个圆，其“和谐函数”至多有2个B．函数f（x）＝ln（x+）可以是某个圆的“和谐函数”C．正弦函数y＝sin x可以同时是无数个圆的“和谐函数”D．函数f（x）＝2x+1不是“和谐函数”解：选项A：因为过圆心的直线都可以将圆的面积周长同时平分，所以对于任意一个圆，其“和谐函数”有无数个，故A错误；选项B：因为函数f（x）＝ln（x+）是奇函数，满足和谐函数的定义，故B正确；选项C：将圆的圆心放在正弦函数的对称中心处，则正弦函数是该圆的和谐函数，故有无数个圆成立，故C正确；选项D：将圆的圆心放在函数f（x）＝2x+1图象上，则有无数个圆成立，故函数是和谐函数，故D错误，故选：BC．12．已知f（x）＝，则下列有关函数g（x）＝f[f（x）]﹣πf（x）﹣π在[﹣3，5]上零点的说法正确的是（）A．函数g（x）有5个零点B．函数g（x）有6个零点C．函数g（x）所有零点之和大于2D．函数g（x）正数零点之和小于4解：作出函数f（x）＝的图象如图所示，令f（x）＝t，则t，当时，函数g（x）＝f[f（x）]﹣πf（x）﹣π可变为，令h（t）＝0，即，即，则，解得，所以f（x）＝t＝﹣，由图可知，方程f（x）＝﹣有2个不同的实根x1，x2，且x1+x2＝﹣3；当t∈（1，+∞）时，函数g（x）＝f[f（x）]﹣πf（x）﹣π可变为＝，令p（t）＝0，即，又因为，所以方程有且仅有1个实根，则f（x）＝t，又，由图可知，方程f（x）＝t有4个不同的实根x3＜x4＜x5＜x6，由图可知，x3+x4＝1，又|log2（x﹣1）|＝t，所以log2（x5﹣1）＝﹣t，log2（x6﹣1）＝t，则，所以（x5﹣1）（x6﹣1）＝x5x6﹣（x5+x6）+1＝1，整理可得x5x6＝x5+x6＞2+2＝4，所以函数g（x）有6个零点，故选项A错误，选项B正确；x1+x2+x3+x4+x5+x6＞﹣3+1+4＝2，故选项C正确，因为x5+x6＞2+2＝4，故选项D错误．故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．写出两个与终边相同的角，（答案不唯一）．解：与终边相同的角．k∈Z，当k＝1时，α＝，当k＝2时，．故答案为：，（答案不唯一）．14．2021年的两会政府工作报告中提出：加强全科医生和乡村医生队伍建设，提升县级医疗服务能力，加快建设分级诊疗体系，让乡村医生“下得去、留得住”．为了响应国家号召，某医科大学优秀毕业生小李和小王，准备支援乡村医疗卫生事业发展，在康庄、青浦、夹山、河东4家乡村诊所任选两家分别就业，则小李选择康庄且小王不选择夹山的概率为．解：某医科大学优秀毕业生小李和小王在康庄、青浦、夹山、河东4家乡村诊所任选两家分别就业，基本事件总数n＝＝12，其中小李选择康庄且小王不选择夹山包含的基本事件个数m＝2，则小李选择康庄且小王不选择夹山的概率P＝＝＝．故答案为：．15．在边长为2的正三角形ABC中，D是BC的中点，＝2，CE交AD于F．①若＝x+y，则x+y＝；②•＝．解：如图：过E作EM∥AD，且EM∩BC＝M．由＝2，D是BC的中点得：，，故，即．所以＝．所以＝．故．易知．由已知得．所以•＝（）•（）＝＝＝．故答案为：．16．已知数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝2a n+1，若b n+1＝（n﹣2t）（a n+1），b1＝﹣t，且数列{b n}是单调递增数列，则实数t的取值范围是．解：因为a n+1＝2a n+1，即a n+1+1＝2（a n+1），所以数列{a n+1}是首项为a1+1＝2，公比为2的等比数列，则有a n+1＝2•2n﹣1，即a n＝2n﹣1，所以b n+1＝（n﹣2t）（a n+1）＝（n﹣2t）•2n，则b n＝（n﹣1﹣2t）•2n﹣1，n≥2，因为数列{b n}是单调递增数列，所以（n﹣2t）•2n＞（n﹣1﹣2t）•2n﹣1对n≥2恒成立，即n＞2t﹣1对n≥2恒成立，所以，又b2＞b1，即2（1﹣2t）＞﹣t，解得t＜，所以实数t的取值范围是．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2B+cos2C﹣cos2A＝1﹣sin B sin C．（1）求A；（2）若a＝，求△ABC的面积的最大值．解：（1）因为cos2B+cos2C﹣cos2A＝1﹣sin B sin C，所以1﹣sin2B+1﹣sin2C﹣（1﹣sin2A）＝1﹣sin B sin C．即sin2B+sin2C﹣sin2A＝sin B sin C，由正弦定理得b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理cos A＝＝，由A为三角形内角得A＝；（2）＝＝＝2，故b＝2sin B，c＝2sin C，S△ABC＝＝×4sin B sin C＝sin B sin（），＝（），＝sin2B+，＝sin2B﹣cos2B，＝sin（2B﹣）+，因为0，所以﹣＜2B﹣＜，故﹣＜sin（2B﹣）≤1，所以0＜sin（2B﹣）+≤．故△ABC的面积的最大值．18．已知首项为2的数列{a n}中，前n项和S n满足S n＝tn2+n（t∈R）．（1）求实数t的值及数列{a n}的通项公式a n；（2）将①b n＝，②b n＝2+a n，③b n＝2•a n，三个条件任选一个补充在题中，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）由题可知a1＝2，因为S n＝tn2+n，令n＝1，可得a1＝S1＝t+1＝2，解得t＝1，所以S n＝n2+n，S n﹣1＝（n﹣1）2+（n﹣1），所以a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）＝2n，当n＝1时，a1＝2也适合上式，所以数列{a n}的通项公式a n＝2n．（2）若选①b n＝＝（﹣），所以T n＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝﹣．若选②b n＝2+a n＝4n+2n，所以T n＝+n2+n＝﹣+n2+n．若选③b n＝2•a n＝2n•4n，所以T n＝2×41+4×42+6×43+…+2n•4n，4T n＝2×42+4×43+6×44+…+2n•4n+1，两式相减可得﹣3T n＝2×41+2×42+2×43+…+2•4n﹣2n•4n+1＝2×﹣2n•4n+1＝（﹣2n）4n+1﹣，所以T n＝（n﹣）4n+1+．19．目前，新能源汽车尚未全面普及，原因在于技术水平有待提高，国内几家大型汽车生产商的科研团队已经独立开展研究工作．吉利研究所、北汽科研中心、长城攻坚战三个团队两年内各自出成果的概率分别为，m，．若三个团队中只有长城攻坚战出成果的概率为．（1）求吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内至少有一个出成果的概率及m的值；（2）三个团队有X个在两年内出成果，求X分布列和数学期望．解：（1）三个团队中只有长城攻坚战出成果的概率为，则，解得，“吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内至少有一个出成果”的对立事件为“吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内都没有出成果”，则吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内至少有一个出成果的概率为＝；（2）根据题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，所以P（X＝0）＝；P（X＝1）＝＝；P（X＝2）＝＝；P（X＝3）＝＝．所以X的分布列为：X0123PX的数学期望为E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．20．正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世届上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正四面体QPTR和一个正八面体AEFBHC的棱长都是a（如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体．（1）求新多面体的体积；（2）求二面角A﹣BF﹣C的余弦值；（3）求新多面体为几面体？并证明．解：（1）连接BE、FH，交于O点，连接OA，四棱锥A﹣BFEH的高为AO，四棱锥A﹣BFEH的体积为V＝•S BFEH•AO＝＝，取PT中点N，连接NQ、NR，由NQ⊥PT，NR⊥PT，三棱锥Q﹣PTR的体积为V′＝•S△NQR•PT＝•a＝，所以新多面体的体积为2V+V′＝2•+＝．（2）取EF中点M连接AM、MC、MO，设∠AMO＝θ，cosθ＝＝＝，由几何体特征知，EF⊥MA，EF⊥MC，二面角A﹣EF﹣C的平面角为∠AMC＝2θ，cos2θ＝2cos2θ﹣1＝，因为二面角A﹣BF﹣C与二面角A﹣EF﹣C相等，所以二面角A﹣BF﹣C的余弦值为．（3）新多面体为7面体，证明如下：取AF中点H，连接EH、BH，OH，设∠OHE＝γ，sinγ＝＝＝因为AF⊥HE，AF⊥HB，所以二面角B﹣AF﹣E的平面角为∠BHE＝2γ，cos2γ＝1﹣2sin2γ＝，取RQ中点G，连接NG，设∠QNG＝α，sinα＝＝＝，因为NQ⊥PT，NR⊥PT，所以二面角Q﹣PT﹣R的平面角为∠QNR＝2α，cos2α＝1﹣2sin2α＝，所以2α与2θ、2γ都互补，于是把正四面体QPTR和正八面体AEFBHC拼接起来后，相邻面共面，所以新多面体为7面体．21．已知函数f（x）＝．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若对于∀x∈[0，]，f（x）≤kx恒成立，求实数k的取值范围．解：（1）由于f（x）＝，所以f′（x）＝，当cos x﹣sin x＞0，cos（x+）＞0，即x∈（2kπ﹣，2kπ+）（k∈Z）时，f'（x）＞0，当cos x﹣sin x＜0，cos（x+）＜0，即x∈（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）时，f'（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为（2kπ﹣，2kπ+）（k∈Z），单调递减区间为（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）；（2）令g（x）＝f（x）﹣kx＝﹣kx，要使f（x）≤kx总成立，只需x∈[0，]时g（x）max≤0，对g（x）求导，可得g′（x）＝﹣k，令h（x）＝，则h′（x）＝＜0（x∈[0，]）所以h（x）在[0，]上为减函数，而h（0）＝1，h（）＝﹣，所以h（x）∈[﹣，1]；对k分类讨论：①当k≤﹣时，g′（x）≥0恒成立，所以g（x）在[0，]上为增函数，所以g（x）max＝g（）＝﹣，即g（x）≤g（）＝﹣，由﹣≤0，解得：k≥，故≤k≤，无解；②当﹣＜k＜1时，g′（x）＝0在上有实根x0，因为h（x）在[0，]上为减函数，所以当x∈（x0，）时，g′（x）＜0，所以g（x0）＞g（0）＝0，不符合题意；③当k≥1时，g′（x）≤0恒成立，所以g（x）在[0，]上为减函数，则g（x）≤g（0）＝0，故成立；综上，可得实数k的取值范围是[1，+∞）．22．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦距为2b，经过点P（﹣2，1）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足＝，直线PM，PN分别交椭圆于AB，PQ⊥AB，Q为垂足，是否存在定点R，使得|QR|为定值，说明理由．解：（1）由题意可得，解得：a2＝8，b2＝2，所以椭圆的标准方程为：+＝1；（2）当M，N分别为椭圆的短轴上的端点时，设M（0，），N（0，﹣），则可得直线AB为y轴，由PQ⊥AB可得Q在y轴上，当M，N表示短轴的端点时，设直线AB的方程为y﹣kx+t，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理可得：（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣8＝0，x1+x2＝﹣，x1x2＝，直线PA：y﹣1＝（x+2）＝（x+2），令x＝0可得y＝，即M（0，）同理可得N（0，），由题意＝，所以+＝0整理可得：（4k+2）x1x2+（4k+2t+2）（x1+x2）+8t＝0，代入可得：（4k+2）（）+（4k+2+2t）（﹣）+8t＝0，整理可得：k（﹣4﹣2t）+t2﹣2﹣t＝0，当时，不论k为何时都成立，即t＝﹣2时恒成立，这时直线AB的方程为：y＝kx﹣2，所以直线AB恒过T（0，﹣2），因为PQ⊥AB，所以PQ⊥QT，所以Q是以PT为直径的圆上的点，又因为P（﹣2，1），所以它的圆心为（﹣1，﹣），所以设R（﹣1，﹣），则|QR|为定值，使|QR|＝|PT|，所以存在R使得|QR|为定值．21。