矩形脉冲信号频谱分析

信号与系统实验报告学院：电子信息与电气工程学院班级: 13级电信<1>班学号: *************:***实验六 矩形脉冲信号的分解 一、实验目的1. 分析典型的矩形脉冲信号，了解矩形脉冲信号谐波分量的构成；2. 观察矩形脉冲信号通过多个数字滤波器后，分解出各谐波分量的情况。

二、实验原理1. 信号的频谱与测量信号的时域特性和频域特性是对信号的两种不同的描述方式。

对于一个时域的周期信号)t (f ，只要满足狄利克莱(Dirichlet)条件，就可以将其展开成三角形式或指数形式的傅里叶级数。

例如，对于一个周期为T 的时域周期信号)t (f ，可以用三角形式的傅里叶级数求出它的各次分量，在区间)1,1(T t t +内表示为：)sin cos 1(0)(t n n b t n n n a a t f Ω+Ω∑∞=+=-----（1） 即将信号分解成直流分量及许多余弦分量和正弦分量，研究其频谱分布情况。

AA（c）图6-1 信号的时域特性和频域特性信号的时域特性与频域特性之间有着密切的内在联系，这种联系可以用图6-1来形象地表示。

其中图6-1(a)是信号在幅度--时间--频率三维座标系统中的图形；图6-1(b)是信号在幅度--时间座标系统中的图形即波形图；把周期信号分解得到的各次谐波分量按频率的高低排列，就可以得到频谱图。

反映各频率分量幅度的频谱称为振幅频谱。

图6-1(c)是信号在幅度--频率座标系统中的图形即振幅频谱图。

反映各分量相位的频谱称为相位频谱。

在本实验中只研究信号振幅频谱。

周期信号的振幅频谱有三个性质：离散性、谐波性、收敛性。

测量时利用了这些性质。

从振幅频谱图上，可以直观地看出各频率分量所占的比重。

测量方法有同时分析法和顺序分析法。

同时分析法的基本工作原理是利用多个滤波器，把它们的中心频率分别调到被测信号的各个频率分量上。

当被测信号同时加到所有滤波器上，中心频率与信号所包含的某次谐波分量频率一致的滤波器便有输出。

矩形脉冲信号频谱分析频谱分析是将信号分解为各个频率成分的过程，通过频谱分析可以获得信号的频率、幅度和相位信息。

在本文中，我们将探讨矩形脉冲信号的频谱分析。

矩形脉冲信号是一种特殊的信号，其幅度在一个有限的时间段内为常数，而其他时间段则为零。

首先，我们需要了解矩形脉冲信号的数学表示。

矩形脉冲信号可以表示为如下公式：x(t)=A,t在[-T/2,T/2]之间x(t)=0,其他时间其中，A为信号的幅度，T为信号的周期。

根据这个公式，我们可以看出矩形脉冲信号的频谱是离散的，只有在频率为信号周期的倍数时，才有非零振幅。

为了进行频谱分析，我们需要将矩形脉冲信号进行傅里叶变换。

傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学工具。

在频域中，信号可以表示为各个频率的组合，而傅里叶变换则可以得到信号各个频率成分的幅度和相位信息。

对于矩形脉冲信号，其傅里叶变换可以表示为：X(f) = AT * Tsinc(fT)其中，X(f)为信号在频域中的表示，AT为信号的幅度，Tsinc(fT)为sinc函数的变换。

根据上述公式，我们可以看出矩形脉冲信号在频域中有无数个成分，其幅度为AT，频率为fT的倍数。

其中，sinc函数可以表示为sinc(x) = sin(x)/x。

为了更好地理解矩形脉冲信号的频谱，我们可以画出其频谱图。

频谱图是将信号在频域中的成分进行可视化的一种方式。

在频谱图中，横轴表示频率，纵轴表示振幅。

根据矩形脉冲信号的傅里叶变换公式，我们可以画出其频谱图。

在频谱图中，我们会发现矩形脉冲信号在频域中的成分是离散的，只有在频率为信号周期的倍数时，才有非零振幅。

频谱图中的峰值对应着信号在相应频率上的振幅值。

根据矩形脉冲信号的傅里叶变换公式，我们可以发现振幅值随着频率的增加而衰减，即高频成分相对于低频成分的振幅较小。

此外，我们还可以通过频谱分析得到矩形脉冲信号的占空比。

占空比指的是信号的高电平时间与一个周期的比值。

在频谱图中，占空比可以通过矩形脉冲信号各个频率成分的振幅比例来估计。

一、实验目的1. 理解矩形脉冲信号的基本特性及其分解原理。

2. 掌握利用傅里叶级数对矩形脉冲信号进行分解的方法。

3. 通过实验验证傅里叶级数在信号分解中的应用。

二、实验原理矩形脉冲信号是一种典型的非正弦周期信号，其波形呈矩形，具有快速上升和下降的边缘。

在信号处理领域，矩形脉冲信号的分解对于理解信号的结构和特性具有重要意义。

根据傅里叶级数理论，任何周期信号都可以分解为一系列正弦波和余弦波的叠加。

对于矩形脉冲信号，其分解过程如下：1. 将矩形脉冲信号表示为傅里叶级数的形式，即：\[ f(t) = \frac{A}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4A}{\pi n}\sin(n\omega_0 t) \]其中，A为矩形脉冲信号的幅度，\( \omega_0 \) 为基波频率。

2. 通过滤波器将矩形脉冲信号分解为基波和各次谐波分量。

3. 利用示波器或频谱分析仪观察和分析分解后的信号。

三、实验仪器与设备1. 信号发生器2. 示波器3. 频谱分析仪4. 滤波器5. 矩形脉冲信号发生电路四、实验步骤1. 搭建矩形脉冲信号发生电路，调节信号发生器输出矩形脉冲信号，其幅度为A，周期为T。

2. 将矩形脉冲信号输入滤波器，滤波器应能分别通过基波和各次谐波分量。

3. 将滤波器输出的各次谐波分量分别接入示波器，观察和分析分解后的信号。

4. 利用频谱分析仪测量各次谐波分量的幅度和频率，并与理论值进行比较。

5. 记录实验数据，分析实验结果。

五、实验结果与分析1. 实验结果：通过实验，成功分解了矩形脉冲信号，得到了基波和各次谐波分量。

示波器显示的分解波形与理论分析一致，频谱分析仪测量的各次谐波分量幅度和频率也与理论值基本相符。

2. 分析：实验结果表明，傅里叶级数在矩形脉冲信号的分解中具有重要作用。

通过滤波器将信号分解为基波和各次谐波分量，有助于理解信号的结构和特性。

六、实验结论1. 矩形脉冲信号可以通过傅里叶级数进行分解，分解后的信号包括基波和各次谐波分量。

矩形脉冲信号的频谱矩形脉冲信号（也称为矩形波）在电子工程、通信和信号处理中非常常见。

它的频谱特性是分析和设计这些系统时的关键要素。

下面我们将详细介绍矩形脉冲信号的频谱特性，包括其基本概念、数学推导、重要性质以及在实际应用中的意义。

一、基本概念矩形脉冲信号是一种具有固定幅度和持续时间的信号，它在一定时间段内保持恒定的幅度，然后突然下降到零。

这种信号的时域表示非常简单明了，但在频域中却表现出复杂的特性。

通过傅里叶变换，我们可以将时域中的矩形脉冲信号转换为频域中的频谱。

二、傅里叶变换与频谱傅里叶变换是一种强大的数学工具，用于分析信号的频谱特性。

对于矩形脉冲信号，其傅里叶变换揭示了信号在频域中的分布情况。

傅里叶变换的基本思想是将复杂的时域信号分解为一系列简单的正弦波和余弦波的和。

1. 傅里叶级数对于周期性的矩形脉冲信号，我们首先可以通过傅里叶级数来进行分析。

傅里叶级数将周期信号表示为一系列正弦波和余弦波的叠加。

这些正弦波和余弦波的频率是基频的整数倍，而幅度和相位则由信号的特性和傅里叶系数决定。

2. 傅里叶变换对于非周期性的矩形脉冲信号，我们使用傅里叶变换来进行分析。

傅里叶变换将时域信号转换为频域信号，揭示了信号在不同频率下的幅度和相位信息。

对于矩形脉冲信号，其傅里叶变换的结果是一个连续的频谱，包含多个频率分量。

三、矩形脉冲信号的频谱特性1. 幅度谱和相位谱通过傅里叶变换，我们可以得到矩形脉冲信号的幅度谱和相位谱。

幅度谱表示不同频率分量的幅度大小，而相位谱则表示各频率分量的相位信息。

对于矩形脉冲信号，其幅度谱呈现出一系列离散的峰值，这些峰值对应于信号的谐波分量。

2. 带宽和主瓣宽度矩形脉冲信号的频谱带宽是指包含信号主要能量的频率范围。

带宽越宽，意味着信号包含的频率分量越多，信号的复杂性也越高。

主瓣宽度是指幅度谱中最大峰值对应的频率范围，它反映了信号的主要频率特性。

3. 旁瓣级数和旁瓣抑制除了主瓣外，矩形脉冲信号的幅度谱还包含多个旁瓣。

（规格为A4纸或A3纸折叠）At)(~txT-T0τ/2-τ/2图3-2 周期矩形信号由傅里叶级数展开式可知，方波信号傅里叶级数系数为：00sin()()2nn nAC san Tωτωττπ==；则该周期信号的三角形式的傅里叶级数的形式可以表示为：~00100sin()2()cos()T2nnA Ax t Sa n tTωτωτττωπ∞=⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑若τ=T0/2，则有)5cos513cos31(cosπ22)(~Λ-+-+=tttAAtxωωω可以看出各频率分量中，直流分量为A/2；偶次谐波分量为零；各奇次谐波分量比值为..:71:51:31:1。

图3-3 周期矩形信号当占空比为0.5时候的方波，即τ4=T时...)7cos(71)5cos(51)3cos(31)cos(121)(+++++=ttttt xππππππππ可以看出方波各频率分量中，直流分量为0.5；偶次谐波分量为零；各奇次谐波分量比值为..:71:51:31:1。

3. 周期矩形信号的合成吉伯斯现象（Gibbs）合成方波信号与原信号的误差取决于傅里叶级数的项数。

合成波形所包含的谐波分量越多，它越逼近原方波信号，但是间断点除外。

用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，在间断点附近不可避免的会出现振荡和超量。

超量的幅度不会随所取项数的增加而减小。

只是随着项数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，从而使它所占有的能量减少。

这种现象称为吉伯斯现象。

三、实验内容及步骤1.周期矩形信号的频谱分析已知周期矩形脉冲f(t)，设幅度A=1,宽度为i，周期为T，将其展开为傅里叶级数，研究周期矩形的宽度i和周期T变化时，对其频谱的影响。

(i=1/T=10;i=1/T=5;i=2/T=10)2.周期矩形信号的分解τ-τfn=tau*sinc(w3/pi*tau/2);%sinc t=sin(pi*t)/pi*t(t不等于0);(t=0) sinc t=1;subplot(3,1,3);stem(w3,fn);grid;title('tau=1,T=10');axis([-25 25 -0.5 2]);图3-4周期矩形脉冲信号频谱2.周期矩形信号的分解将频率为50Hz幅值为3的周期矩形信号进行分解，给出前5项谐波，并在不同坐标系和同一坐标系下绘制各次谐波波形代码：t=0:0.01:2*pi;y=zeros(10,max(size(t)));x=zeros(10,max(size(t)));for k=1:2:9x1=sin(k*t)/k;x(k,:)=x(k,:)+x1;y((k+1)/2,:)=x(k,:);endsubplot(2,1,1);plot(t,y(1:5,:));grid;halft=ceil(length(t)/2);subplot(2,1,2);mesh(t(1:halft),[1:10],y(:,1:halft));图3-5 周期矩形脉冲信号的分解3.周期矩形信号的合成对书中P220的例4-33题进行仿真，利用MATLAB 编程实现其各次谐波的叠加，观察N值改变时合成波形的变化，并验证Gibbs 现象。

实验一 抽样定理与信号恢复一、实验目的1. 观察离散信号频谱，了解其频谱特点；2. 验证抽样定理并恢复原信号。

二、实验原理1. 离散信号不仅可从离散信号源获得，而且也可从连续信号抽样获得。

抽样信号 Fs （t ）=F （t ）·S （t ）。

其中F （t ）为连续信号（例如三角波），S （t ）是周期为Ts 的矩形窄脉冲。

Ts 又称抽样间隔，Fs=1Ts 称抽样频率，Fs （t ）为抽样信号波形。

F （t ）、S （t ）、Fs （t ）波形如图1-1。

t-4T S -T S 0T S 4T S8T S 12T S tt02/1τ1τ2/31τ2/1τ1τ2/31τ2/1τ-(a)(b)(c)图1-1 连续信号抽样过程将连续信号用周期性矩形脉冲抽样而得到抽样信号，可通过抽样器来实现，实验原理电路如图1-2所示。

2. 连续周期信号经周期矩形脉冲抽样后，抽样信号的频谱()∑∞∞--∙=m s s m m SaTsA j )(22s F ωωπδτωτω 它包含了原信号频谱以及重复周期为fs （f s =πω2s 、幅度按ST A τSa （2τωs m ）规律变化的原信号频谱，即抽样信号的频谱是原信号频谱的周期性延拓。

因此，抽样信号占有的频带比原信号频带宽得多。

以三角波被矩形脉冲抽样为例。

三角波的频谱 F （j ω）=∑∞-∞=-K k k sa E )2()2(12τπωδππ抽样信号的频谱Fs （j ω）=式中 取三角波的有效带宽为31ω18f f s =作图，其抽样信号频谱如图1-3所示。

图1-2 信号抽样实验原理图)(2(212s m k s m k k Sa m Sa TS EA ωωωδπτωτπ--∙∙∑∞-∞=-∞=111112ττπω==f 或(b) 抽样信号频谙图1-3 抽样信号频谱图如果离散信号是由周期连续信号抽样而得，则其频谱的测量与周期连续信号方法相同，但应注意频谱的周期性延拓。

实验4 矩形脉冲信‎号的分解一、实验目的1. 分析典型的‎矩形脉冲信‎号，了解矩形脉‎冲信号谐波‎分量的构成‎；2. 观察矩形脉‎冲信号通过‎多个数字滤‎波器后，分解出各谐‎波分量的情‎况。

二、实验原理1. 信号的频谱‎与测量信号的时域‎特性和频域‎特性是对信‎号的两种不‎同的描述方‎式。

对于一个时‎域的周期信‎号)t (f ，只要满足狄‎利克莱(Diric ‎hlet)条件，就可以将其‎展开成三角‎形式或指数‎形式的傅里‎叶级数。

例如，对于一个周‎期为T 的时‎域周期信号‎)t (f ，可以用三角‎形式的傅里‎叶级数求出‎它的各次分‎量，在区间内表‎)1,1(T t t +示为：)sin cos 1(0)(t n n b t n n n a a t f Ω+Ω∑∞=+=-----（1） 即将信号分‎解成直流分‎量及许多余‎弦分量和正‎弦分量，研究其频谱‎分布情况。

AA（c）图4-1 信号的时域‎特性和频域‎特性信号的时域‎特性与频域‎特性之间有‎着密切的内‎在联系，这种联系可‎以用图4-1来形象地‎表示。

其中图4-1(a)是信号在幅‎度--时间--频率三维座‎标系统中的‎图形；图4-1(b)是信号在幅‎度--时间座标系‎统中的图形‎即波形图；把周期信号‎分解得到的‎各次谐波分‎量按频率的‎高低排列，就可以得到‎频谱图。

反映各频率‎分量幅度的‎频谱称为振‎幅频谱。

图4-1(c)是信号在幅‎度--频率座标系‎统中的图形‎即振幅频谱‎图。

反映各分量‎相位的频谱‎称为相位频‎谱。

在本实验中‎只研究信号‎振幅频谱。

周期信号的‎振幅频谱有‎三个性质：离散性、谐波性、收敛性。

测量时利用‎了这些性质‎。

从振幅频谱‎图上，可以直观地‎看出各频率‎分量所占的‎比重。

测量方法有‎同时分析法‎和顺序分析‎法。

同时分析法‎的基本工作‎原理是利用‎多个滤波器‎，把它们的中‎心频率分别‎调到被测信‎号的各个频‎率分量上。