初一数学有关三角形旋转的题

初一数学图形的对称平移与旋转试题答案及解析1.下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C．【解析】由轴对称图形的概念可知第1个，第2个，第3个都是轴对称图形．第4个不是轴对称图形，是中心对称图形．故是轴对称图形的有3个．故选C．【考点】轴对称图形．2.如图，将三角形ABC绕点O旋转得到三角形A/B/C/，且∠AOB=300，∠AOB/=200，则（1）点B的对应点是________________;（2）线段OB的对应线段是____________;（3）∠AOB的对应角是________________;（4）三角形ABC旋转的角度是__________;【答案】B′，OB′，∠A′OB′，50°．【解析】△ABC经过旋转得到△A′B′C′，旋转中心为点O，点B的对应点是B′，线段OB的对应线段为OB′，∠AOB对应∠A′OB′，旋转角∠BOB′=∠AOB+∠AOB′．试题解析：依题意，△ABC经过旋转得到△A′B′C′，可知：旋转中心为点O，点B的对应点是B′，线段OB的对应线段为OB′，∠AOB对应∠A′OB′，∠BOB′=∠AOB+∠AOB′=30°+20°=50°．【考点】旋转的性质．3.下列说法不正确的是（）A．平移或旋转后的图形的形状大小不变B．平移过程中对应线段平行（或在同一条直线上）且相等C．旋转过程中，图形中的每一点都旋转了相同的路程D．旋转过程中，对应点到旋转中心的距离相等【答案】C【解析】A、平移或旋转后的图形的形状大小不变，所以A选项的说法正确；B、平移过程中对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，所以B选项的说法正确；C、旋转过程中，图形中的每一点所旋转的路程等于以旋转中心为圆心、每个点到旋转中心的距离为半径、圆心角为旋转角的弧长，所以C选项的说法不正确；D、旋转过程中，对应点到旋转中心的距离相等，所以D选项的说法正确．故选C．【考点】1、旋转的性质；2、平移的性质4.（本题4分）如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点和点M都在小方格的顶点上．按要求作图，使△ABC的顶点在方格的顶点上．（1）过点M做直线AC的平行线；（2）将△ABC平移，使点M落在平移后的三角形内部．【答案】作图见解析.【解析】（1）根据直线AC经过的网格得出过点M作直线AC的平行线.（2）再将△ABC向下平移1个单位向右平移5个单位得出即可．试题解析：（1）如图所示：（2）如图所示：【考点】作图—基本作图和平移变换．5.把两块全等的直角三角形和叠放在一起，使三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合，其中，，，把三角板固定不动，让三角板绕点旋转，设射线与射线相交于点，射线与线段相交于点．（1）如图1，当射线经过点，即点与点重合时，易证．此时，；将三角板由图1所示的位置绕点沿逆时针方向旋转，设旋转角为．其中，问的值是否改变？答：（填“会”或“不会”）；若改变，的值为（不必说明理由）；（2）在（1）的条件下，设，两块三角板重叠面积为，求与的函数关系式．（图2，图3供解题用）【答案】（1）8，不会；（2）当时，当时，.【解析】（1）根据旋转的性质及相似三角形的性质求解即可；（2）情形1：当时，，即，此时两三角板重叠部分为四边形，过作于，于，根据三角形的面积公式求解即可；情形2：当时，时，即，此时两三角板重叠部分为，由于，，易证：，根据相似三角形的性质求解即可.（1）由题意得8；将三角板旋转后的值不会改变；（2）情形1：当时，，即，此时两三角板重叠部分为四边形，过作于，于，由（2）知：得于是情形2：当时，时，即，此时两三角板重叠部分为，由于，，易证：，即，解得于是综上所述，当时，当时，.本题涉及了旋转问题的综合题，此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.6.在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△的三个顶点的位置如图所示，现将△平移，使点对应点，点分别对应点．(1) 画出平移后的△．(2) △的面积是_ ;(3) 连接，则这两条线段之间的关系是__ __.【答案】（1）作图见解析；（2）3.5；（3）平行且相等.【解析】（1）由图可得将△ABC先向左平移了3个单位长度，又向下平移了1个单位长度，则可画出图形；（2）△A′B′C′的面积等于边长为3的正方形的面积减去直角边长为2，1的直角三角形的面积，减去边长为1，3的直角三角形面积，减去直角边长为3，2的直角三角形的面积；（3）根据平移前后对应点的连线平行且相等判断即可．试题解析：：（1）如图：=3×3-×1×2-×1×3-×2×3=3.5；（2）S△A′B′C′（3）平行且相等.【考点】作图—平移变换.7.如图的图形中只能用其中一部分平移可以得到的是（）【答案】B．【解析】A、图形为轴对称所得到，不属于平移；B、图形的形状和大小没有变化，符合平移性质，是平移；C、图形为旋转所得到，不属于平移；D、最后一个图形形状不同，不属于平移．故选B．【考点】利用平移设计图案．8.将长度为5cm的线段向上平移10cm，则所得线段的长度为（）A．5cm B．10cm C．15cm D．无法确定【答案】A．【解析】根据平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得：线段长度不变，还是5cm．故选A．【考点】平移的性质．9.把图形（1）进行平移，能得到的图形是（）【答案】C【解析】观察图形可知图形进行平移，能得到的图形C，故选C．【考点】生活中的平移现象．10.如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．（1）补全△A′B′C′根据下列条件，利用网格点和三角板画图：（2）画出AB边上的中线CD；（3）画出BC边上的高线AE；（4）△A′B′C′的面积为。

初一数学三角形知识点归纳一、与三角形有关的线段1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形2、等边三角形:三边都相等的三角形3、等腰三角形：有两条边相等的三角形4、不等边三角形：三边都不相等的三角形5、在等腰三角形中,相等的两边都叫腰,另一边叫底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角6、三角形分类：不等边三角形等腰三角形：底边和腰不等的等腰三角形等边三角形7、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边注：1）在实际运用中,只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形 2）在实际运用中，已经两边，则第三边的取值范围为：两边之差〈第三边〈两边之和3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，注意检查每个答案能否组成三角形8、三角形的高：从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高9、三角形的中线：连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线注：两个三角形周长之差为x,则存在两种可能：即可能是第一个△周长大，也有可能是第一个△周长小10、三角形的角平分线：画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线11、三角形的稳定性,四边形没有稳定性二、与三角形有关的角1、三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180度。

证明方法：利用平行线性质2、三角形的外角:三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角3、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和4、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角5、三角形的外角和为360度6、等腰三角形两个底角相等三、多边形及其内角和1、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形2、N边形：如果一个多边形由N条线段组成，那么这个多边形就叫做N边形。

3、内角:多边形相邻两边组成的角叫做它的内角4、外角:多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角5、对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线6、正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形7、多边形的内角和：n边形内角和等于(n-2）＊1808、多边形的外角和：360度注：有些题，利用外角和,能提升解题速度9、从n边形的一个顶点出发，可以引n-3条对角线，它们将n边形分成n-2个△注：探索题型中，一定要注意是否是从N边形顶点出发，不要盲目背诵答案10、从n边形的一个顶点出发，可以引n—3条对角线,n边形共有对角线23)-n(n条。

初一数学三角形试题答案及解析1.如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝30°，∠C ＝70°，则∠EAD＝【答案】20【解析】∵∠B=30°，∠C=70°，∴在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=80°，∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAE=∠BAC=40°，又∵AD⊥BC，∴∠BAD=90°﹣∠B=60°，∴∠EAD=∠BAD﹣∠BAE=60°﹣40°=20°．故答案为：20．【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质2.腰三角形的底角是顶角的两倍，则此等腰三角形的顶角为【答案】36°.【解析】设等腰三角形的顶角度数为x，则底角度数为2x，根据三角形内角和定理：x+2x+2x=180°，解得x的度数．试题解析：设等腰三角形的顶角度数为x，∵等腰三角形的底角是顶角的两倍，则底角度数为2x，根据三角形内角和定理：x+2x+2x=180°，解得x=36°.【考点】等腰三角形的性质．3.如图，AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，BC=9cm，BD=5cm，则点D到AB的距离是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．9 cm【答案】A.【解析】如图，过点D作DE⊥AB于E，∵BC=9cm，BD=5cm，∴CD=BC-BD=9-5=4cm，∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，∴DE=CD=4cm，即点D到AB的距离是4cm．故选A．【考点】角平分线的性质．4.在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B与点C都在x轴上，且点B在点C的左侧，满足BC=OA，若-3a m-1b2与a n b2n-2是同类项且OA=m，OB=n．（1）m= ；n= ．（2）点C的坐标是．（3）若坐标平面内存在一点D，满足△BCD全等△ABO，试求点D的坐标．【答案】（1）3，2；（2）（5，0）或（1，0）；（3）（5，2）或（5，-2）或（2，2）或（2，-2），（1，2）或（1，-2）或（-2，2）或（-2，-2）．【解析】（1）根据同类项的概念即可求得；（2）根据已知条件即可求得B（2，0）或（-2，0），根据点B在点C的左侧，BC=OA，即可确定C的坐标；（3）根据三角形全等的性质即可确定D的坐标；试题解析：（1）∵-3a m-1b2与a n b2n-2是同类项，∴，解得．（2）∵OA=m，OB=n，∴B（2，0）或（-2，0），∵点B在点C的左侧，BC=OA，∴C（5，0）或（1，0）；（3）当C（5，0）时，∵△BCD全等△ABO，BC=OA=3，∴CD=2或BD=2，∴D的坐标为（5，2）或（5，-2）或（2，2）或（2，-2）；当C（1，0）时，∵△BCD全等△ABO，BC=OA=3，∴CD=2或BD=2，∴D的坐标为（1，2）或（1，-2）或（-2，2）或（-2，-2）．所以D点的坐标为（5，2）或（5，-2）或（2，2）或（2，-2），（1，2）或（1，-2）或（-2，2）或（-2，-2）．【考点】1.全等三角形的判定与性质；2.同类项；3.坐标与图形性质．5.如图，在△ABC中，∠B=400，∠C=1100．（1）画出下列图形：①BC边上的高AD；②∠A的角平分线AE．（2）试求∠DAE的度数．【答案】（1）图形见解析；（2）∠DAE=35°．【解析】（1）按照三角形高线和角平分线定义进行画图即可；（2）利用角平分线把一个角平分的性质和高线得到90°的性质可得∠DAE的度数．（1）如图：（2）∵∠DAB=180°﹣∠ABC﹣∠ADB=180°﹣90°﹣40°=50°，∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠C=180°﹣40°﹣110°=30°，又∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠BAC=150°，（角平分线的定义）∴∠DAE=∠DAB﹣∠BAE=50°﹣15°=35°．【考点】三角形高线和角平分线．6.作图题：（可以不写作法）如图已知三角形ABC内一点P．（1）过P点作线段EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F（2）过P点作线段PD使PD⊥BC垂足为D点．【答案】作图见解析．【解析】（1）根据过直线外一点作已知直线平行线的方法作图即可；（2）利用直角三角板，一条直角边与BC重合，沿BC平移，使另一条直角边过点P画垂线即可．（1）如图，EF即为所求．(2) 如图，PD即为所求．【考点】作图—基本作图．7.如图，AD为△ABC的中线,（1）作△ABD的中线BE；（2）作△BED的BD边上的高EF；（3）若△ABC的面积为60，BD=10，则点E到BC边的距离为多少？【解析】（1）找到边AD的中点E，连接BE，线段BE是△ABD的中线；（2）△BED是钝角三角形，所以BD边上的高在BD的延长线上；（3）先根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形，结合题意可求得△BED 的面积，再直接求点E 到BC 边的距离即可．试题解析：（1）如图所示，BE 是△ABD 的中线；（2）如图所示，EF 即是△BED 中BD 边上的高．（3）∵AD 为△ABC 的中线，BE 为三角形ABD 中线，∴S △BED =S △ABC =×60=15；∵BD=10，∴EF=2S △BED ÷BD=2×15÷10=3，即点E 到BC 边的距离为3．【考点】1．三角形的角平分线、中线和高；2．三角形的面积；8. 在△ABC 中，已知∠A:∠B:∠C=2:3:4，则这个三角形是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形【答案】C ．【解析】根据题意，设∠A 、∠B 、∠C 分别为2k 、3k 、4k ，则∠A+∠B+∠C=2k+3k+4k=180°，解得k=20°，∴4k=4×20°=80°＜90°，所以这个三角形是锐角三角形．故选C ．考点: 三角形内角和定理．9. 已知等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边为_________．【答案】9【解析】等腰三角形的两边长分别为4和9时，当4为腰时，则可知两腰和=4+4=8＜9不符合三角形任意两边和大于第三边。

初一数学三角形试题答案及解析1.小亮截了四根长分别为5cm，6cm，10cm，13cm的木条，任选其中三条组成一个三角形，这样拼成的三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C．【解析】选其中3根组成一个三角形，不同的选法有5cm，6cm，10cm；5cm，10cm，13cm；6cm，10cm，13cm；共3种．故选C．【考点】三角形三边关系．2.如图，△ABC≌△AED，∠B=40°，∠EAB=30°，∠ACB=45°，∠D= °．【答案】45°．【解析】根据全等三角形的对应角相等即可得出∠D的度数．试题解析：∵△ABC≌△AED，∠ACB=45°，∴∠ACB=∠D=45°．【考点】全等三角形的性质．3.如图，∠ACB＞90°，AD^BC，BE^AC，CF^AB，垂足分别为点D、点E、点F，△ABC中BC边上的高是（）A.CF ；B.BE；C.AD；D.CD；【答案】B.【解析】如图，AD、BE、CF分别是三角形ABC三条边上的高，与AC对应的高是BE．故选B.【考点】作三角形的高．4.若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的内角和等于 ____________ . 【答案】1800°．【解析】根据任何多边形的外角和都是360°，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．n边形的内角和是（n-2）•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．试题解析：多边形的边数：360°÷30°=12，正多边形的内角和：（12-2）•180°=1800°．【考点】多边形内角与外角．5.正八边形的每一个内角都等于 °．【答案】135°【解析】多边形的内角和公式=180°×（n-2）=180°×（8-2）=1080°，所以每个内角为1080°÷8=135°.本题涉及了多边形内角和，该题较为简单，主要考查学生对多边形内角和公式的应用，以及对正多边形的内角间的关系。

七年级数学角度旋转题已知角度，求解角度之间的关系和值。

1.当OB和OC重合时，∠EOF的度数为80°，因为OE和OF分别平分∠AOC和∠BOD，所以∠XXX∠BOF=50°，又因为OB和OC重合，所以∠EOC+∠EOF+∠BOF=180°，解得∠EOF=80°。

2.当∠COD从图1所示的位置绕点O顺时针旋转n°时，AOE BOF的值为定值，因为∠AOC和∠BOD是定值，∠AOE=1/2∠AOC，∠BOF=1/2∠BOD，所以∠AOE-∠BOF=1/2(∠AOC-∠BOD)=1/2∠COD，是一个定值。

3.当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0<n<180）时，满足∠AOD+∠BOF=6∠COD，解得n=30°。

4.当OB绕点O在∠AOD内旋转时，∠MON=60°，因为OM和ON分别平分∠AOB和∠BOD，所以∠MOB=∠DON=30°，又因为∠MON=∠MOB+∠MON=∠DON+∠MON=∠AOD/2=80°/2= 40°。

5.当∠BOC=20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD时，当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时，∠MON的大小为50°，因为∠AOC和∠BOD是定值，∠MON=∠MOB+∠DON=1/2∠AOC+1/2∠BOD-∠BOC=1/2(∠AOC+∠BOD-2∠BOC)=1/2(160°-2∠BOC)，∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时，∠BOC的大小是定值，所以∠XXX的大小也是定值。

6.当∠AOB=10°，当∠BOC在∠AOD内绕点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM：∠DON＝2：3，求t的值。

根据∠AOM：∠DON＝2：3可得∠AOM=2/5∠AOD，∠DON=3/5∠AOD，又因为OM和ON分别平分∠AOB和∠BOD，所以∠MOB=∠DON=3/5∠AOD，∠MON=∠MOB+∠DON=6/5∠AOD，∠BOC在∠AOD内绕点O旋转的角度为2t°，根据∠BOC=∠AOD-∠AOB-∠BOA可得∠AOD-10°-2t°=∠BOA，又因为∠AOM+∠MOB+∠BOA=180°，代入可得2/5∠AOD+3/5∠AOD+∠AOD-10°-2t°=180°，解得t=35秒。

全等三角形练习题1. 如图1,ΔABE ≌ΔACD ，AB=8cm ，AD=5cm ，∠A=60°，∠B=40°，则AE=_______，∠C=_____.2. 如图2，如图，△ABC ≌△ADE ，则，AB = ，∠E =∠ ．若∠BAE =120°，∠BAD =40°，则∠BAC =3. 如图3：∠ABC=∠DEF ，AB=DE ，要说明ΔABC ≌ΔDEF(1) 若以“SAS ”为依据，还要添加的条件为______________； (2) 若以“ASA ”为依据，还要添加的条件为______________； (3) 若以“AAS ”为依据，还要添加的条件为______________.4． 如图4：要测量河岸相对的两点A 、B 之间的距离，先从B 处出发与AB 成90°角方向，向前走50米到C 处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D 处，在D 处右转90°沿DE 方向再走17米，到达E 处，使A 、C 与E 在同一直线上，那么测得A 、B 的距离为__________米. 5. 如图5，AB ∥CD ，AD ∥BC ，OE=OF ，则图中全等三角形有________对ABCDEFO（图1） （图2） （图3） （图4） （图5）6． 如图6，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ︰S △BCO ︰S △CAO =_____________7. 如图7,在ΔABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，若AB=6cm ，则ΔDBE 的周长是__________8. 如图8,幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子（BC=EF ），左边滑梯的高度AC 等于右边滑梯水平方向的长度DF ，则∠ABC+∠DFE= °.9．如图9，△ABC 是不等边三角形，DE =BC ，以D ，E 为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC 全等，这样的三角形最多可以画出_____个．EDCAFED CBA AD E（图6） （图7） （图8） （图9） 10． 已知:如图,点B,E,C,F 在同一直线上,AB ∥DE,且AB=DE,BE=CF.求证: ΔAB C ≌ΔDEF 11．如图,已知∠DCE=90°,∠DAC=90°,BE⊥AC 于B,且DC=EC, 能否找出与AB+AD 相等的线段,并说明理由.BAE12.如图，AD ⊥BC 于D ，AD=BD ，AC=BE. 判断BE 和AC 的关系并证明.13．用三角板可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB 的两边上，分别取OM ＝ON （如图13），再分别过点M 、N 作OA 、OB 的垂线，交点为P ，画射线OP ，则OP 平分∠AOB ，请你说出其中的道理．14．如图14，工人师傅要在墙壁的O 处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B 点处打开，墙壁厚是35 cm ，B 点与O 点的铅直距离AB 长是20 cm ，工人师傅在旁边墙上与AO 水平的线上截取OC ＝35 cm ，画CD ⊥OC ，使CD ＝20cm ，连接OD ，然后沿着DO 的方向打孔，结果钻头正好从B 点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由．15．如图15，在四边形ABCD 中，AB AD =，BC DC =，E 为AC 上的一动点（不与A 重合），在E 移动过程中BE 和DE 是否相等？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由．16. 如图16， OA=OB,AC=BD.求证：OE 平分∠AOBD A EBEAOC17.如图17，小明在完成数学作业时，遇到了这样一个问题，AB=CD，BC=AD，请说明：∠A=∠C的道理，小明动手测量了一下，发现∠A确实与∠C相等，但他不能说明其中的道理，你能帮助他说明这个道理吗？试试看.18．如图16，DA平分∠BAC,AB=AC．求证： BD=CD19．已知如图19-1,AD=DC，BD平分∠ABC，求证：∠A与∠C互补.变化1：已知如图19-2,AD=DC，∠A与∠C互补，求证：BD平分∠ABC.变化2：已知如图19-3,DE⊥BC，AB+BC=2BE，求证：∠A与∠C互补.20.如图，△ABC 中AC＝BC，∠ACB＝90°，∠A的平分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥AD于点E.求证：BE ＝12AD.EDCBABEACBDABDABD21．已知如图21，点C 是线段AB 上的任一点（C 点与A ，B 点不重合）分别以AC ，BC 为边在线段AB 的同侧作等边ACD △和等边BCE △,AE 与CD 相交于M ，BD 与CE 相交于N ．求证：①ACE DCB △≌△，②//MN AB ．22．如图22-1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线l 经过顶点C ，过A 、B 两点分别作l 的垂线AE 、BF ，E 、F 为垂足．（1）当直线l 不与底边AB 相交时，求证：EF ＝AE ＋BF ．(图22-1)（2）如图22-2，将直线l 绕点C 顺时针旋转，使l 与底边AB 交于点D ，请你探究直线l 在如下位置时，EF 、AE 、BF 之间的关系． ①AD ＞BD ；②AD ＝BD ；③AD ＜BD ．（图22-2）23．如图（1），已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB ＝CD ，BC ＝DE ，（1）试判断AC 与CE 的位置关系，并说明理由．（2）．若将CD 沿CB 方向平移得到图（2）（3）（4）（5）的情形，其余条件不变，此时第（1）问中AC 与CE 的位置关系还成立吗？结论还成立吗？请说明理由．（图23）C NB ED A M24. 一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如图7形式，使点B，F，C，D在同一条直线上．（1）求证：AB⊥ED．（2）若PB＝BC，请找出图中与此条件有关的一对．．全等三角形，并给予证明．25. 如图25-1所示，点A（1）求证：∠ABC=∠ACB.（2）如图25-2所示，过x点的坐标；（3）如图所示，将⊿ABC沿x直线与AB的延长线交于Q点，与EFMBCPNDABEDCFA26．在四边形ABDE 中，C 是BD 边的中点．（1）如图(1)，若AC 平分BAE ∠，ACE ∠=90°, 求线段AE 、AB 、DE 的长度满足的数量关系 （2）如图（2），AC 平分BAE ∠， EC 平分AED ∠，若120ACE ∠=︒，则线段AB 、BD 、DE 、AE 的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；（3）如图（3），BD = 8，AB =2，DE =8，135ACE ∠=︒，求线段AE 长度的最大值.(图25-3)EDC BA图（2）EDCBA图（3） EDC BA图（1）。

初一数学春季班（教师版）压轴综合题内容分析本章主要针对图形在运动过程中存在的不变性进行推理论证，找出特殊的三角形的隐含条件作为辅助，解决相关角度不变性及比值和面积的相关问题，对于复杂的综合题，需添加辅助线，常见的辅助线有倍长中线构造全等，做高等，视具体题目而定．知识结构模块一：角度的不变性知识精讲本节主要运用三角形的内外角之间的关系进行换算和求解在动点下产生不变角的问题，特别是外角定理的运用在本节中非常重要．2/ 31【例1】 如图，已知∠MON =90°，点A 、B 分别在射线OM 、ON 上，∠OAB 的内角平分线与∠OBA 的外角平分线所在的直线交于点C ． （1） 试说明∠C 与∠O 的关系；（2） 当点A 、B 分别在射线OM 、ON 上移动时，试问∠C 的大小是否发生变化，若保 持不变，求出∠C 的大小；若发生变化，求出其变化范围．【答案】（1）2∠C =∠O ；（2）不变，为45°． 【解析】∠ACB 的大小不变．理由：∵AC 平分∠OAB （已知），∴∠BAC =12∠OAB （角平分线的定义），∵BD 平分∠ABN （已知），∴∠ABD =12∠ABN （角平分线定义），∵∠ABN =∠MON +∠OAB （三角形的外角性质），∠ABD =∠ACB +∠BAC （三角形的外角性质），∴∠ACB =∠ABD -∠BAC =12（∠MON +∠OAB ）-12∠OAB =12∠MON =12×90°=45°． 【总结】本题主要考察了三角形外角和定理，结合角平分线的性质．例题解析AB CDMN O4 / 31【例2】 如图，在平面直角坐标系中，△ABO 是直角三角形，∠AOB =90°，斜边AB与y轴交于点C ．（1） 若∠A =∠AOC ，求证：∠B =∠BOC ；（2） 延长AB 交x 轴于点E ，过O 作OD ⊥AB ，且∠DOB ＝∠EOB ，∠OAE ＝∠OEA ， 求∠A 的度数；（3） 如图，OF 平分∠AOM ，∠BCO 的平分线交FO 的延长线于点P ，当△AOB 绕O 点旋转时（斜边AB 与y 轴正半轴始终交于点C ），在（2）的条件下，试问∠P 的度数是否发生变化?若不变，请求出其度数；若改变，请说明理由 【答案】（1）略；（2）∠A =30°；（3）不变，25°．【解析】（1）∵△AOB 是直角三角形∴∠A +∠B =90°，∠AOC +∠BOC =90° ∵∠A =∠AOC ，∴∠B =∠BOC ．（2）∵∠A +∠ABO =90°，∠DOB +∠ABO =90° ∴∠A =∠DOB ，即∠DOB =∠EOB =∠OAE =∠OEA ∵∠DOB +∠EOB +∠OEA =90° ∴∠A =30°． （3）∠P 的度数不变，∠P =25°∵∠AOM =90°-∠AOC ，∠BCO =∠A +∠AOC 又OF 平分∠AOM ，CP 平分∠BCO∴∠FOM =45°-12∠AOC ，∠PCO =12∠A +12∠AOC∴∠P =180°-（∠PCO +∠FOM +90°）=45°-12∠A =25°． 【总结】本题主要考察了三角形内角和与外角和定理，融入结合角平分线的性质，综合性较强．ABCD ExyOA BCPMFxy O【例3】 如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC ，BD ，CD ．（1）求点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积；（2）在y 轴上是否存在一点P ，连接PA ，PB ，使PAB ABCD S S ∆=四边形，若存在这样一点，求出点P 的坐标，若不存在，试说明理由．（3）点P 是线段BD 上的一个动点，连接PC ，PO ，当点P 在BD 上移动时（不与B ，D 重合）给出下列结论：①+DCP BOP CPO ∠∠∠的值不变，②+DCP CPOBOP ∠∠∠的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．42），=8ABCDS ；（2）P 1（0，4），P 2（0，-4）；（3）①不变．【解析】（1）依题意知，将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，故C 、D 两点点y 值为2．所以点C ，D 的坐标分别为C （0,2），D (4,2)，ABCDS= CO ×AB =2×4=8．（2）理由如下：设点P 到AB 的距离为h ，PAB S ∆=12×AB ×h =2h ， 由PAB ABCD S S ∆=，得2h = 8，解得h = 4，∴P （0，4）或（0，-4）． （3）①是正确的结论，过点P 作PQ ∥CD ，因为AB ∥CD ，所以PQ ∥AB ∥CD （平行公理的推论）∴∠DCP ＝∠CPQ ，∵∠BOP ＝∠OPQ (两直线平行，内错角相等)， ∴∠DCP ＋∠BOP ＝∠CPQ +∠OPQ ＝∠CPO ，所以＝=1．【解析】本题考察了在平面直角坐标系中的数形结合问题，与平行线性质解决角的问题．ABCD Oy-1 A BCDOxyOABCD Px y3-136 / 31【例4】 如图，在平面直角坐标系中，∠ABO =2∠BAO ，P 为x 轴正半轴上一动点，BC 平分∠ABP ，PC 平分∠APF ，OD 平分∠POE ． （1） 求∠BAO 的度数；（2） 求证：∠C =15°+12∠OAP ；（3） P 在运动中，∠C +∠D 的值是否发生变化，若发生变化，说明理由，若不变，求 出其值．【答案】（1）∠BAO =30°；（2）详见解析； （3）不变化，105°．【解析】（1）∵∠ABO ＋∠BAO ＋∠AOB ＝180°，而∠AOB ＝90°，∠ABO ＝2∠BAO ， ∴2∠BAO ＋∠BAO ＋90°＝180°，∴∠BAO ＝30°；（2）∵∠CBP ＝12∠ABO ，∠ABO ＝2∠BAO ，∠BAO ＝30°，∴∠CBP ＝30°．由三角形外角定理，有：∠CPF ＝∠C ＋∠CBP ，∠APF ＝∠OAP ＋∠AOP ，而∠CPF ＝12∠APF ，∴∠C ＋∠CBP ＝12（∠OAP ＋∠AOP ），显然有：∠AOP ＝90°， ∴∠C ＋30°＝12（∠OAP ＋90°）＝12∠OAP ＋45°， ∴∠C ＝15°＋12∠OAP ； （3）∵∠D ＋∠DOP ＋∠OPD ＝180°，而∠DOP ＝12∠EOF ＝1290°＝45°，∴∠D ＋45°＋∠OPD ＝180°，又∠OPD ＝∠C ＋∠CBP ， ∴∠D ＋45°＋∠C ＋∠CBP ＝180°，结合证得的∠CBP ＝30°， 得：∠D ＋∠C ＝180°－45°－∠CBP ＝135°－30°＝105°． 即：点P 在运动时，∠D ＋∠C 的值保持不变，且∠D ＋∠C ＝105°． 【总结】本题主要考察了三角形内角和定理及外角和定理，结合角平分线的性质．ABCDEFP G O xy旋转问题是七年级几何证明中的一个难点，在旋转的过程中，找出隐含的边角之间的关系是解决旋转类问题的关键；本节的另一个难点是考察空间想象力，找出旋转之后的图形位置．【例5】 如图，正方形OGHK 绕正方形ABCD 中点O 旋转，其交点为E 、F ，求证：AE +CF =AB ． 【答案】详见解析【解析】∵ABCD 是正方形，∴OB =OC ，∠BAO =∠BCO =45°，由题意可得，∠EOB =∠COF =90°-∠BOF ， ∴△EOB ≌△FOC ， ∴CF =BE ，∴AB =AE +BE =AE +CF ．【总结】本题主要考察了正方形的性质，利用三角形全等的性质证明线段之间的关系．模块二：旋转问题知识精讲例题解析ABCDEFGHKO8 / 31【例6】 如图1、图2，△AOB ，△COD 均是等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90°，（1）在图1中，AC 与BD 相等吗，有怎样的位置关系?请说明理由．（2）若△COD 绕点O 顺时针旋转一定角度后，到达图2的位置，请问AC 与BD 还相等吗，为什么?【答案】（1）AC = BD ；（2）相等．【解析】（1）AC =BD∵△ABO 、△CDO 均为等腰直角三角形， ∴AO = BO ，CO = DO ∴AC = BD ．（2）在图2中，∠AOB =∠COD =90°，∵∠DOB =∠COD -∠COB ，∠COA =∠AOB -∠COB ， ∴∠DOB =∠COA ，在△DOB 和△COA 中，OD =OC ，∠DOB =∠COA ，OB =OA ， ∴△DOB ≌△COA （SAS ）， ∴BD = AC ．【总结】本题主要考察了旋转运动的特点，相对简单．A B图1 DOB图2ADCOC【例7】 如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90C ∠=︒，点E 为CD 的中点，点F 在底边BC 上，且FAE DAE ∠=∠．（1）请你通过观察、测量、猜想，得出AEF ∠的度数；（2）若梯形ABCD 中，AD ∥BC ，C ∠不是直角，点F 在底边BC 或其延长线上，如图2、图3，其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否仍然成立，若都成立，请在图2、图3中选择其中一图进行证明；若不都成立，请说明理由．【答案】（1）∠AEF =90°；（2）都成立，详见解析． 【解析】（1）∠AEF 的度数是90°．（2）都成立．以图2为例证明．证明：如图①，延长AE 交BC 的延长线于点G ， ∵AD ∥BC ，∴∠D =∠ECG ，∠DAE =∠G ， ∵E 为DC 的中点，∴DE =EC ， ∴△ADE ≌△GCE （AAS ），∴AE =GE ， ∵∠F AE =∠DAE ，∴∠F AE =∠G ，∴F A =FG ， ∴EF ⊥AE ，∴∠AEF =90°．【总结】本题主要考察了旋转运动的特点，运动后边相等即相等的角，相对简单．ABCDE F ABCD EF ABC DEF图1图2图310 / 31【例8】 如图，C 是线段BD 上一点，分别以BC 、CD 为边在BD 同侧作等边△ABC 和等边△CDE ，AD 交CE 于F ，BE 交AC 于G ，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有（ ）． A ． B ．2对C ．3对D ．4对【答案】C【解析】试题分析：根据等边三角形的三边相等、三个角都是60°，以及全等三角形的判 定方法（SSS 、SAS 、ASA 、AAS ），全等三角形的性质，再结合旋转的性质即可得到结 果．△EBC ≌△ACD ，△GCE ≌△FCD ，△BCG ≌△ACF ．理由如下： BC =AC ，EC =CD ，∠ACB =∠ECD ，∠ACE 是共同角⇒△EBC ≌△ACD ． CD =EC ，∠FCD =ECG ，∠GEC =∠CDF ⇒△GCE ≌△FCD ．BC =AC ，∠GBC =∠FAC ，∠FCA =∠GCB ⇒△BCG ≌△ACF ．故选C ．【总结】本题主要考察了特殊三角形的性质，根据边和角之间的关系，证明三角形全等，得出相应的结论．【例9】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 是等边三角形．求证：CF 平分∠AFB ．（备注：直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等） 【答案】详见解析【解析】过C 点分别作CP ⊥AN ，交AN 于点P ，CQ ⊥BM 交BM 于点Q ． 在△CAN 与△BCM 中，60?+AC CM CN BC ACN MCB MCN =⎧⎪=⎨⎪∠=∠=∠⎩，所以△CAN ≌△CMB ， 所以BM =AN ，ACNBCMS S=， 因为12ACNSAN CP =，12BCMS BM CQ =，所以CP =CQ ； 易得△CPF ≌△CQF ，所以∠PFC =∠QFC ，所以CF 平分∠AFB ．【总结】本题主要考察了特殊三角形的性质，根据边和角之间的关系，证明三角形全等，得出相应的结论．A B CD E FGKA BC D EFM N【例10】 如图1，E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，且∠EAF ＝45°．（1）请猜测线段EF 、BE 、DF 之间的等量关系并证明．（2）变式：如图2，E 、F 分别在四边形ABCD 的边BC 、CD 上，∠B ＋∠D ＝180°，AB ＝AD ，∠EAF ＝12∠BAD ，则线段BE 、EF 、FD 的等量关系又如何?请加以证明．【答案】（1）EF =BE +DF ；证明详见解析；（2）成立，详见解析． 【解析】（1）延长CB 到G ，使BG =FD ，∵∠ABG =∠D =90°，AB =AD ，∴△ABG ≌△ADF ，∴∠BAG =∠DAF ，AG =AF ，∵∠EAF =12∠BAD ，∴∠DAF +∠BAE =∠EAF ，∴∠EAF =∠GAE ，∴△AEF ≌△AEG ，∴EF =EG =EB +BG =EB +DF ，故答案为：EF =BE +FD ．（2）结论成立，应为EF =BE +DF ，在CD 上截取DG =BE ，（如图） ∵BE =DG ，AB =AD ，∠B =∠ADG =90°，∴△ABE ≌△ADG ， ∴∠BAE =∠DAG ，AG =AE ，∵∠EAF =12∠BAD ，∴∠EAF =∠F AG ，AF =AF ，AE =AG ，∴△AEF ≌△AFG （SAS ）， ∴EF =FG =DF +DG =EB +DF ．【总结】本题主要考察了利用旋转思想做辅助线构造全等的三角形，利用全等三角形的性质解决边的关系．ABCDE F 图1ABCD EF图2【例11】请阅读下列材料：已知：如图1在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°．探究以线段BD、DE、EC三条线段的为边构成的三角形是什么三角形．小智的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABF，连结FD，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想以线段BD、DE、EC三条线段的为边构成的三角形是什么三角形，并对你的猜想给予证明；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变?请说明你的猜想并给予证明．【答案】（1）直角三角形；（2）不变．【解析】（1）将△AEC绕点C逆时针旋转90°，使AC与AB重合，E至点E’，连接E’D，∵△AEC≌△AE’B，∴∠ABE’ =∠C=45°=∠CBA，∴△E’BD是直角三角形，∵A E’=AE，AD=AD，∠E’AB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=45°=∠DAE，∴△A E’D≌△AED，∴E’D=ED，∴以线段BD、DE、EC三条线段的为边构成的三角形是直角三角形．（2）结论：仍然成立证明：作∠F AD=∠BAD，且截取AF=AB，连接DF，连接FE，∴△AFD≌△ABD，∴AF=AB，FD=DB，∠F AD=∠BAD，∠AFD=∠ABD，又∵AB=AC，∴AF=AC，∵∠F AE=∠F AD+∠DAE=∠F AD+45°，∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-（∠DAE-∠DAB）=45°+∠DAB，∴∠F AE=∠EAC，又∵AE=AE，∴△AFE≌△ACE，∴FE=EC，∠AFE=∠ACE=45°，∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°，∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°，∴以线段BD、DE、EC三条线段的为边构成的三角形是直角三角形．【总结】本题主要考察了旋转的特点找出边角关系，构造全等三角形解决边的关系．12/ 31ABCDEMH【例12】 如图，在ABC ∆形外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，使90BAD ∠=︒，90CAE ∠=︒，作AH BC ⊥于H ，延长HA ，交DE 于M ，求证：DM = ME ．【答案】略【解析】作DG ∥AE 交AM 的延长线于点G∵90BAD CAE ∠=∠=， ∴+180DAE BAC ∠∠= 又∵+180DAE GDA ∠∠= ∴∠GDA =∠BAC ∵DG ∥AE ∴∠DGA =∠EAM ， 又∵AH ⊥BC ，∴∠EAM +∠CAH =90°=∠CAH +∠ACB ∴∠DGA =∠ACB ． ∵AD =AB ， ∴△DGA ≌△ACB ， ∴DG =AC =AE ， ∴△DGM ≌△EAM ， ∴DM =ME ．【总结】本题综合性较强，考查的知识点比较多，包含等腰直角三角形的性质、两直线平 行内错角相等，及同角的余角相等，说理时要认真分析，找到其中的联系．ABCDEMHG14 / 31【例13】 在等边三角形ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别由两点M ，N ，D 为ABC ∆外一点，且60,120MDN BDC ∠=︒∠=︒，BD =CD ．探究：当点M ，N 分别在直线AB ，AC 上移动时，BM ，NC ，MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．（1）如图（1），当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM =DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是_________；此时_______QL =．(2)如图（2），当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM ≠DN 时，猜想（1）问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明．（3）如图（3），当点M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若AN x =，则Q =______(用含x 、L 的式子表示) ．【答案】（1）BM +NC =MN ；23Q L =；（2）成立，详见解析；（3）Q =2x +23x ． 【解析】（1）如图，BM 、NC 、MN 之间的数量关系BM +NC =MN ．此时23Q L =． （2）猜想：结论仍然成立．证明：延长AC 至E ，使CE =BM ，连接DE ． ∵BD =CD ，且∠BDC =120°，∴∠DBC =∠DCB =30°．又△ABC 是等边三角形， ∴∠MBD =∠NCD =90°．在△MBD 与△ECD 中：BM =CE ，∠MBD =∠ECD ，BD =DC ， ∴△MBD ≌△ECD （SAS ）． ∴DM =DE ，∠BDM =∠CDE ． ∴∠EDN =∠BDC ﹣∠MDN =60°．在△MDN 与△EDN 中：DM =DE ，∠MDN =∠EDN ，DN =DN ，ABCD （1）M NABCD （2）MNCD （3）AB NM图1图2∴△MDN ≌△EDN （SAS ）．∴MN =NE =NC +BM ． ∴AMN 的周长Q =AM +AN +MN =AM +AN +（NC +BM ） =（AM +BM ）+（AN +NC ）=AB +AC =2AB ． 而等边△ABC 的周长L =3AB ． ∴23Q L =； （3）如图，当M 、N 分别在AB 、CA 的延长线上时，若AN =x ，则Q =2x +23L （用x 、L 表示）．【总结】本题主要考察了利用旋转思想做辅助线构造全等的三角形，利用全等三角形的性质解决边的关系．【例14】 如图1，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，AF 平分BAC ∠，交BD 于点F ． （1）求证：12EF AC AB +=； （2）点1C 从点C 出发，沿着线段CB 向点B 运动（不与点B 重合），同时点1A 从点A 出发，沿着BA 的延长线运动，点1C 与1A 的运动速度相同，当动点1C 停止运动时，另一动点1A 也随之停止运动．如图2，11A F 平分11BAC ∠，交BD 于点1F ，过点1F 作1111F E AC ⊥，垂足为1E ，请猜想11E F ，1112A C 与AB 三者之间的数量关系，并证明你的猜想．【答案】（1）略；（2）E 1F 1+12A 1C 1=AB ．16 / 31【解析】（1）如图1，过点F 作FM ⊥AB 于点M ，在正方形ABCD 中，AC ⊥BD 于点E ，∴AE =12AC ，∠ABD =∠CBD =45°∵AF 平分∠BAC ，∴EF =MF ； 又∵AF =AF ，∴△AMF ≌△AEF ， ∴AE =AM ，∵∠MFB =∠ABF =45°，∴MF =MB ，∴MB =EF ，∴EF +12AC =MB +AE =MB +AM =AB ．（2）三者之间的数量关系：E 1F 1+12A 1C 1=AB 如图2，连接F 1C 1，过点F 1 作F 1P ⊥A 1B 于点P 1F Q BC ⊥于点Q∵11A F 平分∠11BAC ∴11E F PF = 同理111111QF PF E F PF QF ===∴又∵1111A F A F =∴11111Rt A E F Rt A PF △≌△∴111A E A P = 同理1111111111Rt QFC Rt E FC C Q C E AA CC ==≌∴由题意 ∴11112A B BC AB AA BC CC AB BC +=++-=+=AB 1111111111++++++2BP PF QF QBA B BC A P BP QB C Q A P C Q E F =====∴111111*********222+=2AB A E C E E F AC E F E F AC AB=++=+∴∴ 【总结】本题主要考察了旋转后的图形的位置和角度之间的关系，构造全等的三角形，利用全等三角形的性质解决边的关系．【例15】 如图，在等腰Rt △ABC 与等腰Rt △DBE 中， ∠BDE =∠ACB =90°，且BE 在AB边上，取AE 的中点F ，CD 的中点G ，连结GF . （1）FG 与DC 的位置关系是，FG 与DC 的数量关系是；（2）若将△BDE 绕B 点逆时针旋转180°，其它条件不变，请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然成立? 请证明你的结论.【答案】（1）FG ⊥CD ，FG =12CD ；（2）成立；详见解析． 【解析】（1）延长ED 交AC 的延长线于M ，连接FC 、FD 、FM∴四边形 BCMD 是矩形，∴CM=BD ．又△ABC 和△BDE 都是等腰直角三角形，∴ED=BD=CM ， ∵∠E =∠A =45°，∴△AEM 是等腰直角三角形．又F 是AE 的中点，∴MF ⊥AE ，EF=MF ，∠E =∠FMC =45º． ∴△EFD ≌△MFC ． ∴FD=FC ，∠EFD =∠MFC ． 又∠EFD ＋∠DFM =90°∴∠MFC ＋∠DFM =90°，即△CDF 是等腰直角三角形．又G 是CD 的中点，∴FG =12CD ，FG ⊥CD ．（2）如图，证明方法同上； 先证明，△EFD ≌△MFC ，即可得到△CDF 是等腰直角三角形，得证．【总结】旋转类问题，利用等腰三角形的性质找出边和角的关系，通过全等三角形的性质解决边的关系．AB C DE FGMABC DEFGMABCDE FGACB18 / 31本节主要针对常规图形，添加合适的辅助线，如截长补短、倍长中线，添加平行线等构造全等的三角形，该类型题目综合性较强，考察同学们全等三角形判定和性质的综合运用能力．【例16】 数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC的中点．∠AEF =90°，且EF 交正方形外角∠DCG 的平分线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证△AME ≌△ECF ，所以AE =EF ． 在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗?如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗?如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．【答案】（1）成立，详见解析；（2）成立，详见解析．模块三：构造全等类知识精讲例题解析A BC DE 图2FGABCDE 图1F GA BC 图3DE FG【解析】解：（1）成立．证明：在AB 上取一点M ，使AM =EC ，连接ME ． ∴BM =BE ，∴∠BME =45°，∴∠AME =135°，∵CF 是外角平分线，∴∠DCF =45°，∴∠ECF =135°， ∴∠AME =∠ECF ，∵∠AEB +∠BAE =90°，∠AEB +∠CEF =90°， ∴∠BAE =∠CEF ， ∴△AME ≌△ECF （ASA ）， ∴AE =EF ．（2）正确．证明：在BA 的延长线上取一点N ．使AN =CE ，连接NE ． ∴BN =BE ，∴∠N =∠NEC =45°，∵CF 平分∠DCG ，∴∠FCE =45°，∴∠N =∠ECF ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BE ，∴∠DAE =∠BEA ， 即∠DAE +90°=∠BEA +90°，∴∠NAE =∠CEF ， ∴△ANE ≌△ECF （ASA ）∴AE =EF ．【总结】本题主要考察了利用截长补短做辅助线构造全等的三角形，利用全等三角形的性质解决边的关系．MN20 / 31【例17】 已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点（点D 不与B 、C 重合），以AD 为边作等边△ADF ，且DE ∥AF ，EF ∥AD ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在边BC 上时，求证：①BD =CF ；②AC =CF +CD ；（2）如图2，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC =CF +CD 是否成立?若不成立，请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系．【答案】（1）详见解析；（2）AC =CF -CD ，详见解析；（3）AC = CD -CF ．【解析】解：（1）证明：由题意得，AF =AD ．∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC =BC ，∠BAC =60°=∠DAF ． ∠BAC ﹣∠DAC =∠DAF ﹣∠DAC ，即∠BAD =∠CAF ．∵在△BAD 和△CAF 中，AB =AC ，∠BAD =∠CAF ，AD =AF ，∴△BAD ≌△CAF （SAS ）． ∴CF =BD ．∴CF +CD =BD +CD =BC =AC ．即①BD =CF ，②AC =CF +CD ． （2）AC =CF +CD 不成立，AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系是AC =CF ﹣CD ．理由如下：由（1）知：AB =AC =BC ，AD =AF ，∠BAC =∠DAF =60°， ∴∠BAC +∠DAC =∠DAF +∠DAC ，即∠BAD =∠CAF ． ∵在△BAD 和△CAF 中，AB =AC ，∠BAD =∠CAF ，AD =AF ， ∴△BAD ≌△CAF （SAS ）．∴BD =CF ．∴CF ﹣CD =BD ﹣CD =BC =AC ，即AC =CF ﹣CD ． （3）补全图形如右：AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系为AC =CD ﹣CF ．【总结】本题主要考察了特殊三角形的性质，根据性质找出全等的三角形，再利用全等三角形的性质解决边的关系，综合性较强．A BCD 图1EFABC 图2D FECDAB图3【例18】已知如图1，在△ABC中，BC边在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC．△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP．（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AP与AB所满足的数量关系和位置关系；（2）将△EFP沿直线l向左平移到图14-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将△EFP沿直线l向左平移到图14-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）AP=AB，AP⊥BQ；（2）AP=BQ，且AP与BQ垂直；（3）成立．【解析】（1）BQ与AP所满足的数量关系是AP=BQ，位置关系是AP⊥BQ，（2）AP=BQ，且AP与BQ垂直；理由如下：延长BQ交AP于G，由（1）知，∠EPF=45°，∠ACP=90°，∴∠PQC=45°=∠QPC，∴CQ=CP，在△BCQ和△ACP中，BC=AC，∠BCQ=∠ACP，CQ=CP∴△BCQ≌△ACP（SAS），∴AP=BQ，∠CBQ=∠P AC，∵∠ACB=90°，∴∠CBQ+∠BQC=90°，∵∠CQB=∠AQG，∴∠AQG+∠P AC=90°，∴∠AGQ=180°-90°=90°，∴AP⊥BQ，（3）成立，理由如下：①如图，∵∠EPF=45°，∴∠CPQ=45°，又∵AC⊥BC，∴∠CQP=∠CPQ=45°，∴CQ=CP，在Rt△BCQ和Rt△ACP中，BC=AC，∠BCQ=∠ACP，CQ=CP，∴Rt△BCQ≌Rt△ACP（SAS），∴BQ=AP，②如图3，延长QB交AP于点N，则∠PBN=∠CBQ，∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，∴∠BQC=∠APC，在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ=90°，∴∠APC+∠PBN=90°，∴∠PNB=90°，∴QB⊥AP．【总结】本题主要考察了等腰三角形再平移的问题，通过全等三角形的性质解决边的关系，题目较复杂．22/ 31321【例19】直线CD 经过∠BCA 的顶点C ，CA =CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，且∠BEC =∠CF A =∠α．（1）若直线CD 经过∠BCA 的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题： ①图1，若∠BCA =90°，∠α=90°，则EF __________|BE -AF |（填“>”，“<”或“=”号）； ②如图2，若0°<∠BCA <180°，若使①中的结论仍然成立，则∠α与∠BCA 应满足的关系是__________；（2）如图3，若直线CD 经过∠BCA 的外部，∠BCA =∠α，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关系，并给予证明．【答案】（1）①=；②∠α+∠BCA =180°；（2）EF =BE +AF ． 【解析】解：（1）①=；②所填的条件是：∠α+∠BCA =180°，证明：在△BCE 中，∠CBE +∠BCE =180°-∠BEC =180°-∠α， ∵∠BCA =180°-∠α，∴∠CBE +∠BCE =∠BCA ， ∵∠ACF +∠BCE =∠BCA ， ∴∠CBE =∠ACF又∵BC =CA ，∠BEC =∠CF A ， ∴△BCE ≌△CAF （AAS ） ∴BE =CF ，CE =AF ，又∵EF =CF -CE ，∴EF =|BE -AF |； （2）EF =BE +AF ．∵∠1+∠2+∠BCA =180°，∠2+∠3+∠CF A =180° ∵∠BCA =∠α=∠CF A ，∴∠1=∠3；又∵∠BEC =∠CF A =∠α，CB =CA ，∴△BEC ≌△CF A （AAS ）， ∴BE =CF ，EC =F A ，∴EF =EC +CF =BE +AF ．【总结】本题主要考察了通过角度的转换，找出等量关系，构造全等三角形，通过全等的性质解决边的关系，题目较复杂．A BCDEFA B CDE F ABC DEF 图1图2图324 / 31【习题1】 在五边形ABCDE 中，已知AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，连接AD ．求证：AD 平分∠CDE ． 【答案】详见解析．【解析】证明：∵AB =AE ，∠ABC +∠AED =180°．∴把△ABC 旋转∠BAE 的度数后BC 和EC ′重合， 且∠ABC =∠AEC ′，BC =EC ′ ∴△ABC ≌△AEC '，∴AC =AC ′， 又BC +DE =CD ，BC =EC ′，∴CD =DC ′，在△ACD 和△ADC ′中，AC =AC ，，AD =AD ，CD =CD ，， ∴△ACD ≌△ADC ′， ∴∠CDA =∠ADC ′， ∴AD 平分∠CDE ．【总结】本题主要考察了全等三角形判定的条件，添加合适的辅线，证明相关问题．【习题2】 用两个全等的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成菱形ABCD .把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB ，AC 重合.将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转．（1） 当三角尺的两边分别与菱形的两边BC ，CD 相交于点E ，F 时，（如图1），通过 观察或测量BE ，CF 的长度，你能得出什么结论?并证明你的结论；（2） 当三角尺的两边分别与菱形的两边BC ，CD 的延长线相交于点E ，F 时（如图2）， 你在（1）中得到的结论还成立吗?简要说明理由． 【答案】（1）BE =CF ；（2）成立，详见解析．随堂检测AB CDEAB CDEF ABF EC D图1图2【解析】（1）BE=CF．证明：在△ABE和△ACF中，∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°，∴∠BAE=∠CAF．∵AB=AC，∠B=∠ACF=60°，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE=CF；（2）BE=CF仍然成立．证明：在△ACE和△ADF中，∵∠CAE+∠EAD=∠F AD+∠DAE=60°，∴∠CAE=∠DAF，∵∠BCA=∠ACD=60°，∴∠FCE=60°，∴∠ACE=120°，∵∠ADC=60°，∴∠ADF=120°，在△ACE和△ADF中，FAD CAEAC ADADF ACE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ACE≌△ADF，∴CE=DF，∴BE=CF．【总结】本题主要考察了图形的旋转问题，结合特殊的三角形的性质，通过证明全等三角形解决边的关系．26 / 31G【习题3】如图17(1)，正方形ABCD ，E 、F 分别为BC 、CD 边上一点． ①若∠EAF =45°，求证：EF =BE +DF ；②若△AEF 绕A 点旋转，保持∠EAF =45º，问△CEF 的周长是否△AEF 位置的变化而变化? （2）如图17(2)，已知正方形ABCD 的边长为1， BC 、CD 上各有一点E 、F ，如果△CEF 的周长为2，求∠EAF 的度数．（3）如图17(2)，已知正方形ABCD ，F 为BC 中点，E 为CD 边上一点，且满足 ∠BAF =∠F AE ，求证：AE =BC +CE ． 【答案】（1）不变，周长为定值是2倍边长； （2）∠EAF =45°；（3）详见解析． 【解析】（1）证明：延长CB 到G ，使GB =DF ， 连接AG （如图）∵AB =AD ，∠ABG =∠D =90°，GB =DF ， ∴△ABG ≌△ADF （SAS ）， ∴∠3=∠2，AG =AF ，∵∠BAD =90°，∠EAF =45°，∴∠1+∠2=45°，∴∠GAE =∠1+∠3=45°=∠EAF ， ∵AE =AE ，∠GAE =∠EAF ，AG =AF ，∴△AGE ≌△AFE （SAS ），∴GB +BE =EF ，∴DF +BE =EF ． （2）辅助线如上图所示：∵△CEF 的周长为2，∴EF =BE +CF =BE +BG =EG ，在△AGE 和△AFE 中EF EGAE AE AG AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△AGE ≌△AFE （SSS ），∴∠1+∠3=∠EAF ，又∵∠1+∠2+∠EAF =90°，∠3=∠2，∴∠EAF =45°． （3）过F 点作FG ⊥AE 交AE 于点G ，在△ABF 和△AFG 中，∠BAF =∠F AE ，AF=AF ，∠ABF =∠AGF =90°， ∴△ABF ≌△AFG ，∴AF=FG=FC ， 又∵FE=FE ，∠FGE =∠FCE =90°， ∴△FGE ≌△FCE ，∴CE =EG ， ∴AE =AG +GE =AB +EC ．【总结】根据角平分线作垂线，构造全等的三角形，结合全等三角形的性质解决边的关系．【习题4】 已知：如图，MN ⊥PQ ，垂足为O ，点A 、B 分别在射线上OM 、OP 上，直线图17（2）FEDCBAFE DCBA图17（1）BE 平分∠PBA 与∠BAO 的平分线相交于点C ． （1）若∠BAO =45°，求∠ACB ；（2）若点A 、B 分别在射线上OM 、OP 上移动，试问∠ACB 的大小是否会发生变化?如果保持不变，请说明理由；如果随点A 、B 的移动发生变化，请求出变化的范围．【答案】（1）∠ACB =45°；（2）不变，详见解析． 【解析】（1）∵MN ⊥PQ ，∴∠BOA =90°，在△ABO 中，∠PBA =∠BAO +∠BOA =45°+90°=135°， ∵∠PBA 与∠BAO 的平分线相交于点C ，∴∠BAC =12∠BAO =12×45°=22.5°，∠FBA =12∠PBA =12×135°=67.5° 在△ABC 中，∠ACB =∠FBA ﹣∠BAC =67.5°﹣22.5°=45°；（2）∵MN ⊥PQ ，∴∠BOA =90°，在△ABO 中，∠PBA =∠BAO +∠BOA =∠BAO +90°， ∴∠PBA 与∠BAO 的平分线相交于点C ， ∵∠BAC =12∠BAO ，∠FBA =12∠PBA =12（∠BAO +90°）=12∠BAO +45°，在△ABC 中，∠ACB =∠FBA ﹣∠BAC =12∠BAO +45 °﹣12∠BAO =45°． 【总结】本题主要考察了不变的角的一般求解过程，结合角平分线的性质，通过内角及外角的定理计算角度的相关问题．ABCP E FMNO Q28 / 31【作业1】 等边△ABD 和等边△CBD 的边长均为1，E 是AD 上异于A 、D 的任意一点，BE ⊥AD ，F 是CD 上一点，满足AE +CF =1，当E 、F 移动时，试判断△BEF 的形状． 【答案】等边三角形．【解析】在△ABE 与△DBF 中，∠A =∠BDF =60°，AB =BD ，AE =1-CF =DF ， ∴△ABE ≌△DBF （ASA ）∴BE =BF∴△BEF 为等腰三角形，其中BE ，BF 为腰，EF 为底， 又∵∠EBF =60°，∴△BEF 是等边三角形．【总结】本题主要考察了特殊的三角形的性质，通过证明全等三角形特殊角判定特殊的三角形．【作业2】 复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知在△ABC中，AB =AC ，P 是△ABC 内部任意一点，将AP 绕A 顺时针旋转至AQ ，使∠QAP =∠BAC ，连接BQ 、CP ，则BQ =CP ．”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ ≌△ACP ，从而证得BQ =CP 之后，将点P 移到等腰三角形ABC 之外，原题中的条件不变，发现“BQ =CP ”仍然成立，请你就图②给出证明．【答案】详见解析． 【解析】∵∠QAP =∠BAC ，∴∠QAP +∠P AB =∠P AB +∠BAC ， ∴∠QAB =∠P AC ， 在△ABQ 和△ACP 中，AQ =AP ，∠QAB =∠P AC ，AB =AC ，∴△ABQ ≌△ACP ，∴BQ =CP ．【总结】本题主要考察了特殊的三角形的性质，通过证明全等三角形解决边的关系．课后作业ABCDEFA BCPQ P QA BC【作业3】 如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为A （a ，0），B （b ，0），且a 、b 满足331a b b =-+--，现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC ，BD ，CD ． （1）在y 轴上是否存在一点M （0，m ），连接MA ，MB ，使MABS＞ABDC S 四边形?若存在这样一点，求出点求m 的取值范围；若不存在，试说明理由．（2）点P 是线段BD 上的一个动点，连接PC ，PO ，当点P 在BD 上移动时（不与B 、D 重合）+DCP BOPCPO ∠∠∠的值是否发生变化，并说明理由．（3）若点P 是线段AB 上的动点，+APCDPBABCD S SS 与的面积之间有什么关系?写出分析过程．【答案】（1）44m m ><-或；（2）1；（3）1+2APC DPBABCD S SS =． 【解析】（1）由题意得133a b b +=-+-，则103013a b a b +=-==-=，，，，则A （-1，0），B （3，0），C （0，2），D （4，2）， AB =4，M （0，m ），OM =|m |，11422||22ABM S AB OM OM OM m =⋅=⨯==，428ABCD S AB OC =⋅=⨯=，则2|m |>8，m >4或m <-4；（2）不变过P 作PQ ∥AB 交y 轴于点Q ，则∠OPQ =∠BOP ， 又∵PQ ∥CD ，∴∠CPQ =∠DCP ， ∴∠DCP +∠BOP =∠OPQ +∠CPQ =∠CPQ ， ∴+DCP BOP CPO ∠∠∠=1；MQ30 / 31（3）1+2APC DPBABCD S SS = 1111+()2222APCDPBSSAP OC BP OC OC BP AP OC AB =⋅+⋅=+=⋅ABCDS OC AB =⋅，∴1+2APC DPBABCD S SS =【总结】本题主要考察了图形中的动点问题，结合平面直角坐标系，问题综合性较强，难度不大．【作业4】 如图1，△ABC 是正三角形，△BDC 是等腰三角形，BD =CD ，∠BDC =1200，以D 为顶点作一个600角，角的两边分别交AB 、AC 边于M 、N 两点，连接MN . （1）探究BM 、MN 、NC 之间的关系，并说明理由. （2）若△ABC 的边长为2，求△AMN 的周长.（3）若点M 、N 分别是射线AB 、CA 上的点，其他条件不变，此时（1）中的结论是否还成立，在图2中画出图形，并说明理由．【答案】（1）BM +CN =MN ；（2）AMN C ∆=4；（3）MN =BM +CN ． 【解析】解：（1）BM +CN =MN如图，延长AC 至P ，使CP =BM ，连结DP ，在Rt △BDM ≌Rt △CDP∴∠PDN =∠MDN =60° ∴△MDN ≌△PDN ∴MN =NP =NC +CP =NC +MB （2）利用（1）中的结论得出：△AMN 的周长=AM +MN +AN =（AM +BM ）+（NC +AN ）=2+2=4 （3）CN -BM =MN证明：如图，在CN 上截取，使CP =BM ，连结DP ∵∠ABC =∠ACB =60°，∠DBC =∠DCB =30°∴∠DBM =∠DCM 1=90° ∵BD =CD ，∴Rt △BDM ≌Rt △CDP ∴∠MDB =∠PDC ，DM =DP∵∠BDM +∠BDN =60° ∴∠CDP +∠BDN =60°ABC DM NPAB CD P MNP∴∠NDP=∠BDC-（∠PDC+∠BDN）=120°-60°=60°∴∠PDN=∠MDN∵AD=AD∴△MDN≌△PDN∴MN=NP=NC-CP=NC-MB【总结】本题主要考察了全等三角形的判定条件，通过添加相应的辅助线构造全等三角形解决边的关系。

初一数学第二学期名校优选小专题07 平行与旋转问题【模型讲解】如图1，将三角板ABC 与三角板ADE 摆放在一起：如图2，其中∠ACB =30°，∠DAE =45°，∠BAC =∠D =90°，固定三角板ABC ，将三角板ADE 绕点A 按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE =ɑ（0°＜ɑ＜180°）(1)当ɑ为________度时，AD BC ∥.(2)当△ADE 旋转速度为5°/秒时，且它的一边与△ABC 的某一边平行（不共线）时，求出时间t 的所有值. 解：（1）当α=15°时，AD BC ∥，如图：AD BC ∥30DAC ACB ∴∠=∠=︒453015CAE DAE DAC ∴=∠=∠-∠=︒-︒=︒ɑ故答案为15；（2）①当AD ∥BC 时，α=15°，t =3；②当DE ∥AB 时，α=45°，t =9；③当DE ∥BC 时，α=105°，t =21；④当DE ∥AC 时，α=135°，t =27；⑤当AE ∥BC 时，α=150°，t =30；综上，t =3或9或21或27或30．【模型演练】1．如图，将木条a ，b 与c 钉在一起，180∠=︒，250∠=︒，要使木条a 与b 平行，木条a 按图所示方向旋转的度数至少是 __．2．如图，已知PQ MN ∥，点A ，B 分别在MN ，PQ 上，射线AC 自射线AN 的位置开始，以每秒4°的速度绕点A 逆时针旋转至AM 便立即顺时针回转当和AN 重合时停止运动，射线BD 自射线BP 的位置开始，以每秒1°的速度绕点B 逆时针旋转至BQ 后停止运动．若射线BD 先转动30秒，射线AC 才开始转动，当射线AC 与BD 互相平行时，射线BD 的旋转时间为______秒．3．如图，AB ∥CD ，点P ，Q 分别是AB ，CD 上的一点，射线PB 绕点P 顺时针旋转，速度为每秒1度，射线QC 绕点Q 顺时针旋转，速度为每秒2度，旋转至与QD 重合便立即回转，当射线PB 旋转至与PA 重合时，PB 与QC 都停止转动．若射线PB 先转动30秒，射线QC 才开始转动，则射线QC 转动__________秒后，QC 与PB 平行．4．有一道题目“一副直角三角尺如图所示叠放，现将含45°角的三角尺ADE 固定不动，将含30°角的三角尺ABC 绕顶点A 顺时针转动180°，在旋转的过程中，当三角尺ABC 的边BC 与三角尺ADE 的边平行时，求∠BAD ．”嘉嘉的结果是∠BAD 为60°或105°；淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠BAD 还有另一个不同的值．”下列判断正确的是（ ）A ．淇洪说的对，且∠BAD 的另一个值为15°B ．嘉嘉的结果完全正确C ．嘉嘉求的结果不对，∠BAD 为30°或105°D ．两人都不对，∠BAD 应5有个不同的值5．两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC 边重合，45BAC ∠=︒，30DAC ∠=︒．接着如图2保持三角板ABC 不动，将三角板ACD 绕着点C 按顺时针以每秒15︒的速度旋转90︒后停止．在此旋转过程中，当旋转时间t =______________秒时，三角板A CD ''有一条边与三角板ABC 的一条边恰好平行．6．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A 射线从AM 开始顺时针旋转至AN 便立即回转，灯B 射线从BP 开始顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A 转动的速度是每秒2︒，灯B 转动的速度是每秒1︒．假定主道路是平行的，即PQ MN ∥，且:2:1BAM BAN ∠∠=．(1)填空：BAN ∠=______︒；(2)若灯B 射线先转动30秒，灯A 射线才开始转动，在灯B 射线到达BQ 之前，A 灯转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C ，且120ACB ∠=︒，则在灯B 射线到达BQ 之前，转动的时间为______秒．7．长江汛期即将来临，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯（如图1），假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ MN ∥，连结AB ，且45ABN ∠=︒．灯A 射线自AQ 顺时针旋转至AP 便立即回转，灯B 射线自BM 顺时针旋转至BN 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A 转动的速度是1度/秒，灯B 转动的速度是3度/秒．(1)若两灯同时转动，在灯B 射线第一次转到BN 之前，两灯射出的光线交于点C ．①如图1，当两灯光线同时转动50秒时，求ABC ∠的度数．②如图2，过C 作CD BC ⊥交PQ 于点D ，则在转动过程中，求ABC ∠与ACD ∠的比值，并说明理由．(2)若灯A 射线先转动30秒，灯B 射线才开始转动，在灯A 射线第一次转到AP 之前，B 灯转动几秒，两灯的光线互相平行？8．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了A ，D 两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即PQ CN ∥，A ，B 为PQ 上两点，AD 平分CAB ∠交CN 于点D ，E 为AD 上一点，连接BE ，AF 平分BAD ∠交BE 于点F ．(1)若40C ∠=︒，求EAP ∠的大小；(2)作AG 交CD 于点G ，且满足113ADC ∠=∠，当621805GAF ∠+∠=︒时，试说明：AC BE ∥； (3)在（1）问的条件下，探照灯A 、D 照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线AC 以每秒4度的速度逆时针转动，探照灯D 射出的光线DN 以每秒12度的速度逆时针转动，光线DN 转至射线DC 后立即以相同速度顺时针回转，若它们同时开始转动，设转动时间为t 秒，当光线DN 回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，t 为何值时光线AC 与光线DN 互相平行或垂直，请直接写出t 的值．9．如图1，将一副直角三角板放在同一条直线 AB 上，它们的一边分别与直线AB 重合，其中∠ONM =30°，∠OCD =45°，将图1中的三角板OMN 绕点O 按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转α︒．（0°＜α︒＜180°）．(1)当∠AOM ＝105°时，求旋转角的度数．(2)当两块三角板中至少有一组边互相平行时，求旋转的时间．(3)将图1中的三角板OMN 绕点O 按逆时针方向旋转得到图2，MN 与CD 相交于点E ，若∠CEN =β︒时，试探究αβ与的数量关系，并直接写出结论．10．如图，在△ABC 中，点D 、E 是边BC 上两点，点F 是边AB 上一点，将△ADC 沿AD 折叠得到△ADG ，DG 交AB 于点H ；将△EFB 沿EF 折叠得到△EFH ．(1)如图1，当点G 与点H 重合时，请说明BAC EHD ∠=∠；(2)当点G 落在△ABC 外，且HE ∥AD ，:1:3GAB CAD ∠∠＝①如图2，请说明4EHD GAB ∠∠＝；②如图3，若30B ∠=︒，将△EFH 绕点H 顺时针方向旋转一个角度α()0180α<<，则在这个旋转过程中，当△EFH 的其中一边与△AHG 的某一边平行时，直接写出旋转角α的度数11．在平行的两岸河堤即PQ ∥MN ，各安置了一探照灯A 和B ，且∠BAN ＝45°，如图1，灯A 射线自AM 顺时针旋转至AN 便立即回转，灯B 射线自BP 顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A 转动的速度是a °/秒，灯B 转动的速度是b °/秒，且a ，b 满足()2310a b -+-=．(1)求a ，b 的值；(2)若灯B 射线先转动20秒，灯A 射线才开始转动，在灯B 射线到达BQ 之前，A 灯转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系．12．如图，已知AB∥CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N．点E是线段MN上一点，P，Q 分别在射线MA，NC上，连接PE，QE，PF平分∠MPE，QF平分∠CQE．（1）如图1，若PE⊥QE，∠EQN＝64°，则∠MPE＝°，∠PFQ＝°．（2）如图2，求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，当PE⊥QE时，若∠APE＝150°，∠MND＝110°，过点P作PH⊥QF交QF的延长线于点H．将直线MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒5°，直线MN旋转后的对应直线为M N'，同''，当直线时△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒10°，△FPH旋转后的对应三角形为△F PH'' MN首次落到CD上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后，直线M N'恰好平行于△F PH 的一条边，请直接写出所有满足条件的t的值．13．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a-3|+（b-1）2=0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°．(1)求a、b的值；(2)若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，BACBCD∠∠= ．14．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN＝30°．(1)将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；(2)将图1中的三角尺绕点O按每秒6°的速度绕点O沿顺时针方向旋转一周，OC也以每秒1°的速度绕点O顺时针方向旋转，当三角尺停止运动时，OC也停止运动．①在旋转的过程中，问运动几秒时，边MN恰好与射线OC平行；②将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC 之间的数量关系（直接写出结果）．15．如图，直线PQ MN，一副直角三角板△ABC、△DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，∠ABC=∠BAC=45°，∠DFE=30°，∠DEF=60°．(1)若△DEF如图1摆放，当ED平分∠PEF时，则∠DFM=．(2)若图2中△ABC固定，将△DEF沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GF A的角平分线GH、FH相交于点H（如图3），求∠GHF的度数．(3)若图2中△DEF固定，（如图4）将△ABC绕点A顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，请直接写出旋转的时间．（单位必须化成秒）答案与解析【模型讲解】如图1，将三角板ABC 与三角板ADE 摆放在一起：如图2，其中∠ACB =30°，∠DAE =45°，∠BAC =∠D =90°，固定三角板ABC ，将三角板ADE 绕点A 按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE =ɑ（0°＜ɑ＜180°）(1)当ɑ为________度时，AD BC ∥.(2)当△ADE 旋转速度为5°/秒时，且它的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，求出时间t 的所有值. 解：（1）当α=15°时，AD BC ∥，如图：AD BC ∥30DAC ACB ∴∠=∠=︒453015CAE DAE DAC ∴=∠=∠-∠=︒-︒=︒ɑ故答案为15；（2）①当AD ∥BC 时，α=15°，t =3；②当DE ∥AB 时，α=45°，t =9；③当DE ∥BC 时，α=105°，t =21；④当DE ∥AC 时，α=135°，t =27；⑤当AE ∥BC 时，α=150°，t =30；综上，t =3或9或21或27或30．【模型演练】1．如图，将木条a ，b 与c 钉在一起，180∠=︒，250∠=︒，要使木条a 与b 平行，木条a 按图所示方向旋转的度数至少是 __．【答案】30°【分析】根据同位角相等，两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠1减去即可得到木条a 旋转的度数．【解析】解：如图：∵∠AOC＝∠2＝50°时，OA//b，即a//b，∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是80°﹣50°＝30°．故答案为：30°．【点评】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后∠2的同位角的度数是解题的关键．2．如图，已知PQ MN∥，点A，B分别在MN，PQ上，射线AC自射线AN的位置开始，以每秒4°的速度绕点A逆时针旋转至AM便立即顺时针回转当和AN重合时停止运动，射线BD自射线BP 的位置开始，以每秒1°的速度绕点B逆时针旋转至BQ后停止运动．若射线BD先转动30秒，射线AC才开始转动，当射线AC与BD互相平行时，射线BD的旋转时间为______秒．【答案】0或40或96或180【分析】根据题意，设射线BD的旋转时间为t秒，则PBD t∠=︒，分六种情况讨论，①t=0时，AC∥BD；②当0＜t≤30，③当30＜t≤75，④当75＜t≤120，⑤当120<t<180时，⑥当t=180时，AC∥BD共有4种情形，根据平行线的性质得出角度相等，进而列出方程，解方程即可求解．【解析】∵射线AC自射线AN的位置开始，以每秒4°的速度绕点A逆时针旋转至AM便立即顺时针回转当和AN重合时停止运动，∴射线AC自射线AN的位置旋转至AM，用了180454=︒︒（秒），由AM顺时针回转至AN用了180454=︒︒（秒），∵射线BD自射线BP的位置开始，以每秒1°的速度绕点B逆时针旋转至BQ后停止运动，设射线BD的旋转时间为t秒，则PBD t∠=︒，①∵射线BD先转动30秒，射线AC才开始转动，∴当t=0时，AC∥BD；②当0＜t≤30，射线AC与BD不能互相平行；③当30＜t≤30＋45即30＜t≤75时，∠CAN=[4(t-30)]°，若射线AC与BD互相平行，则∠PBD=∠CAN，即t=4(t-30)，④当30＋45＜t≤75＋45即75＜t≤120时，∠CAN = [180×2-4(t-30)]°=（480-4t）°，若射线AC与BD互相平行，则∠PBD=∠CAN，即t=480-4t，解得：t=96；⑤当120<t<180时，射线AC与BD不能互相平行；⑥当t=180时，AC∥BD，综上所述，当射线AC与BD互相平行时，射线BD的旋转时间为0或40或96或180秒．故答案为：0或40或96或180．【点评】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键．3．如图，AB∥CD，点P，Q分别是AB，CD上的一点，射线PB绕点P顺时针旋转，速度为每秒1度，射线QC绕点Q顺时针旋转，速度为每秒2度，旋转至与QD重合便立即回转，当射线PB旋转至与PA重合时，PB与QC都停止转动．若射线PB先转动30秒，射线QC才开始转动，则射线QC 转动__________秒后，QC与PB平行．【答案】30或110【分析】设射线QC转动t秒，两射线互相平行，分两种情况进行讨论：当0＜t＜90时，根据平行线的性质得出方程，解方程即可求解．【解析】设QC转动后与AB交于点M，PB转动后与CD交于点N，当0＜t＜90时，如图1，∵AB∥CD，∴∠BPN=∠PNC，∵PN∥MQ，∴∠CQM=∠PNC，∴∠CQM=∠BPN∴2t=1•（30+t），②当90＜t ＜150时，如图2，∵AB ∥CD ，∴∠BPN +∠PND =180°，∵PN ∥QM ，∴∠MQD =∠PND∴∠BPN +∠MQD =180°∴1•（30+t ）+（2t -180）=180，解得 t =110，综上所述，射线QC 转动30或110秒，两射线互相平行；故答案为：30或110．【点评】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，根据题意分类讨论是解题的关键．4．有一道题目“一副直角三角尺如图所示叠放，现将含45°角的三角尺ADE 固定不动，将含30°角的三角尺ABC 绕顶点A 顺时针转动180°，在旋转的过程中，当三角尺ABC 的边BC 与三角尺ADE 的边平行时，求∠BAD ．”嘉嘉的结果是∠BAD 为60°或105°；淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠BAD 还有另一个不同的值．”下列判断正确的是（ ）A ．淇洪说的对，且∠BAD 的另一个值为15°B ．嘉嘉的结果完全正确C ．嘉嘉求的结果不对，∠BAD 为30°或105°D ．两人都不对，∠BAD 应5有个不同的值【答案】A【分析】分三种情况：①若BC DE ∥，②若BC AD ∥，③若BC AE ∥，由平行线的性质可得出答案．【解析】解：①若BC DE ∥，∴∠CFE =∠E =90°，又∵∠C =30°，∴30BAE ∠=︒，∴∠DAB =45°-30°=15°；②若BC AD ∥，60BAD B ∴∠=∠=︒；③若BC AE ∥，60B BAE ∴∠=∠=︒，4560105BAD ∴∠=︒+︒=︒．综上所述，BAD ∠为15︒或60︒或105︒．故选：A ．【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，正确画出图形是解题的关键．5．两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC 边重合，45BAC ∠=︒，30DAC ∠=︒．接着如图2保持三角板ABC 不动，将三角板ACD 绕着点C 按顺时针以每秒15︒的速度旋转90︒后停止．在此旋转过程中，当旋转时间t =______________秒时，三角板A CD ''有一条边与三角板ABC 的一条边恰好平行．【答案】2或3或5【分析】分三种情况：①当A C '∥AB 时，②当A D ''∥AC 时，③当A D ''∥AB 时，分别根据平行线的性质求出∠A CA '的度数，进而解答即可．【解析】解：分三种情况：①当A C '∥AB 时，如图：∴∠A CA '＝∠BAC ＝45°，∴15t ＝45，∴t ＝3；②当A D ''∥AC 时，如图，∴∠A CA '＝∠A '＝30°，∴15t ＝30，∴t ＝2；③当A D ''∥AB 时，如图，过点C 作CE ∥AB ，则CE ∥AB ∥A D ''，∴∠ACE ＝∠A ，∠ECA '＝∠A '，∴∠A CA '＝∠ACE ＋∠ECA '＝∠A ＋∠A '＝75°，∴15t ＝75，∴t ＝5．综上所述，当旋转时间t ＝2或3或5秒时，三角板A CD ''有一条边与三角板ABC 的一条边恰好平行．故答案为：2或3或5．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 6．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A 射线从AM 开始顺时针旋转至AN 便立即回转，灯B 射线从BP 开始顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A 转动的速度是每秒2︒，灯B 转动的速度是每秒1︒．假定主道路是平行的，即PQ MN ∥，且:2:1BAM BAN ∠∠=．(1)填空：BAN ∠=______︒；(2)若灯B 射线先转动30秒，灯A 射线才开始转动，在灯B 射线到达BQ 之前，A 灯转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C ，且120ACB ∠=︒，则在灯B 射线到达BQ 之前，转动的时间为______秒． 【答案】(1)60(2)30秒或110秒(3)100或140【分析】（1）设BAN x ∠=︒，则2BAM x ∠=︒，根据180BA BAN M ∠+=∠︒，可列出关于x 的等式，解出x 即可求解；（2）设A 灯转动t 秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当090t <≤时，根据()2130t t =⋅+，可得30t =；当90150t <<时，根据()()1302180180t t ⋅++-=，可得 110t =； （3）分类讨论①当090t <≤时和②当90180t <<时，画出图形，分别根据平行线的性质结合题意构建方程解决问题即可．（1）设BAN x ∠=︒，则2BAM x ∠=︒，∵180BA BAN M ∠+=∠︒，即2180x x ︒+︒=︒，∴60x =，∴60BAN ∠=︒．故答案为：60；（2）设A 灯转动t 秒，两灯的光束互相平行，由题意可知(2)CAM t ∠=︒，(30)CAM t ∠=+︒．①当090t <≤时，如图1，PQ MN ∥，PBD BDA ∴∠=∠．AC BD ，CAM BDA ∴∠=∠，CAM PBD ∴∠=∠．()230t t ∴=+，解得 30t =；②当90150t <<时，如图2，PQ MN ∥，180PBD BDA ∴∠+∠=︒．AC BD ，CAN BDA ∴∠=∠，180PBD CAN ∴∠+∠=︒．∵(2)CAM t ∠=︒，∴(2180)CAN t ∠=-︒，()()302180180t t ∴++-=，解得 110t =．综上所述，当30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；（3）设灯A 射线转动时间为t 秒，①当090t <≤时，过点C 作CK PQ ∥，PQ MN ∥，PQ MN CK ∴∥∥，CBP BCK ∴∠=∠，CAN ACK ∠=∠，ACB BCK ACK CBP CAN ∴∠=∠+∠=∠+∠，(1802)CAN t ∠=-︒，CBP t ∠=︒，又120ACB ∠=︒，∴(1802)120t t +-=，解得：60t =，∴60CAN ∠=︒，此时AC 与AB 共线，不符合题意；②当90180t <<时，同①的图可得(2180)CAN t ∠=-︒，则(2180)120t t -+=，解得：100t =；如图4中，当120ACB ∠=︒时，同①可知ACB MAC QBC ∠=∠+∠．因为此时(3602)(180)MAC t QBC t ∠=-︒∠=-︒，，120(3602)(180)t t ∴=-+-，解得：140t =．综上可知，t 的值为100或140．故答案为：100或140．【点评】本题主要考查平行线的性质，平行公理及推论，一元一次方程的应用．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．7．长江汛期即将来临，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯（如图1），假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ MN ∥，连结AB ，且45ABN ∠=︒．灯A 射线自AQ 顺时针旋转至AP 便立即回转，灯B 射线自BM 顺时针旋转至BN 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A 转动的速度是1度/秒，灯B 转动的速度是3度/秒．(1)若两灯同时转动，在灯B 射线第一次转到BN 之前，两灯射出的光线交于点C ．①如图1，当两灯光线同时转动50秒时，求ABC ∠的度数．②如图2，过C 作CD BC ⊥交PQ 于点D ，则在转动过程中，求ABC ∠与ACD ∠的比值，并说明理由．(2)若灯A 射线先转动30秒，灯B 射线才开始转动，在灯A 射线第一次转到AP 之前，B 灯转动几秒，两灯的光线互相平行？ 【答案】(1)①15︒；②比值为32，详见解析 (2)A 灯转动15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行【分析】（1）①当转动50秒时，有150MBC ∠=︒，即有18030CBN MBC ∠=︒-∠=︒，根据ABC ABN CBN ∠=∠-∠，即可得解；②过点C 作CH MN ∥，得到3MBC t ∠=，QAC t ∠=，即有ACH QAC t ∠=∠=，()1803HCB CBN t ∠=∠=-，根据ABC ABN CBN ∠=∠-∠，可得()345ABC t ∠=-，再根据ACB ACH BCH ∠=∠+∠，可得()245ACD t ∠=-，即问题得解； （2）设A 灯转动t 秒，两灯的光束互相平行，A 灯先转动30秒，则AQ 转到AP 还需要180-30=150（秒）即150t 0＜＜，①当B 射线第一次垂直MN 时，用时90÷3=30（秒），此时A 射线共计运动30+30=60秒，即60QAE ∠=，即在灯B 射线到达BN 之前，先证明MBF QAE ∠=∠，即有：330=+t t ，即可求解；②在灯B 射线到达BN 之后，回到BM 前，根据①中，同理有：()30MBF QAE t ∠=∠=+，()3180FBN t ∠=-即有：()318030180t t -++=，即可求解；③在灯B 射线回到BM 后，第二次到BN前，由题意得：336030t t -=+，即可求解，即问题得解．（1）两灯速度为：灯A 转动的速度是1度/秒，灯B 转动的速度是3度/秒．①当转动50秒时，503150MBC ∠=⨯=，∴18030CBN MBC ∠=-∠=，∴453015ABC ABN CBN ∠=∠-∠=-=，故答案为：15°；②比值为：32，理由如下， 如图2，过点C 作CH MN ∥，∵PQ MN ∥，∴CH PQ ∥，设两灯转动时间为t 秒，则3MBC t ∠=，QAC t ∠=，∴ACH QAC t ∠=∠=，()1803HCB CBN t ∠=∠=-，∴ABC ABN CBN ∠=∠-∠，即()()()4518033135345ABC t t t ∠=--=-=-，又∵ACB ACH BCH ∠=∠+∠，即18031802ACB t t t ∠=+-=-，而90BCD ∠=︒，∴()90901802ACD ACB t ∠=-∠=--()()290245t t =-=-．∴()()3453:2245t ABC ACD t -∠∠==-． 即比值为：32； （2）两灯速度为：灯A 转动的速度是1度/秒，灯B 转动的速度是3度/秒．设A 灯转动t 秒，两灯的光束互相平行，A 灯先转动30秒，则AQ 转到AP 还需要180-30=150（秒）即150t 0＜＜， ①当B 射线第一次垂直MN 时，用时90÷3=30（秒），此时A 射线共计运动30+30=60秒，即60QAE ∠=，即在灯B 射线到达BN 之前，如图3所示，∵PQ MN ∥，BF AE ∥，∴ABF EAB ∠=∠，PAB ABN ∠=∠，∴180180ABN ABF BAP BAE -∠-∠=-∠-∠，∴MBF QAE ∠=∠，即有：330=+t t ，解得：15t =（秒）；②如图4，在灯B 射线到达BN 之后，回到BM 前，根据①中，同理有：()30MBF QAE t ∠=∠=+∵()3180FBN t ∠=-即有：()318030180t t -++=，解得：82.5t =．③如图5，在灯B 射线回到BM 后，第二次到BN 前，由题意得：336030t t -=+，解得：195t =（舍去）．综上所述，A 灯转动15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系，厘清角度之间的关系并注意分类讨论是解答本题的关键．8．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了A ，D 两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即PQ CN ∥，A ，B 为PQ 上两点，AD 平分CAB ∠交CN 于点D ，E 为AD 上一点，连接BE ，AF 平分BAD ∠交BE 于点F ．(1)若40C ∠=︒，求EAP ∠的大小；(2)作AG 交CD 于点G ，且满足113ADC ∠=∠，当621805GAF ∠+∠=︒时，试说明：AC BE ∥； (3)在（1）问的条件下，探照灯A 、D 照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线AC 以每秒4度的速度逆时针转动，探照灯D射出的光线DN以每秒12度的速度逆时针转动，光线DN转至射线DC后立即以相同速度顺时针回转，若它们同时开始转动，设转动时间为t秒，当光线DN回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，t为何值时光线AC与光线DN互相平行或垂直，请直接写出t的值．AD平分CAD∴∠=EAP∴∠=（2）解: ∵PQADC∴∠=113∠=∠113∴∠=∠AF平分BAD∴∠=2 13EAF∴∠=∠GAF∴∠=625∠+∠22∴∠+∠2BAD ∴∠+∠2AEB ∠+∠BAD∴∠=BAD∠=CAD AEB ∴∠=∠，∴AC BE ∥；（3）解: 3601230s ︒÷︒=，当AC DN ∥时，则ACD HDN ∠=∠，如图，∵PB CH ∥，PAC ACD ∴∠=∠，PAC HDN ∴∠=∠，由题意，404PAC t ∠=+，12HDN t ∠=，40412t t ∴+=，5t s ∴=；当AC DN ⊥时，则90CND ∠=︒，如图，∵PA CD ∥，404ACD PAC t ∴∠=∠=+，12NDH t ∠=，18012NDC t ∴∠=-，4041801290t t ∴++-=，654t s ∴=； 当AC DN ⊥时，则90CND ∠=︒，如图，∵PA CD ∥，404ACD PAC t ∴∠=∠=+，12180NDC t ∠=-，4041218090t t ∴++-=，1158t s ∴=；当ND AC ∥时，则NDC ACH ∠=∠，如图，由题意，12180MDN t ∠=-，404PAC t ∠=+，18036012NDC MDN t ∴∠=︒-∠=-，∵PA CD ∥，404ACH PAC t ∴∠=∠=+，40436012t t ∴+=-，20t s ∴=；当DN AC ⊥时，90DNC ∠=︒，如图，36012NDC t ∠=-，90NDC DCN ∴∠+∠=︒，()180404DCN t ∠=-+，()3601218040490t t ∴-+-+=．205.8t s ∴= 综上，t 的值为5s 或654s 或1158s 或20s 或205.8s 【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，反之亦然．9．如图1，将一副直角三角板放在同一条直线 AB 上，它们的一边分别与直线AB 重合，其中∠ONM =30°，∠OCD =45°，将图1中的三角板OMN 绕点O 按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转α︒．（0°＜α︒＜180°）．(1)当∠AOM ＝105°时，求旋转角的度数．(2)当两块三角板中至少有一组边互相平行时，求旋转的时间．(3)将图1中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转得到图2，MN与CD相交于点E，若∠CEN=β︒与的数量关系，并直接写出结论．时，试探究αβ【答案】(1)15°；(2)2s或3s或5s或11s；(3)α+β=255【分析】（1）找到旋转角，根据平角的定义即可求解；（2）分为MN∥OC、ON∥CD、MN∥CD、MN∥OD和MO∥CD几种情况讨论，求出旋转角的大小，即可求出旋转时间；（3）用含α︒的式子表示出∠DON，即可得到∠DOM，根据对顶角相等得到∠DEM=∠CEN=β︒，根据四边形内角和为360°，代入数据整理即可．（1）解：如图所示，∠AOM＝105°时，∠MOB=180°-105°=75°，∵∠MON=60°，∴∠BON=75°-60°=15°，即旋转角为15°；（2）如图，当MN∥OC时，∠COM=∠M=90°，∠BON=180°﹣∠AOM﹣∠MON=30°，此时t=30÷15=2s；当ON∥CD时，∠BON=∠OCD=45°，此时t=45÷15=3s；当MN∥CD时，∴∠D=∠OMN=90°，∴此时点M在OD上，∠BON=180°﹣∠AOM﹣∠MON=75°，此时t=75÷15=5s；如图，设CD与MN相交于点E，当MN∥OD时，∠DEM=∠D=90°，∴∠DOM=360°﹣∠D﹣∠DEM﹣∠M =90°，∴四边形DEMO为矩形，∴MO∥CD，∵∠DON=∠DOM﹣∠NOM =90°﹣60°=30°，∴∠AON=∠COD﹣∠DON =45°﹣30°=15°，∴∠BON=180°﹣∠AON=165°，此时t=165÷15=11s；∴当两块三角板中至少有一组边互相平行时，旋转的时间为2s或3s或5s或11s．（3）由图可得，∠BON为旋转角，即∠BON=α︒，∵∠COD=45°，∴∠DOB=135°，∴∠DON=α︒﹣135°，∵∠MON=60°，∴∠DOM=60°+α︒﹣135°=α︒﹣75°，∵∠DEM+∠D +∠DOM +∠M=360°，∠DEM=∠CEN=β︒，∴β︒+90°+90°+α︒﹣75°=360°，∴α+β=255．【点评】本题是旋转综合题，考查平行线的性质和四边形内角和，注意数形结合思想的应用．10．如图，在△ABC中，点D、E是边BC上两点，点F是边AB上一点，将△ADC沿AD折叠得到△ADG，DG交AB于点H；将△EFB沿EF折叠得到△EFH．(1)如图1，当点G 与点H 重合时，请说明BAC EHD ∠=∠；(2)当点G 落在△ABC 外，且HE ∥AD ，:1:3GAB CAD ∠∠＝①如图2，请说明4EHD GAB ∠∠＝；②如图3，若30B ∠=︒，将△EFH 绕点H 顺时针方向旋转一个角度α()0180α<<，则在这个旋转过程中，当△EFH 的其中一边与△AHG 的某一边平行时，直接写出旋转角α的度数 【答案】(1)见解析(2)①见解析；②满足条件的旋转角α为15︒或45︒或90︒或105︒【分析】（1）利用翻折变换的性质以及三角形内角和定理证明即可；（2）①由:1:3GAB CAD ∠∠=，可以假设GAB x ∠=，3CAD DAG x ∠=∠=，证明4DHE x ∠=即可； ②分四种情形：如图31-中，当FH AG ∥时．如图32-中，当EH AG ∥时．如图33-中，当EF AB ∥时．如图34-中，当EF AG ∥时，分别求解即可．（1）证明：如图1中，由翻折变换的性质可知，AHD C ∠=∠，B EHB ∠=∠，180B C BAC ∠+∠+∠=︒，180EHB EHD AHD ∠+∠+∠=︒，EHD BAC ∴∠=∠；（2）①证明：如图2中，:1:3GAB CAD ∠∠=，∴设GAB x ∠=，3CAD DAG x ∠=∠=，2DAH DAG GAB x ∴∠=∠-∠=，EH ∥AD ，2EHB DAH x ∴∠=∠=，EHD ADH ADC ∠=∠=∠，2B EHB x ∴∠=∠=，4ADC B DAB x ∠=∠+∠=，4DHE GAB ∴∠=∠；②解：由题意，30B ∠=︒，30B DAB ∴∠=∠=︒，15GAB ∴∠=︒，45DAG DAC ∴∠-∠=︒，75C BAC ∴∠=∠=︒，60ADC ADG BDG ∴∠=∠=∠=︒，90DHB ∴∠=︒，如图31-中，当FH AG ∥时，旋转角15FHB GAB ∠=∠=︒．如图32-中，当EH AG ∥时，旋转角153045FHB ∠=︒+︒=︒．如图33-中，当EF AB ∥时，旋转角90FHB ∠=︒．如图34-中，当EF AG ∥时，旋转角9015105FHB ∠=︒+︒=︒，综上所述，满足条件的旋转角α为15︒或45︒或90︒或105︒．【点评】本题考查翻折变换，旋转变换，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．11．在平行的两岸河堤即PQ ∥MN ，各安置了一探照灯A 和B ，且∠BAN ＝45°，如图1，灯A 射线自AM 顺时针旋转至AN 便立即回转，灯B 射线自BP 顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A 转动的速度是a °/秒，灯B 转动的速度是b °/秒，且a ，b 满足()2310a b -+-=．(1)求a ，b 的值；(2)若灯B 射线先转动20秒，灯A 射线才开始转动，在灯B 射线到达BQ 之前，A 灯转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)如图，两灯同时转动，在灯A 射线到达AN 之前．若射出的光束交于点C ，过C 作CD ⊥AC 交PQ 于点D ，则在转动过程中，∠BAC 与∠BCD 的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系．【答案】(1)a ＝3，b ＝1(2)当t ＝10秒或85秒时，两灯的光束互相平行(3)2∠BAC ＝3∠BCD分别在射线MA，NC上，连接PE，QE，PF平分∠MPE，QF平分∠CQE．（1）如图1，若PE⊥QE，∠EQN＝64°，则∠MPE＝°，∠PFQ＝°．（2）如图2，求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，当PE⊥QE时，若∠APE＝150°，∠MND＝110°，过点P作PH⊥QF交QF的延长线于点H．将直线MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒5°，直线MN旋转后的对应直线为M N'，同时△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒10°，△FPH旋转后的对应三角形为△F PH''，当直线MN首次落到CD上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后，直线M N'恰好平行于△F PH''的一条边，请直接写出所有满足条件的t的值．【答案】（1）26；135；（2）2∠PFQ-∠PEQ=180°，理由见解析；（3）t=163或343或253．【分析】（1）延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，设∠MPE=2α，则∠FPE=12∠BPE=α，根据AB∥CD可表示出∠PGQ，进而根据三角形内角和推论表示出∠EQC，进而表示出∠EQH，然后结合△EQH和△PFH内角和得出关系式，进一步得出结果；（2）类比（1）的方法过程，得出结果；（3）分为△PF H''的三边分别与NM'平行，分别画出图形求解即可．【解析】解：（1）如图1，延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，设∠BPE=2α，则∠FPE=12∠BPE=α，∵AB∥CD，∴∠PGQ=∠BPE=2α，∵PE⊥QE，∴∠QEH=QEG=90°，∴∠EQC=∠QEG+∠PGQ=90°+2α，∴∠EQH=12∠EQC=45°+α，∴∠BPE=26°．在△EQH和△PFH中，∵∠HEQ+∠HQE+∠EHQ=180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH=180°，∠PHF=∠EHQ，∴∠HEQ+∠HQE=∠FPH+∠PFH，即：90°+45°+α=α+∠PFH，∴∠PFH=135°，故答案为：26；135；（2）2∠PFQ-∠PEQ=180°，理由如下：如图1，延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，设∠BPE=2α，则∠FPE=12∠BPE=α，∵AB∥CD，∴∠PGQ=∠BPE=2α，∵∠GEQ=180°-∠PEQ，∴∠EQC=∠QEG+∠PGQ=180°-∠PEQ+2α，∴∠HQE=12∠EQC=90°+α-12∠PEQ，在△EQH和△PFH中，∵∠PEQ+∠HQE+∠EHQ=180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH=180°，∠PHF=∠EHQ，∴∠PEQ+∠HQE=∠FPH+∠PFH，即：∠PEQ+90°+α-12∠PEQ=α+∠PFQ∴2∠PFQ-∠PEQ=180°；（3）根据题意，需要分三种情况：∵∠APE=150°，∴∠BPE=30°，∵PF平分∠MPE，∴∠FPE=∠BPF=15°，由（2）得2∠PFQ-∠PEQ=180°，又∠PEQ=90°，岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a-3|+（b-1）2=0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°．(1)求a 、b 的值；(2)若灯B 射线先转动20秒，灯A 射线才开始转动，在灯B 射线到达BQ 之前，A 灯转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)如图，两灯同时转动，在灯A 射线到达AN 之前．若射出的光束交于点C ，过C 作CD ⊥AC 交PQ 于点D ，则在转动过程中，BAC BCD∠∠= ． 【答案】(1)a =3，b =1(2)当x =10秒或85秒时，两灯的光束互相平行(3)3：2【分析】（1）根据非负数的性质即可得答案；（2）设A 灯转动x 秒，两灯的光束互相平行．分三种情况讨论：①在灯A 射线转动到AN 之前，②在灯A 射线转动到AN 之后，未到AM 之前，③在灯A 射线转动到AM 之后，未到AN 之前．分别建立方程求得x 的值即可．（3）设A 灯转动x 秒，根据∠BAC =45°-（180°-3t ）=3t -135°，∠BCD =90°-∠BCA =90°-（180°-2t ）=2t -90°，可得∠BAC 与∠BCD 的关系．（1）∵2|3|(1)0a b -+-=，又2|3|0,(1)0a b -≥-≥，∴30,10a b∴a =3，b =1．（2）设A 灯转动x 秒，两灯的光束互相平行．①当0＜x ＜60时（60为灯A 转到AN 需要的时间，单位s ），3x =（20+x ）×1，解得：x =10；②当60＜x ＜120时，3x -60×3+（20+x ）×1=180，解得：x =85；③当120＜x ＜160时，3x -360=x +20，解得：x =190＞160（不合题意，舍去）．。

初一数学三角形试题1.如图，已知∠EAC=∠BAD，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠D．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C．【解析】∵∠EAC=∠BAD，∴∠EAC+∠BAE=∠BAD+∠BAE，即∠BAC=∠EAD，当AB=AE时，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（SAS）；当BC=ED时，不能判断△ABC≌△AED．当∠C=∠D时，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（ASA）；当∠B=∠D，而AC=AD，所以∠B与∠D不是对应角，所以不能判断△ABC≌△AED．故选C．【考点】全等三角形的判定．2.一幅美丽的图案，在其顶点处由四个正多边形镶嵌而成，其中三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，则另一个为（）A．正三角形B．正四边形C．正五边形D．正六边形【答案】B【解析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明可以进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．∵正三角形、正四边形、正六边形的内角分别为60°、90°、120°，又∵360°-60°-90°-120°=90°，∴另一个为正四边形．【考点】平面镶嵌（密铺）3.如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=900，平分∠A BC交CD于E，DF平分∠A DC交AB于F（1）若∠ABC=600,则∠ADC= °, ∠ADF= °;（2）BE与DF平行吗？试说明理由．【答案】（1）1200，600；（2）BE∥DF．证明见解析．【解析】根据四边形的内角和定理和∠A=∠C=90°，得∠ABC+∠ADC=180°；根据角平分线定义、等角的余角相等易证明和BE与DF两条直线有关的一对同位角相等，从而证明两条直线平行．（1）根据四边形内角和是3600，可以得出∠ADC=（2）BE∥DF．理由如下：∵∠A=∠C=90°（已知），∴∠ABC+∠ADC=180°（四边形的内角和等于360°）．∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠CBE=∠BED=∠ABC，∠ADF=∠FDE=∠ADC（角平分线的定义）．∴∠DFB+∠FDE=（∠ABC+∠ADC）=×180°=90°（等式的性质）．又∠CBE+∠CEB=90°（三角形的内角和等于180°），∴∠FDE=∠CEB（等量代换）．∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）．【考点】1．四边形内角和2．平行线的判定．4.如图，△ABC中BC边上的高为h1，AB边上的高为h2，△DEF中DE边上的高为h3，下列结论正确的是（）A．h1=h2B．h2=h3C．h1=h3D．无法确定【答案】B【解析】△ABC中BC边上的高为h1，AB边上的高为h2，根据三角函数，，△DEF中DE边上的高为h3，根据三角函数得；又因为AC=3.6,EF=3.6,所以，因此【考点】三角函数点评：本题考查三角函数，本题要求掌握三角函数的定义，根据三角函数的定义来正确解答本题5.如图，已知∠EFD=∠BCA，BC=EF，AF=DC.则AB=DE.请说明理由.（填空）解：∵ＡＦ＝ＤＣ（已知）∴ＡＦ＋＝ＤＣ＋即在△ＡＢＣ和△DEF中∴△ＡＢＣ≌△DEF（）∴则AB=DE【答案】FC，FC，AC=DF，已知，EFD，BCA，AC=DF，SAS【解析】由ＡＦ＝ＤＣ可得AC=DF，再结合∠EFD=∠BCA，BC=EF可证得△ＡＢＣ≌△DEF，问题得证.∵ＡＦ＝ＤＣ（已知）∴ＡＦ＋FC＝ＤＣ＋FC即AC=DF在△ＡＢＣ和△DEF中∴△ＡＢＣ≌△DEF（SAS）∴则AB=DE.【考点】全等三角形的判定和性质点评：全等三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.6.如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，AE是∠BAC的平分线，AD是高．(1)求∠BAE的度数；(2)求∠EAD的度数．【答案】∠BAE为50°,∠EAD为10°。