七年级数学—动角问题

培优专题12 角中的动态问题类型一：运动的三角尺问题1．（2022·江苏盐城·七年级期末）【阅读理解】如图1，一套三角板如图拼在一起，我们将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转180°．【解决问题】（1）在旋转过程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之间有怎样的数量关系？（2）当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由．（3）运动过程中，如图2，形成的三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，当其中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”．①第（2）问中旋转后的射线OC是“优线”吗？为什么？②在整个旋转过程中，若旋转时间记为t秒，当射线OC是“优线”时，请直接写出所有满足条件的t值．【答案】（1）∠AOC+∠BOC=∠AOB或者∠AOC-∠BOC=∠AOB；（2）有，理由见解析；（3）①是，理由见解析；②t=2，3，4，9，12【分析】（1）根据题意画出图形可得结论；（2）分别计算出角的度数可得结论；（3）①根据“优线”的定义可判断；②根据题意全面考虑所有可能并分类讨论可得t的值．【详解】（1）如图，当OC在∠AOB内部时，∠AOC+∠BOC=∠AOB，（2）有，理由如下：射线OD平分∠AOB，射线OB平分∠COD．当运动时间为9秒时，∠AOC=15°×9=135°∴15t ＝180，解得t ＝12．综上，t ＝2，3，4，9，12．【点睛】本题主要考查了三角尺中角度的计算，几何图形中角的计算，根据题意全面考虑所有可能以分类讨论是解题的关键．2．（2022·河南·郑州中学七年级期末）(1)探究：在①15°，②25°，③35°，④45°，⑤65°中，乐乐同学利用一副三角板能画出来的角是______；（填序号）(2)在探究过程中，爱动脑筋的乐乐想起了图形的运动方式有多种．如图1，她先用三角板画出了直线EF ，然后将一副三角板拼接在一起，其中45°角（∠AOB ）的顶点，与60°角（∠COD ）的顶点互相重合，且边OA ，OC 都在直线EF 上．固定三角板COD 不动，将三角板AOB 绕点O 按顺时针方向每秒旋转5°（如图2），当边OB 第一次落在射线OF 上时停止，是否存在一个时间t （秒）使∠BOC ＝3∠AOD ？若存在，请求出所有符合题意的t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)①④(2)存在当22.5t =或24.75t =时，=3BOC AOD ∠∠，理由见解析【分析】（1）根据三角板的特点求解即可；（2）分两种情况当OA 在∠DOE 内时，当OA 在∠DOE 外部时，利用角之间的关系求解即可．（1）解：∵一副三角板有的度数为30°，45°，60°，90°，∴用一副三角板可以画出的角的度数为15°，30°，45°，75°，90°，105°，135°等等，不能画出25°，35°，65°，故答案为：①④；（2）解：存在当22.5t =或24.75t =时，=3BOC AOD ∠∠，理由如下：由题意得：=5AOE t °∠，=45AOB а，60COD Ð=°，∴=180=1355BOC AOE AOB t °--°-°∠∠∠，=180=120DOE COD °-°∠∠，分两种情况：当OA 在∠DOE 内时，如图2-1所示，∴1205AOD DOE AOE t Ð=Ð-Ð=°-°，∵=3BOC AOD ∠∠，∴()135531205t t °-°=°-°，解得22.5t =，∵22.55120´°<°，∴22.5t =符合题意；当OA 在∠DOE 外部时，如图2-2所示∴5120AOD DOE AOE t Ð=Ð-Ð=°-°，∵=3BOC AOD ∠∠，∴()135535120t t °-°=°-°，解得24.75t =，∵24.755120´°>°，∴24.75t =符合题意；∴当22.5t =或24.75t =时，=3BOC AOD ∠∠．【点睛】本题主要考查了三角板和几何中角度的计算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．3．（2022·福建福州·七年级期末）一副三角尺（分别含∠B ＝∠AOB ＝45°，∠A ＝90°和∠D ＝30°，∠COD ＝60°，∠C ＝90°）按如图所示摆放使得B 、O 、D 三点共线．将三角尺ABO 绕点O 以每秒4°的速度顺时针旋转，当边AO 与OD 重合时停止运动，设三角尺ABO 的运动时间为t 秒．(1)当t＝10时，∠AOD＝°．(2)求出当t为何值时，边AO平分∠COD．(3)若在三角尺ABO开始旋转的同时，三角尺OCD也绕点O以每秒1°的速度逆时针旋转，当三角尺ABO停止旋转时，三角尺OCD也停止旋转．在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠AOD＝2∠BOC，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．(3)存在，理由是：在旋转过程中，当OB在OC右侧时，∠BOC+∠AOD=60°-45°=15°∴∠AOD=23×15°=10°，综上：t的值为21秒或27【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的变化，角平分线的定义，角的计算，利用三角板的特殊角，分清运动的情形是解题的关键．．（福建三明七年级期末）一副三角尺按照如图所示摆放在量角器上，边器0刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合，将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒4°的速度顺时针旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动.设三角尺ABP的运动时间为t （秒）（1）当5t=秒时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数为_ ;（2）t=秒时，边PB平分CPDÐ;（3）若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒1o的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转，①当t为何值时，边PB平分CPDÐ;②在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得:3:2BPD APC ÐÐ=.若存在，请求出t 的值;若不存在，请说明理由.综上所述：18t =秒或25.2秒时，:3:2BPD APC ÐÐ=．【点睛】本题主要考查一元一次方程与角的和差倍分关系的综合，根据等量关系，列出一元一次方程，是解题的关键．类型二：角的动线问题5．（2020·河南平顶山·七年级期末）如图①，直线PQ 上依次有A 、O 、B 三点，若射线OA 绕点O 沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，同时射线OB 绕点O 沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转，如图②，设旋转时间为t 秒（045££t ）．（1）POA Ð=__________度，QOB Ð=__________度．（用含t 的代数式表示）（2）在运动过程中，当AOB Ð等于60°时，求t 的值．（3）在旋转过程中是否存在这样的t ，使得射线OB 平分AOQ Ð或AOP Ð (AOQ Ð，AOP Ð均为小于180°的角)？如果存在，直接写出t 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）2POA t Ð=度，4QOB t Ð=度；（2）当AOB Ð等于60°时，t=20或40；（3）射线OB 平分AOQ Ð或AOP Ð时，t=18或36.【分析】（1）∠POA 的度数等于OA 旋转速度乘以旋转时间，∠QOB 的度数等于OB 旋转速度乘以旋转时间；（2）分OA 与OB 相遇前，∠AOB=60°，和OA 与OB 相遇后，∠AOB=60°，两种情况，列出关于t 的等式，解出即可；（3）分OB 平分∠AOQ 和OB 平分∠AOP 两种情况，列出关于t 的等式，解出即可.【详解】（1）22POA t t Ð=´=度，44QOB t t Ð=´=度；（2）①OA 与OB 相遇前，∠AOB=60°，2604180t t ++=6120t =20t =；②OA 与OB 相遇后，∠AOB=60°，2460180t t +-=6240t =40t=，综上，当AOBÐ等于60°时，t=20或40；（3）①OB平分∠AOQ时，∠AOQ=2∠BOQ，-=´t t180224-=-t10180t=；18②OB平分∠AOP时，∠AOP=2∠BOP，()=´-t t221804t t=-23608t=10360t=，36综上，射线OB平分AOQÐ时，t=18或36.Ð或AOP【点睛】本题是对角度动态问题的考查，熟练掌握角的计算和角平分线性质的运用，准确根据题意列出方程是解决本题的关键，难度相对较大.6．（2017·福建泉州·七年级阶段练习）如图，点A，B在以点O为圆心的圆上，且∠AOB=30°，如果甲机器人从点A出发沿着圆周按顺时针方向以每秒5°的速度行驶；乙机器人同时从点B出发沿着圆周按逆时针方向行驶，速度是甲机器人的两倍，经过一段时间后，甲、乙分别运动到点C，D，当以机器人到达点B时，甲乙同时停止运动，设运动时间为t，(1)当t=2秒时，则∠COD的度数是________；并请你直接写出用含t的代数式表示∠BOC，则∠BOC=________(2)探究：当时间为多少秒时，点C与点D相遇？(3)在机器人运动的整个过程中，若∠COD是∠AOB的3倍，求甲运动的时间．【答案】(1)60° ；30+5t(2)22秒(3)4秒，16秒，28秒【分析】（1）根据角的和差定义计算即可；（2）根据∠AOC+∠BOD+∠AOB=360°，构建方程即可解决问题；（3）分三种情形讨论，分别构建方程即可解决问题；（1）当t=2秒时，∠AOC=20°，∠BOD=10°，∴∠COD=∠AOC+∠AOB+∠BOD=60°，∠BOC=（30+5t）°，故答案为60°，（30+5t）°；（2）甲机器人的运动速度每秒为5°，乙机器人的运动速度为每秒10°，∴∠AOC=5t，则∠BOD=10t，∵∠AOC+∠BOD+∠AOB=360°∴5t+10t+30=360，解得：t=22．所以，当时间为22秒时，点C与点D相遇．（3）分三种情况讨论：①当OC，OD运动到如图1所示的位置时，设甲的运动时间为t秒，则∠AOC=5t°，∠BOD=10t°，∵∠COD=90°，∠AOB=30°，∴5t+30+10t=90，解得：t=4；②当OC，OD运动到如图2所示的位置时，设甲的运动时间为t秒，则∠AOC=5t°，∠BOD=10t°，∵∠COD=90°，∠AOB=30°，∴5t+30+10t+90=360，解得：t=16；③当OC，OD运动到如图3所示的位置时，设甲的运动时间为t秒，则∠AOC=5t°，∠BOD=10t°，∵∠COD=90°，∠AOB=30°，∴5t+30+10t﹣90=360，解得：t=28；综上，甲运动的时间分别为4秒，16秒，28秒符合题意．【点睛】本题考查一元一次方程的应用、角的和差定义等知识，解题的关键是理解题意，学会正确寻找等量关系，构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．7．（2022·湖北武汉·七年级期末）【阅读理解】射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝1∠BOC，则我们称射线OC是射线OA的2伴随线．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC＝12∠AOD，称射线OD是射∠BOC，称射线OC是射线OA的伴随线；同时，由于∠BOD＝12线OB的伴随线．【知识运用】（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM＝ °，若∠AOB的度数是α，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是∠AOB的平分线，则∠NOC 的度数是 ．（用含α的代数式表示）（2）如图3，如∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA 重合时，运动停止．①是否存在某个时刻t （秒），使得∠COD 的度数是20°，若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由．②当t 为多少秒时，射线OC 、OD 、OA 中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．Q 同理，若∠AOB 的度数是11BON AOB a \Ð=Ð=故答案为：40,6a°OC是OA的伴随线时，则OC是OD的伴随线时，OD是OC的伴随线时，OD 是OA 的伴随线时，则的上方．MON 为直角三角板，O 为直角顶点，30M Ð=°，ON 在射线OC 上．将三角板MON 绕点O 以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转，与此同时，射线OC 绕点O 以每秒11°的速度沿逆时针方向旋转，当射线OC 与射线OA 重合时，所有运动都停止．设运动的时间为t 秒，（1）旋转开始前，∠MOC ＝°，∠BOM ＝ °；（2）运动t 秒时，OM 转动了°，t 为 秒时，OC 与OM 重合；（3）t 为何值时，∠MOC =35°？请说明理由．【答案】（1）90°，60°；（2）108°，18；（3）11秒或25秒.【分析】（1）根据30AOC Ð=°，MON 为直角三角板，ON 在射线OC 上，即可得出答案；（2）根据MON 为直角三角板，得90MON Ð=°，构建方程求出t 即可解决问题；（3）分两种情况分别构建方程解决问题即可.【详解】（1）旋转前，MON 为直角三角板，ON 在射线OC 上\90MOC MON Ð=Ð=°Q 30AOC Ð=°\30AON Ð=°，\18060BOM MON AON Ð=°-Ð-Ð=°；故答案为：90°；60°.（2）Q 90MON Ð=°由题意得：90611t t °+=，18t =，故OM 转动：186108´°=°；故答案为：108°；18.（3）35MOC Ð=°Q ，由题意：()1206301135t t °+-°+=°或()3011120635t t °+-°+=°，解得：11t =或25，\11t s =或25s 时，35MOC Ð=°.【点睛】本题考查旋转变换，角的和差定义，一元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.。

七年级动点问题和动角问题培优训练一．动点问题1．对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：P为线段AB上任意一点，如果M，P两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点M，线段AB的“近距”，记作d1（点M，线段AB）；如果M，P两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点M，线段AB的“远距”，记作d2（点M，线段AB），特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间距离为0，已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为3．例如图，若点C表示的数为5，则d1（点C，线段AB）＝2，d2（点C，线段AB）＝7．（1）若点D表示的数为﹣3，则d1（点D，线段AB）＝，d2（点D，线段AB）＝；（2）若点E表示数为x，点F表示数为x+1．d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值．2．定义：当点P在线段AB上，AP＝mAB时，我们称m为点P在线段AB上的“分值”，记作k P﹣AB＝m．理解：如点P是AB的中点时，即，则AP＝AB，则k P﹣AB＝；反过来，当k P﹣AB＝时，则有AP＝AB．因此我们可以这样理解：”k P﹣AB＝m”与”AP＝mAB”具有相同的含义．应用：（1）如图1，点P在线段AB上．若k P﹣AB＝，则AP＝AB；若AP＝4BP，则k P﹣AB＝．（2）已知线段AB＝27cm，点P，Q分别从点A、B同时出发，相向运动，点P到达点B 时，P，Q都停止运动，设运动时间为ts．①若点P，Q的运动速度均为1cm/s，试用含t的式子表示k P﹣AB和k Q﹣AB，并判断它们的数量关系；②若点P和点Q的运动速度分别为3cm/s和5cm/s，点Q到达点A后立即以原速返回B，t为何值时，k P﹣AB+k Q﹣AB＝．拓展：（3）如图2，在三角形ABC中，AB＝AC＝12，BC＝6，点P，Q同时从点A出发，点P沿线段AB匀速运动至点B．点Q沿线段AC，CB匀速运动至点B，且点P，Q同时到达点B，设k P﹣AB＝m．当点Q运动到线段CB上时，请用含m的式子图2表示k Q﹣CB．3．【探索新知】如图1，点C将线段AB分成AC和BC两部分，若BC＝πAC，则称点C是线段AB的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段．（1）若AC＝3，求AB的值（用含π的代数式表示）；（2）若点D也是图1中线段AB的圆周率点（不同于C点），求AC与DB的数量关系．【深入研究】如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置．（3）若点M、N均为线段OC的圆周率点，求线段MN的长度；（4）在图2中，点P、Q分别从点O、C位置同时出发，分别以每秒2个单位长度、每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动时间为t秒．点P追上点Q时，停止运动，当P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点时，请求出t的值．4．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴时，我们发现有许多重要的规律：例如，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点M表示的数为．如图，在数轴上，点A，B，C表示的数分别为﹣8，2，20．（1）如果点A和点C都向点B运动，且都用了4秒钟，那么这两点的运动速度分别是点A每秒个单位长度、点C每秒个单位长度；（2）如果点A以每秒1个单位长度沿数轴的正方向运动，点C以每秒3个单位长度沿数轴的负方向运动，设运动时间为t秒，请问当这两点与点B距离相等的时候，t为何值？（3）如果点A以每秒1个单位长度沿数轴的正方向运动，点B以每秒3个单位长度沿数轴的正方向运动，且当它们分别到达C点时就停止不动，设运动时间为t秒，线段AB的中点为点P；1．t为何值时PC＝12；2．t为何值时PC＝4．5．已知数轴上有A、B两点，点A表示的数为﹣8，且AB＝20．（1）点B表示的数为；（2）如图1，若点B在点A的右侧，点P以每秒4个单位的速度从点A出发向右匀速运动．①若点Q同时以每秒2个单位的速度从点B出发向左匀速运动，经过多少秒后，点P与点Q相距1个单位？②若点Q同时以每秒2个单位的速度从点B出发向右匀速运动，经过多少秒后，在点P、B、Q三点中，其中有一点是另外两个点连接所成线段的中点？6．如图，在数轴上，点A表示﹣10，点B表示11，点C表示18．动点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位的速度匀速运动．设运动时间为t秒．（1）当t为何值时，P、Q两点相遇？相遇点M所对应的数是多少？（2）在点Q出发后到达点B之前，求t为何值时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等；（3）在点P向右运动的过程中，N是AP的中点，在点P到达点C之前，求2CN﹣PC 的值．7．已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s 的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）（1）若AB＝10cm，当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．（2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝AB．（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．8．已知a、b满足（a﹣2）2+|ab+6|＝0，c＝2a+3b，且有理数a、b、c在数轴上对应的点分别为A、B、C．（1）则a＝，b＝，c＝．（2）点D是数轴上A点右侧一动点，点E、点F分别为CD、AD中点，当点D运动时，线段EF的长度是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出其值；（3）若点A、B、C在数轴上运动，其中点C以每秒1个单位的速度向左运动，同时点A和点B分别以每秒3个单位和每秒2个单位的速度向右运动．请问：是否存在一个常数m使得m•AB﹣2BC不随运动时间t的改变而改变．若存在，请求出m和这个不变化的值；若不存在，请说明理由．9．已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣2，0，4，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．（1）如果点P到点M点N的距离相等，则x＝．（2）数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是10？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．（3）如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设t分钟时点P到点M、点N的距离相等，求t的值．10．如图1，已知数轴上A，B两点表示的数分别为﹣9和7．（1）AB＝．（2）点P、点Q分别从点A、点B出发同时向右运动，点P的速度为每秒4个单位，点Q的速度为每秒2个单位，经过多少秒，点P与点Q相遇？（3）如图2，线段AC的长度为3个单位线段BD的长度为6个单位，线段AC以每秒4个单位的速度向右运动，同时线段BD以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t 秒．①t为何值时，点B恰好在线段AC的中点M处．②t为何值时，AC的中点M与BD的中点N距离2个单位．11．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．问：（1）动点P从点A运动至C点需要多少时间？（2）P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少；（3）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．12．有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，A、B两点之间的距离是90米，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发到终点C，乙机器人始终以50米分的速度行走，乙行走9分钟到达C点．设两机器人出发时间为t（分钟），当t＝3分钟时，甲追上乙．请解答下面问题：（1）B、C两点之间的距离是米．（2）求甲机器人前3分钟的速度为多少米/分？（3）若前4分钟甲机器人的速度保持不变，在4≤t≤6分钟时，甲的速度变为与乙相同，求两机器人前6分钟内出发多长时间相距28米？（4）在（3）的条件下，若6分钟后甲机器人的速度又恢复为原来出发时的速度，直接写出当t＞6时，甲、乙两机器人之间的距离S．（用含t的代数式表示）．二．动角问题13．如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB （其中∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE 之间数量关系为；（2）若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝130°．①在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC，OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意t的值，若不存在，请说明理由；②如图3，在旋转的过程中，边AB与射线OE相交，请直接写出∠AOC﹣∠BOE的值．14．将一副三角板中的含有60°角的三角板的顶点和另一块的45°角的顶点重合于一点O，绕着点O旋转60°的三角板，拼成如图的情况（OB在∠COD内部），请回答问题：（1）如图1放置，将含有60°角的一边与45°角的一边重合，求出此时∠AOD的度数．（2）绕着点O，转动三角板AOB，恰好是OB平分∠COD，此时∠AOD的度数应该是多少？（3）是否存在这种情况，∠AOC的度数恰好等于∠BOD度数的3倍．如果存在，请求出∠AOD的度数，如果不存在请说明理由．15．已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；（2）在图1中，若∠AOC＝α，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；（3）将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置．①探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；②在∠AOC的内部有一条射线OM，满足：4∠BOE﹣∠AOC＝﹣3∠AOM，试确定∠AOM与∠DOE的度数之间的关系，说明理由．16．已知∠AOB＝90°，∠COD＝60°，按如图1所示摆放，将OA、OC边重合在直线MN 上，OB、OD边在直线MN的两侧：（1）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O旋转至如图2所示的位置，则①∠AOC+∠BOD＝；②∠BOC﹣∠AOD＝．（2）若∠COD按每分钟5°的速度绕点O逆时针方向旋转，∠AOB按每分钟2°的速度也绕点O逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转t分钟，计算∠MOC﹣∠AOD（用t的代数式表示）．（3）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O逆时针方向旋转n°（n≤360），若射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，求∠EOF的大小．17．如图1，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM、ON上．将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒9°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转（如图2）．设旋转时间为t（0≤t≤40，单位秒）．（1）当t＝8时，∠AOB＝°；（2）在旋转过程中，当∠AOB＝36°时，求t的值．（3）在旋转过程中，当ON、OA、OB三条射线中的一条恰好平分另外两条射线组成的角（指大于0°而不超过180°的角）时，请求出t的值．18．如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠COB的平分线，OE⊥OF．（1）图中∠BOE的补角是；（2）若∠COF＝2∠COE，求∠BOE的度数；（3）试判断OF是否平分∠AOC，并说明理由．19．【阅读新知】如图①，射线OC在∠AOB内，图中共有三个角∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的2倍，则称射线OC是∠AOB的“巧线”．【理解运用】（1）∠AOB的角平分线这个角的“巧线”；（填“是”或“不是”）（2）若∠AOB＝90°，射线OC是∠AOB的“巧线”，则∠AOC的度数是．【拓展提升】如图②，一副三角板如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器0°刻度线重合，边AP 与量角器180°刻度线重合，将三角板ABP绕量角器中心点P以每秒5°的速度顺时针方向旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动，设三角板ABP的运动时间为t秒．（3）求t何值时，射线PB是∠CPD的“巧线”？（4）若三角板ABP按照原来方向旋转的同时，三角板PCD也绕点P以每秒2°的速度逆时针方向旋转，此时三角板ABP绕点P旋转的速度比原来每秒快了3°．当三角板ABP 停止旋转时，三角板PCD也停止旋转，问：在旋转过程中，是否存在某一时刻t，使三条射线PB、PC、PD中，其中一条恰好是以另两条组成的角的“巧线”？若存在，请直接写出t的值．若不存在，请说明理由．20．已知，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）如图1，若OA⊥OB，∠BOC＝60°，求∠MON的度数；（2）如图2，若∠AOB＝80°，∠MON：∠AOC＝2：7，求∠AON的度数．21．如图∠AOB＝120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°，射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC与OD 同时旋转，设旋转时间为t分钟（t不超过15）．（1）当t＝时，射线OD与OC重合；（2）试探索：在射线OC与OD同时旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC平分∠BOD？若存在，请求出所有满足题意的t的值，若不存在，请说明理由；（3）t为何值时，射线OC与OD垂直．22．如图，点O在直线AB上，OC⊥AB．在Rt△ODE中，∠ODE＝90°，∠DOE＝30°，先将△ODE一边OE与OC重合（如图1），然后将△ODE绕点O按顺时针方向旋转（如图2），当OE与OB重合时停止旋转．（1）当∠AOD＝80°时，则旋转角∠COE的大小为；（2）当OD在OC与OB之间时，求∠AOD﹣∠COE的值；（3）在△ODE的旋转过程中，若∠AOE＝4∠COD时，求旋转角∠COE的大小．23．如图①，已知线段AB＝20cm，CD＝2cm，线段CD在线段AB上运动，E、F分别是AC、BD的中点．（1）若AC＝4cm，则EF＝cm．（2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变请求出EF的长度，如果变化，请说明理由．（3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②已知∠COD在∠AOB内部转动，OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD，则∠EOF、∠AOB和∠COD有何关系，请直接写出．24．如图，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE别是∠AOC和∠BOC的平分线．（1）如图①，当∠AOB＝80°时，则∠DOE的度数为°；（2）如图②，当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时，∠BOE、∠EOD、∠DOA三角之间有怎样的数量关系？并说明理由；（3）当射线OC在∠AOB外如图③所示位置时，（2）中三个角：∠BOE、∠EOD、∠DOA之间数量关系的结论是否还成立？给出结论并说明理由；（4）当射线OC在∠AOB外如图④所示位置时，∠BOE、∠EOD、∠DOA之间数量关系是．。

七年级数学上册动点问题1、如图，有一数轴原点为O，点A 所对应的数是-1 12，点A沿数轴匀速平移经过原点到达点B．（1）如果OA=OB，那么点B所对应的数是什么？（2）从点A到达点B所用时间是3秒，求该点的运动速度．（3）从点A沿数轴匀速平移经过点K 到达点C，所用时间是9秒，且KC=KA，分别求点K和点C所对应的数。

2、动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知动点A、B的速度比是1：4．（速度单位：单位长度/秒）（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置；（2）若A、B两点从（1）中的位置同时向数轴负方向运动，几秒后原点恰好处在两个动点正中间；（3）在（2）中A、B两点继续同时向数轴负方向运动时，另一动点C同时从B点位置出发向A运动，当遇到A后，立即返回向B点运动，遇到B 点后立即返回向A点运动，如此往返，直到B追上A时，C立即停止运动．若点C一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C从开始到停止运动，运动的路程是多少单位长度．3、已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；（3）点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？4、数轴上两个质点A、B所对应的数为-8、4，A、B两点各自以一定的速度在上运动，且A点的运动速度为2个单位/秒．（1）点A、B两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求B点的运动速度；（2）A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒钟时两者相距6个单位长度；（3）A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发作同方向的运动，且在运动过程中，始终有CB：CA=1：2，若干秒钟后，C停留在-10处，求此时B点的位置？5、在数轴上，点A表示的数是-30，点B表示的数是170．（1）求A、B中点所表示的数．（2）一只电子青蛙m，从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，同时另一只电子青蛙n，从A点出发以6个单位每秒的速度向右运动，假设它们在C点处相遇，求C点所表示的数．（3）两只电子青蛙在C点处相遇后，继续向原来运动的方向运动，当电子青蛙m处在A点处时，问电子青蛙n 处在什么位置？（4）如果电子青蛙m从B点处出发向右运动的同时，电子青蛙n也向右运动，假设它们在D点处相遇，求D 点所表示的数6、已知数轴上有A、B、C三点，分别代表—24，—10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。

2023-2024学年人教版七年级上册数学期末动角问题压轴题专题训练(1)若，则__________．(2)当线段在线段上运动时，试判断线段请求出线段的长度；如果变化，请说明理由．(3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知(1)若，则 ；10cm AC =EF =cm CD AB EF EF 10cm AC =EF =cm(2)当线段在线段上运动时，试判断线段的长度是否会发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由；(3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，分别平分和．类比以上发现的线段的规律，若，，求的度数．3．如图甲，已知线段，线段在线段上运动（不与端点、重合），E 、F 分别是、的中点．(1)观察发现：若，则______cm ．(2)拓展探究：当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，求出的长度，如果变化，请说明理由．(3)迁移应用：对于角，也有和线段类似的规律：如图乙，在同一平面内，已知在内部转动，，分别平分和①若，，求；②请你猜想，和会有怎样的数量关系，直接写出你的结论．CD AB EF EF COD ∠AOB ∠OE OF 、AOC ∠BOD ∠80EOF ∠=︒35COD ∠=︒AOB ∠20cm AB =4cm CD =CD AB A B AC BD 6cm AC =EF =CD AB EF EF COD ∠AOB ∠OE OF AOC ∠BOD∠130AOB ∠=︒20COD ∠=︒EOF ∠EOF ∠AOB ∠COD ∠（1）当时，则线段 ，线段 .（2）用含的代数式表示运动过程中的长.（3）在运动过程中，若的中点为，问的长是否变化？与点的位置是否无关？（4）知识迁移：如图2，已知，过角的内部任一点画射线，若2t =AB =cm CD =cm t AB AB E EC B 120AOD ∠=︒B OB(1)如图1，为直线上的一点，，，直接写出图中一对垂角；(2)如果一个锐角的垂角等于这个角的余角的3倍，求这个角的度数；(3)如图2，为直线上的一点，若，，且射线绕以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，两条射线、同时运动，运动时间为秒，试求当为何值时，和互为垂角？6．如图①，已知线段在线段上运动，线段，，点、分别是、的中点．解答下列问题：(1)若，求的长；(2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变请求出的长度，如果变化，请说明理由；(3)通过类比，我们发现角的很多规律和线段一样，如图②已知在内部转O AB =90AOC ︒∠90EOD ∠=︒O AB =90AOC ︒∠30BOD ∠=︒OC O 9︒OD O 6︒OC OD t ()030t <<t AOC ∠BOD ∠CD AB 10cm AB =2cm CD =E F AC BD 3cm AC =EF CD AB EF EF COD ∠AOB ∠动，和分别平分和，则与、有何数量关系，请直接写出答案．7．如图①，已知线段，线段在线段上运动（点A 不超过点M ，点B 不超过点N ），点C 和点D 分别是，的中点．(1)若，，求的长度；(2)若，线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由；(3)知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和．当转动时，是否发生变化？，和三个角有怎样的数量关系，请说明理由．8．已知，为内部的一条射线，.OE OF AOC ∠BOD ∠EOF ∠AOB ∠COD ∠24cm MN =AB MN AM BN 8cm AM =2cm AB =CD 2cm AB a =AB CD CD AOB ∠MON ∠OC OD AOM ∠BON ∠AOB ∠COD ∠AOB ∠COD ∠MON ∠150AOB ∠=︒OC AOB ∠60BOC ∠=︒(1)运动开始前，如图1，∠AOM ＝ °，∠DON ＝ °；(2)旋转过程中，当t 为何值时，射线OB 平分∠AON ？(3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得∠MON ＝35°？若存在，请求出t 的值；若不存AOC BOD∠∠参考答案：。

专题09 几何中动角问题的两种考法类型一、判断角的数量之间的关系例．如图所示，O 是直线AB 上的一点，COD Ð是直角，OE 平分BOC Ð．（1）如图①，若28AOC Ð=°，求DOE Ð的度数；（2）在图①，若AOC a Ð=，直接写出DOE Ð的度数_________（用含a 的代数式表示）；（3）将图①中的COD Ð绕顶点O 顺时针旋转至图②的位置．①探究AOC Ð和DOE Ð的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；②在AOC Ð的内部有一条射线OF ，满足42AOC AOF BOE AOF Ð-Ð=Ð+Ð，试确定AOF Ð与DOE Ð的度数之间的关系，说明理由．【答案】（1）14°；（2）2a ；（3）①∠AOC ＝2∠DOE ；（2）2∠DOE −52∠AOF ＝90°【详解】解：（1）∵∠COD 是直角，OE 平分∠BOC ，∠AOC ＝28°，∴∠BOC ＝180°−∠AOC ＝152°，∠COE ＝12∠BOC ，∠COD ＝90°．∴∠COE ＝76°，∠DOE ＝∠COD −∠COE ＝90°−76°＝14°．即∠DOE ＝14°；（2）∵∠COD 是直角，OE 平分∠BOC ，∠AOC ＝a ，∴∠DOE ＝90°−1802a °-＝2a ．故答案是：2a ；（3）①∠AOC ＝2∠DOE ．理由：∵OE 平分∠BOC ，∴∠BOC ＝2∠COE ．∵∠COD 是直角，∠AOC ＋∠BOC ＝180°，∴∠DOE ＋∠COE ＝90°，∠AOC ＋2∠COE ＝180°．∴∠AOC ＋2（90°−∠DOE ）＝180°．化简，得∠AOC ＝2∠DOE ；②2∠DOE −52∠AOF ＝90°．理由：∵42AOC AOF BOE AOF Ð-Ð=Ð+Ð，∴2∠AOF ＋∠BOE ＝12（∠AOC −∠AOF ），∴2∠AOF ＋∠BOE ＝12∠AOC−12∠AOF ．又∵∠AOC ＝2∠DOE ，∴52∠AOF ＝∠DOE −∠BOE ，∴52∠AOF ＝∠DOB ．∵∠DOB ＋∠BOC ＝90°，∠AOC ＋∠BOC ＝180°，∠AOC ＝2∠DOE ．∴52∠AOF ＋180°−∠AOC ＝90°．∴52∠AOF ＋180°−2∠DOE ＝90°．化简，得2∠DOE −52∠AOF ＝90°．【变式训练1】已知∠AOB ＝∠COD ＝90°，OE 平分∠BOC ．(1)如图，若∠AOC ＝30°，则∠DOE 的度数是______；（直接写出答案）(2)将（1）中的条件“∠AOC ＝30°”改为“∠AOC 是锐角”，猜想∠DOE 与∠AOC 的关系，并说明理由；(3)若∠AOC 是钝角，请先画出图形，再探索∠DOE 与∠AOC 之间的数量关系．（不用写探索过程，将结论直接写在你画的图的下面）【答案】(1)60°；(2)1=452DOE AOC °+∠，理由见解析(3)∠AOC +2∠DOE =270°或2∠DOE -∠AOC =90°或∠AOC +2∠DOE =450°或∠AOC -2∠DOE =90°【解析】(1)解：∵∠AOB =90°，∠AOC =30°，∴∠BOC =∠AOB -∠AOC =60°，∵OE 平分∠BOC ，∴∠COE =∠BOE =30°，∵∠COD =90°，∴∠DOE =∠COD -∠COE =60°，故答案为：60°(2)解：1=452DOE AOC °+∠ ，理由如下：∵∠AOB =90°，∴∠BOC =∠AOB -∠AOC =90°-∠AOC∵OE 平分∠BOC ，∴()1190=4522COE BOE AOC AOC Ð=Ð=°-°-∠∠ ∵∠COD =90°，∴119045=4522DOE COD COE AOC AOC Ð=Ð-Ð=°-°+°+∠∠(3)：如图3-1所示，当OD 在∠AOB 内部时，∵OE 平分∠BOC ，∴∠BOC =2∠BOE =2∠COE ，∵∠AOB =∠COD =90°，∴∠AOC =∠AOB +∠BOC =90°+2∠COE ，∠DOE =∠COD -∠COE =90°-∠COE ，∴∠AOC +2∠DOE =90°+2∠COE +180°-2∠COE =270°；如图3-2所示，当OD 在∠AOB 外部时，同理可以求出∠AOC =∠AOB +∠BOC =90°+2∠COE ，∠DOE =∠COD +∠COE =90°+∠COE ，∴2∠DOE -∠AOC = 180°+2∠COE -90°-2∠COE =90°；如图3-3所示，当OD 在∠AOB 外部时，同理可以求出∠AOC =360°-∠AOB -∠BOC =270°-2∠COE ，∠DOE =90°+∠COE ，∴∠AOC +2∠DOE =270°-2∠COE +180°+2∠COE =450°；如图3-4所示，当OD 在△AOB 外部时，同理可以求出∠AOC =270°-2∠COE ，∠DOE =90°-∠COE ，∴∠AOC -2∠DOE =90°；综上所述，∠AOC +2∠DOE =270°或2∠DOE -∠AOC =90°或∠AOC +2∠DOE =450°或∠AOC -2∠DOE =90°．【变式训练2】如图，以直线AB 上一点O 为端点作射线OC ，使70BOC Ð=°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O 处．（注：90DOE Ð=°）（1）如图①，若直角三角板DOE 的一边OD 放在射线OB 上，则COE Ð=________°；（2）如图②，将直角三角板DOE 转到如图位置，当OC 恰好平分DOE Ð时，求BOD Ð的度数；（3）如图③，将直角三角板DOE 绕点O 转动，如果OD 始终在BOC Ð的内部，直接写出BOD Ð和COE Ð的数量关系_________．【答案】（1）20；（2）25°；（3）∠COE-∠BOD=20°【详解】解：（1）如图①，∠COE=∠DOE-∠BOC=90°-70°=20°，故答案为：20；（2）如图②，∵OC 平分∠EOD ，∠DOE=90°，∴∠COD=12∠DOE=45°，∵∠BOC=70°，∴∠BOD=∠BOC-∠COD=25°；（3）∠COE-∠BOD=20°，理由是：如图③，∵∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，∴（∠COE+∠COD ）-（∠BOD+∠COD ）=∠COE+∠COD-∠BOD-∠COD=∠COE-∠BOD=90°-70°=20°，即∠COE-∠BOD=20°．【变式训练3】已知100AOB Ð=°，40COD Ð=°，OE ，OF 分别平分AOD Ð，BOD Ð．(1)如图1，当OA ，OC 重合时，EOF Ð= 度；(2)若将COD Ð的从图1的位置绕点O 顺时针旋转，旋转角AOC a Ð=，满足090a °<<°且40¹°a ．①如图2，用等式表示BOF Ð与COE Ð之间的数量关系，并说明理由；②在COD Ð旋转过程中，请用等式表示ÐBOE 与COF Ð之间的数量关系，并直接写出答案．【答案】(1)50；(2)①90COE BOF ÐÐ+=°；②40a <°时，150COF BOE a ÐÐ=+°+；4090a °<<°时，30COF BOE a Ð=-Ð-°【解析】(1)OA Q ，OC 重合，40AOD COD \Ð=Ð=°，10040140BOD AOB COD Ð=Ð+Ð=°+°=°，OE Q 平分AOD Ð，OF 平分BOD Ð，11402022EOD AOD \Ð=Ð=´°=°，111407022DOF BOD Ð=Ð=´°=°，702050EOF DOF EOD \Ð=Ð-Ð=°-°=°；(2)①90COE BOF ÐÐ+=°；理由如下：OE Q 平分AOD Ð，OF 平分BOD Ð，111(40)20222EOD AOE AOD a a \Ð=Ð=Ð=°+=°+，1111()(10040)702222BOF BOD AOB COD a a a Ð=Ð=Ð+Ð+=°+°+=°+，11202022COE AOE AOC a a a \Ð=Ð-Ð=°+-=°-，1170209022BOF COE a a \Ð+Ð=°++°-=°；②由①得：1202EOD AOE a Ð=Ð=°+，1702DOF BOF a Ð=Ð=°+，当40AOC Ð<°时，如图2所示：1170403022COF DOF COD a a Ð=Ð-Ð=°+-°=°+，1110040(20)12022BOE BOD EOD AOB COD EOD a a a a Ð=Ð-Ð=Ð+Ð+-Ð=°+°+-°+=°+，111203015022BOE COF AOC a a a \Ð+Ð-Ð=°++°+-=°，∴150COF BOE a ÐÐ=+°+当4090AOC °<Ð<°时，如图3所示：11(360140)4015022COF DOF DOC a a Ð=Ð+Ð=°-°-+°=°-，11140(20)12022BOE BOD DOE a a a Ð=Ð-Ð=°+-°+=°+，11150(120)3022COF AOC BOE a a a \Ð+Ð-Ð=°-+-°+=°；∴30COF BOE a Ð=-Ð-°综上所述，40a <°时，150COF BOE a ÐÐ=+°+；4090a °<<°时，30COF BOE a Ð=-Ð-°【变式训练4】如图，已知150AOB Ð=o ，将一个直角三角形纸片(90D Ð=o )的一个顶点放在点O 处，现将三角形纸片绕点O 任意转动，OM 平分斜边OC 与OA 的夹角，ON 平分BOD Ð.（1）将三角形纸片绕点O 转动(三角形纸片始终保持在AOB Ð的内部)，若30COD Ð=o ，则MON Ð=_______；（2）将三角形纸片绕点O 转动(三角形纸片始终保持在AOB Ð的内部)，若射线OD 恰好平分MON Ð，若8MON COD Ð=Ð，求COD Ð的度数;（3）将三角形纸片绕点O 从OC 与OA 重合位置逆时针转到OD 与OA 重合的位置，猜想在转动过程中COD Ð和MON Ð的数量关系？并说明理由.【答案】（1）90°；（2）COD=10а；（3）1752MON COD Ð=Ð+°，证明见解析【详解】解：（1）∵OM 平分斜边OC 与OA 的夹角，ON 平分BOD Ð．∴OM 平分∠AOC, ON 平分∠BOD∴设11,22AOM MOC AOC x BON DON BOD y Ð=Ð=Ð=Ð=Ð=Ð=∴2,2AOC x BOD y Ð=Ð=，30MON MOC COD DON x yÐ=Ð+Ð+Ð=+°+∵2302150AOB AOC BOD COD x y Ð=Ð+Ð+Ð=+°+=°∴60x y +=°，∴3090MON x y Ð=+°+=°，故答案为: 90°（2）∵8MON COD Ð=Ð，∴设=,8COD a MON aÐÐ=∵射线OD 恰好平方MON Ð，∴14,2DOM DON MON a Ð=Ð=Ð=∴43,COM DOM COD a a a Ð=Ð-Ð=-=∵OM 平分斜边OC 与OA 的夹角，ON 平分BOD Ð．∴OM 平分∠AOC, ON 平分∠BOD ∴113,422AOM MOC AOC a BON DON BOD a Ð=Ð=Ð=Ð=Ð=Ð= ，∴6,8AOC a BOD a Ð=Ð=∵68150AOB AOC BOD COD a a a Ð=Ð+Ð+Ð=++=°，∴=10a °，∴COD=10а(3) 1752MON AOC Ð=Ð+°,证明如下：当OC 与OA 重合时，设∠COD=x,则150150BOD AOB COD COD x Ð=Ð-Ð=°-Ð=°-∵ON 平分∠BOD ∴117522DON BOD x Ð=Ð=°- ∴MON COD DON Ð=Ð+Ð 1752x x =+°- 1752x =°+ ，∴1752MON COD Ð=°+Ð当OC 在OA 的左侧时设∠AOD=a ，∠AOC=b ，则∠BOD=∠AOB-∠AOD=150°-a ，∠COD=∠AOD+∠AOC=a+b∵ON 平分∠BOD ，∴117522DON BOD a Ð=Ð=°- ∵OM 平分∠AOC ，∴1122AOM COM AOC b Ð=Ð=Ð= ∴∠MON=∠MOA+∠AOD+∠DON 117522b a a =++°- 117522b a =++° 1752COD =Ð+°当OD 与OA 重合时，∵ON 平分∠AOB ，∴1752AON AOB Ð=Ð=° ∵OM 平分∠AOC ，∴12MON AOC Ð=Ð ，∴MON MOD AON Ð=Ð+Ð 1752AOC =Ð+° 综上所述 1752MON AOC Ð=Ð+°类型二、定值问题例．已知将一副三角尺（直角三角尺OAB 和OCD ）的两个顶点重合于点O ，90AOB Ð=°，30COD Ð=°（1）如图1，将三角尺COD 绕点O 逆时针方向转动，当OB 恰好平分COD Ð时，求AOC Ð的度数；（2）如图2，当三角尺OCD 摆放在AOB Ð内部时，作射线OM 平分AOC Ð，射线ON 平分BOD Ð，如果三角尺OCD 在AOB Ð内绕点O 任意转动，MON Ð的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．【答案】（1）75COB Ð=°；（2）不变．60MON Ð=°【详解】解：（1）OB Q 平分COD Ð，11301522COB COD \Ð=Ð=´°=°，901575AOC AOB COB \Ð=Ð-Ð=°-°=°；图1 图2（2）不变．OM Q 平分AOC Ð，ON 平分BOD Ð12NOD BOD \Ð=Ð，12COM AOC Ð=Ð122MON NOD COD COM BOD AOC COD 1\Ð=Ð+Ð+Ð=Ð+Ð+Ð()12BOD AOC COD =Ð+Ð+Ð()12AOB COD COD =Ð-Ð+Ð()1903030602=´°-°+°=°【变式训练1】如图，两条直线AB 、CD 相交于点O ，且∠AOC=90°，射线OM 从OB 开始绕O 点逆时针方向旋转，速度为15°/s ，射线ON 同时从OD 开始绕O 点顺时针方向旋转，速度为12°/s ．两条射线OM 、ON 同时运动，运动时间为t 秒．（本题出现的角均小于平角）（1）当t=2时，∠MON 的度数为 ，∠BON 的度数为 ；∠MOC 的度数为（2）当0＜t ＜12时，若∠AOM=3∠AON-60°，试求出t 的值；（3）当0＜t ＜6时，探究72COM BON MON Ð+ÐÐ的值，问：t 满足怎样的条件是定值；满足怎样的条件不是定值？【答案】（1）144°，114°，60°；（2）t的值为107秒或10秒；（3）当0＜t＜103时，72COM BONMONÐ+ÐÐ的值不是定值；当103＜t＜6时，72COM BONMONÐ+ÐÐ的值是3．【详解】（1）由题意得：∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=2×15°+90°+2×12°=144°，∠BON=∠BOD+∠DON=90°+24°=114°，∠MOC=∠BOC-∠BOM=90°-2×15°=60°，故答案为：144°，114°，60°；（2）当ON与OA重合时，t=90÷12=7.5（s），当OM与OA重合时，t=180°÷15=12（s）①如图所示，当0＜t≤7.5时，∠AON=90°-12t°，∠AOM=180°-15t°由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3（90-12t）-60，解得t=107，②如图所示，当7.5＜t＜12时，∠AON=12t°-90°，∠AOM=180°-15t°，由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3（12t-90）-60，解得t=10，综上，t的值为107秒或10秒；（3）当∠MON=180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON=180°，∴15t+90+12t=180，解得t=103，①如图所示，当0＜t＜103时，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=15t°+90°+12t°，∴()()790152901272810811590129027t t COM BON t MON t t t °-°+°+°Ð+а-°==а+°+°°+°（不是定值），②如图所示，当103＜t ＜6时，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，∠MON=360°-（∠BOM+∠BOD+∠DON ）=360°-（15t°+90°+12t°）=270°-27t°，∴()()79015290127227027t t COM BON MON t °-°+°+°Ð+Ð=а-°=3（定值），综上所述，当0＜t ＜103时，72COM BON MON Ð+ÐÐ的值不是定值；当103＜t ＜6时，72COM BON MON Ð+ÐÐ的值是3．【变式训练2】已知将一副三角板（90,30AOB COD Ð=°Ð=°）如图1摆放，点O 、A 、C 在一条直线上．将直角三角板OCD 绕点O 逆时针方向转动，变化摆放如图位置．（1）如图1，当点O 、A 、C 在同一条直线上时，BOD Ð=_______度；如图2，若要OB 恰好平分COD Ð，则AOC Ð=_______度；（2）如图3，当三角板OCD 摆放在AOB Ð内部时，作射线OM 平分AOC Ð，射线ON 平分BOD Ð，如果三角板OCD 在AOB Ð内绕点O 任意转动，MON Ð的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．（3）当三角板OCD 从图1的位置开始，绕点O 逆时针方向旋转一周，保持射线OM 平分AOC Ð、射线ON 平分BOD Ð（180,180AOC BOD У°Ð£°），在旋转过程中，（2）中的结论是否保持不变？如果保持不变，请说明理由；如果变化，请说明变化的情况和结果（即旋转角度a 在什么范围内时MON Ð的度数是多少）．【答案】（1）60，75；（2）60MON Ð=°，理由见详解；（3）①当0180a °<<°时，60MON Ð=°；②当180a =°时，60MON Ð=°或120°，③当180240a °<<°时，120MON Ð=°；④当240a =°时，120MON Ð=°或60°；⑤当240360a °<<°时，60MON Ð=°【详解】解：（1）由题意得：30,90COD AOB Ð=°Ð=°，∴60BOD AOB COD Ð=Ð-Ð=°，∵OB 恰好平分COD Ð，∴1152BOC COD Ð=Ð=°，∴75AOC AOB BOC Ð=Ð-Ð=°；故答案为60，75；（2）MON Ð的度数不发生变化，理由如下：∵射线OM 平分AOC Ð，射线ON 平分BOD Ð，∴11,22MOC AOC NOD BOD Ð=ÐÐ=Ð，∵30,90COD AOB Ð=°Ð=°，∴9060AOC BOD COD Ð+Ð=°-Ð=°，∴30MOC NOD Ð+Ð=°，∴60MON MOC NOD COD Ð=Ð+Ð+Ð=°；（3）设旋转角度为a ，根据题意可得：30,90COD AOB Ð=°Ð=°，∵射线OM 平分AOC Ð，射线ON 平分BOD Ð，∴11,22MOC AOC NOD BOD Ð=ÐÐ=Ð，①当0180a °<<°时，如图所示：∴()()1190306022MON MOC NOD BOC BOC BOC BOC Ð=Ð+Ð-Ð=°+Ð+°+Ð-Ð=°，②当180a =°时，即AOC Ð为平角，可分为：当点M 在OB 上，如图所示：∴120MOD BOC COD Ð=Ð+Ð=°，∴1602MON MOD Ð=Ð=°；当点M 在BO 的延长线时，如图所示：∴180120MON BON Ð=°-Ð=°；③当180240a °<<°时，如图所示：∴360AOC CON BON AOB Ð+Ð+Ð+Ð=°，∴()2303090360MOD CON CON Ð+°+Ð+Ð+°+°=°，解得：90MOD CON Ð+Ð=°，∴9030120MON MOD CON DOC Ð=Ð+Ð+Ð=°+°=°；④当240a =°时，则180BOD Ð=°，如图所示：∴当ON 平分在∠BOD 的左边时，则60MON Ð=°，当ON 平分在∠BOD 的右边时，则120MON Ð=°；⑤当240360a °<<°时，如图所示：∴30,90MOD COM AON BON Ð=Ð-°Ð=Ð-°，∴()()()1130906022MON AOD AON MOD AOD AOD AOD Ð=Ð-Ð+Ð=°-Ð+°-Ð+Ð=°．类型三、求值问题例.如图1，O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，30AOC Ð=°，将一直角三角板（30M Ð=°）的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 与OC 都在直线AB 的上方．（注：本题旋转角度最多180°．）（1）将图1中的三角板绕点O 以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过t 秒后，AON Ð=______度（用含t 的式子表示），若OM 恰好平分BOC Ð，则t =______秒（直接写结果）．（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC 也绕O 点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过t 秒后，AOC Ð=______度（用含t 的式子表示）若OC 平分MON Ð，求t 为多少秒？（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒OC 平分BOM Ð？（直接写结果）【答案】（1）3t ，5；（2）306t +，5；（3）经过703秒OC 平分BOM Ð【解析】（1）3AON t Ð=，∵30AOC Ð=°，∴150BOC Ð=°∵OM 平分BOC Ð，90MON Ð=°，∴75COM Ð=°，∴15CON Ð=°∴301515AON AOC CON Ð=Ð-Ð=-=°°°，解得：1535t =¸=°°秒（2）()306AOC t Ð=+度，∵90MON Ð=°，OC 平分MON Ð，∴45CON COM Ð=Ð=°∴45AOC AON CON Ð-Ð=Ð=°，∴306345t t +-=解得：5t =秒（3）如图：∵90AON BOM Ð+Ð=°，BOC COMÐ=Ð由题可设AON Ð为3t ，AOC Ð为()306t +°，∴()19032COM BOC t Ð=Ð=-°∵180BOC AOC Ð+Ð=°，()()130********t t ++-=，解得：703t =秒答：经过703秒OC 平分BOM Ð．【变式训练1】如图，将一副直角三角尺的直角顶点C 叠放在一起．（1）若∠DCE ＝35°，∠ACB ＝ ；若∠ACB ＝140°，则∠DCE ＝ ；（2）猜想∠ACB 与∠DCE 的大小有何特殊关系，并说明理由；（3）若保持三角尺BCE 不动，三角尺ACD 的CD 边与CB 边重合，然后将三角尺ACD 绕点C 按逆时针方向任意转动一个角度∠BCD ．设∠BCD ＝α（0°＜α＜90°）①∠ACB 能否是∠DCE 的4倍？若能求出α的值；若不能说明理由．②三角尺ACD 转动中，∠BCD 每秒转动3°，当∠DCE ＝21°时，转动了多少秒？【答案】（1）∠ACB ＝145°；∠DCE ＝40°；（2）∠ACB +∠DCE ＝180°或互补，理由见解析；（3）①能；理由见解析，α＝54°；②23秒【详解】解：（1）∵∠ACD ＝∠ECB ＝90°，∠DCE ＝35°，∴∠ACB ＝180°﹣35°＝145°．∵∠ACD ＝∠ECB ＝90°，∠ACB ＝140°，∴∠DCE ＝180°﹣140°＝40°．故答案为：145°，40°；（2）∠ACB +∠DCE ＝180°或互补，理由：∵∠ACE +∠ECD +∠DCB +∠ECD ＝180．∵∠ACE +∠ECD +∠DCB ＝∠ACB ，∴∠ACB +∠DCE ＝180°，即∠ACB 与∠DCE 互补．（3）①当∠ACB 是∠DCE 的4倍，∴设∠ACB ＝4x ，∠DCE ＝x ，∵∠ACB +∠DCE ＝180°，∴4x +x ＝180°解得：x ＝36°，∴α＝90°﹣36°＝54°；②设当∠DCE ＝21°时，转动了t 秒，∵∠BCD +∠DCE ＝90°，∴3t +21＝90，t ＝23°，答：当∠DCE ＝21°时，转动了23秒．【变式训练2】如图（1），∠BOC 和∠AOB 都是锐角，射线OB 在∠AOC 内部，AOB a Ð=，BOC b Ð=．（本题所涉及的角都是小于180°的角）(1)如图（2），OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，填空：①当40a =°，70b =°时，COM Ð=______，CON Ð=______，MON Ð=______；②MON Ð=______（用含有a 或b 的代数式表示）．(2)如图（3），P 为∠AOB 内任意一点，直线PQ 过点O ，点Q 在∠AOB 外部：①当OM 平分∠POB ，ON 平分∠POA ，∠MON 的度数为______；②当OM 平分∠QOB ，ON 平分∠QOA ，∠MON 的度数为______；（∠MON 的度数用含有a 或b 的代数式表示）(3)如图（4），当40a =°，70b =°时，射线OP 从OC 处以5°/分的速度绕点O 开始逆时针旋转一周，同时射线OQ 从OB 处以相同的速度绕点O 逆时针也旋转一周，OM 平分∠POQ ，ON 平分∠POA ，那么多少分钟时，∠MON 的度数是40°？【答案】(1)135,55,20,2°°°a ；(2)12a ，11802a °-；(3)48分钟时，∠MON 的度数是40°【解析】(1)①Q OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，当40a =°，70b =°时，COM Ð=113522BOC Ð=b =°，CON Ð=()111()55222AOC AOB BOC Ð=Ð+Ð=a +b =°，MON Ð=()11120222CON COM a b b a Ð-=+-==°②MON Ð()111222CON COM =Ð-=a +b -b =a ，故答案为：135,55,20,2°°°a (2)①Q OM 平分∠POB ，ON 平分∠POA ，\()12MON POB POA Ð=Ð+Ð 1122AOB =Ð=a ②Q OM 平分∠QOB ，ON 平分∠QOA ，\()12MON BOQ QOA Ð=Ð+Ð()1136018022AOB =°-Ð=°-a 故答案为：12a ，11802a °-(3)根据题意POQ BOC Ð=Ð=bQ OM 平分∠POQ ，113522POM POQ \Ð=Ð=b =°，如图，当OP 在AOB Ð的外部时，Q MON 的度数是40°MON PON POM Ð=Ð+Q 5PON \Ð=°Q ON 平分∠POA ，210POA PON \Ð=Ð=°，120POC \Ð=°，则OP 旋转了360120240°-°=°240548\¸=分，即48分钟时，∠MON 的度数是40°如图，OP 在AOB Ð的内部时，MON POM PON Ð=Ð-ÐQ ，即4035PON °=°-Ð，5PON \Ð=-°此情况不存在，综上所述，48分钟时，∠MON 的度数是40°【变式训练3】如图1，点A 、O 、B 依次在直线MN 上，现将射线OA 绕点O 沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，同时射线OB 绕点O 沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转，如图2，设旋转时间为(090)t t <<．（1）用含t 的代数式表示：MOA Ð=_______°，MOB Ð=_______°．（2）在运动过程中，当60AOB Ð=°时，求t 的值．（3）在旋转过程中是否存在这样的t ，使得直线OB 平分由射线OM 、射线OA 、射线ON 中的任意两条射线组成的角（大于0°而小于180°）？【答案】（1）2t ，1804t -；（2）当60AOB Ð=°时，20t =或40或80；（3）存在，当直线OB 平分由射线OM 、射线OA 、射线ON 中的任意两条射线组成的角时，18t =或36或54或72．【解析】（1）由题意得：射线OA 的运动路程为2t °，射线OB 的运动路程为4t °，∴2MOA t Ð=°，当045t <<时，1804MOB t Ð=°-°，当4590t <<时，4180MOB t Ð=°-°，∴1804MOB t Ð=°-°；故答案为2t ，1804t -；（2）由题意可得射线OA 与射线OB 相遇的时间为：24180t t °+°=°，解得：30t =，∴当射线OA 与射线OB 相遇前，60AOB Ð=°时，如图所示：∴2604180t t °+°+°=°，解得：20t =，当射线OA 与射线OB 相遇后，且射线OB 还没有过直线MN 时，60AOB Ð=°，如图所示：2604180t t °-°+°=°，解得：40t =，当射线OB 过了直线MN 时，60AOB Ð=°，如图所示：2418060360t t °+°-°+°=°，解得：80t =，综上所述：当60AOB Ð=°时，20t =或40或80；（3）存在，理由如下：由2MOA t Ð=°，1804MOB t Ð=°-°，4NOB t Ð=°，则可分：①若直线OB 平分AON Ð时，如图所示：∴12BON AON Ð=Ð，1802AON t Ð=°-°，∴490t t °=°-°，解得：18t =；若直线OB 平分AOM ∠时，如图所示：∴12BOM AOM Ð=Ð，∴1804t t °-°=°，解得：36t =；②若直线OB 平分AON Ð时，如图所示：∴12BOM CON AON Ð=Ð=Ð，∴418090t t °-°=°-°，解得：54t =；若直线OB 平分AOM ∠时，如图所示：∴12BON COM AOM Ð=Ð=Ð，3604BON t Ð=°-°，∴3604t t °-°=°，解得：72t =；综上所述：当直线OB 平分由射线OM 、射线OA 、射线ON 中的任意两条射线组成的角时，18t =或36或54或72．课后训练1．如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使120BOC Ð=°．将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一直角边OM 在射线OB 上，另一直角边ON 在直线AB 的下方．(1)将图1中的三角板绕点O 逆时针旋转至图2，使边OM 在BOC Ð的内部，且恰好平分BOC Ð．问：此时直线ON 是否平分AOC Ð？请说明理由．(2)将图1中的三角板绕点O 以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，第n 秒时，直线ON 恰好平分AOC Ð，则n 的值为______（点接写结果）(3)若图1中的三角板绕点O 旋转至图3，使ON 在AOC Ð的内部时，AOM NOC Ð-Ð的度数是多少？【答案】(1)平分，理由见解析；(2)10或40；(3)30°【解析】(1)解：（1）直线ON 平分∠AOC ．理由：设ON 的反向延长线为OD ，∵OM 平分∠BOC ，∴∠MOC ＝∠MOB ，又∵OM ⊥ON ，∴∠MOD ＝∠MON ＝90°，∴∠COD ＝∠BON ，又∵∠AOD ＝∠BON （对顶角相等），∴∠COD ＝∠AOD ，∴OD 平分∠AOC ，即直线ON 平分∠AOC ；(2)解：由（1）得，∠BOM ＝60°时，直线ON 恰好平分AOC Ð，即旋转60°时，ON平分∠AOC，再旋转180°即旋转240°时，ON平分∠AOC，由题意得，6n＝60°或6n＝240°，∴n＝10或40；故答案为：10或40；(3)解：∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON，∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．2．如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且∠FOA＝20°，∠AOB＝60°，∠BOC ＝10°，以O为端点作射线OP，OQ分别与射线OF，OC重合．射线OP从OF处开始绕点O逆时针匀速旋转，转速为1度/秒，射线OQ从OC处开始绕点O顺时针匀速旋转，（射线OQ旋转至与射线OF重合时停止，射线OP旋转至与射线OE重合时停止），两条射线同时开始旋转（旋转速度＝旋转角度÷旋转时间）．(1)直接写出射线OP停止运动时的时间．(2)当射线OP平分∠AOC时，直接写山它的旋转时间．(3)若射线OQ的转速为3度/秒，当∠POQ＝70°时，直接写出射线OP的旋转时间．(4)若∠POA＝2∠POB时，射线OQ旋转到的位置恰好将∠AOB分成度数比为1：2的两个角，直接写出射线OQ的旋转速度．【答案】(1)180s；(2)55s；(3)3s或70s；(4)5(/6s°或0.5/s°或5(/14s°或3()/14s°．【解析】(1)Q∠EOF=180°，射线OP的速度为1°/s，则时间为180÷1=180s；(2)Q∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+10°=70°，当射线OP平分时∠AOC，∠AOP=∠POC=12∠AOC=35°，此时OP旋转的度数为：∠AOF+∠AOP=20°+35°=55°，∴旋转的时间为：55÷1=55s．(3)Q∠FOC=∠FOA+∠AOB+∠BOC=90°，设射线OP旋转的时间为t秒，由题意可得：t+3t=90+70或t+3t=90-70，解得：t=5或t=40，Q射线OQ旋转至射线OF重合时停止，∴.射线OQ最多旋转30秒，当射线OQ旋转30秒与射线OF重合停止，此时∠POQ=∠FOP=30°，之后射线OP继续旋转7030401/ss°°°-=，则∠POQ=∠FOP=70°，此时t=70s，故答案为：5s或70s．(4)①当射线OP在∠AOB内部时，Q∠POA=2∠POB，∠AOB=60°，∴∠POA=40°，∠FOP=60°，故射线OP旋转的时间为60s，若13AOQ AOBÐ=Ð，则∠BOQ=40°，∠COQ=50°，∴此时射线OQ的旋转速度为：50÷60=56（°/s)，若13BOQ AOBÐ=Ð时，则∠BOQ=20°，∠COQ=30°，\此时射线OQ的旋转速度为30÷60=12（°/s）；②当射线OP在∠EOB内部时，Q∠PDA=2∠POB，∠AOB=60°，\∠POA=120°，∠FOP=140°，故射线OP旋转时间为140秒，若13AOQ AOBÐ=Ð时，则∠BOQ=40°，∠COQ=50°，∴此时射线OQ的旋转速度为：50÷140=514（°/s)，若13BOQ AOBÐ=Ð时，则∠BOQ=20°，∠COQ=30°，\此时旋转速度为：30÷140=314（°/s)，综上，符合条件的旋转速度为5(/6s °或0.5/s °或5()/14s °或3(/14s °．3．已知O 是直线AB 上的一点，∠COD 是直角，OE 平分∠BOC ．(1)如图1，若∠AOC =48°，求∠DOE 的度数；(2)如图1，若∠AOC =α，则∠DOE 的度数为 (用含有α的式子表示)；(3)将图1中的∠DOC 绕顶点O 顺时针旋转至图2的位置，试探究∠DOE 和∠AOC 度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．(4)将图1中的∠DOC 绕顶点O 逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若∠AOC =α，则∠DOE 的度数为 (用含有α的式子表示)，不必说明理由．【答案】(1)24°；(2)12a ；(3)∠DOE =12∠AOC ，理由见解析；(4)180 °-12a 【解析】(1)∵∠AOC +∠BOC =∠AOB =180°∴∠BOC =180°-∠AOC =180°-48° = 132°∵OE 平分∠BOC∴∠COE =12∠BOC = 66°又∵∠COD 是直角∴∠COD = 90°∴∠DOE =∠COD -∠COE = 90°- 66°= 24°(2)由（1）得，12DOE COD BOC Ð=Ð-Ð190(180),2DOE AOC °°\Ð=--Ð11.22DOE AOC a \Ð=Ð=故答案为：12a (3)答：∠DOE =12∠AOC ．理由如下: ∵∠AOC +∠BOC =∠AOB =180°∴∠BOC =180°-∠AOC∵OE 平分∠BOC∴∠COE =12∠BOC =12 (180°-∠AOC )= 90°-12∠AOC又∵∠COD 是直角∴∠COD = 90°∴∠DOE =∠COD -∠COE = 90°-(90°-12∠AOC )=12∠AOC∴∠DOE =12∠AOC(4)Q OE 平分BOC Ð1180180222AOC COE BOC a °°-Ð-\Ð=Ð==COD ÐQ 是直角90,COD °\Ð=180********DOE COD COE a a °°°-\Ð=Ð+Ð=+=-故答案为：11802a °-；4．如图1，O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，30AOC Ð=°，将一直角三角板（30M Ð=°）的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 与OC 都在直线AB 的上方．（注：本题旋转角度最多180°．）（1）将图1中的三角板绕点O 以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过t 秒后，AON Ð=______度（用含t 的式子表示），若OM 恰好平分BOC Ð，则t =______秒（直接写结果）．（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC 也绕O 点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过t 秒后，AOC Ð=______度（用含t 的式子表示）若OC 平分MON Ð，求t 为多少秒？（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒OC 平分BOM Ð？（直接写结果）【答案】（1）3t ，5；（2）306t +，5；（3）经过703秒OC 平分BOM Ð【详解】（1）3AON tÐ=∵30AOC Ð=°，∴150BOC Ð=°∵OM 平分BOC Ð，90MON Ð=°∴75COM Ð=°，∴15CON Ð=°，∴301515AON AOC CON Ð=Ð-Ð=-=°°°解得：1535t =¸=°°秒（2）()306AOC t Ð=+度，∵90MON Ð=°，OC 平分MONÐ∴45CON COM Ð=Ð=°，∴45AOC AON CON Ð-Ð=Ð=°，∴306345t t +-=解得：5t =秒（3）如图：∵90AON BOM Ð+Ð=°，BOC COMÐ=Ð由题可设AON Ð为3t ，AOC Ð为()306t +°∴()19032COM BOC t Ð=Ð=-°∵180BOC AOC Ð+Ð=°()()130********t t ++-=，解得：703t =秒答：经过703秒OC 平分BOM Ð．5．已知:AOB Ð和COD Ð是直角．（1）如图，当射线OB 在COD Ð内部时，请探究AOD Ð和BOC Ð之间的关系；（2）如图2，当射线,OA 射线OB 都在COD Ð外部时，过点О作射线OE ，射线OF ，满足13BOE BOC Ð=Ð，23DOF AOD Ð=Ð，求EOF Ð的度数．（3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG ，使得:2:3GOF GOE ÐÐ=，若不存在，请说明理由，若存在，求出GOF Ð的度数．【答案】（1）180AOD BOC Ð+Ð=°，详见解析；（2）150o ；（3）GOF Ð的度数是60°或84o【详解】解：（1）180AOD BOC Ð+Ð=° ，证明：AOB ÐQ 和COD Ð是直角，BOD BOC COD Ð+Ð=ÐQ ，90BOD BOC \Ð=°-Ð，同理：90AOC BOC Ð=°-Ð，9090180AOD AOB BOD BOC BOC \Ð=Ð+Ð=°+°-Ð=-Ðo ，180AOD BOC \Ð+Ð=°；（2）解：设BOE a Ð=，则3BOC a Ð=，BOE EOC BOC Ð+Ð=ÐQ ，2EOC BOC BOE a \Ð=Ð-Ð=，360AOD COD BOC AOB Ð+Ð+Ð+Ð=°Q ，360AOD COD BOC AOB \Ð=°-Ð-Ð-Ð360903901803a a =°-°--°=°-，23DOF AOD Ð=ÐQ ，21803103(22DOF a a \Ð=°-=°-），(1118036033AOF AOD a a \Ð=Ð=-=°-o ），9060150EOF BOE AOB AOF a a \Ð=Ð+Ð+Ð=+°+°-=°，答：EOF Ð的度数是150o ；（3）①如图，当射线OG 在EOF Ð内部时，:2:3GOF GOE ÐÐ=Q ，222150602355GOF EOF EOF \Ð=Ð=Ð=´°=°+，②如图，当射线OG 在EOF Ð外部时，()()222352360360150210845GOF EOF °\Ð=Ð=+-°-°=´°=°，综上所述，GOF Ð的度数是60°或84°．6.已知O 为直线AB 上的一点，∠COE ＝90°，射线OF 平分∠AOE ．（1）在图1中，当∠COF ＝36°时，则∠BOE ＝ ，当∠COF ＝m °时，则∠BOE ＝ ；以此判断∠COF 和∠BOE 之间的数量关系是 ；（2）若将∠COE 绕点O 旋转至图2的位置，试问（1）中∠COF 和∠BOE 之间的数量关系是否发生变化？若不发生变化，请你加以证明；若发生变化，请你说明理由；（3）若将∠COE 绕点O 旋转至图3的位置，继续探究∠COF 和∠BOE 之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）72°；2m°；∠BOE =2∠COF ；（2）不发生变化，理由见解析；（3）∠BOE +2∠COF =360°，理由见解析【解析】（1）∵∠COE ＝90°，∠COF ＝36°，∴∠EOF =90°-36°=54°，∵OF 平分∠AOE ，∴∠AOE =2∠EOF =108°，∴∠BOE =180°-108°=72°；同理可求∠BOE =2m °；由第一和第二空可知：∠BOE =2∠COF ．故答案为：72°；2m °；∠BOE =2∠COF ；（2）∠BOE=2∠COF不会变化，其证明过程是：设∠AOC=x°，则∠AOE=(90-x)°，∵OF平分∠AOE，∴∠EOF=∠AOF=12∠AOE=(45-12x)°，∴∠COF=∠COE-∠EOF=90°-(45-12x)°=(45+12x)°，∠BOE=180°-∠AOE=180°-(90-x)°=(90+x)°，∴∠BOE=2∠COF．（3）∠BOE+2∠COF=360°，其理由是：设∠AOC=x°，则∠AOE=∠AOC-∠COE=(x-90)°．∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠EOF=12∠AOE=(12x-45)°，∴∠COF=∠AOC-∠AOF=x°-(12x-45)°=(12x+45)°，∠BOE=180°-∠AOE=180°-(x-90)°=(270-x)°，∴∠BOE+2∠COF=(270°-x)°+2(12x+45)°=360°．故答案为：（1）72°；2m°；∠BOE=2∠COF；（2）不发生变化，理由见解析；（3）∠BOE+2∠COF=360°。

七上数学动角问题解题技巧和方法
动角问题是七年级数学中常见的问题类型，这类问题通常涉及到角度的变化和运动。

解决动角问题的关键在于理解角度的变化规律，掌握角度的基本性质和定理，并能够灵活运用。

解题技巧：
1. 确定参照物：在动角问题中，通常需要选择一个固定的角度作为参照物，以便更好地比较和计算其他角度的变化。

2. 观察角度变化：通过观察角度的变化，可以发现它们之间的相互关系。

例如，如果一个角度增大，另一个角度可能会减小，或者两个角度会同时变化。

3. 利用角的和与差：在动角问题中，经常需要利用角的和与差来解决问题。

例如，如果一个角是另一个角的两倍，那么它们的和就是180度。

4. 画图分析：通过画图可以更好地理解角度的变化和运动。

在画图时，需要注意角度的方向和大小，以便更好地描述问题。

5. 代数运算：在解决动角问题时，需要进行代数运算，如加法、减法、乘法和除法等。

在运算时需要注意单位的统一，以免出现错误。

解题方法：
1. 定义法：根据角度的定义和性质，直接计算出角度的大小。

这种方法适用于一些简单的问题，如计算直角三角形中的锐角等。

2. 代数法：通过代数运算来解决问题。

这种方法适用于一些复杂的问题，如求解方程组等。

3. 几何法：利用几何图形的性质和定理来解决问题。

这种方法适用于一些几何图形的问题，如求平行四边形的角度等。

4. 三角函数法：利用三角函数的性质和定理来解决问题。

这种方法适用于一些与三角函数相关的问题，如求三角形的角度等。

七年级动角问题知识点动角问题是初中数学中的重要知识点，也是常见的考点。

本文将对七年级学生所需要掌握的动角问题知识点进行详细讲解，帮助学生加深对该知识点的理解。

一、概念1. 动角问题是指一个角在不断地转动，被分为几个相等的部分，每个部分对应一个数值，这些数值组成的序列叫做动角数列。

2. 动角数列的通项公式为：$a_n = a_1 + （n-1）d$，其中$a_n$表示数列中第$n$个数，$a_1$表示第一个数，$d$表示公差，等于相邻两个数的差值。

3. 动角问题中常涉及的几何概念包括：圆、弧、扇形、圆心角和弧度制。

二、性质1. 动角数列的前$n$项和为：$S_n = \frac{n}{2} （a_1 + a_n）$，其中$a_1$为第一个数，$a_n$为第$n$个数。

2. 在同一个圆中，圆心角相等的弧长也相等。

3. 弧长等于半径乘以圆心角的弧度数。

即：弧长$L = r\theta$，其中$L$为弧长，$r$为半径，$\theta$为圆心角的弧度数。

4. 圆上任意两点间连线所对应的圆周角相等。

5. 扇形面积等于对应的圆心角所占的圆的面积的$\frac{1}{360}$。

三、应用1. 动角问题常用于计算圆上各点的坐标。

2. 利用动角问题可以计算圆的周长、弧长和面积等问题。

3. 在解决几何问题时，常使用动角问题中的性质来简化计算。

4. 动角问题的应用在实际生活中也非常广泛，如：钟表的指针、航空、建筑设计等。

四、例题1. 已知圆的半径为$4\text{cm}$，则圆的周长为多少？解：圆的周长$L=2\pi r=8\pi \text{cm}$。

2. 在圆上，圆心角为$60^\circ$的弧长为多少？解：设圆的半径为$r$，根据圆心角和弧度的关系，可得$\theta=60^\circ=\frac{\pi}{3}$，弧长$L=r\theta=r\frac{\pi}{3}$。

3. 小莉用长为$6\text{cm}$，宽为$4\text{cm}$的纸张制作了一个扇形，如果扇形所对圆心角的度数为$90^\circ$，则扇形的面积为多少？解：扇形的面积$S=\frac{1}{2}r^2\theta=\frac{1}{2}r^2\frac{\pi}{2}=\frac{\pir^2}{4}=\frac{1}{2}\cdot3\cdot4=6\text{cm}^2$。

七年级数学期末动点动线动角专题复习题1．如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的3倍，则它们第2022次相遇在边上．2．阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图1，∠AOB＝80°，OC平分∠AOB，若∠BOD＝20°，请你补全图形，并求∠COD 的度数．以下是小明的解答过程：解：如图2，因为OC平分∠AOB，∠AOB＝80°，所以∠BOC＝∠AOB＝°．因为∠BOD＝20°，所以∠COD＝＝°．小静说：“我觉得这个题有两种情况，小明考虑的是OD在∠AOB外部的情况，事实上，OD还可能在∠AOB的内部”．完成以下问题：（1）请你将小明的解答过程补充完整；（2）根据小静的想法，请你在图3中画出另一种情况对应的图形，并求出此时∠COD 的度数．3．已知：如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转，如图2，设旋转时间为t（0秒≤t≤90秒）．（1）用含t的代数式表示∠MOA的度数．（2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t的值．（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON 中的其中两条组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由．4．点O为直线l上一点，射线OA、OB均与直线l重合，如图1所示，过点O作射线OC和射线OD，使得∠BOC＝100°，∠COD＝90°，作∠AOC的平分线OM．（1）求∠AOC与∠MOD的度数；（2）作射线OP，使得∠BOP+∠AOM＝90°，请在图2中画出图形，并求出∠COP的度数；（3）如图3，将射线OB从图1位置开始，绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转一周，作∠COD的平分线ON，当∠MON＝20°时，求旋转的时间．5．如图1，∠AOB＝α，∠COD＝β，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线．（1）若∠AOB＝50°，∠COD＝30°，当∠COD绕着点O逆时针旋转至射线OB与OC 重合时（如图2），则∠MON的大小为；（2）在（1）的条件下，继续绕着点O逆时针旋转∠COD，当∠BOC＝10°时（如图3），求∠MON的大小并说明理由；（3）在∠COD绕点O逆时针旋转过程中，∠MON＝．（用含α，β的式子表示）．6．已知：如图1，点O是直线AB上的一点．（1）如图1，当∠AOD是直角时，3∠AOC＝∠BOD，求∠COD的度数；（2）若∠COD保持在（1）中的大小不变，它绕着点O顺时针旋转（OD与OB重合即停止），如图2，OE、OF分别平分∠AOC、∠BOD，则在旋转过程中∠EOF的大小是否变化？若不变，求出∠EOF的大小；若改变，说明理由；（3）若∠COD从（1）中的位置开始，边OC、边OD分别绕着点O以每秒20°、每秒10°的速度顺时针旋转（当其中一边与OB重合时都停止旋转），OM、ON分别平分∠BOC、∠BOD．求：①运动多少秒后，∠COD＝10°；②运动多少秒后，∠COM＝∠BON．1．已知O为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE．（1）如图1，若∠COF＝34°，则∠BOE＝；（2）如图1，若∠BOE＝m°，则∠COF的度数是；（用含m的代数式表示）；（3）当∠COE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，∠BOE与∠COF的数量关系是什么？请说明理由．2．如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝70°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE＝90°）（1）如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE＝°；（2）如图②，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度数；（3）如图③，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？并说明理由．3．乐乐对几何中角平分线部分的学习兴趣浓厚，请你和乐乐一起探究下面问题吧．已知∠AOB＝100°，射线OE、OF分别是∠AOC和∠COB的平分线．（1）如图1，若射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC＝30°，求∠EOF的度数；（2）如图2，若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，则∠EOF的度数；（3）若射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转（旋转中∠AOC，∠BOC，均指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究∠EOF的大小，请直接写出∠EOF的度数．（不写探究过程）4．如图，一副三角板中各有一个顶点在直线MN的点O处重合，三角板AOB的边OA落在直线MN上，三角板COD绕着顶点O任意旋转．两块三角板都在直线MN的上方，作∠BOD的平分线OP，且∠AOB＝45°，∠COD＝60°．（1）当点C在射线ON上时（如图1），∠BOP的度数是．（2）现将三角板COD绕着顶点O旋转一个角度x°（即∠CON＝x°），请就下列两种情形，分别求出∠BOP的度数（用含x的式子表示）①当∠CON为锐角时（如图2）；②当∠CON为钝角时（如图3）．5．已知直线AB过点O，∠COD＝90°，OE是∠BOC的平分线．（1）操作发现：①如图1，若∠AOC＝40°，则∠DOE＝°．②如图1，若∠AOC＝50°，则∠DOE＝°．③如图1，若∠AOC＝α，则∠DOE＝．（用含α的代数式表示）（2）操作探究：将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，③中的结论是否成立？试说明理由．（3）拓展应用：将图2中的∠COD绕顶点O逆时针旋转到图3的位置，其他条件不变，若∠AOC＝α，则∠DOE＝．（用含α的代数式表示）6．如图，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE别是∠AOC和∠BOC的平分线．（1）如图①，当∠AOB＝80°时，则∠DOE的度数为°；（2）如图②，当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时，∠BOE、∠EOD、∠DOA三角之间有怎样的数量关系？并说明理由；（3）当射线OC在∠AOB外如图③所示位置时，（2）中三个角：∠BOE、∠EOD、∠DOA 之间数量关系的结论是否还成立？给出结论并说明理由；（4）当射线OC在∠AOB外如图④所示位置时，∠BOE、∠EOD、∠DOA之间数量关系是．7．已知O为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE．（1）如图1，若∠COF＝34°，则∠BOE＝；（2）如图1，若∠BOE＝80°，则∠COF＝；（3）若∠COF＝m°，则∠BOE＝度；∠BOE与∠COF的数量关系为．（4）当∠COE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，（3）中∠BOE与∠COF的数量关系是否仍然成立？请说明理由．。

七上动角问题（难题）训练一、解答题1.如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．(1)如图1，当∠AOB=90°，∠BOC=60°时，∠MON的度数是多少？为什么？(2)如图2，当∠AOB=70°，∠BOC=60°时，∠MON=度。

(直接写出结果)(3)如图3，当∠AOB=α，∠BOC=β时，猜想：∠MON的度数是多少？为什么？2.已知线段AB=12cm，点C为AB上的一个动点，点D，E分别是AC和BC的中点，(1)若点C恰好是AB中点，求DE的长．(2)若AC=4cm，求DE的长．(3)试说明不论AC取何值(不超过12cm)，DE的长不变．(4)知识迁移：如图2，已知∠AOB=120∘，过角的内部任一点C画射线OC，若OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC，试说明∠DOE=60∘与射线OC的位置无关．3.如图1，已知PQ//MN，点A，B分别在MN，PQ上，且∠BAN=45°，射线AM绕点A顺时针旋转至AN便立即逆时针回转(速度是a/秒)，射线BP绕点B顺时针旋转至BQ便立即逆时针回转(速度是秒).且a、b满足|a−3b|+(a+b−4)2=(1)直接写出a、b的值；(2)如图2，两条射线同时旋转，设旋转时间为t秒(t<60)，两条旋转射线交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，求出∠BAC与∠BCD的数量关系；(3)若射线BP先旋转20秒，射线AM才开始旋转，设射线AM旋转时间为t秒(t≺160)，若旋转中AM//BP，求t的值．4.如图1，已知∠AOC=120°，射线OM以每秒8°的速度，从射线OC开始逆时针向射线OA旋转，到达射线OA之后又以同样的速度顺时针返回，直到到达射线OC 停止，射线ON从射线OA开始，以每秒4°的速度顺时针向射线OC旋转，直到到达各自的目的地才停止.设旋转时间为t秒．(1)当t=5秒时，求出∠MON的度数．(2)在运动过程中，当∠MON达到48°时，求t的值．(3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OM、射线OA、射线ON其中一条射线是另外两条射线组成的角的角平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．5.如图1，已知∠AOB=126°，∠COD=54°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM=1 3∠AOC，∠BON=13∠BOD．(1)∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，求∠MON 的度数；(2)∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°(0<n<126且n≠54)，求∠MON的度数；6.【探究】将两个三角板的两个直角顶点O重合在一起，放置成如图甲所示的位置，请回答下面的问题．(1)如果重叠在一起∠BOC=30°，则∠AOD=___________．(2)若将∠COD绕点O旋转，使重叠在一起的∠BOC=50°，∠AOD=______ ．(3)图甲中∠AOC与∠BOD满足的数量关系是___________，根据是__________．【拓展】在图甲所示的位置上，继续将∠COD绕点O旋转，得到如图乙所示的位置，请回答下面的问题．(4)如果∠BOC=x°，则∠AOD=_________________(用含x的式子表示)(5)此时图乙中∠AOC与∠BOD始终满足的数量关系是________________．【结论】由上述的探究过程可知，三角板COD绕重合点O旋转．不论旋转到任何位置时，∠AOD与∠BOC始终满足的数量关系是________________________．7.已知将一副三角板(直角三角板OAB和直角三角板OCD，∠AOB=900，∠ABO=450，∠CDO=900，∠COD=600)(1)如图1摆放，点O、A、C在一直线上，则∠BOD的度数是多少？(2)如图2，将直角三角板OCD绕点O逆时针方向转动，若要OB恰好平分∠COD，则∠AOC的度数是多少？(3)如图3，当三角板OCD摆放在∠AOB内部时，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，如果三角板OCD在∠AOB内绕点O任意转动，∠MON的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．8.如图，已知直线AB上一点O，∠AOC=∠DOE=90°，∠DOC=∠EOB．(1)求证：∠AOD=∠COE证明(法1)：∵∠AOC=∠DOE=90°(已知)∴∠AOD+∠COD=90°∠COE+∠COD=90°∴∠AOD=∠COE(____________)(法2)∵∠AOC=90°(已知)∴∠COB=90°∴∠AOD+∠DOC=90°∠COE+∠EOB=90°∵∠DOC=∠EOB(已知)∴∠AOD=∠COE(____________)∠BOD，求∠AOE、∠COD的度数．(2)若∠COE=159.已知如图(1)：∠AOB=α，∠COD=β(3a>β,且α,β为锐角)，OM平分∠AOD，ON平分∠COB，在线段AC上，AB=x，CD=y，M为AD中点，N为CB中点．(1)图(1)中，在∠AOC内，当射线OB和射线OD重合时，求∠MON的度数，此时在线段AC上，当点B和点D重合时，求线段MN的长度；(2)图(2)中，在∠AOC内，当射线OB和射线OD不重合时，求∠MON的度数，此时在线段AC上，当点B和点D不重合时，求线段MN的长度；(3)当∠COD从图(1)所示的位置绕点O逆时针旋转n∘(0<n<90)时，满足∠AOC+∠MON=6∠COD，求旋转度数n(结果用α,β表示)10.已知：如图，∠AOC=∠AOB+∠BOC，且∠AOC<180°，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．(1)如果∠AOB=80°，∠BOC=50°，求∠DOE的度数；(2)请你任意指定∠AOB和∠BOC的度数，其他条件不变，通过画图，计算∠DOE的度数；不必写出上述画图计算过程，直接写出你指定的∠AOB的度数为________°，∠BOC的度数为________°，算出的∠DOE的度数为________°；(3)在已知条件下，从(1)、(2)的结果中，你发现了什么规律，请写出来．11.将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，其中∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°．(1)①如图，若∠ACB=130°，求∠DCE的度数；②猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；(3)当∠ACE<180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值；若不存在，请说明理由．12.如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC=100°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线AB下方．(1)三角板绕点O逆时针旋转一定的角度，当边OM在∠BOC的内部，ON在AB的下方时，①若∠BON=10°，求∠COM的度数；②探究∠COM与∠BON之间的数量关系，并简单说明理由；(2)若三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为(直接写出结果)．13.O为直线AD上一点，以O为顶点作∠COE=90°，射线OF平分∠AOE．(1)如图①，∠AOC与∠DOE的数量关系为______ ，∠COF和∠DOE的数量关系为______；(2)若将∠COE绕点O旋转至图②的位置，OF依然平分∠AOE，请写出∠COF和∠DOE之间的数量关系，并说明理由；(3)若将∠COE绕点O旋转至图③的位置，射线OF依然平分∠AOE，请直接写出∠COF和∠DOE之间的数量关系．14.已知将一副三角板(∠AOB=90∘,∠ABO=45∘,∠CDO=90∘,∠COD=30∘):(1)如图1摆放，点O、A、C在一条直线上，求∠BOD的度数；(2)如图2，将直角三角板OCD绕点O逆时针方向转动，当OA恰好平分∠COD时，求∠BOC的度数；(3)如图3，继续旋转，当三角板OCD完全转入三角板AOB内部时，作射线OM平分∠AOD，射线ON平分∠BOC，①若∠AOD=20∘时，求∠MON的度数；②当∠AOD的度数改变时，∠MON的度数是否会改变，请说明理由.若不变，求出∠MON的值．15.如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角形的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请说明理由；(2)若∠BOC=120°.①将图1中的三角板绕点O按每秒12°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为__________(直接写出结果)；②将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．16.如图，已知点O为直线MN上一点，点A在射线OM上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒4°的速度旋转，OC为∠MOA的角平分线，点B为射线ON上的一点，射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度旋转，OD为∠BON的角平分线，OA、OB同时旋转，设旋转时间为t秒(0≤t≤60)：⑴用含t的代数式表示∠AOC的度数．⑴在运动过程中，当∠COD第二次达到40°时，求t的值．⑴在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角(指大于0°而不超过180°的角)的平分线？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由．17.点O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．(1)①如图1，若∠DOE=25°，求∠AOC的度数；②如图2，若∠DOE=α，直接写出∠AOC的度数(用含α的式子表示)；(2)将图1中的∠COD按顺时针方向旋转至图2所示的位置．探究∠DOE与∠AOC的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．。