北京四中七年级上册数学角(提高)知识讲解

3.6《角及其分类》名师教案
教学目标：
1、理解角的定义，会用三种方法表示角，通过观察图形能找到图形中包含的角.
2、通过归纳总结定义,提高学生的概括总结能力;通过数角、表示角,增强学生的识图能力和类比意识.
3、在解决问题的过程中，不断增强信心，提高学生兴趣。

教学重点：角的表示方法。

教学难点：在复杂图形中正确的表示角。

∠
第二环节
巩固练习
练习：
1、将图中已标出的角用不同的方法表示出来，并填
入下表。

∠1 ∠3 ∠4
∠BCA ∠ABC
（学生回答）
纠正错误的表示方法，尤其是顶点处不是一个角时，
学生用一个大写英文字母表示。

2、下列说法正确的是（）
（1）A
∠
∠就是
1
（2）2
∠
∠就是
B
（3）3
∠
∠就是
C
（4）4
∠
∠就是
D
A、（1）（2）
B、（3）（4）
C、（2）
D、（2）（3）
（学生到黑板讲解，说清楚每一个结论对错的理由。

）
巩固角的表
示方法。

43
2
D C
1
B
A。

丰富的图形世界（提高）知识讲解【学习目标】1．认识常见几何体的基本特征，能对这些几何体进行正确的识别和简单的分类，并能从组合图形中分离出基本几何体；2．认识点、线、面、体的基本含义，了解点、线、面、体之间的关系；3．能辨认和画出从不同方向观察立方体及其简单组合体得到的形状图；4．了解直棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作立体模型．【要点梳理】要点一、立体图形1．定义：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体、圆柱、圆锥、球等．棱柱、棱锥也是常见的立体图形．要点诠释：常见的立体图形有两种分类方法：2．棱柱的相关概念：在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱．通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……（如下图）要点诠释：（1）棱柱所有侧棱长都相等．棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形．（2）长方体、正方体都是四棱柱．（3）棱柱可分为直棱柱和斜棱柱．直棱柱的侧面是长方形，斜棱柱的侧面是平行四边形．3．点、线、面、体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点．从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系．此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体．要点二、展开与折叠有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．要点诠释：(1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形．(2)不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图．要点三、截一个几何体用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形或圆等等．要点四、从三个方向看物体的形状一般是从以下三个方向：(1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看．从这三个方向看到的图形分别称为正视图(也称主视图)、左视图、俯视图．（如下图）【典型例题】类型一、立体图形1．将图中的几何体进行分类，并说明理由．【思路点拨】首先要确定分类标准，可以按组成几何体的面的平或曲来划分，也可以按柱、锥、球来划分．【答案与解析】解：若按形状划分：(1)(2)(6)(7)是一类，组成它的各面全是平面；(3)(4)(5)是一类，组成它的面至少有一个是曲面．若按构成划分：(1)(2)(4)(7)是一类，是柱体；(5)(6)是一类，即锥体；(3)是球体．【总结升华】先根据立体图形的底面的个数，确定它是柱体、锥体还是球体，再根据其侧面是否为多边形来判断它是圆柱(锥)还是棱柱(锥)．类型二、点、线、面、体2. 18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是_______ _；(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是________；(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱．设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．【思路点拨】根据四面体、长方体、正八面体，正十二面体的顶点数、面数和棱数，总结出顶点数（v）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式，再用这个关系式解答后面的问题．【答案与解析】解：(1)6， 6， V+F-E＝2；(2)20；(3)这个多面体的面数为x+y，棱数为243362⨯=条，根据V+F-E＝2可得24+(x+y)-36＝2，∴ x+y＝14．【总结升华】欧拉公式：V（顶点数）+F（面数）-E（棱数）＝23．将如右图所示的两个平面图形绕轴旋转一周，对其所得的立体图形，下列说法正确的是（）A．从正面看相同 B．从左面看相同 C．从上面看相同D．三个方向都不相同【答案】D【解析】首先考虑三角形和长方形旋转后所得几何体的形状，然后再根据两种几何体从不同方向看所得到的图形做出判断．【总结升华】“面动成体”，要充分发挥空间想象能力判断立体图形的形状．举一反三：【变式】如图把一个圆绕虚线旋转一周，得到的立体图形是（）A． B． C． D．【答案】B类型三、展开与折叠4．右下图是一个正方体的表面展开图，则这个正方体是( )【答案】D【解析】最直接的方法是做一个如图所示的正方体的表面展开图，然后再折叠后进行对照即可．也可用排除法，观察正方体的表面展开图，可发现分成4块的面中的4个小正方形中有3块的颜色是阴影，这就可排除A，再想象折叠的图形，可知正方体被分成4块的面的对面应是阴影，这就可排除B 、C，所以选D．【总结升华】培养空间想想能力的方法有两种，一是通过动手操作来解决；二是通过想象进行确定．正方体沿着棱展开，把各种展开图分类，可以总结为如下11种情况．举一反三：【变式】宜黄素有“华南虎之乡”的美誉．将“华南虎之乡美”六个字填写在一个正方体的六个面上，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，和“虎”相对的字是________．【答案】“美”．类型四、截一个几何体5．用一个平面去截一个正方体，如果截去的几何体是一个三棱锥，请回答下列问题：（1）截面一定是什么图形？（2）剩下的几何体可能有几个顶点？【思路点拨】当截面截取由三个顶点组成的面时可以得到三角形，剩下的几何体有7个点，当截面截取一棱的一点和两底点组成的面时可剩下几何体有8个点，当截面截取由2条棱中点和一顶点组成的面时剩下几何体有9个顶点．当截面截取由三棱中点组成的面时，剩余几何体有10个顶点．【答案与解析】（1）如果截去的几何体是一个三棱锥，那么截面一定是一个三角形；（2）剩下的几何体可能有7个顶点、或8个顶点、或9个顶点、或10个顶点，如图所示．【总结升华】截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．类型五、从三个方向看物体的形状6．有一个正方体，在它的各个面上分别标有1，2，3，4，5，6．甲、乙、丙三名同学从三个不同的角度去观察此正方体，观察结果如图所示，问这个正方体各组对面上的数字分别是几?【答案与解析】解：由图(1)(2)可知，1号面与2、3、4、6相邻，所以与1号面相对的面是5号面；由图(2)(3)可知，3号面与1、2、4、5相邻，所以与3号面相对的面是6号面；由图(1)(3)可知，4号面与1、3、5、6相邻，所以与4号面相对的是2号面．所以，1号面与5号面相对，2号面与4号面相对，3号面与6号面相对． 【总结升华】找各面之间的相对位置关系． 举一反三：【变式】用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体只有一种吗？它最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？【答案】几何体的形状不唯一，最少需要小方块的个数： 3222110++++=， 最多需要小方块的个数： 3323116⨯+⨯+=．主视图俯视图。

七年级上册数学第四章知识点之角的种类七年级上册数学第四章知识点之角的种类学习是一个循序渐进的过程，也是一个不断创新不断积累的过程，下面是店铺整理的角的种类，希望对你有所帮助。

角的种类：角的大小与边的长短没有关系;角的大小决定于角的两条边张开的程度，张开的'越大，角就越大，相反，张开的越小，角则越小。

在动态定义中，取决于旋转的方向与角度。

角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、0角这10种。

以度、分、秒为单位的角的度量制称为角度制。

此外，还有密位制、弧度制等。

锐角：大于0°，小于90°的角叫做锐角。

直角：等于90°的角叫做直角。

钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。

平角：等于180°的角叫做平角。

优角：大于180°小于360°叫优角。

劣角：大于0°小于180°叫做劣角，锐角、直角、钝角都是劣角。

周角：等于360°的角叫做周角。

负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角。

正角：逆时针旋转的角为正角。

0角：等于零度的角。

余角和补角：两角之和为90°则两角互为余角，两角之和为180°则两角互为补角。

等角的余角相等，等角的补角相等。

对顶角：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角。

两条直线相交，构成两对对顶角。

互为对顶角的两个角相等。

还有许多种角的关系，如内错角，同位角，同旁内角(三线八角中，主要用来判断平行)【七年级上册数学第四章知识点之角的种类】。

角的概念与表示方法一、角的概念突破建议：1．正确理解角的静态定义．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的边．角有两条边，角的边是射线，且这两条射线有公共端点．2．明确了解角的动态定义的内涵及平角、周角的概念．角可以看作是一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当终边与始边成一条直线时，形成的角是平角；当终边旋转一周与始边重合时，形成的角是周角．例1 下列语句正确的是( )．A．两条射线组成的图形叫做角；B．一个角的两边越长，这个角越大；C．一条直线就是一个平角；D．角可以看成由一条射线绕它的端点旋转而成的图形．解析：本题考查角的定义．组成角的两条射线必须有公共端点，所以选项A错误；角的边是射线，无长短之分，所以选项B错误；任何一个角都由两条射线组成，所以选项C错误；选项D符合角的动态定义，故选项D正确．二、角的表示方法突破建议：1．让学生理解角的表示方法，主要是让学生理解角的表示方法的必要性和各种不同表示方法的合理性．在几何研究过程中，我们不能用口头语说一个角是“这个角”或“那个角”，而应如《第二章整式加减》表达单项式、多项式那样，必须给所研究的角起个名字，这样几何研究、交流才有可能，这也是中学知识是在小学知识基础上发展的标志之一．2．对于角的表示方法的掌握，可以用列表等方式让学生通过对比来加深理解，教师要引导学生结合练习实践，尝试用自己的语言提炼、总结．方法图形表示适用范围注意用三个大写字母∠AOB所有的角顶点字母写在中间用一个大写字母∠O顶点只有一个角时用顶点字母表示用数字或希腊字母∠1或∠α当顶点处有多个角时标记其中的一个角角的内部弧线加相应数字或希腊字母教学时，教师要善于从“是什么，为什么”两个方面提出问题，引导学生从表示方法是否明确、表示是否简洁两个方面进行分析，让学生真正理解角的表示方法，并能熟练地运用．3．本节内容不多，但对后续学习至关重要，教师可以适当补充例题和练习题，让学生充分练习，仔细体会，切实掌握相关内容．帮助学生克服初学几何的厌烦、紧张等不良情绪，顺利“入门”．例2 如图，请用大写字母表示图中∠1，∠2表示的角．你还能提出别的问题吗？与你的同伴交流．解析：角的表示方法各有所长，要根据具体图形或题目要求来灵活选择．一般地，用三个大写字母表示的角适合于所有的图形，但不够简洁明了．当图形较为复杂时，书写、推理都比较繁琐，此时可用数字或希腊字母在单个角的顶点处标注．如果顶点处只有一个角，也可用一个大写字母或希腊字母来表示．因为此时不会引起混淆，也很简洁．本题∠1可改写成∠ABC或∠CBA，∠2可改写成∠BCN或∠NCB．教师要强调，写完后需要检查，表示顶点的字母是否写在中间的位置．。

多边形和圆的初步认识（提高）知识讲解【学习目标】1．经历从现实世界中抽象出平面图形的过程，感受图形世界的丰富多彩；2. 在具体情景中认识多边形、正多边形、圆、扇形；3. 能根据扇形和圆的关系求扇形的圆心角的度数；4．在丰富的活动中发展有条理的思考和表达能力．【要点梳理】要点一、多边形及正多边形1．定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形．其中，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如下图：要点诠释：正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；2．相关概念：顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角（可简称为多边形的角），一个n 边形有n个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．要点诠释：(1)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为(3)2n n．(2)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．3. 多边形的分类:（1）凸多边形：画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如下图．要点诠释：①如果没有特别说明，平时所说的多边形都是凸多边形．②凸多边形按边数的不同又可分为三角形、四边形、五边形、六边形等．（2）凹多边形：画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如下图：要点二、圆及扇形1.圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可.②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径.②圆指的是圆周，而不是圆面.③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.2.扇形（1）圆弧：圆上任意两点A，B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作»AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 如下图：（2）扇形的定义：如上图，由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的凸多边形凹多边形图形叫做扇形.要点诠释：（1）圆可以分割成若干个扇形.（2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 如上图，∠AOB是⊙O的一个圆心角，也是扇形OAB的圆心角.（3）与扇形有关的计算半径为R的圆中：n °的圆心角所对的扇形面积公式：；n°的圆心角所对的扇形弧长公式：180 nRlπ=.要点诠释：在扇形中，扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角n°，扇形的弧长l这四个量知道其中的两个量就可以求出其他量.【典型例题】类型一、多边形及正多边形1．同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题：把正方形纸片截去一个角后，还剩多少角，余下的图形是几边形，亲爱的同学们，你知道吗?【答案与解析】解：这个问题，我们可以用图来说明．按图(1)所示方式去截，不经过点B和D，还剩五个角，即得到一个五边形．按图(2)所示方式去截，经过点D(或点B)．不经过点B(或点D)，还剩4个角，即得到一个四边形．按图(3)所示方式去截，经过点D、点B，则剩下3个角，即得到三角形．答：余下的图形是五边形或四边形或三角形．【总结升华】一个n边形剪去一个角后，可能是(n+1)边形，也可能是n边形，也可能是(n-1)边形，利用它我们可以解决一些具体问题．举一反三：【变式1】如图，四边形ABCD中，∠B＝40°，沿直线MN剪去∠B，则所得五边形AEFCD中，∠1+∠2＝ .【答案】220°【变式2】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）.A.6B.7C.8D.9【答案】C.类型二、圆2．爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m 以外的安全区域.这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全？【思路点拨】爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示.【答案与解析】∵导火索燃烧的时间为18=200.9（s）相同时间内，人跑的路程为20×6.5=130（m）∴人跑的路程为130m＞120m,∴点导火索的人安全.【总结升华】计算在导火索燃烧完的时间内人跑的距离与120m比较.举一反三：【变式】如图,一根5m长的绳子,一端栓在柱子上,另一端栓着一只羊,请画出羊的活动区域.【答案】类型三、扇形3.在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的半径为16，扇形的圆心角等于90°，则r等于．【思路点拨】先根据弧长公式计算出扇形的弧长，再根据扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长得到圆的半径．【答案】4【解析】解：扇形的弧长＝90168180ππ⨯=，圆锥的底面圆的周长为8π，28rππ=，所以4r=．【总结升华】本题考查：圆锥的侧面展开图为扇形，其中扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．举一反三：【变式1】一个圆柱的侧面展开图是相邻边长分别为10和16的矩形，则该圆柱的底面圆半径是．【答案】由圆柱的侧面展示图知：2πr=10或2πr=16，解得58. rππ=或【变式2】已知扇形的圆心角为120°，弧长等于10π，则扇形的面积为（）A. 15π B．15 A. 75π D．75【答案】C类型四、综合4. 若扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，则扇形圆心角的度数是（）A.180πoB.360πoC.90πoD.360πo【思路点拨】设扇形的半径是rcm，扇形的周长是4cm，则弧长是（4-2r）cm．根据扇形的面积公式即可求得扇形的半径长，然后根据扇形的面积公式即可求得扇形的圆心角的度数．【答案】B解：设扇形的半径是rcm，∵扇形的周长是4cm，则弧长是（4-2r）cm．根据扇形的面积公式可得：1(42)1 2r r-=，去括号，整理得2(1)0r -=，所以1r =，设圆心角的度数是n°．根据扇形的面积公式可得：211360n π⨯=，解得360n π= 【总结升华】本题考查了扇形的面积公式以及弧长公式，正确理解扇形的两个计算公式是解题的关键． 举一反三：【变式】如图是对称中心为点的正六边形．如果用一个含角的直角三角板的角，借助点（使角的顶点落在点处），把这个正六边形的面积等分，那么的所有可能的值是 ___________ __ .【答案】根据圆内接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化为正多边形即可， 即可知：360÷30=12；360÷60=6； 360÷90=4； 360÷120=3； 360÷180=2．故n 的所有可能的值是2，3，4，6，12．。

《勾股定理》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证：22a b +与2c 是否具有相等关系：若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；若222a b c +＞时，△ABC 是锐角三角形；若222a b c +＜时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的应用1、如图所示，等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，E 、F 为AB 上两点(E 左F 右)，且∠ECF ＝45°，求证：222AE BF EF +=.【思路点拨】由于∠ACB ＝90°，∠ECF ＝45°，所以∠ACE ＋∠BCF ＝45°，若将∠ACE 和∠BCF 合在一起则为一特殊角45°，于是想到将△ACE 旋转到△BCF 的右外侧合并，或将△BCF 绕C 点旋转到△ACE 的左外侧合并，旋转后的BF 边与AE 边组成一个直角，联想勾股定理即可证明．【答案与解析】解：(1)222AE BF EF +=，理由如下：将△BCF 绕点C 旋转得△ACF ′，使△BCF 的BC 与AC 边重合，即△ACF ′≌△BCF ，∵ 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴ ∠CAF ′＝∠B ＝45°，∴ ∠EAF ′＝90°．∵ ∠ECF ＝45°，∴ ∠ACE ＋∠BCF ＝45°．∵ ∠ACF ′＝∠BCF ，∴ ∠ECF ′＝45°．在△ECF 和△ECF ′中45CE CE ECF ECF CF CF =⎧⎪'∠=∠=⎨⎪'=⎩°∴ △ECF ≌△ECF ′(SAS)，∴ EF ＝EF ′．在Rt △AEF ′中，222AE F A F E ''+=，∴ 222AE BF EF +=．【总结升华】若一个角的内部含有同顶点的半角，(如平角内含直角，90°角内含45°角，120°角内含60°角)，则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角，然后利用角平分线、全等三角形等知识解决问题．举一反三：【变式】已知凸四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°，AD ＝DC ，求证：222BD AB BC =+.【答案】解：将△ABD 绕点D 顺时针旋转60°．由于DC ＝AD ，故点A 转至点C ．点B 转至点E ，连结BE ．∵ BD ＝DE ，∠BDE ＝60°∴ △BDE 为等边三角形，BE ＝BD易证△DAB ≌△DCE ，∠A ＝∠2，CE ＝AB∵ 四边形ADCB 中∠ADC ＝60°，∠ABC ＝30°∴ ∠A ＋∠1＝360°－60°－30°＝270°∴ ∠1＋∠2＝∠1＋∠A ＝270°∴ ∠3＝360°－(∠1＋∠2)＝90°∴222BC CE BE +=∴ 222BC AB BD += 2、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC 的度数．【答案与解析】解：如图，做∠ECB=∠PCA，且使CE=CP，连结EP，EB在△APC和△BEC中PCA ECBAC BCPC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△APC≌△BEC∴△PCE为等腰直角三角形∴∠CPE=45°，PE2=PC2+CE2=8又∵PB2=1，BE2=9∴PE2+ PB2= BE2则∠BPE=90°∴∠BPC=135°【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，通过观察所要求的角度，作出辅助线，把PA、PB、PC的长度转化为一个三角形三条边，构造出直角三角形是解题的关键，当然此题也可以利用旋转的思想来解，即将△APC绕点C旋转，使CA与CB重合即△APC≌△BEC. 类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、(1)已知：如图1，，，求证：①(2)运用(1)的结论可以证明下列命题：已知：如图2，设M是△ABC内部任意一点，于G，于K，于，BD=BE，CE=CF，求证：AD=AF．图１图２【答案与解析】(1)证明：∵CD⊥AB，∴∠AOC=∠BOD=90°∴(2)证明：连结AM ，BM ，CM ∵ AB ⊥DM ∴○1 ∵∴○2 ∵∴○3 把○1○2○3三式相加，得 222222DB AM CE BM AF CM +++++222222AD BM BE CM CF AM =+++++又∵，，∴ 【总结升华】此题（1）考察的是勾股定理（2）的关键是能够构造出四边形利用（1）的结论，从而证得线段相等.4、如图：正方形ABCD 中，E 是DC 中点，F 是EC 中点.求证：∠BAF=2∠EAD.【答案与解析】证明：取BC 中点G ，连结AG 并延长交DC 延长线于H∵ ∠ABG=∠HCG ，BG=CG ，∠AGB=∠HGC∴ △GAB ≌△HCG∴ ∠GAB=∠H ，AB=CH又∵ AB=AD ，∠B=∠D ，BG=DE∴ △ABG ≌△ADE∴ ∠GAB=∠DAE在Rt ADF △中，设AD a =，由勾股定理得：222222325()41654AF AD DF a a aAF a=+=+==∴又544aHF CH CF a a=+=+=∴AF=HF∴∠FAH=∠H∴∠FAH=∠DAE∴∠BAF=2∠DAE【总结升华】要证∠BAF=2∠EAD，一般方法是在∠BAF中取一个角使之等于∠EAD，再证明另一个角也等于∠EAD，另一种方法是把小角扩大一倍，看它是否等于较大的角.举一反三：【变式】如图，已知等腰△ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求△ABC的周长.【答案】解：∵BC=20cm，CD=16cm，BD=12cm，∴BD2+DC2=122+162=202=BC2，∴∠BDC=90°，又∵AC=AB=BD+AD=12+AD，在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2，即(12+AD)2=AD2+162，解得AD=143，故△ABC的周长为：2AB+BC=1533cm类型三、勾股定理的实际应用5、如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？【思路点拨】作点A 关于直线CD 的对称点G ，连接GB ，交CD 于点E ，利用“两点之间线段最短”可知应在E 处饮水，再根据对称性知GB 的长为所走的最短路程，然后构造直角三角形，利用勾股定理可解决．【答案与解析】解：作点A 关于直线CD 的对称点G ，连接GB 交CD 于点E ，由“两点之间线段最短”可以知道在E 点处饮水，所走路程最短．说明如下：在直线CD 上任意取一异于点E 的点I ，连接AI 、AE 、BE 、BI 、GI 、GE ．∵ 点G 、A 关于直线CD 对称，∴ AI ＝GI ，AE ＝GE ．由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI ＋BI ＞GB ＝AE ＋BE ，于是得证．最短路程为GB 的长，自点B 作CD 的垂线，自点G 作BD 的垂线交于点H ，在直角三角形GHB 中，∵ GH ＝CD ＝800，BH ＝BD ＋DH ＝BD ＋GC ＝BD ＋AC ＝200＋400＝600，∴ 由勾股定理得222228006001000000GB GH BH =+=+=．∴ GB ＝1000，即最短路程为1000米．【总结升华】这是一道有关极值的典型题目．解决这类题目，一方面要考虑“两点之间线段最短”；另一方面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明，如本题中的I 点．本题体现了勾股定理在实际生活中的应用．举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD 的AB 边上有一点E ，AE ＝3，EB ＝1，在AC 上有一点P ，使EP ＋BP 最短．求EP ＋BP 的最小值．【答案】解：根据正方形的对称性可知：BP ＝DP ，连接DE ，交AC 于P ，ED ＝EP ＋DP ＝EP ＋BP ， 即最短距离EP ＋BP 也就是ED ．∵ AE ＝3，EB ＝1，∴ AB ＝AE ＋EB ＝4，∴ AD ＝4，根据勾股定理得：222223425ED AE AD =+=+= ． ∵ ED ＞0，∴ ED ＝5，∴ 最短距离EP ＋BP ＝5．6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图台风中心在我国台湾海峡的B 处，在沿海城市福州A 的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C 移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：（1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？【答案与解析】解：（1）该城市会受到台风影响．理由：如图，过点A 作AD ⊥BC 于D 点，则AD 即为该城市距离台风中心的最短距离．在Rt △ABD 中，因为∠B=30°，AB=240．∴AD ＝12AB =12×240＝120（千米）． 由题可知，距台风中心在（12-4）×25=200（千米）以内时，则会受到台风影响． 因为120＜200，因此该城市将会受到影响．（2）依题（1）可知，当点A 距台风中心不超过200千米时，会受台风影响，故在BC 上作AE=AF=200；台风中心从点E 移动到点F 处时，该城市会处在台风影响范围之内．（如图） 由勾股定理得，2222220012025600DE AE AD =-=-=DE ＝160（千米）．所以EF=2×160=320（千米）．又知台风中心以20千米/时的速度移动．所以台风影响该城市320÷20=16（小时）．（3）∵AD 距台风中心最近，∴该城市受到这次台风最大风力为：12-（120÷25）=7.2（级）．答：该城市受台风影响最大风力7.2级．【总结升华】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，运用勾股定理使问题解决．。