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两个正态总体参数的比较

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两个正态总体均值差及方差比的置信区间

两个正态总体均值差及方差比的置信区间

1,2)
均未知,
求方差比
2 1
2 2
的置信度为0.90 的置信
区间. 解 n1 Байду номын сангаас8, n2 13,
0.10,
s12 0.34(mm2 ), s22 0.29(mm2 ),
F / 2(n1 1, n2 1) F0.05(17, 12) 2.59,
F1
/ 2(17,
12)
F0.95 (17,
涉及的两总体分别为
N
(
1
,
2
)和N
(
2
,
2
),
1
,
2
,
2 1
,
2 2
均未知，两样本相互独立，
求
2 1
/
2 2
的置信水平为
0.90的置信区间。
解 现在 n1 7 , n2 8, 1 0.9, / 2 0.05,
1
1
F0.05 (6,7)
3.87 , F10.05 (6,7)
F0.05 (7,6)
2 1
2 2
的一个置信度为
1
的置信区间
S12 S22
F / 2 (n1
1 1, n2
1)
,
S12 S22
1 F1 / 2 (n1
1, n2
1) .
推导过程如下:
由于 (n1 1)S12
2 1
~ 2(n1 1),
(n2 1)S22
22
~ 2(n2 1),
且由假设知
( n1
1)S12
Y
~
N
1
2
,
2 1
n1
2 2

两个总体参数的检验

两个总体参数的检验

三、两个总体参数的检验
一、 两个总体均值之差的检验
在研究中，往往需要比较两个总体的差异， 如甲、乙两种不同的生产方法对产品的平均产量 是否有显著性差异，新、旧药品治疗病人的平均 治愈率是否有显著性差异，等等。根据样本获得 方式的不同及方差是否已知，两个总体均值的检 验可分为方差已知和未知两种情形，同时也要参数的检验
在方差相等的情况下，独立样本T检验的结 果应看“假设方差相等”一行，相应的双尾检测概 率“Sig.(双侧)”为0.077，在显著性水平为0.05 的情况下，t统计量的概率P>0.05，故不应拒绝 原假设，因此认为两个样本的均值是相等的，在 本例中，不能认为新、旧两种施肥方案对产量有 显著性的影响。
单击“继续”按钮返回“独立样本T检验”对话框，再单击“确定 ”按钮，运行结果如图6-18和图6-19所示。
图6-18 独立样本T检验的基本描述统计量
图6-19 独立样本T检验结果
三、两个总体参数的检验
图6-18所示为独立样本T检验的基本描述统计量，包括两个 样本的均值、标准差和均值的标准误差。图6 19给出了两种T检 验的结果，分别为在样本方差相等情况下的一般T检验结果和在 样本方差不相等情况下的校正T检验结果。两种T检验结果到底应 该选择哪一个取决于图6-19中的“方差方程的Levene 检验”一 项，即方差齐性检验结果。对于齐性，这里采用的是F检验，表 中第二列是F的值，为0.108，第三列是对应的概率P值，为0.746 。如果显著性水平为0.05，由于概率P值大于0.05，因而可以认 为两个总体方差无显著性差异，即方差具备齐性。
三、两个总体参数的检验
3. 两个总体均值样本匹配的情形
检验两个总体均值之差时，有时两个样本不是独立的而是成 对的，如比较同一组工人使用两种操作方法的生产效率是否相 同，比较同一批消费者对两个不同品牌的评分有何差异，等等 。这类假设检验问题可以转化为一个样本的均值检验问题，其 方法是：先计算出每一对样本数据的差值：di=xi－ xj(i,j=1,2,…,n)；然后将这n个差值看作一个样本，把(μ1－μ2)看 作待检验的一个总体参数(成对差值的总体均值，记为d)，原来 的检验问题就转化为根据一个样本去检验d是否等于（或小于、 大于）假设值d0。为了简便，通常取d0≥0。

7.8 两个正态总体参数的区间估计

7.8 两个正态总体参数的区间估计


2 1


2 2
)

1
nm
因此，均值差1−2的置信水平1−α的置信区间为
(( X Y ) z 2

2 1
n


2 2
m
,(X
Y
)
z
2

2 1


2 2
)
nm
两个正态总体参数的区间估计
2.均值差1−2的置信区间 （方差12 =22 = 2，但 2 未知情形）
易知 ( X Y ) (1 2 ) ( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1)
枢轴量 T X Y (1 2 ) ~ t(n m 2)
S 1 n 1 m
根据 t分布的性质，取分位数tα/2 (n+m−2) 有
P{|
X Y (1 2 )
S 1 n 1 m
|
t
2(n

m

2)}

1
因此，均值差1−2的置信水平1−α置信区间为
2
(2n)=
2 0.05
(18)=28.869,12
2 (2n)


2 0.95
(18)

9.39
计算得：2nX 1062 1/λ 的置信水平为0.90的置信区间为 ( 1062 , 1062) (36.787,113.099)
28.869 9.39
两个正态总体参数的区间估计
2
,

2 2
m
)
由正态分布的性质可得
X
Y
~
N (1

2
,

2 1

第58讲 两个正态总体参数假设检验(比较两个正态总体均值的检验)

第58讲 两个正态总体参数假设检验(比较两个正态总体均值的检验)

第58讲：两个正态总体参数的假设检验(比较两个正态总体均值的检验)例1：通常认为男女的脉搏率是没有显著差异的. 现在随机地抽取年龄都是25岁的16位男子和13位女子, 测得他们的脉搏率如下:男: 61, 73, 58, 64, 70, 64, 72, 60, 65, 80, 55,72, 56, 56, 74, 65,女: 83, 58, 70, 56, 76, 64, 80, 68, 78, 108,76, 70, 97.问题：假设男女脉搏率都是服从正态分布, 这些数据能否认为男女脉搏率的均值相同?()()12221212122221,,,,,,,,,,,n n X X X N Y Y Y N X Y S S μσμσ∙∙∙ 12假设：是来自的样本是来自的样本，两样本相互独立.并记,分别为两样本的均值和方差.()012112.:,:,H H μμμαμ=≠检验假设显著水平22121.σσ当和已知时2212012,.~(0X Y X Y C H X Y N n n σσ∙--≥∙-+ 检验统计量拒绝域形式 当成立时，，）.221212σσ-=+X YZ n n 记: 2α≥--Z z z 则检验拒绝域为：检验{}00002212122(1(),.σσ-=≥=-Φ-=+H P P Z z z x yz n n 其中:222122.σσσ当==但未知时2σ首先利用合样本给出参数的无偏估计量()()22112221211 .2wn S n SS n n -+-=+-1211-=+w X Y T S n n 可取检验统计量为：()21212211wX Y T t n n S n n α-=≥+-+检验拒绝域为：{}{}00120012||||2(2)||11--=≥=+-≥-=+H w P P T t P t n n t x yt P s n n 其中为::值——两样本精确t检验22123.σσ≠当且未知时221212.-=+X Y T S S n n 取检验统计量为:22221212.S S σσ以样本方差分，别代替，{}{}000||||2||,--=≥=≥H P P T t P Z P t 值为:(1)当两个样本量都很大时，利用中心极限定理{}/2||α≥T z 检验的拒绝域为:0221212~(01).-=+x y Z N t s sn n 其中: ，，12min(1,1),=--k n n (2)当两个样本为小样本时都很大时，统计量近似服从t 分布，自由度为22211222222112212(//)(/)(/)11+=+--S n S n k S n S n n n 或更精确的近似自由度{}/2||()α≥T t k 检验的拒绝域为: {}{}000||||2()||.--=≥=≥H P P T t P t k t P 值为: t ——两样本近似检验22112212221201,~(,),~(,),16,13,65.31,75.69,56.36,211.40,.X Y X N Y N n n x y s s H H μσμσμμμμ=======≠1212检验假设在例1中设分别表示男女的脉搏率，由已知数据计得:,:：算221256.36,211.40,s s t ==注意到相差很大，采用不等方差的检验法，结论：拒绝原假设，认为男女脉搏率的均值不相同。

两个正态总体的假设检验

两个正态总体的假设检验
两个正态总体的假设检验
有时，我们需要比较两总体的参数 有时，我们需要比较两总体的参数 是否存在显著差异。比如， 是否存在显著差异。比如，两个农作物 品种的产量，两种电子元件的使用寿命， 品种的产量，两种电子元件的使用寿命， 两种加工工艺对产品质量的影响， 两种加工工艺对产品质量的影响，两地 区的气候差异等等。 区的气候差异等等。
Fα2 (n1 − 1, n2 − 1) 和 F12 α (n1 − 1, n2 − 1) ，使 −
2
( P (F
P F < Fα (n1 − 1, n2 − 1) =
2 2
2
2
> F12 α −
2
）、（3） 由（2）、（ ）式可得检验的拒绝域为 ）、（
F < F1−(α 2) ( n1 − 1, n2 − 1) 及 F > Fα 2 ( n1 − 1, n2 − 1)
拒绝H 两种灯泡的平均寿命 所以拒绝 假设， 所以拒绝 0假设，即认为 A、B两种灯泡的平均寿命 、 两种灯泡的 有统计意义。 有统计意义。
两个正态总体的方差检验 问题： 问题： X ~ N µ , σ 2 , Y ~ N µ ,σ 2 1 1
(
)
未知
µ1 , µ2 ，检验假设 0：σ 12 = σ 22 检验假设H
所以拒绝原假设 H20，即认为两种玉米的产量差异 有统计意义。 有统计意义。
(
2
2
)
F检验 检验
S12 σ 12 F = 2 2 ~ F ( n1 − 1, n2 − 1) 由抽样分布知 S2 σ 2 2 S 若假设H 成立， 若假设 0成立，则 F = 12 ~ F ( n1 − 1, n2 − 1) S2
f (x )

分别从两个正态总体N1(μ1,σ21),N2(μ2,σ22)中独立抽取样本容量为n

分别从两个正态总体N1(μ1,σ21),N2(μ2,σ22)中独立抽取样本容量为n

三种情况-两总体方差已知：u检验
检验两个均值是否相等：可分为以下三种情况： 两总体方差已知：u检验。根据正态分布性质，有
u X1 X 2 1 2 ~ N (0,1)

2 1


2 2
mn
在H0:μ1=μ2成立的条件下，上式化为：
u = X1 — X 2 ~ N(0,1)

0.3069 0.4286
0.7161
df


0.71612 24
(1 0.7161)2 19
1

(0.02137 0.00424)1
(0.02561)1
39
例3-1
用两种不同的配合饲料饲养肉鸡，56日龄后体重分别为 饲料A：2.56, 2.73, 3.05, 2.87, 2.46, 2.93, 2.41, 2.58, 2.89, 2.76; 饲料B：3.12, 3.03, 2.86, 2.53, 2.79, 2.80, 2.96, 2.68, 2.89。 问这二种饲料效果是否有差异？
(1)样本平均数差数的平均数等于总体平均数的差数，即
(2)样本平均数差数的方差等于两样本平均数方差除以各自 样本容量之和。即
u X1 X 2 1 2 ~ N (0,1)

2 1


2 2
mn
t 分布
μ = 0 分布具有以下特征：
(1)t分布曲线是左右对称的，围绕平均数
u / 2 ua
二、双样本检验步骤
双样本检验步骤与单样本基本相同。 （1）只是H0中的μ=μ0要改为μ1=μ2，即现在不再是检验总体参数 是否等于某一数值，而是检验两个总体参数是否相等。 （2）统计量和分布都有所变化。 （3）检验步骤相同，建立统计假设、选择显著性水平、建立拒 绝域、计算统计量并解释结果等。

7-2正态总体参数的检验

7-2正态总体参数的检验
第二节 正态总体参数的假设检验
一、单个正态总体均值的检验 二、两个正态总体均值差的检验 三、正态总体方差的检验
同上节) 标准要求长度是32.5毫米 毫米. 例2(同上节 某工厂生产的一种螺钉 标准要求长度是 同上节 某工厂生产的一种螺钉,标准要求长度是 毫米
实际生产的产品，其长度 假定服从正态分布N( σ 未知， 实际生产的产品，其长度X 假定服从正态分布 µ,σ2 ) ,σ2 未知， 现从该厂生产的一批产品中抽取6件 得尺寸数据如下: 现从该厂生产的一批产品中抽取 件, 得尺寸数据如下
(1)与(4); (2)与(5)的拒绝域形式相同 与 的拒绝域形式相同. 与 的拒绝域形式相同
一、单个正态总体均值的检验
是来自N( σ 的样本 的样本, 设x1,…,xn是来自 µ,σ2)的样本 关于µ的三种检验问题是 (µ0是个已知数 是个已知数)
(1) H0 : µ ≤ µ0 vs H1 : µ > µ0 (2) H0 : µ ≥ µ0 vs H1 : µ < µ0 (3) H0 : µ = µ0 vs H1 : µ ≠ µ0
对于检验问题 对于检验问题
(2) H0 : µ ≥ µ0 vs H1 : µ < µ0
x − µ0
仍选用u统计量 u = 选用 统计量 相应的拒绝域的形式为: 相应的拒绝域的形式为
取显著性水平为α 取显著性水平为α，使c满足 P 0 (u ≤ c) = α 满足 µ
由于μ = μ 0时，u ~ N(0,1),故 c = uα,如图 故 , 因此拒绝域为: 因此拒绝域为 或等价地: 或等价地 φ(x)
检 H0 : µ = µ0 vs H1 : µ ≠ µ0 验
x − µ0 s/ n
接受域为: 接受域为

两个正态总体均值的检验.

两个正态总体均值的检验.
解 依题意, 两总体 X 和 Y 分别服从正态分布
2 , , 均为未知, N ( 1 , ) 和N ( 2 , ), 1 2
2 2
第八章
假设检验
*2 1
*2 2
需要检验假设 H 0 : 1 2 , H1 : 1 2 .
n1 8, n2 7,
2
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
使得P{ Sw X Y 1 1 n1 n2 t / 2 ( n1 n2 2)}
故拒绝域为
W1 { sw ( x y) 1 1 n1 n2 t / 2 ( n1 n2 2)}
第八章
假设检验
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
例2 有甲、乙两台机床加工相同的产品, 从这两台 机床加工的产品中随机地抽取若干件, 测得产品直 径(单位:mm)为 机床甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9 机床乙: 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2, 试比较甲、乙两台机床加工的产品直径有无显著 差异? 假定两台机床加工的产品直径都服从正态 分布, 且总体方差相等. ( 0.05)
x 24.4,
12
2 2
y 27
24.4 27 u ( x y) / 1.612 n1 n2 5 8 5 5 对 0.05, 查正态分布表得 u / 2 1.96,由于
| u | 1.612 1.96, 故接受原假设 H0 .
第八章
假设检验
§8.3 两个正态总体参数的假设检验
2.未知方差时两正态总体均值的检验 利用t检验法检验具有相同方差的两正态总体均 值差的假设. 设 X 1 , X 2 , , X n1 为 来 自 正 态 总 体 N ( 1 , 2 )的

两个正态总体均值差的区间估计

两个正态总体均值差的区间估计

两个正态总体均值差的区间估计实验一一、实验目的熟悉SPSS的参数估计功能，熟练掌握两个正态总体均值之差（独立样本）的区间估计方法及操作过程，对SPSS运行结果能进行解释。

二、实验内容【例】（数据文件为data03—1。

sav）为估计两种方法组装产品所需要时间的差异，分别对两种不同的组装方法个随机安排12个工人，每个工人组装一件产品所需的时间（分钟）。

数据如表1所示：表1 两种方法组装产品所需的时间方法1方法2方法1方法228.330。

129.037。

632.128。

827.622.231.033.820.030.236.037。

238。

534。

428。

030.031.726。

032.031.233.426。

5试以95%的置信水平确定两种方法组装产品所需时间差值的置信区间。

解:第一步，打开数据文件“data03—1。

sav"，选择菜单“Analyze→Compare Means→Independent-samples T Test”项，弹出“Independent- samples T Test”对话框。

从对话框左侧的变量列表中选“时间”，进入“Test Variable(s)”框，选择变量“方法”,进入“Grouping Variable”框。

如图4—7所示图4-7第二步：点击“Define Groups”按钮弹出“Define Groups"定义框，在Group 1中输入“1"，在Group 2中输入“2".第三步:点击“Options”按钮弹出“Confidence Interval”定义框，在“Confidence Interval”框中输入“95”，点击“Continue”第四步：单击“OK"按钮，得到输出结果。

Independent Samples TestLevene'sTest forEqualityofVariances t-test for Equality of MeansF Sig.t dfSig.（2—tailed)MeanDifferenceStd。

分别从两个正态总体N1(μ1,σ21),N2(μ2,σ22)中独立抽取样本容量为n

分别从两个正态总体N1(μ1,σ21),N2(μ2,σ22)中独立抽取样本容量为n

µ=0
F分布 分布
N1( µ1 , σ 1 2 )中随机抽取样本容量为 和n 的两个 中随机抽取样本容量为n1 设从一正态总体 2
独立样本，其样本方差为 则定义S 的比值为F： 独立样本，其样本方差为S12和S22,, 则定义 12和S22,的比值为 ：此F 值具有S 的自由度df 值具有 12的自由度 1＝nl一1和S22的自由度 2＝n 2—1。如果对一 和 的自由度df 。 正态总体在待定的df 进行一系列随机独立抽样， 正态总体在待定的 1 和 df2 进行一系列随机独立抽样 ， 则所有可能 的F值就构成一个 分布。 值就构成一个F分布。 值就构成一个 分布 F分布性质 分布性质; 分布性质 (1)F分布的平均数 µ F = 1， F的取值区间为（0，∞）； 的取值区间为（ ， ） 分布的平均数 的取值区间为 (2)F分布曲线的形状仅决定于 1和df2。在df1＝l或2时分布曲线呈 分布曲线的形状仅决定于df 分布曲线的形状仅决定于 或 时分布曲线呈 严重倾斜的反向J型，当df1＞3时转为左偏曲线 严重倾斜的反向 型 ＞ 时转为左偏曲线 F分布下一定区间的概率列于附表，可供查找。 分布下一定区间的概率列于附表，可供查找 分布下一定区间的概率列于附表Biblioteka uα / 2 > u a
二、双样本检验步骤 双样本检验步骤与单样本基本相同。 双样本检验步骤与单样本基本相同。 要改为µ （1）只是 0中的 ）只是H 中的µ=µ0要改为 1=µ2，即现在不再是检验总体参数 是否等于某一数值，而是检验两个总体参数是否相等。 是否等于某一数值，而是检验两个总体参数是否相等。 2）统计量和分布都有所变化。 （2）统计量和分布都有所变化。 （ 3）检验步骤相同 ， 建立统计假设 、 选择显著性水平 、 建立拒 ） 检验步骤相同，建立统计假设、选择显著性水平、 绝域、计算统计量并解释结果等。 绝域、计算统计量并解释结果等。

概率论与数理统计假设检验正态总体参数的假设检验(2)

概率论与数理统计假设检验正态总体参数的假设检验(2)

概率论与数理统计第7章假设检验第3讲正态总体参数的假设检验(2)01 两个正态总体参数的假设检验02单侧检验03 p 值检验法—简介本讲内容*21μμ-2221σσ检验目的本节将讨论两个相互独立的正态总体，211(,)X N μσ222(,)Y N μσ的参数检验问题.设是来自总体X 的简单随机样本；112,,,n X X X 是来自总体Y 的简单随机样本；212,,,n Y Y Y 样本均值.X Y 、为两为两样本方差. 显著性水平为α .2212S S 、(3) μ1 , μ2 未知，检验.2222012112::H H σσσσ=≠，(1)σ12,σ22已知，检验.012112::H H μμμμ=≠，这些假设检验可细分为许多种情形，这里只介绍3种最常见的类型：(2)σ12,σ22未知但σ12 =σ22，检验.012112::H H μμμμ=≠，两个正态总体的参数检验，主要有比较两个均值μ1与μ2的大小，比较两个方差σ12与σ22的大小.根据已知条件的不同，由样本观测值求出统计量的观测值u ，然后作判断.确定拒绝域2{}U u α>选取检验统计量221212~(0,1)X YU N n n σσ-=+U 检验法建立假设012112::.H H μμμμ=≠，借鉴上一章区间估计(1) 已知，检验.12μμ-2212,σσ1212~(2)11w X Y T t n n S n n -=+-+122{(2)}T t n n α>+-(2) 未知但σ12 =σ22，检验.2212,σσ12μμ-T 检验法建立假设012112::.H H μμμμ=≠，由样本观测值求出统计量的观测值t ，然后作判断.确定拒绝域选取检验统计量211222~(1,1)S F F n n S =--2212121{(1,1)(1,1) 或}F F n n F F n n αα-<-->--2222012112::H H σσσσ=≠，(3) μ1 , μ2 未知，检验.2212/σσF 检验法建立假设由样本观测值求出统计量的观测值，然后作判断.确定拒绝域选取检验统计量在某种制造过程中需要比较两种钢板的强度，一种是冷轧钢板，另一种双面镀锌钢板。

第二节 正态总体参数的检验

第二节 正态总体参数的检验
∵ χ > λ2 , ∴ 否定 H 0 ， 即认为方差显著地改变了. 即认为方差显著地改变了.
2
9
二、两个正态总体参数的假设检验
2 设 有 两 个 相 互 独 立 的 正 态 总 体 X ~ N ( µ1，σ 1 ) ,
Y ~ N ( µ 2，σ ) , 分别抽取独立的样本 ( X1 , X2 ,⋯, Xn1 ) 和
2
µ 第六章证明, X = ( (− , ) 第六章证明,若 χ 2 ~ Nn−1σS 证明 (2) 检验统计量 2
2 2 H 下 O χ1−α / 2(n−1) 2 0 )， 2 则
x
( n − 1) S

~ χ (n −1) ,
(4) 由样本值算得
χ的值； 的值；
2
则拒绝H 否则 不能 若 χ 2 < λ1 或 χ 2 > λ2 ，则拒绝 0 ； 否则, 拒绝H 拒绝 0 .
− tα / 2 ( n − 1) O
tα / 2 (n − 1)
x
~
(4) 由样本值算得 t 的值； 的值； 则拒绝H 如果 | t |> tα 2 (n − 1) ,则拒绝 0 ； 否则, 不能拒绝H 否则 不能拒绝 0 .
5
两家生产同一类产品， 例2 两家生产同一类产品，其质量指标假定都服从正 态分布，标准规格为均值等于120.现从甲厂抽出5 120.现从甲厂抽出 态分布，标准规格为均值等于120.现从甲厂抽出5件 产品,测得其指标值为119,120,119.2,119.7,119.6; 产品,测得其指标值为119,120,119.2,119.7,119.6; 从乙厂也抽出5件产品,测得其指标值为110.5,106.3, 从乙厂也抽出5件产品,测得其指标值为110.5,106.3, 122.2,113.8,117.2。 122.2,113.8,117.2。试判断这两家厂的产品是否符 合标准. 合标准. (α = 0.05 )

正态总体的均值和方差的假设检验

正态总体的均值和方差的假设检验
χ
2
(x)
2
2
O 12 /2(n 1) 2 / 2(n 1)
x
P{ χ 2
χ12α / 2(n 1)}
P{ χ 2
χα2/ 2n 1}
α, 2
拒绝域：
W 1 {( x1, x2, , xn ) : χ 2 χ12α / 2(n 1)}
U{( x1,
x2 , ,
xn )
:
2
2 /2
是否可以认为由新工艺炼出的铁水含碳质量分
数的方差仍为0.1082（ = 0.05）？
解 检验假设
(1)H0 : 2 0.1082, H1: 2 0.1082 ,
(2)取检验统计量：
χ2
(n 1)Sn*2 σ02
~
χ 2(n 1),(当H0为真时)
由n = 5, = 0.05算得,
χα2/ 2n 1 χ02.0254 11.1, χ12α / 2n 1 χ02.9754 0.484.
问： 若总体的均值 已知,则如何设计假设检验？
n
( Xi μ)2
构造χ 2 i1 σ2
~ χ 2(n)可类似进行检验.
例3 某炼钢厂铁水含碳质量分数X在正常情况下
服从正态分布 N ( μ,σ 2 ),现对操作工艺进行了改 革又测量了5炉铁水,含碳质量分数分别为：
4.421，4.052，4.357，4.287，4.683
t/2 n1 n2 2 t0.025 18 2.10
由| t | 2.49 2.10 t0.025 18 W1,
故拒绝假设H0,认为物品处理前后含脂率的均值 有显著差异。
3. 两正态总体方差的检验
设总体
X
~
N

两个正态总体均值或方差的比较

两个正态总体均值或方差的比较

研究目的
01
确定两个正态总体均值或方差是否存在显著差异，为进一步的 数据分析和决策提供依据。
02
探讨比较两个正态总体均值或方差的方法和步骤，为实际应用
提供指导。
通过实例分析和模拟实验，验证比较两个正态总体均值或方差
03
的有效性和可靠性。
02
正态分布的基本性质
正态分布的定义
正态分布是一种连续概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，形状由均值和标准 差决定。
两个正态总体均值或 方差的比较
• 引言 • 正态分布的基本性质 • 两个正态总体均值的比较 • 两个正态总体方差的比较 • 结论
目录
01
引言
主题介绍
正态分布是自然界和工程领域中最常 见的概率分布之一，它描述了许多自 然现象和随机过程的分布特征。
比较两个正态总体的均值或方差是统 计学中一个重要的问题，它涉及到如 何评估两个总体的参数是否存在显著 差异。
社会学领域
社会调查和人口统计中的许多数 据也呈现出正态分布的特征，如 考试分数、家庭收入等。
03
两个正态总体均值的比较
样本和总体均值的计算
样本均值
样本均值是样本数据集中所有数值的 和除以样本大小，用于估计总体均值。
总体均值
总体均值是总体中所有数值的和除以 总体大小，是总体数据的平均水平。
假设检验
两个正态总体方差比较
对两个正态总体的方差进行比较，我们发现它们的方差大小不同，这表明两个总体的离散程度存在差异。
对未来研究的建议
进一步探讨其他统计方法
除了均值和方差，还可以考虑使用其他统计方法，如中位数、众数等，来比较两个正态 总体的分布特性。
考虑样本大小的影响
在比较两个正态总体时，样本大小是一个重要因素。未来研究可以探讨不同样本大小下 两个正态总体均值或方差的比较结果。

两个正态总体的均值检验、配对样本均值检验

两个正态总体的均值检验、配对样本均值检验
原理
基于独立双样本均值检验的原理，通 过配对样本的差值来减少误差，提高 检验的精确度。
参数设置与假设
参数设置
需要设定两个正态总体的均值差（μ1 - μ2）和方差（σ1^2 和 σ2^2）。
假设
H0（零假设）为两个总体的均值相等（μ1 = μ2），H1（对立假设）为两个总体的均值不相等或存在一定的差 异。
两个正态总体的均值检验、配 对样本均值检验
目录
CONTENTS
• 两个正态总体的均值检验 • 配对样本均值检验 • 两种检验方法的比较 • 结论
01
CHAPTER
两个正态总体的均值检验
定义与原理
定义
两个正态总体的均值检验是用来比较两个正态分布总体的均值是否相等的一种 统计方法。
原理
基于正态分布的性质，如果两个总体的均值相等，那么它们的概率密度函数在 均值处的值也相等。因此，可以通过比较两个总体在均值处的概率密度函数值 来判断它们的均值是否相等。
对未来研究的建议
考虑非正态分布
探索其他统计方法
考虑样本大小和方差齐性
实际应用研究
虽然上述两种方法主要针对正 态分布，但在实际应用中，数 据可能并不总是正态分布。未 来研究可以考虑这些方法在非 正态分布数据上的适用性和稳 健性。
除了上述两种检验方法，还有 许多其他统计方法可用于均值 比较。未来研究可以探索这些 方法的优缺点，并确定它们在 不同情况下的适用性。
统计量与决策准则
统计量
配对样本均值检验的统计量一般为差值的均值和标准差，以及差值的正态分布检 验。
决策准则
根据统计量的值和临界值进行决策，如果统计量值大于临界值，则拒绝零假设， 认为两个总体的均值存在显著差异；否则，接受零假设。

两个正态总体均值及方差比的置信区间

两个正态总体均值及方差比的置信区间
置信区间的应用
置信区间为决策者提供了关于两个正态总体均值和方差比的不确定性估计。在许多实际应用中，如质量控制、生物统 计和金融等领域，这种不确定性估计对于制定决策和预测具有重要意义。
置信区间的精度
置信区间的精度取决于样本大小、总体分布以及所使用的统计方法的性质。在实践中，为了获得更精确 的置信区间，需要综合考虑这些因素，并选择适当的统计方法。
结合研究背景和实际应用场景，分析结果对实践的指 导意义和价值。
提出改进建议
根据分析结果，提出对未来研究的改进方向和建议。
05
总结与展望
研究成果总结
置信区间的计算方法
通过使用样本数据和适当的统计方法，可以计算出两个正态总体均值和方差比的置信区间。这些方法包括参数方法和 非参数方法，其中参数方法假设数据符合正态分布，而非参数方法则不依赖于数据分布的假设。
两个正态总体均值及 方差比的置信区间
目录
• 引言 • 两个正态总体均值的置信区间 • 两个正态总体方差比的置信区间 • 实际应用案例分析 • 总结与展望
01
引言
目的和背景
确定两个正态总体均值和方差比在一 定置信水平下的区间范围，为统计推 断提供依据。
解决实际生活中比较两个总体参数的 问题，如质量控制、医学研究Fra bibliotek经济 分析等领域。
公式：方差比的置信区间计算公式为 $left[frac{sigma_1^2}{sigma_2^2} pm t_{alpha/2,df} cdot sqrt{frac{hat{sigma}_1^2}{hat{sigma}_2^2} cdot left(frac{1}{n_1} + frac{1}{n_2}right)}right]$，其 中 $t_{alpha/2,df}$ 是t分布的临界值，$n_1$ 和 $n_2$ 是两个总体的样本量，$hat{sigma}_1^2$ 和 $hat{sigma}_2^2$ 是两个总体的样本方差。

两个正态总体均值差和方差的假设检验

两个正态总体均值差和方差的假设检验

方差齐性检验是检验 两个正态总体方差是 否相等的统计方法。
常用的方差齐性检验 方法有：Levene检验、 Bartlett检验和Welch 检验。
Levene检验基于方差 分析，通过比较不同 组间的方差来判断方 差是否齐性。
Bartlett检验基于 Kruskal-Wallis秩和 检验，通过比较不同 组间的中位数和四分 位距来判断方差是否 齐性。
独立样本的均值检验
1
独立样本的均值检验是用来比较两个独立正态总 体的均值是否存在显著差异的统计方法。
2
常用的独立样本均值检验方法包括t检验和z检验， 其中t检验适用于小样本和大样本，而z检验适用 于大样本。
3
在进行独立样本均值检验时，需要满足独立性、 正态性和方差齐性的假设，以确保检验结果的准 确性和可靠性。
根据研究目的和数据类型，选择合适的统计量 来描述样本数据。
确定临界值
根据统计量的分布和显著性水平，确定临界值。
计算样本统计量
根据样本数据计算所选统计量的值。
做出决策
将样本统计量的值与临界值进行比较，做出接受 或拒绝原假设的决策。
解读结果
根据决策结果解读研究问题，给出结论和建议。
Part
02
两个正态总体均值的假设检验
Part
05
结论与展望
假设检验的优缺点
理论基础坚实
假设检验基于概率论和统计学原理，具有坚实的理论基础。
操作简便
假设检验提供了清晰的步骤和标准，方便研究者进行操作。
假设检验的优缺点
• 实用性强：假设检验广泛应用于各个领域，为科学研究和实践提供了有效的工具。
假设检验的优缺点
01
对数据要求较高
假设检验对数据的分布、样本量 等有一定的要求，不符合条件的 样本可能导致检验结果不准确。

概率论 第十八讲 正态总体常用的统计量

概率论 第十八讲 正态总体常用的统计量

1
3
Yi
~
N (0,1)
16 i1
1 3
Yi
,i 1,2,,16
2
~
2 (16)
从而 X1 X 2 X 9
Y12 Y22 Y126
3
1
4
X
1
X2
X9
~
t(16)
16
i 1
1 3
Yi
2
16
例5 设 (X1, X2, , Xn )是来自N ( , 2 )的 简单随机样本, X 是样本均值,
第十八讲 正态总体常用的统计量
教学目的：
介绍正态总体的6个常用统计量； 讲解参数估计的基本思想： 讲解参数估计的矩估计法。
教学内容：
第五章，§ 5.4； 第六章，§ 6.1-1。
抽样分布的某些结论
(Ⅰ) 一个正态总体
设总体 X ~ N( , 2 ),样本为(
)，
X ~ N(, 2)
n
X
~
N (0,1)
n
令
70 72
0.2
1
n 0.9
10
得n
0.2
0.2 n 1.29
n
即 n 41.6025 所以取 n 42
例2 从正态总体 X ~ N(, 2 ) 中，抽取了
n = 20的样本 ( X1, X2, , X20 )
(1)
求P 0.37
2
1 20
20 i1
Xi
X
2
1.76
ˆ
2 矩
1 n
n i1
X
2 i
X
2
例3 设总体 X ~ E(), X1, X2,…, Xn为总体的 样本, 求 的矩法估计量.

第六章 假设检验

第六章 假设检验

第一步：建立假设 第一步：
H0 : µ = 8000; H1 : µ > 8000
原假设的选取原则： 原假设的选取原则：没有充分理由 不能轻易否定的命题。 不能轻易否定的命题。
对立假设的选取原则：没有把握不 对立假设的选取原则： 能轻易肯定的命题。 能轻易肯定的命题。
第二步：寻找检验统计量 第二步：
2
第三步：给定显著性水平和临界值 第三步：
• 在原假设 H0 为真时，X 应该接近8000。 为真时， 如果 X 远离8000 ，就有理由怀疑原 假设为真。 假设为真。 • 例中，8300与8000之间算近还是算远？ 例中， 之间算近还是算远？ • 需要定一个界限，记此界限为c。 需要定一个界限，记此界限为c
假设检验是要根据样本的观测值对原假作 出判断，接受原假设或者拒绝。 出判断，接受原假设或者拒绝。 由于样本的随机性，客观情况未知， 由于样本的随机性，客观情况未知，有可 能犯错误。 能犯错误。 例：产品验收，有时面对的整批产品是合 产品验收， 格的，有时面对的整批产品是不合格的。 格的，有时面对的整批产品是不合格的。 拒收了合格率高的产品或者接受了合格率 低的产品都是犯了错误。 低的产品都是犯了错误。
例：餐厅的营业额问题： 餐厅的营业额问题：
H0 : µ = 8000; H1 : µ பைடு நூலகம் 8000
N(µ0 ,σ )
2 0
N(µ,σ )
2
在原假设成立的条件下，新菜单挂出后， 在原假设成立的条件下，新菜单挂出后， 每天营业额仍然服从正态分布
N(8000,640 )
如今获得了一个容量为9的样本， 如今获得了一个容量为9的样本，此时样 服从： 本均值 X 服从： 1 2 N(8000, ×640 ) 9
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解：(1)检验假设
(2) 计算统计量
H 0 : 1 2 H1 : 1 2 2 X 56.5 , S1 9.4, n1 75
Y 65, S 5.5, n2 65
2 2
56.5 65 u 18.56 2 2 9.4 5.5 S1 S 2 ( ) ( ) 75 65 n1 n2
小样本情况下的检验步骤：
1、假设： H 0 : 1 2、统计量 t
2 , H1 : 1 2
~ t ( df )
( X Y ) ( 1 2 )
2 S12 S 2 n1 n2 3、查临界值：给出显著水平
，
查附表7，得到临界值 t (df ) 。
2
t 4、结论： t t , 拒绝H 0， t , 接受H 0 。
解：(1)检验假设 H 0
(2) 计算统计量
: 1 2 H1 : 1 5, S 0.0012, n1 4 Y 8.87, S 0.0018 n2 4 ,
2 2
(n1 1) S (n2 1) S S n1 n2 2
3.两位药师对同一样品测得结果的比较；
4.在动物试验中，通常把在遗传上和环境 上差别很小的同胎、同性别、体重相近的小 白鼠配成对子做试验，对子之一做甲种处理， 另一只做乙种处理，比较其反应的强弱。
配对资料的特点是：一对数据间存在着某 种联系。
我们把满足这种特点的资料称为配对的资 料。
二、配对的作用：
§4-4 两个正态总体的参数检验
关于两个正态总体的问题: 1、在动物身上做比较试验来鉴定使用和不使 用某种药物的效果； 2、临床试验中比较新药和旧药对于治疗某 种疾病的疗效。 3、在制药工业中比较新旧工艺间的优劣。 等等
4-4.1 配对比较两个正态总体均数的差异
一、配对的资料: 1.同一批病人治疗前后的某些生理、生化指 标（如血压、血糖、血液中红细胞数等）； 2.人或动物的器官是成对的，以一侧器官做 对照，另一侧器官组织做药物处理；
解：(1)检验假设 H0: (2)计算统计量 n1=4 S12 0.0012 2 n2=4 S2 0.0018
2 1 2 2
S 0.0018 F 1.5 S 0.0012
(3)查临界值
F0.05 (3,3) 15.44
2
2
2 2 2 1
(4)结论 F F0.05 , 认为两个总体方差相等。
大样本 : u ( X Y ) ( 1 2 )
2 S12 S 2 n1 n2
~ N (0,1)
2 1 2 2 2
小样本 : t
( X Y ) ( 1 2 ) S S n1 n2
2 1 2 2
S S ~ t (df ) ( ) n1 n2 df 2 2 S1 2 S 2 2 ( ) ( ) n1 n2 n1 1 n2 1
当两组对象间的差异较大时，对象本身的差异 必然会导致试验误差的增大，不利于反应总体 本质间的差异，为了减少试验误差，在条件允 许的情况下，常常做配对的比较。 三、配对资料的处理： 设总体X和总体Y的均数分别为 1和 2 。 两个总体的样本资料如下：
?? 1 2
X
x1
1 2
d 0
2
2
（4）结论 t t 0.05 ，拒绝 H ; 认为两 0 批黄连的小檗碱含量差异有显著性意义。
例5 在中成药的研究中，需要镜检六味地 黄丸中茯苓的菌丝数。检测75次，得其均 数 X 56.5，方差 S12 9.4 ；镜检熟地的棕色 核状物数，检测65次，得其均数 Y 65 ， 方差 S 2 5.5 。问镜检六味地黄丸中菌丝数 2 与熟地的棕色核状物数的差异是否有显著性意
S
n1 n2 2
大样本情况下的检验步骤：
1、假设： H 0 : 1 2、统计量
u
2 , H1 : 1 2
S S n2 n1
2 1 2 2
( X Y ) ( 1 2 )
~ N (0,1)
3、查临界值：给出显著水平
，
2
查附表5，得到临界值 u 。
X Y
（3）查临界值
0.01, u 0.01 2.58
2
2
（4）结论 u u 0.01，拒绝 H 0 ; 认为六 味地黄丸中镜检的菌丝数和熟地的棕色核 状物数之间差异有极显著意义。
例6 某中西医结合医院科研室，成组比较 单味大黄与西药（氨甲苯酸）治疗急性上 消化道出血的效果，以止血天数为指标 (假设其服从正态分布)，结果如表. 取 0.05 ，试问单味大黄治疗组的效果 是否优于西药治疗组？
例 3某中西医结合医院科研室，成组比较 单味大黄与西药（氨甲苯酸）治疗急性上 消化道出血的效果，以止血天数为指标 (假设其服从正态分布)，结果如表. 取 0.05 ，问两总体的方差是否相等。
西药组
n1 20 x 6.90天 S1 6.9天 30 y 1.50天 S1 0.88天
一、 ， 未知， 但
2 1 2 2 2 1
2 2
检验H 0 : 1 2，H 1 : 1 2
大样本 : u ( X Y ) ( 1 2 )
2 S12 S 2 n2 n1
~ N (0,1)
( X Y ) ( 1 2 ) 小样本 : t ~ t (n1 n2 2) 1 1 S 2 2 n1 n2 2 (n1 1)S1 (n2 1)S2
2
4-4.3 成组比较两个正态总体均数的差异
1 2
X ~ N ( 1 , )
2 1
x1 , x2 ,.....,xn1 y1 , y 2 ,.....,y n2
2 1 2 2
Y ~ N (2 , )
2 2
X总体的样本均数X , 方差S ， 例数n1 ; Y总体的样本均数 , 方差S ， 例数n2 ; Y
X t S/ n
Y
y1
d
x1-y1=d1
x2
…. xn
y2
…. yn
x2-y2=d2
….. xn-yn=dn
d 0 Sd / n
配对t检验的一般步骤:
1、假设：H0 : d 0(1 2 ), H1 : d 0(1 2 ) 2、统计量
d 0 t ~ t (n 1) Sd / n
2 2 1
(4 1) 0.0012 (4 1) 0.0018 0.0015 442
X Y 8.95 8.87 t 2.92 1 1 1 2 1 S ( ) 0.0015 ) ( n1 n2 4 4
（3）查临界值
0.05, t 0.05 (6) 2.447
2 2
u u 4、结论： u , 拒绝H 0， u , 接受H 0 。
小样本情况下的检验步骤：
1、假设： H 0 : 1 2、统计量
2 , H1 : 1 2
( X Y ) ( 1 2 ) t ~ t (n1 n2 2) 1 1 S n1 n2
) (4)结论:t> t 0.01 (11 ,差异有极差著意义.
2
2
4-4.2 方差齐性检验(方差齐性与非齐性)

2 1
2 2
X ~ N ( 1 , )
2 1
x1 , x2 ,.....,xn1 y1 , y 2 ,.....,y n2
2 1 2 2
Y ~ N (2 , )
2 2
X总体的样本均数X , 方差S ， 例数n1 ; Y总体的样本均数 , 方差S ， 例数n2 ; Y
7.29 0.01
17.64 0.04 4.41 7.29
3.61 5.76
18.49 1.21
解: (1)检验假设 H0: (2) 计算统计量
d 0
差值的均数和标准差: d
2.06, Sd 1.39
d 0 2.06 t 5.12 Sd / n 1.39 / 12 (3) 查临界值:查附表7, t 0.01 (11) 3.106
西药组
n1 20 x 6.90天 S1 6.9天 30
单味大黄组 n2
y 1.50天 S2 0.88天
解：(1)检验假设 H 0
(2) 计算统计量

2
2
。
4、结论：
F F 或 F F1 , 拒绝H 0，
2
F1 F F , 接受H 0 。
2 2
例2．为了比较两批中药黄连的小檗 碱的含量，分别随机取出若干个150g的 样品，在同样条件下测定其含量，第一 批测得4个数据（Xg）为8.96，8.90， 8.96，8.98。第二批测得4个数据（Yg） 为8.82，8.90，8.85，8.91。试检验这两 批黄连小檗碱的含量的方差是否有显著 性差异。( 0.05)
义。
( 0.01)
解：(1)检验假设 H0: (2)计算统计量 n1=75

2 1
2 1 2 2
S 9.4 n2=65 S 5.5 2 S1 9.4 F 2 1.71 S2 5.5
2
2 2
(3)查临界值
F0.05 (74,64) 1.67
(4)结论 F F0.05 2 认为两个总体方差不等。
3、查临界值：给出显著水平
2
，
查附表7，得到临界值 t (n1 n2 2) 。
2 2
t 4、结论： t t , 拒绝H 0， t , 接受H 0 。
二、 ， 未知， 但
2 1 2 2 2 1
2 2
检验H 0 : 1 2，H 1 : 1 2