正态总体的参数精

高二数学（理）正态分布人教实验版（A ）【本讲教育信息】一. 教学内容：正态分布二. 重点、难点：1. 正态分布密度曲线，简称，正态曲线222)(21)(σμμσσπϕ--⋅=x ex （x ∈R ）2. 正态分布⎰=≤<dx x b x a P b a )()(μσϕ3. 特值（1）P （σμσμ+≤<-x ）=68.26% （2）P （σμσμ22+≤<-x ）=95.44% （3）P （σμσμ33+≤<-x ）=99.74%【典型例题】[例1] 一台自动包装机向袋中装糖果，标准是每袋64克，但因随机性误差，每袋具体重量有波动、据以往资料认为：每袋糖果的重量q 服从正态分布)5.1,64(2N 试问随机抽一袋糖果其重量超过65克的概率是多少？不到62克的概率是多少？解：设5.164-=q t )65(>q P )67.0()5.16465(>=->=t P t P )67.0(1)67.0(1φ-=<-=t P 2514.07486.01=-=)33.1()5.16462()62(-<=-<=<t P t P q P)33.1(1<-=t P )33.1(1φ-=9082.01-=0918.0=∴ 超过65克概率为25.14%，不足62克……9.18%。

[例2] q ～N ),(2σμ045.0)5(=-≤q P 618.0)3(=≤q P ，求μ、σ？解：)5()5()5(σμφσμ--=--≤=-≤t P q P045.0)5(1=+-=σμφ∴955.0)5(=+σμφ∴7.15=+σμ①618.0)3()3()3(=-=-≤=≤σμφσμt P q P∴3.03=-σμ②由①②⎩⎨⎧==⇒48.1σμ[例3] q ～)2,1(2N（1）求)75(≤≤q P （2）若)(2)(b q P b q P <=≥ 解：（1）)217215()75(-<<-=≤≤t P q P )2()3()32(φφ-=≤≤=P t P 0214.09772.09987.0=-=（2）)(b q P >)(2b q P ≤=∴)21(2)21(-≤=->b t P b t P ∴31)21(=-<b t P ∵1<b ∴01<-b ∴667.032)21(≈=-<b t P∴667.0)43.0(=φ43.021=-b14.0=b[例4] 假设数学会考成绩q 近似服从正态分布)10,70(2N 现知第100名学生的成绩为60分，试问第20名的学生成绩为多少分。

第四节 正态总体的置信区间与其他总体相比, 正态总体参数的置信区间是最完善的,应用也最广泛。

在构造正态总体参数的置信区间的过程中，t 分布、2χ分布、F 分布以及标准正态分布)1,0(N 扮演了重要角色.本节介绍正态总体的置信区间,讨论下列情形: 1. 单正态总体均值(方差已知)的置信区间; 2. 单正态总体均值(方差未知)的置信区间; 3. 单正态总体方差的置信区间;4. 双正态总体均值差(方差已知)的置信区间;5. 双正态总体均值差(方差未知但相等)的置信区间;6. 双正态总体方差比的置信区间.注: 由于正态分布具有对称性, 利用双侧分位数来计算未知参数的置信度为α-1的置信区间, 其区间长度在所有这类区间中是最短的.分布图示★ 引言★ 单正态总体均值（方差已知）的置信区间★ 例1 ★ 例2★ 单正态总体均值（方差未知）的置信区间 ★ 例3 ★ 例4★ 单正态总体方差的置信区间 ★ 例5 ★ 双正态总体均值差（方差已知）的置信区间 ★ 例6 ★ 双正态总体均值差（方差未知）的置信区间★ 例7 ★ 例8★ 双正态总体方差比的置信区间 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-4内容要点一、单正态总体均值的置信区间(1)设总体),,(~2σμN X 其中2σ已知, 而μ为未知参数, n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 对给定的置信水平α-1, 由上节例1已经得到μ的置信区间,,2/2/⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅-n u X n u X σσαα二、单正态总体均值的置信区间(2)设总体),,(~2σμN X 其中μ,2σ未知, n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 此时可用2σ的无偏估计2S 代替2σ, 构造统计量n S X T /μ-=,从第五章第三节的定理知).1(~/--=n t nS X T μ对给定的置信水平α-1, 由αμαα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-<--1)1(/)1(2/2/n t n S X n t P ,即 ,1)1()1(2/2/αμαα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅-+<<⋅--n S n t X n S n t X P因此, 均值μ的α-1置信区间为.)1(,)1(2/2/⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+⋅--n S n t X n S n t X αα三、单正态总体方差的置信区间上面给出了总体均值μ的区间估计，在实际问题中要考虑精度或稳定性时，需要对正态总体的方差2σ进行区间估计.设总体),,(~2σμN X 其中μ,2σ未知,n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 求方差2σ的置信度为α-1的置信区间. 2σ的无偏估计为2S , 从第五章第三节的定理知,)1(~1222--n S n χσ, 对给定的置信水平α-1, 由,1)1()1()1()1(,1)1(1)1(22/12222/222/2222/1αχσχαχσχαααα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--<<---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-<---n S n n Sn P n S n n P 于是方差2σ的α-1置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1()1(,)1()1(22/1222/2n S n n S n ααχχ而方差σ的α-1置信区间.)1()1(,)1()1(22/1222/2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----n S n n S n ααχχ四、双正态总体均值差的置信区间(1)在实际问题中，往往要知道两个正态总体均值之间或方差之间是否有差异，从而要研究两个正态总体的均值差或者方差比的置信区间。

数理统计17：正态总体参数假设检验现在，我们对正态分布的参数假设检验进⾏讨论，这也是本系列的最后⼀部分内容。

由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：基本步骤正态总体N (µ,σ2)参数的假设检验不外乎遵循以下的步骤：找到合适的统计量，⽤统计量的取值范围设计拒绝域。

假定原假设为真，考虑这个条件下统计量的分布。

根据统计量的分布，根据检验的⽔平要求设置拒绝域的边界值。

设计检验的核⼼在于假定原假设为真，这是因为检验的⽔平是基于弃真概率定义的，也就是说，要在第三步中写出检验的⽔平，就必须在H 0成⽴的情况下找出⼩概率事件的发⽣条件。

⽐如，对于均值的检验⼀共有三种：1.H 0:µ=µ0↔H 1:µ≠µ0;2.H 0:µ≥µ0↔H 1:µ<µ0;3.H 0:µ≤µ0↔H 1:µ>µ0.每⼀种⼜可以细分为⽅差σ2已知和⽅差σ2未知两种情况，但显然不论⽅差是否已知，最核⼼的统计量都应该是¯X，如果⽅差未知可能还要⽤到⽅差的替代：S 2。

以下，对于这三种问题，拒绝域分别应该是这样的：如果H 0被接受，则¯X 既不应该太⼤，也不应该太⼩，拒绝域的基础形式应该是{¯X >c 1}∪{¯X <c 2}.如果H 0被接受，则¯X 不应该太⼩，⽆论多⼤都可以，拒绝域的基础形式应该是{¯X <c }.如果H 0被接受，则¯X 不应该太⼤，⽆论多⼩都可以，拒绝域的基础形式应该是{¯X>c }.当然，这只是拒绝域的基础形式，实际情况下可能不⽌使⽤¯X，但基本思想应该是这样的。

对于⽅差的检验，则将检验统计量换成了S 2，或者均值已知情况下的离差平⽅和Q 2，步骤也和上⾯的差不多。

第21讲 参数估计习题课教学目的：1. 通过练习使学生进一步掌握矩估计和最大似然估计的计算方法； 2. 通过练习使学生理解无偏性和有效性对于评价估计量标准的重要性； 3. 通过练习使学生进一步掌握正态总体参数的区间估计和单侧置信限。

教学重点：矩估计和最大似然估计，无偏性与有效性，正态总体参数的区间估计。

教学难点：矩估计，最大似然估计，正态总体参数的区间估计。

教学时数：2学时。

教学过程：一、知识要点回顾1. 矩估计用各阶样本原点矩n ki i 11x n k V ==∑ 作为各阶总体原点矩k EX 的估计,1,2,k = 。

若有参数2g(,(),,)k E X E X E X θ= （）（），则参数θ的矩估计为n n n 2i=1i=1i=1111ˆ(,,,)ki i i X X X n n n θ=∑∑∑ 。

2. 最大似然估计似然函数1()(;)ni i L f x θθ==∏，取对数ln[()]L θ，从ln()d d θθ=0中解得θ的最大似然估计θˆ。

3. 无偏性,有效性当θθ=ˆE 时，称θˆ为θ的无偏估计。

当21ˆD ˆD θθ<时，称估计量1ˆθ比2ˆθ有效。

5. 两个正态总体均差值的区间估计当21σ和22σ已知时,12μμ-的置信水平为1α-的置信区间为当21σ和22σ未知时,12μμ-的置信水平为1α-的置信区间为二 、典型例题解析1．设,0()0, 0x e x f x x θθ-⎧>=⎨≤⎩，求θ的矩估计。

解 ,0dx xe EX x ⎰+∞-=θθ设du dx u x x u θθθ1,1,===则000111()0()u uu EX ue du ue e du e θθθθ+∞+∞--+∞--+∞⎡⎤⎡⎤==-+=+-⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰=θ1故1EXθ=，所以x 1ˆ=θ。

2. 设总体X 在[]b a ,上服从均匀分布，求a 和b 的矩估计。

解 由均匀分布的数学期望和方差知1()()2E X a b =+ （1）21()()12D X b a =- （2） 由（1）解得a EX b -=2，代入（2）得2)22(121a EX DX -=，整理得2)(31a EX DX -=，解得()()a E X b E X ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故得b a ,的矩估计为ˆˆa x b x ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩其中∑=-=ni i x x n 122)(1ˆσ。

判定系数随机事件和概率考查的主要内容有：(1)事件之间的关系与运算，以及利用它们进行概率计算;(2)概率的定义及性质，利用概率的性质计算一些事件的概率;(3)古典概型与几何概型;(4)利用加法公式、条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式计算概率;(5)事件独立性的概念，利用独立性计算事件的概率;(6)独立重复试验，伯努利概型及有关事件概率的计算。

要求：考生理解基本概念，会分析事件的结构，正确运用公式，掌握一些技巧，熟练地计算概率。

随机变量及概率分布考查的主要内容有：(1)利用分布函数、概率分布或概率密度的定义和性质进行计算;(2)掌握一些重要的随机变量的分布及性质，主要的有：(0-1)分布、二项分布、泊松分布、几何分布、超几何分布、均匀分布、指数分布和正态分布，会进行有关事件概率的计算;(3)会求随机变量的函数的分布。

(4)求两个随机变量的简单函数的分布，特别是两个独立随机变量的和的分布。

要求：考生熟练掌握有关分布函数、边缘分布和条件分布的计算，掌握有关判断独立性的方法并进行有关的计算，会求两个随机变量函数的分布。

随机变量的数字特征考查的主要内容有：(1)数学期望、方差的定义、性质和计算;(2)常用随机变量的数学期望和方差;(3)计算一些随机变量函数的数学期望和方差;(4)协方差、相关系数和矩的定义、性质和计算;要求：考生熟练掌握数学期望、方差的定义、性质和计算，掌握由给出的试验确定随机变量的分布，再计算有关的数字的特征的方法，会计算协方差、相关系数和矩，掌握判断两个随机变量不相关的方法。

大数定律和中心限定理考查的主要内容有：(1)切比雪夫不等式;(2)大数定律;(3)中心极限定理。

要求：考生会用切比雪夫不等式证明有关不等式，会利用中心极限理进行有关事件概率的近似计算。

数理统计的基本概念考查的主要内容有：(1)样本均值、样本方差和样本矩的概念、性质及计算;(2)χ2分布、t分布和F分布的定义、性质及分位数;(3)推导某些统计量的(特别是正态总体的某些统计量)的分布及计算有关的概率。

概率论与数理统计第7章假设检验第3讲正态总体参数的假设检验(2)01 两个正态总体参数的假设检验02单侧检验03 p 值检验法—简介本讲内容*21μμ-2221σσ检验目的本节将讨论两个相互独立的正态总体，211(,)X N μσ222(,)Y N μσ的参数检验问题.设是来自总体X 的简单随机样本；112,,,n X X X 是来自总体Y 的简单随机样本；212,,,n Y Y Y 样本均值.X Y 、为两为两样本方差. 显著性水平为α .2212S S 、(3) μ1 , μ2 未知，检验.2222012112::H H σσσσ=≠，(1)σ12,σ22已知，检验.012112::H H μμμμ=≠，这些假设检验可细分为许多种情形，这里只介绍3种最常见的类型：(2)σ12,σ22未知但σ12 =σ22，检验.012112::H H μμμμ=≠，两个正态总体的参数检验，主要有比较两个均值μ1与μ2的大小，比较两个方差σ12与σ22的大小.根据已知条件的不同，由样本观测值求出统计量的观测值u ，然后作判断.确定拒绝域2{}U u α>选取检验统计量221212~(0,1)X YU N n n σσ-=+U 检验法建立假设012112::.H H μμμμ=≠，借鉴上一章区间估计(1) 已知，检验.12μμ-2212,σσ1212~(2)11w X Y T t n n S n n -=+-+122{(2)}T t n n α>+-(2) 未知但σ12 =σ22，检验.2212,σσ12μμ-T 检验法建立假设012112::.H H μμμμ=≠，由样本观测值求出统计量的观测值t ，然后作判断.确定拒绝域选取检验统计量211222~(1,1)S F F n n S =--2212121{(1,1)(1,1) 或}F F n n F F n n αα-<-->--2222012112::H H σσσσ=≠，(3) μ1 , μ2 未知，检验.2212/σσF 检验法建立假设由样本观测值求出统计量的观测值，然后作判断.确定拒绝域选取检验统计量在某种制造过程中需要比较两种钢板的强度，一种是冷轧钢板，另一种双面镀锌钢板。

总体标准差!的五种估计及估计精密度周富臣孙玉莲（中国一拖集团公司计量检测中心，洛阳471004）摘要介绍了对总体标准差O 进行估计的五种方法，分析了估计精密度，给出了应用实例。

关键词标准差；估计值；相对标准差引言正态总体标准差O 是正态分布的两个参数之一，它在误差理论、计量检测、质量管理、统计检验等领域均有广泛应用。

因此，正确估计O 并给出估计精密度是十分重要的。

1总体标准差O 的理论计算式总体标准差O 的理论计算式为O =li m一17Z 7=1（ _I ）。

2（1）式中，I 为某量真值，为测得值，7为测量次数，由于真值I 往往是未知的，测量次数7又不可能是无限的，故式（1）在实践中无法使用。

2总体标准差O 的常用估计———贝塞尔公式通常仅做有限次测量并用其算术平均值 来代替真值I 。

理论和实践均证明，算术平均值 最接近I 。

是I 的无偏估计值。

用 代替式（1）中的!，就得到"的常用估计式^O b =17_1Z 7=1（ _ ）。

2（2）式中^O b 为O 的常用估计值。

式（2）为常用于求总体标准差O 的估计值的贝塞尔公式。

式（2）求得的^O b 本身也是一个随机量，因此也有一个估计精密度问题，用（^O O ）b 来表示估计值^O b 的标准差，概率统计给出［1］（^O O ）b =12。

7O （3）称（O O ）bO =12。

7为相对标准差。

表1给出12。

7值。

表!!／"。

!值7234567891011121314151／2。

70.50.410.350.320.290.270.250.240.220.210.200.200.190.187161718192021222324253040501／2。

70.180.170.170.160.160.150.150.150.140.140.130.110.1可以看出，估计值^O b 的精度是不高的，7=5时，（O O ）b 。

13O ，7=50时，（O O ）b =0.1O 。