高中数学苏教版选修2-3：高考五大高频考点例析

考点分析：排列与组合由于排列与组合的题目与实际生活密切相关，所以在复习中应立足基础知识和基本方法的复习，从不同角度，不同侧面对题目进行分析，查找思维的缺陷，提高分析问题和解决实际问题的能力．同时应当加强数学思想和方法的训练，排列、组合题大多能与集合、数列、立体几何等内容组合构成综合性较强的小型综合题. 考点1. 分类计数原理与分步计数原理这两个原理都是用来计算“完成一件事”的方法的种数的，在概念上比较相近，容易混淆，应注意它们的区别：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，无论哪一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与”分步“有关，这几个步骤缺一不可，相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。

例1.(高考天津文16）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．解: 首末两格涂法为6×5=30(种），中间两格有两种情况，故涂法种法为①6×5×5×4=600，②6×5=30，共有600+30=630(种)．答案：630.点评: 本例旨在让学生理解两个基本原理.考点2.排列数的有关计算准确掌握排列数公式是顺利进行计算的关键，判断一个问题是否为排列问题的依据是是否有顺序，有顺序且是从n个不同的元素中任取m(m,n∈N,且m≤n)个不同元素的问题就是排列，否则就不是排列.例2. 6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有( )A.30种B.360种C.720种D.1440种思路分析: 本题属排列问题，表面上看似乎带有附加条件，但实际上这和六个人站成一排照像一共有多少种不同排法的问题完全相同．所以不同的排法总数为6A=6×5×4×3×2×1=720(种）．6答案选C.点评: 只有当元素完全相同,并且排列顺序也完全相同时,才是同一排列. 元素完全不同,或元素部分相同,或元素完全相同而顺序不同的排列都不是同一排列.考点3.组合的有关计算组合要求n个元素是不同的，被取的m个元素也是不同的，即从n个不同元素中进行m次不放回地取出，取出的m个元素没有顺序，无序性是组合的本质，这也是区分排列和组合问题的关键．要重视组合数的性质在解题中的灵活运用. 例3.设集合A={1，2，3，…，10}，（1）设A的3个元素的子集的个数为n，求n的值；（2）设A的3个元素的子集中，3个元素的和分别为a1，a2，…，a n，求a1+a2+a3+…+a n的值.解：（1）A的3元素子集的个数为n=C310=120.（2）在A的3元素子集中，含数k（1≤k≤10）的集合个数有C29个，因此a1+a2+…+a n=C29×（1+2+3+…+10）=1980.评述：在求从n个数中取出m（m≤n）个数的所有组合中各组合中数字的和时，一般先求出含每个数字的组合的个数，含每个数字的个数一般都相等，故每个数字之和与个数之积便是所求结果.考点4.排列的应用问题排列的本质就是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制主要表现在：某些元素“排”或“不排”在哪个位子上，某些元素“相邻”或“不相邻”，对于这类问题在分析时，主要按“优先”原则，即优先安排特殊元素或优先满足特殊位子，对于“相邻”问题可用“捆绑法”，对于“不相邻”问题可用“插空法”例4.从数字0、1、3、5、7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程ax2+bx+c=0?其中有实数根的有几个？剖析：（1）二次方程要求a不为0，故a只能在1、3、5、7中选，b、c没有限制.（2）二次方程要有实根，需Δ=b2－4ac≥0，再对c分类讨论.解：（1）可组成二次方程A14·A24=48个.（2）有实根的二次方程共有A24+A22+2A22=18个.考点5.组合的应用问题。

高中数学选修2-3知识点总结第一章 计数原理知识点：1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N 类办法，在第一类办法中有M 1种不同的方法，在第二类办法中有M 2种不同的方法，……，在第N 类办法中有M N 种不同的方法，那么完成这件事情共有M 1+M 2+……+M N 种不同的方法。

2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N 个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有M 2不同的方法，……，做第N 步有M N 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M 1M 2...M N 种不同的方法。

3、排列：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列4、排列数： ),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m∈≤-=+--= 规定：0!1=5、组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

6、组合数：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m nm mm n mn-=+--== )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==;mn n m n C C -= mn m n m n C C C 11+-=+7、解排列、组合题的基本策略 （1）两种思路：①直接法；②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。

这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。

（2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。

注意：分类不重复不遗漏。

即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。

（3在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。

其原则是先分类，后分步。

（4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。

高中数学选修2-2,2-3知识点、考点、典型例题高中数学选修2-2,2-3知识点、考点、典型例题一、2-2数列的概念、数列的通项公式及递推公式1. 数列的概念数列是按照一定规律排列的一系列数，一般用字母 an 表示第n 个数。

2. 数列的通项公式数列的通项公式是指通过数列的位置 n，直接求出该位置上的数 an 的公式。

通项公式可以是一个数学式子，也可以是一个算法。

3. 数列的递推公式数列的递推公式是指通过数列前一项或前几项的值，推导出数列下一项的公式。

递推公式是数列中相邻两项之间的关系式。

4. 常见数列的通项公式和递推公式- 等差数列：an = a1 + (n-1)d （通项公式），an = an-1 + d （递推公式）- 等比数列：an = a1 * q^(n-1) （通项公式），an = an-1 * q （递推公式）- 斐波那契数列：an = an-1 + an-2 （递推公式）二、2-3数列的求和、数列的性质及应用1. 数列的求和- 等差数列的前 n 项和：Sn = (a1 + an) * n / 2- 等比数列的前 n 项和（q ≠ 1）：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q) - 斐波那契数列的前 n 项和：Sn = Fn+2 - 12. 数列的性质- 常数列：数列中的每一项都是一个常数。

- 奇数列：数列中的每一项都是奇数。

- 偶数列：数列中的每一项都是偶数。

- 单调递增数列：数列中的每一项都比前一项大。

- 单调递减数列：数列中的每一项都比前一项小。

- 正项数列：数列中的每一项都是正数。

- 负项数列：数列中的每一项都是负数。

3. 数列的应用- 利用数列的递推关系，求解实际问题中的特定数值。

- 利用数列的性质，进行数学推理和证明。

- 利用数列的规律，设计算法解决问题。

典型例题：1. 已知等差数列的前三项分别为 1，5，9，求数列的通项公式和第 n 项的值。

解：设数列的首项为 a，公差为 d，则有以下等差数列的递推公式：a2 = a1 + d = 1 + da3 = a2 + d = (1 + d) + d = 1 + 2d将 a1，a2，a3 分别代入等差数列的通项公式，可得：a1 = a = 1a2 = a + d = 1 + d = 5 --> d = 4a3 = a1 + 2d = 1 + 2(4) = 9所以该等差数列的通项公式为 an = a + (n-1)d = 1 + 4(n-1) = 4n - 3第 n 项的值为：an = 4n - 32. 求等差数列 3，6，9，...，101 的前 n 项和。

高考七大高频考点例析导数的几何意义及运算考查方式从近几年的高考试题分析，对该部分内容的考查，主要考查利用导数的几何意义求切线方程；导数的有关计算，尤其是简单的复合函数求导；题型既有填空题，又有解答题，难度中等左右，在考查导数的概念及其运算的基础上，又注重考查解析几何的相关知识．备考指要 函数y ＝f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)，于是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为：y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．求切线方程时，应明确“在某点处的切线方程”和“过某点的切线方程”的不同；熟练掌握基本函数的导数及导数的四则运算.[考题印证][例1] (广东高考)曲线y ＝e －5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________________．[解析] 由y ＝e－5x＋2⇒y ′＝－5e －5x⇒切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，于是切线方程为y－3＝－5(x －0)⇒5x ＋y －3＝0.[答案] 5x ＋y －3＝0[例2] 曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为__________________． [解析] ∵y ＝x (3ln x ＋1)， ∴y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x ＝3ln x ＋4，∴k ＝y ′|x ＝1＝4，∴所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3. [答案] y ＝4x －3[跟踪演练]1．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线的斜率为________． 解析：y ′＝(e x )′＝e x ，所以当x＝0时，y′＝e0＝1.答案：12．曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为________．解析：y′＝－3x2＋6x，∴当x＝1时，y′＝3，即斜率k＝3.所以切线方程为y－2＝3(x－1)，即3x－y－1＝0.答案：3x－y－1＝03．如果曲线y＝x4－x在点P处的切线垂直于直线y＝－13x，那么点P的坐标为________．解析：由y′＝4x3－1，当y′＝3时，有4x3－1＝3，可解得x＝1，此时，点P的坐标为(1,0)．答案：(1,0)4．(北京高考)已知函数f(x)＝x2＋x sin x＋cos x.(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．解：由f(x)＝x2＋x sin x＋cos x，得f′(x)＝x(2＋cos x)，f(x)为偶函数．(1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)．解得a＝0，b＝f(0)＝1.(2)令f′(x)＝0，得x＝0.f(x)与f′(x)的变化情况如下：所以函数f(x)f(0)＝1是f(x)的最小值．当b≤1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b最多只有一个交点；当b>1时，f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－1>4b－2b－1>b，f(0)＝1<b，所以存在x1∈(－2b,0)，x2∈(0,2b)，使得f(x1)＝f(x2)＝b.由于函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，所以当b>1时曲线y＝f(x)与直线y ＝b有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞)．利用导数研究函数的单调性考查方式 利用导数研究函数的单调性是导数最重要的应用之一．主要考查求函数的单调区间、证明或判断函数的单调性，在高考命题中，若以填空题的形式出现，难度则以中低档为主，若以解答题形式出现，难度则以中等偏上为主．备考指要利用导数的符号判断函数的单调性是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合思想．在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间． 特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接 . [考题印证][例3] (山东高考)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －ln x (a ，b ∈R )． (1)设a ≥0，求f (x )的单调区间；(2)设a ＞0，且对任意x ＞0，f (x )≥f (1)．试比较ln a 与－2b 的大小． [解] (1)由f (x )＝ax 2＋bx －ln x ，x ∈(0，＋∞)， 得f ′(x )＝2ax 2＋bx －1x .①当a ＝0时，f ′(x )＝bx －1x.(ⅰ)若b ≤0，当x >0时，f ′(x )<0恒成立， 所以函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)．(ⅱ)若b >0，当0<x <1b 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x >1b时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1b ，单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1b ，＋∞. ②当a >0时，令f ′(x )＝0， 得2ax 2＋bx －1＝0.由Δ＝b 2＋8a >0，得x 1＝－b － b 2＋8a4a，x 2＝－b ＋b 2＋8a 4a.当0<x <x 2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x >x 2时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．所以函数f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b ＋b 2＋8a 4a ，单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋b 2＋8a 4a ，＋∞.综上所述，当a ＝0，b ≤0时，函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)；当a ＝0，b >0时，函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1b ，单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1b ，＋∞； 当a >0时，函数f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b ＋ b 2＋8a 4a ，单调递增区间是－b ＋ b 2＋8a4a，＋∞.(2)由题意知，函数f (x )在x ＝1处取得最小值． 由(1)知－b ＋b 2＋8a4a 是f (x )的唯一极小值点，故－b ＋b 2＋8a 4a ＝1，整理得2a ＋b ＝1即b ＝1－2a .令g (x )＝2－4x ＋ln x ， 则g ′(x )＝1－4xx .令g ′(x )＝0，得x ＝14，当0<x <14时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >14时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．因此g (x )≤g ⎝⎛⎭⎫14＝1＋ln 14＝1－ln 4<0. 故g (a )<0，即2－4a ＋ln a ＝2b ＋ln a <0， 即ln a <－2b .[跟踪演练]5．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则a 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝3ax 2－1，∵f (x )在R 上为减函数，∴f ′(x )≤0在R 上恒成立，∴a ≤0. 答案：(－∞，0]6．函数f (x )＝3x 2－x 3的单调递减区间为________． 解析：f ′(x )＝6x －3x 2，令f ′(x )<0， 则6x －3x 2<0，即x 2－2x >0， 解之得x >2或x <0，所以该函数的单调减区间为(2，＋∞)，(－∞，0)． 答案：(2，＋∞)，(－∞，0)7．函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则a 的最大值是________． 解析：∵f ′(x )＝3x 2－a ，∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴f ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即3x 2－a ≥0，∴a ≤3x 2，∴a ≤3，即a 的最大值为3. 答案：38．(新课标全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝e x －e －x －2x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)设g (x )＝f (2x )－4bf (x )，当x >0时，g (x )>0，求b 的最大值； (3)已知1.414 2<2<1.414 3，估计ln 2的近似值(精确到0.001)．解：(1)f ′(x )＝e x ＋e －x －2≥0，等号仅当x ＝0时成立．所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递增．(2)g (x )＝f (2x )－4bf (x )＝e 2x －e －2x －4b (e x －e －x )＋(8b －4)x ，g ′(x )＝2[e 2x ＋e－2x－2b (e x ＋e －x )＋(4b －2)]＝2(e x ＋e －x －2)(e x ＋e －x －2b ＋2)．(ⅰ)当b ≤2时，g ′(x )≥0，等号仅当x ＝0时成立， 所以g (x )在(－∞，＋∞)单调递增．而g (0)＝0， 所以对任意x >0，g (x )>0；(ⅱ)当b >2时，若x 满足2<e x ＋e －x <2b －2，即0<x <ln(b －1＋b 2－2b )时g ′(x )<0.而g (0)＝0，因此当0<x <ln(b －1＋b 2－2b )时，g (x )<0.综上，b 的最大值为2.(3)由(2)知，g (ln 2)＝32－22b ＋2(2b －1)ln 2.当b ＝2时，g (ln 2)＝32－42＋6ln 2>0，ln 2>82－312>0.692 8；当b ＝324＋1时，ln(b －1＋b 2－2b )＝ln 2，g (ln 2)＝－32－22＋(32＋2)ln 2<0，ln 2<18＋228<0.693 4.所以ln 2的近似值为0.693.利用导数研究函数的极值和最值考查方式利用导数研究函数的极值是高考对导数考查的一个重点内容，经常与函数单调性，函数图象的考查融合在一起，研究方程根的情况、不等式的证明等．本部分内容是高考的重点和热点．在高考试题中，既有填空题的形式，也有解答题的形式．基本上是中档或中档偏难题目．备考指要利用导数研究函数的极值和最值应明确求解步骤，求解时切记函数的定义域，正确区分最值与极值不同，函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值比较大小．而最值是在整个区间上对函数值比较大小．函数的极值可以有多个，但最值只能有一个，极值只能在区间内取得，而最值还可以在端点处取得，最值只要不在端点处，必是一个极值. [考题印证][例4] (广东高考)设函数f (x )＝(x －1)e x －kx 2(k ∈R )． (1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，求函数f (x )在[0，k ]上的最大值M . [解] (1)当k ＝1时， f (x )＝(x －1)e x －x 2，f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x e x －2x ＝x (e x －2)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln 2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化如下表：x (－∞，0)0 (0，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋ f (x ) 极大值极小值由表可知，函数f (x )的递减区间为(0，ln 2)，递增区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)．(2)f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2kx ＝x e x －2kx ＝x (e x －2k )，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln (2k )，令g (k )＝ln (2k )－k ，则g ′(k )＝1k －1＝1－k k ≥0，所以g (k )在⎝⎛⎦⎤12，1上递增， 所以g (k )≤ln 2－1＝ln 2－ln e<0， 从而ln(2k )<k ，所以ln (2k )∈[0，k ]， 所以当x ∈(0，ln(2k ))时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln (2k )，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以M ＝max{f (0)，f (k )} ＝max{－1，(k －1)e k －k 3}．令h (k )＝(k －1)e k －k 3＋1，则h ′(k )＝k (e k －3k )， 令φ(k )＝e k －3k ，则φ′(k )＝e k －3≤e －3<0， 所以φ(k )在⎝⎛⎦⎤12，1上递减， 而φ⎝⎛⎭⎫12·φ(1)＝⎝⎛⎭⎫e －32(e －3)<0， 所以存在x 0∈⎝⎛⎦⎤12，1使得φ(x 0)＝0，且当k ∈⎝⎛⎭⎫12，x 0时，φ(k )>0， 当k ∈(x 0,1)时，φ(k )<0，所以φ(k )在⎝⎛⎭⎫12，x 0上单调递增，在(x 0,1)上单调递减． 因为h ⎝⎛⎭⎫12＝－12 e ＋78>0，h (1)＝0， 所以h (k )≥0在⎝⎛⎦⎤12，1上恒成立，当且仅当k ＝1时取得“＝”． 综上，函数f (x )在[0，k ]上的最大值M ＝(k －1)e k －k 3. [例5] (山东高考)设函数f (x )＝e x x 2－k ⎝⎛⎭⎫2x ＋ln x (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)． (1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围． [解] (1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k ⎝⎛⎭⎫－2x 2＋1x＝x e x －2e x x 3－k (x －2)x 2＝(x －2)(e x －kx )x 3由k ≤0可得e x －kx >0，所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减， x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以f (x )的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)． (2)由(1)知，k ≤0时，函数f (x )在(0,2)内单调递减， 故f (x )在(0,2)内不存在极值点；当k >0时，设函数g (x )＝e x －kx ，x ∈[0，＋∞)， 因为g ′(x )＝e x －k ＝e x －e ln k ， 当0<k ≤1时，当x ∈(0,2)时，g ′(x )＝e x －k >0，y ＝g (x )单调递增． 故f (x )在(0,2)内不存在两个极值点；当k >1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )<0，函数y ＝g (x )单调递减． x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )>0，函数y ＝g (x )单调递增． 所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )． 函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g (0)>0，g (ln k )<0，g (2)>0，0<ln k <2，解得e<k <e 22，综上所述，函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫e ，e 22. [跟踪演练]9．已知函数f (x )＝x 2＋2a ln x .(1)当a ＝1时，求函数f ′(x )的最小值； (2)求函数f (x )的单调区间和极值． 解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． (1)当a ＝1时，f ′(x )＝2x ＋2x≥22x ·2x＝4， 当且仅当2x ＝2x ，即x ＝1时等号成立，故函数f ′(x )的最小值为4. (2)f ′(x )＝2x ＋2ax＝2⎝⎛⎭⎫x ＋a x . ①当a ≥0时，f ′(x )＞0，因此f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，这时函数无极值； ②当a ＜0时，f ′(x )＝2()x ＋－a ()x －－a x .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下：因此函数f (x )的单调递减区间是(0，－a )，单调递增区间是(－a ，＋∞)．且当x ＝－a 时，函数f (x )有极小值f (－a )＝－a ＋2a ln －a ，无极大值．10．已知函数f (x )＝(x －k )2e x k .(1)求f (x )的单调区间；(2)若对于任意的x ∈(0，＋∞)，都有f (x )≤1e ，求k 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝1k (x 2－k 2)e xk .令f ′(x )＝0，得x ＝±k .当k >0时，f (x )与f ′(x )的情况如下：所以，f (x )的单调递增区间是(－∞，－k )和(k ，＋∞)；单调递减区间是(－k ，k )． 当k <0时，f (x )与f ′(x )的情况如下：所以，f (x )的单调递减区间是(－∞，k )和(－k ，＋∞)；单调递增区间是(k ，－k )． (2)当k >0时，因为f (k ＋1)＝e k ＋1k >1e ，所以不会有∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≤1e .当k <0时，由(1)知f (x )在(0，＋∞)上的最大值是 f (－k )＝4k 2e.所以∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≤1e 等价于f (－k )＝4k 2e ≤1e .解得－12≤k <0.故当∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≤1e 时，k 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－12，0.导数的实际应用考查方式最值的综合应用问题是高中数学最重要的题型之一，导数知识为解决数学及其他学科的实际应用题提供了很大的方便，近几年的高考中也越来越重视，已成为高考命题的一个新热点，试题多以解答题形式出现，难度一般为中等偏难题目．备考指要利用导数解决生活中的实际问题时：(1)既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还要注意确定出函数关系式中自变量的定义区间．(2)一定要注意求得结果的实际意义，不符合实际的值应舍去． (3)如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.[考题印证][例6] (重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．根据题意得200πrh ＋160πr 2＝12 000π， 所以h ＝15r (300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．由h >0，且r >0可得0<r <53，故函数V (r )的定义域为(0,53)． (2)由(1)知V (r )＝π5(300r －4r 3)，故V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5 (因为r 2＝－5不在定义域内，舍去)．当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数； 当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上为减函数．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．[跟踪演练]11.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：m)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3m 3，且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c >3)千元．设该容器的建造费用为y 千元．(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r . 解：(1)设容器的容积为V ，由题意知V ＝πr 2l ＋43πr 3，又V ＝80π3，故l ＝V －43πr 3πr 2＝803r 2－43r ＝43⎝⎛⎭⎫20r 2－r . 由于l ≥2r ，因此0<r ≤2. 所以建造费用y ＝2πrl ×3＋4πr 2c ＝2πr ×43⎝⎛⎭⎫20r 2－r ×3＋4πr 2c . 因此y ＝4π(c －2)r 2＋160πr ，0<r ≤2.(2)由(1)得y ′＝8π(c －2)r －160πr 2＝8π(c －2)r 2⎝⎛⎭⎫r 3－20c －2，0<r <2. 由于c >3，所以c －2>0， 当r 3－20c －2＝0时，r ＝320c －2. 令320c －2＝m ，则m >0，所以y ′＝8π(c －2)r 2(r －m )(r 2＋rm ＋m 2)．①若0<m <2，即c >92，则当r ＝m 时，y ′＝0；当r ∈(0，m )时，y ′<0； 当r ∈(m,2)时，y ′>0，所以r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点． ②若m ≥2，即3<c ≤92，则当r ∈(0,2)时，y ′<0，函数单调递减， 所以r ＝2是函数y 的最小值点．综上所述，当3<c ≤92时，建造费用最小时r ＝2；当c >92时，建造费用最小时r ＝ 320c －2.合情推理与演绎推理考查方式 归纳推理、类比推理、演绎推理等问题是高考的热点，归纳、类比推理大多数出现在填空题中，为中低档题，突出了“小而巧”，主要考查类比、归纳推理能力；演绎推理大多数出现在解答题中，为中高档题目，在知识的交汇点处命题，考查学生分析问题、解决问题以及逻辑推理能力．备考指要对本部分知识的学习，要注意做好以下两点：一要熟悉归纳推理、类比推理、演绎推理的一般原理、步骤、格式，搞清合情推理与演绎推理的联系与区别；二要把握归纳推理、类比推理、演绎推理的基本应用，在给定的条件下，能够运用归纳推理、类比推理获得新的一般结论，能够运用演绎推理对数学问题进行严格的证明.[考题印证][例7] (陕西高考)观察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为__________________________________________________． [解析] 观察规律可知，第n 个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2. [答案] 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n＋1n (n ＋1)2[例8] 回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99；3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n ＋1(n ∈N *)位回文数有________个．[解析] 2位回文数有9个，4位回文数有9×10＝90个，3位回文数有90个，5位回文数有9×10×10＝100×9个，依次类推可得2n ＋1位有9×10n 个．[答案] 90 9×10n[跟踪演练]12．下面的数组均由三个数组成：(1,2,3)，(2,4,6)，(3,8,11)，(4,16,20)，(5,32,37)，…，(a n ，b n ，c n )．(1)请写出c n 的一个表达式，c n ＝________；(2)若数列{c n }的前n 项和为M n ，则M 10＝______.(用数字作答) 解析：(1)通过观察归纳，得a n ＝n ，b n ＝2n ，c n ＝a n ＋b n ＝n ＋2n . (2)M 10＝(1＋2＋…＋10)＋(2＋22＋…＋210)＝2 101. 答案：n ＋2n 2 10113．先阅读下面的文字：“求1＋1＋1＋…的值时，采用了如下的方法：令1＋1＋1＋…＝x ，则有x ＝1＋x ，两边同时平方，得1＋x ＝x 2，解得x ＝1＋52(负值已舍去)”．可以用类比的方法，求得1＋12＋11＋12＋…的值为________．解析：由1＋12＋11＋12＋…＝1＋12＋1x ，得2x 2－2x －1＝0，于是x ＝1＋32(负值已舍去)，故所求值为1＋32.答案：1＋32直接证明与间接证明考查方式 近几年试题对本部分内容的考查是应用直接证明和间接证明解决数列，立体几何中的平行、垂直，不等式，解析几何等问题，题型大多为解答题，难度为中高档．备考指要 在备考中，对本部分的内容，要抓住关键，即分析法、综合法、反证法，要搞清三种方法的特点，把握三种方法在解决问题中的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决的问题的类型，同时也要加强训练，达到熟能生巧，有效运用它们的目的.[考题印证][例9] 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： (1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； (2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； (3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； (4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； (5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． [解] (1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.法二：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.[跟踪演练]14．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，且f (1)＝－a 2，3a >2c >2b .求证：a >0，且－3<b a <－34.证明：f (1)＝a ＋b ＋c ＝－a2，即3a ＋2b ＋2c ＝0.又3a >2c >2b ，所以3a >0,2b <0，则a >0，b <0. 又2c ＝－3a －2b,3a >2c >2b ，所以3a >－3a －2b >2b .可得－3a <b <－34a .因为a >0，所以－3<b a <－34.15．(陕西高考)设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数． (1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N *，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N *，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明． 解：由题设得，g (x )＝x1＋x (x ≥0)．(1)由已知，g 1(x )＝x 1＋x， g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x1＋2x ，g 3(x )＝x 1＋3x ，…，可得g n (x )＝x 1＋nx. 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g 1(x )＝x 1＋x，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x1＋kx .那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k (x )1＋g k (x )＝x 1＋kx 1＋x 1＋kx ＝x1＋(k ＋1)x ，即结论成立．由①②可知， 结论对n ∈N ＋成立． 所以g n (x )＝x1＋nx.(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立． 设φ(x )＝ln(1＋x )－ax1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a(1＋x )2＝x ＋1－a (1＋x )2，当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)， ∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0， ∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立(仅当x ＝0时等号成立)．当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )<0，∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0，即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0，故知ln(1＋x )≥ax1＋x不恒成立． 综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋nn ＋1，n －f (n )＝n －ln(n ＋1)，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)． 证明如下：证法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则1n ＋1<ln n ＋1n .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立．②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)．那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k ＋2)， 即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．证法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，……ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1，上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证．证法三：如图，⎠⎛0n x x ＋1d x 是由曲线y ＝xx ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋nn ＋1是图中所示各矩形的面积和， ∴12＋23＋…＋n n ＋1>⎠⎛0n x x ＋1d x ＝⎠⎛0n ⎝⎛⎭⎫1－1x ＋1d x ＝n －ln (n ＋1)，结论得证．复 数[考题印证][例10] (山东高考改编)复数z 满足(z －3)(2－i )＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z ＝________________.[解析] 由(z －3)(2－i )＝5，得z ＝3＋52－i ＝3＋5(2＋i )(2－i )(2＋i )＝3＋2＋i ＝5＋i ，所以z ＝5－i . [答案] 5－i[例11] (上海高考)设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________.[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝1，m ≠±1.∴m ＝－2. [答案] －2[跟踪演练]16．(安徽高考改编)设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则zi ＋i·z＝________.解析：zi ＋i·z ＝1＋i i ＋i(1－i)＝－i ＋1＋i ＋1＝2.答案：217．(湖南高考)复数3＋ii 2( i 为虚数单位)的实部等于________．解析：直接运算得3＋ii 2＝－(3＋i)＝－3－i ，故实部为－3.答案：－318．复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应点位于第________象限． 解析：z ＝i(1＋i)＝－1＋i ，在复平面上对应点的坐标为(－1,1)，其在第二象限． 答案：二19．设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：复数1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2－a ＋(2a ＋1)i5，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＝0，2a ＋1≠0，所以a ＝2.答案：2模块综合检测 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测(四) 见8开试卷一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．(四川高考)复数2－2i1＋i ＝________.解析：2－2i 1＋i ＝2(1－i )2(1＋i )(1－i )＝(1－i)2＝－2i.答案：－2i2．函数y ＝11－cos x的导数是________．解析：y ′＝1′(1－cos x )－1·(1－cos x )′(1－cos x )2＝－sin x(1－cos x )2.答案：y ′＝－sin x(1－cos x )23．已知函数f (x )＝x e x ＋c 有两个零点，则c 的取值范围是________． 解析：∵f ′(x )＝e x (x ＋1)，∴易知f (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，且f (x )min ＝f (－1)＝c －e －1，由题意得c －e －1＜0，得c ＜e －1.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，1e 4．用反证法证明命题“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a 、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为________________．解析：“a ，b 中至少有一个能被5整除”的否定是“a 、b 都不能被5整除”． 答案：a ，b 都不能被5整除5．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)时，从“k 到k ＋1”左边需乘的代数式是________．解析：当n ＝k 时，左边＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋1＋k ＋1)，∴增加了(2k ＋1)·2(k ＋1)k ＋1＝2(2k ＋1)．答案：2(2k ＋1)6．已知定义在R 上的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，满足f (x )＜f ′(x )，且f (0)＝2，则不等式f (x )ex ＞2的解集为________．解析：令g (x )＝f (x )ex ，∴g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫f (x )e x ′＝f ′(x )－f (x )e x ＞0，∴g (x )为增函数． 由f (x )e x ＞2得f (x )e x ＞f (0)e0， 所以g (x )＞g (0)， ∴x ＞0. 答案：(0，＋∞)7．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________.解析：∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ， ∴z 1＝2－i. 设z 2＝a ＋2i ，a ∈R .z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. ∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i. 答案：4＋2i8．函数y ＝sin 2x 的图象在点A ⎝⎛⎭⎫π6，14处的切线的斜率是________．解析：y ′＝(sin 2x )′＝sin 2x ，∴函数y ＝sin 2x 的图象在点A ⎝⎛⎭⎫π6，14处的切线的斜率k ＝sin π3＝32. 答案：329．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 014个梯形数为a 2 014 ，则a 2 014 ＝________.解析：5＝2＋3＝a 1,9＝2＋3＋4＝a 2,14＝2＋3＋4＋5＝a 3，…，a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝(n ＋1)(2＋n ＋2)2＝12×(n ＋1)(n ＋4)，由此可得a 2 014＝2＋3＋4＋…＋2 016＝12×2 015×2 018＝2 015×1 009.答案：2 015×1 00910．复数z 1与z 2在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，|z 1|＝2，则z 1＝________.解析：设z 1＝a ＋b i ，则z 2＝－a ＋b i ， ∵z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，且|z 1|＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b i )(3－i )＝(－a ＋b i )(1＋3i )，a 2＋b 2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，∴z 1＝1－i 或z 1＝－1＋i. 答案：1－i 或－1＋i11．对于等差数列{a n }有如下命题：“若{a n }是等差数列，a 1＝0，s 、t 是互不相等的正整数，则有(s －1)a t －(t －1)a s ＝0”．类比此命题，给出等比数列{b n }相应的一个正确命题是：____________________________________.答案：若{b n }是等比数列，b 1＝1，s ，t 是互不相等的正整数，则有b s －1t t t －1s＝112．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值为________，极小值为________．解析：f ′(x )＝3x 2－2px －q ，f ′(1)＝3－2p －q ＝0， 即2p ＋q ＝3. ①因f (x )过(1,0)点，所以1－p －q ＝0，即p ＋q ＝1.② 由①②，得p ＝2，q ＝－1， 即f (x )＝x 3－2x 2＋x . f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.令3x 2－4x ＋1＝0，解得x 1＝13，x 2＝1.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝13时，f (x )取得极大值427；当x ＝1时，f (x )取得极小值0. 答案：42713．类比平面几何中的定理：△ABC 中，若DE 是△ABC 的中位线，则有S △ADE ∶S △ABC＝1∶4；若三棱锥A －BCD 有中截面EFG ∥平面BCD ，则截得三棱锥的体积与原三棱锥体积之间的关系式为________．解析：平面几何中的面积类比空间几何体中的体积， ∴V A －EFG ∶V A －BCD ＝1∶8. 答案：V A －EFG ∶V A －BCD ＝1∶814．(辽宁高考)正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1,1)，D (－1,1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．解析：由几何概型的概率计算公式可知，所求概率P ＝S 阴影S 正方形＝2⎠⎛1－1(1－x 2)d x22＝834＝23. 答案：23二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)设复数z 满足|z|＝1，且(3＋4i )z 是纯虚数，求z .解：设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，由|z |＝1得a 2＋b 2＝1，(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝3a －4b ＋(4a ＋3b )i 是纯虚数，则3a －4b ＝0,4a ＋3b ≠0，∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＝1，3a －4b ＝0，4a ＋3b ≠0解得⎩⎨⎧a ＝45，b ＝35或⎩⎨⎧a ＝－45，b ＝－35.∴z ＝45－35i 或－45＋35i.16．(本小题满分14分)设函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c (a ≠0)为奇函数，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线x －6y －7＝0垂直，导函数f ′(x )的最小值为－12.(1)求a ，b ，c 的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间，并求函数f (x )在[－1,3]上的最大值和最小值． 解：(1)∵f (x )为奇函数， ∴f (0)＝0，∴c ＝0. 则f (x )＝ax 3＋bx .∵f ′(x )＝3ax 2＋b 的最小值为－12， ∴a ＞0，b ＝－12，又直线x －6y －7＝0的斜率为16，∴f ′(1)＝3a ＋b ＝－6，解得a ＝2. ∴a ＝2，b ＝－12，c ＝0. (2)由(1)知f (x )＝2x 3－12x .f ′(x )＝6x 2－12＝6(x ＋2)(x －2)，令f ′(x )＝0得，x 1＝－2，x 2＝2，列表如下：∴函数f (x )的单调增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)． ∵f (－1)＝10，f (2)＝－82，f (3)＝18， ∴f (x )在[－1,3]上的最大值是18，最小值是－8 2.17．(本小题满分14分)(浙江高考)已知a ∈R ，函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax . (1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)若|a |>1，求f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2x 3－6x 2＋6x ， 则f ′(x )＝6x 2－12x ＋6，所以f ′(2)＝6. 又因为f (2)＝4，所以切线方程为y ＝6x －8. (2)记g (a )为f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值． f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )． 令f ′(x )＝0，得到x 1＝1，x 2＝a . 当a >1时， 列表：g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1<a ≤3，a 2(3－a )，a >3.当a <－1时， 列表：得g (a )综上所述，f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值为 g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1，a <－1，0，1<a ≤3，a 2(3－a )，a >3.18．(本小题满分14分)已知数列8·112·32，8·232·52，…，8·n (2n －1)2·(2n ＋1)2，…，S n 为该数列的前n 项和，计算得S 1＝89，S 2＝2425，S 3＝4849，S 4＝8081.观察上述结果，推测出S n (n ∈N *)，并用数学归纳法加以证明． 解：推测S n ＝(2n ＋1)2－1(2n ＋1)2(n ∈N *)． 用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，S 1＝(2＋1)2－1(2＋1)2＝89，等式成立；(2)假设当n ＝k 时等式成立，即S k ＝(2k ＋1)2－1(2k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝S k ＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋1)2－1(2k ＋1)2＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝[(2k ＋1)2－1](2k ＋3)2＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋1)2(2k ＋3)2－(2k ＋3)2＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋1)2(2k ＋3)2－(2k ＋1)2(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋3)2－1(2k ＋3)2＝[2(k ＋1)＋1]2－1[2(k ＋1)＋1]2.也就是说，当n ＝k ＋1时，等式成立．根据(1)和(2)，可知对一切n ∈N *，等式均成立．19．(本小题满分16分)(安徽高考)设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3，x 2＝－1＋4＋3a 3，x 1<x 2.所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)．当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增． (2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0. ①当a ≥4时，x 2≥1.由(1)知，f (x )在[0,1]上单调递增．所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值． ②当0<a <4时，x 2<1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2,1]上单调递减． 所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值； 当a ＝1时，f (x )在x ＝0处和x ＝1处同时取得最小值； 当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值． 20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ln x .(1)若直线y ＝x ＋m 与函数f (x )的图象相切，求实数m 的值． (2)证明曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x －1x 有唯一的公共点；(3)设0＜a <b ，比较f (b )－f (a )2与b －ab ＋a 的大小，并说明理由．解：(1)f ′(x )＝1x，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝1x 0＝1，∴x 0＝1，y 0＝ln x 0＝ln 1＝0， 代入y ＝x ＋m ，得m ＝－1.(2)令h (x )＝f (x )－⎝⎛⎭⎫x －1x ＝ln x －x ＋1x. 则h ′(x )＝1x －1－1x 2＝－x 2＋x －1x 2＝－⎝⎛⎭⎫x －122－34x 2＜0，∴h (x )在(0，＋∞)内单调递减． 又h (1)＝ln 1－1＋1＝0， ∴x ＝1是函数h (x )唯一的零点， 故点(1,0)是两曲线唯一的公共点． (3)f (b )－f (a )b －a ＝ln b －ln ab －a ＝lnba b －a，要比较lnba b －a 与2a ＋b的大小．∵b －a ＞0，∴只要比较ln b a 与2(b －a )a ＋b 的大小．∵ln b a －2(b －a )b ＋a＝ln ba －2⎝⎛⎭⎫b a －1b a ＋1，构造函数φ(x )＝ln x －2(x －1)x ＋1，(x ＞1)，则φ′(x )＝1x －4(x ＋1)2＝(x －1)2x (x ＋1)2，显然φ′(x )＞0，∴φ(x )在(1，＋∞)内单调递增． 又当x ＝1时，φ(1)＝0， ∴当x ＞1时，φ(x )＞0， 即ln x －2(x －1)x ＋1＞0.则有ln b a ＞2(b －a )b ＋a 成立，即ln b －ln a b －a ＞2a ＋b 成立．即得f (b )－f (a )b －a ＞2a ＋b.∴f (b )－f (a )2＞b －ab ＋a.。

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高中数学选修2-2_2-3知识点、考点、典型例题(word 版可编辑修改)高中数学选修2--——2知识点第一章 导数及其应用知识点：一．导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数,记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义:曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。

容易知道,割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数,我们称它为()f x 的导函数。

高考七大高频考点例析[对应学生用书P64][考题印证][例1] (广东高考)曲线y ＝e －5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________________．[解析] 由y ＝e－5x＋2⇒y ′＝－5e－5x⇒切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，于是切线方程为y －3＝－5(x －0)⇒5x ＋y －3＝0.[答案] 5x ＋y －3＝0[例2] 曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为__________________． [解析] ∵y ＝x (3ln x ＋1)， ∴y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x＝3ln x ＋4，∴k ＝y ′|x ＝1＝4，∴所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3. [答案] y ＝4x －3[跟踪演练]1．曲线y ＝e x在点A (0,1)处的切线的斜率为________．解析：y′＝(e x)′＝e x，所以当x＝0时，y′＝e0＝1.答案：12．曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为________．解析：y′＝－3x2＋6x，∴当x＝1时，y′＝3，即斜率k＝3.所以切线方程为y－2＝3(x－1)，即3x－y－1＝0.答案：3x－y－1＝03．如果曲线y＝x4－x在点P处的切线垂直于直线y＝－13x，那么点P的坐标为________．解析：由y′＝4x3－1，当y′＝3时，有4x3－1＝3，可解得x＝1，此时，点P的坐标为(1,0)．答案：(1,0)4．(北京高考)已知函数f(x)＝x2＋x sin x＋cos x.(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．解：由f(x)＝x2＋x sin x＋cos x，得f′(x)＝x(2＋cos x)，f(x)为偶函数．(1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)．解得a＝0，b＝f(0)＝1.(2)令f′(x)＝0，得x＝0.f(x)与f′(x)的变化情况如下：所以函数f(x f(0)＝1是f(x)的最小值．当b≤1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b最多只有一个交点；当b>1时，f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－1>4b－2b－1>b，f(0)＝1<b，所以存在x 1∈(－2b,0)，x 2∈(0,2b )，使得f (x 1)＝f (x 2)＝b .由于函数f (x )在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，所以当b >1时曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，那么b 的取值范围是(1，＋∞)．[考题印证][例3] (山东高考)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －ln x (a ，b ∈R )． (1)设a ≥0，求f (x )的单调区间；(2)设a ＞0，且对任意x ＞0，f (x )≥f (1)．试比较ln a 与－2b 的大小． [解] (1)由f (x )＝ax 2＋bx －ln x ，x ∈(0，＋∞)， 得f ′(x )＝2ax 2＋bx －1x.①当a ＝0时，f ′(x )＝bx －1x. (ⅰ)若b ≤0，当x >0时，f ′(x )<0恒成立， 所以函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)．(ⅱ)若b >0，当0<x <1b时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x >1b时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1b ，单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ，＋∞.②当a >0时，令f ′(x )＝0， 得2ax 2＋bx －1＝0.由Δ＝b 2＋8a >0，得x 1＝－b － b 2＋8a4a，x 2＝－b ＋b 2＋8a 4a.当0<x <x 2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x >x 2时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．所以函数f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b ＋b 2＋8a 4a ，单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋b 2＋8a 4a ，＋∞.综上所述，当a ＝0，b ≤0时，函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)；当a ＝0，b >0时，函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1b ，单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ，＋∞；当a >0时，函数f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b ＋ b 2＋8a 4a ，单调递增区间是－b ＋ b 2＋8a4a，＋∞.(2)由题意知，函数f (x )在x ＝1处取得最小值． 由(1)知－b ＋b 2＋8a4a 是f (x )的唯一极小值点，故－b ＋b 2＋8a 4a ＝1，整理得2a ＋b ＝1即b ＝1－2a .令g (x )＝2－4x ＋ln x ， 则g ′(x )＝1－4xx.令g ′(x )＝0，得x ＝14，当0<x <14时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >14时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．因此g (x )≤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1＋ln 14＝1－ln 4<0. 故g (a )<0，即2－4a ＋ln a ＝2b ＋ln a <0， 即ln a <－2b .[跟踪演练]5．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则a 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝3ax 2－1，∵f (x )在R 上为减函数， ∴f ′(x )≤0在R 上恒成立，∴a ≤0. 答案：(－∞，0]6．函数f (x )＝3x 2－x 3的单调递减区间为________． 解析：f ′(x )＝6x －3x 2，令f ′(x )<0， 则6x －3x 2<0，即x 2－2x >0， 解之得x >2或x <0，所以该函数的单调减区间为(2，＋∞)，(－∞，0)． 答案：(2，＋∞)，(－∞，0)7．函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则a 的最大值是________． 解析：∵f ′(x )＝3x 2－a ，∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴f ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即3x 2－a ≥0，∴a ≤3x 2，∴a ≤3，即a 的最大值为3. 答案：38．(新课标全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝e x －e －x－2x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)设g (x )＝f (2x )－4bf (x )，当x >0时，g (x )>0，求b 的最大值； (3)已知1.414 2<2<1.414 3，估计ln 2的近似值(精确到0.001)．解：(1)f ′(x )＝e x＋e －x－2≥0，等号仅当x ＝0时成立．所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递增．(2)g (x )＝f (2x )－4bf (x )＝e 2x －e－2x－4b (e x －e －x)＋(8b －4)x ，g ′(x )＝2[e 2x ＋e －2x －2b (e x ＋e －x )＋(4b －2)]＝2(e x ＋e －x －2)(e x ＋e －x－2b ＋2)．(ⅰ)当b ≤2时，g ′(x )≥0，等号仅当x ＝0时成立， 所以g (x )在(－∞，＋∞)单调递增．而g (0)＝0， 所以对任意x >0，g (x )>0；(ⅱ)当b >2时，若x 满足2<e x ＋e －x <2b －2，即0<x <ln(b －1＋b 2－2b )时g ′(x )<0.而g (0)＝0，因此当0<x <ln(b －1＋b 2－2b )时，g (x )<0.综上，b 的最大值为2.(3)由(2)知，g (ln 2)＝32－22b ＋2(2b －1)ln 2.当b ＝2时，g (ln 2)＝32－42＋6ln 2>0，ln 2>82－312>0.692 8；当b ＝324＋1时，ln(b －1＋b 2－2b )＝ln 2，g (ln 2)＝－32－22＋(32＋2)ln 2<0，ln 2<18＋228<0.693 4.所以ln 2的近似值为0.693.[考题印证][例4] (广东高考)设函数f (x )＝(x －1)e x－kx 2(k ∈R )． (1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，求函数f (x )在[0，k ]上的最大值M . [解] (1)当k ＝1时，f (x )＝(x －1)e x －x 2，f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x e x －2x ＝x (e x －2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln 2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化如下表：由表可知，函数f (x )的递减区间为(0，ln 2)，递增区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)． (2)f ′(x )＝e x＋(x －1)e x－2kx ＝x e x－2kx ＝x (e x－2k )，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln (2k )，令g (k )＝ln (2k )－k ，则g ′(k )＝1k －1＝1－k k≥0，所以g (k )在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上递增，所以g (k )≤ln 2－1＝ln 2－ln e<0， 从而ln(2k )<k ，所以ln (2k )∈[0，k ]， 所以当x ∈(0，ln(2k ))时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln (2k )，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以M ＝max{f (0)，f (k )} ＝max{－1，(k －1)e k－k 3}．令h (k )＝(k －1)e k －k 3＋1，则h ′(k )＝k (e k－3k )， 令φ(k )＝e k－3k ，则φ′(k )＝e k－3≤e－3<0，所以φ(k )在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上递减， 而φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·φ(1)＝⎝⎛⎭⎪⎫e －32(e －3)<0， 所以存在x 0∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1使得φ(x 0)＝0，且当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x 0时，φ(k )>0，当k ∈(x 0,1)时，φ(k )<0，所以φ(k )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x 0上单调递增，在(x 0,1)上单调递减．因为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12 e ＋78>0，h (1)＝0，所以h (k )≥0在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上恒成立，当且仅当k ＝1时取得“＝”． 综上，函数f (x )在[0，k ]上的最大值M ＝(k －1)e k－k 3. [例5] (山东高考)设函数f (x )＝e xx2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)． (1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围． [解] (1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1x＝x e x －2e x x 3－k x －x 2＝x －x－kxx 3由k ≤0可得e x－kx >0，所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以f (x )的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)． (2)由(1)知，k ≤0时，函数f (x )在(0,2)内单调递减， 故f (x )在(0,2)内不存在极值点；当k >0时，设函数g (x )＝e x－kx ，x ∈[0，＋∞)， 因为g ′(x )＝e x－k ＝e x－e ln k，当0<k ≤1时，当x ∈(0,2)时，g ′(x )＝e x－k >0，y ＝g (x )单调递增． 故f (x )在(0,2)内不存在两个极值点；当k >1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )<0，函数y ＝g (x )单调递减．x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )>0，函数y ＝g (x )单调递增．所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )． 函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g ，g k ，g ，0<ln k <2，解得e<k <e22，综上所述，函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，e 22. [跟踪演练]9．已知函数f (x )＝x 2＋2a ln x .(1)当a ＝1时，求函数f ′(x )的最小值； (2)求函数f (x )的单调区间和极值． 解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． (1)当a ＝1时，f ′(x )＝2x ＋2x≥22x ·2x＝4，当且仅当2x ＝2x，即x ＝1时等号成立，故函数f ′(x )的最小值为4. (2)f ′(x )＝2x ＋2a x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x .①当a ≥0时，f ′(x )＞0，因此f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，这时函数无极值； ②当a ＜0时，f ′(x )＝2()x ＋－a ()x －－a x.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下：因此函数f (x )的单调递减区间是(0，－a )，单调递增区间是(－a ，＋∞)．且当x ＝－a 时，函数f (x )有极小值f (－a )＝－a ＋2a ln －a ，无极大值．10．已知函数f (x )＝(x －k )2e x k. (1)求f (x )的单调区间；(2)若对于任意的x ∈(0，＋∞)，都有f (x )≤1e ，求k 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝1k (x 2－k 2)e xk.令f ′(x )＝0，得x ＝±k .当k >0时，f (x )与f ′(x )的情况如下：所以，f (x )的单调递增区间是(－∞，－k )和(k ，＋∞)；单调递减区间是(－k ，k )． 当k <0时，f (x )与f ′(x )的情况如下：所以，f (x )的单调递减区间是(－∞，k )和(－k ，＋∞)；单调递增区间是(k ，－k )． (2)当k >0时，因为f (k ＋1)＝ek ＋1k >1e ，所以不会有∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≤1e. 当k <0时，由(1)知f (x )在(0，＋∞)上的最大值是 f (－k )＝4k2e.所以∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≤1e 等价于f (－k )＝4k 2e ≤1e .解得－12≤k <0.故当∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≤1e时，k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0.[考题印证][例6] (重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．根据题意得200πrh ＋160πr 2＝12 000π， 所以h ＝15r(300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．由h >0，且r >0可得0<r <53，故函数V (r )的定义域为(0,53)． (2)由(1)知V (r )＝π5(300r －4r 3)，故V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5 (因为r 2＝－5不在定义域内，舍去)．当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数； 当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上为减函数．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．[跟踪演练]11.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：m)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3m 3，且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c >3)千元．设该容器的建造费用为y 千元．(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r . 解：(1)设容器的容积为V ，由题意知V ＝πr 2l ＋43πr 3，又V ＝80π3，故l ＝V －43πr 3πr 2＝803r 2－43r ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r .由于l ≥2r ，因此0<r ≤2. 所以建造费用y ＝2πrl ×3＋4πr 2c ＝2πr ×43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r ×3＋4πr 2c .因此y ＝4π(c －2)r 2＋160πr，0<r ≤2.(2)由(1)得y ′＝8π(c －2)r －160πr2＝8πc －r 2⎝ ⎛⎭⎪⎫r 3－20c －2，0<r <2. 由于c >3，所以c －2>0， 当r 3－20c －2＝0时，r ＝320c －2.令320c －2＝m ，则m >0， 所以y ′＝8πc －r 2(r －m )(r 2＋rm ＋m 2)．①若0<m <2，即c >92，则当r ＝m 时，y ′＝0；当r ∈(0，m )时，y ′<0； 当r ∈(m,2)时，y ′>0，所以r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点． ②若m ≥2，即3<c ≤92，则当r ∈(0,2)时，y ′<0，函数单调递减， 所以r ＝2是函数y 的最小值点．综上所述，当3<c ≤92时，建造费用最小时r ＝2；当c >92时，建造费用最小时r ＝ 320c －2.[考题印证][例7] (陕西高考)观察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为__________________________________________________． [解析] 观察规律可知，第n 个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n n ＋2.[答案] 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n n ＋2[例8] 回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99；3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n ＋1(n ∈N *)位回文数有________个．[解析] 2位回文数有9个，4位回文数有9×10＝90个，3位回文数有90个，5位回文数有9×10×10＝100×9个，依次类推可得2n ＋1位有9×10n个．[答案] 90 9×10n[跟踪演练]12．下面的数组均由三个数组成：(1,2,3)，(2,4,6)，(3,8,11)，(4,16,20)，(5,32,37)，…，(a n ，b n ，c n )．(1)请写出c n 的一个表达式，c n ＝________；(2)若数列{c n }的前n 项和为M n ，则M 10＝______.(用数字作答) 解析：(1)通过观察归纳，得a n ＝n ，b n ＝2n，c n ＝a n ＋b n ＝n ＋2n.(2)M 10＝(1＋2＋…＋10)＋(2＋22＋…＋210)＝2 101. 答案：n ＋2n2 10113．先阅读下面的文字：“求1＋1＋1＋…的值时，采用了如下的方法：令1＋1＋1＋…＝x ，则有x ＝1＋x ，两边同时平方，得1＋x ＝x 2，解得x ＝1＋52(负值已舍去)”．可以用类比的方法，求得1＋12＋11＋12＋…的值为________．解析：由1＋12＋11＋12＋…＝1＋12＋1x ，得2x 2－2x －1＝0，于是x ＝1＋32(负值已舍去)，故所求值为1＋32.答案：1＋32[考题印证][例9] 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： (1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；(2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； (3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； (4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； (5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． [解] (1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 法二：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos (30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋－2α2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.[跟踪演练]14．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，且f (1)＝－a2，3a >2c >2b .求证：a >0，且－3<b a <－34.证明：f (1)＝a ＋b ＋c ＝－a2，即3a ＋2b ＋2c ＝0.又3a >2c >2b ，所以3a >0,2b <0，则a >0，b <0. 又2c ＝－3a －2b,3a >2c >2b ，所以3a >－3a －2b >2b .可得－3a <b <－34a .因为a >0，所以－3<b a <－34.15．(陕西高考)设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数．(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N *，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N *，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明． 解：由题设得，g (x )＝x1＋x (x ≥0)．(1)由已知，g 1(x )＝x1＋x，g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x1＋x 1＋x1＋x＝x1＋2x， g 3(x )＝x1＋3x，…，可得g n (x )＝x1＋nx. 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g 1(x )＝x1＋x ，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x1＋kx .那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k x 1＋g k x ＝x1＋kx 1＋x 1＋kx＝x 1＋k ＋x，即结论成立．由①②可知， 结论对n ∈N ＋成立． 所以g n (x )＝x1＋nx.(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax1＋x 恒成立．设φ(x )＝ln(1＋x )－ax 1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x－a＋x2＝x ＋1－a＋x2， 当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)， ∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0， ∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立(仅当x ＝0时等号成立)． 当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )<0，∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0，即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0，故知ln(1＋x )≥ax1＋x不恒成立．综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋nn ＋1，n －f (n )＝n －ln(n ＋1)，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)． 证明如下：证法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x ，x >0.令x ＝1n ，n ∈N ＋，则1n ＋1<ln n ＋1n .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立．②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)．那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k ＋2)， 即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．证法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x ，x >0.令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，……ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1， 上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证．证法三：如图，⎠⎛0n x x ＋1d x 是由曲线y ＝xx ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋nn ＋1是图中所示各矩形的面积和， ∴12＋23＋…＋n n ＋1>⎠⎛0n x x ＋1d x ＝⎠⎛0n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ＋1d x ＝n －ln (n ＋1)，结论得证．[考题印证][例10] (山东高考改编)复数z 满足(z －3)(2－i )＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z ＝________________.[解析] 由(z －3)(2－i )＝5， 得z ＝3＋52－i ＝3＋＋i －i＋i＝3＋2＋i ＝5＋i ，所以z ＝5－i . [答案] 5－i[例11] (上海高考)设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________.[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝1，m ≠±1.∴m ＝－2. [答案] －2[跟踪演练]16．(安徽高考改编)设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则zi＋i·z ＝________.解析：z i ＋i·z ＝1＋i i＋i(1－i)＝－i ＋1＋i ＋1＝2.答案：217．(湖南高考)复数3＋ii 2( i 为虚数单位)的实部等于________．解析：直接运算得3＋ii 2＝－(3＋i)＝－3－i ，故实部为－3.答案：－318．复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应点位于第________象限． 解析：z ＝i(1＋i)＝－1＋i ，在复平面上对应点的坐标为(－1,1)，其在第二象限． 答案：二19．设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：复数1＋a i2－i＝＋a ＋－＋＝2－a ＋a ＋5，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＝0，2a ＋1≠0，所以a ＝2.答案：2模块综合检测 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测四 见8开试卷一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．(四川高考)复数2－2i1＋i ＝________.解析：2－2i 1＋i ＝－2＋－＝(1－i)2＝－2i.答案：－2i2．函数y ＝11－cos x 的导数是________．解析：y ′＝－cos x －－cos x－cos x 2＝－sin x －cos x2.答案：y ′＝－sin x －cos x23．已知函数f (x )＝x e x＋c 有两个零点，则c 的取值范围是________．解析：∵f ′(x )＝e x(x ＋1)，∴易知f (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，且f (x )min ＝f (－1)＝c －e －1，由题意得c －e －1＜0，得c ＜e －1.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1e 4．用反证法证明命题“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a 、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为________________．解析：“a ，b 中至少有一个能被5整除”的否定是“a 、b 都不能被5整除”． 答案：a ，b 都不能被5整除5．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)时，从“k 到k ＋1”左边需乘的代数式是________．解析：当n ＝k 时，左边＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋1＋k ＋1)，∴增加了k ＋k ＋k ＋1＝2(2k ＋1)．答案：2(2k ＋1)6．已知定义在R 上的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，满足f (x )＜f ′(x )，且f (0)＝2，则不等式f xex＞2的解集为________．解析：令g (x )＝f xex，∴g ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫f x e x ′＝f x －f xex＞0，∴g (x )为增函数． 由f xex＞2得f xex＞fe，所以g (x )＞g (0)， ∴x ＞0. 答案：(0，＋∞)7．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________.解析：∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ， ∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R .z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i. 答案：4＋2i8．函数y ＝sin 2x 的图象在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，14处的切线的斜率是________．解析：y ′＝(sin 2x )′＝sin 2x ，∴函数y ＝sin 2x 的图象在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，14处的切线的斜率k ＝sin π3＝32.答案：329．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 014个梯形数为a 2 014 ，则a 2 014 ＝________.解析：5＝2＋3＝a 1,9＝2＋3＋4＝a 2,14＝2＋3＋4＋5＝a 3，…，a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝n ＋＋n ＋2＝12×(n ＋1)(n ＋4)，由此可得a 2 014＝2＋3＋4＋…＋2 016＝12×2 015×2 018＝2 015×1 009.答案：2 015×1 00910．复数z 1与z 2在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，|z 1|＝2，则z 1＝________.解析：设z 1＝a ＋b i ，则z 2＝－a ＋b i ， ∵z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，且|z 1|＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b－＝－a ＋b ＋，a 2＋b 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，∴z 1＝1－i 或z 1＝－1＋i.答案：1－i 或－1＋i11．对于等差数列{a n }有如下命题：“若{a n }是等差数列，a 1＝0，s 、t 是互不相等的正整数，则有(s －1)a t －(t －1)a s ＝0”．类比此命题，给出等比数列{b n }相应的一个正确命题是：____________________________________.答案：若{b n }是等比数列，b 1＝1，s ，t 是互不相等的正整数，则有b s －1tt t －1s＝112．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值为________，极小值为________．解析：f ′(x )＝3x 2－2px －q ，f ′(1)＝3－2p －q ＝0， 即2p ＋q ＝3. ①因f (x )过(1,0)点，所以1－p －q ＝0，即p ＋q ＝1.② 由①②，得p ＝2，q ＝－1， 即f (x )＝x 3－2x 2＋x .f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.令3x 2－4x ＋1＝0，解得x 1＝13，x 2＝1.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝13时，f (x )取得极大值427；当x ＝1时，f (x )取得极小值0. 答案：42713．类比平面几何中的定理：△ABC 中，若DE 是△ABC 的中位线，则有S △ADE ∶S △ABC ＝1∶4；若三棱锥A －BCD 有中截面EFG ∥平面BCD ，则截得三棱锥的体积与原三棱锥体积之间的关系式为________．解析：平面几何中的面积类比空间几何体中的体积， ∴V A －EFG ∶V A －BCD ＝1∶8. 答案：V A －EFG ∶V A －BCD ＝1∶814．(辽宁高考)正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1,1)，D (－1,1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．解析：由几何概型的概率计算公式可知，所求概率P ＝S 阴影S 正方形＝2⎠⎛1－1－x2d x 22＝834＝23. 答案：23二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)设复数z 满足|z|＝1，且(3＋4i )z 是纯虚数，求z . 解：设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，由|z |＝1得a 2＋b 2＝1，(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝3a －4b ＋(4a ＋3b )i 是纯虚数，则3a －4b ＝0,4a ＋3b ≠0，∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＝1，3a －4b ＝0，4a ＋3b ≠0解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝35或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－45，b ＝－35.∴z ＝45－35i 或－45＋35i.16．(本小题满分14分)设函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c (a ≠0)为奇函数，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线x －6y －7＝0垂直，导函数f ′(x )的最小值为－12.(1)求a ，b ，c 的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间，并求函数f (x )在[－1,3]上的最大值和最小值． 解：(1)∵f (x )为奇函数， ∴f (0)＝0，∴c ＝0. 则f (x )＝ax 3＋bx .∵f ′(x )＝3ax 2＋b 的最小值为－12，∴a ＞0，b ＝－12，又直线x －6y －7＝0的斜率为16，∴f ′(1)＝3a ＋b ＝－6，解得a ＝2. ∴a ＝2，b ＝－12，c ＝0. (2)由(1)知f (x )＝2x 3－12x .f ′(x )＝6x 2－12＝6(x ＋2)(x －2)，令f ′(x )＝0得，x 1＝－2，x 2＝2，列表如下：∴函数f (x )的单调增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)． ∵f (－1)＝10，f (2)＝－82，f (3)＝18， ∴f (x )在[－1,3]上的最大值是18，最小值是－8 2.17．(本小题满分14分)(浙江高考)已知a ∈R ，函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax . (1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)若|a |>1，求f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2x 3－6x 2＋6x ， 则f ′(x )＝6x 2－12x ＋6，所以f ′(2)＝6. 又因为f (2)＝4，所以切线方程为y ＝6x －8. (2)记g (a )为f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值．f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )．令f ′(x )＝0，得到x 1＝1，x 2＝a . 当a >1时， 列表：g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1<a ≤3，a 2－a ，a >3.当a <－1时， 列表：得g (a )综上所述，f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值为 g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1，a <－1，0，1<a ≤3，a 2－a ，a >3.18．(本小题满分14分)已知数列8·112·32，8·232·52，…，8·nn －2n ＋2，…，S n 为该数列的前n 项和，计算得S 1＝89，S 2＝2425，S 3＝4849，S 4＝8081.观察上述结果，推测出S n (n ∈N *)，并用数学归纳法加以证明． 解：推测S n ＝n ＋2－1n ＋2(n ∈N *)． 用数学归纳法证明如下： (1)当n ＝1时，S 1＝＋2－1＋2＝89，等式成立；(2)假设当n ＝k 时等式成立， 即S k ＝k ＋2－1k ＋2，那么当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝S k ＋k ＋k ＋2k ＋2＝k ＋2－1k ＋2＋k ＋k ＋2k ＋2＝k ＋2－k ＋2＋k ＋k ＋2k ＋2＝k ＋2k ＋2－k ＋2＋k ＋k ＋2k ＋2＝k ＋2k ＋2－k ＋2k ＋2k ＋2＝k ＋2－1k ＋2＝k ＋＋1]2－1k ＋＋1]2.也就是说，当n ＝k ＋1时，等式成立．根据(1)和(2)，可知对一切n ∈N *，等式均成立．19．(本小题满分16分)(安徽高考)设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1<x 2.所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)．当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增． (2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0. ①当a ≥4时，x 2≥1.由(1)知，f (x )在[0,1]上单调递增．所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值． ②当0<a <4时，x 2<1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2,1]上单调递减． 所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值； 当a ＝1时，f (x )在x ＝0处和x ＝1处同时取得最小值；当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值． 20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ln x .(1)若直线y ＝x ＋m 与函数f (x )的图象相切，求实数m 的值． (2)证明曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x －1x有唯一的公共点；(3)设0＜a <b ，比较f b －f a2与b －ab ＋a的大小，并说明理由． 解：(1)f ′(x )＝1x，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝1x 0＝1，∴x 0＝1，y 0＝ln x 0＝ln 1＝0， 代入y ＝x ＋m ，得m ＝－1.(2)令h (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝ln x －x ＋1x.则h ′(x )＝1x－1－1x2＝－x 2＋x －1x2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－34x2＜0， ∴h (x )在(0，＋∞)内单调递减． 又h (1)＝ln 1－1＋1＝0， ∴x ＝1是函数h (x )唯一的零点， 故点(1,0)是两曲线唯一的公共点．(3)fb －f a b －a ＝ln b －ln ab －a ＝lnba b －a，要比较ln ba b －a 与2a ＋b 的大小．∵b －a ＞0， ∴只要比较ln b a 与b －aa ＋b的大小．∵ln b a－b －a b ＋a ＝ln b a －2⎝ ⎛⎭⎪⎫ba －1ba＋1，构造函数φ(x )＝ln x －x －x ＋1，(x ＞1)，则φ′(x )＝1x－4x ＋2＝x －2x x ＋2，显然φ′(x )＞0，∴φ(x )在(1，＋∞)内单调递增． 又当x ＝1时，φ(1)＝0， ∴当x ＞1时，φ(x )＞0， 即ln x －x －x ＋1＞0.则有ln b a ＞b －a b ＋a 成立，即ln b －ln a b －a ＞2a ＋b成立．即得f b －f a b －a ＞2a ＋b.∴f b －f a2＞b －ab ＋a.。

2.1 随机变量及其概率分布学习目标核心素养1.了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列刻画随机现象的重要性，会求某些简单离散型随机变量的分布列．(重点、难点)2．掌握离散型随机变量分布列的性质，掌握两点分布的特征．(重点)1.通过对离散型随机变量的学习，提升数学抽象素养．2．借助随机变量的分布列，提升逻辑推理素养.1．随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．通常用大写拉丁字母X，Y，Z(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示．思考1：随机变量是自变量吗？[提示] 不是，它是随试验结果变化而变化的，不是主动变化的．思考2：离散型随机变量的取值必须是有限个吗？[提示] 不一定．离散型随机变量的取值可以一一列举出来，所取值可以是有限个，也可以是无限个．2．概率分布列假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，x n，且P(X＝x i)＝p i，i＝1,2，…，n，①则称①为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．称表X x1x2…x nP p1p2…p np i(i ＝1,2，…，n)满足条件：①p i≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋p n＝1.思考3：在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数吗？[提示] 错误．每一个可能值对应的概率为[0,1]中的实数．思考4：离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1吗？[提示] 不可以．由离散型随机变量的含义与分布列的性质可知不可以．思考5：离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的吗？[提示] 是．离散型随机变量的各个可能值表示的事件不会同时发生，是彼此互斥的．3．两点分布如果随机变量X的分布表为X 10P p q其中0<p<1，q＝1－p，这一类分布称为0­1分布或两点分布，并记为X～0­1分布或X～两点分布．1．掷均匀硬币一次，随机变量为( )A．掷硬币的次数B．出现正面向上的次数C．出现正面向上的次数或反面向上的次数D．出现正面向上的次数与反面向上的次数之和B[掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1.A项中，掷硬币的次数就是1，不是随机变量；C项中的标准模糊不清；D项中，出现正面向上的次数和反面向上的次数的概率的和必是1，对应的是必然事件，所以不是随机变量．] 2．设离散型随机变量ξ的分布列如下：ξ－1012 3P 0.100.200.100.200.40 Pξ0．40 [P(ξ<1.5)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝0.10＋0.20＋0.10＝0.40.] 3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述一次试验成功与否(记X＝0为试验失败，记X＝1为试验成功)，则P(X＝0)等于________．1 3[设试验失败的概率为p，则2p＋p＝1，∴p＝13.]随机变量的概念【例1】(1)国际机场候机厅中2019年5月1日的旅客数量；(2)2019年1月1日至5月1日期间所查酒驾的人数；(3)2019年6月1日某某到的某次列车到站的时间；(4)体积为1 000 cm3的球的半径长．[思路探究] 利用随机变量的定义判断．[解] (1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(3)列车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．随机变量的辨析方法(1)随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．(2)随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．1．(1)下列变量中，是随机变量的是________．(填上所有正确的序号)①某人掷硬币1次，正面向上的次数；②某音乐歌曲《小苹果》每天被点播的次数；③标准大气压下冰水混合物的温度；④你每天早晨起床的时间．(2)一个口袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X，则X的可能取值构成集合________．事件{X＝k}表示取出________个红球，________个白球，k＝0,1,2,3,4.(1)①②④(2){0,1,2,3,4} k4－k[(1)①②④中每个事件的发生是随机的，具有可变性，故①②④是随机变量；标准大气压下冰水混合物的温度为0 ℃，是必然的，不具有随机性．(2)由题意可知，X的可能取值为0,1,2,3,4.{X＝k}表示取出的4个球中含k个红球，4－k个白球．]随机变量的分布列及应用【例2】ξ表示取出的3只球中的最大，写出随机变量ξ的概率分布．[思路探究] 由本例中的取球方式可知，随机变量ξ与球的顺序无关，其中球上的最大只有可能是3,4,5，可以利用组合的方法计算其概率．[解] 随机变量ξ的可能取值为3,4,5.当ξ＝3时，即取出的三只球中最大为3，则其他两只球的编号只能是1,2，故有P(ξ＝3)＝C22C35＝110；当ξ＝4时，即取出的三只球中最大为4，则其他两只球只能在编号为1,2,3的3只球中取2只，故有P(ξ＝4)＝C23C35＝310；当ξ＝5时，即取出的三只球中最大为5，则其他两只球只能在编号为1,2,3,4的4只球中取2只，故有P(ξ＝5)＝C24C35＝610＝35.因此，ξ的分布列为ξ34 5P11031035利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：(1)X的各个取值表示的事件是互斥的．(2)不仅要注意∑i＝1np i＝1，而且要注意p i≥0，i＝1,2，…，n.2．设随机变量ξ的概率分布为P⎝⎛⎭⎪⎫ξ＝k5＝ak(k＝1,2,3,4,5)．求：(1)常数a的值；(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ≥35； (3)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＜ξ<710.[解] 题目所给的ξ的概率分布表为ξ 15 25 35 45 55 Pa2a3a4a5a(1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝15.(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝45＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝55＝315＋415＋515＝45或P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ≥35＝1－P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ≤25＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫115＋215＝45.(3)因为110<ξ<710，所以ξ＝15，25，35.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<ξ<710＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝35＝a ＋2a ＋3a ＝6a ＝6×115＝25.随机变量的可能取值及试验结果[1．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？[提示] 可以．用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．2．在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为X ，则X 可取哪些数字？ [提示] X ＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.3．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为ξ，则“ξ≥4”表示的随机事件是什么？[提示] “ξ≥4”表示出现的点数为4点，5点，6点．【例3】 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)从标有1,2,3,4,5,6的6X卡片中任取2X，所取卡片上的数字之和．[思路探究] 分析题意→写出X可能取的值→分别写出取值所表示的结果[解] (1)设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1,2， (11)(2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3,4,5， (11)X＝3，表示“取出标有1,2的两X卡片”；X＝4，表示“取出标有1,3的两X卡片”；X＝5，表示“取出标有2,3或标有1,4的两X卡片”；X＝6，表示“取出标有2,4或1,5的两X卡片”；X＝7，表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两X卡片”；X＝8，表示“取出标有2,6或3,5的两X卡片”；X＝9，表示“取出标有3,6或4,5的两X卡片”；X＝10，表示“取出标有4,6的两X卡片”；X＝11，表示“取出标有5,6的两X卡片”．用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果．(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．3．写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)在2018年大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；(2)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示．[解] (1)X可能取值0,1,2,3,4,5，X＝i表示面试通过的有i人，其中i＝0,1,2,3,4,5.(2)ξ可能取值为0,1，当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标．1．本节课重点是随机变量的概念及随机变量的分布列及其性质，以及两点分布，难点是随机变量的取值及概率．2．判断一个试验是否为随机试验，依据是这个试验是否满足以下三个条件：(1)试验在相同条件下是否可以重复；(2)试验的所有可能结果是否是明确的，并且试验的结果不止一个；(3)每次试验的结果恰好是一个，而且在一次试验前无法预知出现哪个结果．3．本节课的易错点：在利用分布列的性质解题时要注意：①X＝xi的各个取值所表示的事件是互斥的；②不仅要注意i＝1np i＝1，而且要注意0≤p i≤1，i＝1,2，…，n.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( )(2)在概率分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( )(3)概率分布列中每个随机变量的取值对应的概率都相等．( )(4)在概率分布列中，所有概率之和为1.( )[解析] (1)√因为随机变量的每一个取值，均代表一个试验结果，试验结果有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个．(2)×因为在概率分布列中每一个可能值对应随机事件的概率均在[0,1]X围内．(3)×因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件．(4)√由分布列的性质可知，该说法正确．[答案] (1)√(2)×(3)×(4)√2．下列叙述中，是随机变量的为( )A．某人早晨在车站等出租车的时间B．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度C．射击十次，命中目标的次数D ．袋中有2个黑球，6个红球，任取2个，取得1个红球的可能性 C [根据随机变量的含义可知，选C.] 3．随机变量η的分布列如下：则x 0 0.55 [由分布列的性质得 0．2＋x ＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x ＝0.故P (η≤3)＝P (η＝1)＋P (η＝2)＋P (η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55.] 4．袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量X 为此时已摸球的次数，求随机变量X 的概率分布列．[解] 随机变量X 可取的值为2,3,4， P (X ＝2)＝C 12C 13C 12C 15C 14＝35；P (X ＝3)＝A 22C 13＋A 23C 12C 15C 14C 13＝310；P (X ＝4)＝A 33C 12C 15C 14C 13C 12＝110；所以随机变量X 的概率分布列为：。

组 合 ： ：【学习目标】1．理解组合的概念．2．能利用计数原理推导组合数公式． 3．能解决简单的实际问题．4．理解组合与排列之间的联系与区别． 【要点梳理】 要点一：组合 1.定义：一般地，从n 个不同元素中取出m （m n ≤）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合． 要点诠释：① 从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关．排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别．② 如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合.因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或未被取到.要点二：组合数及其公式 1.组合数的定义：从n 个不同元素中取出m （n m ≤）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．记作mn C ． 要点诠释：“组合”与“组合数”是两个不同的概念：一个组合是指“从n 个不同的元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有组合的个数”，它是一个数． 例如，从3个不同元素a ，b ，c 中取出2个元素的组合为ab ，ac ，bc ，其中每一种都叫做一个组合，而数字3就是组合数． 2．组合数的公式及推导求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数mn A ，可以按以下两步来考虑： 第一步，先求出从这n 个不同元素中取出m 个元素的组合数mn C ； 第二步，求每一个组合中m 个元素的全排列数mm A ．根据分步计数原理，得到m m mn n m A C A =⋅．因此这里n ，m ∈N +，且m ≤n ，这个公式叫做组合数公式．因为!()!mn n A n m =-，所以组合数公式还可表示为：!!()!mn n C m n m =-．要点诠释：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题。

高考七大高频考点例析[对应学生用书P64][解析] 由y ＝e－5x＋2⇒y ′＝－5e－5x⇒切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，于是切线方程为y －3＝－5(x －0)⇒5x ＋y －3＝0.[答案] 5x ＋y －3＝0[例2] 曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为__________________． [解析] ∵y ＝x (3ln x ＋1)， ∴y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x＝3ln x ＋4，∴k ＝y ′|x ＝1＝4，∴所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3. [答案] y ＝4x －31．曲线y ＝e x在点A (0,1)处的切线的斜率为________． 解析：y ′＝(e x )′＝e x， 所以当x ＝0时，y ′＝e 0＝1. 答案：12．曲线y ＝－x 3＋3x 2在点(1,2)处的切线方程为________． 解析：y ′＝－3x 2＋6x ，∴当x ＝1时，y ′＝3， 即斜率k ＝3.所以切线方程为y －2＝3(x －1)，即3x －y －1＝0.答案：3x－y－1＝03．如果曲线y＝x4－x在点P处的切线垂直于直线y＝－13x，那么点P的坐标为________．解析：由y′＝4x3－1，当y′＝3时，有4x3－1＝3，可解得x＝1，此时，点P的坐标为(1,0)．答案：(1,0)4．(北京高考)已知函数f(x)＝x2＋x sin x＋cos x.(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．解：由f(x)＝x2＋x sin x＋cos x，得f′(x)＝x(2＋cos x)，f(x)为偶函数．(1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)．解得a＝0，b＝f(0)＝1.(2)令f′(x)＝0，得x＝0.f(x)与f′(x)的变化情况如下：所以函数f(x f(0)＝1是f(x)的最小值．当b≤1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b最多只有一个交点；当b>1时，f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－1>4b－2b－1>b，f(0)＝1<b，所以存在x1∈(－2b,0)，x2∈(0,2b)，使得f(x1)＝f(x2)＝b.由于函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，所以当b>1时曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞)．(1)设a ≥0，求f (x )的单调区间；(2)设a ＞0，且对任意x ＞0，f (x )≥f (1)．试比较ln a 与－2b 的大小． [解] (1)由f (x )＝ax 2＋bx －ln x ，x ∈(0，＋∞)， 得f ′(x )＝2ax 2＋bx －1x.①当a ＝0时，f ′(x )＝bx －1x. (ⅰ)若b ≤0，当x >0时，f ′(x )<0恒成立， 所以函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)．(ⅱ)若b >0，当0<x <1b时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x >1b时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1b ，单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ，＋∞.②当a >0时，令f ′(x )＝0， 得2ax 2＋bx －1＝0.由Δ＝b 2＋8a >0，得x 1＝－b － b 2＋8a4a，x 2＝－b ＋b 2＋8a 4a.当0<x <x 2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x >x 2时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．所以函数f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b ＋b 2＋8a 4a ，单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋b 2＋8a 4a ，＋∞.综上所述，当a ＝0，b ≤0时，函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)；当a ＝0，b >0时，函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1b ，单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ，＋∞；当a >0时，函数f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b ＋ b 2＋8a 4a ，单调递增区间是－b ＋ b 2＋8a4a，＋∞.(2)由题意知，函数f (x )在x ＝1处取得最小值． 由(1)知－b ＋b 2＋8a4a 是f (x )的唯一极小值点，故－b ＋b 2＋8a 4a ＝1，整理得2a ＋b ＝1即b ＝1－2a .令g (x )＝2－4x ＋ln x ， 则g ′(x )＝1－4xx.令g ′(x )＝0，得x ＝14，当0<x <14时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >14时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．因此g (x )≤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1＋ln 14＝1－ln 4<0. 故g (a )<0，即2－4a ＋ln a ＝2b ＋ln a <0， 即ln a <－2b .5．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则a 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝3ax 2－1，∵f (x )在R 上为减函数， ∴f ′(x )≤0在R 上恒成立，∴a ≤0. 答案：(－∞，0]6．函数f (x )＝3x 2－x 3的单调递减区间为________． 解析：f ′(x )＝6x －3x 2，令f ′(x )<0， 则6x －3x 2<0，即x 2－2x >0， 解之得x >2或x <0，所以该函数的单调减区间为(2，＋∞)，(－∞，0)． 答案：(2，＋∞)，(－∞，0)7．函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则a 的最大值是________． 解析：∵f ′(x )＝3x 2－a ，∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴f ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即3x 2－a ≥0，∴a ≤3x 2，∴a ≤3，即a 的最大值为3. 答案：38．(新课标全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝e x －e －x－2x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)设g (x )＝f (2x )－4bf (x )，当x >0时，g (x )>0，求b 的最大值； (3)已知1.414 2<2<1.414 3，估计ln 2的近似值(精确到0.001)．解：(1)f ′(x )＝e x ＋e －x－2≥0，等号仅当x ＝0时成立．所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递增．(2)g (x )＝f (2x )－4bf (x )＝e 2x－e－2x－4b (e x －e －x)＋(8b －4)x ，g ′(x )＝2[e 2x ＋e －2x －2b (e x ＋e －x )＋(4b －2)]＝2(e x ＋e －x －2)(e x ＋e －x－2b ＋2)．(ⅰ)当b ≤2时，g ′(x )≥0，等号仅当x ＝0时成立， 所以g (x )在(－∞，＋∞)单调递增．而g (0)＝0， 所以对任意x >0，g (x )>0；(ⅱ)当b >2时，若x 满足2<e x ＋e －x <2b －2，即0<x <ln(b －1＋b 2－2b )时g ′(x )<0.而g (0)＝0，因此当0<x <ln(b －1＋b 2－2b )时，g (x )<0.综上，b 的最大值为2.(3)由(2)知，g (ln 2)＝32－22b ＋2(2b －1)ln 2.当b ＝2时，g (ln 2)＝32－42＋6ln 2>0，ln 2>82－312>0.692 8；当b ＝324＋1时，ln(b －1＋b 2－2b )＝ln 2，g (ln 2)＝－32－22＋(32＋2)ln 2<0，ln 2<18＋228<0.693 4.所以ln 2的近似值为0.693.(1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，求函数f (x )在[0，k ]上的最大值M . [解] (1)当k ＝1时，f (x )＝(x －1)e x －x 2，f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x e x －2x ＝x (e x －2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln 2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化如下表：(2)f ′(x )＝e x＋(x －1)e x－2kx ＝x e x－2kx ＝x (e x－2k )，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln (2k )，令g (k )＝ln (2k )－k ，则g ′(k )＝1k －1＝1－kk≥0，所以g (k )在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上递增，所以g (k )≤ln 2－1＝ln 2－ln e<0， 从而ln(2k )<k ，所以ln (2k )∈[0，k ]， 所以当x ∈(0，ln(2k ))时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln (2k )，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以M ＝max{f (0)，f (k )} ＝max{－1，(k －1)e k －k 3}．令h (k )＝(k －1)e k－k 3＋1，则h ′(k )＝k (e k－3k )， 令φ(k )＝e k－3k ，则φ′(k )＝e k－3≤e－3<0，所以φ(k )在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上递减， 而φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·φ(1)＝⎝⎛⎭⎪⎫e －32(e －3)<0， 所以存在x 0∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1使得φ(x 0)＝0，且当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x 0时，φ(k )>0，当k ∈(x 0,1)时，φ(k )<0，所以φ(k )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x 0上单调递增，在(x 0,1)上单调递减．因为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12 e ＋78>0，h (1)＝0，所以h (k )≥0在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上恒成立，当且仅当k ＝1时取得“＝”． 综上，函数f (x )在[0，k ]上的最大值M ＝(k －1)e k－k 3. [例5] (山东高考)设函数f (x )＝e xx2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)． (1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围． [解] (1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1x＝x e x －2e x x 3－k x －2x 2＝x －2e x－kx x 3由k ≤0可得e x－kx >0，所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以f (x )的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)． (2)由(1)知，k ≤0时，函数f (x )在(0,2)内单调递减， 故f (x )在(0,2)内不存在极值点；当k >0时，设函数g (x )＝e x－kx ，x ∈[0，＋∞)， 因为g ′(x )＝e x－k ＝e x－e ln k，当0<k ≤1时，当x ∈(0,2)时，g ′(x )＝e x－k >0，y ＝g (x )单调递增． 故f (x )在(0,2)内不存在两个极值点；当k >1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )<0，函数y ＝g (x )单调递减．x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )>0，函数y ＝g (x )单调递增．所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )． 函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g 0>0，g ln k <0，g 2>0，0<ln k <2，解得e<k <e22，综上所述，函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，e 22. 9．已知函数f (x )＝x 2＋2a ln x .(1)当a ＝1时，求函数f ′(x )的最小值； (2)求函数f (x )的单调区间和极值． 解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． (1)当a ＝1时，f ′(x )＝2x ＋2x≥22x ·2x＝4，当且仅当2x ＝2x，即x ＝1时等号成立，故函数f ′(x )的最小值为4.(2)f ′(x )＝2x ＋2a x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x .①当a ≥0时，f ′(x )＞0，因此f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，这时函数无极值； ②当a ＜0时，f ′(x )＝2()x ＋－a ()x －－a x.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下：x ＝－a 时，函数f (x )有极小值f (－a )＝－a ＋2a ln －a ，无极大值．10．已知函数f (x )＝(x －k )2e x k. (1)求f (x )的单调区间；(2)若对于任意的x ∈(0，＋∞)，都有f (x )≤1e ，求k 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝1k (x 2－k 2)e xk.令f ′(x )＝0，得x ＝±k .当k >0时，f (x )与f ′(x )的情况如下：． 当k <0时，f (x )与f ′(x )的情况如下：． (2)当k >0时，因为f (k ＋1)＝ek ＋1k >1e ，所以不会有∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≤1e. 当k <0时，由(1)知f (x )在(0，＋∞)上的最大值是f (－k )＝4k2e.所以∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≤1e 等价于f (－k )＝4k 2e ≤1e .解得－12≤k <0.故当∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≤1e时，k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0.底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．根据题意得200πrh ＋160πr 2＝12 000π， 所以h ＝15r(300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．由h >0，且r >0可得0<r <53，故函数V (r )的定义域为(0,53)． (2)由(1)知V (r )＝π5(300r －4r 3)，故V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5 (因为r 2＝－5不在定义域内，舍去)．当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数； 当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上为减函数．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．11.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：m)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3m 3，且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c >3)千元．设该容器的建造费用为y 千元．(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r . 解：(1)设容器的容积为V ，由题意知V ＝πr 2l ＋43πr 3，又V ＝80π3，故l ＝V －43πr 3πr 2＝803r 2－43r ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r . 由于l ≥2r ，因此0<r ≤2. 所以建造费用y ＝2πrl ×3＋4πr 2c ＝2πr ×43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r ×3＋4πr 2c .因此y ＝4π(c －2)r 2＋160πr，0<r ≤2.(2)由(1)得y ′＝8π(c －2)r －160πr2＝8πc －2r 2⎝ ⎛⎭⎪⎫r 3－20c －2，0<r <2.由于c >3，所以c －2>0， 当r 3－20c －2＝0时，r ＝320c －2.令320c －2＝m ，则m >0， 所以y ′＝8πc －2r2(r －m )(r 2＋rm ＋m 2)． ①若0<m <2，即c >92，则当r ＝m 时，y ′＝0；当r ∈(0，m )时，y ′<0； 当r ∈(m,2)时，y ′>0，所以r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点． ②若m ≥2，即3<c ≤92，则当r ∈(0,2)时，y ′<0，函数单调递减， 所以r ＝2是函数y 的最小值点．综上所述，当3<c ≤92时，建造费用最小时r ＝2；当c >92时，建造费用最小时r ＝ 320c －2.合情推理与演绎推理考查方式 归纳推理、类比推理、演绎推理等问题是高考的热点，归纳、类比推理大多数出现在填空题中，为中低档题，突出了“小而巧”，主要考查类比、归纳推理能力；演绎推理大多数出现在解答题中，为中高档题目，在知识的交汇点处命题，考查学生分析问题、解决问题以及逻辑推理能力．备考指对本部分知识的学习，要注意做好以下两点：一要熟悉归纳推理、类比推理、演绎推理的一般原理、步骤、格式，搞清合情推理与演绎推理的联系与区别；二要把握归纳推理、类比推理、演绎推理的基本应用，在给定的条件下，能够运用归纳推理、要类比推理获得新的一般结论，能够运用演绎推理对数学问题进行严格的证明. [例7] (陕西高考)观察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为__________________________________________________． [解析] 观察规律可知，第n 个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n n ＋12.[答案] 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n n ＋12[例8] 回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99；3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n ＋1(n ∈N *)位回文数有________个．[解析] 2位回文数有9个，4位回文数有9×10＝90个，3位回文数有90个，5位回文数有9×10×10＝100×9个，依次类推可得2n ＋1位有9×10n个．[答案] 90 9×10n12．下面的数组均由三个数组成：(1,2,3)，(2,4,6)，(3,8,11)，(4,16,20)，(5,32,37)，…，(a n ，b n ，c n )．(1)请写出c n 的一个表达式，c n ＝________；(2)若数列{c n }的前n 项和为M n ，则M 10＝______.(用数字作答) 解析：(1)通过观察归纳，得a n ＝n ，b n ＝2n ，c n ＝a n ＋b n ＝n ＋2n. (2)M 10＝(1＋2＋…＋10)＋(2＋22＋…＋210)＝2 101. 答案：n ＋2n2 10113．先阅读下面的文字：“求1＋1＋1＋…的值时，采用了如下的方法：令1＋1＋1＋…＝x ，则有x ＝1＋x ，两边同时平方，得1＋x ＝x 2，解得x ＝1＋52(负值已舍去)”．可以用类比的方法，求得1＋12＋11＋12＋…的值为________．解析：由1＋12＋11＋12＋…＝1＋12＋1x ，得2x 2－2x －1＝0，于是x ＝1＋32(负值已舍去)，故所求值为1＋32.答案：1＋32[例 (1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； (2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； (3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； (4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； (5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． [解] (1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 法二：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos 60°－2α2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.14．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，且f (1)＝－a2，3a >2c >2b .求证：a >0，且－3<b a <－34.证明：f (1)＝a ＋b ＋c ＝－a2，即3a ＋2b ＋2c ＝0.又3a >2c >2b ，所以3a >0,2b <0，则a >0，b <0. 又2c ＝－3a －2b,3a >2c >2b ，所以3a >－3a －2b >2b .可得－3a <b <－34a .因为a >0，所以－3<b a <－34.15．(陕西高考)设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数．(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N *，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N *，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明． 解：由题设得，g (x )＝x1＋x (x ≥0)．(1)由已知，g 1(x )＝x1＋x，g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x1＋x 1＋x1＋x＝x1＋2x， g 3(x )＝x1＋3x，…，可得g n (x )＝x1＋nx. 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g 1(x )＝x1＋x ，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x1＋kx .那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k x 1＋g k x ＝x1＋kx 1＋x 1＋kx＝x 1＋k ＋1x，即结论成立．由①②可知， 结论对n ∈N ＋成立． 所以g n (x )＝x1＋nx.(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax1＋x 恒成立．设φ(x )＝ln(1＋x )－ax1＋x(x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x－a1＋x2＝x ＋1－a1＋x2， 当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)， ∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0， ∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立(仅当x ＝0时等号成立)． 当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )<0，∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0，即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0，故知ln(1＋x )≥ax1＋x不恒成立．综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋nn ＋1，n －f (n )＝n －ln(n ＋1)，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)． 证明如下：证法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x ，x >0.令x ＝1n ，n ∈N ＋，则1n ＋1<ln n ＋1n .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立．②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)．那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k ＋2)， 即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．证法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x ，x >0.令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，……ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1， 上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证．证法三：如图，⎠⎛0n x x ＋1d x 是由曲线y ＝xx ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋nn ＋1是图中所示各矩形的面积和， ∴12＋23＋…＋n n ＋1>⎠⎛0n x x ＋1d x ＝⎠⎛0n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ＋1d x ＝n －ln (n ＋1)，结论得证．复 数考查方式 复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点，并且一般在前三题的位置上，主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算．备考指要 要明确复数的分类及复数运算，掌握化归思想，设出复数z的代数形式，即复数问题实数化.[数z ＝________________.[解析] 由(z －3)(2－i )＝5， 得z ＝3＋52－i ＝3＋52＋i2－i 2＋i＝3＋2＋i ＝5＋i ，所以z ＝5－i .[答案] 5－i[例11] (上海高考)设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________.[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝1，m ≠±1.∴m ＝－2. [答案] －216．(安徽高考改编)设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则zi ＋i·z ＝________.解析：z i ＋i·z ＝1＋i i＋i(1－i)＝－i ＋1＋i ＋1＝2.答案：217．(湖南高考)复数3＋ii 2( i 为虚数单位)的实部等于________．解析：直接运算得3＋ii 2＝－(3＋i)＝－3－i ，故实部为－3.答案：－318．复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应点位于第________象限． 解析：z ＝i(1＋i)＝－1＋i ，在复平面上对应点的坐标为(－1,1)，其在第二象限． 答案：二19．设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：复数1＋a i 2－i ＝1＋a i2＋i 2－i2＋i ＝2－a ＋2a ＋1i5，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＝0，2a ＋1≠0，所以a ＝2.答案：2一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．(四川高考)复数2－2i1＋i ＝________.解析：2－2i 1＋i＝21－i 21＋i 1－i＝(1－i)2＝－2i.答案：－2i2．函数y ＝11－cos x 的导数是________．解析：y ′＝1′1－cos x －1·1－cos x ′1－cos x 2＝－sin x1－cos x2.答案：y ′＝－sin x1－cos x23．已知函数f (x )＝x e x＋c 有两个零点，则c 的取值范围是________． 解析：∵f ′(x )＝e x(x ＋1)，∴易知f (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，且f (x )min ＝f (－1)＝c －e －1，由题意得c －e －1＜0，得c ＜e －1.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1e 4．用反证法证明命题“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a 、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为________________．解析：“a ，b 中至少有一个能被5整除”的否定是“a 、b 都不能被5整除”． 答案：a ，b 都不能被5整除5．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)时，从“k 到k ＋1”左边需乘的代数式是________．解析：当n ＝k 时，左边＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋1＋k ＋1)，∴增加了2k ＋1·2k ＋1k ＋1＝2(2k ＋1)．答案：2(2k ＋1)6．已知定义在R 上的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，满足f (x )＜f ′(x )，且f (0)＝2，则不等式f xex＞2的解集为________．解析：令g (x )＝f xex，∴g ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫f x e x ′＝f ′x －f x e x＞0，∴g (x )为增函数． 由f xex＞2得f xex＞f 0e，所以g (x )＞g (0)， ∴x ＞0. 答案：(0，＋∞)7．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________.解析：∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ， ∴z 1＝2－i. 设z 2＝a ＋2i ，a ∈R .z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i. 答案：4＋2i8．函数y ＝sin 2x 的图象在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，14处的切线的斜率是________．解析：y ′＝(sin 2x )′＝sin 2x ，∴函数y ＝sin 2x 的图象在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，14处的切线的斜率k ＝sin π3＝32.答案：329．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 014个梯形数为a 2 014 ，则a 2 014 ＝________.解析：5＝2＋3＝a 1,9＝2＋3＋4＝a 2,14＝2＋3＋4＋5＝a 3，…，a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝n ＋12＋n ＋22＝12×(n ＋1)(n ＋4)，由此可得a 2 014＝2＋3＋4＋…＋2 016＝12×2015×2 018＝2 015×1 009.答案：2 015×1 00910．复数z 1与z 2在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，|z 1|＝2，则z 1＝________.解析：设z 1＝a ＋b i ，则z 2＝－a ＋b i ， ∵z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，且|z 1|＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b i 3－i ＝－a ＋b i 1＋3i ，a 2＋b 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，∴z 1＝1－i 或z 1＝－1＋i. 答案：1－i 或－1＋i11．对于等差数列{a n }有如下命题：“若{a n }是等差数列，a 1＝0，s 、t 是互不相等的正整数，则有(s －1)a t －(t －1)a s ＝0”．类比此命题，给出等比数列{b n }相应的一个正确命题是：____________________________________.答案：若{b n }是等比数列，b 1＝1，s ，t 是互不相等的正整数，则有b s －1tt t －1s＝112．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值为________，极小值为________．解析：f ′(x )＝3x 2－2px －q ，f ′(1)＝3－2p －q ＝0， 即2p ＋q ＝3. ①因f (x )过(1,0)点，所以1－p －q ＝0，即p ＋q ＝1.② 由①②，得p ＝2，q ＝－1， 即f (x )＝x 3－2x 2＋x .f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.令3x 2－4x ＋1＝0，解得x 1＝13，x 2＝1.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：x1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值所以当x ＝3时，f (x )取得极大值27；当x ＝1时，f (x )取得极小值0. 答案：42713．类比平面几何中的定理：△ABC 中，若DE 是△ABC 的中位线，则有S △ADE ∶S △ABC ＝1∶4；若三棱锥A －BCD 有中截面EFG ∥平面BCD ，则截得三棱锥的体积与原三棱锥体积之间的关系式为________．解析：平面几何中的面积类比空间几何体中的体积， ∴V A －EFG ∶V A －BCD ＝1∶8. 答案：V A －EFG ∶V A －BCD ＝1∶814．(辽宁高考)正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1,1)，D (－1,1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．解析：由几何概型的概率计算公式可知，所求概率P ＝S 阴影S 正方形＝2⎠⎛1－11－x 2d x 22＝834＝23. 答案：23二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)设复数z 满足|z|＝1，且(3＋4i )z 是纯虚数，求z . 解：设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，由|z |＝1得a 2＋b 2＝1，(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝3a －4b ＋(4a ＋3b )i 是纯虚数，则3a －4b ＝0,4a ＋3b ≠0，∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＝1，3a －4b ＝0，4a ＋3b ≠0解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝35或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－45，b ＝－35.∴z ＝45－35i 或－45＋35i.16．(本小题满分14分)设函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c (a ≠0)为奇函数，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线x －6y －7＝0垂直，导函数f ′(x )的最小值为－12.(1)求a ，b ，c 的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间，并求函数f (x )在[－1,3]上的最大值和最小值． 解：(1)∵f (x )为奇函数， ∴f (0)＝0，∴c ＝0. 则f (x )＝ax 3＋bx .∵f ′(x )＝3ax 2＋b 的最小值为－12， ∴a ＞0，b ＝－12，又直线x －6y －7＝0的斜率为16，∴f ′(1)＝3a ＋b ＝－6，解得a ＝2. ∴a ＝2，b ＝－12，c ＝0. (2)由(1)知f (x )＝2x 3－12x .f ′(x )＝6x 2－12＝6(x ＋2)(x －2)，令f ′(x )＝0得，x 1＝－2，x 2＝2，列表如下：∵f (－1)＝10，f (2)＝－82，f (3)＝18， ∴f (x )在[－1,3]上的最大值是18，最小值是－8 2.17．(本小题满分14分)(浙江高考)已知a ∈R ，函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax . (1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)若|a |>1，求f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2x 3－6x 2＋6x ， 则f ′(x )＝6x 2－12x ＋6，所以f ′(2)＝6. 又因为f (2)＝4，所以切线方程为y ＝6x －8. (2)记g (a )为f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值．f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )．令f ′(x )＝0，得到x 1＝1，x 2＝a . 当a >1时， 列表：3a －1a 2(3－a )比较f (0)＝0和f (a )＝a 2(3－a )的大小可得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1<a ≤3，a 23－a ，a >3.当a <－1时， 列表：x 0 (0,1) 1 (1，－2a ) －2af ′(x ) －0 ＋f (x )0 极小值 3a －1－28a 3－24a 2得g (a )＝3a －1.综上所述，f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值为 g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1，a <－1，0，1<a ≤3，a 23－a ，a >3.18．(本小题满分14分)已知数列8·112·32，8·232·52，…，8·n 2n －12·2n ＋12，…，S n 为该数列的前n 项和，计算得S 1＝89，S 2＝2425，S 3＝4849，S 4＝8081.观察上述结果，推测出S n (n ∈N *)，并用数学归纳法加以证明． 解：推测S n ＝2n ＋12－12n ＋12(n ∈N *)．用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，S 1＝2＋12－12＋12＝89，等式成立；(2)假设当n ＝k 时等式成立，即S k ＝2k ＋12－12k ＋12，那么当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝S k ＋8k ＋12k ＋122k ＋32＝2k ＋12－12k ＋12＋8k ＋12k ＋122k ＋32＝[2k ＋12－1]2k ＋32＋8k ＋12k ＋122k ＋32＝2k ＋122k ＋32－2k ＋32＋8k ＋12k ＋122k ＋32＝2k ＋122k ＋32－2k ＋122k ＋122k ＋32＝2k ＋32－12k ＋32＝[2k ＋1＋1]2－1[2k ＋1＋1]2.也就是说，当n ＝k ＋1时，等式成立．根据(1)和(2)，可知对一切n ∈N *，等式均成立．19．(本小题满分16分)(安徽高考)设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3，x 2＝－1＋4＋3a 3，x 1<x 2.所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)．当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增． (2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0. ①当a ≥4时，x 2≥1.由(1)知，f (x )在[0,1]上单调递增．所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值． ②当0<a <4时，x 2<1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2,1]上单调递减． 所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值； 当a ＝1时，f (x )在x ＝0处和x ＝1处同时取得最小值； 当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值． 20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ln x .(1)若直线y ＝x ＋m 与函数f (x )的图象相切，求实数m 的值． (2)证明曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x －1x有唯一的公共点；(3)设0＜a <b ，比较f b －f a2与b －ab ＋a的大小，并说明理由． 解：(1)f ′(x )＝1x，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝1x 0＝1，∴x 0＝1，y 0＝ln x 0＝ln 1＝0， 代入y ＝x ＋m ，得m ＝－1.(2)令h (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝ln x －x ＋1x.则h ′(x )＝1x－1－1x2＝－x 2＋x －1x2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－34x2＜0， ∴h (x )在(0，＋∞)内单调递减． 又h (1)＝ln 1－1＋1＝0， ∴x ＝1是函数h (x )唯一的零点， 故点(1,0)是两曲线唯一的公共点．(3)fb －f a b －a ＝ln b －ln ab －a ＝lnba b －a，要比较ln ba b －a 与2a ＋b 的大小．∵b －a ＞0，∴只要比较ln b a 与2b －aa ＋b的大小．∵ln b a －2b －a b ＋a ＝ln b a －2⎝ ⎛⎭⎪⎫ba －1ba＋1，构造函数φ(x )＝ln x －2x －1x ＋1，(x ＞1)，则φ′(x )＝1x－4x ＋12＝x －12x x ＋12，显然φ′(x )＞0，∴φ(x )在(1，＋∞)内单调递增． 又当x ＝1时，φ(1)＝0， ∴当x ＞1时，φ(x )＞0， 即ln x －2x －1x ＋1＞0.则有ln b a＞2b －a b ＋a 成立，即ln b －ln a b －a ＞2a ＋b成立．即得f b －f a b －a ＞2a ＋b.∴f b －f a2＞b －ab ＋a.。

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111--++=⋅+=m nm n m n m m m n m n mA A C A A A 高中数学 选修2－3知识点第一章 计数原理知识点:1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N 类办法，在第一类办法中有M 1种不同的方法，在第二类办法中有M 2种不同的方法，……，在第N 类办法中有M N 种不同的方法，那么完成这件事情共有M 1+M 2+……+M N 种不同的方法。

2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N 个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有M 2不同的方法,……，做第N 步有M N 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M 1M 2。

..M N 种不同的方法。

3、排列：从n 个不同的元素中任取m （m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列4、排列数：从n 个不同元素中取出m (m≤n ）个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列。

从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示。

),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m∈≤-=+--=5、公式:，11--=m n m n nA A6、组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.7、公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n mm mn mn-=+--== )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==;mn n m n C C -=m n m n m n C C C 11+-=+8、二项式定理:()a b C a C a b C a b C a b C b n n n n n n n n r n r r n n n+=++++++---011222…… 9、二项式通项公式展开式的通项公式：，……T C a b r n r nr n r r+-==101() 考点：1、排列组合的运用2、二项式定理的应用★★1．我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展.某校高一新生中的五名同 学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑"四个社团。

解排列组合问题的四大原则排列、组合是高中数学的重要内容，新教材中概率与统计的增加更突出了排列、组合的重要性．高考对排列组合的考查以两个基本原理——分类加法计数原理和分步乘法计数原理为出发点，侧重检测解题思想和解题技巧，因而对解题策略和思维模式的培养和提炼是平时训练的核心．下面通过具体的例题来解析排列组合问题的解题策略之“四大原则”．一、特殊优先原则该原则是指在有限制的排列组合问题中优先考虑特殊元素或特殊位置． 例１ （2003年北京市西城区一模题（文））甲、乙、丙三个同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天１人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，则可以排出不同的值班表有（ ）A ．90种B ．89种C ．60种D ．59种解析：特殊元素优先考虑，甲同学不值周一的班，则先考虑甲，分步完成：①从除周一的5天中任取2天安排甲有25C 种；②从剩下的4天中选2天安排乙有24C 种；③仅剩2天安排丙有22C 种．由分步乘法计数原理可得一共有22254260C C C =··种，即选C ．评注：特殊优先原则是解有限制的排列组合问题的总原则，对有限制的元素和有限制的位置一定要优先考虑．二、先取后排原则该原则充分体现了m m m n m n C A A =·的精神实质，先组合后排列，从而避免了不必要的重复与遗漏．例2 （2004年高考全国卷Ⅲ）将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）．A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种解析：先分组再排列：将4名教师分成3组有24C 种分法，再将这三组分配到三所学校有33A 种分法，由分步乘法计数原理知一共有234336C A =·种不同分配方案．评注：先取后排原则也是解排列组合问题的总原则，尤其是排列与组合的综合问题．若本例简单分步：先从4名教师中取3名教师分给3所学校有34A 种方法，再将剩下的1名教师分给3所学校有3种选择，则共有34372A =·种分配方案，则有明显重复（如：甲、乙、丙、丁和甲、乙、丁、丙）．因此，处理多元素少位置问题时一般采用先取后排原则．三、正难则反原则若从正面直接解决问题有困难时，则考虑事件的对立事件，从不合题意要求的情况入手，再整体排除．例3 （2004年北京市春招卷）在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少取到１件次品的不同取法的种数是（ ）A ．12694C CB ．12699C C C ．3310094C C -D ．3310094A C -解析：从100件次品中取3件产品，至少有1件次品的对立事件是取到3件全部是正品，即从94件正品中取3件正品有394C 种取法，所以满足条件的不同取法是3310094C C -，故选C ．如果从正面考虑，则必须分取到1，2，3件次品这三类，没有应用排除法来得简单．而本例最易迷惑人的是B ：12699C C ，即从6件次品中取1件确保了至少有1件次品，再从剩下的99件产品中任取2件即可．事实上这样分步并不相互独立，第一步对第二步有明显影响，设次品为ABCDEF ，正品为甲乙丙丁戊…则12699C C 可以是ＡＢ甲，也可能是ＢＡ甲，因而重复． 评注：正难则反原则也是解决排列组合问题的总原则，如果从正面考虑不易突破，一般寻找反面途径．利用正难则反原则的语境有其规律，如当问题中含有“至少”，“最多”等词语时，易用此原则．四、策略针对原则不同类型的排列、组合问题有着不同的应对策略，不同的限制条件要采用不同的解题方法．1．相邻问题捆绑法（整体法），相隔问题插空法例4 （2004年高考重庆卷（理））某校高三年级举行一次演讲比赛，共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其他班有5位．若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的3位同学恰好被安排到一起（演讲序号相连），而2班的2位同学没有被排在一起的概率为（ ）A ．110B ．120C ．140D ．1120解析：10人的全排列数是1010A ，即所有的演讲顺序有1010A 种．符合要求的演讲顺序有两个限制：一班的3位同学相邻，而2班的2位同学不相邻，因此分步完成：①把一班的3位同学看成一个整体，他们自身全排列有33A 种安排；②把这个整体当成1个元素与其他班5个元素一起排列有66A 种安排；③把这6个元素排定后有7个空位（包含两端），从这7个空位中任取2个空位安排2班的2位同学有27A 种排法（这样确保2位同学不相邻）．满足条件的排列共有362367A A A ··种，即所求概率是3623671010120A A A A ··，故选B ． 评注：处理相邻问题和不相邻问题时易采用整体法（确保相邻）和插空法（确保相隔），只是要注意是先整体后插空（相邻与不邻的综合问题）或先排后插（单纯的相隔问题），再就是要注意整体元素的排列顺序问题．2．合理分类直接分步法例5 （2004年高考全国卷Ⅱ）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（ ）个． （ ）A ．56B ．57C ．58D ．60解析：所有大于23145且小于43521的数由以下几类构成：由分类加法计数原理可得，一共有234322343212222158A A A A A ++++++=个，故选C ．评注：合理分类与直接分步是两个基本原理———分类加法计数原理和分步乘法计数原理最直接的体现，是解排列组合问题的最原始的方法．诸多排列组合问题总是从合理分类，直接分步得到解决的．3．顺序一定消序法（用除法）例6 （2003年北京市春招卷）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目中，那么不同插法的种数为（ ）．A ．42B ．30C ．20D ．12解析：新插入两个节目，而原来的5个节目顺序不变，从结果考虑，7个节目的全排列是77A ，而顺序不变的5个节目的全排列是55A ，不变的顺序是总体的551A ，则一共有775542A A =种不同的插入种数，故选A ． 评注：某些元素顺序不变的排列用除法解决，即若共有n 个元素，其中m 个元素顺序不变，则其不同的排列数为．当然本题可以这样考虑：最终有7个节目位置，从7个位置中任选2个位置安排新增节目有27A 种方法，其他5个位置按原5个节目的固定顺序排列，因此共有2742A =种不同的插入方法．4．对象相同隔板法例7 （1）（2004年湖北省四校联考卷）高二年级要从3个班级抽取10人参加数学竞赛，每班至少1人，一共有______种不同的安排方法．（2）（2003年荆州市质检卷Ⅱ）10个相同的小球放到3个不同的盒中，每个盒不空，一共有______种不同的放法．解析：两例的实质一样，属于同一模型———对象相同，这类问题处理方式较多，但隔板法简单易操作：10个相同的小球有9个空档（确保盒子不空）．从9个空档中选2个空档放入两块隔板，将小球分成三部分（每一种放档板的放法对应着10个小球分成3部分的分法），每部分一一对应着一个不同的小盒．因此一共有29C 种不同的放法，即2936C =种．而把10个竞赛名额分配给3个班，每班至少1个名额的方法与此一模一样．评注：研究的对象是不加区别的元素时，一般考虑隔板法．这是一个基本的数学模型，由此变形的问题是：10++=有多少组正整数解？而解法不变．x y z。

章末总结知识点一独立性检验独立性检验是对两个变量间是否存在相关关系进行的一种案例分析方法，其基本步骤是通过列联表，计算统计量χ2的值，判断两个变量相关的可能性大小．例1某企业为考察生产同一种产品的甲、乙两条生产线的产品合格率，同时各抽取100件产品，检验后得到如下面列联表：生产线与产品合格数列联表合格不合格总计甲线973100乙线955100总计1928200请问甲、乙两生产线生产的产品合格率在多大程度上有关系？知识点二回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤是先画出两个变量的散点图，然后利用常见的函数模型去拟合样本点．相关系数r可以判断两个变量线性相关的程度．用转化的方法可研究一些非线性相关问题．例2高三某班学生每周用于数学学习的时间x(单位：h)与数学成绩y(单位：分)之间的关系，所得数据资料如下表：x 24152319161120161713y 92799789644783687159 某同学每周用于数学学习的时间为18 h，试预测该学生的数学成绩．例3某班前10名学生高三第一次市统测的成绩x和第三次市统测成绩y如下，则y 与x________(填“具有”或“不具有”)线性相关关系.第一次x 143150157130153149142144134143 第三次y 124145142111150151145140119127 例4炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系，如果已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一列数据，如下表所示：x(0.01%)104180190177147134150191204121y(分钟)100200210185155135170205235125(1)画出散点图；(2)如果y与x具有线性相关关系，求线性回归方程；(3)预测当钢水含碳量为160个0.01%时，应冶炼多少分钟？章末总结 答案重点解读例1 解 χ2的观测值k ＝200×(97×5－95×3)2100×100×192×8≈0.521<2.706，因此没有充分的证据显示甲、乙两生产线生产的产品合格率有关系．例2 解 x ＝17.4，y ＝74.9，∑10i ＝1x 2i ＝3 182，∑10i ＝1y 2i ＝58 375，∑10i ＝1x i y i ＝13 578， 于是由公式b ^＝∑10i ＝1x i y i －10x ·y ∑10i ＝1x 2i －10(x )2≈3.53，a ^＝y －b ^x ≈13.5，所以线性回归方程y ^＝13.5＋3.53x .当x ＝18时，y ^＝13.5＋3.53×18＝77，所以该同学预计可以得77分．例3 具有解析 x ＝144.5，y ＝135.4，∑10i ＝1x 2i ＝209 413，∑10i ＝1y 2i ＝185 102，∑10i ＝1x i y i ＝196 512， r ＝∑n i ＝1x i y i －n x y(∑ni ＝1x 2i －n (x )2)(∑ni ＝1y 2i －n (y )2)＝196 512－10×144.5×135.4(209 413－10×144.52)×(185 102－10×135.42) ≈0.826 3，因为0.826 3接近1，所以可以认为y 与x 具有线性相关关系． 例4 解 (1)散点图如图所示．(2)由已知条件制成下表：i 1 23 4 5 x i 104 180 190 177 147 y i 100 200 210 185 155 x i y i 10 400 36 000 39 900 32 745 22 785 i 6 7 8 9 10 x i 134 150 191 204 121 y i 135 170 205 235 125 x i y i 18 090 25 50039 15547 94015 125∴x ＝159.8，y ＝172，∑10i ＝1x 2i ＝265 448，∑10i ＝1y 2i ＝312 350，∑10i ＝1x i y i ＝287 640. ∴b ^＝∑10i ＝1x i y i －10x y∑10i ＝1x 2i －10(x )2≈1.267，a ^＝y －b ^x ≈－30.47.所求线性回归方程为y ^＝1.267x －30.47. (3)当x ＝160时，y ^＝1.267×160－30.47≈172(分钟)． 即大约冶炼172分钟．。

离散型随机变量及其分布列知识集结知识元离散型随机变量及其分布列知识讲解1．离散型随机变量及其分布列【考点归纳】1、相关概念；（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．2、离散型随机变量（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．3、离散型随机变量的分布列．（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，x n；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，p n，则得下表：X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．（2）性质：①p i≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+p n＝1．例题精讲离散型随机变量及其分布列例1.'袋中有2个白球，3个红球，5个黄球，这10个小球除颜色外完全相同．（1）从袋中任取3个球，求恰好取到2个黄球的概率；（2）从袋中任取2个球，记取到红球的个数为ξ，求ξ的分布列、期望E（ξ）和方差D（ξ）．'例2.'甲、乙两人做定点投篮游戏，已知甲每次投篮命中的概率均为p，甲投篮3次均未命中的概率为，乙每次投篮命中的概率均为q，乙投篮2次恰好命中1次的概率为，甲、乙每次投篮是否命中相互之间没有影响．（1）若乙投篮3次，求至少命中2次的概率；（2）若甲、乙各投篮2次，设两人命中的总次数为X，求X的分布列和数学期望．'例3.'抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记底面上所得的数字分别为x，y．记[]表示的整数部分，如：[]=1，设ξ为随机变量，ξ=[]．（Ⅰ）求概率P（ξ=1）；（Ⅱ）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．'当堂练习解答题练习1.'玉山一中篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试，“立定投篮”和“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才能参加“三步上篮”测试．为了节约时间，每项测试只需且必须投中一次即为合格．小华同学“立定投篮”的命中率为，“三步上篮”的命中率为．假设小华不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中相互独立．（1）求小华同学两项测试均合格的概率；（2）设测试过程中小华投篮次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．'练习2.'某支教队有8名老师，现欲从中随机选出2名老师参加志愿活动，（1）若规定选出的至少有一名女老师，则共有18种不同的需安排方案，试求该支教队男、女老师的人数；（2）在（1）的条件下，记X为选出的2位老师中女老师的人数，写出X的分布列．'练习3.'装有除颜色外完全相同的6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出1个黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢．（1）以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值？求X的分布列；（2）求出赢钱（即X>0时）的概率．'练习4.'将10个白小球中的3个染成红色，3个染成黄色，试解决下列问题：（1）求取出3个小球中红球个数ξ的分布列；（2）求取出3个小球中红球个数多于白球个数的概率．'练习5.'新高考改革后，假设某命题省份只统一考试数学和语文，英语学科改为参加等级考试，每年考两次，分别放在每个学年的上下学期，其余六科政治，历史，地理，物理，化学，生物则以该省的省会考成绩为准．考生从中选择三科成绩，参加大学相关院校的录取．（Ⅰ）若英语等级考试有一次为优，即可达到某“双一流”院校的录取要求．假设某考生参加每次英语等级考试事件是相互独立的，且该生英语等级考试成绩为优的概率为，求该考生直到高二下期英语等级考试才为优的概率（Ⅱ）据预测，要想报考某“双一流”院校，省会考的六科成绩都在95分以上，才有可能被该校录取假设某考生在省会考六科的成绩都考到95分以上的概率都是，设该考生在省会考时考到95以上的科目数为X求X的分布列及数学期望．'练习6.'某高中志愿者男志愿者5人，女志愿者3人，这些人要参加社区服务工作．从这些人中随机抽取4人负责文明宣传工作，另外4人负责卫生服务工作．（Ⅰ）设M为事件；“负责文明宣传工作的志愿者中包含女志愿者甲但不包含男志愿者乙”，求事件M发生的概率；（Ⅱ）设X表示参加文明宣传工作的女志愿者人数，求随机变量X的分布列与数学期望．'练习7.'今年学雷锋日，乌鲁木齐市某中学计划从高中三个年级选派4名教师和若干名学生去当学雷锋文明交通宣传志愿者，用分层抽样法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成文明交通宣传小组，学生的选派情况如下：（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）若从选派的高一、高二、高三年级学生中抽取3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有1人是高三年级学生的概率；（Ⅲ）若4名教师可去A、B、C三个学雷锋文明交通宣传点进行文明交通宣传，其中每名教师去A、B、C三个文明交通宣传点是等可能的，且各位教师的选择相互独立．记到文明交通宣传点A的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望。