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复变函数重要知识点总结复变函数是数学中一个非常重要的分支，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
下面将对复变函数的一些重要知识点进行总结。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数组成的数，通常表示为＄z ＝ x ＋ yi$，其中＄x$ 称为实部，＄y$ 称为虚部，＄i$ 是虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$。
复数的模长定义为＄｜z| ＝＼sqrt{x^2 ＋ y^2}＄，表示复数在复平面上的距离。
复数的辐角定义为＄＼theta ＝＼arctan\frac{y}｛x}＄，表示复数与实轴正方向的夹角。
二、复变函数的定义复变函数是定义在复数域上的函数，通常表示为＄w ＝ f(z)＄，其中＄z$ 是自变量，＄w$ 是因变量。
复变函数的导数定义与实函数类似，但需要满足柯西黎曼方程：＄＼frac{＼partial u}｛＼partial x} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial y}＄，＄＼frac{＼partial u}｛＼partial y} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial x}＄，其中＄f(z) ＝ u(x,y) ＋ iv(x,y)＄。
三、解析函数如果一个复变函数在某点及其邻域内可导，就称该点为函数的解析点。
如果函数在一个区域内处处解析，就称该函数为解析函数。
解析函数具有很多良好的性质，如柯西定理、柯西积分公式等。
四、复变函数的积分复变函数的积分定义为沿着一条曲线对函数进行积分。
柯西定理指出，如果函数在一个单连通区域内解析，那么沿着该区域内任何一条闭合曲线的积分都为零。
柯西积分公式则给出了函数在某点的值与沿着该点周围闭合曲线的积分之间的关系。
五、级数复级数包括幂级数和 Laurent 级数。
幂级数是形如＄＼sum_{n=0}＾｛＼infty} a_n （z z_0)＾n$ 的级数。
收敛半径可以通过比值法或根值法求得。
Laurent 级数是在圆环域内展开的级数，包括正则部分和主要部分。
数学复变函数的基本概念一、引言数学复变函数是复数域上的函数，它在数学和物理等领域有着广泛的应用。
本文将介绍数学复变函数的基本概念、性质和应用。
二、复数与复平面复数是实数的扩充，可以写成形式为a+bi的形式，其中a和b为实数，i为虚数单位。
复平面是由实轴和虚轴组成的平面，通过将复数表示为复平面上的点，实现了运算与几何之间的联系。
三、复变函数的定义复变函数是指定义在复数域上的函数，形如f(z) = u(z) + iv(z)，其中u(z)和v(z)均为实数函数。
复变函数既可以描述平面上的点，也可以描述平面上的区域。
四、复变函数的解析性复变函数的解析性是指函数在某个区域内可导，并且在该区域内的导数处处存在。
解析函数具有许多重要的性质，例如：解析函数的导数也是解析函数。
五、复变函数的调和性复平面上的实部与虚部分别满足拉普拉斯方程，即u_xx+u_yy=0和v_xx+v_yy=0，则复变函数为调和函数。
具有调和性的函数在物理学的电势和流体力学等领域有着广泛的应用。
六、复变函数的整函数如果一个函数在整个复平面上都解析，则该函数称为整函数。
整函数不仅在有限区域内解析，而且在无穷远点也解析。
七、复变函数的级数展开利用级数展开可以将复变函数展开为无穷项的和。
泰勒级数和洛朗级数是常用的级数展开形式，在分析和计算上有着重要的应用。
八、复变函数的留数定理复变函数的留数定理是计算复变函数的积分的重要工具。
根据留数定理，函数在有限奇点上的留数等于该函数在该奇点处的展开式中-1次幂的系数。
九、复变函数的应用复变函数在科学和工程问题中有着广泛的应用。
例如：在电工中可以利用复变函数来计算交流电路中的各种参数；在流体力学中可以利用复变函数描述流体的速度场等。
结论数学复变函数作为一门基础学科，在各个领域都有着重要的地位和应用价值。
通过对其基本概念、性质和应用的学习，可以更好地理解和应用复变函数。
复变函数的概念复变函数的概念复变函数是指定义在复平面上的函数，它可以将一个复数映射到另一个复数。
与实变函数不同，复变函数具有更加丰富的性质和应用。
一、复数及其运算要理解复变函数的概念，首先需要了解复数及其运算。
一个复数可以表示为z=x+yi，其中x和y分别表示实部和虚部。
虚数单位i满足i²=-1。
在复数中，我们可以进行加、减、乘、除等基本运算。
其中加法和减法与实数类似，乘法和除法则需要注意公式的推导。
二、复平面及其坐标表示为了更方便地描述和分析复变函数，在平面直角坐标系中引入了一个新的坐标轴——虚轴，并将实轴称为实部轴，虚轴称为虚部轴。
这样就构成了一个二维平面——复平面。
在复平面中，每个点都可以表示为z=x+yi的形式。
这样我们就可以通过坐标来描述每个点，并将其映射到另一个点。
三、复变函数的定义与实变函数类似，对于给定的自变量z∈C（即z是一个复数），如果存在唯一确定的因变量w∈C（即w也是一个复数），则称w是z的函数值，记作f(z)。
四、复变函数的性质与实变函数不同，复变函数具有更加丰富的性质。
以下是一些常见的复变函数性质：1. 解析性：如果一个函数在某个区域内处处可导，则称该函数在该区域内解析。
2. 共形性：如果一个函数在某个区域内保持角度不变，则称该函数在该区域内共形。
3. 周期性：如果存在一个非零复数c，使得对于所有z∈C，有f(z+c)=f(z)，则称f(z)为周期函数。
4. 解析延拓：如果一个解析函数可以通过某种方式扩展到整个复平面上，则称该解析函数具有解析延拓性质。
五、复变函数的应用由于复变函数具有丰富的性质和应用，因此在物理、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用：1. 电路分析：利用复变函数可以方便地描述电路中电流和电压等物理量之间的关系。
2. 流体力学：利用共形映射可以将流体力学问题转化为更简单的几何问题。
3. 计算机图形学：利用复变函数可以方便地描述图形的旋转、缩放等变换。
复变函数总结复变函数，又称为复数函数，是数学中重要的一个分支。
它在物理、工程、经济等领域具有广泛的应用。
复变函数的研究主要涉及复数、复平面、复数域的性质，以及复数函数的导数、积分等基本理论。
在本文中，我将对复变函数的基本概念、性质和常见应用进行总结。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数构成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，而i为虚数单位，满足i²=-1。
复数可以表示平面上的一个点，实部对应横坐标，虚部对应纵坐标。
复数的加法、减法、乘法和除法规则与实数的运算规则相似。
二、复平面与复函数复平面是由复数构成的平面，以复数的实部和虚部作为坐标轴。
复函数是定义在复数域上的函数，可以将复数作为自变量和因变量。
复函数在复平面上的图像通常是曲线、点或者区域。
三、复变函数的性质1. 解析性：复变函数在一个区域内解析，意味着它在该区域内具有连续性和光滑性，并且在该区域内无奇点。
2. 洛朗级数展开：复变函数可以用洛朗级数展开，即可以由一个主要部分和无穷个幂级数按次幂递减的项组成。
3. 共轭函数：对于复变函数f(z)，其共轭函数为f*(z)，实部相同，虚部取相反数。
4. 解析函数的判别：柯西-黎曼方程是判断一个函数在某一点是否解析的重要工具，同时也是复变函数的基本性质之一。
5. 调和函数：调和函数是一类特殊的复变函数，满足拉普拉斯方程。
四、复变函数的应用1. 电路分析：复变函数可以用来分析交流电路中的电流和电压，特别是在包含电感和电容的电路中，通过构造复变函数的拉普拉斯变换可以简化问题。
2. 流体力学：复变函数在描述流体的速度场、压力场和流线的分析中具有重要作用，特别是在无旋场和无散场的情况下。
3. 光学：复变函数可用于描述光波的传播和干涉现象，以及计算透镜的成像和衍射效应。
4. 统计学：复数也可应用于统计学中，如复数正态分布在处理随机变量时具有一定的优势。
5. 量子力学：复变函数是量子力学中运动状态和波函数的基础，通过复变函数可以描述粒子的行为以及能量的量子化。
数学的复变函数复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是复数域上的函数。
与实变函数不同，复变函数具有复数域上更加丰富的性质和特点。
在本文中，我将介绍复变函数的定义、性质和应用。
一、复变函数的定义和表示复变函数是定义在复数域上的函数，即输入和输出均为复数。
一般来说，复变函数可以表示为$f(z)$，其中$z$是复数，$f$是变换规则。
复数$z$可以表示为$z=x+iy$的形式，其中$x$和$y$分别是实数部分和虚数部分。
复变函数的表示形式有多种，最常见的是使用级数展开的形式。
例如，魏尔斯特拉斯级数是一种常见的复变函数表示方法。
它可以表示为$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$，其中$a_n$是复数系数，$z_0$是复数常数。
二、复变函数的性质复变函数具有许多有趣且独特的性质，以下是其中的几个重要性质：1. 解析性：复变函数的一个重要性质是解析性（或称全纯性）。
一个函数在其定义域上是解析的，意味着它在该区域内可以进行无限次的复数微分。
解析函数满足柯西-黎曼方程，即其实部和虚部满足柯西-黎曼条件。
2. 否定性：与实变函数不同，复变函数的性质有时可以由其在定义域内的性质否定。
例如，某些函数可能在无限远处有奇点，或者在某些点上是不连续的。
3. 互补性：复数域上的函数可以分解成实部和虚部的和或差。
这种分解方式可用于简化复变函数的问题，并帮助我们理解函数性质。
三、复变函数的应用复变函数在数学和工程领域中有广泛的应用。
以下是其中一些主要应用领域：1. 数学物理学：复变函数在数学物理学中扮演着重要的角色。
例如，它们用于解决波动方程、电动力学和量子力学中的问题。
复变函数的工具和技术为解这些方程提供了很大的帮助。
2. 等势流理论：在流体力学领域，复变函数的概念广泛应用于等势流理论。
这个理论用于描述在理想流体中以连续形式流动的流线。
3. 统计和概率：复变函数也在统计学和概率论中有应用。
复变函数复习资料复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是具有复数变量和复数值的函数。
复变函数的研究对于数学的发展和应用有着重要的意义。
在这篇文章中，我将为大家提供一些复变函数的复习资料，希望对大家的学习有所帮助。
一、复变函数的基本概念复变函数是指定义在复数域上的函数，它的自变量和因变量都是复数。
复变函数可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy，u(x,y)和v(x,y)分别是实部和虚部函数。
复变函数的导数和积分也有相应的定义，与实数函数的导数和积分有一些不同之处。
二、复变函数的解析性与调和性复变函数的解析性是指函数在某个区域内处处可导，它是复变函数的重要性质。
根据柯西—黎曼方程，只有满足一定条件的函数才能是解析函数。
解析函数具有很多重要的性质，例如它的实部和虚部都是调和函数，它的导数也是解析函数。
三、复变函数的级数表示复变函数可以用级数表示，这是复变函数研究中常用的一种方法。
泰勒级数是复变函数的一种重要的级数表示形式，它可以将函数展开成一系列幂函数的和。
而洛朗级数则是将函数展开成一系列幂函数和互补幂函数的和，适用于具有奇点的函数。
四、复变函数的积分复变函数的积分是复分析中的重要内容，它与实数函数的积分有一些不同之处。
复变函数的积分可以沿着一条曲线进行，这就是复积分的概念。
复积分有一些重要的性质，例如柯西—黎曼积分定理和柯西公式等，它们在复分析中有着广泛的应用。
五、复变函数的应用复变函数在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
它可以用来描述电磁场、流体力学和信号处理等问题。
复变函数的解析性和级数表示等性质使得它在实际问题的求解中具有很大的优势。
总结：复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是具有复数变量和复数值的函数。
复变函数的解析性、级数表示和积分等性质是复变函数研究的核心内容。
复变函数在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
希望通过这些复习资料，能够帮助大家更好地理解和掌握复变函数的知识。
定义邻域－定义点的邻域指：聚点、内点、孤立点－定义给定点集，及点。
称为的聚点或极限点指：的任一邻域内都有的无穷多个点。
若，但非的聚点，则称为的孤立点; 若，又非的聚点，则称为的外点。
若有一邻域全含于内，则称为的内点。
若的任一邻域内，同时有属于和不属于的点，则称为的边界点。
边界点的全体称为的边界。
记作。
开集、闭集－定义若点集的每个聚点都属于，则称为闭集；若点集的点皆为内点，则称为开集。
有界性－定义点集称为有界集，若使有。
区域－定义非空开集称为区域，若是连通的，即：中任意两点可用全在中的折线连接。
闭域－定义区域加上它的边界称为闭域，记为：。
约当曲线－定义设是实变数的两个实函数，在闭区间上连续，则由方程所决定的点集，称为复平面上的一条连续曲线。
上式称为的参数方程分别称为的起点和终点。
单连通区域－定义设为复平面上的区域，若在内无论怎样划简单闭曲线，其内部仍全含于，则称为单连通区域；非单连通区域称为多连通区域。
复变函数－定义设为一复数集，若对内每一复数，有唯一确定的复数与之对应，则称在上确定了一个单值函数。
若对内每一复数，有几个或无穷多个与之对应，则称在上确定了一个多值函数。
复变函数的极限－定义设，为的聚点。
若存在一复数，使，，只要，就有则称沿于有极限，并记为。
连续函数－定义设子点集上有定义，为的聚点，且。
若即对任给的，，只要，，就有则称沿于连续。
复球面复平面加上点后称为扩充复平面，与它对应的就是整个球面，称为复球面。
无穷远点考虑平面上一个以原点为心的圆周，在球面上对应的也是一个圆周。
当圆周的半径越大时，圆周就越趋北极。
北极可以看成是与平面上的一个模为无穷大的假想点相对应，这个假想点称为无穷远点，并记为。
主要定理约当定理－定理任一简单闭曲线将平面唯一地划分成三个点集且满足（1）彼此不交（2）是一个有界区域（称为的内部）（3）是一个无界区域（称为的外部）（4）若简单折线的两个端点分属，则必与有交点。
极限的计算定理－定理设函数于点集上有定义，，则的充要条件是连续函数定理－定理设函数于点集上有定义，，则沿在点连续的充要条件是：二元实变函数，沿于点连续。
定义邻域－定义1.1点的邻域指：聚点、内点、孤立点－定义1.2给定点集，及点。
称为的聚点或极限点指：的任一邻域内都有的无穷多个点。
若，但非的聚点，则称为的孤立点; 若，又非的聚点，则称为的外点。
若有一邻域全含于内，则称为的内点。
若的任一邻域内，同时有属于和不属于的点，则称为的边界点。
边界点的全体称为的边界。
记作。
开集、闭集－定义1.3若点集的每个聚点都属于，则称为闭集；若点集的点皆为内点，则称为开集。
有界性－定义1.4点集称为有界集，若使有。
区域－定义1.5非空开集称为区域，若是连通的，即：中任意两点可用全在中的折线连接。
闭域－定义1.6区域加上它的边界称为闭域，记为：。
约当曲线－定义1.7设是实变数的两个实函数，在闭区间上连续，则由方程所决定的点集，称为复平面上的一条连续曲线。
上式称为的参数方程分别称为的起点和终点。
单连通区域－定义1.8设为复平面上的区域，若在内无论怎样划简单闭曲线，其内部仍全含于，则称为单连通区域；非单连通区域称为多连通区域。
复变函数－定义1.9设为一复数集，若对内每一复数，有唯一确定的复数与之对应，则称在上确定了一个单值函数。
若对内每一复数，有几个或无穷多个与之对应，则称在上确定了一个多值函数。
复变函数的极限－定义1.10设，为的聚点。
若存在一复数，使，，只要，就有则称沿于有极限，并记为。
连续函数－定义1.11设子点集上有定义，为的聚点，且。
若即对任给的，，只要，，就有则称沿于连续。
复球面复平面加上点后称为扩充复平面，与它对应的就是整个球面，称为复球面。
无穷远点考虑平面上一个以原点为心的圆周，在球面上对应的也是一个圆周。
当圆周的半径越大时，圆周就越趋北极。
北极可以看成是与平面上的一个模为无穷大的假想点相对应，这个假想点称为无穷远点，并记为。
主要定理约当定理－定理 1.1任一简单闭曲线将平面唯一地划分成三个点集且满足（1）彼此不交（2）是一个有界区域（称为的内部）（3）是一个无界区域（称为的外部）（4）若简单折线的两个端点分属，则必与有交点。
极限的计算定理－定理 1.2设函数于点集上有定义，，则的充要条件是连续函数定理－定理 1.3设函数于点集上有定义，，则沿在点连续的充要条件是：二元实变函数，沿于点连续。
一致连续定理－定理1.4设函数在有界闭集上连续，则（1）在上有界，即，使。
（2）在上有最大值与最小值。
（3）在上一致连续。
即，使对上满足的任意两点及，均有定义复变函数的导数－定义2.1设函数在点的某邻域内有定义，考虑比值若当（或）时，上面比值的极限存在，则称此极限为函数在点的导数，记为。
即。
（2.1）此时称在点可导。
解析函数－定义2.2如果函数在区域内可微，则称微区域内的解析函数，或称在区域内解析。
奇点－定义2.3若在点不解析，但在的任一邻域内总有的解析点，则称为的奇点。
复指数函数－定义2.4对于任何复数规定复指数函数为。
易知，复指数函数有下列性质：（1）它是实指数函数的自然推广（2）。
（3）在平面上处处解析，且。
（4）加法定理成立，即。
（5）是以为基本周期的周期函数。
（6）极限不存在。
三角函数－定义2.5称分别为复数的正弦函数和余弦函数。
复正弦函数和余弦函数有以下性质：（1）它们是实函数情形的推广（2）均处处解析，且。
事实上，同理，可证另一个。
（3）是奇函数，是偶函数；且遵从通常的三角恒等式，如（4）均以为周期（5）的零点为的零点为（6）不再是有界函数。
正切、余切－定义2.6称分别为的正切、余切、正割与余割函数。
这四个函数在其分母不为零的点处解析且双曲函数－定义2.7规定并分别称为的双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割及双曲余割函数。
根式函数－定义2.8规定根式函数为幂函数的反函数。
对数函数－定义2.9规定对数函数是指数函数的反函数。
即若则复数称为复数的对数，记为。
主要定理可微的必要条件－定理 2.1（可微的必要条件）设是定义在区域上的函数；且在内一点可微，则必有：偏导数在点存在；且满足柯西-黎曼条件，即可微的充要条件－定理2.2（可微的充要条件）设是定义在区域上的函数。
则在内一点可微的充要条件是：（1）在点可微；（2）在点满足柯西-黎曼条件。
此时，有：（2.7）定义复积分－定义3.1设有向曲线：以为起点，为终点，沿有定义，顺着从到的方向在上取分点：把曲线分成若干个弧段（图3.1*9）。
在从到的每一弧段上任意取一点。
作成和数其中当分点无限增多，而这些弧段长度的最大值趋于零时，如果和数的极限存在且等于，则称沿（从到）的可积，而称为沿（从到）的积分，并以记号表示称为积分路径。
表示沿的正方向的积分，表示沿的负方向的积分。
不定积分－定义3.2在区域内，如果连续，则称合条件的函数的一个不定积分或原函数。
复围线－定义3.3考虑条围线其中中每一条都在其余各条的外部，而它们又全都在的内部。
在的内部同时又在外部的点集构成一个有界的多连通区域，以为它的边界。
在这种情况下，我们称区域的边界是一条复围线，它包括取正方向的，以及取负方向的换句话说，假如观察者沿复围线的正方向绕行时，区域的点总在它的左手边（图3.10是的情形）。
调和函数－定义3.5如果二元实函数在区域内有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程，则称为区域内的调和函数。
共轭调和函数－定义3.6在区域内满足条件，的两个调和函数中，称为在区域内的共轭调和函数。
（虚部是实部）主要定理积分估值定理－定理3.2（积分估值）若沿曲线，连续，且有正数使,为之长，则证由不等式，取极限即得证。
柯西积分定理－定理3.3设在平面上的单连通区域内解析，为内任一条围线，则要证明这个定理是比较困难的。
牛顿－莱布尼兹公式－定理3.8在定理3.6或定理3.7的条件下，如果是在单连通区域内的任意一个原函数，则。
复围线的柯西积分定理－定理3.10设是由复围线所围成的有界多连通区域，在内解析，在上连续，则或写成（等号是加号），或写成。
柯西积分公式－定理3.11设区域的边界是围线（或复围线），在内解析，在上连续，则有(3.2)这就是柯西积分公式。
它是解析函数的积分表达式，因而是今后我们研究解析函数的重要工具。
平均值定理－定理3.12如果函数内解析，在闭圆上连续，则即在圆心的值等于它在圆周上的值的算术平均数。
证设表圆周，则或由此，根据柯西积分公式。
无穷可微性定理－定理3.13在定理3.11的条件下，函数在区域内有各阶导数，并且有(3.5)解析函数的第二判据－定理3.15函数在区域内解析的充分必要条件是（1）在内连续；（2）在内满足条件。
刘维尔定理－定理3.16刘维尔定理有界整函数必为常数。
摩勒拉定理－定理3.17若函数在单连通区域内连续，且对内的任一围线，有，则在内解析，解析函数的第三判据－定理3.18在区域内解析的充要条件是：（1）在内连续；（2）对任一围线，只要及其内部全含于内，就有。
定义复数及级数－定义4.1 对于复数项的无穷级数，（4.1）命（部分和）。
若复数列以有限复数为极限，即若，则称复数项无穷级数（4.1）收敛于，且称为级数（4.1）的和，写成；若复数列无有限极限，则称级数（4.1）为发散。
绝对收敛、条件收敛－定义4.2若级数收敛，则原级数称为绝对收敛；非绝对收敛的收敛级数，称为条件收敛。
复函数项级数－定义4.3设复变函数项级数（4.2）的各项均在点集上有定义，且在上存在一个函数，对于上的每一个点，级数（4.2）均收敛于，则称为级数（4.2）的和函数，记为。
一致收敛－定义4.4对于级数（4.2），如果在点集上有一个函数，使对任意给定的，存在正整数，当时，对一切的均有，则称级数（4.2）在上一致收敛于。
内闭一致收敛－定义4.5设函数定义于区域内，若级数（4.2）在内任一有界闭集上一致收敛，则称此级数在内内闭一致收敛。
泰勒级数－定义4.6定理中的级数称为在点的泰勒展式，（4.4）称为其泰勒系数。
零点－定义4.7设在解析区域内一点的值为零，则称为解析函数的零点。
主要定理复级数收敛的判据－定理4.1设，及为实数，则复数级（4.1）收敛于的充要条件为：实级数及分别收敛于及。
柯西收敛准则－定理4.2（柯西收敛准则）复数级（4.1）收敛的充要条件为：对任给，存在正整数，当且为任何正整数时。
收敛的充分条件－定理4.3复数级（4.1）收敛的一个充分条件为级数收敛。
柯西一致收敛准则－定理4.4（柯西一致收敛准则）级数（4.2）在点集上一致收敛于某函数的充要条件是：任给，存在正整数，使当时，对一切，均有。
优级数准则－定理4.5（优级数准则）若存在正数列，使对一切，有，而且正项级数收敛，则复函数项级数在集上绝对收敛且一致收敛。
级数连续定理－定理4.6设级数的各项在点集上连续，且一致收敛于，则和函数也在上连续。
逐项积分定理－定理4.7设级数的各项在曲线上连续，并且在上一致收敛于，则沿可以逐项积分：内闭一致收敛判据－定理4.8级数（4.2）在圆内闭一致收敛的充要条件为：对任意正数，只要,级数（4.2）在闭圆上一致收敛。
维尔斯特拉斯定理－定理4.9设（1）在区域内解析，（2）在内内闭一致收敛于函数：，则（1）在区域内解析。
（2）。
阿贝尔（Abel)定理－定理4.10如果幂级数（4.3）在某点收敛，则它必在圆（即以为心，圆周通过的圆）内绝对收敛且内闭一致收敛。
收敛半径的计算公式－定理4.12如果幂级数的系数合于，（达朗贝尔（D’Alembert）或，（柯西）或，（柯西－阿达玛）则幂级数的收敛半径幂级数和的解析性－定理4.13（1）幂级数的和函数在起收敛圆内解析。
（2）在内，幂级数（4.4）可以逐项求导至任意阶，即。
(3)泰勒公式－定理4.14（泰勒定理）设在区域内解析，，只要含于,则在内能展成幂级数，其中系数。
（4.4）且展式是唯一的。
解析函数的第四判据－定理4.15在区域内解析的充要条件为：在内任一点的邻域内可展成的幂级数，即泰勒级数。
收敛圆周上的性质－定理4.16如果幂级数的收敛半径,且则在收敛圆周上至少有一奇点，即不可能有这样的函数存在，它在内与恒等，而在上处处解析。
m级零点的判据－定理4.17不恒为零的解析函数以为级零点的充要条件为：，其中在点的邻域内解析，且。
零点的孤立性－定理4.18如在内的解析函数不恒为零，为其零点，则必有的一个邻域，使得在其中无异于的零点。
（简单说来就是：不恒为零的解析函数的零点必是孤立的。
）唯一性定理－定理4.20（唯一性定理）设（1）函数和在区域内解析；（2）内有一个收敛于的点列，在其上和等值，则和在内恒等。
最大模原理－定理4.23（最大模原理）设在区域内解析，则在内任何点都不能达到最大值，除非在内恒等于常数。
定义罗朗级数－定义5.1（5.2）称为在点的罗朗展式，（5.3）称为其罗朗系数，而（5.2）右边的级数则称为罗朗级数。
