复变函数的基概念及运算

上海市考研数学复习资料复变函数重点知识点梳理复变函数是数学中的重要概念，在上海市考研数学的复习中也占据着重要的地位。

为了帮助考生更好地复习复变函数，并掌握重点知识点，本文将对复变函数的相关内容进行梳理和总结。

一、复数的基本概念与运算规则复变函数的理论基础是复数。

复数由实部和虚部组成，可以用复平面表示。

复数的加减法，乘除法等运算规则是复变函数中的基础知识点。

此外，对于复数的幂运算、复数的共轭、复数的模和辐角等概念也是复变函数的基础知识点。

二、复变函数的连续性与可导性复变函数的连续性与可导性是复变函数理论中的重点内容。

在复平面上，连续性的概念需要结合实部和虚部进行判断，包括实部连续与虚部连续。

而对于可导性，则需要满足柯西-黎曼方程的条件。

在复变函数的连续性与可导性的学习中，需要理解并掌握连续函数与可导函数的定义和性质。

三、复变函数的积分与洛朗级数展开复变函数的积分与洛朗级数展开是复变函数中的重要知识点。

对于复平面上的曲线积分，需要掌握曲线的参数方程和曲线积分的计算方法。

而洛朗级数展开则是将函数展开为一系列的幂级数，对于计算复变函数的积分和求解解析函数的奇点等问题具有重要作用。

四、复变函数的调和函数与边值问题调和函数是复变函数中一个重要的理论概念，通过调和函数的性质可以解决一些边值问题。

对于分析调和函数的性质和求解边值问题，是复变函数复习的重点内容之一。

在学习调和函数与边值问题时，需要了解和掌握调和函数的定义、性质、解调和问题的方法等内容。

五、复变函数的应用复变函数在数学和物理等领域中都有广泛的应用。

在数学中，复变函数可以用来研究解析函数、调和函数等；在物理中，复变函数可以用来研究电磁场、流体力学等问题。

对于复变函数的应用，需要结合具体的问题进行分析和求解，掌握应用复变函数的方法和技巧。

综上所述，复变函数是上海市考研数学中的重点知识点之一。

通过对复变函数的基本概念与运算规则、连续性与可导性、积分与洛朗级数展开、调和函数与边值问题以及应用等内容的梳理和总结，考生可以更好地理解和掌握复变函数的相关知识点，为考试做好充分的准备。

复变函数笔记—（1）基本概念复变函数笔记—(1)基本概念复数 复数的⼤部分基础知识在中学阶段就已涉及，这⾥只是简单复述和⼀点拓展。

定义 形如z=x+iy的数称为复数，其中i为虚数单位，满⾜i2=−1，且x,y∈R。

x称为复数z的实部，记作x=Re(z)；同理，y称为复数z的虚部，记作y=Im(z)。

若两个复数实部虚部均相同，就说这两个复数相等。

 众所周知，实数可以在⼀条直线——数轴 R 上表⽰，复数也可以在⼀个平⾯——复平⾯ C 上表⽰。

 复数的加减乘除和实数有着⼀样的定义，同样也满⾜交换律、结合律......等⼀系列性质，在运算时只是需注意下i2=−1 即可。

 对于复数的整数次幂，有着和实数⼀样的定义：z n=z·z·...·zn个z 若w n=z，则w称为z的n次⽅根，记作w=n√z。

不难看出，对于复数z≠0 的n次⽅根有n个不同的值。

表⽰ 复数除了在笛卡尔坐标中的表⽰⽅法z=x+iy以外，还可以把复平⾯放⼊极坐标中表⽰为：z=r(cosφ+i sinφ) 其中r为z的模（即复平⾯中z到原点的距离，记作r=|z|），φ为z的辐⾓（记作φ=Arg(z)）。

 不难看出，⼀个复数的模是唯⼀的，但是辐⾓并不唯⼀，相互可以相差 2kπ，所以通常⽤arg表⽰辐⾓中的⼀个，并通常会给出其范围。

本⽂约定arg范围为 [0,2π]。

 在极坐标中对复数的表⽰感觉略显复杂，还包括三⾓函数，但其实可以通过有名的欧拉公式（之⼀）对其化简，变为：z=re iφ 通过这个可以得到，两个复数相乘等于其模相乘、辐⾓相加。

复变函数区域 在复平⾯中的点集D满⾜：1.开集性：对于任意z∈D，都存在z的邻域U(z)⊂D。

2.连通性：对于任意z1,z2∈D，都可以⽤包含于D的折线相连。

 那么称D为复平⾯上的⼀个区域。

 对于区域D，如果点z的任意邻域都有属于D，也有不属于D的点，则称z为区域D的边界点。

由所有边界点组成的点集称为边界，记作 ∂D。

复数与复变函数的基本运算与性质复数是数学中的一种重要概念，可以用来描述平面上的点或向量。

复变函数则是一种将复数作为自变量和函数值的函数。

复数与复变函数都有其特定的基本运算与性质，本文将详细介绍。

一、复数的基本运算与性质1. 复数的表示复数可表示为 a + bi 的形式，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位。

实部 a 表示复数在实轴上的投影，虚部 b 表示复数在虚轴上的投影。

2. 复数的加法和减法复数的加法和减法遵循实数的运算法则，即分别对实部和虚部进行相应的运算。

3. 复数的乘法复数的乘法按照分配律进行，即将每个部分相乘后再进行合并。

4. 复数的除法复数的除法可以通过乘以倒数的方式进行，即将除数的倒数乘以被除数。

5. 共轭复数共轭复数是指保持实部不变而虚部取负的两个复数。

共轭复数的乘积为实数，而共轭复数的和差仍为复数。

6. 模和辐角复数的模表示它与原点的距离，辐角表示其与实轴正向的夹角。

二、复变函数的基本运算与性质1. 复变函数的定义复变函数将复数作为自变量和函数值，可以表示为 f(z) = u(x, y) +iv(x, y)，其中 u 和 v 分别是 x 和 y 的实函数，i 是虚数单位。

2. 复变函数的连续性复变函数 f(z) 连续的充要条件是 u 和 v 在 z 的实部和虚部上都连续。

3. 复变函数的导数对于复变函数 f(z)，如果其在某一点 z 处存在导数，那么导数表示为 f'(z) = u_x(x, y) + iv_x(x, y)，其中 u_x 和 v_x 分别是 u 和 v 对 x 的偏导数。

4. 柯西—黎曼方程柯西—黎曼方程是复变函数的一个重要性质，即 u_x = v_y 和 u_y = -v_x。

柯西—黎曼方程保证了复变函数可导的充分必要条件。

5. 复变函数的积分复变函数的积分可以用路径积分的方法进行，路径积分表示了函数在不同路径下的变化。

路径积分不依赖于具体的路径选择，而只取决于路径的起点和终点。

复变函数复习提纲一、复数及复平面上的运算1.复数的定义和基本性质2.复数的表示形式：直角坐标形式和极坐标形式3.复数的加法和减法4.复数的乘法和除法5.复数的共轭、模和幅角二、复变函数的定义1.复变函数的定义和常见符号表示2.复变函数的实部和虚部3.复变函数的可导性和全纯性4.复变函数的解析函数和全纯函数5.复变函数与实变函数的区别三、复变函数的基本运算1.复变函数的和、差、积、商的性质2.复变函数的乘方和开方3.复变函数的复合函数和反函数4.复变函数的三角、指数和对数函数5.基本初等函数的推广四、复变函数的级数展开1.复变函数的幂级数展开2.零点的意义和展开中的唯一性3.幂级数的敛散性和收敛半径4.幂级数的和函数和导函数5.复变函数的泰勒级数展开和洛朗级数展开五、复变函数的积分1.复变函数的定积分和不定积分2.瑕积分和主值积分的定义3.复变函数的原函数和柯西-黎曼积分定理4.瑕积分和主值积分的计算方法5.狄利克雷定理和焦函数的应用六、解析函数的应用1.几何转化和连续映射2.物理应用：流体流动和电场问题3.工程应用：电阻网络和热传导问题4.统计应用：随机过程和随机变量5.数学应用：多复变数函数和复变函数的边界性质七、复变函数的解析延拓1.裂点和分岔点的概念和性质2.加点后的解析延拓和解析延拓的唯一性3.互补法和不动点法的应用4.点列内闭包性质和整函数性质的判别5.亚纯函数和亚纯函数的零点性质八、复变函数的几何应用1.复变函数的映射和对应关系2.线性变换和保持角度的特殊变换3.保形映射和自共轭函数的性质4.圆盘映射和单位圆盘函数5.黎曼映射和分式线性变换的应用九、复变函数的调和函数1.调和方程和调和函数的概念2.调和函数的基本性质和解析条件3.核函数和调和函数的唯一性4.调和函数的积分表示和傅里叶展开5.调和函数的应用：电势和温度分布以上是复变函数的复习提纲，包括了复数及复平面上的运算、复变函数的定义、复变函数的基本运算、复变函数的级数展开、复变函数的积分、解析函数的应用、复变函数的解析延拓、复变函数的几何应用和复变函数的调和函数等内容。

复变函数初步例题和知识点总结一、复变函数的基本概念复变函数是指定义在复数域上的函数。

一个复变函数通常可以表示为＄w ＝ f(z)＄，其中＄z ＝ x ＋ iy$ 是复数，＄x$ 和＄y$ 分别是实部和虚部，＄w ＝ u ＋ iv$ 也是复数，＄u$ 和＄v$ 分别是其实部和虚部。

例如，函数＄f(z) ＝ z^2$ 就是一个简单的复变函数。

将＄z ＝ x ＋iy$ 代入，可得：＼＼begin{align}f(z)＆＝（x ＋ iy)＾2\＼＆＝x^2 y^2 ＋ 2ixy＼end{align}＼从而得到实部＄u ＝ x^2 y^2$，虚部＄v ＝ 2xy$。

二、复变函数的极限与连续（一）极限如果对于任意给定的正数＄＼epsilon$，都存在正数＄＼delta$，使得当＄0 ＜｜z z_0| ＜＼delta$ 时，有＄｜f(z) A| ＜＼epsilon$，则称＄A$ 为函数＄f(z)＄当＄z$ 趋向于＄z_0$ 时的极限，记作＄＼lim_{z ＼to z_0} f(z) ＝ A$。

例如，考虑函数＄f(z) ＝＼frac{z}｛｜z|｝＄，当＄z$ 沿着实轴正方向趋近于＄0$ 时，极限为＄1$；当＄z$ 沿着实轴负方向趋近于＄0$ 时，极限为＄－1$。

由于这两个极限不相等，所以该函数在＄z ＝ 0$ 处极限不存在。

（二）连续如果函数＄f(z)＄在点＄z_0$ 处的极限存在且等于＄f(z_0)＄，则称函数＄f(z)＄在点＄z_0$ 处连续。

例如，函数＄f(z) ＝ z$ 在整个复数域上都是连续的。

三、复变函数的导数复变函数的导数定义与实函数类似，但需要满足柯西黎曼方程。

设函数＄f(z) ＝ u(x, y) ＋ iv(x, y)＄，则其导数为：＼f'（z) ＝＼lim_{＼Delta z ＼to 0} ＼frac{f(z ＋＼Delta z) f(z)｝｛＼Delta z}＼柯西黎曼方程为：＼＼frac{＼partial u}｛＼partial x} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial y}，＼quad ＼frac{＼partial u}｛＼partial y} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial x}＼例如，函数＄f(z) ＝ z^2 ＝（x ＋ iy)＾2 ＝ x^2 y^2 ＋ 2ixy$，则＄u ＝ x^2 y^2$，＄v ＝ 2xy$。