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复变函数笔记—（1）基本概念复变函数笔记—(1)基本概念复数 复数的⼤部分基础知识在中学阶段就已涉及，这⾥只是简单复述和⼀点拓展。
定义 形如z=x+iy的数称为复数，其中i为虚数单位，满⾜i2=−1，且x,y∈R。
x称为复数z的实部，记作x=Re(z)；同理，y称为复数z的虚部，记作y=Im(z)。
若两个复数实部虚部均相同，就说这两个复数相等。
众所周知，实数可以在⼀条直线——数轴 R 上表⽰，复数也可以在⼀个平⾯——复平⾯ C 上表⽰。
复数的加减乘除和实数有着⼀样的定义，同样也满⾜交换律、结合律......等⼀系列性质，在运算时只是需注意下i2=−1 即可。
对于复数的整数次幂，有着和实数⼀样的定义：z n=z·z·...·zn个z 若w n=z，则w称为z的n次⽅根，记作w=n√z。
不难看出，对于复数z≠0 的n次⽅根有n个不同的值。
表⽰ 复数除了在笛卡尔坐标中的表⽰⽅法z=x+iy以外，还可以把复平⾯放⼊极坐标中表⽰为：z=r(cosφ+i sinφ) 其中r为z的模（即复平⾯中z到原点的距离，记作r=|z|），φ为z的辐⾓（记作φ=Arg(z)）。
不难看出，⼀个复数的模是唯⼀的，但是辐⾓并不唯⼀，相互可以相差 2kπ，所以通常⽤arg表⽰辐⾓中的⼀个，并通常会给出其范围。
本⽂约定arg范围为 [0,2π]。
在极坐标中对复数的表⽰感觉略显复杂，还包括三⾓函数，但其实可以通过有名的欧拉公式（之⼀）对其化简，变为：z=re iφ 通过这个可以得到，两个复数相乘等于其模相乘、辐⾓相加。
复变函数区域 在复平⾯中的点集D满⾜：1.开集性：对于任意z∈D，都存在z的邻域U(z)⊂D。
2.连通性：对于任意z1,z2∈D，都可以⽤包含于D的折线相连。
那么称D为复平⾯上的⼀个区域。
对于区域D，如果点z的任意邻域都有属于D，也有不属于D的点，则称z为区域D的边界点。
由所有边界点组成的点集称为边界，记作 ∂D。
复变函数初步例题和知识点总结一、复变函数的基本概念复变函数是指定义在复数域上的函数。
一个复变函数通常可以表示为＄w ＝ f(z)＄，其中＄z ＝ x ＋ iy$ 是复数，＄x$ 和＄y$ 分别是实部和虚部，＄w ＝ u ＋ iv$ 也是复数，＄u$ 和＄v$ 分别是其实部和虚部。
例如，函数＄f(z) ＝ z^2$ 就是一个简单的复变函数。
将＄z ＝ x ＋iy$ 代入，可得：＼＼begin{align}f(z)＆＝（x ＋ iy)＾2\＼＆＝x^2 y^2 ＋ 2ixy＼end{align}＼从而得到实部＄u ＝ x^2 y^2$，虚部＄v ＝ 2xy$。
二、复变函数的极限与连续（一）极限如果对于任意给定的正数＄＼epsilon$，都存在正数＄＼delta$，使得当＄0 ＜｜z z_0| ＜＼delta$ 时，有＄｜f(z) A| ＜＼epsilon$，则称＄A$ 为函数＄f(z)＄当＄z$ 趋向于＄z_0$ 时的极限，记作＄＼lim_{z ＼to z_0} f(z) ＝ A$。
例如，考虑函数＄f(z) ＝＼frac{z}｛｜z|｝＄，当＄z$ 沿着实轴正方向趋近于＄0$ 时，极限为＄1$；当＄z$ 沿着实轴负方向趋近于＄0$ 时，极限为＄－1$。
由于这两个极限不相等，所以该函数在＄z ＝ 0$ 处极限不存在。
（二）连续如果函数＄f(z)＄在点＄z_0$ 处的极限存在且等于＄f(z_0)＄，则称函数＄f(z)＄在点＄z_0$ 处连续。
例如，函数＄f(z) ＝ z$ 在整个复数域上都是连续的。
三、复变函数的导数复变函数的导数定义与实函数类似，但需要满足柯西黎曼方程。
设函数＄f(z) ＝ u(x, y) ＋ iv(x, y)＄，则其导数为：＼f'（z) ＝＼lim_{＼Delta z ＼to 0} ＼frac{f(z ＋＼Delta z) f(z)｝｛＼Delta z}＼柯西黎曼方程为：＼＼frac{＼partial u}｛＼partial x} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial y}，＼quad ＼frac{＼partial u}｛＼partial y} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial x}＼例如，函数＄f(z) ＝ z^2 ＝（x ＋ iy)＾2 ＝ x^2 y^2 ＋ 2ixy$，则＄u ＝ x^2 y^2$，＄v ＝ 2xy$。
