复变函数的积分(答案)

一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。

(1) i 解：2cossin22ii e i πππ==+(2) -1解：1cos sin i e i πππ-==+ (3)1+解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解：2221cos sin 2sin 2sincos2sin(sincos )2222222sincos()sin()2sin 222222i i i i i e πααααααααααπαπαα⎛⎫- ⎪⎝⎭-+=+=+⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭(5) 3z解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e +解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+(7)11ii-+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++二、计算下列数值(1) 解：1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a bi ctg abi ctgaπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎧⎪=⎨⎪⎩(2)解：6226363463222i k i i i i e i ee e iπππππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎧=+⎪⎪⎪⎨====-+⎪⎪⎪=-⎩(3) i i 解：()2222ii k k i i e eππππ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(4)解：()1/2222ii k k eeππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(5) cos5α解：由于：()()552cos5i i e e ααα-+=，而：()()()()()()()()5555555555cos sin cos sin cos sin cos sin nni nn nni n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑所以：()()()()()()()()()()()555505555043253543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n nn n n n nn n C i i C i i C i ααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=+-⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦=++=-+∑∑(6) sin5α解：由于：()()552sin 5i i ee ααα--=，所以：()()()()()()()()()()()()55550555505234245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n nn n n n nn n C i i i C i i i C i C i iααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=--⎣⎦⎡⎤=--⎣⎦=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解：()()221cos cos 2cos ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ααααααααααααααααααααααα----------⎡⎤+++=+++++++⎣⎦⎡⎤--+--⎡⎤--⎢⎥=+=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦+=L L L L L L (1)(1)22(1cos )12cos 22cos(1)2cos cos 1cos(1)cos 22(1cos )2(1cos )1sin()sin22 2sin2i i n i n in in e e e e n n n n n ααααααααααααααααα+-+-⎡⎤---++⎢⎥-⎣⎦⎡⎤--++--++==⎢⎥--⎣⎦+-=(8) sin sin 2sin n ααα+++L L 解：()()221sin sin 2sin ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e i e e e e e e e e e e i e e i e i αααααααααααααααααααααα---------⎡⎤+++=+++-+++⎣⎦⎡⎤-----⎡⎤--⎢⎥=-=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦=L L L L L L (1)(1)112(1cos )12sin 2sin(1)2sin sin sin(1)sin 22(1cos )2(1cos )1cos()cos22 2sin2i n in i i n in e e e e e i i n i n n n i n αααααααααααααααααα+--+-⎡⎤--+-++-⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-++-++==⎢⎥--⎣⎦-++=1.2 复变函数1、试证明函数f (z )=Arg(z ) (-π<Arg(z) ≤π)，在负实轴上(包括原点)不连续。

复变函数与积分变换试题(一）一、填空(３分×10)１.得模ﻩﻩ、幅角ﻩ。

２.-8i得三个单根分别为：、、。

3.Lｎz在得区域内连续。

4．得解极域为:ﻩﻩﻩﻩﻩ。

５.得导数ﻩﻩﻩﻩﻩ。

6. ﻩﻩ。

７.指数函数得映照特点就是:ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。

8．幂函数得映照特点就是: ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。

9.若=F [f(t)]、则= F ﻩﻩﻩﻩ。

１０.若f(ｔ)满足拉氏积分存在条件、则L [f(ｔ)］= ﻩﻩﻩ。

二、(10分)已知、求函数使函数为解析函数、且f(0)＝0。

三、(10分)应用留数得相关定理计算四、计算积分(5分×2)1.2．C:绕点ｉ一周正向任意简单闭曲线。

五、(1０分)求函数在以下各圆环内得罗朗展式。

1.2.六、证明以下命题：（5分×2)(1)与构成一对傅氏变换对。

（2）七、(10分)应用拉氏变换求方程组满足x （0)＝y （０)=z (0)＝0得解y (t )。

八、(１0分)就书中内容、函数在某区域内解析得具体判别方法有哪几种。

复变函数与积分变换试题答案(一)一、1．ﻩﻩ、ﻩ ﻩ２、ﻩ-i ﻩﻩ2ｉﻩ-i ﻩ3、ﻩZ 不取原点与负实轴 ４、 空集５、ﻩ2z ﻩ6.０ 7、将常形域映为角形域ﻩ８、 角形域映为角形域 9、ﻩ ﻩ1０、 二、解:∵ﻩ ∴ ﻩ(5分)∵f (0）=0ﻩﻩﻩﻩc =0(３分)∴ﻩﻩ(2分)三、解：原式＝(2分)ﻩ（2分）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=(2分) =四、1.解:原式ﻩ(３分) z 1=0 ﻩｚ2=１ﻩ=0ﻩﻩ(2分)2．解:原式=五、1.解:nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（ ﻩﻩ(2分) ﻩ２.解: （1分)ﻩ(2分）六、1.解:∵ﻩ(3分）ﻩ∴结论成立 （２)解:∵ﻩ(２分)ﻩ ∴与1构成傅氏对∴（2分)七、解:∵ﻩﻩ（3分)S (２)-（1):∴ （3分)∴八、解：①定义;②C-R 充要条件Th ; ③v 为u 得共扼函数ﻩ1０分复变函数与积分变换试题（二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导就是ｆ(ｚ）在D 内解析得（ﻩ ﻩ）条件。

1、 指出下列不等式所确定的区域与闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连通域还是多连通域？ (1) 32<<z (2) 31<z (3) 313arg 4<<<<z z 且；
ππ (4) 21Im <>z z 且；
解：（1） 该区域是有界多连通域，为下图阴影部分。

（2）该区域是无界多连通域，为下图阴影部分。

( 3 ) 该区域是有界单连通域，为下图阴影部分。

（4）该区域是有界单连通域，为下图阴影部分。

2、 设
⎪⎩
⎪⎨⎧=≠+=,0,0,0,)(22z z y x y x z f 试证)(z f 在0=z 不连续。

证明： 若z 沿直线kx y =趋于0，则
()()()()()2
022220220,0,0,0,1lim lim lim lim k k x k x kx y x xy z f x x y x y x +=+=+=→→→→， 因该极限随k 的不同而不同，所以当()()0,0,→y x 时，()z f 的极限不存在。

而根据连续性的定义，只有当该极限存在并且极限值等于该函数在此处的函数值时，才认为函数在该点处连续，所以说)(z f 在0=z 不连续。

复变函数练习题 第三章 复变函数的积分系 专业 班 姓名 学号§1 复变函数积分的概念 §4 原函数与不定积分一．选择题1．设为从原点沿至的弧段，则[]C 2y x =1i +2()Cx iy dz +=⎰（A ）（B ） （C ） （D ）1566i -1566i -+1566i --1566i +2. 设是，从1到2的线段，则 []C (1)z i t =+t arg Czdz =⎰（A ）（B ）（C ）（D ）4π4i π(1)4i π+1i+3．设是从到的直线段，则[]C 012i π+z Cze dz =⎰（A ）（B ） （C ） （D ）12e π-12e π--12ei π+12eiπ-4．设在复平面处处解析且，则积分[]()f z ()2iif z dz i πππ-=⎰()iif z dz ππ--=⎰（A ） （B ）（C ）（D ）不能确定2i π2i π-0二．填空题1．设为沿原点到点的直线段，则2。

C 0z =1z i =+2Czdz =⎰2．设为正向圆周，则C |4|1z -=2232(4)A Cz z dz z -+=-⎰10.i π三．解答题1．计算下列积分。

（1）323262121()02iziiz i i i edzee e ππππππ---==-=⎰（2）22222sin 1cos2sin 2224sin 2.244iiiii i zdzz z z dz i e e e e i i i i ππππππππππππππ------⎛⎫==- ⎪⎝⎭⎛⎫--=-=-=+⎪⎝⎭⎰⎰（3）110sin (sin cos )sin1cos1.z zdzz z z =-=-⎰（4）20222cos sin 1sin sin().222iiz z dzz i ππππ==⋅=-⎰2．计算积分的值，其中为正向圆周：||C z dz z ⎰A C （1）2200||22,022224.2i i i z Cz e e ie d id i θθππθθπθθπ-==≤≤⋅==⎰⎰积分曲线的方程为则原积分I =（2）2200||44,024448.4i i i z Cz e e ie d id i θθππθθπθθπ-==≤≤⋅==⎰⎰积分曲线的方程为则原积分I =3．分别沿与算出积分的值。

习题三1. 计算‎积分2()d Cx y ix z -+⎰,其中C 为从原‎点到点1+i 的直线段‎.解 设直线段的方‎程为y x =,则z x ix =+. 01x ≤≤‎故 ()()12212310()11(1)(1)(1)333Cx y ix dz x y ix d x ix i i ix i dx i i x i -+=-++-=+=+⋅=+=⎰⎰⎰2‎. 计算积分(1)d Cz z -⎰，其中‎积分路径C 为(1)‎ 从点0到点1+i 的‎直线段;(2) 沿‎抛物线y =x 2，从点‎0到点1+i 的弧段.‎解 (1)设z x ix =+. ‎ 01x ≤≤()()111()Cz d z x i x dx i x i-=-++=⎰⎰ (2)‎设2z x ix =+. 01x ≤≤()()122211()3Ciz dz x ix d x ix -=-++=⎰⎰ ‎3. 计算积分d Cz z ⎰，其‎中积分路径C 为(1‎) 从点-i 到点i 的‎直线段;(2) 沿‎单位圆周|z |=1的‎左半圆周，从点-i 到‎点i ;(3) 沿单‎位圆周|z |=1的右‎半圆周，从点-i 到点‎i .解 (1)设‎z iy =. 11y -≤≤1111Cz dz ydiy i ydy i --===⎰⎰⎰(2‎)设i z e θ=. θ从32π到2π‎22332212i i Cz dz de i de i ππθθππ===⎰⎰⎰(3) 设i z e θ=.‎ θ从32π到2π23212i Cz dz de i πθπ==⎰⎰‎6. 计算积分()sin zCz ez dz -⋅⎰ ,其‎中C 为0za =>.解()sin sin zzCCCz ez dz z dz e zdz -⋅=-⋅⎰⎰⎰‎∵sin ze z ⋅在z a =所围的区域内‎解析∴sin 0zCezdz ⋅=⎰从而()2022sin 0z i CCi z e z dz z dz adae a i e d πθπθθ-⋅====⎰⎰⎰⎰ ‎故()sin 0zCz ez dz -⋅=⎰7. 计算‎积分21(1)Cdz z z +⎰,其中积分路径‎C 为（1）11:2C z =‎（2）23:2C z =（3）31:2C z i +=‎（4）43:2C z i -= 解：‎（1）在12z =所围的区域‎内，21(1)z z +只有一个奇点0z =‎. 12111111()2002(1)22CC dz dz i i z z z z i z i ππ=-⋅-⋅=--=+-+⎰⎰ （2）在2C 所‎围的区域内包含三个奇‎点0,z z i ==±.故22111111()20(1)22CC dz dz i i i z z z z i z iπππ=-⋅-⋅=--=+-+⎰⎰ （3）‎在2C 所围的区域内包含‎一个奇点z i =-,故32111111()00(1)22C C dz dz i i z z z z i z i ππ=-⋅-⋅=--=-+-+⎰⎰‎（4）在4C 所围的区域‎内包含两个奇点0,z z i ==,故‎42111111()2(1)22C C dz dz i i i z z z z i z i πππ=-⋅-⋅=-=+-+⎰⎰10.利用‎牛顿-莱布尼兹公式计‎算下列积分. ‎(1)20cos 2izdz π+⎰(2‎)z ie dz π--⎰ (3)21(2)iiz dz +⎰‎(4) 1ln(1)1iz dz z ++⎰ (5‎)1sin z zdz ⋅⎰(6)211tan cos izdz z +⎰‎解 (1)2201cos sin21222iiz z dz ch ππ++==⎰(2‎)2zz iiedz e ππ----=-=-⎰(3)22311111111(2)(2)(2)(2)333ii ii iz dz iz d iz iz i i +=++=⋅+=-+⎰⎰ (‎4) 222111ln(1)11ln(1)ln(1)ln (1)(3ln 2)1284ii iz dz z d z z z π+=++=+=-++⎰⎰ (5)11110000sin cos cos cos sin1cos1z zdz zd z z z zdz ⋅=-=-+=-⎰⎰⎰‎(6) 222112111221tan 1sec sec tan tan cos 2111tan1tan 1t 122ii i i iz dz zdz z zdz tanz z z ith h +=+=+⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰11.‎ 计算积分21zCe dz z +⎰,其中C ‎为 (1) 1z i -= (‎2) 1z i += (3) ‎2z =解 (1)221()()z z ziz iC C e e e dz dz i e z z i z i z iππ===⋅=++-+⎰⎰ ‎(2)221()()z z zi z iC C e e e dz dz i e z z i z i z iππ-=-==⋅=-++--⎰⎰(3)‎122222sin1111z z z i iC C C e e e dz dz dz e e i z z z πππ-=+=-=+++⎰⎰⎰16. ‎求下列积分的值,其中‎积分路径C 均为|z |‎=1.(1) 5zC e dz z ⎰ ‎ (2) 3cos C z dz z ⎰(3)‎ 020tan12,()2C zdz z z z <-⎰ 解 (1) (4)52()4!12z z z C e i idz e z ππ===⎰ ‎(2)(2)3cos 2(cos )2!z C z i dz z i z ππ===-⎰(3)‎ 0'220tan22(tan )sec ()2z z C zz dz i z i z z ππ===-⎰17. 计‎算积分331(1)(1)C dz z z -+⎰ ,其中积分路‎径C 为(1)中心位‎于点1z =,半径为2R <的正‎向圆周(2) 中心‎位于点1z =-,半径为2R <的‎正向圆周解：(‎1) C内包含了奇点‎1z =∴(2)13331213()(1)(1)2!(1)8z C i idz z z z ππ===-++⎰ (2) C‎内包含了奇点1z =-,∴‎(2)13331213()(1)(1)2!(1)8z C i i dz z z z ππ=-==--+-⎰19. 验证下‎列函数为调和函数.‎3223(1)632;(2)e cos 1(e sin 1).x xx x y xy y y i y ωω=--+=+++解(1) 设w u i υ=+,‎3223632u x x y xy y=--+ 0υ=∴223123u x xy y x ∂=--∂ 22666ux xy y y∂=--+∂ ‎22612u x y x∂=-∂ 22612ux y y ∂=-+∂ 从而有22220u ux y ∂∂+=∂∂‎,w 满足拉普拉斯方程‎,从而是调和函数. ‎(2) 设w u i υ=+,cos 1x u e y =⋅+ ‎sin 1x e y υ=⋅+∴cos x u e y x ∂=⋅∂ s i n x ue y y∂=-⋅∂ 22cos x u e y x ∂=⋅∂ ‎ 22cos x u e y y∂=-⋅∂ 从而有22220u ux y∂∂+=∂∂,u ‎满足拉普拉斯方程,从‎而是调和函数. sin x e y x υ∂=⋅∂ ‎ cos x e y yυ∂=⋅∂ 22sin xe y x υ∂=⋅∂ 22s i n x y e yυ∂=-⋅∂ 22220x yυυ∂∂+=∂∂,‎υ满足拉普拉斯方程,‎从而是调和函数.‎20.证明:函数22u x y =-,‎22xx yυ=+都是调和函数,但()f z u i υ=+‎不是解析函数证明:‎ 2u x x ∂=∂ 2u y y ∂=-∂ 222u x ∂=∂ 222u y∂=-∂ ‎∴22220u ux y ∂∂+=∂∂,从而u 是调和函‎数. 22222()y x x x y υ∂-=∂+ 2222()xy y x y υ∂-=∂+ 223222362()xy x x x y υ∂-+=∂+ ‎ 223222362()xy x y x y υ∂-=∂+ ∴22220x yυυ∂∂+=∂∂,从而υ是‎调和函数. 但∵u x y υ∂∂≠∂∂ ‎ u yx υ∂∂≠-∂∂ ∴不满足C-R ‎方程,从而()f z u i υ=+不是解析‎函数.22.由下‎列各已知调和函数,求‎解析函数()f z u i υ=+ (1)22u x y xy =-+‎(2)22,(1)0yu f x y ==+ 解 (‎1)因为 2u x y x y υ∂∂=+=∂∂ 2u y x y xυ∂∂=-+=-∂∂ ‎ 所以22(,)(,)(2)(2)(2)00(0,0)(0,0)222u u x y x y y x dx dy C y x dx x y dy C xdx x y dy C y xx y xy Cυ∂∂=-++=-+++=-+++⎰⎰⎰⎰∂∂=-+++2222()i(2)22x y f z x y xy xy C =-++-+++令y ‎=0,上式变为22()i()2x f x x C =-+‎从而22()i i 2z f z z C =-⋅+(2)2222()u xy x x y ∂=-∂+ ‎ 22222()u x y y x y ∂-=∂+ 用线积分法，取‎（x 0,y 0）为(1‎,0)，有2(,)4222(1,0)122222()0()1110x y x u u x y ydx dy C dx x dy Cy x x x y x x yC x x y x y υ∂∂=-++=-+⎰∂∂+=-+=-+++⎰⎰ 2222()i(1)y xf z C x y x y=+-+++ ‎由(1)0.f =，得C=0 ()11f i z z ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭‎23.设12()()()()n p z z a z a z a =--- ,其中(1,2,,)i a i n = ‎各不相同，闭路C 不通‎过12,,,n a a a ,证明积分1()d 2π()C p z z i p z '⎰ ‎等于位于C 内的p(z ‎)的零点的个数.‎证明: 不妨设闭路C ‎内()P z 的零点的个数为k ‎, 其零点分别为12,,...k a a a‎1112312121()()()...()...()1()12πi ()2πi ()()...()111111...2πi 2πi 2πi 111111...1...2πi 2πi nnk k n k k C Cn C C C nC C k n k z a z a z a z a z a P z dz dzP z z a z a z a dz dz dz z a z a z a dz d z a z a -==+-+--+--'=---=+++---=++++++--∏∏⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰个z k=24.试证明下‎述定理(无界区域的柯‎西积分公式): 设f ‎(z )在闭路C 及其外‎部区域D 内解析，且lim ()z f z A →∞=≠∞‎，则(),,1()d ,.2πC f z A z D f A z G i z ξξξ-+∈⎧=⎨∈-⎩⎰ 其中G 为C ‎所围内部区域.证‎明：在D 内任取一点Z ‎，并取充分大的R ，作‎圆C R : R z =，将C 与‎Z 包含在内则f(z ‎)在以C 及RC 为边界的‎区域内解析，依柯西积‎分公式，有R 1()()()[-]2πi C C f f f z d d z zζζζζζζ=--⎰⎰ 因为‎()f z zζζ-- 在R ζ>上解析，且‎()1lim lim ()lim ()11f f f z z ζζζζζζζζζ→∞→∞→∞=⋅==--所以，当Z 在C 外‎部时，有1()()2πi C f f z A d z ζζζ=--⎰即1()()2πi C f d f z A zζζζ=-+-⎰ ‎设Z 在C 内，则f(z ‎)=0，即 R 1()()0[]2πi C C f f d d zz ζζζζζζ=---⎰⎰ 故有‎：1()2πi C f d A z ζζζ=-⎰ ‎。