[分析] （1）
A
延长AD到E，使得DE=AD
A
[分析]过O作OD⊥AB于D，
E
D
OE⊥AC于E，OF⊥BC于F．
O
由已知易证OD=OE=OF， C 由此可知
F
B
SABO : SBCO : SACO AB : BC : AC.
20
例4、△ABC的三边AB、BC、AC的长度分别
为20、30、40，其三个内角的平分线的交点为O，
求 ． SABO : SBCO : SACO
∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E ，且PD=PE ． ∴ OC平分∠AOB ． 因此，角平分线可以看作是角的内部到角两边的
距离相等的点的集合。
2
4、图形变换 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了， 但形状、大小都没有改变， 即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
3
5、常见基本图形
4
5
6
例1、如图，AC平分∠BAD，CF⊥AD，CE⊥AB，
A
解：过O作OD⊥AB于D，
E
D
OE⊥AC于E，OF⊥BC于F．
∵△ABC三个内角的平分线
O
的交点为O，
C
F
B
∴OD=OE=OF．
SABO
1 2
AB OD, SBCO
1 2
BC
OF , SACO
1 2
AC
OE ,
SABO : SBCO : SACO AB : BC : AC 2 : 3 : 4.
PM PN.
12
例3、如图，△ABC中，点P是角平分线AD、BE 的交点，求证：点P在∠C的平分线上．
A
E P
C
B
D
13
例3、如图，△ABC中，点P是角平分线AD、BE 的交点，求证：点P在∠C的平分线上．
[分析] 过点P作PO⊥BC于O，
PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，
要证点P在∠C的平分线上，
18
例4、△ABC的三边AB、BC、AC的长度分别
为20、30、40，其三个内角的平分线的交点为O，
求 ． SABO : SBCO : SACO
A
O
C
B
19
例4、△ABC的三边AB、BC、AC的长度分别
为20、30、40，其三个内角的平分线的交点为O，
求 ． SABO : SBCO : SACO
全等三角形2
1
（一）基础知识 1、证明两个三角形全等的方法： SSS，SAS，ASA，AAS，HL
A D
P
2、角平分线的性质定理：
O
角平分线上的点到角两边的距离相等。
EB
∵OC平分∠AOB，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E． ∴PD=PE．
3、角平分线的判定定理： 角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上。
BM D
PN O
A
10
例2、已知，如图，OD平分∠AOB， 在OA、OB边上取OA=OB，点P在OD上， 且PM⊥BD，PN⊥AD，求证：PM=PN．
[分析]由于PM、PN是点P到 ∠ADB的两边的距离， 所以只需证OD平分∠ADB， O 这可通过证明△OBD≌OAD得到．
BM D
PN
A
11
例2、已知，如图，OD平分∠AOB，
直线的距离相等，
B
且点P在∠B的平分线上．
A
P
C
17
[小结]三角形三个内角的平分线交于一点， 且该点到三角形三边的距离相等．
[发展]
1、如图，点P是△ABC的
两个外角的平分线的交点，
A
P
则点P到△ABC三边所在
直线的距离相等，
B
C
且点P在∠B的平分线上．
2、到三角形三边距离相等的点有4个。
（在三角形内部，只有一个；在三角形外部，有3个）
[分析] （1）
A
延长AD到E，使得DE=AD
易证△ACD≌ △EBD（SAS）
从而BE=AC
B
D
C
∵在△ABE中，AB+BE>AE
∴AB+AC>2AD.
（2）易知2<AD<8
E
23
（二）常见辅助线的添加方法
例5、在△ABC中，AD是BC边上的中线， （1）求证：AB＋AC>2AD. （2）若AB=6,AC=10,则AD的取值范围是 ．
21
（二）常见辅助线的添加方法
例5、在△ABC中，AD是BC边上的中线， （1）求证：AB＋AC>2AD. （2）若AB=6,AC=10,则AD的取值范围是 ．
A
B
D
C
22
（二）常见辅助线的添加方法
例5、在△ABC中，AD是BC边上的中线， （1）求证：AB＋AC>2AD. （2）若AB=6,AC=10,则AD的取值范围是 ．
CD=CB，求证：BE=DF． F
证明：∵AC平分∠BAD，
D
C
CF⊥AD，CE⊥AB，
A
∴CE=CF，∠CEB=∠CFD=90°．
EB
∵在Rt△CBE和Rt△CDF中，
CE=CF CD=CB
∴Rt△CBE≌Rt△CDF． ∴BE=DF．
9
例2、已知，如图，OD平分∠AOB， 在OA、OB边上取OA=OB，点P在OD上， 且PM⊥BD，PN⊥AD，求证：PM=PN．
CD=CB，求证：BE=DF． F
D
C
A
EBF⊥AD，CE⊥AB，
CD=CB，求证：BE=DF． F
[分析]要证BE=DF，
D
C
只需证△CBE≌△CDF．
A
而CD=CB，∠CEB=∠CFD=90°，
EB
只需证CE=CF，这可由角平分线的性质得到．
8
例1、如图，AC平分∠BAD，CF⊥AD，CE⊥AB，
只需证PO=PN．
而由已知可知，
B
PM=PN，PM=PO，得证．
A
M P
DO
N E
C
14
例3、如图，△ABC中，点P是角平分线AD、BE 的交点，求证：点P在∠C的平分线上．
证明：过点P作PO⊥BC于O，
A
PM⊥AB于M，PN⊥AC于N．
∵点P是角平分线AD、BE的交点， M
∴PM=PN，PM=PO．
P
N E
∴PN=PO．
B
DO
C
∵PO⊥BC，PN⊥AC，
∴点P在∠C的平分线上．
15
[小结]三角形三个内角的平分线交于一点， 且该点到三角形三边的距离相等．
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[小结]三角形三个内角的平分线交于一点， 且该点到三角形三边的距离相等．
[发展]
1、如图，点P是△ABC的
两个外角的平分线的交点，
则点P到△ABC三边所在
在OA、OB边上取OA=OB，点P在OD上，
且PM⊥BD，PN⊥AD，求证：PM=PN．
证明： OD平分AOB,
BM
1 2. 在OBD和OAD中，
OB OA
3 4
D
1P 2
N
O
A
1 2
3 4.
OD OD
PM BD, PN AD,
OBD ≌ OAD.
