1
D
C
2
F
例7、如图，在四边形ABCD中，对角线AC 平分∠BAD，AB>AD， 试判断AB-AD与CB-CD的大小关系， 并证明你的结论．
B
A
D
C
例7、如图，在四边形ABCD中，对角线AC 平分∠BAD，AB>AD， A 试判断AB-AD与CB-CD的大小关系， 1 2 并证明你的结论． E [分析]在AB上取一点E， B 使得AE=AD，连结CE． 易证△ACE≌△ACD． C ∴CD=CE． ∵在△BCE中，BE>CB-CE， 即AB-AE>CB-CE， ∴AB-AD>CB-CD．
D
例8、如图，∠1=∠2，P为BN上一点， 若∠PCB+∠BAP=180°，求证：PA=PC．
A 1 B 2 C P
例8、如图，∠1=∠2，P为BN上一点， 若∠PCB+∠BAP=180°，求证：PA=PC． [分析1] 由已知∠1=∠2， A 可以构造全等三角形， 1 在BC上取一点D，使得BD=AB， 2 B 连结PD，易证△ABP≌△DBP， 从而得到PA=PD． 要证PA=PC，只需证PC=PD， 这可以通过证明∠PCB=∠PDC得到．
A
．
B
D
C
（二）常见辅助线的添加方法 例5、在△ABC中，AD是BC边上的中线， （1）求证：AB＋AC>2AD. （2）若AB=6,AC=10,则AD的取值范围是 A [分析] （1） 延长AD到E，使得DE=AD 易证△ACD≌ △EBD（SAS） D 从而BE=AC B ∵在△ABE中，AB+BE>AE ∴AB+AC>2AD. （2）易知2<AD<8
SABO : SBCO : SACO AB : BC : AC.
E O C F B D
例4、△ABC的三边AB、BC、AC的长度分别 为20、30、40，其三个内角的平分线的交点为O， A 求 SABO : SBCO : SACO ． 解：过O作OD⊥AB于D， OE⊥AC于E，OF⊥BC于F． ∵△ABC三个内角的平分线 的交点为O， ∴OD=OE=OF．
B
P A
M
D N
例2、已知，如图，OD平分∠AOB， 在OA、OB边上取OA=OB，点P在OD上， 且PM⊥BD，PN⊥AD，求证：PM=PN．
证明： OD平分AOB, 1 2. 在OBD和OAD中， OB OA 1 2 OD OD OBD ≌ OAD.
A
M P D O
N E C
[小结]三角形三个内角的平分线交于一点， 且该点到三角形三边的距离相等．
[小结]三角形三个内角的平分线交于一点， 且该点到三角形三边的距离相等． [发展] 1、如图，点P是△ABC的 两个外角的平分线的交点， 则点P到△ABC三边所在 直线的距离相等， 且点P在∠B的平分线上．
PE PD
[小结]上述两种方法是与角平分线有关的问题中 常见的两种添加辅助线的方法， 即构造全等三角形或作角两边的垂线．
例8、如图，∠1=∠2，P为BN上一点， 若∠PCB+∠BAP=180°，求证：PA=PC． [分析2]过点P作PE⊥AB于E， E PD⊥BC于D，可知PE=PD， A 易证△PAE≌PCD， 1 2 从而得到PA=PC． B
P
D
C
例8、如图，∠1=∠2，P为BN上一点， 若∠PCB+∠BAP=180°，求证：PA=PC． 证明：过点P作PE⊥AB于E，PD⊥BC于D． ∴∠PEA=∠PDC=90°． E ∵∠1=∠2，∴PE=PD． A P ∵∠PCB+∠BAP=180°， 1 ∠PAE+∠BAP=180°， 2 B D C ∴∠PCB=∠PAE． ∵在△PAE和△PCD中， PAE PCB ∴△PAE≌△PCD． ∴PA=PC． PEA PDC
[分析] 过点P作PO⊥BC于O， PM⊥AB于M，PN⊥AC于N， 要证点P在∠C的平分线上， 只需证PO=PN． 而由已知可知， PM=PN，PM=PO，得证．
A
M P B D O
N E C
例3、如图，△ABC中，点P是角平分线AD、BE 的交点，求证：点P在∠C的平分线上．
证明：过点P作PO⊥BC于O， PM⊥AB于M，PN⊥AC于N． ∵点P是角平分线AD、BE的交点， ∴PM=PN，PM=PO． ∴PN=PO． B ∵PO⊥BC，PN⊥AC， ∴点P在∠C的平分线上．
4、图形变换 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了， 但形状、大小都没有改变， 即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
5、常见基本图形
例1、如图，AC平分∠BAD，CF⊥AD，CE⊥AB， CD=CB，求证：BE=DF．
F D C
A
E B
例1、如图，AC平分∠BAD，CF⊥AD，CE⊥AB， CD=CB，求证：BE=DF．
A
P
B
C
[小结]三角形三个内角的平分线交于一点， 且该点到三角形三边的距离相等．
[发展] 1、如图，点P是△ABC的 A 两个外角的平分线的交点， P 则点P到△ABC三边所在 B 直线的距离相等， C 且点P在∠B的平分线上． 2、到三角形三边距离相等的点有4个。 （在三角形内部，只有一个；在三角形外部，有3个）
．
C
E
（二）常见辅助线的添加方法 例5、在△ABC中，AD是BC边上的中线， （1）求证：AB＋AC>2AD. （2）若AB=6,AC=10,则AD的取值范围是 A [分析] （1） 延长AD到E，使得DE=AD 易证△ACD≌ △EBD（SAS） D 从而BE=AC B ∵在△ABE中，AB+BE>AE ∴AB+AC>2AD. 倍长中线 （2）易知2<AD<8
F
[分析]要证BE=DF， 只需证△CBE≌△CDF． A E B 而CD=CB，∠CEB=∠CFD=90°， 只需证CE=CF，这可由角平分线的性质得到．
D
C
例1、如图，AC平分∠BAD，CF⊥AD，CE⊥AB， CD=CB，求证：BE=DF．
F
证明：∵AC平分∠BAD， CF⊥AD，CE⊥AB， A ∴CE=CF，∠CEB=∠CFD=90°． ∵在Rt△CBE和Rt△CDF中， CE=CF CD=CB ∴Rt△CBE≌Rt△CDF． ∴BE=DF．
．
C
E
例6、已知：如图，AB＝AC，E为AB上一点， F是AC延长线上一点，且EF交BC于点D , D为EF的中点. 求证：BE＝CF. A
E C
B
D
F
例6、已知：如图，AB＝AC，E为AB上一点， F是AC延长线上一点，且EF交BC于点D , D为EF的中点. 求证：BE＝CF. A [分析]过E作EM//AC，交BC于M. 易证△CDF≌ △MDE（AAS） E 从而得到ME=CF. 要证BE=CF，只需证BE=ME. B 3 4 M 这就需要证明∠B= ∠3 ∵ ∠1+ ∠2=180°， ∠3+ ∠4=180 ° ∠2= ∠4 ∴ ∠1= ∠3 ∵ ∠B= ∠1 ∴ ∠B= ∠3
P
D
C
例8、如图，∠1=∠2，P为BN上一点， 若∠PCB+∠BAP=180°，求证：PA=PC． 证法1：在BC上取一点D，使得BD=AB．连结PD ∵在△ABP和△DBP中，
AB BD 1 2 PB PB
B A 1 2 P
∴△ABP≌△DBP#43;∠BAP=180°，∠PDC+∠BDP=180°， ∴∠PCB=∠PDC． ∴PD=PC ∴PA=PC．
SABO
E O C F B D
1 1 1 AB OD, SBCO BC OF , SACO AC OE , 2 2 2 SABO : SBCO : SACO AB : BC : AC 2 : 3: 4.
（二）常见辅助线的添加方法 例5、在△ABC中，AD是BC边上的中线， （1）求证：AB＋AC>2AD. （2）若AB=6,AC=10,则AD的取值范围是
D
C
E B
例2、已知，如图，OD平分∠AOB， 在OA、OB边上取OA=OB，点P在OD上， 且PM⊥BD，PN⊥AD，求证：PM=PN．
B
P O A
M
D N
例2、已知，如图，OD平分∠AOB， 在OA、OB边上取OA=OB，点P在OD上， 且PM⊥BD，PN⊥AD，求证：PM=PN． [分析]由于PM、PN是点P到 ∠ADB的两边的距离， 所以只需证OD平分∠ADB， O 这可通过证明△OBD≌OAD得到．
O 1 2
B
P
M 3 4
N A
D
3 4. PM BD, PN AD, PM PN .
例3、如图，△ABC中，点P是角平分线AD、BE 的交点，求证：点P在∠C的平分线上．
A
P
E
B
D
C
例3、如图，△ABC中，点P是角平分线AD、BE 的交点，求证：点P在∠C的平分线上．
例4、△ABC的三边AB、BC、AC的长度分别 为20、30、40，其三个内角的平分线的交点为O， A 求 SABO : SBCO : SACO ．
O C B
例4、△ABC的三边AB、BC、AC的长度分别 为20、30、40，其三个内角的平分线的交点为O， A 求 SABO : SBCO : SACO ． [分析]过O作OD⊥AB于D， OE⊥AC于E，OF⊥BC于F． 由已知易证OD=OE=OF， 由此可知
全等三角形2
（一）基础知识 1、证明两个三角形全等的方法： SSS，SAS，ASA，AAS，HL 2、角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等。
