我所认识的应力和应变之间的关系
在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系是满足胡克定律的一一对应的关系。在三维应力状态下描述一点处的应力状态需要9个分量，相应的应变状态也要用9个应变分量来表示。对于一个具体的理想弹性体来讲，如果在三维应力状态下，应力与应变之间仍然有线性一一对应关系存在，则称这类弹性体为线性弹性体。
所谓各向弹性体，从力学意义上讲，就是弹性体内的每一点沿各个方向的力学性质都完全相同的。这类线性弹性体独立的唐兴常数只有两个。
各向同性体本构关系特点：1.主应力与主应变方向重合。2.体积应力与体积应变成比例。
3.应力强度与应变强度成比例。
4.应力偏量与应变偏量成比例。工程应用中，常把各向同性弹性体的本构方程写下成11()11()11()x y z xy xy y x z yz yz z y x xz xz E G E G E G εσμσσγτεσμσσγτεσμσσγτ⎧⎡⎤=-+=⎣⎦⎪⎪⎪⎡⎤=-+=⎨⎣⎦⎪⎪⎡⎤=-+=⎪⎣⎦⎩
，式中分别为弹性模量、泊松比和剪切模量。在E G μ、、这三个参数之间，实际上独立的常量只有两个，它们之间存在关系为()
21E G μ=+。 屈服条件:弹性和塑性的最主要区别在于变形是可以恢复。习惯上，根据破坏时变形的大小把工程材料分为脆性材料和塑性材料两类。对于加载过程如图1
OA: 比例阶段；线性弹性阶段
AB: 非弹性变形阶段 BC ： 初始屈服阶段 s σσ≤ CDE ：强化阶段；应变强化硬化阶段
EF ： 颈缩阶段；应变弱化，软化阶段
s σσ≥ C 点为初始屈服点具有唯一性。在应力超过屈服应力后，如果在曲线上任意一点D 处卸
载，应力和应变之间将不再遵循原有的加载曲线规
律，而是沿一条接近平行于OA 的直线DO ’变化，直到应力下降为零，这时应变并不为零，即有塑性应变产生。如果用OD ’表示总应变ε，O ’D ’表示可以恢复的弹性应变e
ε，OO ’表示不能恢复的塑性应变p ε，则有e p εεε=+，即总应变等于弹性应变加上塑性应变。若在卸载后重新加载，则曲线基本上仍沿直线O ’D 变化，直至超过D 点的应力之后，才会产生新的塑性变形。由此看来，在经过前次塑性变形后，屈服应力提高了，这种现象称为应变强化现象。为了与初始屈服相区别，我们把机箱发生新的塑性变形时的材料的再次屈服称为后
继屈服，相应的屈服点，点D称为后继屈服点相应的应力称为后继屈服应力，它的大小和塑性变形的大小和历史有关。后继屈服点有多个。
从简单拉伸试验所观察到的现象可以知道，材料的塑性变形规律即塑性本构关系与弹性本构关系有很大的不同，它具有以下几个重要条件：1.需要判断材料处于弹性阶段还是塑性
()()()0()=0 d 0()=0 d 0 ( )ij ij ij ij ij ij ij f f f f d f f f d σσσσσσσ⎧⎪<⎪⎪∂⎪==⎨∂⎪⎪∂⎪=<∂⎪⎩
弹性状态加载卸载 对于应力状态从一个塑性状态过渡到另一个塑性状态这个变化过程为中性变载。加载和卸载主要以是否有新的塑性变形产生为依据。对于复杂加载，应力分量之间无一定的关系，应力分量的比值与应力主轴方向随在和变化而变化。
增量理论和全量理论：各种描述塑性变形规律的理论你大致可以分为两种即增量理论和全量理论。
材料在进入塑性状态之后，应力-应变关系的重要特点是线性和不唯一性。所谓非线性是指应力-应变不是线性关系；所谓唯一性是指应变不能由应力唯一确定。应力也不能由应变唯一确定。常用的增量理论：Levy-Mises 理论和Prandt-Reuss 理论。
Levy-Mises 理论与理想刚塑性材料的增量本构方程是假设应变张量增量各分量与相应的
应力偏分量称比例，用数学形式的表示为332233223322i i x x xy xy s s i i y y x yz s s i i z z x zx s s
d d d s d d d d s d d d d s d εεεετσσεεεετσσεεεετσσ⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪⎪==⎪⎩。注意到对刚塑性体，材料是不可压缩的即体积变形为零。
Prandtl-Reuss 理论与理想弹塑性材料的增量本构方程，此假定塑性应变增量张量和应力
偏张量相似且同轴线。，这个关系式可表示为()0p p x x xy xy p p y y yz yz p p z z zx zx
d d s d d d d s d d d d d s d d ελελτελελτλελελτ⎧==⎪==≥⎨⎪==⎩。 全增量理论：
依留申提出一个强化材料在弹塑性小变形情况下的全量型塑性本构关系，材料服从如下的塑性变形规律：1.体积变化是弹性的即应变球张量和应力球张量成正比。2.应变偏张量和应力偏张量成比例。即方向关系是应变偏量主轴和应力偏量主轴重合。全量理论的适用的范围是简单加载定理。简单加载定理是在加载过程中，固体内任一点的应力张量各分量都按比例增长。
在小变形和简单加载的条件下，增量理论和全量理论是一致的，这就是说，在全量理论在小变形和简单加载条件下是适应的。
依留申指出，只要满足下列四个条件，则固体内各点均处于简单加载过程：1.小变形；
2.载荷按比例单调增加；
3.材料不可压缩。
4.应力强度i σ与应变强度i ε之间有幂函数的关系，即(,)i i A A m σε=均为常数，这就是简单加载定理。
