三角形分割成等腰三角形的条件和分法-精选.

从特殊到一般由结果探条件——也谈一个三角形分割成两个等腰三角形的条件问题1 如图1,图2,有两个三角形．图1中三角形的内角分别为10°,20°,150°；图2中三角形的内角分别为80°,25°,75°．你能把每一个三角形分成两个等腰三角形吗画一画,并标出各角的度数．答案图1中作20°角的角平分线；图2中以75°角的顶点为顶点,一边为边向三角形内作25°的角画图略．在让学生探究之后,笔者提出了两个问题：1从以上两个分割中,你能得出那些分割的经验2试着再给出一个三角形的三个角度,使得这个三角形也能被分割成两个等腰三角形．学生1：要分割一个三角形应从较大角出发去分割,但不一定是从最大角出发进行分割．学生2：分割时要从较大角中分割出一个与另外一个角相同的角出来,这样才能出现一个三角形,再来分析另一个三角形是不是等腰三角形．对于问题2,学生写出了不少情形,如20°,40°,120°；30°,60°,90°；40°,60°,80°．还有学生提出只要是直角三角形就能分割出两个等腰三角形．学生思考之后,笔者再次提出问题：问题2 一个三角形的三个内角满足什么条件时,可以用过顶点的直线将它分割成两个等腰三角形如何分经过探究得出了以下分析过程：假设一个三角形能被过一个顶点的直线分成两个等腰三角形,设这条直线与对边交于点O,在三角形内点O处分出两个角,这两个角可能为两个直角或者为一个钝角一个锐角,因此可分两种情况讨论：1．当O点分出的两个角都是直角时,如图3,这时这两个角都必须是分出的两个等腰三角形的顶角,因此这两个等腰三角形就是等腰直角三角形,显然可得原三角形的三个内角为45°,45°,90°．2．当O点分出的两个角为一个钝角一个锐角时,钝角必定是其中一个等腰三角形的顶角,而另一个锐角可以是另一个等腰三角形的顶角或是底角,因此再分两种讨论：①当锐角也是顶角时,如图4,可设分出来的两个等腰三角形的底角度数分别为α和β,所以原三角形的三个角的度数为α,β,α＋β,此时由三角形的内角和定理可知α＋β＝90°,即原三角形为直角三角形,分割方法是沿斜边上的中线分割成两个等腰三角形．显然这种情况可以将情况1包含其中,②当锐角是右边等腰三角形的底角时,设左边的等腰三角形的两个底角度数为α,由三角形的外角性质可得这个底角为2α,所以此等腰三角形中还有一个角的度数为2α,如图5,如图6,还有两种情况：i如图5,再设该等腰三角形的第三个角的度数为⊙8,可得原三角形的三个角的度数为α,β,3α,因为α＋β＋3α＝180°,可得0°<α<45°．分割方法为将3α分出一个α与原α角构成一个等腰三角形,另一个三角形也是等腰三角形．ii如图6,再设该等腰三角形的第三个角的度数为β,可得原三角形的三个角的度数为α,2c,α＋β,因为α＋2α＋α＋β＝180°,可得0°<α< 45°．分割方法为将α＋β分出一个α与原α角构成一个等腰三角形,另一个三角形也是等腰三角形．综上所述,一个三角形能分割成两个等腰三角形．共有三种情况：情形1 有一个内角为90°,沿原三角形斜边上的中线分割成两个等腰三角形．情形2 当三个角为α,β,3α,0°<α<45°,将3α分出一个α与原α角构成一个等腰三角形,另一个三角形必是等腰三角形．情形 3 当三个角为α,2α,α＋β,0°<α<45°,将α＋β分出一个α与原α角构成一个等腰三角形,另一个三角形也必是等腰三角形．需要说明的是当一个三角形同时满足上述三种情形中的多种情形时,那么分割的方式可能有多种．根据这一个结果可进一步研究下面的问题：问题3 在等腰三角形中,当三个内角分别为多少度时可以过一个顶点画一条直线将原等腰三角形分成两个等腰三角形引导学生将问题2中的结论直接用到此题中：对于情形1,显然原三角形为等腰直角三角形,三个角为45°,45°,90°．对于情形2,三个内角α,β,3α,0°<α<45°中有两个角相等,有两种情况：i可能为α＝β,此时α＋α＋3α＝180°,可得α＝36°,此时三个内角的度数分别为36°,36°,108°．ii可能为3α＝β,此时α＋3α＋3α＝180°,可得α＝1807︒,此时三个内角的度数分,, ,。

怎样的三角形才能一刀截成两个等腰三角形浙江省余姚市实验学校 郑建元(315400)图形的分割与组合是对图形研究的重要内容之一，也是近几年来新教材及中考中频频出现的题型之一．图形的分割主要涉及到两种类型：一类是把图形分割成规定形状的图形，另一类是把图形分割成规定面积的图形．本文就第一种类型提出：怎样的三角形才能一刀截成两个等腰三角形这一问题作如下探究．如图1：D 为△ABC 中BC 上一点, 问：当△ABC 满足怎样的条件? △ABD 与△ADC 均为等腰三角形．我们不妨倒过来研究：假定△ABD 与△ADC 均为等腰三角形． 不失一般性，我们作如下分类讨论:１．若AD BD =，我们再分三种情形讨论：(1)若AD BD DC ==,则有B BAD ∠=∠,C DAC ∠=∠， 又180B BAD DAC C B BAC C ∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=，2∴∠∠（BAD+DAC）=180．90BAC ∴∠=．故△ABC 为直角三角形.（注：用定理“三角形一边上的中线是这边的一半的三角形是直角三角形”证明之更简捷） (2)若AD BD =,AC DC =,则有B BAD ∠=∠,DAC ADC ∠=∠，3BAC BAD DAC BAD ADC BAD B BAD B ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠．故△ABC 中存在两内角满足3倍关系；(3)若AD BD AC ==,显然B BAD ∠=∠,C ADC ∠=∠,2C ADC B BAD B ∴∠=∠=∠+∠=∠．故△ABC 中存在两内角满足2倍关系； 2．若AB AD =,我们再分两种情形讨论：(1)若AD DC =，类同1(3)可证∠Ｂ＝２∠Ｃ，故△ABC 中两内角仍满足2倍关系； (２)若AD AC =，显然∠Ｂ＝∠ADB ，C ADC ∠=∠，∴∠BAC +∠B+∠Ｃ＞∠Ｂ+∠Ｃ=∠ADB+∠ADC=180°，这与定理“三角形内角和等于180°”矛盾，因此AD AC =不成立； (３)若AC DC =，显然∠Ｂ＝∠ADB ，∠DAC ＝∠ADC ，∴∠BAC+∠B+∠Ｃ＞∠Ｂ+∠DACABD图1Ｃ=∠ADB+∠ADC=180°，这与定理“三角形内角和等于180°”矛盾，因此AC DC =不成立． ３．若AB BD =,我们再分三种情形讨论：(1)若AD DC =，类同1(2)，可证∠BAC=3∠C ，故△ABC 中存在两内角满足3倍关系； (２)若AD AC =类同2(3)，可证∠B+∠BAC+∠Ｃ＞∠BA Ｃ+∠Ｃ＞∠ＢAD+∠Ｃ=∠BDA+∠ADC=180°，这与定理“三角形内角和等于180°”矛盾，因此AD AC =不成立；(３)若AC DC =,AB+AC=BD+DC=BC ，这与定理“三角形任何两边之和大于第三边”矛盾，因此AC DC =不成立．综上：如果一个三角形能被一刀截成两个等腰三角形，则此三角形必定至少满足下列条件中的一个：（1）直角三角形；（2）其中两内角有3倍关系；（3）其中两内角有2倍关系．那么反过来成立吗？即满足上述三个条件中的一个，此三角形一定能一刀截成两个等腰三角形吗？显然，满足条件（1）时，成立．如图2，在RT △ABC 中，∠BAC=RT ∠，设∠B=α，∠C=β，在BC 上取一点D ，使∠BAD=α，易证∠DAC=β，从而DA=DB ，DA=DC ，即△ABD 与△ADC 均为等腰三角形．其次，满足条件（2）时亦成立．如图3，在△ABC 中，∠BAC=3∠B ，设∠B=α，则∠BAC=3α，在BC 上取一点D ，使∠BAD=∠α，易证∠DAC=∠ADC=2α，从而DA=DB ， AC=DC ，即△ABD 与△ADC 均为等腰三角形．若满足条件（3），则不一定成立．如图4，在△ABC 中，∠C=2∠B ，设∠B=α，则∠C=2α． 再分三种情况讨论： ①∠BAC ＞α；αβα βCA B D 图2C A BDα α2α2α图3CAB D图4在BC 上取一点D ，使∠BAD=∠α，易证∠ADC=∠C =2α，从而DA=DB ， AD=AC ，即△ABD 与△ADC 均为等腰三角形，但此时2α必小于90°．180B C BAC ∠+∠+∠=， 2180BAC αα∴++∠=．又∵∠BAC ＞α，2180ααα∴++<．45α∴<． 290α∴<．②∠BAC=α；∵∠B+∠BAC+∠C=180°， ∴4α=180°． ∴2α=90°．此时△ABC 为直角三角形，从锐角顶点A 出发不能把△ABC 分成二个等腰三角形，但从直角顶点出发C ，仍能把△ABC 分成二个等腰三角形．③∠BAC ＜α；∵∠B+∠BAC+∠C=180°， ∴α+α+2α＞180°． ∴4α＞180°， ∴2α＞90°， ∴∠C=2α＞90°．此时△ABC 为钝角三角形, 从最小角顶点A 出发不能把△ABC 截成二个等腰三角形，但当∠B=3∠BAC ，或∠B=2∠BAC ，或∠C=3∠BAC 时分别从顶点B 、顶点C 、顶点C 出发仍能把△ABC 分成二个等腰三角形．由此可见，当三角形有两内角满足2倍关系时，此三角形不一定能一刀分割成两个等腰三角形，但当两锐角有2倍关系时，从第三角的顶点出发引“割线”能一刀分割成两个等腰三角形．综上研究，有如下定理：当且仅当满足下列条件之一时，一个三角形必定能被一刀截成两个等腰三角形：（1）直角三角形（从直角顶点出发引“割线”）；（2）两内角有3倍关系（从有3倍关系的两内角中较大一角的顶点出发引“割线”）；（3）两锐角有2倍关系（从有2倍关系的两内角之外的第三角的顶点出发引“割线”）．对于这个定理的应用，因篇幅所限，仅举二例．1．已知一等腰三角形能被一刀分割成两个等腰三角形，求原等腰三角形顶角的度数． 应用本文定理，可知原等腰三角形三内角必定至少满足下列几种情况：(,,90)αα，(,,2)ααα,,)3,,(ααα(,3,3)ααα，(,2,2)ααα，中的一种．根据三角形内角和等于180。

课题探索三角形被分割成两个等腰三角形的条件知，体验成功应用2、（2008年宁波市中考题）（1）如图1，△ABC中，∠C=90°，请用直尺和圆规作一条直线，把△ABC分割成两个等腰三角形（不写作法，但须保留作图痕迹）（2）已知内角度数的两个三角形如图2、图3所示。

请你判断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能，请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数。

让学生运用自己探索的结论，解决中考试题中的探索操作题，再一次让学生体验探索发现的喜悦。

五、变式训练，拓展新知质疑在△ABC中，∠A=36˚，∠B=96˚，∠C=48˚，可以分割成两个等腰三角形吗？请试一试。

学生比较容易用刚才得到的结论对号入座，可是实践下起来却发现不能分，心里会比较疑惑本题的设置是为了说明在“一个角为另一个角的2倍”这个条件下的一种特殊情况。

这样的设计，让学生体验探究是一个逐步深入的过程让提高将一个等腰三角形分成两个等腰三角形,原等腰三角形的顶角为几度?学生一般还是会抱着“猜测”的心理，只能答对部分情况让学生学会综合使用知识六、小结评价，布置作业1、小结: 1.一个三角形可以被分割成两个等腰三角形的条件：（1）原三角形一个角是另一个角的2倍；（有何限制条件？）（2）原三角形一个角是另一个角的3倍；（3）原三角形是直角三角形。

2.如何分？3.数学思想及方法：猜想——验证、分类讨论、反例说明等能对本节内容进行整理对学生的表现适当评价，给于鼓励2、作业问题1：你会计算“当一个角为另一个角2 倍时,分割两个等腰三角形”, 第三角的取值范围吗?问题2：“当一个角为另一个角 3 倍时, 分割两个等腰三角形”, 第三角的取值有没有什么限制呢?[可作机动题]。

三角形分割成等腰三角形的条件和分法嘿，同学们！咱们今天来聊聊一个有趣的数学话题——三角形分割成等腰三角形的条件和分法。

还记得有一次，我和朋友一起去公园散步，看到公园的花坛正好是个三角形的形状。

朋友突然就好奇地问我：“这三角形能不能分割成等腰三角形呢？”这一下可把我给问住了。

我当时就在想，这还真不是个简单的问题。

咱们先来说说三角形分割成等腰三角形的条件哈。

要想把一个三角形分割成等腰三角形，那首先得搞清楚等腰三角形的特点，就是至少有两条边长度相等嘛。

比如说，如果一个三角形的两条边长度相等，那我们就可以沿着这两条相等边的夹角的平分线进行分割，这样就能得到两个等腰三角形啦。

再来讲讲分法。

假设咱们有一个三角形 ABC，其中 AB ＝ AC。

那咱们就可以从顶点 A 向 BC 边作垂线 AD，这样三角形 ABC 就被分成了两个等腰三角形 ABD 和 ACD 啦。

还有一种情况，如果一个三角形的三个角的度数分别是 36°、72°、72°，那我们可以先找到 72°角的平分线，把这个三角形分成两个三角形，这两个三角形就都是等腰三角形啦。

给大家举个具体的例子吧。

比如说有一个三角形，三条边的长度分别是 5、5、6。

那我们可以先找到 5 和 5 这两条相等边的夹角，也就是顶角，然后作顶角的平分线，这样就能把这个三角形分割成两个等腰三角形啦。

咱们在做题的时候，可得仔细观察三角形的边和角的特点，多动动脑子。

就像我那次在公园，一开始被朋友的问题难住了，后来回家认真研究，才发现这里面的门道。

再比如说，如果一个三角形的三条边分别是 3、4、5，那这种情况就没法直接分割成等腰三角形啦，因为它的三条边都不相等。

同学们，其实数学就像一场探险，每一个三角形都是一个神秘的小岛，等待着我们去发现它的秘密。

只要我们掌握了方法，找到了规律，就能在这片数学的海洋里畅游。

总之，三角形分割成等腰三角形的条件和分法虽然有点复杂，但只要我们多思考、多练习，就一定能掌握得牢牢的。

把一个三角形分成两个等腰三角形的条.ppt《把一个三角形分成两个等腰三角形的条件》在数学的奇妙世界里，三角形是一个非常基础且重要的图形。

而把一个三角形分成两个等腰三角形，这看似简单的操作，实际上蕴含着丰富的数学原理和条件。

首先，我们需要明确什么是等腰三角形。

等腰三角形是指至少有两边相等的三角形，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边称为底边。

当顶角为锐角时，如果一个三角形要被分成两个等腰三角形，那么原三角形的三个内角之间需要存在特定的关系。

假设原三角形的三个内角分别为∠A、∠B、∠C，且∠A 是最大角。

如果要把这个三角形分成两个等腰三角形，可能会出现以下几种情况：情况一：以∠A 的角平分线为分割线。

此时，∠A 被平分后的两个角分别为∠A1 和∠A2。

如果要使得分割后的两个三角形都是等腰三角形，那么可能会出现以下条件：假设∠B ＝∠A1，那么∠C ＝∠A2。

根据三角形内角和为 180°，可以列出方程：2∠B ＋∠C ＝ 180°2∠A1 ＋∠A2 ＝ 180°由于∠A1 ＝∠A2，所以可以得到：4∠A1 ＝ 180°∠A1 ＝ 45°则∠A ＝ 90°，此时原三角形为直角三角形。

情况二：以原三角形的某一条边上的中线为分割线。

例如，取 BC 边上的中线 AD。

如果要使得分割后的两个三角形都是等腰三角形，那么可能存在：AB ＝ BD，AC ＝ CD此时，∠B ＝∠BAD，∠CAD ＝∠C又因为∠B ＋∠C ＋∠BAC ＝ 180°，且∠BAC ＝∠BAD ＋∠CAD所以可以通过列方程来求解出各个角的度数，从而得出三角形内角的关系。

当顶角为钝角时，情况会变得更加复杂。

但总体来说，仍然需要通过分析各个角之间的关系，利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质来确定能否分割以及如何分割。

在实际的解题过程中，我们可以通过画图的方式来帮助我们直观地理解和分析问题。

怎样的三角形可分割成两个等腰三角形？问题1 有一个三角形，其内角分别为：20°，40°，120°，怎样把三角形分成两个等腰三角形？将此题从特殊推广到一般，变为：问题2△ABC满足什么条件，可以用过顶点的一条直线将它分割成两个等腰三角，形？如何分？有几种分法？笔者对上述问题进行了研究，在此介绍如下，以供同行参考．我们不妨从角度出发去思考，首先找到度数最小的角（简称“最小角”）．已知如图1，△ABC中，∠ABC<∠A，∠ABC<∠C，∠ABC是△ABC中最小角，过点B的直线BD把△ABC分割成△ABD和△CBD，两个三角形不可能同时是等腰三角形．证明在△ABD中，∠A>∠1，∠3>∠C>∠ABC>∠1，在△CBD中，∠C>∠2，∠4>∠A>∠ABC>∠2．可见，只剩下∠3＝∠A，∠4＝∠C的可能性了，那么它们能不能同时成立呢？∵∠3＋∠4＝180°，∴∠A＋∠C＝180．．显然这个结论不可能的，所以，∠3＝∠4与∠4＝∠C不能同时成立．于是得出以下结论：结论1 过最小角的顶点的直线不能把原来的三角形分割成两个等腰三角形．结论2 三角形有三个相等的最小角，分割该等边三角形为两个较小的等腰三角形的12直线不存在．结论3 只有三个角都不相等和仅有两个角相等的两类三角形才可能被分割成两个等腰三角形．下面，我们先从三角形三个角都不相等的三角形开始研究．如图2，△ABC 中，∠B<∠ACB<∠BAC ，∠B 为最小角，不能再分割，那么∠B 将成为分割△ABC 后得到的其中一个等腰三角形的角．运用分类讨论思想，∠B 可能是这个等腰三角形的顶角，也可以是底角，并且当∠B 是底角时，又可以分为两类：以AB 为底边或以BC 为底边，可见，就∠B 而言，先分三大类：分类1 当∠B 为顶角时，以点B 为圆心，BA 长为半径作弧，交BC 于点D ，作直线AD 把△ABC 分割成△ABD 和△ACD ，显然△ABD 是等腰三角形．欲使△ACD 成等腰三角形，又可以分为三种情况考虑：∠C ＝∠DAC ，或者∠C ＝∠ADC ，或者∠DAC ＝∠ADC ．但是，结合图形仔细分析一下，因为∠ADB 是锐角，所以∠ADC 是钝角，显然只有∠C ＝∠DAC 成立．当∠B 为顶角时，若∠C ＝∠DAC ，显然直线AD 把△ABC 分割成两个等腰三角形．设∠B ＝α（如图2），则可得∠BAC ＝3∠C ．可以看出：当最大角是次大角的3倍时，从最大角中分割一个与次大角相等的角，并且要求这个角与次大角有一条公用边，那么分割最大角的这条直线把原来的三角形分割成两个等腰三角形．分类2 当∠B为底角，且以AB为底边时，作AB的垂直平分线DE交BC于点D，作直线AD，显然△ABD是等腰三角形，欲使△ACD成为等腰三角形，也可分为三种情况考虑：可以看出：直角三角形斜边上的中线所在的直线把直角三角形分割成了两个等腰三角形．②当∠B为底角，且以AB边为底边时，若∠C＝∠ADC．设∠B＝α（如图4），则∠C＝∠ADC＝2α．∴∠C＝2∠B．可以看出：当次大角是最小角的2倍时，从最大角中分割一个与最小角相等的角，并且要求这个角与最小角有一条公共边，那么分割最大角的这条直线把原来的三角形分割成两个等腰三角形．③当∠B为底角，且以AB边为底边时，若∠DAC＝∠ADC．设∠B＝α（如图5），则∠DAC＝∠ADC＝2α．∴∠BAC＝aα＋2α＝3α＝3∠B．可以看出：当最大角是最小角的3倍时，从最大角中分割一个与最小角相等的角，并且要求这个角与最小角有一条公用边，那么分割成最大角的这条直线把原来的三角形分割3成两个等腰三角形．分类3 当∠B为底角且以BC边为底边时，作BC的垂直平分线DE交AB于点D，过G、D两点的直线CD把△ABC分割成△BCD和△ACD（如图6），显然△BCD是等腰三角形，欲使△ACD成等腰三角形，又可以分为三种情况考虑：∠A＝∠ACD，或者∠A＝∠ADC，或者∠ACD＝∠ADC．但是，结合图形分析一下，因为∠A为最大角，∠ACB为次大角，所以淘汰掉∠A＝∠ADC情形．①当∠B为底角且以AB边为底边时，若∠A＝∠ACD，设∠B＝α（如图6），则∠A＝∠ADC＝2α，∴∠A＝2∠B．可以看出：当最大角是最小角的2倍时，从次大角中分割一个与最小角相等的角，并且要求这个角与最小角有一条公用边，那么分割次大角的这条直线把原来的三角形分割成两个等腰三角形．②当∠B为底角，且以BC边为底边时，若∠ACD＝∠ADC．设∠B＝α（如图7），则∠ACD＝∠ADC＝α＋2α＝3α，显然∠ACB＝3∠B．可以看出：当次大角是最小角的3倍时，从次大角中分割一个与最小角相等的角，并且要求这个角与最小角有一条公用边，那么分割次大角的这条直线把原来的三角形分割成两个等腰三角形．45综上所述，三个角都不相等的三角形分割成两个等腰三角形的情形如下：情形1 有一个角是90°．分割的方法：作斜边上的中线所在的直线．情形2 有一个角是另一个角的3倍（笔者为了能描述清楚，令这里的较小角叫“单倍角”，较大的角为“三倍角”）．有三种可能：最大角是最小角的3倍，次大角是最小角的3倍或最大角是次大角的3倍．分割方法：从三倍角中分割出一个与单倍角相等的角，并且要求这个角与单倍角有一条公用边，即以这个角与单倍角为两个内角构成一个较小的等腰三角形．情形3 有一个角是最小角的2倍（笔者令这里的较大角叫“二倍角”，最大的角为“三倍角”，并且强调一下：必须是最小角的2倍）．有如下可能：最大角是最小角的2倍，次大角是最小角的2倍，分割方法：从第三个角（除最小角和“二倍角”）中分割出一个与最小角相等的角，并且要求这个角与最小角有一条公用边，即以这个角与最小角为两个内角构成一个较小的等腰三角形．值得注意的是：当三角形的三个内角满足上述的多种情形，比如既有3倍关系，又有2倍关系，那么分割方法可能不唯一．下面，我们再研究：两个角相等的等腰三角形的情形．1．当该等腰三角形只有一个最小角时，最小角必是顶角，另外两个较大角是底角．如果我们把两个相等的较大的底角，一个看成是最大角，另一个看成次大角，那么该等腰三角形上也有上面情形2，3分割方法，只是要多考虑到等腰三角形的轴对称性．分割该等腰三角形为两个较小的等腰三角形的直线有两条，研究过程与上面相似，这里就不一一叙述了．2．当该等腰三角形有两个相等的最小角时，第三个角必是最大角且是顶角，两个相等的最小角是底角．如果我们把两个相等的最小的底角，一个看成是最小角，另一个看成次大角，那么该等腰三角形也有上述情形1，2分割方法，当为情形2时，也要考虑等腰三角形的轴对称性，研究过程与上面相似，这里也省略．例在△ABC中，若过其中一个顶点的一条直线，将△ABC分成两个等腰三角形，求△ABC各内角的度数．解析①如图8，若△ABC中，底角是顶角的2倍．设∠A＝α，∠B＝∠C＝2α，则α＋2α＋2α＝180°，α＝36°．三内角的度数分别为：36°、72°、72°．②如图9，若△ABC中，顶角是底角的2倍．设∠B＝∠C＝a，∠A＝2a．则α＋α＋2α＝180°，α＝45°，三内角的度数分别为：90°、45°、45°．③如图10，若△ABC中，顶角是底角的3倍，设∠B＝∠C＝α，∠A＝3α，则α＋α＋3α＝180°，α＝36°．三内角的度数分别为：108°、36°、36°．6。

怎样的三角形才能一刀截成两个等腰三角形浙江省余姚市实验学校 郑建元(315400)图形的分割与组合是对图形研究的重要内容之一，也是近几年来新教材及中考中频频出现的题型之一．图形的分割主要涉及到两种类型：一类是把图形分割成规定形状的图形，另一类是把图形分割成规定面积的图形．本文就第一种类型提出：怎样的三角形才能一刀截成两个等腰三角形这一问题作如下探究．如图1：D 为△ABC 中BC 上一点, 问：当△ABC 满足怎样的条件? △ABD 与△ADC 均为等腰三角形．我们不妨倒过来研究：假定△ABD 与△ADC 均为等腰三角形． 不失一般性，我们作如下分类讨论:１．若AD BD =，我们再分三种情形讨论：(1)若AD BD DC ==,则有B BAD ∠=∠,C DAC ∠=∠， 又180B BAD DAC C B BAC C ∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=，2∴∠∠（BAD+DAC）=180．90BAC ∴∠=．故△ABC 为直角三角形.（注：用定理“三角形一边上的中线是这边的一半的三角形是直角三角形”证明之更简捷） (2)若AD BD =,AC DC =,则有B BAD ∠=∠,DAC ADC ∠=∠，3BAC BAD DAC BAD ADC BAD B BAD B ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠．故△ABC 中存在两内角满足3倍关系；(3)若AD BD AC ==,显然B BAD ∠=∠,C ADC ∠=∠,2C ADC B BAD B ∴∠=∠=∠+∠=∠．故△ABC 中存在两内角满足2倍关系； 2．若AB AD =,我们再分两种情形讨论：(1)若AD DC =，类同1(3)可证∠Ｂ＝２∠Ｃ，故△ABC 中两内角仍满足2倍关系； (２)若AD AC =，显然∠Ｂ＝∠ADB ，C ADC ∠=∠，∴∠BAC +∠B+∠Ｃ＞∠Ｂ+∠Ｃ=∠ADB+∠ADC=180°，这与定理“三角形内角和等于180°”矛盾，因此AD AC =不成立； (３)若AC DC =，显然∠Ｂ＝∠ADB ，∠DAC ＝∠ADC ，∴∠BAC+∠B+∠Ｃ＞∠Ｂ+∠DACABD图1Ｃ=∠ADB+∠ADC=180°，这与定理“三角形内角和等于180°”矛盾，因此AC DC =不成立． ３．若AB BD =,我们再分三种情形讨论：(1)若AD DC =，类同1(2)，可证∠BAC=3∠C ，故△ABC 中存在两内角满足3倍关系； (２)若 AD AC =类同2(3)，可证∠B+∠BAC+∠Ｃ＞∠BA Ｃ+∠Ｃ＞∠ＢAD+∠Ｃ=∠BDA+∠ADC=180°，这与定理“三角形内角和等于180°”矛盾，因此AD AC =不成立；(３)若AC DC =,AB+AC=BD+DC=BC ，这与定理“三角形任何两边之和大于第三边”矛盾，因此AC DC =不成立．综上：如果一个三角形能被一刀截成两个等腰三角形，则此三角形必定至少满足下列条件中的一个：（1）直角三角形；（2）其中两内角有3倍关系；（3）其中两内角有2倍关系．那么反过来成立吗？即满足上述三个条件中的一个，此三角形一定能一刀截成两个等腰三角形吗？显然，满足条件（1）时，成立．如图2，在RT △ABC 中，∠BAC=RT ∠，设∠B=α，∠C=β，在BC 上取一点D ，使∠BAD=α，易证∠DAC=β，从而DA=DB ，DA=DC ，即△ABD 与△ADC 均为等腰三角形．其次，满足条件（2）时亦成立．如图3，在△ABC 中，∠BAC=3∠B ，设∠B=α，则∠BAC=3α，在BC 上取一点D ，使∠BAD=∠α，易证∠DAC=∠ADC=2α，从而DA=DB ， AC=DC ，即△ABD 与△ADC 均为等腰三角形．若满足条件（3），则不一定成立．如图4，在△ABC 中，∠C=2∠B ，设∠B=α，则∠C=2α． 再分三种情况讨论： ①∠BAC ＞α；αβα βCAB D 图2C A BDα α2α2α图3CAB D图4在BC 上取一点D ，使∠BAD=∠α，易证∠ADC=∠C =2α，从而DA=DB ， AD=AC ，即△ABD 与△ADC 均为等腰三角形，但此时2α必小于90°．180B C BAC ∠+∠+∠=， 2180BAC αα∴++∠=．又∵∠BAC ＞α， 2180ααα∴++<．45α∴<． 290α∴<．②∠BAC=α；∵∠B+∠BAC+∠C=180°， ∴4α=180°． ∴2α=90°．此时△ABC 为直角三角形，从锐角顶点A 出发不能把△ABC 分成二个等腰三角形，但从直角顶点出发C ，仍能把△ABC 分成二个等腰三角形．③∠BAC ＜α；∵∠B+∠BAC+∠C=180°， ∴α+α+2α＞180°． ∴4α＞180°， ∴2α＞90°， ∴∠C=2α＞90°．此时△ABC 为钝角三角形, 从最小角顶点A 出发不能把△ABC 截成二个等腰三角形，但当∠B=3∠BAC ，或∠B=2∠BAC ，或∠C=3∠BAC 时分别从顶点B 、顶点C 、顶点C 出发仍能把△ABC 分成二个等腰三角形．由此可见，当三角形有两内角满足2倍关系时，此三角形不一定能一刀分割成两个等腰三角形，但当两锐角有2倍关系时，从第三角的顶点出发引“割线”能一刀分割成两个等腰三角形．综上研究，有如下定理：当且仅当满足下列条件之一时，一个三角形必定能被一刀截成两个等腰三角形：（1）直角三角形（从直角顶点出发引“割线”）；（2）两内角有3倍关系（从有3倍关系的两内角中较大一角的顶点出发引“割线”）；（3）两锐角有2倍关系（从有2倍关系的两内角之外的第三角的顶点出发引“割线”）．对于这个定理的应用，因篇幅所限，仅举二例．1．已知一等腰三角形能被一刀分割成两个等腰三角形，求原等腰三角形顶角的度数． 应用本文定理，可知原等腰三角形三内角必定至少满足下列几种情况：(,,90)αα，(,,2)ααα,,)3,,(ααα(,3,3)ααα，(,2,2)ααα，中的一种．根据三角形内角和等于180。