探究分割三角形得到等腰三角形的方法

怎样的三角形才能一刀截成两个等腰三角形浙江省余姚市实验学校郑建元(315400)图形的分割与组合是对图形研究的重要内容之一，也是近几年来新教材及中考中频频出现的题型之一．图形的分割主要涉及到两种类型：一类是把图形分割成规定形状的图形，另一类是把图形分割成规定面积的图形．本文就第一种类型提出：怎样的三角形才能一刀截成两个等腰三角形这一问题作如下探究．如图1：D 为△ABC 中BC 上一点, 问：当△ABC 满足怎样的条件? △ABD 与△ADC 均为等腰三角形．我们不妨倒过来研究：假定△ABD 与△ADC 均为等腰三角形．不失一般性，我们作如下分类讨论:１．若AD BD ，我们再分三种情形讨论：(1)若ADBDDC ,则有BBAD ,CDAC ，又180BBADDACCBBACC，2（BAD+DAC ）=180．90BAC．故△ABC 为直角三角形.（注：用定理“三角形一边上的中线是这边的一半的三角形是直角三角形”证明之更简捷）(2)若AD BD ,ACDC ,则有B BAD ,DACADC ，3BACBADDACBADADCBADBBADB ．故△ABC 中存在两内角满足3倍关系；(3)若AD BD AC ,显然B BAD ,C ADC ,2CADCBBADB ．故△ABC 中存在两内角满足2倍关系；2．若AB AD ,我们再分两种情形讨论：(1)若AD DC ，类同1(3)可证∠Ｂ＝２∠Ｃ，故△ABC 中两内角仍满足2倍关系；(２)若ADAC ，显然∠Ｂ＝∠ADB ，CADC ，∴∠BAC +∠B+∠Ｃ＞∠Ｂ+∠Ｃ=∠ADB+∠ADC=180°，这与定理“三角形内角和等于180°”矛盾，因此AD AC 不成立；(３)若AC DC ，显然∠Ｂ＝∠ADB ，∠DAC ＝∠ADC ，∴∠BAC+∠B+∠Ｃ＞∠Ｂ+∠DACABD图1Ｃ=∠ADB+∠ADC=180°，这与定理“三角形内角和等于180°”矛盾，因此AC DC 不成立．３．若AB BD ,我们再分三种情形讨论：(1)若AD DC ，类同1(2)，可证∠BAC=3∠C ，故△ABC 中存在两内角满足3倍关系；(２)若ADAC 类同2(3)，可证∠B+∠BAC+∠Ｃ＞∠BA Ｃ+∠Ｃ＞∠ＢAD+∠Ｃ=∠BDA+∠ADC=180°，这与定理“三角形内角和等于180°”矛盾，因此AD AC 不成立；(３)若AC DC ,AB+AC=BD+DC=BC ，这与定理“三角形任何两边之和大于第三边”矛盾，因此AC DC 不成立．综上：如果一个三角形能被一刀截成两个等腰三角形，则此三角形必定至少满足下列条件中的一个：（1）直角三角形；（2）其中两内角有3倍关系；（3）其中两内角有2倍关系．那么反过来成立吗？即满足上述三个条件中的一个，此三角形一定能一刀截成两个等腰三角形吗？显然，满足条件（1）时，成立．如图2，在RT △ABC 中，∠BAC=RT ∠，设∠B=α，∠C=β，在BC 上取一点D ，使∠BAD=α，易证∠DAC=β，从而DA=DB ，DA=DC ，即△ABD 与△ADC 均为等腰三角形．其次，满足条件（2）时亦成立．如图3，在△ABC 中，∠BAC=3∠B ，设∠B=α，则∠BAC=3α，在BC 上取一点D ，使∠BAD=∠α，易证∠DAC=∠ADC=2α，从而DA=DB ，AC=DC ，即△ABD 与△ADC 均为等腰三角形．若满足条件（3），则不一定成立．如图4，在△ABC 中，∠C=2∠B ，设∠B=α，则∠C=2α．再分三种情况讨论：①∠BAC ＞α；βCABD图2C A BD22图3CABD图4在BC上取一点D，使∠BAD=∠α，易证∠ADC=∠C =2α，从而DA=DB，AD=AC，即△ABD与△ADC均为等腰三角形，但此时2α必小于90°．B C BAC，180BAC．2180又∵∠BAC＞α，2180．45．290．②∠BAC=α；∵∠B+∠BAC+∠C=180°，∴4α=180°．∴2α=90°．此时△ABC为直角三角形，从锐角顶点A出发不能把△ABC分成二个等腰三角形，但从直角顶点出发C，仍能把△ABC分成二个等腰三角形．③∠BAC＜α；∵∠B+∠BAC+∠C=180°，∴α+α+2α＞180°．∴4α＞180°，∴2α＞90°，∴∠C=2α＞90°．此时△ABC为钝角三角形, 从最小角顶点A出发不能把△ABC截成二个等腰三角形，但当∠B=3∠BAC，或∠B=2∠BAC，或∠C=3∠BAC时分别从顶点B、顶点C、顶点C出发仍能把△ABC 分成二个等腰三角形．由此可见，当三角形有两内角满足2倍关系时，此三角形不一定能一刀分割成两个等腰三角形，但当两锐角有2倍关系时，从第三角的顶点出发引“割线”能一刀分割成两个等腰三角形．综上研究，有如下定理：当且仅当满足下列条件之一时，一个三角形必定能被一刀截成两个等腰三角形：（1）直角三角形（从直角顶点出发引“割线”）；（2）两内角有3倍关系（从有3倍关系的两内角中较大一角的顶点出发引“割线”）；（3）两锐角有2倍关系（从有2倍关系的两内角之外的第三角的顶点出发引“割线”）．对于这个定理的应用，因篇幅所限，仅举二例．1．已知一等腰三角形能被一刀分割成两个等腰三角形，求原等腰三角形顶角的度数．应用本文定理，可知原等腰三角形三内角必定至少满足下列几种情况：(,,90)，(,,2),,)3,,((,3,3)，(,2,2)，中的一种．根据三角形内角和等于180。

关于一个三角形分割成两个等腰三角形的讨论
三角形分割为两个等腰三角形的问题，一直以来都是一个有争议的话题。

尽管它的算法是可以理解的，但仍然存在一些争议。

有些人认为，这是一个非常简单的过程，只需要在原始三角形的边上加入一条线就可以将其分割成两个等腰三角形，而另一些人则认为这是一个复杂的过程，必须结合几何图形原理才能完成。

首先，我们可以使用一些图形算法来分割一个三角形为两个等腰三角形。

首先，我们将原始三角形的三个边分别标记为A，B和C，然后在A边上寻找一个点P，使得PA=PC，这个点就是分割线的位置，分割后就可以得到两个等腰三角形了。

此外，还有一种更简单的办法来分割一个三角形为两个等腰三角形。

首先，我们可以在三角形的任意一条边上，找到两个点，使得它们之间的距离等于原始三角形的其他两条边的距离之和，这样就可以在这两个点之间构建一条分割线，而这条分割线将三角形分割成两个等腰三角形。

不管哪种方法来分割一个三角形为两个等腰三角形，最终所得到的结果都是一样的，都可以将三角形分割成两个等腰三角形。

但我们使用哪种方法来进行分割，这取决于我们的实际需求，如果我们只需要快速分割，那么可以使用第二种方法，如果要精确分割，那么可以使用第一种方法。

总之，三角形分割成两个等腰三角形的问题，一直以来都是一个有争议的话题。

尽管它的算法是可以理解的，但仍然存在一些争议。

不管哪种方法来分割一个三角形为两个等腰三角形，最终所得到的结果都是一样的，而我们使用哪一种方法，取决于我们的实际需求。

用一条直线将一个三角形分成两个等腰三角形的条件的探究三新学校 马艳玲探究目标1、 探究把特殊的三角形分割成两个等腰三角形，进而探究能被一条直线分割成两个等腰三角形的三角形所具备的条件；2、 进一步体会数形结合、分类讨论及由特殊到一般的数学思想方法；3、 培养自主探究、分工合作的意识，提高分析问题、解决问题的能力。

探究的重点、难点探究能被一条直线分割成两个等腰三角形的三角形所具备的条件。

预备知识等腰三角形性质，三角形内角和定理，三角形外角性质 问题提出上海市九年义务教育七年级第二学期《数学》课本第110页上有这样一道题目：已知△ABC 的三个内角度数分别为∠A=100°，∠B=60°，∠C=20°，试画一条直线MN ，将这个三角形分成两个等腰三角形。

研究过程三角形是平面几何最简单的直线型封闭图形，三角形的知识是进一步探究学习其他图形性质和特征的基础；所以我们用了近两周的时间去探索三角形的有关知识，那么今天我们将进一步深入的探究有关于三角形的知识。

用一条直线把一个三角形分割成两个等腰三角形。

一、 直角三角形的分割例题1 如图1-1，已知Rt △ABC ，∠C=90°，CA=CB 试画一条直线MN ，将这个三角形分割成两个等腰三角形。

解：过直角顶点C 作∠ACD=45°，交AB 于点D ，则CD 所在的直线就是所要画的直线(图1-2)。

例题2 如图2-1，已知Rt △ABC ，∠C=90°，∠A=60°，试画一条直线MN ，将这个三角形分割成两个等腰三角形。

解：过点A 作∠ACE=60°，交AB 于点E,CE 所在的直线就是所要画的直线(图2-2)。

图2-2图2-1CB C图1-1 C图1-2追问：任意的直角三角形都可以被一条直线分割成两个等腰三角形吗？讨论小结：任意的直角三角形都可以用一条直线把它分割成两个等腰三角形；所做直线必过直角顶点，且与直角顶点所对的边相交。

怎样的三角形可分割成两个等腰三角形？问题1 有一个三角形，其内角分别为：20°，40°，120°，怎样把三角形分成两个等腰三角形？将此题从特殊推广到一般，变为：问题2△ABC满足什么条件，可以用过顶点的一条直线将它分割成两个等腰三角，形？如何分？有几种分法？笔者对上述问题进行了研究，在此介绍如下，以供同行参考．我们不妨从角度出发去思考，首先找到度数最小的角（简称“最小角”）．已知如图1，△ABC中，∠ABC<∠A，∠ABC<∠C，∠ABC是△ABC中最小角，过点B的直线BD把△ABC分割成△ABD和△CBD，两个三角形不可能同时是等腰三角形．证明在△ABD中，∠A>∠1，∠3>∠C>∠ABC>∠1，在△CBD中，∠C>∠2，∠4>∠A>∠ABC>∠2．可见，只剩下∠3＝∠A，∠4＝∠C的可能性了，那么它们能不能同时成立呢？∵∠3＋∠4＝180°，∴∠A＋∠C＝180．．显然这个结论不可能的，所以，∠3＝∠4与∠4＝∠C不能同时成立．于是得出以下结论：结论1 过最小角的顶点的直线不能把原来的三角形分割成两个等腰三角形．结论2 三角形有三个相等的最小角，分割该等边三角形为两个较小的等腰三角形的12直线不存在．结论3 只有三个角都不相等和仅有两个角相等的两类三角形才可能被分割成两个等腰三角形．下面，我们先从三角形三个角都不相等的三角形开始研究．如图2，△ABC 中，∠B<∠ACB<∠BAC ，∠B 为最小角，不能再分割，那么∠B 将成为分割△ABC 后得到的其中一个等腰三角形的角．运用分类讨论思想，∠B 可能是这个等腰三角形的顶角，也可以是底角，并且当∠B 是底角时，又可以分为两类：以AB 为底边或以BC 为底边，可见，就∠B 而言，先分三大类：分类1 当∠B 为顶角时，以点B 为圆心，BA 长为半径作弧，交BC 于点D ，作直线AD 把△ABC 分割成△ABD 和△ACD ，显然△ABD 是等腰三角形．欲使△ACD 成等腰三角形，又可以分为三种情况考虑：∠C ＝∠DAC ，或者∠C ＝∠ADC ，或者∠DAC ＝∠ADC ．但是，结合图形仔细分析一下，因为∠ADB 是锐角，所以∠ADC 是钝角，显然只有∠C ＝∠DAC 成立．当∠B 为顶角时，若∠C ＝∠DAC ，显然直线AD 把△ABC 分割成两个等腰三角形．设∠B ＝α（如图2），则可得∠BAC ＝3∠C ．可以看出：当最大角是次大角的3倍时，从最大角中分割一个与次大角相等的角，并且要求这个角与次大角有一条公用边，那么分割最大角的这条直线把原来的三角形分割成两个等腰三角形．分类2 当∠B为底角，且以AB为底边时，作AB的垂直平分线DE交BC于点D，作直线AD，显然△ABD是等腰三角形，欲使△ACD成为等腰三角形，也可分为三种情况考虑：可以看出：直角三角形斜边上的中线所在的直线把直角三角形分割成了两个等腰三角形．②当∠B为底角，且以AB边为底边时，若∠C＝∠ADC．设∠B＝α（如图4），则∠C＝∠ADC＝2α．∴∠C＝2∠B．可以看出：当次大角是最小角的2倍时，从最大角中分割一个与最小角相等的角，并且要求这个角与最小角有一条公共边，那么分割最大角的这条直线把原来的三角形分割成两个等腰三角形．③当∠B为底角，且以AB边为底边时，若∠DAC＝∠ADC．设∠B＝α（如图5），则∠DAC＝∠ADC＝2α．∴∠BAC＝aα＋2α＝3α＝3∠B．可以看出：当最大角是最小角的3倍时，从最大角中分割一个与最小角相等的角，并且要求这个角与最小角有一条公用边，那么分割成最大角的这条直线把原来的三角形分割3成两个等腰三角形．分类3 当∠B为底角且以BC边为底边时，作BC的垂直平分线DE交AB于点D，过G、D两点的直线CD把△ABC分割成△BCD和△ACD（如图6），显然△BCD是等腰三角形，欲使△ACD成等腰三角形，又可以分为三种情况考虑：∠A＝∠ACD，或者∠A＝∠ADC，或者∠ACD＝∠ADC．但是，结合图形分析一下，因为∠A为最大角，∠ACB为次大角，所以淘汰掉∠A＝∠ADC情形．①当∠B为底角且以AB边为底边时，若∠A＝∠ACD，设∠B＝α（如图6），则∠A＝∠ADC＝2α，∴∠A＝2∠B．可以看出：当最大角是最小角的2倍时，从次大角中分割一个与最小角相等的角，并且要求这个角与最小角有一条公用边，那么分割次大角的这条直线把原来的三角形分割成两个等腰三角形．②当∠B为底角，且以BC边为底边时，若∠ACD＝∠ADC．设∠B＝α（如图7），则∠ACD＝∠ADC＝α＋2α＝3α，显然∠ACB＝3∠B．可以看出：当次大角是最小角的3倍时，从次大角中分割一个与最小角相等的角，并且要求这个角与最小角有一条公用边，那么分割次大角的这条直线把原来的三角形分割成两个等腰三角形．45综上所述，三个角都不相等的三角形分割成两个等腰三角形的情形如下：情形1 有一个角是90°．分割的方法：作斜边上的中线所在的直线．情形2 有一个角是另一个角的3倍（笔者为了能描述清楚，令这里的较小角叫“单倍角”，较大的角为“三倍角”）．有三种可能：最大角是最小角的3倍，次大角是最小角的3倍或最大角是次大角的3倍．分割方法：从三倍角中分割出一个与单倍角相等的角，并且要求这个角与单倍角有一条公用边，即以这个角与单倍角为两个内角构成一个较小的等腰三角形．情形3 有一个角是最小角的2倍（笔者令这里的较大角叫“二倍角”，最大的角为“三倍角”，并且强调一下：必须是最小角的2倍）．有如下可能：最大角是最小角的2倍，次大角是最小角的2倍，分割方法：从第三个角（除最小角和“二倍角”）中分割出一个与最小角相等的角，并且要求这个角与最小角有一条公用边，即以这个角与最小角为两个内角构成一个较小的等腰三角形．值得注意的是：当三角形的三个内角满足上述的多种情形，比如既有3倍关系，又有2倍关系，那么分割方法可能不唯一．下面，我们再研究：两个角相等的等腰三角形的情形．1．当该等腰三角形只有一个最小角时，最小角必是顶角，另外两个较大角是底角．如果我们把两个相等的较大的底角，一个看成是最大角，另一个看成次大角，那么该等腰三角形上也有上面情形2，3分割方法，只是要多考虑到等腰三角形的轴对称性．分割该等腰三角形为两个较小的等腰三角形的直线有两条，研究过程与上面相似，这里就不一一叙述了．2．当该等腰三角形有两个相等的最小角时，第三个角必是最大角且是顶角，两个相等的最小角是底角．如果我们把两个相等的最小的底角，一个看成是最小角，另一个看成次大角，那么该等腰三角形也有上述情形1，2分割方法，当为情形2时，也要考虑等腰三角形的轴对称性，研究过程与上面相似，这里也省略．例在△ABC中，若过其中一个顶点的一条直线，将△ABC分成两个等腰三角形，求△ABC各内角的度数．解析①如图8，若△ABC中，底角是顶角的2倍．设∠A＝α，∠B＝∠C＝2α，则α＋2α＋2α＝180°，α＝36°．三内角的度数分别为：36°、72°、72°．②如图9，若△ABC中，顶角是底角的2倍．设∠B＝∠C＝a，∠A＝2a．则α＋α＋2α＝180°，α＝45°，三内角的度数分别为：90°、45°、45°．③如图10，若△ABC中，顶角是底角的3倍，设∠B＝∠C＝α，∠A＝3α，则α＋α＋3α＝180°，α＝36°．三内角的度数分别为：108°、36°、36°．6。

怎样的三角形才能一刀截成两个等腰三角形浙江省余姚市实验学校 郑建元(315400)图形的分割与组合是对图形研究的重要内容之一，也是近几年来新教材及中考中频频出现的题型之一．图形的分割主要涉及到两种类型：一类是把图形分割成规定形状的图形，另一类是把图形分割成规定面积的图形．本文就第一种类型提出：怎样的三角形才能一刀截成两个等腰三角形这一问题作如下探究．如图1：D 为△ABC 中BC 上一点, 问：当△ABC 满足怎样的条件? △ABD 与△ADC 均为等腰三角形．我们不妨倒过来研究：假定△ABD 与△ADC 均为等腰三角形． 不失一般性，我们作如下分类讨论:１．若AD BD =，我们再分三种情形讨论：(1)若AD BD DC ==,则有B BAD ∠=∠,C DAC ∠=∠， 又180B BAD DAC C B BAC C ∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=，2∴∠∠（BAD+DAC）=180．90BAC ∴∠=．故△ABC 为直角三角形.（注：用定理“三角形一边上的中线是这边的一半的三角形是直角三角形”证明之更简捷） (2)若AD BD =,AC DC =,则有B BAD ∠=∠,DAC ADC ∠=∠，3BAC BAD DAC BAD ADC BAD B BAD B ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠．故△ABC 中存在两内角满足3倍关系；(3)若AD BD AC ==,显然B BAD ∠=∠,C ADC ∠=∠,2C ADC B BAD B ∴∠=∠=∠+∠=∠．故△ABC 中存在两内角满足2倍关系； 2．若AB AD =,我们再分两种情形讨论：(1)若AD DC =，类同1(3)可证∠Ｂ＝２∠Ｃ，故△ABC 中两内角仍满足2倍关系； (２)若AD AC =，显然∠Ｂ＝∠ADB ，C ADC ∠=∠，∴∠BAC +∠B+∠Ｃ＞∠Ｂ+∠Ｃ=∠ADB+∠ADC=180°，这与定理“三角形内角和等于180°”矛盾，因此AD AC =不成立； (３)若AC DC =，显然∠Ｂ＝∠ADB ，∠DAC ＝∠ADC ，∴∠BAC+∠B+∠Ｃ＞∠Ｂ+∠DACABD图1Ｃ=∠ADB+∠ADC=180°，这与定理“三角形内角和等于180°”矛盾，因此AC DC =不成立． ３．若AB BD =,我们再分三种情形讨论：(1)若AD DC =，类同1(2)，可证∠BAC=3∠C ，故△ABC 中存在两内角满足3倍关系； (２)若 AD AC =类同2(3)，可证∠B+∠BAC+∠Ｃ＞∠BA Ｃ+∠Ｃ＞∠ＢAD+∠Ｃ=∠BDA+∠ADC=180°，这与定理“三角形内角和等于180°”矛盾，因此AD AC =不成立；(３)若AC DC =,AB+AC=BD+DC=BC ，这与定理“三角形任何两边之和大于第三边”矛盾，因此AC DC =不成立．综上：如果一个三角形能被一刀截成两个等腰三角形，则此三角形必定至少满足下列条件中的一个：（1）直角三角形；（2）其中两内角有3倍关系；（3）其中两内角有2倍关系．那么反过来成立吗？即满足上述三个条件中的一个，此三角形一定能一刀截成两个等腰三角形吗？显然，满足条件（1）时，成立．如图2，在RT △ABC 中，∠BAC=RT ∠，设∠B=α，∠C=β，在BC 上取一点D ，使∠BAD=α，易证∠DAC=β，从而DA=DB ，DA=DC ，即△ABD 与△ADC 均为等腰三角形．其次，满足条件（2）时亦成立．如图3，在△ABC 中，∠BAC=3∠B ，设∠B=α，则∠BAC=3α，在BC 上取一点D ，使∠BAD=∠α，易证∠DAC=∠ADC=2α，从而DA=DB ， AC=DC ，即△ABD 与△ADC 均为等腰三角形．若满足条件（3），则不一定成立．如图4，在△ABC 中，∠C=2∠B ，设∠B=α，则∠C=2α． 再分三种情况讨论： ①∠BAC ＞α；αβα βCAB D 图2C A BDα α2α2α图3CAB D图4在BC 上取一点D ，使∠BAD=∠α，易证∠ADC=∠C =2α，从而DA=DB ， AD=AC ，即△ABD 与△ADC 均为等腰三角形，但此时2α必小于90°．180B C BAC ∠+∠+∠=， 2180BAC αα∴++∠=．又∵∠BAC ＞α， 2180ααα∴++<．45α∴<． 290α∴<．②∠BAC=α；∵∠B+∠BAC+∠C=180°， ∴4α=180°． ∴2α=90°．此时△ABC 为直角三角形，从锐角顶点A 出发不能把△ABC 分成二个等腰三角形，但从直角顶点出发C ，仍能把△ABC 分成二个等腰三角形．③∠BAC ＜α；∵∠B+∠BAC+∠C=180°， ∴α+α+2α＞180°． ∴4α＞180°， ∴2α＞90°， ∴∠C=2α＞90°．此时△ABC 为钝角三角形, 从最小角顶点A 出发不能把△ABC 截成二个等腰三角形，但当∠B=3∠BAC ，或∠B=2∠BAC ，或∠C=3∠BAC 时分别从顶点B 、顶点C 、顶点C 出发仍能把△ABC 分成二个等腰三角形．由此可见，当三角形有两内角满足2倍关系时，此三角形不一定能一刀分割成两个等腰三角形，但当两锐角有2倍关系时，从第三角的顶点出发引“割线”能一刀分割成两个等腰三角形．综上研究，有如下定理：当且仅当满足下列条件之一时，一个三角形必定能被一刀截成两个等腰三角形：（1）直角三角形（从直角顶点出发引“割线”）；（2）两内角有3倍关系（从有3倍关系的两内角中较大一角的顶点出发引“割线”）；（3）两锐角有2倍关系（从有2倍关系的两内角之外的第三角的顶点出发引“割线”）．对于这个定理的应用，因篇幅所限，仅举二例．1．已知一等腰三角形能被一刀分割成两个等腰三角形，求原等腰三角形顶角的度数． 应用本文定理，可知原等腰三角形三内角必定至少满足下列几种情况：(,,90)αα，(,,2)ααα,,)3,,(ααα(,3,3)ααα，(,2,2)ααα，中的一种．根据三角形内角和等于180。

角平分线和平行线构成等腰三角形的探究-----李春蕊北京市育英学校一、教材分析：《等腰三角形》是“人教版八年级数学（上）”第十二章第三节的内容。

等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具备一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质，由于这些特殊性质，使它比一般的三角形应用更广泛。

这一单元的主要内容是等腰三角形的性质和判定，以及等边三角形的相关知识，尤其是等腰三角形的性质和判定，它们是研究等边三角形、证明线段等和角等的重要依据.学情分析：本节课在学生已经学习了轴对称、等腰三角形性质及判定基础上，进一步探究角平分线和平行线形成等腰三角形的问题。

学生具有一定说理能力，整体几何感观比较清晰，在探究活动中，能够根据老师的问题进行有切入的思考。

二、教学目标：（1）掌握角平分线和平行线形成等腰三角形的基本规律；（2）体会研究问题中用到的分类思想，经历由特征图形问题的解决，发展对问题的进一步探究，认识到在几何问题中，位置关系可得出一定数量关系，特殊的数量关系也能推出一定位置关系.（3）通过交流和研讨，使学生在探索的同时获得解决问题的一种方法，提高学生学习数学的兴趣和信心.教学重点：掌握角平分线+平行线能形成等腰三角形这个基本规律，利用这个规律解决等腰三角形方面的有关问题.教学难点：灵活运用角平分线和平行线形成等腰三角形这个基本规律解决有关问题.突出重点方法:观察，思考，证明.突出难点方法:自主探究教学方法：启发与探究相结合教学准备：PPT，课本，作图工具三、教学设计：（一）复习等腰三角形相关知识1、请同学们对等腰三角形的知识要点进行自我回顾：（由学生先进行回顾，教师补充）（二）探究过程问题1：已知∠ABC，BD平分∠ABC，ED//BC.思考：△EBD是等腰三角形吗？解：是；EB=ED发现：无论点D 在BD 上如何运动，△EBD 都是等腰三角形结论：角平分线+平行线 等腰三角形我们在几何证明中，一般不单独研究角，大多数都是借助图形，比如在三角形中研究问题，上面问题如果放在三角形中，我们可以作三角形中一个角的角平分线，然后过角平分线上一点，作这个角的一边的平行线。

《探究一个三角形可以分割成两个等腰三角形的条件》的教学设计∙教学设想学生在学习了等腰三角形后，经常会碰到将一个三角形分成几个等腰三角形的问题，这类题具有较强的灵活性和开放性，很多同学都只会盲目地尝试分割，经常在解题时碰到障碍，影响了解题的效率。

于是我设计了这节专题课，通过对这类问题的讨论，找到其中的规律，帮助学生走出“瓶颈”，达到“事半功倍”的效果。

∙ 学习目标及重难点 ∙ 学习目标∙ 经历可以分割成两个等腰三角形的三角形的条件的探索过程，培养探索精神和合情推理能力； ∙ 在活动中，体会知识的运用和数学思想方法；∙ 重点：可以分割成两个等腰三角形的三角形的条件的探索过程。

∙ 难点：将一个规律三角形分割成两个等腰三角形以及设计的拓展题。

∙ 学习内容：∙ 探究一个任意三角形可以分割成两个等腰三角形的条件； ∙ 将给定的三角形分割成两个等腰三角形；∙ 一个等腰三角形可以分割成两个等腰三角形时，求原等腰三角形的内角； ∙ 将一个顶角是72°的等腰三角形分割成三个等腰三角形； ∙ 将一个正三角形分割成四个等腰三角形。

三、教学过程教学环节 设计意图∙ 直接给出宁波市中考题（1）如图1， ∠C=90°，请用直尺和圆规作一条直线，把△ABC 分割成两个等腰三角形（不写作法，但必须保留作图痕迹）.（2）已知内角度数的两个三角形如图2，图3所示，请你判断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能，请分别写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数.学生利用定理“直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半”，就能很容易解决问题（1），对于问题（2）、（3），学生如果盲目地去任意画分割线，显然要耗费一定的时间，也是很困难地完成，所以在设计时，由这两个问题引入到本节课的探究活动，激起学生强烈的求知欲。

∙∙ 如图，△ADC 是等腰三角形，延长AD 到点B ，使△BCD 也是等腰三角形，有几种情况？此环节主要解决怎么画图的问题，以老师引导为主，师生共同探讨，一可以减少时间，二可以降低难度。

探究分割三角形得到等腰三角形的方法嘿，同学们！咱们今天要来一场超级有趣的数学探险，一起探究怎么把三角形分割一下，就能变出等腰三角形来！先让咱们回忆回忆啥是等腰三角形。

简单说，就是有两条边长度一样的三角形啦。

那怎么从一个普通三角形里变出它来呢？比如说，有一个三角形 ABC ，咱们先看看它的三条边。

假设 AB边长是 5 厘米， AC 边长是 6 厘米， BC 边长是 7 厘米。

那咱们怎么分割呢？有一种办法，就是找一条边的中点。

比如说，咱们找到 BC 边的中点 D ，然后把 AD 连起来。

这时候你瞧，三角形 ABD 和三角形 ACD ，其中 BD ＝ DC ，如果 AB ＝ AC ，那这不就成功得到等腰三角形啦！我记得有一次，我在课堂上讲这个知识点的时候，有个同学特别积极，一直在那比划。

他上来就在黑板上画了一个歪歪扭扭的三角形，然后信心满满地开始分割。

结果呢，分割错啦，引得全班同学哈哈大笑。

不过这孩子一点儿也不气馁，又认真思考重新画，最后还真给他弄对了！从那以后啊，每次讲到这部分内容，我都会想起他那股认真劲儿。

咱们再想想，如果这个三角形本身角度有特点呢？比如一个角是 60 度的直角三角形，咱们是不是也能通过巧妙的分割得到等腰三角形？还有啊，如果已知三角形的一些边长比例关系，是不是也能找到分割的窍门？其实啊，生活中也有类似的情况。

就像咱们拼拼图，有时候一块完整的大图，咱们得把它合理地分割，才能拼出想要的形状。

数学也是这样，通过巧妙的分割，能发现好多神奇的规律和特点。

同学们，探究分割三角形得到等腰三角形的方法，就像是打开了一扇神奇的数学大门。

咱们不断尝试，不断思考，肯定能在这个数学世界里发现更多的惊喜！加油吧，小伙伴们，看看谁能成为分割三角形的小高手！。

三角形分割成等腰三角形的条件和分法嘿，同学们！咱们今天来聊聊一个有趣的数学话题——三角形分割成等腰三角形的条件和分法。

还记得有一次，我和朋友一起去公园散步，看到公园的花坛正好是个三角形的形状。

朋友突然就好奇地问我：“这三角形能不能分割成等腰三角形呢？”这一下可把我给问住了。

我当时就在想，这还真不是个简单的问题。

咱们先来说说三角形分割成等腰三角形的条件哈。

要想把一个三角形分割成等腰三角形，那首先得搞清楚等腰三角形的特点，就是至少有两条边长度相等嘛。

比如说，如果一个三角形的两条边长度相等，那我们就可以沿着这两条相等边的夹角的平分线进行分割，这样就能得到两个等腰三角形啦。

再来讲讲分法。

假设咱们有一个三角形 ABC，其中 AB ＝ AC。

那咱们就可以从顶点 A 向 BC 边作垂线 AD，这样三角形 ABC 就被分成了两个等腰三角形 ABD 和 ACD 啦。

还有一种情况，如果一个三角形的三个角的度数分别是 36°、72°、72°，那我们可以先找到 72°角的平分线，把这个三角形分成两个三角形，这两个三角形就都是等腰三角形啦。

给大家举个具体的例子吧。

比如说有一个三角形，三条边的长度分别是 5、5、6。

那我们可以先找到 5 和 5 这两条相等边的夹角，也就是顶角，然后作顶角的平分线，这样就能把这个三角形分割成两个等腰三角形啦。

咱们在做题的时候，可得仔细观察三角形的边和角的特点，多动动脑子。

就像我那次在公园，一开始被朋友的问题难住了，后来回家认真研究，才发现这里面的门道。

再比如说，如果一个三角形的三条边分别是 3、4、5，那这种情况就没法直接分割成等腰三角形啦，因为它的三条边都不相等。

同学们，其实数学就像一场探险，每一个三角形都是一个神秘的小岛，等待着我们去发现它的秘密。

只要我们掌握了方法，找到了规律，就能在这片数学的海洋里畅游。

总之，三角形分割成等腰三角形的条件和分法虽然有点复杂，但只要我们多思考、多练习，就一定能掌握得牢牢的。